DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna jednadžba homogenog stupnja Egzaktna diferencijalna jednadžba Dajemo nekoliko karakterističnih primjera diferencijalnih jednadžbi gdje funkcija () predstavlja traženo rješenje dok ' obilježava njenu derivaciju odnosno d ' : d i) diferencijalna jedandžba koja se rješava metodom direktne integracije ' e ; diferencijalna jedandžba koja se rješava metodom separacije varijabli ' ( ) ; i linearna diferencijalna jednadžbe ' + e ; iv) Bernoullijeva diferencijalna jednadžba 5 ' e ; v) egzaktna diferencijalna jednadžba d + ( + ln ) d 0 ; vi) diferencijalna jedandžba homogenog stupnja ( ) d + d 0

6 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI Naravno postoje još mnogi drugi tipovi diferencijalnih jednadžbi prvog reda Tipovi koje smo gore naveli i koje ćemo detaljno raditi se najčešće pojavljuju u nastavnom procesu Primjetimo da pod rješenjem diferencijalne jednadžbe ' F( ( )) podrazumjevamo funkciju () koja zadovoljava tu jednadžbu u smislu da nakon uvrštavanja te funkcije u ' F( ( )) imamo valjanu jednakost Na primjer funkcija e zadovoljava diferencijalnu jedandžbu ' e + jer kad je uvrstimo u danu jednakost dobivamo 0 0 Kažemo još da je funkcija e jedno konkretno ili takozvano partikularno rješenje ove jednadžbe Međutim to nisu sva njena rješenja Sva njena rješenja takozvano opće rješenje imaju nakon rješavanje dane jednadžbe ' e + oblik c e + e gdje je c proizvoljna konstanta Znači trebamo razlikovati pojam općeg rješenja od pojma partikularnog rješenja neke diferencijalne jednadžbe 9 DIREKTNA INTEGRACIJA Mali broj diferencijalnih jednadžbi možemo riješiti samo direktnom integracijom Međutim kad tad nakon primjene raznih metoda diferencijalnu jednadžbu dovodimo u oblik za direktno integriranje Metodu direktnog integriranja ćemo objasniti na slijedećim primjerima 670 ' e ( ) e d e + c ( ) e + c 67 67 6 ' ( + ) ( ) ( + ) d d + d + d + + + c 7 7 ( ) + + + c 7 ' sin ( ) sin d cos + cos d cos + sin ( ) cos + sin + c 7 ' + 67 ; potrebno je prvo naći opće rješenje a potom samo ono koje (0) zadovoljava početni uvjet ( 0) ; i) ' + ( ) ( + ) d + + c 0 (0) (0) + 0 + c 0 c 0 i rješenje: ( ) +

9 Diferencijalne jednadžbe 65 sin ' 67 cos ( π / ) sin sin i) ' ( ) d + c ln cos cos cos ( π / ) ( π / ) ln cos( π / ) + c c ln i rješenje: ( ) lncos + ln ' e 675 () 0 e e i) ' e ( ) e d e d e + c 9 e e ( ) 0 () + c 0 c e 9 9 e e i rješenje: ( ) e 9 9 ln ' 676 () 0 ln ln i) ' ( ) d + c ln () 0 () ln + c 0 c 0 i rješenje: ( ) ln PRIMJEDBA Kako vidimo već u nekoliko primjera rješavanja diferencijalnih jednadžbi neodređeni integrali igraju ključnu ulogu te stoga preporučamo da se vratite na Poglavlje 7 te ponovite osnovne tipove i metode za rješavanje neodređenih integrala Naravno u složenijim tipovima diferencijalnih jednadžbi osim neodređenih integrala potrebno je i znati algoritam za rješavanje dotičnog tipa jednadžbe 9 SEPARACIJA VARIJABLI Sada prelazimo na primjere onih diferencijalnih jednadžbi koje se rješavaju metodom separacije varijabli Sama riječ kaže da treba u danoj diferencijalnoj jednadžbi razdvojiti varijable i na dvije različite strane jednakosti Pri tome prvo treba separirati derivaciju

