BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

Sadržaj Proracun prema teoriji graničnih stanja 1 Proracun prema teoriji graničnih stanja Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka 2

Sadržaj Proracun prema teoriji graničnih stanja Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka 1 Proracun prema teoriji graničnih stanja Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka 2

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Koncept proračuna prema graničnim stanjima Teorija graničnih stanja je važeći koncept proračuna AB konstrukcija (ali i čeličnih, drvenih) Proračunom prema graničnim stanjima dokazuje se sigurnost, potrebna trajnost i zahtevana sigurnost AB konstrukcija Teorija graničnih stanja se zasniva na prihvatljivoj verovatnoći da će projektovana konstrukcija da zadovolji sve zahteve u predviđenom veku eksploatacije

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Koncept proračuna prema graničnim stanjima Granično stanje preseka (odn. konstrukcije) podrazumeva takvo stnje pri kome presek (odn. konstrukcija) - gubi sposobnost da se odupre spoljašnjim uticajima - dobija nedopustivo velike deformacije (ugibe) - dobija nedopustivo velika lokalna oštećenja Time presek (ili konstrukcija) prestaje da ispunjava postavljene kriterijume u pogledu nosivosti, trajnosti i funkcionalnosti Konstrukcija se smatra nepodobnom za predviđenu upotrebu ako je prekoračeno makar jedno od graničnih stanja

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Koncept proračuna prema graničnim stanjima Osnovna granična stanja konstrukcije su 1 Granično stanje nosivosti ( Ultimate limit state )... granično stanje loma 2 Granično stanje upotrebljivosti ( Ultimate serviceability state )... granično stanje deformacija (ugiba), prslina Pri graničnim stanjima se dostiže maksimalno (granično, kritično) opterećenje, tj. opterećenje pri kome dolazi do iscrpljenja nosivosti (do loma preseka, odn. konstrukcije)

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Koncept proračuna prema graničnim stanjima Proračunom prema graničnim stanjima utvrđuje se potreban koeficijent sigurnosti u odnosu na lom preseka Međutim, pri tome ponašanje preseka (konstrukcije) u stanju eksploatacije ostaje nepoznato Zbog toga se vriši proračun prema graničnim stanjima upotrebljivosti

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Koncept proračuna prema graničnim stanjima Obično se detaljno proračuna jedno granično stanje za koje se smatra da je merodavno, a zatim se za tako dimenzionisan presek dokazuje da je i drugo stanje zadovoljeno Najčešće se presek dimenzioniše prema graničnom stanju nosivosti, pa se proverava da li su zadovoljena granična stanja upotrebljivosti: Granično stanje loma... ugroženi životi ljudi (rušenje konstrukcije) Granično stanje upotrebljivosti... ugroženo predviđeno funkcionisanje objekta (nisu ugroženi životi ljudi)

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Koncept proračuna prema graničnim stanjima Granično stanje nosivosti je, u stvari, stanje granične ravnoteže Stanje granične ravnoteže može da bude dostignuto kao 1 gubitak ravnoteže konstrukcije (ili njenog dela) posmatrane kao kruto telo 2 prelazak konstrukcije u mehanizam 3 lom kritičnih preseka ili dostizanje izraženih deformacija 4 zamor materijala

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Koncept proračuna prema graničnim stanjima Prelazak konstrukcije u mehanizam znači iscrpljivanje nosivosti i formiranje plastičnih zglobova u najopterećenijim presecima Pri tome dolazi do preraspodele uticaja i formiranja novih plastičnih zglobova Posle formiranja više plastičnih zglobova, dolazi do formiranja mehanizma, odn. nestabilnog statičkog sistema

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Koncept proračuna prema graničnim stanjima Lom kritičnih preseka, ili dostizanje izraženih deformacija, nastaje usled: 1 normalnih naprezanja... delovanje momenata savijanja i/ili normalnih sila 2 tangencijalnih naprezanja... delovanje transverzalnih sila i/ili momenata torzije 3 proboja... kod ploča direktno oslonjenih na stubove ili temeljnih ploča i stubova (proboj stuba kroz ploču) 4 graničnog stanja prianjanja i ankerovanja... lom veze armature i betona: treba uvek da se izbegne ovo granično stanje pre ostalih (osigurano je ako se poštuju pravila za armiranje)

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Koncept proračuna prema graničnim stanjima Granična stanja nosivosti su stanja pri kojima konstrukcija (ili njen deo) gubi sposobnost da dalje prihvata uticaje spoljašnjih dejstava Proračunom prema graničnim stanjima nosivosti se određuje granično opterećenje pri kom dolazi do iscrpljenja nosivosti, odn. do loma Time se određuje kapacitet nošenja preseka i granične vrednosti statičkih uticaja u preseku Drugim rečima, utvrđuje se potreban koeficijent sigurnosti u odnosu na lom preseka

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Pretpostavke proračuna prema graničnim stanjima 1 Raspodela dilatacija po visini preseka je linearna (Bernulijeva hipoteza o ravnim presecima posle deformacije važi i u stanju loma) 2 Celokupno zatezanja prihvata armatura (beton se isključuje iz prijema zatezanja u zategnutoj zoni preseka) 3 Ni u stanju loma nije narušena veza između betona i armature - važi pretpostavlka da je ε b = ε a 4 Veza σ ε po visini pritisnute zone betona nije linearna i aproksimira se radnim dijagramom betona (RDB) kojim se opisuje ponašanje pritisnutog betona u stanju loma 5 Veza σ ε za čelik se aproksimira bilinearnim radnim dijagramom čelika (RDČ)

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema graničnim stanjima Raspodela dilatacija i napona po visini AB preseka u graničnm stanju nosivosti

