SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA CHEMICKEJ A POTRAVINÁRSKEJ TECHNOLÓGIE Ústav informatizácie, automatizácie a matematiky Semestrálny projekt E-learning: Proseminár z matematiky a Matematika I Vypracovali: Natália Mikušová Martin Mišenko Michaela Plekancová Kinga Batárová Simon Koniar Ivan Komžík Ivan Getta Vedúci projektu: Ing. Marián Gall, PhD, Mgr. Ľubomíra Horanská, PhD. Bratislava 2014
Obsah Úvod... 3 STACK základné informácie:... 4 Vytvorenie novej otázky... 4 Funkcie a príkazy používané v STACK-u... 8 Banka otázok... 10 Proseminár z matematiky... 11 Úpravy algebraických výrazov... 11 Rovnice a nerovnice... 12 Elementárne funkcie a ich grafy... 15 Exponenciálna a logaritmická funkcia... 17 Goniometria... 19 Polynómy... 22 Analytická geometria... 25 Matematika I... 28 Vektory, matice... 28 Sústavy lineárnych rovníc... 32 Algebraické rovnice... 34 Derivácie... 39 Priebeh funkcie... 40 Neurčitý integrál... 41 Určitý integrál a jeho aplikácie... 44 Záver... 46 Použité zdroje... 47 2
Úvod: Našou úlohou v tomto semestrálnom projekte bolo osvojiť si základné zručnosti pri práci so systémom STACK a následne k nemu vytvoriť základného sprievodcu, t.j. napísať stručný manuál pre vytváranie testových otázok v tomto programe, ktorý je súčasťou e-learning Moodle. Venovali sme sa vytváraniu otázok z predmetu Matematika I a Proseminár z matematiky, ktoré sú určené pre študentov prvého ročníka FCHPT. Každý z nás sa osobitne venoval jednej kapitole z predmetu Matematika I a taktiež aj jednej kapitole z Prosemináru z matematiky. V prvých častiach práce je možné nájsť základné informácie ohľadom vytvorenia novej otázky ako sú všeobecné nastavenia, vkladanie odpovedí a ďalšie, v časti Banka otázok každý približuje svoje vybrané kapitoly a zameriava sa na ukážky a vysvetlenia niektorých úloh. Naším cieľom pri vypracovávaní projektu bolo hlavne zjednodušiť prácu budúcim používateľom poskytnutím im jednoduchej ale účelnej učebnej pomôcky, v ktorej by mohli nájsť všetko potrebné pre začatie práce s týmto programom. 3
STACK základné informácie: STACK je skratka pre System for Teaching and Assessment using a Computer algebra Kernel. STACK je voľne dostupný výpočtový softvér určený pre matematiku, fyziku a príbuzné vedné disciplíny. Tento softvér je súčasťou systému e-learning Moodle a ponúka pre svojich užívateľov možnosť tvorby otázok na účely testovania, ako aj ich vypracovávanie. STACK používa pre fungovanie výpočtový systém ( computer algebra system ) Maxima. Práve zo systému Maxima STACK preberá väčšinu svojich funkcií, rovnako ako syntax a niektoré preddefinované príkazy. Maxima, ako aj iné výpočtové systémy podobného druhu povoľujú manipuláciu s matematickými výrazmi v symbolickom tvare. Medzi tieto matematické objekty patria napr. derivácie, integrácie, nekonečné rady, Laplaceove transformácie, obyčajné diferenciálne rovnice, systémy lineárnych rovníc, polynómy, vektory, matice atď. STACK si našiel svoje uplatnenie v matematike a ostatných prírodných vedách najmä kvôli systému vkladania odpovedí. Na rozdiel od iných softvérov netvorí testové otázky, kde si študent môže vyberať medzi viacerými možnými odpoveďami, ale vyžaduje ručné vpísanie odpovedi na položenú otázku, čím je študent donútený príklad prepočítať. A práve toto z neho robí užitočný nástroj pre výučbu všetkých vyššie spomenutých predmetov. Vytvorenie novej otázky Táto časť poskytuje podrobný návod k vytvoreniu novej otázky cez STACK. 1 Všeobecné nastavenia: Aktuálna kategória a uložiť v kategórii: Umožňuje vybrať priečinok, do ktorého sa otázka uloží. Question name: Tvorca do tohto poľa vkladá výstižný názov otázky, ktorú chce vytvoriť. Pole je povinné a názov musí byť vyplnený. Question variables: Toto okno je určené na definovanie vlastných premenných a funkcií a následnú manipuláciu s nimi. Okno tiež dovoľuje vkladať preddefinované funkcie a príkazy. Každá definícia aj príkaz by mali byť ukončené bodkočiarkou (bodkočiarka je voliteľná možnosť, autor sa môže rozhodnúť ju nepoužívať, ale vystavuje sa možným problémom). Všetky premenné aj funkcie vytvorené v tomto okne môže tvorca otázky ďalej používať vo všetkých ďalších častiach otázky, ak je to potrebné. 4
