POLIEDRI. Ivana Bojović 171/03

POLIEDRI Ivana Bojović 171/03

Sadržaj Poliedarske površi...2 Prizma...5 Piramida...8 Zarubljena piramida...10 Pravilni poliedri...11 Površina poliedara...12 Površina prizme...12 Površina pravouglog paralelopipeda...13 Površina kocke...13 Površina piramide...13 Površina zarubljene piramide...15 Zapremina nekih poliedara...16 Zapremina kvadra(pravouglog paralelopipeda).16 Zapremina kocke...18 Kavalijerijev princip. Zapremina prizme...18 Zapremina piramide...19 Zapremina zarubljene piramide...19 Literatura...21 1

Poliedarske površi i poliedri Prosta poliedarska površ je unija konačnog broja mnogouglova, pri čemu su zadovoljeni sledeći uslovi: a) svaka stranica bilo kog mnogougla je stranica samo te površi ili samo još jedne, njoj susedne površi; b) svaka dva susedna mnogougla pripadaju dvema različitim ravnima; c) svaka dva nesusedna mnogougla mogu se povezati nizom mnogouglova iz tog skupa, tako da svaka dva uzastopna člana tog niza budu susedne površi. Slika:1 Na slici 1 prikazane su proste poliedarske površi, a na slici 2 složene poliedarske površi. Poliedarska površ je zatvorena ako sve stranice mnogouglova pripadaju po dvema površima, a otvorena ako neka od stranica mnogouglova pripada samo jednoj površi. 2

Slika:2 Mnogouglovi od kojih je sastavljena poliedarska površ nazivaju se strane (pljosni), a stranice i temena tih mnogouglova nazivaju se ivice i temena poliedarske površi. Prosta zatvorena poliedarska površ razdvaja skup svih tačaka prostora na dva disjunktna skupa: a) skup tačaka sa osobinom da za svaku tačku iz tog skupa postoji prava koja sa poliedarskom površi nema zajedničkih tačaka; b) skup tačaka sa osobinom da takva prava ne postoji. Prvi od ovih skupova naziva se spoljašnja oblast poliedarske površi, a drugi unutrašnja oblast. 3

Slika:3 Unija proste zatvorene poliedarske površi i njene unutrašnje oblasti naziva se poliedar. Pri tome se strane, ivice i temena poliedarske površi nazivaju stranama, ivicama i temenima poliedra. Duž cije su krajnje tačke dva temena poliedra koja ne pripadaju istoj strani naziva se dijagonala poliedra. Poliedri mogu biti konveksni (sl. 3) ili konkavni (sl. 4). U ovom radu će biti reči samo o konveksnim poliedrima. 4

Slika:4 Prizma Poliedar koji ima n + 2 strane (n 3, n - prirodan broj ), od kojih su dve n - tougaone i sadržane u dvema paralelnim disjunktnim ravnima, dok su sve ostale paralelogrami, naziva se n - tostrana prizma. Dve n - tougaone strane prizme (koje pripadaju paralelnim ravnima) nazivaju se osnove prizme. Ostale (paralelogramske) strane prizme nazivaju se bočne strane. Unija bočnih strana je bočna površ ili omotač prizme. 5

E1 A1 D1 B1 E C1 D A B C Slika:5 Petouglovi ABCDE i A B C D E na slici 5 su osnove, a paralelogrami ABB A, BCC B, CDD C, DEE D, EAA E su bočne strane prizme. Stranice n - tougaonih osnova prizme su osnovne ivice, a stranice bočnih strana su bočne ivice prizme. Bočne ivice prizme su medusobno paralelne. Temena osnova prizme su temena prizme (A, B, C, D, E, A, B, C, D, E na sl. 5). 6

M N Slika:6 Razlikujemo prave i kose prizme. Prizma je prava ako su njene bočne ivice normalne na ravni osnova (sl. 5), a ako bočne ivice nisu normalne na ravni osnova, prizma je kosa (sl. 6). Duž čiji krajevi pripadaju ravnima osnova prizme i koja je normalna na te ravni naziva se visina prizme. Kod prave prizme bilo koja bočna ivica je njena visina. Na sl. 6 visina kose prizme je duž MN. Prava prizma čije su osnove pravilni n - touglovi naziva se pravilna n - tostrana prizma. Prizma čije su osnove paralelogrami naziva se paralelopiped. Dužine triju ivica paralelopipeda koje imaju zajedničko teme nazivaju se dimenzije paralelopipeda. Prav paralelopiped čije su osnove pravougaonici naziva se kvadar. Sve strane kvadra su pravougaonici. Kvadar čije su sve strane kvadrati naziva se kocka. Presek prizme sa nekom ravni γ je: a) normalan (ako je ravan γ normalna na bočne ivice); b) paralelan (ako je ravan γ paralelna osnovama); c) dijagonalan (ako ravan γ sadrži dve nesusedne bočne ivice). 7

