SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA Brojev su jedno od područja najšreg nteresa matematčara matematčke znanost. Put od prrodnh do realnh brojeva, koj je trajao tsućljećma, danas svak školarac prelaz već tjekom svojeg osnovnoškolskog obrazovanja. No je l tme taj put završen? Il postoj njegov produžetak? Odgovor na posljednje ptanje je potvrdan upravo će o njemu bt rječ u ovom poglavlju udžbenka. Upoznat ćemo nove, kompleksne brojeve to tek u jednom malom opsegu. Valja znat kako je uloga kompleksnh brojeva u matematc, al u njhovoj stvarnoj prmjen, ustnu velka... Kompleksn broj Tjekom školovanja upoznal smo razlčte skupove brojeva. Bl su to: skup prrodnh brojeva N = {,,...} skup cjelh brojeva Z = {...,,, 0,,,...} skup raconalnh brojeva Q = { m n : m Z, n N }. Skup realnh brojeva R dobjemo združvanjem skupova raconalnh raconalnh brojeva. Znamo takoder - da vrjed N Z Q R. Svak od skupova Z, Q R prošrenje je prethodnog, načnjeno zbog potrebe da se omoguć provedba odredene - algebarske operacje. Prmjerce, razlka dvaju prrodnh brojeva nje općento prrodn broj. Stoga se skup N prošruje negatvnm cjelm brojevma nulom te se tako dobje skup cjelh brojeva Z. Zbog zvedvost djeljenja cjelh brojeva skup Z se prošruje razlomcma, odnosno decmalnm (konačnm l perodčkm) brojevma čme dobvamo skup raconalnh brojeva Q. Vdjel smo takoder - da postoje brojev koje ne možemo zapsat kao razlomke. To su raconaln brojev. Izgradnjom skupa realnh brojeva R opsanm prošrenjma nje kraj. Razlog lež u tome što kvadrat nt kojeg realnog broja nje negatvan. Prmjerce, već odgovor na ptanje: Za koj realan broj x vrjed x =? glas: Ne postoj takav realan broj. Skup realnh brojeva prošrujemo uvodmo nove, kompleksne brojeve. Skup kompleksnh brojeva C sadrž sve realne brojeve, svak je realn broj ujedno kompleksn broj. Neka je zamšljeno rješenje jednadžbe x + = 0, broj sa svojstvom + = 0. Tajnovbrojnazvamomagnarnom jedncom.
KOMPLEKSNI BROJ. Imagnarna jednca Imagnarna jednca je broj za koj vrjed =. Skup kompleksnh brojeva C bt će prošrenje skupa realnh brojeva R.To znač da skup kompleksnh brojeva sadrž sve realne brojeve kao svoj podskup. Želmo tako - der da u skupu kompleksnh brojeva budu defnrane algebarske operacje zbrajanja množenja. Zbog toga je umnožak blo kojeg realnog broja y magnarne jednce kompleksan broj. Takve brojeve nazvamo posebnm menom: magnarn brojev. Brojev, 4 7,, prmjer su magnarnh brojeva. Imagnarn brojev Imagnarn broj y umnožak je realnog broja y magnarne jednce. Kompleksn broj je zbroj realnog magnarnog broja. Kompleksn su brojev prmjerce +,, 4 +... Svak je realan broj kompleksan broj jer se može zapsat u oblku x + 0. Svakjemagnarnbrojkompleksnbrojjerje y = 0 + y. Skup kompleksnh brojeva Kompleksn broj z je broj oblka z = x + y. Tu su x y realn brojev, a magnarna jednca. Broj x je realn do kompleksnog broja z, a broj y je njegov magnarn do. Pšemo: x = Re z, y = Im z. Zaps z = x + y zovemo algebarsk (l) standardn prkaz kompleksnog broja z. Skup kompleksnh brojeva označavamo s C.
SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA Prmjer. Odredmo realn magnarn do svakog od kompleksnh brojeva: ) z = + 5 ; ) z = + ; ) z = ; 4) z 4 =. Prat redom odgovore obrazlož h: ) Re z =, Imz = 5; ) Re z =,Imz = ; ) Re z =, Im z = 0; 4) Re z 4 = 0, Imz 4 =. Zadatak. Popun sljedeću tablcu: z 7 + 5 0.5 Re z 4 π + Im z Jednakost kompleksnh brojeva Nakon što smo defnral kompleksne brojeve, prrodno je postavt ptanje: kada su dva kompleksna broja jednaka? Odgovor je vrlo jednostavan: dva su kompleksna broja jednaka ako samo ako je realn do prvoga jednak realnom djelu drugoga magnarn do prvoga jednak magnarnom djelu drugoga. Jednakost kompleksnh brojeva Kompleksn brojev z = x +y z = x +y jednak su ako samo ako m se podudaraju realn magnarn djelov: z = z ako samo ako vrjed x = x y = y. Zasta, z x + y = x + y sljed x x =(y y ) pa ukolko b blo y y onda b vrjedlo = x x y y R, što je nemoguće. Zato je y = y onda nužno x = x. 4