Random group: Za normálnych okolností sa toto pole necháva prázdne. Vyplní sa len vtedy, keď chce tvorca použiť jednu a tú istú sadu náhodne vygenerovaných čísel pre dve rôzne otázky. Vtedy sa do jednej aj druhej otázky do poľa random group vloží rovnaký reťazec. Question text: Text otázky je taký text, ktorý sa zobrazí študentovi pri otvorení otázky. Text otázky musí povinne obsahovať slovné zadanie, ktoré sa vytvára pomocou premenných a funkcií zadefinovaných v okne question variables a obyčajného textu. Každý matematický výraz sa uzatvára do zátvoriek \[ \] a každá premenná je označená dvoma symbolmi @, napr. \[ @x@ \]. Všetko mimo zátvoriek bude zobrazované ako normálny text. Text otázky musí ďalej povinne obsahovať vytvorenie dvoch polí: [[input:ans1]], [[validation:ans1]]. Do prvého poľa bude študent vkladať svoju odpoveď a druhé pole slúži na overenie správnosti vloženej odpovede. Specific feedback: Špecifická spätná väzba je vyplnená výrazom: [[feedback:prt1]] Tento výraz odkazuje na potential response tree, ktorý vypíše konkrétnu spätnú väzbu. General feedback: Všeobecná spätná väzba je vlastne riešenie otázky. Toto riešenie sa objaví študentovi po odoslaní jeho otázky na hodnotenie. Zobrazenie textu nezáleží na správnosti výsledku, pri každej odpovedi sa každému študentovi zobrazí rovnaký text, ktorý autor zadal ako riešenie. V tomto poli je vhodné používať premenné a funkcie zadefinované v okne question variables. Question note: Cieľom tejto poznámky je rozoznávať náhodné verzie otázky. Dve verzie otázky sú si rovné vtedy a len vtedy, ak poznámky sú si rovné. 2 input : ans1 Input type: Input type určuje, akého typu bude odpoveď, ktorú študent zadá do odpoveďového poľa. Autor sa môže rozhodnúť medzi možnosťami: algebraický výraz, matica, jeden znak, text, áno/nie odpoveď. Model answer: V tomto poli musí byť udané modelové riešenie úlohy. Na jeho definíciu môžeme použiť premenné a funkcie definované v okne question variables. Input box size: Určuje, aké dlhé má byť pole, do ktorého študent vkladá svoju odpoveď. 5
Strict syntax: Autor môže vybrať možnosť, či študent bude používať striktnú syntax Maxima alebo nie. Insert stars: Ak je táto možnosť nastavená na áno, systém bude automaticky pridávať * na mieste,kde má byť operácia násobenia. Napr. výraz 2(1-4x) bude zmenený na 2*(1-4*x). Forbidden words: Toto pole môže byť naplnené slovami, ktoré nemá študent dovolené používať vo svojej odpovedi. Forbid float: Ak je táto možnosť nastavená na áno, potom odpoveď zadaná v tvare desatinného čísla je považovaná za chybnú (iba odpoveď zadaná vo forme zlomku bude akceptovaná ako správna). Require lowest terms: Ak je táto možnosť nastavená na áno, všetky racionálne čísla vo výraze musia byť zapísané ako zlomky upravené na základný tvar, inak je odpoveď považovaná za chybnú. Check the type of the response: Ak je táto možnosť nastavená na áno, odpovede iného typu, ako je zvolený v možnosti input type sú považované za chybné. Student must verify: Ak je táto možnosť nastavená na áno, systém vyžaduje pred odoslaním odpovede súhlas s týmto odoslaním a odpoveď je odoslaná až po súhlase. Show the validation: Ak je táto možnosť nastavená na áno, študentovi sa po odoslaní otázky zobrazí vyhodnotenie aj spätná väzba, ak je nejaká zadaná. Extra options: Niektoré typy odpovede vyžadujú špeciálne nastavenia, aby boli funkčné. Tieto nastavenia je možné vkladať do poľa extra options. 6