Piramida Poliedar koji ima n+1 strana (n 3, n - prirodan broj), od kojih je jedna n - tougao a sve ostale su trouglovi, naziva se n - tostrana piramida. S D E C A B Slika:7 Na sl. 7 prikazana je petostrana, a na sl. 8 trostrana piramida. n - tougaona površ naziva se osnova piramide, a sve ostale trougaone strane nazivaju se bočne strane. Unija svih bočnih strana čini omotač piramide. 8

V H A C O B Slika:8 Na sl. 7 osnova piramide je petougao ABCDE, trouglovi SAB, SBC, SCD, SDE i SEA su bočne strane piramide, a unija tih pet trouglova je omotač piramide. Stranice n - tougaone osnove piramide su osnovne ivice piramide, a stranice bočnih strana bočne ivice piramide. Na sl. 7 AB, BC, CD, DE, EA su osnovne ivice, dok su SA, SB, SC, SD, SE bočne ivice piramide. Sve bočne ivice piramide imaju jednu zajedničku tačku koja se naziva vrh piramide. Razlikujemo prave i kose piramide. Piramida je prava (sl. 7) ako su sve bočne ivice jednake, inače je kosa (sl. 8). Duž čiji su krajevi vrh piramide i normalna projekcija vrha na ravan osnove piramide naziva se visina piramide (H). Ako je piramida prava oko njene osnove može se opisati krug. Podnožje visine nalazi se u centru tog kruga. Ako je osnova prave piramide pravilan mnogougao, piramida je pravilna. 9

V H h D C O A B Slika:9 Visina bočne strane piramide koja polazi iz vrha piramide naziva se apotema i odgovara toj bočnoj strani. Ako je piramida pravilna (kada su sve bočne strane podudarne), to je apotema piramide (h) - sl. 9. Jednakoivična piramida je piramida čije su sve ivice iste dužine. Presek piramide sa nekom ravni γ je: a) paralelan (ako je ravan γ paralelna osnovi piramide ) b) dijagonalan (ako ravan γ sadrži dve nesusedne bočne ivice piramide). Zarubljena piramida Poliedar koji ima n+2 strane (n 3, n - prirodan broj), od kojih su dve homotetični n - touglovi u odnosu na neku tačku S, a sve ostale strane su trapezi čije se paralelne stranice poklapaju sa odgovarajućim stranicama n - touglova, naziva se n - tostrana zarubljena piramida. Ako se n - tostrana piramida preseče nekom ravni koja je paralelna ravni osnove, dobija se mnogougao homotetičan sa osnovom. Deo piramide izmedu tih homotetičnih površi je n - tostrana zarubljena piramida.na slici 10 prikazana je četvorostrana zarubljena piramida. 10

A1 D1 F B1 C1 S1 H h D C S2 E A B Slika:10 Homotetični mnogouglovi nazivaju se osnove zarubljene piramide, dok njen omotač sačinjavaju trapezi. Normala S 1 S 2 na ravni osnove (čiji krajevi pripadaju tim ravnima) naziva se visina zarubljene piramide. Zarubljena piramida je prava ako je nastala od prave piramide, a pravilna ako je nastala od pravilne piramide. Kod pravilne zarubljene piramide podudarne su sve bočne ivice, a bočne strane su podudarni jednakokraki trapezi. Visina svake bočne strane (trapeza) je apotema pravilne zarubljene piramide. Prava koja prolazi kroz vrh pravilne piramide i centar (centar opisane kružnice) osnove naziva se osa te piramide. Osa pravilne zarubljene piramide je prava koja prolazi kroz centar njenih osnova. Pravilni poliedri Konveksan poliedar je pravilan ako su sve njegove strane pravilni mnogouglovi i ako svi njegovi rogljevi imaju isti broj ivičnih uglova. Iz ove definicije sledi da su sve ivice pravilnog poliedra medusobno jednake, da su svi ivični uglovi medusobno podudarni i da su sve strane takode medusobno podudarne. Postoji tačno pet različitih vrsta pravilnih poliedara. To su: tetraedar, oktaedar, ikosaedar. heksaedar i dodekaedar. Ako n označava broj stranica pravilnog mnogougla (koji čini stranu poliedra), m broj ivica u jednom temenu poliedra, s broj strana, i broj ivica, a t broj temena poliedra, tada u svakom od navedenih pet slučajeva važi: 1) ako je n=3, m=3 tada je s=4, i=6, t=4; imamo pravilan tetraedar koji ima četiri strane (sve su jednakostranični trouglovi); 11

