29 Poliedarske površi
|
|
- Μακάριος Ζάππας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 29 Poliedarske površi Poliedarska površ M je objekat koji se sastoji od konačno mnogo temena (tačke), ivica (duži) i pljosni (konveksni poligoni) koji zadovoljavaju sledeće uslove: 1. svako teme mora da pripada bar dvema ivicama; 2. svaka ivica je pripada bar jednoj pljosni(ivica ruba), a najviše dvema pljosnima (unutrašnja ivica); 3. presek dve pljosni može biti samo ivica. Skup temena označavamo sa T, ivica sa I, a pljosni sa P. Podrazumeva se da ivice svih pljosni pripadaju skupu svih ivica, a temena svih ivica, skupu temena. U algoritmima se obično zahteva da pljosnji budu trouglovi. Mi smo u definiciji oslabili taj uslov zato što se konveksni poligoni mogu jednostavno i brzo triangulisati. Primetimo da je konveksni poligon obavezno ravanski. D P Q C L M A B K N Slika 34: ABCD jeste, a KLMNPQ nije poligonska površ Unija svih ivica koje pripadaju samo jednoj pljosni (tj. svih rubnih ivica) naziva se rub poliedarske površi. Poliedarsku površ bez ruba zvaćemo poliedrom. Pljosni koje imaju zajedničku ivicu nazivamo susednim. Poliedarska površ je povezana ako je svake dve njene pljosni moguće povezati nizom susednih pljosni. Primer 29.1 Tetraedar ABCD je primer poliedra. Njegove pljosni su P = {ABC, ABD, ACD, BCD} ivice I = {AB, AC, AD, BC, BD, CD}, a temena T = {A, B, C, D}. Narednu teoremu nećemo dokazivati zbog složenosti dokaza. Teorema 29.1 Poliedar razlaže prostor na dve oblasti, (njih zovemo unutrašnjost i spoljašnost) Tabela temena i povezanosti Da bi se algoritmi koji rade sa poliedrima lakše implementirali i bili efikasniji potrebno je podatke o poliedru čuvati u odredjenoj strukturi podataka. Najjednostavniji način da se zada poliedar jeste da se zada niz temena sa koordinatama, i da se zadaju pljosni indeksima temena. Na primeru jednostavnog tetraedra to bi izgledalo ovako: Niz temena zovemo T i on je u slučaju tetraedra dužine 4 : T 0 = (0, 0, 0), T 1 = (1, 0, 0), T 2 = (0, 1, 0), T 3 = (0, 0, 1) 67
2 Brojevi u zagradama su koordinate temena. Ako koordinate temena nisu zadate, poliedar nazivamo apstraktni. Niz pljosni, tj. takozvana povezanost temena bi izgledala ovako: P 0 = 1, 2, 3, P 1 = 0, 2, 3, P 2 = 0, 1, 3, P 3 = 0, 1, 2. To zapravo znači da je pljosan P 0 odredjena temenima T 1, T 2 i T 3 i tako dalje. U slučaju tetraedra sve pljosni su trouglovi, ali ukoliko poliedarska površ nije triangulisana to mogu biti bilo koji koveksni mnogouglovi. Tada je važno da se temena pljosni navode redom, tj. tako da svaka dva uzastopna čine ivicu. Iz ovih osnovnih podataka sada se pravi složenija struktura podataka: Pravi se lista ivica. Svaka ivica je struktura koja pored dva indeksa temena kojima je odredjena sadrži i indekse (jedne ili dve) pljosni kojima pripada. Pravi se lista temena. Svako teme je struktura koja pored koordinata same tačke sadrži i listu ivica kojima pripada i listu pljosni kojima pripada. Pljosan je takodje struktura. Ona obično sadrži indekse temena, mada joj se može dodati i lista ivica koje pripadaju toj pljosni. Strukture Ivica, Teme, Pljosan mogu da sadrže i druge informacije kao što su boja, debljina, tekstura... Primer 29.2 a) Da li je p 0 = 0, 1, 2, p 1 = 2, 1, 6, 5, p 2 = 2, 5, 4, 3, p 3 = 3, 1, 6, 4 poliedar? b) Odrediti skup ivica. c) Ako je u pitanju poliedar odrediti mu rub i broj komponenata ruba. Rešenje: S obzirom da koordinate temena T 0,..., T 6 nisu date ne možemo proveriti uslov 3) iz definicije poliedra. Kazemo da se radi o apstraktnom poliedru. Pri zadavanju tabelom