3 potential response tree : prt1 Node1 Answer test: Test odpovede porovnáva dva výrazy a vyhodnocuje, či sú splnené nejaké matematické kritériá. SAns: Je prvým argumentom (výrazom), ktorý vstupuje do testu odpovede. V testoch odpovede, v ktorých sú vstupujúce výrazy rozdielne, reprezentuje toto pole odpoveď študenta Ans1. Tento výraz by mal byť závislý od premenných zadaných v otázke alebo spätnej väzbe. TAns: Je druhým argumentom (výrazom), ktorý vstupuje do testu odpovede. V testoch odpovede, v ktorých sú vstupujúce výrazy rozdielne, reprezentuje toto pole odpoveď učiteľa Model answer. Takisto by mal byť závislý od premenných zadaných v otázke alebo spätnej väzbe. Test options: Toto pole umožňuje testu odpovedi akceptovať nejakú možnosť, napr. premennú alebo číselnú presnosť. Quiet: Ak je táto možnosť nastavená na hodnotu áno, akákoľvek automaticky vygenerovaná spätná väzba testom odpovede je skrytá a študentovi sa nezobrazí. Nastavenie tohto poľa nemá vplyv na okná pre spätnú väzbu, ktoré sa nachádzajú v potential response tree. Node 1 when true or false: Mod and score: Určuje ako sa zmení celkové skóre (v rámci testu zloženého z viacerých otázok) po zodpovedaní otázky. = znamená nastaviť skóre na konkrétne hodnoty, +/- pripočíta, alebo odpočíta dané skóre z aktuálneho celkového skoré z testu. Penalty: V adaptatívnom alebo interaktívnom móde (nastavení) spočítava danú chybu (pri nesprávnej odpovedi). Next: Či má prejsť na ďalší Node, ak áno, tak na aký, ak nie tak zadaj stop 7
Answer note: Toto pole, je kľúčové pre vykazovanie správ. Udáva jednoznačnú cestu cez strom a zaznamenáva výstup z každého testu odpovede. Je automaticky generovaný, ale môže byť zmenený na niečo zmysluplné. 4 Options Question-level simplify: Ponúka možnosť zapnúť alebo vypnúť zjednodušovanie. Standard feedback for correct: Spätná väzba vypísaná pri správnej odpovedi. Standard feedback for partially correct: Spätná väzba vypísaná pri čiastočne správnej odpovedi. Standard feedback for incorrect: Spätná väzba vypísaná pri nesprávnej odpovedi. Multiplication sign: Nastavenie znaku pre násobenie bodka, krížik alebo bez znaku. Surd for square root: Nastavenie pre zobrazovanie odmocnín. Meaning and display of sqrt(-1): Nastavuje, aký význam bude mať symbol i a ako sa bude zobrazovať. Inverse trigonometric functions: Nastavuje, ako budú zobrazené inverzné goniometrické funkcie Funkcie a príkazy používané v STACK-u: Priraďovanie hodnôt premenným: a:1; a=1; f(x):=x^2; Priradenie hodnoty 1 premennej a Rovnica Definícia funkcie 8
Náhodný výber: Jednou z užitočných vlastností STACK-u je schopnosť generovať náhodné hodnoty pomocou funkcie rand(). Okrem základnej funkcie existujú aj rozličné modifikácie pre generovanie desatinných čísel, vektorov, matíc a ďalších. rand(n) - generuje celé číslo v intervale (0,n-1) rand(n.0) - generuje desatinné číslo v intervale (0,n) rand([a,b,...,z]) - vyberie číslo zo zadaného zoznamu rand(matrix(..)) - vytvorí maticu celú zloženú z náhodne generovaných čísel Funkcia rand_with_step generuje náhodné hodnoty čísel z určeného intervalu zo zvoleným krokom. Príklad použitia: rand_with_step(-5,5,1) - vráti náhodné čísla ({-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}) rand_with_step(-5,3,3) - vráti náhodné čísla ({-5,-2,1}) Funkcia rand_with_prohib generuje náhodné hodnoty čísel z určeného intervalu, pričom čísla uvedené v hranatej zátvorke za intervalom sa zo zoznamu vylúčia. Príklad použitia: rand_with_prohib(-5,5,[0]) - vráti náhodné čísla ({-5,-4,-3,-2,- 