2) ako je n=3, m=4 tada je s=8, i=12, t=6; imamo pravilan oktaedar koji ima osam strana (sve su jednakostranični trouglovi); 3) ako je n=3, m=5 tada je s=20, i=30, t=12; imamo pravilan ikosaedar koji ima dvadeset strana (sve su jednakostranični trouglovi); 4) ako je n=4, m=3 tada je s=4, i=12, t=8; imamo pravilan heksaedar (kocku) koji ima šest strana (sve su kvadrati); 5) ako je n=5, m=3 tada je s=12, i=30, t=20; imamo pravilan dodekaedar koji ima dvanaest strana (sve su pravilni petouglovi). Površine poliedara Površina poliedra je zbir površina svih mnogouglova koji obrazuju njegovu poliedarsku površ. Površina prizme Ako sa P označimo površinu prizme, sa B površinu njene osnove a sa M površinu omotača, tada je prema definiciji površina prizme P = 2B + M Teorema 1: Površina omotača bilo koje prizme jednaka je proizvodu obima normalnog preseka i dužine njene bočne ivice. A1 A5 A4 B1 A2 B5 A3 B4 A1 B2 B3 A5 A4 A2 A3 Slika:11 Dokaz: Neka je A 1 A 2...A n A 1A 2...A n prizma i B 1 B 2...B n njen normalan presek obima s. Na sl. 11. predstavljen je slučaj n = 5. Neka je b dužina 12

bočne ivice. Sve bočne strane su paralelogrami a stranice normalnog preseka su njihove visine. Zato imamo: P(A 2 A 3 A 3 A 2 ) = b B 2B 3, P(A 3 A 4 A 4 A 3 ) = b B 3B 4,... P(A 1 A 2 A 2A 1) = b B 1 B 2. Sabiranjem ovih jednakosti dobija se: P(A 2 A 3 A 3 A 2 ) + P(A 3A 4 A 4 A 3 ) +... + P(A 1A 2 A 2 A 1 ) = b B 2B 3 + B 3 B 4 +... + B 1 B 2 ), tj. M = sb, gde je s obim normalnog preseka prizme. Ako je prizma prava, dužina bočne ivice jednaka je visini a normalni presek je mnogougao podudaran osnovi prizme. Dakle, b=h i s=p, gde je p obim osnove, pa je površina omotača prave prizme M = ph. Površina pravouglog paralelopipeda Neka su dimenzije paralelopipeda a, b, c. Ako je osnova pravougaonik sa stranicama a i b, tada je: M = 2(a + b) c, P = 2B + M = 2ab + 2(a + b) c, tj. P = 2(ab + ac + bc). Površina kocke Ako je dužina ivice kocke a, tada je B = a 2, M = 4a 2, P = 2a 2 + 4a 2, tj. P = 6a 2. Površina piramide Ako je B površina osnove piramide a M površina njenog omotača, onda za površinu piramide važi P = B + M. U opštem slučaju, površina omotača piramide nalazi se na taj način što se pojedinačno izračunavaju površine svih strana koje sačinjavaju omotač. Specijalno, ako je piramida pravilna, omotač sačinjavaju podudarni trouglovi, pa je odredivanje površine jednostavnije. Neposredno se dobija da je površina omotača pravilne piramide M = p h 2, gde je p obim osnove piramide, a h je njena apotema. 13

h a Slika:12 Dakle, ako je a osnovna ivica, a h apotema, površina omotača pravilne n - tostrane piramide je M = n a h 2 (sl. 12). Ako je poznata površina osnove B i ako bočne strane piramide zahvataju sa ravni osnove isti ugao ϕ, tada je površina omotača M = B/ cos ϕ. Zaista, neka je A 1 A 2...A n osnova piramide i neka je SO visina piramide (sl. 13.). Ako je SM visina strane SA 1 A 2, na osnovu teoreme o tri normale zaključujemo da je OM visina trouglaoa 1 A 2. Pri tome je OM = SM cosϕ. Zato je površina bočne strane SA 1 A 2 : A 1 A 2 SM/2 = A 1 A 2 OM/(2 cosϕ), tj. P( A 1 A 2 S) = P( A 1 A 2 O)/ cosϕ. Analogno se dobija P( A k A k+1 O)/ cosϕ, (k = 1, 2, 3,..., n), gde smatramo da se tačke A n+1 i A 1 poklapaju. Sabirajući ove jednakosti za k = 1, 2, 3,..., n dobija se M = B/ cosϕ. 14