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Radni dijagram betona (RDB) Oblik veze između napona i dilatacije kod uzorka betona pritisnutog do loma zavisi od više faktora Pre svega, oblik dijagrama σ ε i veličine krajnjih dilatacija pri lomu ε b zavise od naponskog stanja elementa Najveće dilatacije betona pri lomu su za slučaj savijanja i kreću se od ε b 3.0 3.7 Za ekscentrično pritisnute elemente krajnje dilatacije betona su manje, a najmanje su za centrični pritisak i iznose ε b 2.2

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Radni dijagram betona (RDB) Na oblik dijagrama σ ε utiče kvalitet betona, brzina nanošenja opterećenja, kao i oblik poprečnog preseka i količina pritisnute armature i uzengija Kako bi se omogućio jedinstven proračun po lomu, nezavistan od tih faktora, u propisima (svake zemlje) se definiše jedinstven dijagram σ ε za beton u oblasti pritiska - radni dijagram betona (RDB) RDB približno opisuje stvarno ponašanje betona u oblasti loma, ali je jednostavnijeg oblika u odnosu na starnu zavisnost σ ε

Radni dijagram betona (RDB) Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Pravilnik BAB 87: Radni dijagram betona (RDB) kvadratna parabola do 2 i prava do 3.5

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Radni dijagram betona (RDB) Prema Pravilniku BAB 87, RDB je definisan sa: 1 u oblasti dilatacija 0 ε b 2.0 : kvadratna parabola σ b = f B 4 (4 ε b) ε b 2 u oblasti dilatacija 2.0 ε b 3.5 : prava linija σ b = f B gde je sa f B označena računska čvrstoća betona pri pritisku koja zavisi od marke betona

Radni dijagram betona (RDB) Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Računska čvrstoća betona pri pritisku f B zavisi od MB i definisana je u BAB 87 Za AB elemente sa visinom preseka d < 12 cm, vrednosti u tabeli se umanjuju za 10%

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Radni dijagram betona (RDB) Vidi se da je računska čvrstoća betona f B 0.70 MB Redukcija čvrstoće betona u odnosu na MB = f bk je urađena iz sledećih razloga - pri dugotrajnom opterećenju čvrstoća betona pri pritisku je 85% od čvrstoće pri kratkotrajnom opterećenju (pri određivanju MB) - kod savijanja, ali i kod pritiska, naponi betona pri lomu više odgovaraju čvrstoći betonske prizme f bp nego kocke f bk ; odnos čvrstoća je f bp (0.80 0.85) f bk

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Radni dijagram čelika (RDČ) Oblik dijagrama σ ε zavisi od vrste čelika, ali, generalno, za niže vredosti napona (do granice elastičnosti) veza je linearna Posle prekoračenja te vrednosti, čelik se plastično deformiše Vrednosti napona čelika na granici elastičnosti i na granici razvlačenja, kao i napona i dilatacije pri lomu (odn. kidanju) zavisi od vrste čelika Kod vruće valjanih čelika (GA i RA) postoji jasno određena granica elastičnosti, odn. granica razvlačenja Kod hladno vučenih čelika (MA i BiA) granica elstičnosti i razvlačenja nisu jasno izražene (pa se konvencionalno definišu)

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Radni dijagram čelika (RDČ) Granica razvlačenja σ 02 je napon pri kom nepovratna dilatacija posle rasterećenja iznosi 0.2% = 2 Granica elastičnosti (proporcionalnosti) σ 001 je napon pri kome nepovratna dilatacija posle rasterećenja iznosi 0.1 Prema BAB 87 RDČ je definisan kao bilinearan elastoplastičan dijagram Do granice σ a = f a = σ v = σ 02 dijagram σ ε je linearan Posle dostizanja σ a = f a napon je konstantan do najveće dozvoljene dilatacije u armaturi ε a = 10

Radni dijagram čelika (RDČ) Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Modul elastičnosti čelika za AB konstrukcije je E a = 210 GP a

Radni dijagram čelika (RDČ) Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Realni i idealizovani radni dijagram σ ε čelika (RDČ)

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Parcijalni koeficijenti sigurnosti Proračun preseka prema graničnim stanjima loma je dokazivanje da granična nosivost preseka S R nije manja od granične vrednosti statičkog uticaja u preseku S u S R S u Granična nosivost preseka S R zavisi od geometrije preseka i mehaničkih karakteristika materijala S R = S R (A b, A a, σ b, σ a ) Granična uticaji u preseku S u dobijaju se kombinovanjem vrednosti statičkih uticaja u eksploataciji S i uvećanih parcijalnim koeficijentima sigurnosti γ ui

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Parcijalni koeficijenti sigurnosti Granični uticaji u preseku S u dobijaju se prema izrazu S u = i γ ui S i (1) Uticaji u eksploataciji S i su odgovarajući statički uticaji, odn. sile u preseku (M, N, T, M T ) u eksploataciji, pri najnepovolnijim kombinacijama opterećenja Prema BAB 87, uticaji se dela na - S g... uticaje od stalnog opterećenja - S p... uticaje od promenljivog opterećenja - S... uticaje od ostalih, odn. dopunskih opterećenja

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Parcijalni koeficijenti sigurnosti Uticaji od stalnog opterećenja S g su uticaji usled sopstvene težine, težine podova, plafona, izolacije i drugih nenosećih elemenata Uticaji od promenljivog opterećenja S p su uticaji od korisnog pokretnog opterećenja, opterećenja snegom, vetrom i sl. Uticaji od ostalih (dopunskih) opterećenja S su uticaji od promene temperature, skupljanja betona, sleganja oslonaca, uticaja zemljotresa i sl.