1,1,2,3,4,5}) rand_with_prohib(-5,5,[-1,0,1]) - vráti náhodné čísla ({-5,-4,-3,- 2,2,3,4,5}) Vytváranie náhodných polynómov: Funkciu rand() môžme aplikovať aj pri vytvorení polynómu určitého stupňa, ktorého koeficienty budú náhodne generované hodnoty zo zvoleného intervalu: Príklad vytvorenia polynómu 5. stupňa z koeficientami z intervalu (0,6): apply("+",makelist(rand(7)*x^(k-1),k,6)); Najpoužívanejšie matematické funkcie: prirodzený logaritmus: log() alebo ln() dekadický logaritmus: log10() alebo lg() exponenciálna funkcia: exp() sínus: sin() kosínus: cos() tangens: tan() 9
Odmocnina: sqrt() Absolútna hodnota: abs() Zjednodušovanie: Zjednodušovanie sa dá upraviť pomocou funkcie simp:, existujú dve možné formy: 1. simp:true; zapnuté zjednodušovanie 2. simp:false; vypnuté zjednodušovanie Vytváranie grafov: Grafy sa v STACK-u vytváraju pomocou príkazu plot. @(x^2,[x,-1,1],[y,0,2])@ Nasledujúci príkaz vytvorí graf funkcie x 2, pričom os x bude v intervale -1 až 1 a os y v intervale 0 až 2. Zoznam funkcií pre úpravu grafov: xlabel ylabel legend color style logx logy axes... Všetky funkcie aj z ukážkami sú dostupné na nasledujúcej stránke: https://github.com/maths/moodle-qtype_stack/blob/master/doc/en/cas/plots.md Banka otázok V tejto časti projektu bližšie priblížime konkrétne otázky na jednotlivé témy z predmetu Proseminár z matematiky aj Matematika I. Každá otázka je podrobne rozobratá na jednotlivé časti a pri každej časti je vložený ilustračný obrázok pre lepšiu prehľadnosť. Všetky tieto otázky sú uložené v Banke otázok v kurze STACK v e-learningu fakulty a budú použité na vytváranie testov z vyššie uvedených predmetov pre žiakov 1. semestra. 10
Proseminár z matematiky Úpravy algebraických výrazov Vyjadrenie neznámej zo vzorca Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme náhodný výber premenných : v:rand([x,y]); v1:rand([a,b]); 2. Potom si určíme náhodný rozsah číselných hodnôt uzavretých v premenných: r:rand(8) + 1; s:rand(10) + 1; u:rand(3)+2; 3. Ďalším krokom si vytvoríme polotovary, z ktorých vytvoríme požadovaný výraz: p:u; q:(r*v1+s); q1:(s*v+r); 4. Ako posledné zadefinujeme výraz, ktorý očakávame ako výsledok: t:v=((-r*v1*r)+(-r*s)+p)/(s*r*v1+s*s); Náhľad okna V tomto políčku si môžeme vytvoriť nami zvolený výraz vopred zadefinovaný v polotovaroch v Question variables, ktorý sa nám zobrazí na obrazovke. 11
V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare alebo len vopred určenú premennú, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : Definovanie časti Node1: Študentovi sa po správnom zadefinovaní zobrazí príklad v nasledujúcom tvare: 12
Rovnice a nerovnice Riešenie kvadratickej rovnice s koplexnými koreňmi Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Definujeme si našu premennú: v:x; 2. Deklarácia typu koreňov rovnice: declare(x1,complex); declare(x2,complex); 3. Deklarácia koeficientov reálnej a komplexnej imaginárnej časti koreňov: declare:(alfa,real); declare(beta,imaginary); 4. Náhodné vygenerovanie koeficientov komplexne združených koreňov rovnice pomocou príkazu rand: alfa:(0+rand(5)); beta:(0+rand(5)); 5. Definovanie koreňov rovnice: x1:alfa+beta*i; x2:alfa-beta*i; 6. Náhodné vygenerovanie koeficientu pri najvyššej mocnine rovnice (polynómu): a:(1+rand(9)); 7. Výpis kvadratickej rovnice: p:expand(a*(x^2-2*alfa*x+alfa^2+beta^2)); Náhľad okna: 13
Text otázky: V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : Definovanie časti Node1: 14