KOMPLEKSNI BROJ. Prmjer. Odredmo realne brojeve a b z sljedećh jednakost kompleksnh brojeva: ) a + = + b ; ) (a )x +(a + b)y = + 5 ; ) (a b) = +(a + b). ) Kompleksn brojev s ljeve s desne strane jednakost jednak su ako samo ako je a = b = ; ) Kao u prethodnom prmjeru mora bt a = a + b = 5. Dakle, a =, b = ; ) Realn djelov kompleksnh brojeva na ljevoj desnoj stran jednakost razlčt su pa onda nt t brojev ne mogu bt jednak nt za koj zbor realnh brojeva a b. Zadatak. Za koje realne brojeve a b su kompleksn brojev z z jednak: ) z =(a b)+(a + b), z = ; ) z = a b +(a b), z = ; ) z = +(a b), z = a + b? Zadatc... Odred realn magnarn do svakog od kompleksnh brojeva: ) z = 5 + ; ) z = ; ) z = ; 4) z = ; 5) z = ; 6) z = + ; 7) z = 0; 8) z =( ).. Odred realne brojeve a b z jednakost: ) a + 4 = + b ; ) a + = + b ; ) a b + = a + b ; 4) (a b) = +(a + b) ; 5) a b + 5 = +(a + b) ; 6) +(a + b) = (a b).. Odred realne brojeve x y z jednakost: ) x +(y ) = + ; ) x + y y = + ; ) x y +(x + y) = + 4 ; 4) x y +(x y) = ; 5) x y +(x y) = ; 6) x y +(x + y) = x + y +(x + ). 4. Gdje je greška u računu: = = ( ) ( ) = = =? 5
SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA.. Zbrajanje množenje kompleksnh brojeva Zbroj, razlka umnožak kompleksnh brojeva Ako su z = x + y z = x + y blo koja dva kompleksna broja, tada njhov zbroj, razlku umnožak defnramo na sljedeć načn: z + z = x + x +(y + y ), z z = x x +(y y ), z z = x x y y +(x y + x y ). Operacje zbrajanja množenja u skupu C maju svojstva komutatvnost, asocjatvnost dstrbutvnost množenja prema zbrajanju. Name, za svaka tr kompleksna broja z, z z vrjed: svojstvo komutatvnost z + z = z + z, z z = z z ; svojstvo asocjatvnost z +(z + z )=(z + z )+z, z (z z )=(z z ) z ; svojstvo dstrbutvnost množenja prema zbrajanju kompleksnh brojeva z (z + z )=z z + z z. Prmjer. Dan su kompleksn brojev z = +, w = 4. Izračunajmo z + w, z w z w. z + w = + + 4 = ; z w = + ( 4) = + 7 ; z w =( + )( 4) = + 8 + = + + = 0 +. Zadatak. Za kompleksne brojeve z = + 5, z =, z = + zračunaj ) z z + z z + z z ; ) (z z ) (z z ) (z z ). 6
ZBRAJANJE I MNOŽENJE KOMPLEKSNIH BROJEVA. Potencje magnarne jednce Pr množenju vše kompleksnh brojeva pojavt će se potencje magnarne jednce. Izračunajmo, prmjerce: Kolko je? ( ) = 8 6 + 54 7. Možemo računat: = = =. Onda je konačno ( ) = 8 6 54 + 7 = 46 9. Izračunajmo vrjednost prvh nekolko potencja magnarne jednce prrodnm brojem. Imamo redom: =, = =( ) =, 4 = =( ) = =, 5 = 4 = ; 6 = 4 = =. Uočavamo da dalje ne moramo računat jer se vrjednost potencja perodčk ponavljaju. Prtom se uzastopce zmjenjuju četr vrjednost:,,,. Za odre - dvanje vrjednost potencje n, gdje je n prrodn broj, dovoljno je pogledat kolk je ostatak pr djeljenju broja n s 4. Tada je vrjednost potencje jednaka r, gdje je r ostatak pr djeljenju n s4.evozašto. Prrodn broj n može se zapsat u oblku 4k + r, gdje je k kolčnk, a r ostatak pr djeljenju broja n s 4.Broj r je jedan od brojeva 0,, l. Zato možemo psat: n = 4k+r = 4k r =( 4 ) k r = k r = r. Potencje magnarne jednce Neka je k prrodn broj. Tada za potencje magnarne jednce vrjed: 4k =, 4k+ =, 4k+ =, 4k+ =. 7
SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA Prmjer. Izračunajmo: ) ; ) ; ) 4 ; 4) 45. ) Broj djeljv je s 4, pa je =. ) Pr djeljenju s 4 broj daje ostatak (jer je = 4 0 + ) te je = 4 0+ =( 4 ) 0 = 0 = =. ) Ostatak pr djeljenju nekog všeznamenkastog broja s 4 jednak je ostatku što ga pr djeljenju s 4 daje njegov dvoznamenkast završetak. Name, svak se prrodn broj n s trma l vše znamenk može zapsat u oblku n = 00t + uv, gdje je t prrodn broj, a uv dvoznamenkast završetak od n. Broj 00t djeljv je s 4. Stoga na ptanje o djeljvost broja n s 4 odgovor nalazmo promatrajuć dvoznamenkast broj uv. Buduć da je 4 = 00 + 4, mamo 4 = 4 = =. 4) 45 = 45 =. Zadatak. Izračunaj: ) ; ) 54 ; ) ( ). Prmjer. Izračunajmo: + + + + 4 +...+ 00. Vdjel smo da se pr uzastopnm potencjama magnarne jednce u jednom perodu pojavljuju četr vrjednost:,,,. Njhov zbroj je jednak nul. Unašem zadatku mamo 00 prbrojnka. Kad h od početka razvrstamo po četr, dobt ćemo 50 skupna po 4 prbrojnka još dva prbrojnka na kraju. U svakoj od th 50 skupna mamo zbroj + = 0, a na kraju još ostaje 000 + 00. Ukupan zbroj svh 00 prbrojnka onda je jednak 000 + 00 = +. Prmjette kako smo grupranje mogl provest od kraja prema početku. Tako b nam nakon ponštavanja ostala prva dva člana zbroja. Rezultat je, naravno, st. Zadatak. Izračunaj: ) + + 5 +...+ 55 + 555 ; ) 4 6... 44 444. 8