temena i povezanosti, uslov 1) se podrazumeva pa nam preostaje da ispitamo samo uslov 2). Dakle treba odrediti skup ivica i proveriti koliko se puta svaka ivica javlja. Ako se javlja jedanput, to je ivica ruba; ako se javlja dvaput to je unutrašnja ivica; ako se javlja triput onda se ne radi o poliedru. Oznaka p 0 = 0, 1, 2 znači da su ivice pljosni p 0, upravo T 0 T 1, T 1 T 2, T 2 T 0. Ivice T 0 T 1 i T 2 T 0 ne nalazimo ni u jednoj drugoj pljosni, pa su to rubne ivice. Ivica T 1 T 2 se nalazi i u pljosni p 1, pa je to unutrašnja ivica. Sličnim rezonovanjem dolazimo do skupa ivica (oznake su redukovane) od čega su rubne ivice I = {01, 12, 20, 16, 65, 52, 54, 43, 32, 31, 64} R = {01, 20, 65, 54, 32, 31, 64}. Kako se svaka ivica javlja najviše dva puta, radi se o poliedru. Da bismo odredili rub, krenimo od prve ivice iz R, ivice 01. Njen kraj je teme T 1. To se teme nalazi i u ivici 31 R, pa su te dve ivice nadovezane, pa je trenutna rubna linija 013. Teme T 3 se nalazi u ivici 32, pa rubna linija postaje 0132, a teme T 2 se nalazi u ivici 20, pa se rubna linija zatvara, tj. postaje 01320, tj. četvorougao T 0 T 1 T 3 T 2 je jedna komponenta ruba. Kako ovim nismo iskoristili sve rubne ivice, ponavljamo postupak od prve neiskorištene ivice 65. Dobijamo da je trougao T 6 T 5 T 4 druga komponenta ruba, tako da rub ima dve komponente. 68
3 29.1 a) Da li sledeća tabela temena i povezanosti zadaje (apstraktni) poliedar? p 0 = 0, 1, 4, p 1 = 1, 2, 3, 4, p 2 = 3, 7, 8, 4, p 3 = 3, 6, 5, 4. b) Nacrtati! 29.2 Neka je T 1 T 2 T 3 T 4 T 0 četvorostrana piramida sa vrhom T 0. a) Napisati tabelu temena i povezanosti (tj. navesti pljosni piramide). b) Izvršiti triangulaciju pljosni i napisati odgovarajuću tabelu temena i povezanosti Data je poliedarska površ pljosnima p 0 = 1, 2, 3, p 1 = 4, 5, 6, p 2 = 1, 2, 4, p 3 = 4, 5, 2, p 4 = 3, 5, 2, p 5 = 3, 6, 5. p 6 = 6, 3, 1, p 7 = 4, 6, 1. a) Odrediti joj rub i broj komponenata ruba b) Skicirati površ (Rešenje: triangulisana trostrana prizma) 29.4 Data je poliedarska površ pljosnima p 0 = 5, 6, 7, p 1 = 1, 3, 0, p 2 = 4, 0, 1, 5, p 3 = 6, 2, 1, 5, p 4 = 7, 6, 2, 3, p 5 = 3, 0, 4, 7. a) Odrediti rub te površi i broj komponenata ruba. b) Skicirati površ (Rešenje: Kocka, sa cijih su suprotnih strana isečena dva trougla) Orjentabilnost poliedarske površi U matematici se pojam orjentabilnosti smatra teškim. Ipak, na poliedarskim površima orjentacija se jednostavno definiše. Pretpostavimo da je M povezana poliedarska površ čije su sve pljosni orjentisani poligoni. Kažemo da dve pljošni sa zajedničkom ivicom su iste orjentacije, ako različito orjentišu zajedničku ivicu. Slika 35: Susedne pljosni iste i različite orjentacije Definicija 29.1 Povezana poliedarska površ M je orjentabilna ako njene pljosni možemo orjentisati tako da su svake dve susedne pljosni iste orjentacije. Ako postoji, takvu orjentaciju svih pljosni zovemo orjentacijom površi i označavamo sa O. Dokažimo sada da postoje tačno dve orjentacije orjentabilne površi M. Neka je p 0 proizvoljna pljosan površi M. Ta pljosan ima dve moguće orjentacije. Ako izaberemo jednu od njih, možemo orjentisati njoj susedne pljosni, a zatim njima susedne itd. i na taj način orjentisati sve pljosni površi. Zahvaljujući orjentabilnosti ovaj proces će ispravno funkcionisati. U zavisnosti od toga da li se izabrana orjentacija pljosni p 0 pokalapala sa njenom orjentacijom u O, ili ne, isto će da važi za orjentaciju svih ostalih pljosni. Dakle, postoje tačno dve orjentacije orjentabilne površi M. Kod neorjentabilnih poliedarskih površi ovaj proces, koji nazivamo uskladjivanje orjentacija pljosni, nije dobro definisan. 69
