OSOVINE I VRATILA Pomoćni nastavni materijali uz kolegij "Konstrukcijski elementi I" Ak. godina 2010./11. Nositelji kolegija: Prof. dr. sc. Božidar Križan Prof. dr. sc. Saša Zelenika - 1 -
OSOVINE I VRATILA Funkcija, opterećenja, naprezanja Osovine su strojni elementi koji na sebi nose strojne dijelove kao što su npr. užnice i kotači. Osovine mogu mirovati dok se dijelovi okreću na njima ili se mogu okretati zajedno s na njima pričvršćenim dijelovima. Užnice na mirujućoj osovini Kotači na rotirajućoj osovini Osovine su opterećene poprečnim silama F Q koje izazivaju savijanje, a ponekad i aksijalnom silom F a koja uzrokuje vlak ili tlak. Smicanje izazvano poprečnim silama se zanemaruje. Osovine ne prenose okretni moment i snagu pa nisu opterećene torzijski. - 2 -
Poprečne sile Moment savijanja Aksijalna sila u zavoju Vratila su strojni elementi koji se okreću i prenose okretni moment i snagu. Po obliku su slična osovinama i na sebi najčešće nose razne strojne elemente koji također služe za prijenos snage - zupčanike, remenice, lančanike itd. Dvostupanjski reduktor s parom koničnih i parom cilindričnih zupčanika te tri vratila: - 3 -
Vratila su najčešće opterećena i savijanjem, a ponekad i aksijalnom silom koja uzrokuje vlak ili tlak. Smicanje izazvano poprečnim silama se zanemaruje. Vratilo u lančaničkom prijenosniku: Vratila mlinskih kola mlina u Martinovom selu na Rječini - 4 -
Pregled naprezanja u osovinama i vratilima: Osovine Vratila Opterećenje M s uvijek F a ponekad M s najčešće F a ponekad T uvijek Naprezanje σ s = M s / W σ = σ s ± σ v, tl σ v, tl = ±F a / A σ s = M s / W σ v, tl = ±F a / A σ = σ s ± σ v, tl 2 σ = σ + 3 ( α τ τ t = T / W p 2 e 0 t ) Posmično naprezanje se zanemaruje. Vlačno i tlačno naprezanje uzrokovano aksijalnom silom je također najčešće zanemarivo u usporedbi sa savijanjem. Rukavci su oni dijelovi osovina i vratila kojima se oslanjaju na klizne ili valjne ležaje ili na nepokretne dijelove. Rukavci koji se nalaze na kraju osovine/vratila se nazivaju čelnim, a ostali unutarnjim. Osovine i vratila imaju obično dva rukavca, tj. ležaja, a dugačka i jače opterećena vratila više njih, npr. koljenasto vratilo motora. Osovine i vratila su rijetko jednakog promjera po čitavoj duljini. Najčešće su stupnjevani, tj. pojedini dijelovi imaju različite promjere. Vratila mogu biti i profilirana, tj. ožlijebljena ili ozubljena. - 5 -
Radi smanjenja težine, osovine i vratila mogu biti šuplji, s uzdužnim provrtom, što poskupljuje izradu. Pri tome je korist od smanjenja težine veća nego šteta od smanjenja čvrstoće i krutosti. Npr. vratilo s promjerom provrta 0,5 d je lakše 25 %, a momenti otpora W i W p se smanjuju samo oko 5 %. Primjer: šuplje vratilo s dva zupčanika Materijal Materijali osovina i vratila ISO / DIN / HRN: - Najčešće: S275JR / St 44-2 / Č0451, E295 / St 50-2 / Č0545, za veća opterećenja E335 / St 60-2 / Č0645. - Kod većih zahtjeva se koriste čelici za poboljšanje: C35E / Ck 35 / Č1431, C45E / Ck45 / Č1531, 34Cr4 / 34Cr4 / Č4130, 41Cr4 / 41Cr4 / Č4131, 42CrMo4 / 42CrMo4 / Č4732 i sl. - Za vratila vozila se koriste čelici za cementiranje: C15 / C15 / Č1220, 16MnCr5 / 16MnCr5 / Č4320, 20MnCr5 / 20MnCr5 / Č4321, 18CrNi8 /18CrNi8 / Č5421 i sl. - Koljenasta vratila motora s unutarnjim izgaranjem se mogu izrađivati i iz nodularnog lijeva (NL 600) koji ima kuglasti grafit. Čelici za cementaciju su potrebni jer je na pojedinim mjestima (npr. na rukavcu u ležaju) potrebno da vratilo ima tvrdu površinu, dok jezgra vratila ostaje mekana i žilava. Pri tome se koncentracija naprezanja na površini mora maksimalno smanjiti jer su čelici visoke čvrstoće vrlo osjetljivi na zareze. Radi uštede se vratila mogu izrađivati i zavarivanjem iz dva dijela od različitih materijala, npr. od jeftinog Č0545 i skupog Č5421 za zupčanike. - 6 -