ZBRAJANJE I MNOŽENJE KOMPLEKSNIH BROJEVA. Prmjer 4. Vrjednost potencja nekh posebnh kompleksnh brojeva vrlo su jednostavne. Navedmo dva prmjera koj to pokazuju. Dokaž da za svak prrodn broj n vrjede jednakost: ) ( + ) n = n ; ) ( ) n + =( ) n. ) Kako je z n =(z ) n, za svak kompleksn broj z, onda mamo: ( ) n ( ) + + + n ( ) n = = = n. ) I u ovom prmjeru postupt ćemo slčno kao u prethodnom. Prmjent ćemo jednakost z n =(z ) n : ( ) n ( + = 8 + 8 + 9 8 + ) n 8 ( = 8 + 8 9 8 ) n 8 =( ) n. Kutak plus PITAGORA I KOMPLEKSNI BROJEVI Odre - dvanje Ptagornh trojk brojeva, trojk prrodnh brojeva koj zadovoljavaju jednadžbu a + b = c, jedan je od davnh problema teorje brojeva. Taj je problem rješen to,slčno Ptagornu poučku, na čtav nz razlčth načna. Zanmljvo je da se uz pomoć kompleksnh brojeva može pronać po volj mnogo Ptagornh trojk. Uzmmo, prmjerce, kompleksn broj z = + pa ga kvadrrajmo. Tako ćemo dobt: z = 9 + 4 = 9 4 = 5. Apsolutne vrjednost realnog magnarnog djela kompleksnog broja 5 duljne su kateta pravokutnog trokuta. Name, vrjed: 5 + =. Provjermo da to vrjed općento, za svak kompleksn broj z = x + y, x, y N. z = x y + xy. Tada je x y = a, xy = b pa ćemo mat: a + b =(x y ) + 4x y =(x + y ) = c. I sada z jednakost a = x y, b = xy, c = x + y za svak x, y N, x y, dobjemo jednu Ptagornu trojku brojeva. 9
SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA Zadatc... Izračunaj z + w, z w z w ako je: ) z = +, w = ; ) z = +, w = + ; ) z = 4, w = 4 +.. Izračunaj z + w, z w, z w, z w ako je: ) z =, w = ; ) z = + 5, w = 4 7 ; ) z = 5, w = 7. Izračunaj:. ) ( + ) ; ) ( ) ; ) ( ) ; 4) ( + ) ; 5) ( + ) ; 6) ( + ) ; 7) ( ) 4 ; 8) ( + ) 4. 4. ) ( )( ) ; ) ( )( + ) ; ) ( )( + ) ( + )( ). 5. ) ( )( )( ) ; ) ( + )( + )( + ) ; ( ) ) ( + ) ( ) ( + ). 6. ) ( ) ( ) ( ) ; ) ( ) ( ) ( ) ; ) ( + ) ( + ) ( + ) ; 4) ( + ) ( ) ( + ) ( ). 7. ) ( + )( + ) ; ( ) ( )( ) +( + ) ) ; ) ( + ) ( + ) ( ) ( + + ). 8. Izračunaj vrjednost brojevnog zraza z z w + w ako je: ) z =, w = + ; ) z =, w = + ; ) z = +, w = +. 9. Izračunaj vrjednost zraza za zadanu vrjednost kompleksnog broja: ) z z + z,za z = +, z = ; ) z + z z +,za z = +, z = ; ) z 4 z +,za z = +, z =. 0. Dan su kompleksn brojev z = 5 + 8 w = 7. Odred realn magnarn do brojeva ) z w ; ) (z w) ; ) z + w.. Neka je z = x + y. Odred realn magnarn do kompleksnh brojeva z z.. Brojev z = + 4 z = 4 rješenja su jednadžbe z 6z + 5 = 0. Provjer.. Brojev z = z = + rješenja su jednadžbe z 4z + = 0. Provjer. 4. ) Provjer je l kompleksn broj z = rješenje jednadžbe (+)z (+)z+4+ = 0. ) Je l kompleksn broj z = + rješenje jednadžbe ( + )z ( + )z + 4 + = 0? 5. Provjer jesu l brojev z = + z = + rješenja jednadžbe z ( + )z + + = 0. 6. Odred realne brojeve x y z jednakost: ) ( )x +( + )y = ; ) ( )x ( + 4)y = + ; ) (x + y)( )+(x y)( + ) = +. 7. Odred realne brojeve x y usvakojodsljedećh jednakost: ) (x + y)( + )+(x y)( ) =5 + ; ) (x + y)( )+(x y)( + ) = ; ) (x y)( + 4) (y x)(5 ) =5 + 4. 0
ˇ ZBRAJANJE I MNOZENJE KOMPLEKSNIH BROJEVA 8. Ako je z = +, w = +, odred realne brojeve x y tako da bude x z + y w = z w. (z + )( + ) + ( + z)( 4) = + 7. 0. Rjeˇs sustave jednadˇzb: ) ) ) 8. + +... + 00 0. 9. + 4 +... 0099 + 000. 9. Odred kompleksn broj z z jednakost:. 0. ) ( )5 ; ) ( )6 ; ) ( + )8 ; 4) ( + )9.. Kolko je ) ( )( + )( + )( + 4 )( + 8 )( + 6 ) ; ) ( )( + )( + 6 )( + )( + 4 )? z + w = +, z + w = ;. Izraˇcunaj: z + w = 7, ) z + w = ; ( )z w = 5 4, ( + )z ( )w = 8.. Dokaˇz 4 6 + ; ). + +. += 4. Dokaˇz da za svak prrodn broj n vrjed:. Izraˇcunaj: ) 77 ; ) 59 ; ) 468.. Kolko je: 9 5 ) + + + + + ; ) + + +... + 999?. Dokaˇz da za svak cjel broj k vrjed: ) k + k+ + k+ + k+ = 0 ; ) k k+ k+ k+ =. = ( )n. 5. Izraˇcunaj: 6 n ) 6 + ; 9 +. ) 6. Dokaˇz da za svak prrodn broj n vrjed: n + = n. 4. Korste c se cˇnjencama z prethodnog zadatka zraˇcunaj: ) + + +... + 0 ; )... 0. 5. Kolko je k + k+, k Z? Korste c se dobvenm rezultatom zraˇcunaj: + + 5 +... +. 6. Kolko je k + k+, k Z? Korste c se dobvenm rezultatom zraˇcunaj: + 4 + 6 +... + 00. Izraˇcunaj: 7. ) 5 8... 0 ; ) 4 7 0... 0.
SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA.. Djeljenje kompleksnh brojeva Umnožak dvaju kompleksnh brojeva kompleksn je broj. No onda je kolčnk z z dvaju kompleksnh brojeva z z (uz uvjet z 0 ) kompleksan broj. Kako odredt taj kolčnk? Kako provest djeljenje dvaju kompleksnh brojeva? Konjugrano kompleksn brojev Najprje uvedmo jedan nov pojam. Ako je z = x + y blo koj kompleksn broj, onda broj z = x y zovemo konjugrano kompleksn broj broja z. Par kompleksnh brojeva z z nazvamo parom konjugrano kompleksnh brojeva. To je, dakle, par čj su realn djelov jednak, a magnarn djelov suprotn su realn brojev. Umnožak dvaju konjugrano kompleksnh brojeva poztvan je realn broj. Lako je provjert ovu tvrdnju: (x + y)(x y) =x (y) = x + y. Prmjer. Odredmo broj z za svak od danh brojeva z te zračunajmo z z : ) z = + 4 ; ) z = ; ) z = 0.7; 4) z = 5. ) Konjugran broj broja z = + 4 je broj z = 4 te je z z =( + 4)( 4) =( ) (4) = 9 ( 6) = 9 + 6 = 5. ) Analogno prethodnom prmjeru je z = + pa je z z =( )( + ) =. ) Broj z = 0.7 je magnarn broj, njegov konjugran broj je z = 0.7,teje z z = 0.7 0.7 = 0.49. 4) Broj z = 5 je realan broj. Takv su brojev sam seb konjugran te je z z = 5 = 5.
DIJELJENJE KOMPLEKSNIH BROJEVA. Konjugrano kompleksn brojev Brojev z = x + y z = x y čne par konjugrano kompleksnh brojeva. Umnožak dvaju konjugrano kompleksnh brojeva realan je poztvan broj: (x + y)(x y) =x + y. Prmjer. Dokažmo sljedeća svojstva konjugrano kompleksnh brojeva: ) z + z = z + z ; ) z z = z z ; ) z z = z z. ) z + z = (x + y )+(x + y )=(x + x )+(y + y ) =(x + x ) (y + y ) =(x y )+(x y )=z + z. ) Dokaz se provod analogno prethodnom. Provedte ga sam. ) z z = (x x y y )+(x y + x y ) =(x x y y ) (x y + x y ) =(x y )(x y )=z z. Djeljenje kompleksnh brojeva Čnjencu da je z z realan broj skorstt ćemo pr djeljenju kompleksnh brojeva. Bt će to postupak analogan onome koj smo provodl pr raconalzacj nazvnka razlomka uz prmjenu dentteta ( a b)( a + b)=a b, a 0, b 0. Neka je, prmjerce, z = 4 +, z = +. Kolko je z : z? Zapšmo djeljenje u oblku razlomka razlomak prošrmo brojem,brojem koj je konjugran broju +. Tada mamo: z = 4 + (4 + )( ) 0 5 = = =. z + ( + )( ) 5 Ist postupak provodmo pr djeljenju blo kojh dvaju kompleksnh brojeva.
SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA Djeljenje kompleksnh brojeva Dva se kompleksna broja z = x +y z = x +y djele na sljedeć načn: z = x + y z x + y = x + y x + y x y x y = x x + y y +(x y x y ) x + y = x x + y y x + y + x y x y x +. y Zadatak. Zadatak. Za svaka dva kompleksna broja z z ( z 0 ) vrjed jednakost: ( z ) = z. z z Provjer! Ako je z = +, z = +, z = +,zračunaj: ) z z z ; ) z z z ; ) z z z. Prmjer. Odredmo kompleksn broj z z jednakost: z z + =. Uzmmo da je z = x + y pa ga uvrstmo u jednakost. Trebamo zatm odredt realne brojeve x y. Provedmo djeljenje kompleksnh brojeva u danoj jednakost: (x + y)( + ) (x y)( ) =. 5 Kad sredmo ljevu stranu jednakost, dobjemo: x y +(7x + 9y) = 0. Ovdje se rad o jednakost kompleksnh brojeva z koje sljed sustav lnearnh jednadžb x y = 07x + 9y = 0. Rješenje sustava je x =, y = pajerješenje zadatka kompleksn broj z = +. Zadatak. Odred kompleksn broj a + b z jednakost a + b = + +. 4
DIJELJENJE KOMPLEKSNIH BROJEVA. Zadatc... Za svak od danh kompleksnh brojeva z odred njegov kompleksno konjugran broj z : ) z = + ; ) z = + ; ) z = ; 4) z = ( ) ; 5) z = +.. Za koje su realne brojeve m n kompleksn brojev z = m + n + m w = m (n ) me - dusobno kompleksno konjugran?. Odred z ako je: ) z =( )( + ) ; ) z =( )( + ) ; ) z =( + )( )( + )(4 ). Izračunaj: 4. ) 4) 5. ) ) + ; ) + ; ) 4 ; + 7 ; 5) + ; 6) 5 4 +. + ; ) ; + ; 4). 6. ) ( 4 + + + 4 ) ( + )( + ) 7. ) ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ; ( + ) ( + ) ( + ) +( ). ) + 4 0 ; ( )( ) + + 8. ) Re z ako je z = ( + )( ) ; ) Im z ako je z = ( )( + ).. 9. ) Re z z ) Im z + z ako je z = ako je z = 0. Izračunaj vrjednost brojevnog zraza ako je: ) z = +, w = ; ) z =, w =.. Ako je z = 5, w = 4,zračunaj z w + w z. z w. Kolko je Re z ako je z =. Kolko je Im z ako je z =. ; zw zw z w 57 ( )( + )? 46 ( + )( )? 4. Odred realne brojeve a b z jednakost: ) a + b = + 4 ; ) + 5 a + b =. 5. Dan su kompleksn brojev z = +, w =. Odred realne brojeve x y tako da vrjed jednakost x z + y w =. 6. Dan su kompleksn brojev z =, w = +. Odred realne brojeve x y tako da vrjed jednakost x z + y w =. 7. Odred realne brojeve x y z jednakost: ) x + y = ; + ) x y + =. 8. Odred kompleksn broj z z jednakost ) z( )+z( ) =4 4 ; ) z( + ) z( ) =. 5
SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA 9. Izraˇcunaj: ) Izraˇcunaj: 55 66 99 + 55 55 77 88 ; ; + 55 77. 5) 55 ) 0 404 ; 0 77 4) ; 55 456 00 6) 789. ) 0 +. ) ). ) 0. Kolko je + + +... + 00? ) + +... ) + + 5 + 7 +... + ) 5 ; 5 0? 0 ) ) + + +... + 0 + +... + 0 0 ; + +... + 0 + + + +... + 0 4n+ + 4n+ 4n+ + 4n+4 8n+5 4n+ n+7 6n+8 0. 4n+5. 4n+ 4n+ + 8n+ n+ + 6n+4 ; 4n+7. Povjesn kutak KAKO SU NASTALI KOMPLEKSNI BROJEVI Spektakularna otkr ca, kakva su cˇesta u nekm znanostma, u matematc su prava rjetkost. Matematˇcka znanja nastaju sazrjevaju u dugotrajnom procesu kroz naporan rad mnogh matematˇcara pa se zbog toga gotovo nkad ne prpsuju pojedncu. Tako je s povjeˇsc u kompleksnh brojeva. Kad su nastal? Tko h je otkro? Premda nek povjesnˇcar matematke drˇze kako je joˇs Heron Aleksandrjsk razmˇsljao o uvodenju brojeva koj nsu realn, pak se danas njhovo otkr ce veˇze uz taljanske matematˇcare z 6. stolje ca, osobto Tartagl Cardana. On su rjeˇsl op cu algebarsku jednadˇzbu tre ceg stupnja ax + bx + cx + d = 0. Formule kojma se rjeˇsava takva jednadˇzba zovu se Cardanove formule. Nccol`o Fontana Tartagla Nazv magnaran broj uveo je Ren e Descartes. No sve ono sˇ to je vezano uz kompleksne brojeve sˇ to h je u matematc dovelo u ravnopravan poloˇzaj s realnm brojevma pak je stvoreno u 8. stolje cu, pr cˇemu su Abraham de Movre Leonhard Euler mena koja valja posebno staknut. Prˇca je zaokruˇzena povezvanjem kompleksnh brojeva geometrje, pr cˇemu je osobto zasluˇzan Carl Fredrch Gauss. Danas su poznate vrlo vrjedne prmjene kompleksnh brojeva u raznm prmjenjenm znanostma. Na ptanje zavrˇsava l s kompleksnm brojevma prˇca o brojevma, odgovor je ne. Ona ma svoj nastavak u daljnjm proˇsrenjma skupa kompleksnh brojeva. Al o tome (moˇzda) na nekom drugom mjestu u neko kasnje doba. Grolamo Cardano 6