S A1 M A2 O A3 Slika:13 Površina zarubljene piramide Ako su B i B površine osnova, a M površina omotača zarubljene piramide, tada je njena površina P = B + B + M. 15

E1 D1 F1 O1 N1 C1 A1 B1 D E h O C F N A B Slika:14 U opštem slučaju, površina omotača zarubljene piramide odreduje se tako što se izračunavaju pojedinačno površine svih bočnih strana (sl. 14). Tada je M = P(BCC 1 B 1 ) + P(CDD 1 C 1 ) +... + P(ABB 1 A 1 ). Ako je reč o pravilnoj n - tostranoj zarubljenoj piramidi, tada sve bočne strane imaju jednake površine, pa je površina omotača M = n 1s 2 (a1 + a2) h = 2 (p1 + p2) h, gde su a1 i a2 stranice pravilnih mnogouglova u osnovama, p1 i p2 obimi tih površi, dok je h apotema pravilne n - tostrane zarubljene piramide. Zapremina nekih poliedara Zapremina kvadra (pravouglog paralelopipeda) Teorema 2: Zapremina pravouglog paralelopipeda jednaka je proizvodu njegove tri dimenzije. Dokaz: Razmotrimo prvo slučaj kada su dimenzije paralelopipeda a,b,c prirodni brojevi. U tom slučaju, sa pravama koje su paralelne stranicama osnove ABCD, ta osnova može da se izdeli na ab jediničnih kvadrata. Ako se na svaki od tih kvadrata postavi jedinična kocka, dobiće se sloj čija je visina jednaka jedinici dužine. Ceo paralelopiped može se popuniti sa c takvih slojeva. Dakle, pravougli paralelopiped je popunjen sa abc disjunktnih jediničnih kocaka, pa je njegova zapremina V=abc 16

D C A B D C b A a B Slika:15 Ako se dimenzije a,b i c pravouglog paralelopipeda izražavaju racionalnim brojevima, tada se svodenjem tih brojeva na zajednički imenilac n dobija a=p/n, b=q/n, c=r/n, gde su p,q i r celi brojevi. Paralelopiped je popunjen sa pqr kocaka, sa ivicom dužine 1/n. Kako je jedinična kocka sastavljena iz n 3 takvih kocaka, zapremina svake od njih je 1/n 3. Prema tome, zapremina celog paralelopipeda je V = pqr(1/n 3 ) = (p/n)(q/n)(r/n) = abc. 17

c C b A a B Slika:16 Tvrdenje je tačno i u slučaju kada su iracionalni brojevi. Dakle, u svakom slučaju zapremina svakog pravouglog paralelopipeda jednaka je proizvodu njegovih dimenzija. Zapremina kocke Neka je a dužina ivice kocke. Iz formule za zapreminu pravouglog paralelopipeda, uzimajući da je a=b=c dobija se formula za zapreminu kocke V = a 3. Kavalijerijev princip. Zapremina prizme Za izračunavanje zapremine geometrijskih tela često se koristi princip koji je formulisao italijanski matematičar, Bonaventura Kavalijeri: Ako se dva tela mogu dovesti u takav položaj da ih svaka ravan koja ih seče, a paralelna je datoj ravni, seče po presecima jednakih površina, onda ta dva tela imaju jednake zapremine. Teorema 3: Zapremina prizme jednaka je proizvodu površine osnove i visine. Dokaz: Neka je B površina osnove prizme AB...EA 1 B 1...E 1 i H visina te prizme. Posmatramo istovremeno pravougli paralelopiped visine c=h čija osnova ima površinu a b = B. Osim toga, neka osnove prizme i paralelopipeda leže u ravnima α i β. Presecimo prizmu i paralelopiped sa proizvoljnom ravni γ (γ α β). Preseci su mnogouglovi A 2 B 2...E 2 i M 2 N 2 P 2 Q 2. Kako je A 2 B 2...E 2 podudarno sa AB...E i M 2 N 2 P 2 Q 2 podudarno sa MNPQ, a površine osnova su jednake, to su i površine preseka sa ravni γ jednake, tj. B(A 1 B 2...E 2 ) = 18