4 Primer 29.3 Dokažimo da je tetraedar T 0 T 1 T 2 T 3 orjentabilna površ. Krenimo od orjentacije pljosni p 0 = 1, 2, 3. Ona ivicu 2, 3 (baš na taj način), pa susedna pljosan p 1 mora da ima orjentaciju p 1 = 3, 2, 0. Opet, pljosan p 0 odredjuje orjentaciju ivice 3, 1, pa i njoj susedne pljosni p 2 = 1, 3, 0. Konačno, Opet, pljosan p 0 odredjuje orjentaciju ivice 1, 2, pa i njoj susedne pljosni p 3 = 2, 1, 0. Na taj način smo orjentisali sve pljosni tetraedra uskladjujući orjentacije na ivicama 2, 3, 3, 1, 1, 2. Potrebno je proveriti da je orjentacija uskladjena i na ivicama 0, 1, 0, 2, 0, 3. Recimo, ivica 0, 1 je orentisana kao 0, 1 u pljosni p 2, a kao 1, 0, što je u redu. Slično se proverava za ivice 0, 2, 0, 3, pa je tetraedar orjentabilan, a p 0, p 1, p 2, p 3 jedna (od dve) njegove orjentacije. Ovaj primer je zapravo specijalan slučaj jednog mnogo jačeg tvrdjenja. Teorema 29.2 Svaki poliedar u prostoru R 3 je orjentabilan. Ovu teoremu nećemo dokazivati. Napomenimo da teorema ne važi za apstraktne poliedre, već samo za one koji zadovoljavaju uslov 3) definicije poliedarske površi! 29.5 Upotrebom prethodne teoreme izvesti da je poliedarska površ iz Zadatka 29.3 orjentabilna. Primer 29.4 Dokažimo da je poliedarski model Mebijusove trake neorjentabilna površ. (radjeno na predavanjima) Slika 36: Poliedarski modeli Mebijusove trake sa 10 i 50 trouglova Na slici 36 su data dva poliedarska modela Mebijusove trake. Za prvi od njih je pokazano da je neorjentabilan, a slično se može pokazati i za drugi. Nama je intuitivno jasno da će svaki poliedarski model Mebijusove trake biti neorjentabilan, ali to nije lako dokazati. To je cena lake definicije orjentabilnosti poliedarske površi. Naime, može se pokazati da važi sledeća teorema, a mi je navodimo bez dokaza. Teorema 29.3 Poliedarski modeli neke glatke površi su ili svi orjentabilni ili svi neorjentabilni. 70
5 Iz te teoreme sledi da je orjentabilnosti osobina površi. Koristeći ovu teoremu možemo lako videti da su neke poliedarske površi orjentabilne. Recimo, pošto su i tetraedar i kocka poliedarski modeli sfere, a tetraedar je orjentabilan, zaključujemo da je i kocka orjentabilna. Iskoristimo ovu priliku da uočimo neke interesantne osobine Mebijusove trake: Jednostrana je. Rub Mebijusove trake je jedna linija. Kada je prerežemo uzdužno (po sredini) dobijamo jednu traku, ali dva puta uvrnutu. Kada i tu traku prerežemo dobijamo dve trake, ali ulančane. Proveriti! 29.6 Data je poliedarska površ pljosnima p 0 = 0, 1, 2, p 1 = 3, 0, 2, p 2 = 0, 5, 6, p 3 = 1, 2, 4, p 4 = 6, 7, 4, p 5 = 7, 1, 6,p 6 = 6, 0, 1, p 7 = 4, 6, 5,p 8 = 3, 5, 2, p 9 = 4, 2, 5. a) Odrediti rub te površi i broj komponenata ruba. b) Ako je data orjentacija pljosni p 0 = 0, 1, 2, izvršiti uskladjivanje orjentacija pljosni. Da li je površ orjentabilna? 29.7 Data je poliedarska površ pljosnima p 0 = 0, 1, 5, 4, p 1 = 6, 2, 1, 5, p 2 = 4, 3, 7, 0, p 3 = 3, 6, 7, p 4 = 3, 6, 2. a) Odrediti rub te površi i broj komponenata ruba. b) Izvršiti uskladjivanje orjentacija pljosni. Da li je površ orjentabilna? 71