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Parcijalni koeficijenti sigurnosti Parcijalni koeficijenti sigurnosti γ ui zavise od vrste i moguće kombinacije uticaja, naponsko-deformacijskih karakteristika AB preseka u stanju loma i vrste loma Parcijalni koeficijenti sigurnosti treba da pokriju - netačnosti vezane za procene veličine stalnog i pokretnog opterećenja - disperziju rezultata i netačnosti pri određivanju mehaničkih karakteristika materijala - netačnosti pri usvajanju statičkog sistema (računskog modela) u odnosu na stvarnu konstrukciju

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Parcijalni koeficijenti sigurnosti Parcijalni koeficijenti sigurnosti treba takođe da pokriju - odstupanja koja nastaju usled usvajanja RDB i RDČ u odnosu na stvarne karakteristike materijala - netačnosti koje su posledica zanemarivanja uticaja temperature, tečenja i skupljanja betona na graničnu nosivost - odstupanja u geometriji preseka koja su posledica izvođenja konstrukcije - moguće razlike između projektovanog i izvedenog položaja armature, zaštitnog sloja i sl. Parcijalni koeficijenti sigurnosti ne pokrivaju eventualne greške u propačunima statičkih uticaja, kao i u dimenzionisanju

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Parcijalni koeficijenti sigurnosti Određivanje statičkih uticaja S i se vrši standardnim postupcima Teorije konstrukcija, dakle na bazi linearne teorije konstrukcija Računski model posmatrane konstrukcije se formira tako da najvernije prikazuje konstrukciju i pri tome se geometrija poprečnih preseka usvaja u punom iznosu, odn. kao homogeni preseci, bez obzira što su kod AB nosača zategnuti delovi preseka sa prslinama

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Parcijalni koeficijenti sigurnosti Ne računajući jednostavne nosače, koji mogu da se analiziraju ručno, za analizu složenijih konstrukcija koriste se računari i odgovarajući programi Naravno, moguće je da se koristi i nelinearna teorija elstričnosti, ili teorija plastičnosti, a dozvoljena je i ograničena preraspodela statičkih uticaja

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Parcijalni koeficijenti sigurnosti Granični uticaji se određuju primenom izraza (1) i statičkih uticaja S i koji su dobijeni standardnim postupcima Teorije konstrukcija Parcijalni koeficijenti sigurnosti γ ui definišu se Propisima BAB 87 u zavisnosti od kombinacije opterećenja i vrednosti dilatacije u armaturi ε a Na primer, u slučaju dejstva stalnog i promenljivog opterećenja S g i S p, granični uticaji se određuju prema izrazima: S u = 1.6 S g + 1.8 S p za 10 ε a 3 S u = 1.9 S g + 2.1 S p za ε a 0 (2)

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Parcijalni koeficijenti sigurnosti Za slučaj istovremnog dejstva stalnog, promenljivog i povremenog opterećenja S g, S p i S, granični uticaji se određuju prema izrazima: S u = 1.3 S g + 1.5 S p + 1.3 S za 10 ε a 3 S u = 1.5 S g + 1.8 S p + 1.5 S za ε a 0 Kada su dilatacije čelika u granicama -3 < ε a < 0,, odgovarajući koeficijenti γ ui se određuju interpolacijom (3)

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Parcijalni koeficijenti sigurnosti Ako sopstvena težina i stalno opterećenje deluju povoljno, odn. ako smanjuju granične uticaje, odgovarajući koeficijenti sigurnosti treba da se smanje: S u = 1.0 S g + 1.8 S p za 10 ε a 3 S u = 1.2 S g + 2.1 S p za ε a 0 (4) Za kombinaciju S g, S p, S koriste se izrazi: S u = 1.0 S g + 1.5 S p + 1.3 S za 10 ε a 3 S u = 1.2 S g + 1.8 S p + 1.5 S za ε a 0 (5)

Parcijalni koeficijenti sigurnosti Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Parcijalni koeficijenti sigurnosti u zavisnosti od dilatacije u armaturi i dejstva stalnog opterećenja

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Povoljno i nepovoljno delovanje opterećenja Primer povoljnog i nepovoljnog delovanja stalnog opterećenja

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Moguća stanja deformacije preseka U proračunu prema graničnim stanjima nosivosti kriterijumi loma nisu vrednosti dostignutih napona, već vrednosti dostignutih konvencionalno usvojenih graničnih dilatacija U zavisnosti od materijala u kome su dostignute granične dilatacije, razlikuju se tri vrste loma: 1 lom po betonu... ε b = 3.5 0 ε a 10 2 lom po armaturi... ε a = 10 0 ε b 3.5 3 simultani lom... ε b = 3.5 ε a = 10 Koristi se konvencija da su dilatacije pritisaka pozitivne, a zatezanja negativne

Moguća stanja deformacije preseka Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Moguća stanja dilatacija u fazi loma preseka AB nosača

Moguća stanja deformacije preseka Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Moguća stanja dilatacija u fazi loma preseka AB nosača i odgovarajući uticaji

Moguća stanja deformacije preseka Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Dijagram dilatacija u poprečnom preseku za različita naponska stanja

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Moguća stanja deformacije preseka 1 Oblast 1, područje između linija a i b slučaj čistog zatezanja ili ekscentričnog zatezanja (mali ekscentricitet) dilatacije su: ε a = 10 i ε b 0 parcijalni koeficijenti su γ ui 1.8 lom nastaje po zategnutoj armaturi

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Moguća stanja deformacije preseka 1 Oblast 2, područje između linija b i c slučaj čistog savijanja ili složenog savijanja (M, N) dilatacije su: ε a = 10 i 0 ε b 3.5 parcijalni koeficijenti su γ ui 1.8 lom može da bude po zategnutoj armaturi ili simultani