66 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI d odnosno trebamo je zapisati u obliku ' Kada se izvrši separacija tada direktnim d integriranje obadviju strana jednakosti dolazimo do rješenja dane jednadžbe Primjetimo da se mali broj jednadžbi može riješiti samo separacijom Međutim veći broj jednadžbi se može raznim metodama dovesti na separaciju varijable 677 5 ( ) d ' d ( ) d ( ) d ; Rješenja: ln + c 678 d ' ( ) d ( ) d d ( ) ln( ) ln + c ; Rješenja: ( ) i ( ) 0 / c e 679 d ' d d d arc sin + c ; Rješenja: ( ) sin( + c) 680 ' e d e d d e d e + c ; Rješenja: e + c ' ( + ) 68 (0) d d iv) ' ( + ) d + + d arc tg + c ; Opće rješenje: ( ) tg( + c) ; π v) (0) (0) tg (0 + c) c ; π vi) Rješenje zadatka: tg( + ) ' 68 () i) ' d d d d + c ;

9 Diferencijalne jednadžbe 67 i Opće rješenje: ( ) + c ; 5 ( ) () + c c ; + 5 Rješenje zadatka: ' e 68 () i) ' e d e d d e d e + c ; i Opće rješenje: + ( ) e c ; () () e + c c 6 e ; Rješenje zadatka: ( ) e + 6 e ZADACI ZA VJEŽBU U slijedećim zadacima metodom separacije naći opća rješenja diferencijalnih jednadžbi 68 d + d 685 ' + 686 ' 687 ( + + + ' 688 ' e 0 (sin ' e 689 sin U slijedećim zadacima metodom separacije naći partikularno rješenje diferencijalnih jednadžbi 690 69 69 ' () 5 69 e ' (0) 69 ( ) ' + 0 (0) 695 ' () ' + sin 0 () π (ctg ) ' + (0) RJEŠENJA + 68 ln c + 685 / c e ( + / ) 686 ( c e ) i 0 687 e ( + ) c

68 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI 688 e cos cos sin sin + + c 9 7 689 cos + sin ( + ) e c 690 ln + 5 69 ( e ) + 69 e 69 π 69 (ln( ) + c) i 0 695 cos 9 LINEARNA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA Linearne diferencijalne jednadžbe za razliku od ostalih tipova diferencijalnih jednadžbi imaju svojstvo univerzalnog rješenja To znači da sve linearne diferencijalne jednadžbe imaju istu formu rješenja O tome govori slijedeći rezultat Teorem Neka je zadana linearna diferencijalna jednadžba u općenitom obliku: d + ) q( ) d gdje su ) i q() neprekidne funkcije takozvani koeficijenti jednadžbe Tada sva njena rješenja () imaju oblik: ( ) ( ) p d e c + ( ) q e ) d d Dokaz: dokaz je jednostavan te istovremeno ilustrira postupak za rješavanje linearnih jednadžbi koji sami možemo koristiti u zadacima Ako je () neko rješenje linearne diferencijalne jednadžbe ' + ) q( ) tada želimo pokazati da to rješenje mora imati oblik zadan u iskazu teorema Prvo jednadžbu množimo sa multiplikatorom e sređujemo lijevu stranu i na kraju integriramo obadvije strane jednadžbe: ) d pa d d e ) d e ) d d d ( ) + ( ) p d p e q( ) e ( ) ( ) p d q e e ) d e [ q( ) e ) d ) d ) d q( ) e d + c] ) d d + c Naravno da je moguće koristiti ovu formulu za rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi Međutim ako nismo dovoljno vični sa integralima bilo bi bolje ponoviti postupak u dokazu ovog teorema To ćemo pokazati na nekoliko riješenih primjera

