Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI

Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii ane Oana Constantinescu Lectia VI

Subspatii ane Structura de spatiu an E 3 In cursurile anterioare s-a demonstrat ca multimea V a vectorilor liberi, impreuna cu operatiile de adunare a vectorilor liberi si de inmultire a acestora cu scalari, are o structura de spatiu liniar real. In continuare, vrem sa punem in evidenta o legatura subtila intre multimea punctelor spatiului si spatiul liniar al vectorilor liberi. Sa consideram functia Φ : S S V, Φ(A, B) = AB. Oana Constantinescu Lectia VI

Structura de spatiu a n E 3

Din proprietatile vectorilor liberi observam ca aceasta verica: 1 A S, Φ A : S V, Φ A (B) = AB este o bijectie; 2 Φ(A, B) + Φ(B, C) = Φ(A, C), A, B, C S; (rescrierea relatiei lui Chasles) 3 A S si ū V,!B S a.i.φ A (B) = ū. Observatie: Φ 1 (u) este punctul B unic determinat de conditia AB = u. A

Denition Spunem ca E 3 = (S, V, Φ) este un spatiu an real. Observam ca el este format din multimea nevida S a punctelor din spatiu, din spatiul liniar real V al vectorilor liberi si dintr-o aplicatie care realizeaza o legatura stransa (o anitate) intre cele doua multimi. V se numeste spatiul vectorial director al spatiului an E 3. Deoarece V este un spatiu liniar euclidian (inzestrat cu produs scalar), spunem ca spatiul an E 3 este spatiu an real euclidian. Dimensiunea spatiului an este, prin denitie, dimensiunea spatiului sau liniar director.

Vom vedea in continuare cum aceasta functie Φ permite inducerea unei structuri de spatiu liniar pe S, structura ce depinde insa de xarea unui punct in S. Intr-adevar, xand P S arbitrar, putem deni A + B = C, unde C e unic determinat de PA + PB = PC, αa = D, unde D e unic determinat de α PA = PD,

Folosind functia Φ denitiile anterioare se rescriu: A + B = Φ 1 ( PA + PB), A, B S, P αa = Φ 1 P (α PA), α R, A S.

Theorem Multimea S, impreuna cu operatiile de adunare a punctelor si de inmultire a punctelor cu scalari reali este un spatiu liniar real, ce depinde de punctul xat P. (Deci aceasta structura de spatiu vectorial nu este canonica.) El se numeste vectorializatul lui S in P (sau spatiul liniar tangent in P la S) si se noteaza cu T P S. Astfel Φ P : T P S V devine un izomorsm de spatii liniare.

Denition Dat spatiul an real (S, V, Φ), e legea de compozitie + : S V S, A + ū = B ū = AB, A S, ū V O vom numi adunarea punctelor cu vectori si o vom nota simplu prin + fara a exista pericolul de confuzie cu adunarea vectorilor, a punctelor ori a numerelor reale. Deci A + AB = B, A(A + u) = u si A + ū = Φ 1 (u). A

Theorem Operatia de adunare a punctelor cu vectori verica proprietatile urmatoare: 1) A + (u + v) = (A + u) + v, A S, u, v V; 2) A + 0 = A A S; 3) A, B S!v V a.i. B = A + v.

Denition Se numeste combinatie ana de puncte o expresie de tipul α 1 A 1 + α 2 A 2 + + α n A n, cu n α i = 1. i=1 Conditia n i=1 αi = 1 este esentiala pentru ca expresia α 1 A 1 + α 2 A 2 + + α n A n sa nu depinda de spatiul liniar T P S in care s-a denit. Intr-adevar, e P, Q S xate arbitrar. Atunci α 1 A 1 + α 2 A 2 + + α n A n = P + (α 1 PA 1 + α 2 PA 2 + α n PA n ) = Q + QP + [α 1 ( PQ + QA 1 ) + + α n ( PQ + QA n )] = Q + QP + ( n i=1 αi ) PQ + +(α 1 QA 1 + α n QA n ) = Q + (α 1 QA 1 + α 2 QA 2 + α n PQA n ).

Subspatii ane Subspatii ane Denition O submultime nevida X S se numeste subspatiu an al lui E 3 daca exista un subspatiu liniar X al lui V astfel incat (X, X, Φ /X X ) este un spatiu an. Oana Constantinescu Lectia VI

Subspatii ane Example Fie d o dreapta arbitrara. Consideram d dreapta vectoriala asociata lui d. Stim ca d este un subspatiu liniar al lui V. Cand restrictionam functia Φ la multimea punctelor dreptei d, Φ : d d d, proprietatile ei din denitia spatiului an se pastreaza. Astfel, (d, d, Φ /d d) este un subspatiu an al lui E 3, pe care il vom nota simplu cu d si il vom numi dreapta ana. Spatiul liniar d se numeste spatiul liniar director al dreptei d. Example Analog, dat un plan π, tripletul (π, π, Φ /π π ) este un subspatiu an al lui E 3, notat prin π si numit plan an. ( π este planul vectorial asociat lui π si se numeste spatiul liniar director al planului π.)

Dreapta ana Fie o dreapta d, A un punct oarecare al ei si a d un vector arbitrar, nenul, ce da directia dreptei (numit vector director al dreptei). Pentru orice alt punct P S, P d AP d. Dar P = A + AP. Deci P apartine dreptei d daca si numai daca se poate scrie ca suma dintre un punct xat al dreptei si un vector director al acesteia.

Dreapta ana Am demonstrat astfel ca d = A + d = A + [a], unde [a] este subspatiul liniar generat de vectorul director a d si am notat cu A + d = {A + u/u d }.

Planul an Fie un plan π, A π arbitrar xat si a, b π doi vectori necoliniari. Deci a, b formeaza o baza in π, spatiul liniar director al planului: π = [a, b]. Orice alt punct P S apartine planului π daca si numai daca P = A + AP A + π. Deci π = A + π = A + [a, b].

Subspatii ane Repere ane Denition Punctele A i S, i 1, 4 se numesc an independente daca vectorii liberi A 1 A 2, A 1 A 3, A 1 A 4 sunt liniar independenti. Evident, numarul maxim de puncte an independente este 4 deoarece dimv = 3. Se poate verica faptul ca denitia de mai sus nu depinde de alegerea lui A 1. Denition Se numeste reper an in E 3 o multime formata din patru puncte an independente. Oana Constantinescu Lectia VI

Repere ane Evident, oricarui reper an R a = {A, B, C, D} i se poate asocia reperul cartezian R c = {A; AB, AC, AD}. Reciproc, dat reperul cartezian R c = {O; u, v, w}, se considera punctele A, B, C cu proprietatea ca u = OA, v = OB, w = OC. Atunci R a = {O, A, B, C} este un reper an. De aceea vom prefera sa lucram in continuare cu repere carteziene. In cursurile viitoare vom determina toate tipurile de ecuatii ale dreptei si planului in spatiu in raport cu un reper cartezian xat.