Elementárne funkcie a ich grafy Lineárna funkcia Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Pomocou náhodného výberu premenných si postupne zadefinujeme jednotlivé koeficienty lineárnej funkcie: a:-2+rand(3); podobne pre b 2. Premenná p reprezentuje polynóm už s konkrétnymi koeficientmi: p:a*x + b; Náhľad okna: Text otázky: Príkaz @plot(p,[x,0,10])@ slúži na zobrazenie grafu danej funkcie v otázke. Kde p je predpis funkcie zadefinovaný v Question variables, x je premenná musí sa zhodovať s tou v predpise funkcie! A posledným údajom je interval, na ktorom sa má graf zobraziť. V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare v našom prípade to sú premenné a, b preto je potrebné vytvoriť a vyplniť celkovo dva bloky "Input". Pre správne fungovanie je tiež potrebné vyplniť jednotlivé bloky "Node1". Vzhľad otázky, ktorý sa zobrazí študentovi: 15
Kvadratická funkcia Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Pomocou náhodného výberu premenných si postupne zadefinujeme korene kvadratickej rovnice: x1:rand(7); x2:-rand(7); 2. Potrebné je tiež zadefinovať jednotlivé koeficienty a,b,c, kde a bude vždy rovné 1, b a c vypočítame podľa konkrétnych hodnôt koreňov. 3. Nakoniec do premennej c uložíme predpis polynómu (funkcie). Náhľad okna: 16
Text otázky: V políčku Model answer zadefinujeme požadovaný výsledok v žiadanom tvare v našom prípade sú to premenné : a, b, c. Pre správne fungovanie je tiež potrebné vyplniť bloky "Node1". Vzhľad otázky, ktorý sa zobrazí študentovi: Exponenciálna a logaritmická funkcia Logaritmická rovnica s dvoma prirodzenými logaritmami 17
Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Príkaz pre zapnutie zjednodušovania výrazov: simp:true; 2. Náhodný výber premenných: m:rand([x,z,y,u,t]); 3. Definícia konštánt stojacich pri jednotlivých funkciách: a:rand(5)+5; b:rand_with_step(2,6,1); 4. Príkaz pre vypnutie zjednodušovania výrazov: simp:false; 5. Definícia pravej a ľavej strany logaritmickej rovnice: left:log((m^2)); right:a+log(b*m); 6. Definovanie riešenia rovnice vo všeobecnom tvare: r:b*exp(a); Náhľad okna: Text otázky: V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : 18
Definovanie časti Node1: Vzhľad otázky, ktorý sa zobrazí študentovi: Goniometria Prevedenie veľkosti uhla z oblúkovej na stupňovú mieru Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme náhodný výber stupňov do našej premennej: v1:rand(60)/rand(60)*pi; 2. Môžeme si zadefinovať aj premennú pre záporné hodnoty: v2:-rand(60)/rand(60)*pi; 3. definujeme náhodný výber premenných: v:rand([v1,v2]); 4. Ako posledné zadefinujeme výraz, ktorý očakávame ako výsledok: p: p:v*360/(2*pi); Náhľad okna: 19
Text otázky: V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : Definovanie časti Node1: V políčku Answer test môžeme vidieť možnosť NumAbsolute, ktorá znamená, že výsledok je uznaný v intervale 0,05 čo je pre nás vhodné, pretože študent nemusí uvádzať presnú odpoveď v zlomkoch. Je dôležité pripomenúť, že je potrebné mať zaškrtnuté políčko v časti Input : ans1 Forbid float - Nie :, čím sa povolia desatinné čísla v odpovedi. Zobrazenie hotovej otázky: Riešenie rovnice na intervale (-2π,2π) Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Definujeme náhodný výber výrazov, ktoré nám stack vygeneruje ako odpoveď: 20
a:rand([-1/2,-sqrt(2)/2,-sqrt(3)/2,-(sqrt(6)+sqrt(2))/4,- (sqrt(6)-sqrt(2))/4]); 2. Zadefinujeme výrazy, ktoré očakávame ako výsledky: x1: pi-arcsin(a) -2*pi; x2: arcsin(a)-2*pi; x3: pi-arcsin(a); x4: arcsin(a); Pre jednoduchosť programu píšeme výsledky zľava do prava na osi. Náhľad okna: Text otázky: V texte otázky možno vidieť príkaz @plot(sin(d),[d,-2*pi,2*pi])@, slúži nám na vykreslenie grafu funkcie sínus, d je definované od -2π do 2π. V tomto prípade budeme mať 4 tabuľky Input : ans(1-4): 21