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Moguća stanja deformacije preseka 1 Oblast 3, područje između linija c i d slučaj čistog savijanja ili složenog savijanja sa silom pritiska dilatacije su: ε b = 3.5 i 10 ε a1 3.0 parcijalni koeficijenti su γ ui 1.8 lom može da bude po betonu ili simultani

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Moguća stanja deformacije preseka 1 Oblast 4, područje između linija d i g slučaj složenog savijanja sa velikom silom pritiska dilatacije su: ε b = 3.5 i 3 ε a1 0 parcijalni koeficijenti su povećani (u odnosu na γ ui 1.8) idući od ε a1 = 3 prema ε a1 = 0 lom nastaje po betonu neutralna linija se nalazi nisko u preseku koji je većim delom pritisnut

Koncept proračuna prema graničnim stanjima Parcijalni koeficijenti sigurnosti Moguća stanja deformacije preseka Proračun prema teoriji graničnih stanja Moguća stanja deformacije preseka 1 Oblast 5, područje između linija g i h slučaj ekscentričnog pritiska (mali ekscentricitet) ili centričnog pritiska dilatacije na jače pritisnutoj ivici preseka variraju između 2 ε b2 3.5 dilatacije na manje pritisnutoj ivici preseka variraju između 0 ε b1 2 centričnom pritisku odgovaraju dilatacije betona ε b1 = ε b2 = 2 (linija h) parcijalni koeficijenti koji odgovaraju dilatacijama ε a1 0 (pritisak u armaturi) imaju veće vrednosti, jer lom može da bude nenajavljeni, odn. krti lom betona lom može da bude po betonu, kao krti lom

Centrično zatezanje Posmatra se poprečni presek AB štapa koji je izložen uticajima centričnog zatezanja To može da bude AB zatega u nekoj konstrukciji (ili zategnuti štap AB rešetke) Posmatrajući sve odgovarajuće kombinacije opterećenja, granična sila zatezanja Z u je data sa Z u = i γ ui Z i Granična sila Z u pretstavlja najveću graničnu silu zatezanja za najnepovoljniju kombinaciju opterećenja

Centrično zatezanje Kod centričnog zatezanja je ε a = 10, pa su parcijalni koeficijenti, za stalno i promenljivo opterećenje, dati sa γ ug = 1.6 γ up = 1.8 Za slučaj kombinacije stalnog, promenljivog i dopunskog opterećenja, parcijalni koeficijenti sigurnosti su dati sa γ ug = 1.3 γ up = 1.5 γ u = 1.3 Celokupno zatezanje kod centrično zategnutog AB elementa na sebe preuzima armatura

Centrično zatezanje Ako je ukupna površina zategnute armature u preseku A a, a granica razvlačenja čelika σ v, ili za visokovredne čelike σ 02 σ v, onda je nosivost preseka na zatezanje data sa Z R = A a σ v Uslov za dimenzionisanje prema teoriji graničnih stanja je Z R Z u Iz ovog uslova se dobija minimalna potrebna armatura u preseku Z R Z u A a,pot Z u σ v

Centrično zatezanje Zategnuta podužna armatura se usvoji zaokruživanjem na više minimalne potrebne armature A a,pot Sama armatura se usvoji izborom vrste armature (GA ili RA) i izborom prečnika šipki Pri tome se broj šipki usvaja tako da usvojena armatura bude simetrično rapoređena u poprečnom preseku Dimenzije betonskog poprečnog preseka se usvajaju (ako nema nekih drugih zahteva) iz uslova pravilnog i simetričnog smeštanja armature (vodi se računa o razmacima između šipki, kao i o odgovarajućem zaštitnom sloju betona)

Centrično zatezanje - primer Dimenzionisanje zatege Odrediti potrebnu armaturu i oblikovati poprečni presek pravougaonog oblika centrično zategnutog AB elementa Element se nalazi u uslovima umereno agresivne sredine Poznati podaci o sili zatezanja: - stalno opterećenje... Z g = 305 kn - povremeno opterećenje... Z p = 337 kn Usvojiti glatku armaturu GA 240/360

Centrično zatezanje - primer Dimenzionisanje zatege Granična sila zatezanja elementa je Z u = γ g Z g + γ p Z p Kako je za centrčno zatezanje ε a = 10, to su parcijalni koeficijenti sigurnosti dati sa γ g = 1.6 γ p = 1.8 Prema tome, granična sila zatezanja je Z u = 1.6 305 + 1.8 337 = 1094.6 [kn]

Centrično zatezanje - primer Dimenzionisanje zatege Za glatku armaturu GA 240/360 napon razvlačenja je σ v = 240 MPa = 24 kn/cm 2 Potrebna površina armature je A pot = Z u = 1094.6 = 45.61 [cm 2 ] σ v 24 Usvojeno: 15Φ20 (47.12 cm 2 ) (uvidom u površine preseka armature)

Karakteristike preseka za armaturu GA i RA

Karakteristike preseka glatke armature GA

Karakteristike preseka rebraste armature GA

Raspored armature u preseku Raspored armature u preseku centrično zategnutog AB elementa se usvaja simetrično Usvojeni raspored armature se obezbeđuje uzengijama i posebnim češljevima

Centrično zatezanje - primer Dimenzionisanje zatege Za umereno agresivnu sredinu minimalan zaštitni sloj armature je a 0 = 2.5 cm Poprečni presek elementa je pravougaoni dimenzija b d Imajući u vidu da je usvojeno 15 šipki, one mogu da se rasporede 5 šipki u 3 reda Oko armature se usvajaju konstruktivne uzengije U Φ8/30 Vodi se računa o dovoljnom čistom razmaku armature u horizontalnom i vertikalnom pravcu