Izrada Osovine i vratila promjera do 80 mm mogu se dobiti provlačenjem (izvlačenjem) čeličnih šipki na hladno, pri čemu se postižu tolerancije h8...h11, tako da naknadno tokarenje više nije potrebno. Promjeri do 150 mm izrađuju se od čeličnih šipki okruglog presjeka izvlačenjem na toplo, valjanjem na toplo ili tokarenjem. Deblje i složenije osovine i vratila izrađuju se kovanjem, prešanjem ili lijevanjem. Rukavci, prijelazi s manjeg na veći promjer i bočni oslonci se prema postavljenim zahtjevima fino tokare, bruse, poliraju ili tlače. Preporuča se da promjeri osovina/vratila u (mm) budu standardni ili zaokruženi brojevi. Završeci vratila promjera do 28 mm izrađuju se s tolerancijom j6, od 28 do 50 s k6, a veći s m6. Često su završeci izrađeni kao ožljebljeni. Promjeri rukavaca su određeni promjerom ležaja. Oblik ostalog dijela osovine/vratila je osim čvrstoćom i krutošću određen drugim konstrukcijskim zahtjevima, načinom montaže, izmjerama brtvi, uskočnika itd. Osovine i vratila za brzine vrtnje iznad 1500 min 1 uležištena i izbalansirana. moraju biti kruta, kruto Oblikovanje Promjenljivo naprezanje pri savijanju izaziva na svim mjestima gdje postoji koncentracija naprezanja (utori, promjene presjeka, provrti) stalnu opasnost od loma usljed zamora materijala. Stoga oblikovati treba tako da skretanje silnica - zamišljenih linija po kojima se prenosi sila - bude što blaže. To će se postići ako na osovini/vratilu ne bude naglih promjena oblika. Opasnost od zamornog loma će se smanjiti ako površinska obrada na mjestima skretanja sila bude što finija (faktor b 1 u formuli za σ dop din ). - 7 -
Povećana naprezanja σ k i τ k na mjestu koncentracije naprezanja i tok sile kod povoljnog i nepovoljnog oblikovanja: Ukoliko na promjenama promjera ne smije biti zaobljenje radi bočnog oslanjanja pojedinih elemenata (valjnog ležaja, zupčanika itd.), izrađuju se žljebovi za izlaz alata koji također smanjuju koncentraciju naprezanja. d d - 8 -
Sile i momenti Osovine i vratila su nosači na dva ili rjeđe na više oslonaca. - Na osovine djeluju momenti savijanja M s, a ponekad i aksijalne sile F a. - Na vratila djeluju okretni momenti (momenti torzije) T, najčešće i momenti savijanja M s, a ponekad i aksijalne sile F a. Opterećenja tijekom rada nisu konstantna, nego se mijenjaju, ovisno o radnom i pogonskom stroju. Srednje vrijednosti opterećenja tijekom rada se nazivaju nazivnima: M sn = nazivni moment savijanja T N = nazivni okretni moment (nazivni moment torzije) Najveći moment savijanja M s max i najveći okretni moment T max se obično javljaju pri pokretanju ili zaustavljanju stroja i veći su najčešće za 2...3 puta od nazivnog momenta savijanja M sn, odnosno nazivnog okretnog momenta T N. Najveće opterećenje pri pokretanju (ili zaustavljanju) M s T Variranje opterećenja tijekom pogona Ms max MsN Ms eq = KA MsN Tmax TN Teq = KA TN t t Najveća opterećenja M s max i T max izazivaju maksimalna naprezanja koja ne smiju uzrokovati trajne plastične deformacije. Veličinama M s max i T max vrši se kontrola plastičnih deformacija osovina i vratila. Radni stroj, a ponekad i pogonski stroj (npr. motor s unutarnjim izgaranjem), proizvode u trajnom pogonu udare pa opterećenja variraju. To se uzima u obzir faktorom primjene K A (u tablici) kojim se množe nazivni momenti M sn i T N. - 9 -
Tako se dobivaju ekvivalentni jednakovrijedni momenti: - ekvivalentni moment savijanja: M s eq = K A M sn - ekvivalentni okretni moment: T eq = K A T N Oni će u proračunu rezultirati istom sigurnošću protiv oštećenja kao i realni promjenjivi momenti. Veličinama M s eq i T eq vrši se kontrola zamora materijala osovina i vratila pri dinamičkim opterećenjima, kad može nastupiti zamorni lom. Ekvivalentni moment savijanja M s eq se ne smije zamijeniti s ekvivalentnim 2 momentom ( ) 2 M e M s +, 75 = 0 α T. Faktor primjene K A (pogonski faktor, faktor udara) 0-10 -
Ukoliko sve sile i momenti savijanja ne djeluju u jednoj ravnini, radi jednostavnosti proračuna se rastavljaju u komponente u dvije međusobno okomite ravnine i zatim izračunava njihova rezultanta. Primjer: vratilo s pogonskim cilindričnim zupčanikom s kosim zubima. Sila koja s gonjenog djeluje na pogonski zupčanik rastavlja se u tangencijalnu (obodnu) F t, radijalnu F r i aksijalnu komponentu F a. Ležajevi A i B predstavljaju oslonce u kojima spomenute komponente izazivaju odgovarajuće reakcije. pogonski zupčanik gonjeni zupčanik Reakcije u ležajevima se izračunavaju tako da se postavljaju jednadžbe ravnoteže sila ΣF = 0 i ravnoteže momenata ΣM = 0. Obodna sila F t izaziva radijalne reakcije F Ax F b l = t F Bx F a l = t Radijalna sila F r izaziva radijalne reakcije F Ay1 = r F b l F By1 = r F a l Aksijalna sila F a izaziva moment prevrtanja ležajevima d Fa i radijalne reakcije u 2 d Fa F F 2 Ay2 = By2 = l - 11 -