6 U nastavku, jednostavnosti radi, posmatramo triangulisanu poliedarsku površ sa orjentisanim pljosnima (tj. poredak temena u pljosni je važan). Svakoj pljosni p m = T i T j T k = i, j, k pridružujemo orjentisani normalni vektor n m = T i T j T i T k. (ovde je redosled indeksa važan!) Neka su p 1 = T 0 T 1 T 2 i p 2 = T 3 T 2 T 1 dve susedne pljosni poliedarske površi. Poluravni sa rubom T 1 T 2 koje sadrže T 0 i T 3 razbijaju prostor na dva diedra. Primetimo da normalni vektori n 1 = T 0 T 1 T 0 T 2, n 2 = T 3 T 2 T 3 T 1 pripadaju istom diedru (reći cemo su lokalno sa iste strane poliedarske površi ) ako i samo ako su te pljosni iste orjentacije. 6 n 1 T 2 n2 2 T 3 T 0 T 1 Slika 37: Normale isto orjentisanih pljosni Dakle, uslov da je površ orjentabilna, tj. da svake dve susedne pljosni možemo isto orjentisati je ekvivalentna uslovu da pljosnima možemo pridružiti normalne vektore, tako da su svaka dva susedna normalna vektora lokalno sa iste strane površi. Neka je sada poliedarska površ bez ruba, tj. poliedar. Prema teoremi ona razbija prostor na unutrašnost i spoljašnost. Ako izaberemo normale na pljosni da one pokazuju, recimo, ka spoljašnosti tada će svake dve susedne normale biti sa iste strane površi pa će površ biti orjentabilna. Dakle: Teorema 29.4 Svaki poliedar je orjentabilna površ (tj. u prostoru ne postoje neorjentabilne površi bez ruba). Podsetimo se da poliedarska površ, pa i poliedar, po definiciji nema samopreseka. Ako dozvolimo sampreseke tada postoje primeri neorjentabilnih poliedara u prostoru. Jedan od njih je Klajnova flaša Značaj orjentabilnosti za kompjutersku grafiku Šta god da radimo sa poligonskom površi, bilo da je projektujemo, osvetljavamo ili transfomišemo, potrebno je razmatrati sve pljosni površi. Tačnije, ne baš sve, već samo one koje su vidljive. Na taj se način postiže mnogo veća efikasnost ako se mogu raspoznati vidljive od nevidljivih pljosni. Upravo to se može uraditi orjentacijom površi. 72
7 n 3 n 0 O M 0 n 2 n 1 Slika 38: Odredjivanje vidljivosti uz pomoć normala na pljosni Prvo treba izabrati orjentaciju površi, tj. izvršiti proces uskladjivanje orjentacija pljosni. Time su i normale n i svih pljosni p i uskladjene, tj. sve su ili spoljašnje ili unutrašnje. Neka se za pljosan p 0 zna da je vidljiva iz tačke posmatranja O. Ako za njen normalni vektor n 0 važi n 0 M 0 O< 0 (gde je M 0 neka tačka te pljosni, može i teme), tj. ako vektor n 0 pokazuje u pravcu tačke O tada su vidljive samo one pljosni p i za čiji normalni vektor n i i ma koju tačku M i p i važi: n i M i O< 0. Ako je n 0 M 0 O> 0 onda i u prethodnoj formuli treba da stoji suprotan znak nejednakosti. Pored vidljivosti, orjentacija tj. izbor spoljašnje normale je važan i za druge primene. Recimo, kada želimo da odredimo da li se tačka nalazi unutar konveksnog poliedra. Čitaocu se ostavlja da razmisli o algoritmu koji rešava taj problem Ojlerova karakteristika površi Definicija 29.2 Ojlerova karakteristika poliedarske površi M je broj ξ(m) = T I + P, gde su T, I i P redom brojevi temena, ivica i pljosni te poliedarske površi. Nije teško pokazati da se ovaj broj ne menja ako izvršimo triangualciju poliedarske površi. Mnogo teže i važnije tvrdjenje je dato sledećom teoremom koju nećemo dokazati. Teorema 29.5 Svake dva poliedarska modela glatke površi imaju jednake Ojlerove karakteristike. Dakle, kao i orjentabilnost i Ojlerova karakteristika je osobina površi, a ne njenog konkretnog poliedarskog modela. Ojlerova karakteristika opisuje neke važne geometrijske osobine površi koje ćemo sada samo intuitivno objasniti i dati bez dokaza. 1) Ako je M poliedar i r rod poliedra (on se intuitivno definiše kao broj rupa ) tada važi: ξ(m) = 2 2r. Recimo rod modela sfere, kao što su tetraedar, kocka je jednak 0 jer oni nemaju rupa. Odatle je ξ(m) = 2 kad god je površ reda nula. 73