Raspoređivanje armature u preseku

Usvojena armatura i betonski presek

Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Posmatra se poprečni presek AB štapa koji je izložen uticajima ekscentričnog zatezanja Položaj sile zatezanja je ekscentričan u odnosu na težišnu osu preseka, sa ekscentricitetom e Ako je visina preseka d, a rastojanje težišta gornje i donje armature od ivica preseka isto i jednako a, onda je e c = d 2 a Drugim rečima, sila zatezanja se nalazi unutar preseka, odn. između težišta gornje i donje podužne armature U pitanju je ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet

Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet

Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Ekscentrična sila zatezanja sa malim ekscentricitetom znači da se sile u preseku sastoje iz (relativno) velike sile zatezanja i (relativno) malog momenta savijanja Granični uticaji u preseku za izabranu (najnepovoljniju) kombinaciju opterećenja su Z u = i γ ui Z i M u = i γ ui M i Ekscentricitet granične sile zatezanja je dat sa e = M u Z u

Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet U opštem slučaju, rastojanja težišta gornje i donje armature do bližih ivica preseka ne moraju da budu iste a, već su a 1 i a 2, a težište preseka ne mora da bude na polovini visine d/2 Prema tome, rastojanja donje i gornje armature od težišta preseka cu c 1 = y a1 odnosno c 2 = y a2 Celokupna sila zatezanja se prihvata armaturom

Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Proračunski model za ekscentrično zatezanje i mali ekscentricitet

Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Potrebna kolčina armature je data sa Z R = A a σ v Z u A a,pot Z u σ v Ova ukupna količina armature se raspoređuje u gornju i donju zonu preseka tako da se težište armature poklapa za položajem napadne tačke sile Z u Na taj način se dobija (A a,pot A a = A a1 + A a2 ): A a1 = Z u σ v c 2 + e c 1 + c 2 A a2 = Z u σ v c 1 e c 1 + c 2 gde je A a1 armatura koja je bliža napadnoj liniji sile

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Naponsko stanje centričnog pritiska karakteristično je za AB stubove i zidove koji su opterećeni samo normalnim silama pritiska Pritisnuti štapovi AB rešetki su takođe izloženi centričnom pritisku U zavisnosti od posmatrane kombinacije opterećenja određuje se granična sila loma N u N u = i γ ui N i

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Parcijalni koeficijenti sigurnosti su za centričan pritisak najveći: - za stalno i povremeno opterećenje... γ ug = 1.9 γ up = 2.1 - za stalno, povremeno i ostala opterećenje... γ ug = 1.5 γ up = 1.8 γ u = 1.5 Način proračuna centrično pritisnutih elemenata zavisi od njihove vitkosti

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Vitkost λ pritisnutog stuba definisana je sa λ = l i i min Sa l i je označena dužina izvijanja, dok je i min minimalni poluprečnik inercije poprečnog preseka: i min = Imin gde su I min i A minimalni momenat inercije i površina poprečnog preseka betona (štapa) A

Dužine izvijanja pritisnutih štapova Ojlerovi slučajevi izvijanja

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja U zavisnosti od vitkosti λ centrično pritisnutog stuba mogući su sledeći slučajevi dimenzionisanja, odn. dokazivanja granične nosivosti stuba: 1 Za λ < 25... proračun se sprovodi bez uticaja izvijanja 2 Za 25 λ 75... stubovi se tretiraju kao umereno vitki i mogu da se primenjuju približni proračuni 3 Za 75 < λ 140... stubovi se tretiraju kao izrazito vitki i za njihovo dimenzionisanje se koriste tačniji postupci proračuna 4 Vitkost stubova λ > 140 nije dopuštena Samo u fazi montaže dozvoljava se vitkost u granicama λ (140, 200]

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja (λ < 25) U graničnom stanju loma pri centričnom pritisku smatra se da nije narušena veza između betona i armature ε b = ε a Granična nosivost betonskog preseka pri pritisku iscrpljuje se pri ε b = 2, tako da je ε b = ε a = 2 Granična nosivost centrično pritisnutog AB preseka je dostignuta kada su naponi u betonu i armaturi dati sa σ b = f B σ a = σ q (= σ v )

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja (λ < 25) Napon u betonu je jednak računskoj čvrstoći betona f B, a napon u amaturi je jednak granici gnječenja σ q Za vruće vučenu armaturu GA i RA σ a za dilataciju ε a = 2 jednak je granici razvlačenja σ v Za hladno vučenu armaturu MA i BiA napon σ a, za ε a = 2, jednak je σ a = σ q = ε a E a = 400 [MPa]

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja (λ < 25) Proračunski model za centrično pritisnute AB elemente

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja (λ < 25) Radni dijagrami betona i čelika za centrično pritisnute AB elemente ε b = ε a = 2 σ b = f B σ a = σ v

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja (λ < 25) Granična nosivost centrično pritisnutog AB elementa je data sa N R = A b f B + A a σ v gde su A b površina betonskog preseka, a A a ukupna površina podužne armature Iz uslova N R N u se dobija ( A b f B + A a σ v N u A b f B 1 + A ) a σ v A b σ b N u (6)

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja (λ < 25) Izraz (6) se piše u konačnom obliku A b f B (1 + µ 0 ) N u (7) gde je sa µ 0 označen mehanički koeficijent armiranja µ 0 = A a A b σ v σ b = µ 0 σ v σ b (8) dok je µ 0 geometrijski procenat armiranja µ 0 = A a A b (9)

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja (λ < 25) Imajući u vidu jedn. (7), potrebna površina betonskog preseka je data sa A b,pot N u f B (1 + µ 0 ) = N u f B (1 + µ 0 σ v σ a ) (10) Sa određenom potrebnom površinom betona, potrebna ukupna površina armature je data sa A a,pot = µ 0 A b,pot