9 Diferencijalne jednadžbe 69 696 Riješimo diferencijalnu jednadžbu ' + e koristiće formulu za opće rješenje danu u teoremu : i) ) q ( ) e ; p ) d d ln e ) d ln e ; ) d i q ( ) e d e d e ; iv) e ) d ln e v) ) d ) d c ( ) e [ c + q( ) e d] [ c + e ] e + 697 Riješimo diferencijalnu jednadžbu ' + e koristeći postupak za dokaz općeg rješenja koji je prezentiran u dokazu teorema Prvo jednadžbu pišemo u obliku ' + e te sa njom radimo slijedeće korake: i) množimo jednadžbu sa multiplikatorom e ) d ln e pa dobivamo i ' + e ; d sređivanje desne strane: ( e ; d integriranjem obadviju strana dobivamo: c + e d ( ) [ c + e ] e c + Na svakom pojedinačno je da procjeni koja od ova dva načina će koristiti u rješavanju linearnih diferencijalnih jednadžbi 698 Riješimo diferencijalnu jednadžbu ' + 5 koristeći postupak za dokaz općeg rješenja koji je prezentiran u dokazu teorema Prvo jednadžbu pišemo u obliku 5 ' + pa postupamo: 5 ln 5 i) množimo jednadžbu sa multiplikatorom e d e 5 pa dobivamo i 5 ' + 5 ; 7 d 7 sređivanje desne strane: ( 5 ; d integriranjem obadviju strana dobivamo: 5 7 8 c + d ) [ c + ] + 5 8 8 ( 5 699 Riješimo diferencijalnu jednadžbu ' + e koristeći postupak za dokaz općeg rješenja koji je prezentiran u dokazu teorema : c

70 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI i) množimo jednadžbu sa multiplikatorom e e e ' + e ; d sređivanje desne strane: ( e ; d i integriranjem obadviju strana dobivamo: e c + d ( ) e [ c + ] e + ce d pa dobivamo ZADACI ZA VJEŽBU U slijedećim zadacima naći opće rješenje dane linearne diferencijalne jednadžbe 700 ' 70 ' + ln 70 ' + sin 70 ' + ( ) 70 ' 705 ' ln 706 ' + + e 707 ' e 708 ' + sin 709 ( ' cos ) 70 ( ' )ln 7 ' + ( + ) e U slijedećim zadacima naći partikularno rješenje dane linearne diferencijalne jednadžbe Pri tome kao i kod separacije varijable iz pethodne točke prvo nađemo opće rješenje a potom uvrštavanjem početnog uvjeta izračunamo nepoznatu konstantu c ' + + e ' e 7 7 (0) 5 () ' + e ' + e 7 75 (0) () ' + 5 ( + ) ' + 9 0 76 77 () () ' + sin ' + cos 78 79 ( π ) 0 ( π / ) 0 ' + + ' + e 70 7 () / () ( + ) ' + ( + ) + 7 'cos sin e 7 ( ) (0)

9 Diferencijalne jednadžbe 7 RJEŠENJA / c c cos 700 + c e 70 + + ln 70 / 70 ( + c e ) 70 / c e + 705 c + ln 706 + e + c e 707 e e + c e 8 7 708 sin cos + c e 709 ( c + sin ) 70 cln ln 7 ( 6 + c) e 7 + e + e 8 7 56 6 e e 7 e e + ( e e ) e 7 e + e 75 + 7 9arctg 9arctg cos 76 + 77 e 78 + 5 8 8 cos sin π + + 79 + 70 + + 7 0 5 + 9 BERNOULLIJEVA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA Bernoullijeva diferencijalna jednadžba ima oblik: d d + ) q( ) n Ako je n 0 ili n tada je ovo linearna jednadžba Ako je pak n 0 tada se n supstitucijom u Bernoullijeva jednadžba svodi na linearnu jednadžbu Preciznije ako pomnožimo Bernoullijevu jednadžbu sa n d d + ) n n q( ) n tada dobivamo: n d( ) ( ) n + p q( ) n d Sada supstitucijom u dobivamo da Bernoullijeva jednadžba prelazi u linearni oblik: du + ( n) ) u ( n) q( ) d Sada ovu linearnu jednadžbu riješimo koristeći razmatranja iz prethodne točke pa je traženo rješenje Bernoullijeve jednadžbe dano sa /( n) ( ) ( u( )) Ovaj postupak ćemo ponovit na nekoliko riješenih primjera

