4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa u skup i označava sa :. Skup zovemo područje deinicije ili domena, a skup područje vrijednosti ili kodomena unkcije. a (a) b (b) Funkcija element x preslikava u element y, a to zapisujemo ormulom (x) = y. Varijablu x zovemo nezavisna varijabla ili argument unkcije, a varijablu y zovemo zavisna varijabla. Gra unkcije je skup Γ = {(x, y) : y = (x) za x }. Slika unkcije je skup R() = {(x) : x }. 1
Primjer 1. oje su od sljedećih pravila pridruživanja unkcije? a) b) c)
Skup (A) = {(x) : x A} zovemo slika skupa A. Skup 1 (B) = {x : (x) B} zovemo praslika skupa B. B A Primjer. : R R, (x) = x + 1, A = 0, 1] = (A) = 1, ], 1 (A) = 1, 0]. Primjer 3. : R Z, (x) = x, A = {1, } = (A) = {1, }, 1 (A) = [1, 3. Za dvije unkcije : A B i g : C kažemo da su jednake i pišemo = g, ako je A = C, B = i (x) = g(x), x C. Primjer 4. Neka su 1 i realne unkcije realne varijable zadane ormulama 1 (x) = x 4 x, (x) = x +. Tada je 1, jer ( 1 ) = R \ {} i ( ) = R. n(n + 1) Primjer 5. Ako su s i : N R, i = 1,, zadane s s 1 (n) = i s (n) = 1 + + + n tada je s 1 = s (dokaz matematičkom indukcijom). Neka je :, A. Funkcija g : A zadana sa (x) = g(x), x A, zove se restrikcija ili ograničenje unkcije na skup A. Oznaka: g = A. =g A =g Primjer 6. Neka je s : R R zadana sa s(x) = (pri čemu su s 1, s unkcije iz Primjera 5.). x(x + 1). Tada je s N = s 1 = s 3
Zadatak 1. Odredite slike i praslike skupova S 1 i S obzirom na unkciju ako je a) : Z N, (n) = n, S 1 = {1, 4}, S = {5} b) : R R, (x) = x + 3, S 1 = {1, 3}, S = 1, 1]. Zadatak. Zadana je unkcija : C C, (z) = z 1+i. Odredite skupove ({ i, 1}), 1 ({3 i, 4i}). Zadatak 3. Neka je : X Y te A, B X i C, Y. okažite da vrijedi: a) (A B) = (A) (B) b) (A B) (A) (B) i obrat ne vrijedi c) 1 (C ) = 1 (C) 1 () d) 1 (C ) = 1 (C) 1 () Zadatak 4. Funkcija χ A : X {0, 1}, gdje je A X, deinirana ormulom 1, x A χ A (x) = 0, x / A. naziva se karakteristična unkcija skupa A. okažite da vrijedi a) χ A B (x) = χ A (x) χ B (x) b) χ A B (x) = χ A (x) + χ B (x) χ A (x) χ B (x) c) χ A C(x) = 1 χ A (x) d) χ A\B (x) = χ A (x) χ A (x) χ B (x). 4. ompozicija unkcija Neka su : A B i g : C dvije unkcije. Ako je R() = (A) C tada je jedinstveno odredena unkcija h : A takva da je h(x) = g((x)) = (g )(x) koju zovemo kompozicija unkcija i g. Primjer 5. : R R, (x) = 3x + 1; g : R R, g(x) = x = g, g : R R, (g )(x) = 9x + 6x + 1, ( g)(x) = 3x + 1. Svojstva kompozicije unkcija: (i) nije komutativna: g g, (ii) asocijativna je: (g h) = ( g) h 4
Napomena 1. R + := 0, +, R + 0 := [0, +, R :=, 0, R 0 :=, 0] Zadatak 5. Odredite g i g ako su unkcije i g a) : R R, (x) = x 4 ; g : R + 0 R, g(x) = x, b) : R R, (x) = 4 x ; g : R + R, g(x) = ln x, c) : N Z, (n) = n; g : Z Z, g(n) = n 7, d) : R R, (x) = x 1 + 1; g : R R, g(x) = x. Odredite i prasliku skupa {, 3} s obzirom na unkciju g, tj. skup ( g) 1 ({, 3}). Zadatak 6. ane su unkcije, g : R R: (x) = ax + b, g(x) = cx + d, a, b, c, d R. Uz koji uvjet unkcije i g komutiraju (u smislu komponiranja unkcija)? 4.3 Surjekcija, injekcija i bijekcija Za unkciju : kažemo da je surjekcija ako y postoji barem jedan x takav da je (x) = y, tj. ako je slika domene cijela kodomena (R() = ). Za unkciju : kažemo da je injekcija ako različite elemente domene preslikava u različite elemente kodomene: x 1, x, (x 1 x (x 1 ) (x )) x 1, x, ((x 1 ) = (x ) x 1 = x ). Za unkciju : kažemo da je bijekcija (obostrano jednoznačno preslikavanje, 1 na 1 korespodencija) ako je i surjekcija i injekcija. Primjer 6. Ispitajte injektivnost, surjektivnost i bijektivnost sljedećih unkcija: a) a b c d e 5