KOMPLEKSNA RAVNINA.4.4. Kompleksna ravnna Modul kompleksnog broja U prvom smo se razredu upoznal s pojmom apsolutne vrjednost l modula realnog broja x. Prsjetmo se: { x, x 0; x = x, x < 0. Modul poztvnog realnog broja ( nule) sam je taj broj. Modul negatvnog broja jest njemu suprotan broj. Imal smo sljedeću jednakost: x = x. Sada defnramo modul kompleksnog broja z = x + y kao broj z = x + y. Skup realnh brojeva podskup je skupa kompleksnh brojeva ovom je defncjom obuhvaćena ranja defncja modula realnog broja. Prmjer. Odredmo modul svakog od danh kompleksnh brojeva: ) z = + 4 ; ) z = ; ) z = 4 ; 4) z = 7. Promotr defncju modula kompleksnog broja obrazlož rješenje zadatka. ) z = + 4 = + 4 = 5 = 5; ) z = = +( ) = ; ) z = 4 = 0 + 4 = 0 + 4 = 6 = 4; 4) z = 7 = 7 + 0 = ( 7) + 0 = 49 = 7. Zadatak. Popun sljedeću tablcu: z 4 + z 5 4 5 + + 7
SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA Modul kompleksnog broja ma sljedeća svojstva:. Modul umnoška dvaju kompleksnh brojeva jednak je umnošku njhovh modula: Provjermo ovu jednakost: z z = z z. z z = (x + y ) (x + y ) = (x x y y )+(x y + x y ) = (x x y y ) +(x y + x y ) = x x + y y + x y + x y = (x + y ) (x + y )= x + y x + y = z z. Navedeno svojstvo može se poopćt na umnožak blo kolko kompleksnh brojeva. Općento je: z z... z n = z z... z n. Ako su sv faktor umnoška jednak, tada je z n = z n.. Modul kolčnka dvaju kompleksnh brojeva jednak je kolčnku njhove apsolutne vrjednost: z = z z, z 0. z Dokažmo ovu jednakost. Najprje prmjetmo da je recpročna vrjednost kompleksnog broja z = x + y jednaka z = x + y = x x + y y x + y, pa je z = x (x + y ) + y (x + y ) = x + y (x + y ) = x + y = z. I sada mamo: z z = z = z = z z z z = z z. 8
KOMPLEKSNA RAVNINA.4 Modul kompleksnog broja Modul kompleksnog broja z = x + y je realan broj z koj se defnra formulom: z = (Re z) +(Im z) = x + y. Za modul kompleksnog broja vrjed: z z = z z ; z n = z n ; z z = z z, z 0. Prmjer. Izračunajmo modul kompleksnog broja: ) ( + )( )( + ) ; ) ( ) ; ) ( ) 5 ( + ) 7. ) ( + )( )( + ) = + + = 5 0 = 0. ) ( ) = =( ) = 6 = 64. ) ( ) 5 ( + ) 7 = ( ) 5 ( + ) 7 = 5 + = 5 7 7 = 4. Zadatak. Izračunaj: ) ( )( )( ) ; ) ( + ) 00 ; ( ) 8 ) ( + ) 0 ; 4) (4 + ) 5 ( + ) 8 ( 7) 0. Iz zabavne matematke MATEMATIČKI REBUS 9
SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA Kompleksna ravnna Iz standardnog algebarskog zapsa kompleksnog broja z = x + y jasno se razabru njegov realan magnaran do. Svak kompleksn broj stoga možemo zapsat u oblku ure - denog para (x, y) realnh brojeva. Prmjerce: + =(, ); + 7 =(, 7); 9 =(0, 9); 4 =(4, 0). Ovakvo zapsvanje kompleksnh brojeva nameće pomsao da b se kompleksnm brojevma mogle prdružt točke u koordnatnoj ravnn. Takvo je prdružvanje obostrano jednoznačno, svakom je kompleksnom broju jednoznačno prdružena točka svakoj točk odgovara jednstven kompleksn broj. Os x koordnatnog sustava zove se realna os na njoj, samo na njoj, smješten su realn brojev. Os y zove se magnarna os, na njoj su smješten magnarn brojev to samo on. Koordnatna ravnna u kojoj su na opsan načn smješten sv kompleksn brojev zove se kompleksna ravnna l Gaussova ravnna. Kompleksna l Gaussova ravnna Svakom kompleksnom broju z = x + y odgovara točka M(x, y) u kompleksnoj ravnn. Na os apscsa smješten su realn brojev pa se ona zove realna os. Na os ordnata smješten su magnarn brojev pa se ona zove magnarna os. Prdružvanje kompleksnh brojeva točaka kompleksne ravnne obostrano je jednoznačno. -+ magnarna os y M( x,y)= x+y x -- - realna os Svakom kompleksnom broju z = x + y odgovara točka M =(x, y) Kartezjeve ravnne. Na os apscsa nalaze se realn brojev, na os ordnata magnarn. 0