7 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI d 7 Riješiti diferencijalnu jednadžbu + d i) Množenjem jednadžbe sa dobivamo: ) d + d d( + d ; i iv) Sada supstitucijom u prethodna jednadžba postaje linearna du u ; d Ovu linearnu jednadžbu rješavamo primjenom postupka iz Teorema pa dobivamo da je: u( ) + + ce ; Na kraju traženo rješenje Bernoullijeve jednadžbe glasi: + + ce ( ) d 75 Riješiti diferencijalnu jednadžbu + Prvo je napišemo u obliku: d d d + Potom radimo slijedeće korake i) Množenjem jednadžbe sa i iv) dobivamo: d + d( ) + ; d d Sada supstitucijom u prethodna jednadžba postaje linearna du 8 + u ; d Ovu linearnu jednadžbu rješavamo primjenom postupka iz Teorema pa c dobivamo da je: u ( ) + ; 8 9 Na kraju traženo rješenje Bernoullijeve jednadžbe glasi: c ( ) 8 9 ± + ZADACI ZA VJEŽBU U slijedećim zadacima naći opće riješenje zadane diferencijalne jednadžbe 76 ' + sin 77 78 ' + e 79 ' ' 70 ' tg cos 7 ' + + e 0 5

9 Diferencijalne jednadžbe 7 U slijedećim zadacima naći partikularno riješenje zadane diferencijalne jednadžbe 7 7 76 ' + () 7 ' + () 75 ' tg + tg 0 (0) 77 ' + cos 0 () 5 ' ( ) ' + ( ) e RJEŠENJA 9 76 ( c e + cos + sin ) 0 0 / 77 c 6 78 + e ( + + ) 79 7 (e + c) i 0 7 75 / ( + e ) 77 / + c e 8 c + 7 7 ( e + e ) / 7 95 EGZAKTNA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA Diferencijalna jednadžba f ( d + g( d 0 se zove egzaktna ukoliko postoji funkcija u ( takva da je: u f ( u i g( odnosno ukoliko je du f ( d + g( Tada egzaktna jednadžba poprima oblik du 0 dok je opće rješenje dano formulom u ( c Naravno pod uvjetom da smo pronašli iz prethodnih uvjeta funkciju u ( Primjetimo još da se svaka diferencijalna jednadžba prvog reda može napisati u obliku f ( d + g( d 0 Prije pronalaženja funkcije u ( bilo bi dobro provjeriti dali je dana jednadžba uopće egzaktna jer ako nije nećemo moći ni naći takvu funkciju Kriterij za utvrđivanje da li je neka diferencijalna jednadžba egzaktna je dan slijedećim rezultatom

7 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI Teorem Diferencijalna jednadžba f ( d + g( d 0 ako vrijedi: f g je egzaktna ako i samo To znači da ćemo za danu jednadžbu prvo provjeriti dali je egzaktna koristeći pri tome prethodni teorem a tek potom ćemo tražiti funkciju u ( Postupak za pronalaženje funkcije u ( dajemo u nekoliko slijedećih primjera 78 Nađimo opće rješenje diferencijalne jednadžbe ( + ) d + ( + d 0 Radimo u nekoliko koraka: i) + f ( + i g( ; f g računamo: + i + odnosno f g pa po teoremu zaključujemo da je ( + ) d + ( + d 0 egzaktna diferencijalna jednadžba; i po definiciji egzaktne jednadžbe postoji funkcija u( koja zadovoljava u f ( + iz čega integriranjem slijedi: i u g( + u ( ( + ) d + + c( u ( ( + d + + c( ) odnosno u ( + + c ; iv) S obzirom da je dana jednadžba egzaktna to opće rješenje () u ( c + c ima oblik: 79 Nađimo opće rješenje diferencijalne jednadžbe ( + e ) d + ( + e + d 0 Radimo u nekoliko koraka: i) f ( + e i g( + e + ; f g računamo: + e i + e odnosno f g pa po teoremu zaključujemo da je ( + e ) d + ( + e + d 0 egzaktna diferencijalna jednadžba; i po definiciji egzaktne jednadžbe postoji funkcija u( koja zadovoljava