Definovanie časti Node1: V tomto prípade budeme mať takisto 4 tabuľky pre prt (1-4) rovnaké pre príslušné odpovede: Zobrazenie hotovej otázky: Polynómy Rozklad polynómu 2. stupňa na súčin Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme náhodný výber premenných: v:rand([x,z,t,v,u,y]); 2. Následne si definujeme koeficienty polynómu, taktiež náhodným výberom pomocou príkazu rand: a:rand(10)+1; b:rand(10)+1; 3. Ďalším krokom je vytvorenie samotného polynómu, ktorý sa zobrazí v zadaní: p:v^2+v*(-b)+v*(-a)+(-a)*(-b); 22
4. Ako posledné zadefinujeme výraz, ktorý očakávame ako výsledok: w:(va)*(v-b); Náhľad okna: Text otázky: V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : Definovanie časti Node1: Podobne vytvoríme rozklad polynómov vyšších stupňov. Zobrazenie hotovej otázky: 23
Roznásobenie troch lineárnych výrazov Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme náhodný výber premenných: v:rand([x,z,t,v,u,y]); 2. Použijeme funkciu simp:false, aby nám lineárne výrazy automaticky neroznásobilo 3. Následne si definujeme koeficienty výrazov, taktiež náhodným výberom pomocou príkazu rand_with_prohib, pretože chceme vyberať z kladných aj záporných čísel okrem nuly : c1:rand_with_prohib(-5,5,[0]); c2:rand_with_prohib(-5,5,[0]); c3:rand_with_prohib(-5,5,[0]); 4. Ďalším krokom je vytvorenie samotného výrazov: v1:(v+c1); v2:(v+c2); v3:(v+c3); 5. Zadefinujeme výraz, ktorý sa zobrazí na monitore: q:v1*v2*v3; 6. Posledným krokom je použitie funkcie simp:true kvôli roznásobeniu výrazov, ktoré sa zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede Náhľad okna: 24
V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : Výraz sme museli napísať v tvare roznásobenia každý člen s každým, avšak na monitore sa vďaka funkcii simp:true zobrazí v skrátenom roznásobenom tvare. Definovanie časti Node1: Zobrazenie hotovej otázky: Analytická geometria Analytická geometria Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme koeficienty, náhodným výberom pomocou príkazu rand: a1:rand(5)+1; a2:rand(9)+4; 2. Ďalším krokom je vytvorenie zadania, ktoré sa zobrazí : x1:a4+a6*t; 25
y1:a5+a7*t; p1:a1*x+a2*y+a3=0; 3. Musíme si všeobecne odvodiť výraz podľa, ktorého ma náš program počítať: t:(-a1*a4-a2*a5-a3)/(a1*a6+a2*a7); x11:a4+a6*t; y11:a5+a7*t; 4. Ako posledné zadefinujeme výraz, ktorý očakávame ako výsledok: v:[x11,y11]; Náhľad okna: Text otázky: V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : 26
Definovanie časti Node1: Kužeľosečky Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme koeficienty, náhodným výberom pomocou príkazu rand: l:rand(5)+1; a:rand(1)+4; m:rand(1)+6; 2. Ďalším krokom je vytvorenie zadania, ktoré sa zobrazí: V tomto prípade sa zadanie skladá len so štyroch bodov z náhodného výberu, ktorý je uvedený vyššie. 3. Musíme si všeobecne odvodiť výraz podľa, ktorého ma náš program počítať: S1:(l+m)/2; S2:(a+l)/2; r:sqrt((s1-l)^2+(s2-a)^2); 4. Ako posledné zadefinujeme výraz, ktorý očakávame ako výsledok: d:x^2-2*x*s1+s1^2+y^2-2*y*s2+s2^2-r^2=0; Náhľad okna: 27
Text otázky: V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : Definovanie časti Node1: Matematika I Vektory, matice Súčet dvoch vektorov Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Pomocou náhodného výberu premenných si postupne zadefinujeme jednotlivé prvky vektorov: 28
ax:-10+rand(7); - prvok ax (1. prvok vektora a) môže nadobudnúť hodnotu od - 10 do 3 2. Výpočet jednotlivých prvkov výsledného vektora c a uloženie do premenných: cx:ax + bx; analogicky pre cy a cz Náhľad okna: Text otázky: V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare v našom prípade to sú premenné cx, cy a cz, preto je potrebné vytvoriť a vyplniť celkovo tri bloky "Input": Pre správne fungovanie je tiež potrebné vyplniť jednotlivé bloky "Node1" nasledovne: 29
Vzhľad otázky, ktorý sa zobrazí študentovi: Rovnakým spôsobom bol vytvorený druhý typ otázky s rozdielom: Táto zmena sa vo výzore otázky prejaví nasledovne: 30