KOMPLEKSNA RAVNINA.4 Na jednoj od poštanskh maraka štosuotsnuteunjemačkoj 977. godne prgodom oblježavanja 00-godšnjce rodenja - Carla Fredrcha Gaussa, često nazvanog prnceps mathematcorum (lat. prncem svh matematčara), možemo vdjet kompleksnu ravnnu u kojoj je prkazano nekolko kompleksnh brojeva. Kompleksna se ravnna nazva još Gaussova ravnna upravo po ovom velkom matematčaru. Prmjer. Prkažmo u kompleksnoj ravnn točke: ) z = ; ) z = 5 ; ) z = 4; 4) z 4 =. Zapšmo dane brojeve u oblku ure- -denh parova pa h ucrtajmo kao točke u kompleksnu ravnnu. z = =(, ); z = 5 =(5, ); z = 4 =( 4, 0); z 4 = =(0, ). Zadatak. Prkaž u kompleksnoj ravnn sljedeće brojeve: z = + ; z = + ; z = 4; z 4 = ; z 5 = 5. Prmjer 4. Odredmo skup točaka z kompleksne ravnne za koje vrjed Re (z + ) =Im (z ). Neka je z = x + y. Tada danu jednakost možemo zapsat u oblku Re (x + + y) =Im (x +(y )), odnosno x + = y. Odavde vdmo da koordnate x y zadovoljavaju jednadžbu pravca y = x +. -
SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA Udaljenost točaka u ravnn Uvo - denjem kompleksne ravnne, čme su kompleksn brojev dobl zornu podršku, omogućen je razvtak geometrje kompleksnh brojeva. U tom smslu modul kompleksnog broja x + y, poztvan realn broj z = x + y možemo tumačt kao udaljenost točke M(x, y) od shodšta koordnatnog sustava. Tu čnjencu lako je provjert s pomoću Ptagorna poučka. Udaljenost točke od shodšta Modul z = x + y kompleksnog broja z = x + y jednak je udaljenost točke M(x, y) od shodšta koordnatnog sustava. ( x,y) z y x Neka su zadana dva kompleksna broja z = x + y z = x + y. Tada vrjed: z z = (x x )+(y y ) = (x x ) +(y y ). U ovom zrazu prepoznajemo formulu za udaljenost dvju točaka u ravnn. Zato je z z udaljenost zme - du točaka z z u kompleksnoj brojevnoj ravnn. z z - z y-y z x-x Broj z z jednak je udaljenost točaka z z. Prmjer 5. Neka su dan kompleksn brojev z = +, z =, z = +. Onda je: z z = ( ( )) +( ( )) = 4 + = 5; z z = ( ( )) +( ) = 4 + = 7; z z = ( ( )) +( ( )) = 0 + 4 = 4.
KOMPLEKSNA RAVNINA.4 z z - z - Prmjer 6. Odredmo skup svh kompleksnh brojeva z za koje je z z 0 =, gdje je z 0 =. y Neka je kompleksn broj z = x + y rješenje zadatka. Uvrstmo ga u jednakost z z 0 =. Imamo redom: z z 0 = x + y ( ) = (x )+(y + ) = (x ) +(y + ) =. z 0 x Jednakošću (x ) +(y + ) = zapsano je da je udaljenost neke točke T(x, y) od dane točke S(, ) jednaka, odnosno da je ST =. Skup točaka T koje su od dane točke S udaljene za r jest kružnca sa sredštem u S polumjerom r. Drugm rječma, jednadžba z ( ) = ma beskonačno mnogo rješenja. To su sv kompleksn brojev kojma u kompleksnoj ravnn prpadaju točke na kružnc sa sredštem u točk S(, ) polumjerom r =. z 0 r z Općento, neka je z 0 = x 0 + y 0 blo koj kompleksan broj. Skup k = {z : z z 0 = r} je skup svh točaka z u kompleksnoj ravnn koje su od točke z 0 udaljene r.tojekružnca sa sredštem u točk z 0 polumjerom r. Takvu kružncu označavamo s k(z 0, r). Kad zračunamo modul broja z z 0, dobt ćemo jednadžbu kružnce sa sredštem u točk z 0 =(x 0, y 0 ) polumjerom r : (x x 0 ) +(y y 0 ) = r.
SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA Ako u ovoj jednadˇzb umjesto znaka jednakost stavmo znak, dobvenom c e - krug sa sredˇstem u toˇck z0 polumjerom r. nejednadˇzbom bt odreden Zadatak 4. Odred skup rjeˇsenja jednadˇzbe z =, gdje je z kompleksan broj. Kutak plus O FRAKTALIMA Sgurno se ptate kakve veze ma preljepa sˇ arena naslovnca ovog poglavlja s kompleksnm brojevma. E, pa kompleksn brojev maju brojne prmjene, a jedna posebno atraktvna su fraktal. Prˇcu o fraktalma zapoˇcel su u 0-m godnama proˇslog stolje ca francusk matematˇcar Perre Fatou Gaston Jula. No on nsu mal na raspolaganju mo cna raˇcunala pa su njhov radov tek utemeljl ovo podruˇcje matematke. Nakon nekolko desetlje ca Benoˆıt Mandelbrot, poljsk matematˇcar s francuskom putovncom, oˇzvljava prouˇcavanje fraktala jednm svojm radom u kojem se bav odgovorom na ptanje: Kolko je duga brtanska obala? (960. godne). Mandelbrot je uveo me fractal prema latnskom fractus rastrgan, zlomljen. Geometrja fraktala odgovara na raznovrsna ptanja opsuje stuacje koje nje mogu ce objasnt l nterpretrat klasˇcnom geometrjom. ˇ su fraktal? Pojednostavnjeno reˇceno fraktal Sto su samoslˇcn skupov toˇcaka. Drugm rjeˇcma, to su skupov toˇcaka cˇj je svak do slˇcan cjeln, cjelom skupu. Fraktal mogu nastat na razne naˇcne. Nek su rezultat neprekdnog sluˇcajnog ponaˇsanja (odatle zvre danas vrlo