9 Diferencijalne jednadžbe 75 u u f ( + e i g( + e + iz čega integriranjem slijedi: u( ( + e ) d + e + c( u( ( + e + d + e + odnosno u( + e + + c ; iv) S obzirom da je dana jednadžba egzaktna to opće rješenje () u ( c + e + c ima oblik: 70 Nađimo partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe Radimo u nekoliko koraka: ( + sin ) d + (cos d 0 uz uvjet ( 0) i) f ( sin i g( cos ; f g f g računamo: sin i sin odnosno pa po teoremu zaključujemo da je ( + sin ) d + (cos d 0 egzaktna diferencijalna jednadžba; i po definiciji egzaktne jednadžbe postoji funkcija u( koja zadovoljava u f ( sin i u g( cos iz čega integriranjem slijedi: u ( ( + sin ) d + cos + c( u ( (cos d cos + c( ) odnosno u ( cos + c ; iv) S obzirom da je dana jednadžba egzaktna to opće rješenje () u ( c cos c ima oblik: v) Sada još trebamo odrediti konstantu c iz uvjeta ( 0) Uvrštavanjem ovog uvjeta u opće rješenje slijedi: cos0 0 c c pa je traženo rješenje zadatka funkcija: cos

76 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI ZADACI ZA VJEŽBU Naći opće rješenje dane egzaktne diferencijalne jednadžbe 7 ( + ) d + ( + d 0 7 ( e ) d + ( e ) d 0 7 ( + ' + 0 7 e d + ( d 0 75 e d ( + e ) d 0 76 d + ( + ln ) d 0 77 ( + sin ) d cos d 0 Naći partikularno rješenje 78 ( + ln d ( ) d 0 79 ( ) ' + ( 0 750 () ( + + e (0) ) d + ( e + 0 RJEŠENJA 7 ( 6 + c 7 ( e ) c 7 + c 7 e ( ) c 75 e c 76 ln + c 77 cos c 78 + ln c 79 + 750 e + + + ( ) e 96 DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA HOMOGENOG STUPNJA Diferencijalna jednadžba f( d+ g( d 0 je homogenog stupnja ukoliko se može svesti na oblik d h( ) Na primjer ukoliko su f ( ) i g ( polinomi homogenog d λ λ stupnja odnosno ako postoji broj λ takav da vrijedi f ( t t t f ( i g( t t t g( tada se diferencijalna jednadžba f ( d + g( d 0 može svesti na oblik d h( ) d Potom uvodimo supstituciju z te se početna jednadžba svodi na oblik riješiv metodom separacije varijabli To ćemo pokazati na nekoliko riješenih primjera 75 Riješiti diferencijalnu jednadžbu homogenog stupnja ( + 5 ) d + d 0 Nije teško primjetiti da su funkcije f ( ( + 5 ) i g ( polinomi homogenog

9 Diferencijalne jednadžbe 77 stupnja odnosno f ( t t t f ( i g ( t t t g( Stoga djeljenjem sa ovu jednadžbu svesti na oblik: d 5( ) + 0 d Supstitucijom z gdje je ' z' + z dobivamo: 5z + z' + z 0 z' + z z z Ova se jednadžba rješava separacijom varijabli: S obzirom da je je funkcija zdz d zdz d z ' + z + z z + z ln( 8 z odnosno z 8 c ( ) ± 75 Riješiti diferencijalnu jednadžbu: Supstitucijom z gdje je z' + z z z z c + z ) ln + c z 8 ćemo traženo rješenje jednadžbe ( + 5 ) d + d 0 ' e ' lako dobivamo da je: z z ' + e z' e Ova se jednadžba rješava separacijom varijabli: z z d z d z' e e dz e dz e z ln + c z ln(ln + c) S obzirom da je z odnosno z traženo rješenje jednadžbe ' e je funkcija ( ) ln(ln + c) ZADACI ZA VJEŽBU U slijedećim zadacima naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe 75 ' + 75 ' 755 ' + 756 ' 6 + 757 ( ) ' 6 0 758 ' 759 ' 760 + ( ) ' 76 + ' ' 76 ( + ) '

78 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI 76 ' tg 76 ' e U slijedećim zadacima naći partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe 765 767 769 ' + 766 () 0 ' () 768 + ' () 770 + ' () 0 + ' () ( + ) ' () RJEŠENJA c 6 75 ln + c 75 + 755 (log + c) 756 + c 6 c 757 c( + ) 758 + 759 c +/ c 760 c / 76 ce 76 c i 0 76 sin c 76 ln lnc 765 ln 766 767 768 ( + ln ) + ln 769 ( 5 / + ) 770