Sile F Ay2 i F By2 su suprotno usmjerene. Rezultirajuće radijalne reakcije u ležajima: F Ar = F 2 Ax + ( F F ) 2 Ay1 Ay2 Br 2 Bx ( F F ) 2 F = F + + By1 By2 Aksijalnu silu na zupčaniku F a može preuzimati samo jedan ležaj. Aksijalna reakcija će biti npr. u ležaju A: F Aa = F a Nakon određivanja reakcija u ležajevima mogu se proračunati momenti savijanja. Prirubnica spojke Sila F t izaziva najveći moment savijanja M x. Sila F r izaziva najveći moment savijanja M y3. Sila F a izaziva reakcije F Ay2 i F By2 koje izazivaju momente savijanja M y1 = F Ay2 a M y2 = F By2 b Najveći moment savijanja je neposredno uz točku C s desne strane i iznosi s 2 x ( M M ) 2 M = M + + y2 y3-12 -
Torzijski m oment T (Nm) često se izračunava iz snage P (W) i brzine vrtnje n (s 1 ), odnosno kutne brzine ω (s 1 ): P T =, ω = 2 π n ω Ekvivalentni moment (koji obuhvaća djelovanje i savijanja i torzije) po hipotezi najvećeg deformacijskog rada neposredno uz točku C s desne strane iznosi M 2 e Ms + 0, 75 = α ( T ) 2 0 Ovaj moment treba razlikovati od ekvivalentnog momenta savijanja M s eq =K A M sn. Ekvivalentno naprezanje σ e = M W e Ekvivalentno naprezanje se može izračunati i iz pojedinačno izračunatih normalnih naprezanja uslijed savijanja i tangencijalnih naprezanja uslijed torzije. DIMENZIONIRANJE PREMA KRITERIJU ČVRSTOĆE Približn i proračun Ovim se proračunom približno određuje minimalni potrebni promjer osovine ili vratila d pr. Budući da oblik osovine ili vratila još nije poznat i ne mogu se utvrditi utjecajni faktori (koncentracija naprezanja, površinska obrada itd.), računa se s velikim faktorima sigurnosti S, tj. s malim dopuštenim naprezanjima. Kod osovina treba računati s momentom savijanja M s = M s eq, a kod vratila treba računati s momentom torzije T = T eq. Dakle, u nastavku se neće pisati indeks eq, ali se u proračunu trebaju koristiti te realne ekvivalentne vrijednosti. - 13 -
Osovine Mjerodavna veličina za proračun osovina je najveći lokalni moment savijanja M s (=M s eq ), pri čemu se težina osovine zanemaruje. Naprezanje pri savijanju σ M 2 s s σ sdop = (N/mm ) W Aksijalni moment otpora za puni okrugli presjek W 3 pr d π M s = (mm 3 ) 32 σ sdop Slijedi d pr 32 M s 3 (mm) π σ sdop Ako osovina ne rotira (kotači vagoneta i dizalica, užnice), uzima se da je dinamičko opterećenje ishodišno. Dopušteno naprezanje je σ sdop Rds0 = S = 3...5 S Ako osovina rotira (kotači vagona), uzima se da je dinamičko opterećenje izmjenično. Dopušteno naprezanje je σ sdop Rds 1 = S = 4...6 S Vratila Mjerodavna veličina za proračun vratila je moment torzije T (=T eq ), koji je praktički uvijek ishodišnog dinamičkog karaktera. 1. slučaj: nisu poznate izmjere konstrukcije u kojoj će se vratilo nalaziti Naprezanje pri torziji τ t T = τtdop (N/mm 2 ) W t - 14 -
Torzijski moment otpora za puni okrugli presjek W t 3 pr d π T = Wp = (mm 3 ) 16 τ tdop Slijedi d pr 16 T 3 (mm) π τ tdop Dopušteno naprezanje se računa u odnosu na ishodišnu trajnu dinamičku čvrstoću: τ tdop = R S dt0 Ako se radi o vratilima koja su opterećena isključivo torzijom - npr. kardansko vratilo, uzima se faktor sigurnosti S = 4...6. Ako se radi o vratilima koja će biti opterećena i savijanjem - npr. vratila na kojima su remenice, zupčanici i sl., mora se usvojiti veći faktor sigurnosti S = 10...15, budući da se u ovoj fazi proračuna veličina momenata savijanja još ne zna pa se ne može uzeti u obzir u proračunu. 2. slučaj: poznate su bitne izmjere konstrukcije koje omogućavaju određivanje momenta savijanja M s Ako su poznate izmjere konstrukcije na temelju kojih se može odrediti moment savijanja M s (=M s eq ), treba izračunati ekvivalentni moment 2 s ( ) 2 M e = M + 0, 75 α 0 T i dalje računati kao za rotirajuću osovinu, ali s M e : d pr 32 M e 3, π σ sdop σ sdop Rds 1 =, S = 4...6 S - 15 -
Kontrolni proračun Nakon što je približnim proračunom određen minimalni potrebni promjer osovine ili vratila d pr, određuje se stvarni promjer d. Ako su osovina ili vratilo oslabljeni utorima i slično, to treba uzeti u obzir pa je d d pr d dpr t dpr d dpr t Utor za pero Ožljebljeno vratilo Utor za uskočnik Zatim se utvrđuje način uležištenja i konstruira oblik osovine ili vratila prema postavljenim zahtjevima. Kontrolni proračun se vrši za presjeke za koje se procjenjuje da su kritični. Kritični su presjeci oni gdje se javljaju najveći momenti savijanja ili najveći ekvivalentni momenti, odnosno gdje se nalaze koncentratori naprezanja - promjene promjera, utori i sl. 1, 3 i 4 - kritični presjeci na mjestu promjene promjera (koncentracija naprezanja) 2 - kritični presjek na mjestu najvećeg momenta savijanja - 16 -