8 Ako je M model torusa tada je ξ(m) = 0, jer torus ima jednu rupu, tj. r = 1. 2) Ako je M orjentabilna površ sa rubom iz jednog komada (recimo model polusfere) tada je ξ(m) = 1. Ojlerova karakteristika je značajna jer kada su napravi tabela temena i povezanosti za neku površ, računanje Ojlerove karakteristike može biti potvrda da je tabela konzistentno napravljena Platonova tela Topološki pravilnim poliedrom zovemo poliedar nultog roda čije su sve pljosni poligoni sa q ivica, a svako u svakom temenu se sustiče jednak broj p ivica. Ako još zahtevamo da su sve te ivice jednake dužine onda takav poliedar zovemo pravilan poliedar ili Platonovo telo. Teorema 29.6 Postoji tačno pet topološki pravilnih poliedara. Označimo sa T, I i P redom brojevi temena, ivica i pljosni poliedra. Kako je poliedar roda nula važi T I + P = 2. (48) Pošto je svaka pljosan poligon sa q ivica i svaka ivica je zajednička za dve pljosni važi Pq = 2I. Pošto se u svakom temenu sustiče p ivica, a svaka ivica ima dva temena važi T p = 2I. Zamenimo li te dve relacije u (48) nakon deljenja sa 2I dobijamo 1 p + 1 q = I > 1 2. (49) Jedina celobrojna rešenja (p, q) za p, q > 2 te nejednačine su: (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3). Njima odgovaraju poliedri koje zovemo tetraedar, kocka, oktaedar, dodekaedar i ikosaedar, a čije su osobine date u tabeli. Ti poliedri zaista postoje. Koordinate njihovih temena i povezanost dati su u Dodatku Zadaci poliedar p q T I P tetraedar kocka oktaedar dodekaedar ikosaedar Date su susedne pljosni p 0 = 0, 1, 2, p 1 = 2, 0, 3 neke površi. Ako su koordinate temena T 0 (1, 0, 1), T 1 = (0, 0, 2), T 2 = (1, 2, 0), T 3 (0, 0, 0), odrediti jednične normale tih pljosni koje su lokalno sa iste strane Dat je tetraedar ABCD temenima A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0) i D(0, 0, 1). Odrediti spoljašnje (ili unutrašnje) normale svih pljosni tetraedra Data je poliedarska površ p 0 =, p 0 = 0, 1, 4, 3, p 1 = 1, 2, 5, 4, p 2 = 2, 0, 3, 5, p 3 = 6, 8, 5, 3, p 4 = 6, 3, 4, 7, p 5 = 4, 5, 8, 7, p 6 = 8, 7, 1, 2, p 7 = 0, 1, 7, 6, p 8 = 0, 6, 8, 2. a) Dokazati da je ona poliedar, tj. da nema rub. b) Izračunati njenu Ojlerovu karakterisku i broj rupa. 74
9 29.11 Odrediti Ojlerovu karakteristiku Mebijusove trake Koristeći relaciju (49) i Pq = 2I, Tp = 2I proveriti da se za pet rešenja (p, q) zaista dobijaju vrednosti brojeva ivica, plosni i temena I, P, T date u tablici Platonovih tela. 75
Naime, konus je gladak u svim tačkama sem u temenu M 0 (0,0,0), gde ima špic i gde tangenta ravan nije jedinstveno odredjena. ( f x, f.
14 Površi u prostoru Najjednostavnija površ u prostoru je svakako ravan, koja se zadaje linearnom jednačinom ax + by + cz + d = 0. Sfera poluprečnika r zadaje se kao skup rešenja kvadratne jednačine f(x,y,z)
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
POLIEDRI. Ivana Bojović 171/03
POLIEDRI Ivana Bojović 171/03 Sadržaj Poliedarske površi...2 Prizma...5 Piramida...8 Zarubljena piramida...10 Pravilni poliedri...11 Površina poliedara...12 Površina prizme...12 Površina pravouglog paralelopipeda...13
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Jednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Analitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Binarne relacije. Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije.
Binarne relacije Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije. Kaže se i da je ρ binarna relacija sa skupa A u skup B (kao u [MP]).
Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Sistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.
Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki
Funkcije. Predstavljanje funkcija
Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,