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja (λ < 25) Prilikom dimenzionisanja usvaja se kvalitet betona (MB) i vrsta armature (GA ili RA) Minimalan geometrijski procenat armiranja u slučaju centričnog pritiska je µ 0,min = 0.6% Maksimalan geometrijski procenat armiranja je µ 0,min = 6%, dok je uobičajeni procenat µ 0 1 2%

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja (λ < 25) U slučaju da je napon u betonu manji od računske čvrstoće, σ b < f B, minimalan geometrijski procenat armiranja može da se smanji na µ 0,min = 0.3% U tom slučaju se minimalan procenat armiranja može da odredi, u zavisnosti od napona σ b, prema izrazu µ 0,min = A ( a 100 = 0.3 1 + σ ) b [%] A b f B

Centrični pritisak - detalji armranja Osim podužne armature, u stubove se ugrađuje i poprečna armatura, odn. uzengije Uloga uzengija je da utegnu betonski presek stuba i da spreče lokalno bočno izvijanje podužne (pritisnute) armature Zbog toga je prečnik uzengija Φ u u vezi sa prečnikom podužne armature Orjentaciono, ako je prečnik podužne armature Φ, onda je prečnik uzengija Φ u Φ 3

Centrični pritisak - detalji armranja Uzengije su obično pravougaonog oblika, ali to zavisi od oblika stuba (npr. pravougaone, kružne i sl.) Za uobičajene dimenzije stubova, prečnici uzengija se usvajaju u granicama Φ u [6 10] mm Razmak uzengija e u mora da bude u sledećim granicama b e u,max = min 15 Φ [cm] 30 cm gde je b manja dimenzija stuba, a Φ prečnik podužne armature

Centrični pritisak - detalji armranja U delu stuba gde se uvodi sila u stub, na dužini 1.5 b (b d), kao i na mestima preklapanja podužne armature, razmak uzengija je dva puta manji od normalnog : e u,max = min { 7.5 Φ 15 cm [cm] Mesta gde se uvodi sila u stub su spojevi tavanica i stubova, ili greda i stubova

Centrični pritisak - detalji armranja U seizmički aktivnim područjima, sa svake strane čvora (odn. ukrštanja stubova i greda), na dužini od 1 m (ili malo više), razmak uzengija je najviše jednak e u,max = min { 7.5 Φ 10 cm [cm] dok se na preostalim delovima stuba može da usvoji e u = 15 Φ 20 cm

Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Uobičajeni poprečni preseci centrično pritisnutih stubova

Detalji armiranja - razmaci između šipki Detalji armiranja (razmaci između šipki i zaštitni sloj betona)

Detalji armiranja - grupisanje armature

Centrično pritisnut stub - primer Dimenzionisanje centrično pritisnutog stuba: primer 1 Dimenzionisati centrično pritisnut stub (bez proračuna izvijanja) ukoliko je presek pravougaoni, zadate širine b = 30cm Poznati podaci o sili pritiska: - stalno opterećenje... N g = 630 kn - povremeno opterećenje... N p = 398 kn Usvojiti glatku armaturu GA 240/360 i beton MB 25

Centrično pritisnut stub - primer Dimenzionisanje centrično pritisnutog stuba: primer 1 Za centrični pritisak parcijalni koeficijenti su dati sa γ g = 1.9 i γ p = 2.1 Granična sila pritiska stuba N u = γ g N g + γ p N p = 1.9 630 + 2.1 398 = 2031.8 [kn] Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 25 f B = 1.725 kn/cm 2 GA 240/360 σ v = 24.0 kn/cm 2

Centrično pritisnut stub - primer Dimenzionisanje centrično pritisnutog stuba: primer 1 Usvaja se minimalni procenat armiranja µ = µ min = 0.6% Mehanički procenat armiranja je µ = µ σ v f B = 0.6 24.0 1.725 = 8.35 % Iz relacije N u = A b f B (1 + µ) dobija se potrebna površina betona: A b,pot = N u f B (1 + µ) = 2032.8 1.725 (1 + 0.0835) = 1087.6 [cm2 ]

Centrično pritisnut stub - primer Dimenzionisanje centrično pritisnutog stuba: primer 1 Kako je širina preseka zadata sa b = 30cm, to je visina preseka d: d pot = A b,pot b = 1087.6 30 = 36.3 [cm] usv. d = 40 [cm] Potrebna površina armature A a,pot = µ A b,pot = 0.6 10 2 1087.6 = 6.53 [cm 2 ] Uvojeno: 4 Φ16 [8.04 cm 2 ]

Centrično pritisnut stub - primer Dimenzionisanje centrično pritisnutog stuba: primer 1 Za uobičajene dimenzije stubova, prečnici uzengija se usvajaju u granicama Φ u [6 10] mm Razmak uzengija e u mora da bude u granicama min(b, d) = 30 cm e u,max = min 15 Φ = 15 1.6 = 24 cm = 24 [cm] 30 cm Usvojene uzengije: U Φ8/20

Usvojene dimenzije pritisnutog stuba: primer 1

Centrično pritisnut stub - primer Dimenzionisanje centrično pritisnutog stuba: primer 2 Dimenzionisati centrično pritisnut stub (bez proračuna izvijanja) ukoliko je presek pravougaoni, zadatih dimenzija: b/d = 25/30 cm Poznati podaci o sili pritiska: - stalno opterećenje... N g = 750 kn - povremeno opterećenje... N p = 300 kn Usvojiti rebrastu armaturu RA 400/500 i beton MB 30