Naprezanje pri vlaku/tlaku Naprezanje pri savijanju Naprezanje pri torziji σ σ Fa = (N/mm 2 ) A v, tl ± s = M W p s T τ t = (za neokrugle presjeke W T τ t = ) W t Vrše se sljedeće kontrole (temeljene na normi DIN 743): 1. Kontrola plastičnih deformacija; plastična deformacija se praktički javlja kod naprezanja većih od granice tečenja (razvlačenja) R e, odnosno R p0,2. Osovine i vratila se ne izrađuju od krhkih materijala. 2. Kontrola zamora materijala pri dinamičkim opterećenjima kad može nastupiti zamorni lom. - 17 -
Aksijalni momenti otpora W, polarni momenti otpora W p i torzijski momenti otpora W t poprečnog presjeka W W p, W t W t π d 3 32 W t π d 3 16 W t z = broj žlijebova W t W t W t - 18 -
Kontrola plastičnih deformacija (temeljeno na normi DIN 743) Kontrola plastičnih deformacija se načelno obavlja tako da se računa koliko je puta granica tečenja R e (ili R p0,2 ) veća od najvećeg naprezanja. Ova se kontrola mora vršiti za najveća naprezanja koja se mogu javiti kao posljedica najvećih opterećenja (M s max, T max i F a max ). Takva su naprezanja rijetka i uglavnom se pojavljuju pri pokretanju ili zaustavljanju radnog stroja. Ako je kritični presjek osovine opterećen samo savijanjem (σ s ), onda je faktor sigurnosti protiv plastične deformacije S P = R σ es s max = Granica tečenja pri savijanju Najveće naprezanje uslijed savijanja Ako je kritični presjek vratila opterećen samo torzijom (τ t ), onda je faktor sigurnosti protiv plastične deformacije S P = R τ et t max = Granica tečenja pri torziji Najveće naprezanje uslijed torzije Ako je kritični presjek vratila opterećen i savijanjem (σ s ) i torzijom (τ t ), onda je faktor sigurnosti protiv plastične deformacije S P = σ R s max es 2 1 τ + R t max et 2 Osovine i vratila su rijetko znatnije opterećeni vlačno ili tlačno i najčešće se ta naprezanja (σ v,tl max ) mogu zanemariti. U slučaju da to zanemarenje nije moguće, faktor sigurnosti protiv plastične deformacije bio bi 1 S P = (R e = granica tečenja pri vlaku) 2 2 σs max σv,tl max τt max + + Res Re Ret s time da bi kod osovina otpao član s τ t max, a kod vratila koja nisu opterećena savijanjem član sa σ s max. - 19 -
Faktor sigurnosti mora biti S P S Pmin = 1,2. Kod nedovoljno pouzdanih svojstava materijala, mogućnosti veće štete i opasnosti za ljude pri havariji, minimalni faktor sigurnosti S Pmin mora biti i veći od 1,2. Visina stvarne granice tečenja R e (odnosno R p0,2 ) u odnosu na nazivnu granicu tečenja R en, koja je određena za ispitnu epruvetu promjera 16 mm, ovisi o izmjerama osovine/vratila i uzima se u obzir tehnološkim faktorom K t : Za vlak/tlak R e = K t R en (N/mm 2 ) Za savijanje R es = K t R esn Za torziju R et = K t R etn Tehnološki faktor K t uzima u obzir da se s porastom veličine smanjuju granica tečenja, dinamička čvrstoća i tvrdoća koja se može postići toplinskom obradom. Faktor K t se očitava sa slika 1 i 2 ili proračunava po sljedećim izrazima: Ugljični konstrukcijski čelici: a) Ako se faktor K t koristi za proračun stvarne vlačne čvrstoće R m izvedene osovine ili vratila (R m =K t R mn ), koristi se linija 1 na slici 1, tj.: - za D 100 mm : K t = 1 - za 100 < D 300 mm: K t = 1 0,23 lg (D/100) - za D > 300 mm: K t = 0,89 b) Ako se faktor K t koristi za proračun stvarne granice tečenja R e izvedene osovine ili vratila (R e =K t R en ), koristi se linija 2 na slici 1, tj.: - za D 32 mm : K t = 1 - za 32 < D 300 mm: K t = 1 0,26 lg (D/32) - za D > 300 mm: K t = 0,75 Čelici za nitriranje: - za D 100 mm : K t = 1 - za 100 < D 300 mm: K t = 1 0,23 lg (D/100) - za D > 300 mm: K t = 0,89 Čelici za poboljšanje: - za D 16 mm : K t = 1 - za 16 < D 300 mm: K t = 1 0,26 lg (D/16) - za D > 300 mm: K t = 0,67-20 -
Čelici za cementaciju: - za D 11 mm : K t = 1 - za 11 < D 300 mm: K t = 1 0,41 lg (D/11) - za D > 300 mm: K t = 0,41 Tehnološki faktor Kt Tehnološki faktor Kt - 21 -