Skalárny súčin dvoch matíc Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Pomocou náhodného výberu premenných si vytvoríme dve matice 3x3 (funguje to aj bez pripočítania druhej matice): A:ev(rand(matrix([5,5,5],[5,5,5],[5,5,5]))+matrix([2,2,2],[2,2,2],[2,2,2]),simp); podobne pre maticu B 2. Do premennej TA uložíme výsledok násobenia matíc, skalárny súčin matíc sa vypočíta pomocou operátora. : TA:ev(A.B,simp); Náhľad okna: Text otázky: 31
V políčku Model answer zadefinujeme požadovaný výsledok v žiadanom tvare v našom prípade je to premenná TA a typ odpovede zmeníme na matrix: Pre správne fungovanie je tiež potrebné vyplniť blok "Node1". Vzhľad otázky, ktorý sa zobrazí študentovi: Sústavy lineárnych rovníc Lineárna rovnica Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: v podstate tak isto ako v úprave algebraických výrazov až na konkrétny výsledok 1. Najprv si definujeme náhodný výber premenných : r:rand([x,z]); s:rand([y,u]); 2. Potom si určíme náhodný rozsah číselných hodnôt: a:rand(6)+1; b:rand(6)+2; c:rand(15)+2; d:rand(4)+1; e:-rand(5)-2; f:rand(11)+6; 32
3. Ďalším krokom si vytvoríme polotovary, z ktorých vytvoríme požadovaný výraz: o:a*r+b*s; o1:d*r+e*s; 4. Ako posledné zadefinujeme výraz, ktorý očakávame ako výsledok: t:(c*e-b*f)/(a*e-b*d); t1:(a*f-c*d)/(a*e-b*d); Náhľad okna V tomto políčku si môžeme vytvoriť nami zvolený výraz vopred zadefinovaný v polotovarochv Question variables, ktorý sa nám zobrazí na obrazovke. V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare alebo len vopred určenú premennú, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : 33
Dôležité je správne vyplniť potrebné políčka v nasledovnom tvare: Študentovi sa po správnom zadefinovaní zobrazí príklad v nasledujúcom tvare: 34
Algebraické rovnice Binomická rovnica Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 5. Najprv si definujeme náhodný výber premenných: v:rand([x,z,t,v,u,y]); 6. Následne si definujeme výraz, ktorý sa zobrazí na monitore: q:x^4-1; Náhľad okna: V texte otázky musíme vyrobiť štyri políčka, pretože binomická rovnica ma štyri korene: Definovanie požadovaných výsledkov: 35
Pre každý výsledok máme samostatný Node: Zobrazenie hotovej otázky: 36
Rovnica tretieho stupňa so súčtom koeficientov rovným nule Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme náhodný výber premenných: v:rand([x,z,t,v,u,y]); 2. Následne si definujeme jednotlivé koeficienty polynómu: a:rand_with_prohib(-5,5,[0]); b:rand_with_prohib(-5,5,[0]); c:rand_with_prohib(-5,5,[0]); 3. Roznásobenie jednotlivých výrazov vznik polynómu: q:expand(a*(v-1)*(v-b)*(v-c)); Náhľad okna: V texte otázky musíme vyrobiť tri políčka, pretože rovnica ma tri korene. Definovanie požadovaných výsledkov: 37
Pre každý výsledok máme samostatný Node: Rovnica tretieho stupňa s daným jedným koreňom Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme náhodný výber premenných: v:rand([x,z,t,v,u,y]); 2. Definujeme náhodne koeficienty polynómu: a:rand_with_prohib(-5,5,[0]); b:rand_with_prohib(-5,5,[0]); c:rand_with_prohib(-5,5,[0]); 3. Definovanie polynómu pomocou roznásobenia výrazov: p:expand((v+a)*(v+b)*(v+c)); Náhľad okna: V texte otázky musíme vyrobiť dve políčka, pretože zadávame len dve korene. Definovanie požadovaných výsledkov: 38
Pre každý výsledok máme samostatný Node: Derivácie Derivácia súčinu alebo podielu prirodzeného logaritmu Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Náhodný výber premenných: m:rand([x,t,u,s]); 2. Definícia konštánt stojacich pri jednotlivých funkciách: a:rand(4)+2; b:rand(4)+2; 3. Definícia 4 rôznych funkcií f1 až f4: f1:m*log(m); f2:m/log(m); f3:a*m*log(b*m); f4:b*m/log(a*m); 4. Náhodný výber funkcií: f:rand([f1,f2,f3,f4]); Náhľad okna: Text otázky: 39