Centrično pritisnut stub - primer Dimenzionisanje centrično pritisnutog stuba: primer 2 Granična sila pritiska stuba N u = γ g N g + γ p N p = 1.9 750 + 2.1 300 = 2055 [kn] Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 30 f B = 2.05 kn/cm 2 RA 400/500 σ v = 40.0 kn/cm 2

Centrično pritisnut stub - primer Dimenzionisanje centrično pritisnutog stuba: primer 2 Dimenzije betonskog preseka su zadate, pa se ne usvaja minimalan procenat armiranja Određuje se potreban procenat armiranja N u = A b f B (1 + µ) µ pot = N u A b f B 1 Dobija se mehanički procenat armiranja µ pot = 2055 25 30 2.05 1 = 0.336

Centrično pritisnut stub - primer Dimenzionisanje centrično pritisnutog stuba: primer 2 Geometrijski procenat armiranja je dat sa Dobija se µ = µ σv f B µ = µ fb σ v µ = 0.336 2.05 40 = 0.01722 = 1.722 % tako da je potrebna armatura data sa A a,pot = µ A b = 0.01722 25 30 = 12.915 [cm 2 ]

Centrično pritisnut stub - primer Dimenzionisanje centrično pritisnutog stuba: primer 2 Potrebna površina rebraste armature je 12.915 cm 2 Usvaja se nešto od sledećih mogućnosti: - 4RΦ22 (15.21 cm 2 ) - 6RΦ19 (17.01 cm 2 ) - 8RΦ16 (16.09 cm 2 ) Izbor zavisi i od armature koja je usvojena u drugim elementima konstrukcije

Uticaj momenata savijanja na AB elemente Posmatraju se AB elementi na koje deluju samo momenti savijanja (čisto pravo savijanje) Ako se posmatra postepeno povećanje spoljašnjeg dejstva (momenta savijaja) sve do iznosa pri kome dolazi do loma preseka, mogu da se razlikuju sledeće naponske faze 1 Faza I... stanje bez prslina, aktivan ceo betonski presek 2 Faza II... stanje sa prslinama, aktivan samo pritisnuti deo betonskog preseka 3 Faza III... lom preseka

Uticaj momenata savijanja na AB elemente Faza I i Faza II se dele svaka na po dve pod-faze: Faza I... stanje bez prslina, aktivan ceo betonski presek - Faza Ia... linearna raspodela normalnih napona pritisaka i zatezanja - Faza Ib... nelinearna raspodela normalnih napona zatezanja, a linearna raspodela napona pritisaka Faza II... stanje sa prslinama, aktivan samo pritisnuti deo betonskog preseka - Faza IIa... blaga nelinearnost raspodele normalnih napona pritisaka - Faza IIb... znatna nelinearnost normalnih napona pritisaka

Naponske faze AB elementa izloženog savijanju Povećanjem opterećenja, posle Faze IIb dolazi do Faze III - do loma nosača

- pravougaoni preseci Bez obzira na stvaran oblik poprečnog preseka, ako je pritisnuti deo preseka pravougaonog oblika, i ako se savijanje vrši u ravni simetrije (što je čest slučaj), u pitanju je pravo savijanje pravougaonog preseka Osim pravih pravougaonih preseka, tako se ponašaju i T preseci i I preseci Pravougaoni preseci opterećeni pravim čistim savijanjem mogu da budu - jednostruko armirani... samo zategnutom armaturom - dvojno (dvostruko) armirani... osim zategnute, postoji i računska pritisnuta armatura

- pravougaoni preseci Granični momenat savijanja M u za odabranu kombinaciju opterećenja dat je sa M u = i γ ui M i Granični momenat savijanja je u ravnoteži sa graničnom nosivošću preseka na savijanje (u graničnom stanju preseka) Granična nosivost preseka na savijanje je formirana od sprega unutrašnjih sila koji čine sila pritiska u betonu D bu, kao i sila zatezanja u armaturi Z au

Računski model jednostruko armiranog preseka

- pravougaoni preseci Sila pritiska u betonu D bu deluje u težištu naponskog dijagrama pritisaka, na rastojanju η h od pritisnute ivice preseka Sila zatezanja u armaturi Z au deluje u težištu zategnute armature U zavisnosti od dostignutih dilatacija u betonu i armaturi, lom poprečnog preseka može da nastupi u tri slučaja 1 lom po armaturi 2 lom po betonu 3 simultani lom

- pravougaoni preseci 1 Lom po armaturi nastaje kada je istovremeno ε a = 10... dostignuta granična dilatacija pri razvlačenju armature ε b < 3.5... dilatacija na pritisnutoj ivici betona manja od granične Veza napon - dilatacija u pritisnutoj zoni betona je data sa σ b = f B 4 (4 ε b ) ε b za 0 ε b 2 σ b = f B za 2 ε b 3.5 (11)

- pravougaoni preseci 2 Lom po betonu nastaje kada je istovremeno ε b = 3.5... dostignuta granična dilatacija na pritisnutoj ivici betona ε a < 10... dilatacija u armaturi manja od granice razvlačenja Ovakav slučaj loma preseka je karakterističan za elemente sa relativno većim procentom armiranja

- pravougaoni preseci 3 Simultani lom po armaturi i betonu nastaje kada je istovremeno ε b = 3.5... dostignuta granična dilatacija na pritisnutoj ivici betona ε a = 10... dostignuta granična dilatacija pri razvlačenju armature

Naponska stanja AB preseka

Čisto savijanje - jednostruko armiran presek

- pravougaoni preseci Postavljaju se uslovi ravnoteže graničnih spoljašnjih i unutrašnjih sila: N = 0 i M = 0 Uslov ravnoteže normalnih sila: Nu = 0 : D bu Z au = 0 (12) Uslov ravnoteže momenata za težište zategnute armature: Mau = 0 : D bu z M u = 0 (13)