Nazivna granica tečenja R en (odnosno R p0,2n ) epruvete promjera 16 mm dana je u tablici s mehaničkim karakteristikama materijala za osovine/vratila: - 22 -
Kontrola zamora materijala (temeljeno na normi DIN 743) Određivanje amplitude trajne dinamičke čvrstoće R da (u knjizi B. Križan: "Osnove proračuna i oblikovanja konstrukcijskih elemenata" oznaka je R a ) σ R e R d 1N R d 1K R da 45 σ m Izvedeni konstrukcijski element Epruveta Crtkana linija u Smithovom dijagramu se odnosi na epruvetu (indeks N), a puna na izvedeni element određenog oblika, izmjera i obrade (indeks K). Za srednje naprezanje σ m = 0 (κ = 1) je amplituda dinamičke čvrstoće R da = R d 1K. Budući da se dijagram prema vrhu sužava, R da će biti to manji što je srednje naprezanje σ m veće. Smanjenje R da se uzima u obzir s faktorom ψ koji je određen na temelju približne konstrukcije Smithovog dijagrama pomoću R d 1 i R m. Dakle, faktor ψ (psi) definira granice Smithovog dijagrama, tj. njegovo sužavanje prema vrhu. Isto vrijedi, naravno, i za tangencijalna naprezanja τ. - 23 -
Za savijanje (normalno naprezanje) je ψ σ = R ds 1K 2 Rm Rds 1K Za torziju (tangencijalno naprezanje) je ψ τ = R dt 1K 2 Rm Rdt 1K R ds 1K = trajna izmjenična dinamička čvrstoća već oblikovanog elementa pri savijanju (N/mm 2 ) R dt 1K = trajna izmjenična dinamička čvrstoća već oblikovanog elementa pri torziji R m = K t R mn = stvarna vlačna čvrstoća izvedene osovine ili vratila K t = tehnološki faktor za proračun stvarne vlačne čvrstoće (iz dijagrama ili formule) R mn = vlačna čvrstoća epruvete promjera 16 mm (iz tablice) Na temelju Smithovih dijagrama danih u knjizi Roloff/Matek: "Maschinenelemente" (2000.), mogu se usvojiti približne i veće vrijednosti faktora ψ σ i ψ τ, čime se proračun pojednostavnjuje i nalazi se na strani sigurnosti: za savijanje ψ σ 0,35 i za torziju ψ τ 0,19. S kojom amplitudom dinamičke čvrstoće R da treba računati, ovisi o tome da li će pri porastu opterećenja ostati nepromijenjeno srednje naprezanje σ m (τ m ) ili faktor asimetrije naprezanja σ κ = min, odnosno σ max κ τ = τ min max σ (τ) σ a (τ a ) σ a (τ a ) σ min (τ min ) σ m (τ m ) σ max (τ max ) t - 24 -
Jednostavno opterećenje Ovakav je slučaj kad na osovinu djeluje (samo) moment savijanja M s ili na vratilo djeluje samo moment torzije T. Variranje naprezanja tijekom pogona treba uzeti u obzir faktorom primjene K A i zapravo računati odmah s opterećenjima M s eq, odnosno T eq. a) Srednje naprezanje je konstantno: σ sm = konst., odnosno τ tm = konst. Ovakav slučaj se npr. javlja kod mirujuće osovine užnice. Smithov dijagram: Amplituda dinamičke čvrstoće za izvedeni element pri savijanju, odnosno torziji, bit će R dsa = R ds 1K ψ σ σ sm (N/mm 2 ) R dta = R dt 1K ψ τ τ tm - 25 -
b) Faktor asimetrije naprezanja κ = konst. Ovakav slučaj se npr. javlja kod vratila reduktora. Smithov dijagram: τ ta, R dt R et R dt 1N R dt 1K τ tm τta τta RdtA RdtA RdtAN RdtAN Amplituda dinamičke čvrstoće je za takvo vratilo pri torziji R R dt 1K dta = (N/mm 2 ) τ 1 + ψ tm τ τ ta a za savijanje osovine s κ = konst. bi bilo R RdsA σ 1 + ψσ σ = ds 1K sm sa - 26 -
Složeno opterećenje Vratila su najčešće podvrgnuta složenom opterećenju, tj. i momentu savijanja M s i momentu torzije T. Variranje naprezanja tijekom pogona treba uzeti u obzir faktorom primjene K A i zapravo računati odmah s vrijednostima M s eq i T eq. Potrebno je izračunati srednja ekvivalentna naprezanja kojima se uzima u obzir ukupni utjecaj normalnih i tangencijalnih naprezanja koja istodobno djeluju: σ i em = σ 2 sm + 3 τ 2 tm σ τ em = 3 em S ovim srednjim ekvivalentnim naprezanjima se zatim proračunavaju amplitude dinamičke čvrstoće R dsa i R dta : a) Srednje naprezanje je konstantno: σ sm = konst., odnosno τ tm = konst. R dsa = R ds 1K ψ σ σ em (N/mm 2 ) R dta = R dt 1K ψ τ τ em b) Faktor asimetrije naprezanja κ = konst. R R ds 1K dsa = (N/mm 2 ) σ 1 + ψ em σ σ R RdtA τ 1 + ψτ τ = dt 1K sa em ta - 27 -
Određivanje faktora sigurnosti S D Kod kontrole zamora materijala se načelno računa koliko puta je amplituda dinamičke čvrstoće R da iz Smithovog dijagrama veća od amplitude naprezanja σ sa, odnosno τ ta. Amplituda naprezanja Amplituda dinamičke čvrstoće τ ta, R dt R et Amplituda naprezanja Amplituda dinamičke čvrstoće R dt 1N R dt 1K τ tm τta τta RdtA RdtA RdtAN RdtAN Variranje naprezanja tijekom pogona treba uzeti u obzir faktorom primjene K A i naprezanja proračunavati s vrijednostima M s eq, odnosno T eq. - 28 -