V políčku Model answer musí byť zapísaný výraz diff(f,m), ktorý reprezentuje deriváciu definovaj funkcie f podľa premennej m. Definovanie časti Node1: Vzhľad otázky, ktorý sa zobrazí študentovi: Priebeh funkcie Inflexné body Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Náhodný výber konštánt pomocou príkazu rand: c1:rand(100); c2:rand(20); 40
a:3*(3+rand(15)); b:rand(10); 2. Definícia polynómu štvrtého stupňa(ulahčíme si úlohu tak, že najprv zintegrujeme 2x polynóm 2. stupňa, z ktorého vieme výrazy, v našom prípade (a-12x)(b-x)): v:x^4-(a*x^3)/6-2*b*x^3+1/2*a*b*x^2+c1*x+c2; 3. Ako posledné zadefinujeme výrazy, ktoré očakávame ako výsledky: x1: a/12; x2: b; Náhľad okna: Text otázky(definujeme tu aj vykreslenie x (-2,10)) : V tomto prípade budeme mať 4 tabuľky Input : ans(1-4): Definovanie časti Node1 pre prt1: Keďže študent nevie v akom poradí má byť napísaná odpoveď, musí byť výsledok uznaný v oboch oknách. To spravíme nasledovne: 41
avšak musíme uznať aj výsledok x2: Aby sme zabránili uznávaniu duplicitnej odpovede v oboch oknách, musíme pri duplicitnej odpovedi nastaviť penalizáciu(ak sa v druhom okne ans2 nachádza rovnaká odpoveď x1 potom strhne penalizáciu): Rovnaký postup uplatníme aj pre prt2: Vzhľad otázky, ktorý sa zobrazí študentovi(vyplnená): Neurčitý integrál Neurčitý integrál 42
Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme náhodný výber premenných: v:rand([x,t,s,p,v,j]); 2. Následne si definujeme koeficienty integrálu, taktiež náhodným výberom pomocou príkazu rand: l:rand(5)+1; a:rand(1)+4; 3. Ďalším krokom je vytvorenie samotného integrálu, ktorý sa zobrazí v zadaní: p:((v)^(a-1)+(v*a)^(l-1)+(a*v)); Náhľad okna: Text otázky: V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : Definovanie časti Node1: 43
Určitý integrál a jeho aplikácie Obsah časti roviny ohraničenej priamkami a parabolou Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Definujeme si našu premennú: a:(1+rand(8)); 2. Definujeme si premennú b, ktorá udáva hranice určitého integrálu priamky, ktorými je ohraničená plocha: b:(1+rand(a)); 3. Definovanie kvadratickej funkcie rovnice paraboly, ktorou je taktiež ohraničená plocha, ktorú chceme vypočítať: p:a^2-x^2; 4. Zadefinujeme výraz, ktorý očakávame ako výsledok: v:integrate(p,x,-b,b); Náhľad okna: Text otázky: 44
V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : Definovanie časti Node1: 45
Záver: V semestrálnom projekte sme vytvorili pomerne veľkú banku otázok pre e-learning kurzy predmetov Proseminár z matematiky a Matematika I. Na rozdiel od doteraz existujúcich testov v e-learning kurzoch týchto predmetov, ktoré obsahovali otázky, pri ktorých si študent musel vyberať z niekoľkých možných odpovedí otázky, my sme vytvorili v prostredí STACK otázky, ktoré vyžadujú od študenta samostatné vloženie správnej odpovede. Výzvou bolo najmä zvládnutie samotného STACK-u, keďže nie je dostupný žiadny systematický manuál k používaniu tohto prostredia. Preto sme sa v prvej časti našej práce venovali vysvetleniu aspoň základných pravidiel na vytváranie testových otázok. 46
Použité zdroje: http://www.kirp.chtf.stuba.sk/moodle/course/view.php?id=382 https://github.com/maths/moodle-qtype_stack/blob/master/doc/en/index.md https://github.com/maths/moodle-qtype_stack/blob/master/doc/en/cas/simplification.md https://github.com/maths/moodle-qtype_stack/blob/master/doc/en/cas/random.md https://github.com/maths/moodle-qtype_stack/blob/master/doc/en/cas/plots.md https://github.com/maths/moodle-qtype_stack/blob/master/doc/en/cas/maxima.md https://github.com/maths/moodle-qtype_stack/blob/master/doc/en/cas/matrix.md https://github.com/maths/moodle-qtype_stack/blob/master/doc/en/cas/cas.md 47