B(M 2 N 2 P 2 Q 2 ). Dakle, preseci prizme i pravouglog paralelopipeda bilo kojom ravni γ koja je paralelna ravni osnova, imaju jednake površine. Na osnovu Kavalijerijevog principa ta dva tela imaju jednake zapremine. Medutim, zapremina paralelopipeda je V=abc=(ab)c=BH, pa je i zapremina prizme jednaka V=BH. Zapremina piramide Teorema 4: Dve piramide sa osnovama jednakih površina i jednakim visinama imaju jednake zapremine. Teorema 5: Zapremina piramide jednaka je trećini proizvoda površine osnove i visine. Dokaz: Posmatrajmo trougaonu piramidu VABC visine H sa površinom osnove B. Neka je ABCA 1 V C 1 trougaona prizma koja sa tom piramidom ima zajedničku osnovu ABC, a jedna od bočnih ivica prizme se poklapa sa bočnom ivicom piramide, na primer BV. Jasno je da je visina dobijene prizme takode jednaka H. Odsecimo od prizme posmatranu piramidu VABC, a preostali deo prizme presecimo ravni kroz tačke V,C i A 1. Na taj način je prizma razložena na tri piramide: VABC, VACA 1 i VA 1 CC 1. Uporedimo zapremine te tri piramide. Na osnovu teoreme 4 imamo VVACA 1 =VVA 1 CC 1 jer je: 1) P( ACA 1 ) = P( A 1 CC 1 ); 2) rastojanje od tačke V do ravni trougla ACA 1 jednako rastojanju od tačke V do ravni trougla CC 1 A 1. Isto tako je VVABC=VVCA 1 C 1 jer je: 1) P( ABC) = P( V A 1 C 1 ); 2) rastojanje od tačke V do ravni trougla ABC jednako rastojanju od tačke C do ravni trougla A 1 V C 1. Iz ovoga sledi jednakost sve tri piramide. Dakle, prizma je razložena na tri piramide jednakih zapremina pa je zapremina svake od tih piramida jednaka trećini zapremine prizme, tj. 1 3BH. Na osnovu teoreme 3 zaključujemo da zapremina piramide ne zavisi od oblika osnove, nego samo od površine osnove i visine. Prema tome, zapremina bilo koje piramide jednaka je trećini zapremine prizme koja ima sa tom prizmom jednaku površinu osnove B i jednaku visinu H. Iz formule za zapreminu prizme sledi da je zapremina piramide V = 1 3 BH. Zapremina zarubljene piramide Teorema 6: Ako je visina zarubljene piramide H i površine njenih osnova B i B 1 onda je zapremina te zarubljene piramide data formulom V = H 3 (B + BB1 + B 1 ). 19

V h1 A1 D1 O1 B1 C1 h D O C A B Slika:17 Dokaz: Dopunimo zarubljenu piramidu do pune piramide. Dobijena piramida ima osnovu površine B i visinu h, a dodatna piramida ima osnovu površine B 1 i visinu h 1 = h H. Zapremina zarubljene piramide može se predstaviti kao razlika zapremina dve piramide, tj. V =V-V 1, gde je V = Bh 3 i V 1 = B1h1 3. Dakle, V = 1 3 (Bh B 1h 1 ). Na osnovu svojstva paralelnog preseka piramide je: B B 1 = h2 h 2 1 odakle je B = B1h2, ili h 2 1 V = 1 3 ( B1h2 h h 2 1 h 2 +hh 1+h 2 1 h 2 1 B 1 h 1 ) = B1 3 h3 h 3 1 h 2 1 = B1H 3 ( h2 + h h 2 1 h 1 + 1)., to je Kako je B B 1 = h2 h 2 1 h B h 1 = B 1, ili V = B1H 3 ( B B B 1 + B 1 + 1) = B1HB 3B 1 + B1H BB 1 3B 1 B 1H 3 = H 3 (B + BB 1 + B 1 ). Dakle, formula za zapreminu zarubljene piramide je V = H 3 (B + BB 1 + B 1 ). = B1 3 (h h1)(h2 +h 1+h 2 1 ) h 2 1 = B1H 3 + B1H 3B 1 = BH 3 + H BB 1 3 + 20

Literatura 1.Matematika sa zbirkom zadataka za 3. razred srednje škole, Gradimir Vojvodić, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd, 2003. 2.Matematika sa zbirkom zadataka za 3. razred srednje škole, Jovan D. Kečkić, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd, 2001. 21