Ako je kritični presjek osovine dinamički opterećen samo savijanjem s amplitudom naprezanja σ sa, onda je faktor sigurnosti protiv zamora materijala S = D R σ dsa sa Ako je kritični presjek vratila dinamički opterećen samo torzijom s amplitudom naprezanja τ ta, onda je sigurnost protiv zamora materijala S = D R τ dta ta Ako je kritični presjek vratila opterećen i savijanjem i torzijom s amplitudama naprezanja σ sa i τ ta, onda je sigurnost protiv zamora materijala S D = σ R sa dsa 2 1 τ + R ta dta 2 Mora biti S D S Dmin = 1,2. Kod nedovoljno pouzdanih svojstava materijala, mogućnosti veće štete i opasnosti za ljude pri havariji, minimalni faktor sigurnosti S Dmin treba biti veći od 1,2. Osovine i vratila mogu biti opterećeni i vlačno/tlačno, ali se to najčešće može zanemariti pa ni u ovom proračunu nije uzeto u obzir. Određivanje trajne izmjenične dinamičke čvrstoće već oblikovanog elementa R ds 1K i R dt 1K Dosada je bilo objašnjeno kako se može izračunati amplituda dinamičke čvrstoće za savijanje R dsa i torziju R dta iz trajne izmjenične dinamičke čvrstoće već oblikovanog elementa pri savijanju R ds 1K i pri torziji R dt 1K. Te trajne izmjenične čvrstoće već oblikovanog elementa se izračunavaju pomoću sljedećih izraza: - 29 -
Za savijanje R ds 1K Kt Rds 1N = (N/mm 2 ) K σ Za torziju R dt 1K = K t R dt 1N K τ K t = tehnološki faktor za proračun stvarne vlačne čvrstoće (dijagram) R ds-1n i R dt-1n = trajne izmjenične dinamičke čvrstoće za epruvetu promjera 16 mm - iz tablice K σ i K τ = konstrukcijski faktori za normalno i tangencijalno naprezanje Određivanje konstrukcijskih faktora K σ i K τ Ovi faktori uzimaju u obzir koncentraciju naprezanja (β k ), veličinu komada (K g ), hrapavost površine (K 0 ) i utjecaj ojačanja površinskog sloja, npr. sačmarenjem (K V ). Za savijanje Za torziju K K τ σ β = K β = K ks 1 1 g g + K 0σ 0τ 1 K 1 K kt 1 1 + K V V Efektivni faktori koncentracije naprezanja za savijanje β ks i torziju β kt za najčešće oblike koncentratora naprezanja mogu se naći u sljedećim dijagramima, a u ovisnosti o vlačnoj čvrstoći materijala izvedene osovine ili vratila R m = K t R mn gdje su: K t = tehnološki faktor za proračun vlačne čvrstoće (dijagram) i R mn = vlačna čvrstoća epruvete (tablica). - 30 -
- 31 -
- 32 -
K g je geometrijski faktor veličine : Za savijanje i torziju: - za d 7,5 mm: K g = 1 - za 7,5 < d < 150 mm: K g lg( d / 7,5) = 1 0,2 lg20 - za d 150 mm: K g = 0,8 Na mjestima promjene promjera osovine/vratila, u proračun treba uzeti manji promjer. Faktor K g odgovara faktoru b 2 u formuli za dopušteno naprezanje pri dinamičkom opterećenju. K 0 je faktor utjecaja hrapavosti površine. Kod savijanja (normalno naprezanje) se računa s K 0σ (dijagram, prva formula u dijagramu). Kod torzije (tangencijalno naprezanje) se najprije odredi K 0σ, a zatim po drugoj formuli K 0τ. - 33 -
Faktor K 0 odgovara faktoru b 1 u formuli za dopušteno naprezanje pri dinamičkom opterećenju. Faktor ojačanja površinskog sloja K V : Karbonitriranje (cijaniranje) - 34 -
KONTROLNI PRORAČUN OSOVINA I VRATILA Dijagram toka za pomoć pri proračunu S P : R en, R esn, R etn (iz tablice) K t za određivanje R e (iz dijagrama ili formula) M smax, T max, F a max R e, R es, R et σ s max, τ t max, σ v, tl S P 1,2 Dijagram toka za pomoć pri proračunu S D : K t za određivanje R m (iz dijagrama ili formule) R mn (iz tablice) R m R ds 1N, R dt 1N (iz tablice) K σ, K τ (iz formula, dijagrama i tablica) R ds 1K, R dt 1K M s eq, T eq ψ σ, ψ τ σ sm, τ tm σ sa, τ ta Jednostavno opterećenje: samo M s ili samo T Složeno opterećenje: M s i T σ em, τ em Samo za κ = konst. R dsa, R dta S D 1,2-35 -