popularna teorja kaosa). Nek pak nastaju teracjama uzastopnm ponavljanjem nekog zadanog postupka, pr cˇemu se taj postupak moˇze defnrat tzv. rekurzvnm formulama. Ovm drugma prpada naˇs prmjer fraktala. To je tzv. Mandelbrotov skup, dobven z jedne jednadˇzbe u skupu kompleksnh brojeva, kojom se zadana teracja moˇze odvjat po volj dugo. Ta jednadˇzba glas: zn+ = zn + c. Dakle, Mandelbrotov skup je skup kompleksnh brojeva koj se dobje na sljede c naˇcn. Odabere se kompleksn broj c. Taj se broj kvadrra doda mu se st broj c te se dobje broj z. Zatm se kvadrra broj z, doda se c dobje z. Nastavlja se na jednak naˇcn. Kvadrra se z, doda c td. Broj c prpada Mandelbrotovu skupu ako vrjed zn za svak prrodn n. Odgovaraju ce toˇcke u ravnn obojene su crnom bojom, one cˇne Mandelbrotov skup. Ako je zn > za nek n, onda c ne prpada Mandelbrotovu skupu sve toˇcke koje maju st n obojene su stom bojom. Broj c znakovto se zove sjeme. Geometrjska predodˇzba Mandelbrotova skupa je fraktal. Kako dolaz do slnog sˇ arenla slke, te mnog drug detalj, vrlo se lako mogu doznat z oblja materjala na nternetu. 4
KOMPLEKSNA RAVNINA.4 Zadatc.4.. Odred modul z kompleksnog broja z ako je: ) z = + 4 ; ) z = ; ) z = ; 4) z =.. Odred z ako je ) z =( )( + ) ; ) z =( + )( + )( + ) ; ) z = ( )( ) ; 4) z =( + 4) ; 5) z =( ) (5 ) 4.. Izračunaj: ) 4 + 6 ; ) 5. 4. Kolko je z ako je ) z = 6 ; ) z = + + 7? 5. Kolko je z ako je ) z = 6. Odred w ako je (+)( ) ; ) 4 ( )(+). ) w = z z z, z = ; ) w = z z z, z = ; z ) w = z + z, z = ; 4) w = z z + z, z = +. 7. Kolko je z ako je ) z = u v u + v, u =, v = ; (u v) ) z = u, u =, v =? + v 8. Rješ u skupu C sljedeće jednadžbe: ) z + z = 0; ) z z = ; ) z+ +z+=0; 4) z + = z. 9. Odred: ) Im z + z + 789 z z,akoje z = ; ) Re z6 z + 444 z + z,akoje z = +. 0. Ako su z w kompleksn brojev te z = w = c, onda je z + w + z w = 4c. Dokaž!. Kružnc polumjera r = upsan je jednakostrančan trokut. ) ) z z z Odred kompleksne brojeve z, z z što su prdružen vrhovma trokuta. Provjer jesu l kompleksn brojev z, z z z zadatka ) rješenja jednadžbe z + = 0, a z zadatka ) jednadžbe z = 0.. Kružnc polumjera r = upsan je kvadrat. ) ) z z 4 z z z 4 z z z z z Odred kompleksne brojeve z, z, z z 4 što su prdružen vrhovma kvadrata. Provjer jesu l t brojev u zadatku ) rješenja jednadžbe z 4 = 0, a u zadatku ) jednadžbe z 4 + = 0. z 5
SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA. Kružnc polumjera r = upsan je pravln šesterokut. ) ) z 6 z 5 z z z Točno-netočno ptalce Koje su od sljedećh tvrdnj točne, a koje netočne? Odgovor, a odgovor obrazlož. z z 4. Imagnarna jednca je broj čj je kvadrat. z z z 4 z 6 z 5. Skup kompleksnh brojeva podskup je skupa realnh brojeva. Provjer jesu l kompleksn brojev koj odgovaraju vrhovma šesterokuta u zadatku ) rješenja jednadžbe z 6 = 0, a u zadatku ) jednadžbe z 6 + = 0. 4. Kompleksnom broju z prpada točka u kompleksnoj ravnn. Kolka je udaljenost te točke od shodšta ako je: ) z = + 4 ; ) z = 5 7 ; ) z =. 5. Kolka je udaljenost točaka koje su u ravnn prdružene brojevma z w ako je: ) z = + 7, w = 4 + ; ) z =, w = 5 + ; ) z = 4, w =? 6. Prkaž u kompleksnoj ravnn skup točaka odre- -denh uvjetom: ) z = z + ; ) z = z ; ) z + = z ; 4) z = z + + ; 5) z = z + ; 6) z = z. 7. Odred skup točaka u kompleksnoj ravnn što je odreden - uvjetom: ) z + = ; ) z = ; ) z + ; 4) z + > ; 5) < z + 4; 6) z <. 8. Prkaž u kompleksnoj ravnn skup svh točaka z za koje je z z +. 9. Prkaž u kompleksnoj ravnn skup svh točaka z za koje je z z +.. Ako je x =k, onda je x magnarn broj. 4. Brojev (a+)+(b ) (a )+(b+) nsu jednak n za koju vrjednost realnh brojeva a b. 5. Realn do kompleksnog broja ( )(4 )(6 ) je 48. 6. Imagnarn do kompleksnogbroja + 7 4 je. 7. Za svak prrodn broj n vrjed jednakost 8n+ =. 8. Konjugran broj broju ( + ) 0 je broj ( + ) 0. 9. Za svak kompleksn broj z vrjed z z = z. 0. Modul kompleksnog broja ( ) 4 je 5.. Udaljenost točke koja je u kompleksnoj ravnn prdružena broju z = + od shodšta koordnatnog sustava je.. z 4 je krug sa sredštem u shodštu koordnatnog sustava polumjerom duljne. 6