- pravougaoni preseci Kako je D bu jednako integralu napona pritisaka u betonu, uslov ravnoteže normalnih sila (12) postaje: y=x y=0 σ by b dy A a σ v = 0 (14) Slično, uslov ravnoteže momenata za težište zategnute armature (13) glasi: y=x y=0 σ by b (h x + y)dy M au = 0 (15)

- pravougaoni preseci Imajući u vidu Bernulijevu hipotezu ravnih preseka i kompatibilnost dilatacija armature i betona, dobija se ε by = ε b y x ε a = ε b h x x (16) Iz druge od relacija (16) dobija se položaj neutralne linije određen u zavisnosti od odnosa dilatacija u betonu i armaturi: x = ε b ε b + ε a h s = x h = ε b ε b + ε a (17)

- pravougaoni preseci Veza između napona i dilatacija za beton (11) se unosi u uslov ravnoteže (14): y=x y=0 f B 4 (4ε by ε 2 by ) b dy A a σ v = 0 Unošenjem izraza (16)/1 za ε by u integral, dobija se f B b y=x y=0 ( y ε b x y2 ε 2 ) b x 2 dy A a σ v = 0 (18) 4 Vrednost integrala može da se izračuna i da se označi sa x α b, gde je α b... koeficijent punoće naponskog dijagrama betona

- pravougaoni preseci Sa oznakom za integral x α b uslov ravnoteže (18) postaje f B b x α b A a σ v = 0 (19) Imajući u vidu relaciju (11), odn. radni dijagram betona, koeficijent pnoće se dobija kao α b = ε b 12 (6 ε b) za 0 ε b 2 α b = 3 ε b 2 3 ε b za 2 ε b 3.5 (20)

Koeficijent punoće naponskog dijagrama betona

- pravougaoni preseci Kao što se vidi, koeficijent punoće naponskog dijagrama betona zavisi samo od dilatacije u betonu ε b Koeficijent punoće α b ima vrednosti, npr. - za ε b = 3.5... α b = 0.8095 - za ε b = 2.0... α b = 0.667

- pravougaoni preseci Ako se jedn. (19) podeli sa b h f B, imajući u vidu da je x = s h, dobija se α b s A a b h σ v f B = 0 ili α b s µ = 0 (21) gde su geometrijski i mehanički procenti armiranja dati sa µ = A a b h µ = A a b h σ v f B = µ σ v f B (22)

- pravougaoni preseci Prema tome, iz uslova ravnoteže normalnih sila (21) određuje se potrebna količina armature u bezdimenzionalnom obliku µ = µ f B σ v = α b s f B σ v Iz uslova ravnoteže graničnih momenata za težište zategnute armature može da se odredi potrebna statička visina poprečnog preseka U uslov ravnoteže (15) unosi se veza napon - dilatacija (11), kao i izraz za dilataciju u betonu, prema (16), dobija se f B b y=x y=0 ( y ε b x y2 ε 2 ) b x 2 (h x + y) dy M u = 0 (23) 4

- pravougaoni preseci Posle integracije integrala u (23) i sređivanja, dobije se izraz α b s (1 η s) = M u b h 2 f B (24) Sa η je označen bezdimenzionalan koeficijent položaja sile pritiska u betonu u odnosu na gornju ivicu betona: η = 8 ε b 4(6 ε b ) za 0.0 ε b 2.0 η = ε b (3 ε b 4)+2 2 ε b (3 ε b 2) za 2.0 ε b 3.5

Čisto savijanje - jednostruko armiran presek

- pravougaoni preseci Krak unutrašnjih sila z može da se prikaže kao z = h η x = h η s h = h (1 η s) (25) Uz oznaku za bezdimenzionalan koeficijent kraka unutrašnjih sila ζ b : ζ b = 1 η s relacija (25) može da se piše u obliku: z = ζ b h (26)

- pravougaoni preseci Statička visina preseka h određuje se iz jednačine ravnoteže momenata (24): M u 1 h = b f B α b s (1 η s) što može da se napiše kao M u 1 M u h = = k b f B α b s ζ b b f B sa očiglednom oznakom za bezdimenzionalni koeficijent k

- pravougaoni preseci Sa ovim, statička visina preseka h određuje se iz jednačine: M u h = k (27) b f B Potrebna površina armature se određuje iz izraza (22) A a = µ b h = µ b h σ v f B (28) Bezdimenzionalne veličine s, α b, η, ζ b, µ = α b s, k zavise isključivo od dilatacija u betonu i armaturi i mogu da se tabulišu

Bezdimenzionalni koeficijenti Bezdimenzionalni koeficijent neutralne ose s = x/h s = ε b ε a + ε b Koeficijent punoće naponskog dijagrama betona α b (D bu = f B bxα b ): α b = ε b 12 (6 ε b) za 0 ε b 2 α b = 3 ε b 2 3 ε b za 2 ε b 3.5

Bezdimenzionalni koeficijenti Koeficijent položaja sile pritiska u betonu u odnosu na gornju ivicu betona η x: η = 8 ε b 4(6 ε b ) za 0.0 ε b 2.0 η = ε b (3 ε b 4)+2 2 ε b (3 ε b 2) za 2.0 ε b 3.5 Koeficijent kraka momenta unutrašnjih sila z = ζ b h: ζ b = 1 η s

Bezdimenzionalni koeficijenti Mehanički procenat armiranja µ: µ = α b s Koeficijent statičke visine preseka k: 1 1 1 k = α b s (1 η s) = = α b s ζ b µ ζ b Izračunavanje ovih izraza: Excel, Matlab, C++,... postoje tablice za dimenzionisanje