DIMENZIONIRANJE PREMA KRITERIJU KRUTOSTI Dimenzije dobivene na temelju kriterija čvrstoće često su premale da bi osovina ili vratilo pri savijanju i torziji bili dovoljno kruti za postizanje dobre funkcionalnosti. Takav je npr. slučaj kod alatnih strojeva (progib), kod vratila zupčaničkih prijenosnika (progib), dugih transmisijskih vratila (kut uvijanja) itd. Progibi kod savijanja ovise o modulu elastičnosti E, a kut uvijanja kod torzije o modulu smicanja G. Stoga se te deformacije ne mogu smanjiti čvršćim čelicima koji imaju iste module E i G, nego samo većim momentima tromosti I i I p poprečnog presjeka nosača ili promjenom konstrukcije. Progib osovina i vratila Ako je promjer osovine ili vratila konstantne vrijednosti, progib f se može izračunati pomoću formula za progib greda iz nauke o čvrstoći. Ako je promjer promjenljiv, proračun progiba je složeniji i treba koristiti odgovarajuće formule iz literature o konstrukcijskim elementima. Dopuštene vrijednosti progiba: - kod grubih pogona (transmisijska vratila, poljoprivredni strojevi): f max 0,5 mm / m duljine - u općem strojarstvu: f max 0,3 mm / m duljine - kod alatnih strojeva, zupčanika: f max 0,2 mm / m duljine - kod elektromotora se preporuča da progib bude manji od 1/10 zračnosti između statora i rotora. Kut nagiba u osloncu treba približno biti: 1. α 0,001 rad kod dugačkih kliznih ležajeva 2. α 0,002 rad kod kratkih kliznih ležajeva i valjnih ležajeva - 36 -
Približno se može uzeti da razmak između ležajeva prema uvjetu najvećeg progiba treba biti l 316 d l (mm), d (mm) a prema uvjetu najvećeg kuta nagiba u osloncu α 0,001 rad l 3 2 108 d l (mm), d (mm) Preveliki progibi vratila zupčanika dovode do nepravilnog zahvata zubi zupčanika pa se oni oštećuju, a moguć je i lom zuba. U kliznim se pak ležajevima mogu oštetiti blazinice zbog velikih rubnih pritisaka, osim ako je ležaj samopodešavajući. Brodska propelerska vratila, koljenasta vratila motora, vratila generatora i sl. proračunavaju se i prema propisima klasifikacijskih društava - Hrvatski registar brodova, Lloyd's Register, Bureau Veritas, Det Norske Veritas itd.) Kut uvijanja vratila T l ϕ = (rad) G I p Za puni okrugli presjek je 32 T l ϕ = tj. 4 G π d I p 4 π d = i 32-37 -
d 4 32 T ϕ G π l dop Dozvoljen je kut uvijanja 0,25...0,5 po metru duljine vratila. Kod kardanskih vratila automobila se dopušta i do 2 /m. ϕ Uz uvjet l dop = 0,25 o / m = 4,36 10 3 rad/m i G = 0,81 10 11 N/m 2 dobiva se potreban promjer vratila d 4 0,013 T d (mm), T (Nm) Kod većih kuteva uvijanja vratilo počinje djelovati kao opruga, prilikom deformacije akumulira rad i može doći do vibracija. Mala krutost vratila daje i malu kritičnu brzinu vrtnje pri kojoj dolazi do rezonancije. Kut uvijanja je važan kod dugačkih vratila, npr. transmisijskih vratila te vratila za pogon kotača dizalice i pogon mačke dizalice. Pri pokretanju će se pogonski moment sa zupčanika preko kratkog dijela vratila duljine l 1 brzo prenijeti do lijevog kotača i on će početi rotirati. U tom trenutku će desni kotač još uvijek stajati, budući da će se znatno više uvijati desni dio vratila znatno veće duljine l 2. Javit će se tendencija zakošavanja vratila. - 38 -
KRITIČNA BRZINA VRTNJE Fleksijska kritična brzina vrtnje Osovine i vratila, zajedno s masama koje su na njima smještene, predstavljaju fleksijske (savojne) opruge. Djelovanjem neke vanjske sile počet će te mase vibrirati frekvencijom vlastitih titraja. Budući da se stvarne izmjere, u granicama dopuštenih odstupanja, razlikuju od nazivnih, stvarni položaj težišta T neće se poklapati potpuno s teoretskim. Stoga se prilikom rotacije osovina i vratila mogu javiti periodični impulsi centrifugalne sile. Frekvencija ovih impulsa će biti jednaka brzini vrtnje. Ako se brzina vrtnje poklopi s frekvencijom vlastitih titraja sustava, nastat će rezonancija. Amplitude titraja y će se izrazito povećati pri čemu može doći i do loma. e = odstupanje težišta od osi (mm) y = progib izazvan centrifugalnom silom (mm) f = progib u mirovanju u horizontalnom položaju uslijed vlastite težine G osovine/vratila i masa na njima (mm) Progibi koji su nastali djelovanjem radijalnih sila na vratilo kod zupčanika, remenica i sl., ne uzimaju se u obzir budući da sile djeluju uvijek u istoj ravnini i ne rezultiraju dodatnim centrifugalnim silama. Koeficijent krutosti F G C = c = (N/mm) y f - 39 -
Centrifugalna sila F c = mrω 2 = m (y + e) ω 2 = Cy Slijedi 2 meω y = /: mω 2 2 C mω y = e C 2 mω 1 U slučaju da kutna brzina dosegne kritičnu vrijednost ω = C m, tj. C ω 2 =, m nazivnik bi bio jednak nuli i progib y beskonačno velik. Došlo bi do rezonancije i teoretski bi nastupio lom osovine/vratila. Ipak, zbog raznih prigušenja u materijalu, zglobovima i sl., progib ne dostiže veoma velike vrijednosti. Kritična kutna brzina G C f g 9807 99 ω k = = = = = ω k (s 1 ), f (mm), g (mm/s 2 ) m G f f f g Kritična brzina vrtnje n k 30 950 = ωk n k (min 1 ), f (mm) π f - 40 -
Kritična brzina vrtnje ipak ovisi i o načinu uležištenja, što se uzima u obzir faktorom načina uležištenja K: n k 950 = K f Vratilo (ili osovina) se okreće Osovina je nepokretna Vratilo (ili osovina) s konzolno K = 1 K = 1,3 uležištenim dijelom K = 0,9 Veličina kritične brzine ne ovisi o tome da li su osovina ili vratilo horizontalni, kosi ili vertikalni. Dugačke i tanke osovine i vratila imaju nižu, a kratke i debele osovine i vratila višu kritičnu brzinu vrtnje. Često se zbog složenosti konstrukcije n k ne može računski točno odrediti pa se određuje eksperimentalno. Radna brzina vrtnje n osovina i vratila u strojevima ne smije biti blizu kritične brzine vrtnje n k. Strojevi trebaju raditi u podrezonantnom području n < 0,8 n k, ili nadrezonantnom području n > 1,2 n k. Najčešće sistem radi u podrezonantnom području pa je poželjno da n k bude što viši. To se postiže: - malim razmakom ležaja kako bi progib f bio manji, - balansiranjem sistema kako bi se smanjilo djelovanje centrifugalne sile i - minimiziranjem težine kako bi progib f bio manji. Ako sistem radi u nadrezonantnom području, pri puštanju stroja u rad i pri zaustavljanju područje kritične brzine treba brzo prijeći. - 41 -
Torzijska kritična brzina vrtnje Vratilo s masama na njemu je i torzijska opruga. Ako je torzijski moment promjenljiv, mijenja se i kut uvijanja i može doći do torzijskih vibracija i rezonancije kod torzijske kritične brzine vrtnje n kt. Ovakva se opasnost javlja kod klipnih motora, tj. kod motornih vozila, a naročito kod sporohodnih brodskih dizelskih motora. Radi sprečavanja torzijskih vibracija se najčešće ugrađuju elastične spojke ili posebni prigušivači torzijskih vibracija. - 42 -
PRIMJER 1: VRATILO OPTEREĆENO TORZIJSKIM MOMENTOM Zadatak: Vratilo izrađeno iz čelika E295 (Č0545) opterećeno je nazivnim torzijskim momentom T N = 80 Nm. Savijanja nema. Dinamičko opterećenje je ishodišnog karaktera (κ = 0). Faktor κ pri porastu opterećenja ostaje konstantan. Pri pokretanju se očekuju snažni udari do T max = 2,5 T N, dok se u radu očekuju jaki udari - K A 2. Vratilo je izrađeno tokarenjem s prosječnom visinom neravnina Rz 12,5 μm. Površinski sloj nije dodatno ojačan. Kritični presjek 1-1 je na mjestu utora za pero. Treba izvesti: a) Kontrolu plastičnih deformacija b) Kontrolu zamora materijala - 43 -
PRIMJER 2: VRATILO OPTEREĆENO TORZIJOM I SAVIJANJEM Rukavac vratila izrađenog od čelika za poboljšanje C45E (Č1531), opterećen je statičkim (konstantnim) nazivnim torzijskim momentom T N = 2300 Nm i izmjeničnim nazivnim momentom savijanja M sn = 1600 Nm. Pri promjenama opterećenja srednje naprezanje pri savijanju ostaje konstantno: σ sm = 0 = konst. Faktor primjene K A = 1,5. Kako nisu zadana opterećenja pri pokretanju, može se računati da su od nazivnih vrijednosti također veća za veličinu K A, tj. 1,5 puta. Prijelazni dio rukavca (presjek 1-1) izveden je s hrapavošću Rz 6,3 μm. Površinski sloj nije dodatno ojačan. Treba izvesti: a) Kontrolu plastičnih deformacija b) Kontrolu zamora materijala - 44 -
PRIMJER 3: VRATILO OPTEREĆENO TORZIJOM I SAVIJANJEM Pogonsko vratilo zupčastog reduktora prenosi nazivnu snagu P N = 20 kw pri brzini vrtnje n = 1460 min 1. Vratilo je izrađeno od ugljičnog konstrukcijskog čelika E295 (Č0545). Pri pokretanju i zaustavljanju se javljaju kratkotrajna vršna opterećenja koja su 2,5 puta veća od nazivnih. U trajnom pogonu uz κ = konst. vratilo je opterećeno promjenljivim opterećenjem uz faktor primjene K A = 1,5. Vratilo je izrađeno tokarenjem s prosječnom visinom neravnina Rz 12,5 μm. Površinski sloj nije dodatno ojačan. Kritični presjek 1-1 je na mjestu utora za pero, kritični presjek 2-2 pokraj oslonca A. Polumjer zaobljenja u presjeku 2-2 je R = 1,5 mm. Reakcija u ležaju A je F A = 3500 N. Kritični presjek 1-1 je opterećen samo torzijski jer je spoj s pogonskim strojem izveden pomoću elastične spojke. Torzijski moment je ishodišnog dinamičkog karaktera (κ t = 0). Kritični presjek 2-2 je opterećen savijanjem i torzijom. Moment savijanja je izmjeničnog dinamičkog karaktera (κ s = 1). Za oba kritična presjeka treba izvesti: a) Kontrolu plastičnih deformacija b) Kontrolu zamora materijala - 45 -