b) a b c d e c) a d b e Zadatak 7. Odredite sve unkcije : A A i ispitajte njihovu injektivnost, surjektivnost i bijektivnost ako je a) A = {1, }; b) A = {1,, 3}. Zadatak 8. Pokažite (kontrapozicijom) da je : N \ {1} Q deinirana ormulom (n) = n + 1 n 1 injekcija. Zadatak 9. okažite tvrdnje: a) kompozicija surjekcija je surjekcija; b) kompozicija injekcija je injekcija; c) kompozicija bijekcija je bijekcija. Zadatak 10. ane su unkcije : X Y i g : Y Z. okažite sljedeće tvrdnje: a) Ako je kompozicija g surjekcija, onda je i g surjekcija. Mora li i biti surjekcija? b) Ako je kompozicija g injekcija, onda je i injekcija. Mora li i g biti injekcija? 6
4.4 Inverzna unkcija Neka su : i g : unkcije. Ako vrijedi: a) ( g) = 1 b) (g ) = 1 tada se unkcija g naziva inverznom unkcijom unkcije i označava sa g = 1. Svaka bijekcija : ima inverznu unkciju deiniranu na s vrijednostima u. Gra inverzne unkcije 1 simetričan je grau unkcije obzirom na pravac y = x. Računanje inverzne unkcije: Jednadžbu y = (x), y, gdje je x = 1 (y) rješimo po nepoznanici (varijabli) x 1. Ako za neki y rješenje ne postoji, onda nije surjekcija.. Ako rješenje postoji, ali nije jedinstveno, onda unkcija nije injekcija. (Npr. (x) = x, : R [0, +.) 3. Ako postoji jedinstveno rješenje te jednadžbe, onda ima inverznu unkciju. Zadatak 11. Pokažite da je unkcija bijekcija i odredite joj inverznu unkciju ako je a) : R \ {5} R \ {3}, (x) = 3x x 5, b) : R 0 R + 0, (x) = x. Zadatak 1. Neka je zadana s (x) = ex e x, : R R(). Odredite skup R(). e x + e x okažite da je bijekcija i odredite joj inverznu unkciju. Zadatak 13. Odredite inverzne unkcije sljedećih unkcija a) (x) = 3 x + 1 x 5 b) (x) = 4 x 5 3x 7 c) (x) = log 4 x x + 4 7
4.5 Ekvipotentni skupovi ažemo da su skupovi S i T ekvipotentni, odnosno da imaju isti kardinalni broj, ako postoji barem jedna bijekcija sa skupa S u skup T. Oznaka: S T ili k(s) = k(t ). Primjer 1. 1. {1, 3, 5} {1, 00, 10 35 },. {1,, 3...} {, 4, 6,...}. Zadatak 14. okažite da je k(z) = k(n). Zadatak 15. okažite da su svi zatvoreni segmenti realnih brojeva medusobno ekvipotentni. Zadatak 16. Zadana je unkcija : 0, 1 R +, (x) = 1 x 1. a) okažite da je bijekcija. b) Što iz toga zaključujemo o kardinalnosti skupova 0, 1 i R+? 4.6 Neka svojstva realnih unkcija Neka je : unkcija. Ako je R onda kažemo da je unkcija (jedne) realne varijable, a ako je R onda kažemo da je realna unkcija. 4.6.1 Nul-točke unkcije Neka je : R unkcija. ažemo da je x 0 nul-točka unkcije ako vrijedi (x 0 ) = 0. Ako je R, onda gra unkcije u nul-točki x 0 siječe ili dodiruje x-os. Zadatak 17. Odredite, ako postoje, nul-točke sljedećih unkcija: a) : R R, (x) = x + 5, b) h : R R, h(x) = x 6x + 9, c) l : R R, l(x) = (x 3)(x + 4)(x 5). 8
4.6. Parnost unkcije Neka je R takav da (x = x ), tj. je simetričan skup s obzirom na ishodište. ažemo da je : R parna unkcija ako je ( x) = (x), x. Primjer 1. Sljedeće unkcije su parne: (x) = x, g(x) = x n, n N, h(x) = cos x, x R ažemo da je : R neparna unkcija ako je ( x) = (x), x. Primjer. Sljedeće unkcije su neparne: (x) = x n 1, n N, g(x) = sin x, h(x) = tg x, x R. Gra parne unkcije simetričan je s obzirom na y-os. Parna unkcija nije injekcija. Gra neparne unkcije simetričan je s obzirom na ishodište. Ako je 0 tada gra neparne unkcije prolazi kroz ishodište, tj. (0) = 0. Zadatak 18. Ispitajte parnost i neparnost sljedećih realnih unkcija realne varijable a) (x) = x + x 4, b) (x) = x 5 sin x, c) (x) = cos x x 3, d) (x) = tgx x 5 + 1, e) (x) = ln 1 + x 1 x, ) (x) = 5 (x 1) + 5 (x + 1). Zadatak 19. okažite da svaku unkciju : R R možemo zapisati kao zbroj parne i neparne unkcije. Zadatak 0. okažite: 9
a) Zbroj/razlika parnih unkcija je parna unkcija. b) Zbroj/razlika neparnih unkcija je neparna unkcija. Zadatak 1. okažite: a) Umnožak parnih unkcija je parna unkcija. b) Umnožak neparnih unkcija je parna unkcija. c) Umnožak parne i neparne unkcije je neparna unkcija. 4.6.3 onveksnost, konkavnost i točke inleksije Neka je R i : R unkcija. a, b ako je ( x1 + x ) ažemo da je konveksna na intervalu (x 1) + (x ), x 1, x a, b. Ako vrijedi stroga nejednakost, onda je strogo konveksna. Neka je R i : R unkcija. ažemo da je konkavna na intervalu a, b ako je ( x1 + x ) (x 1) + (x ), x 1, x a, b. Ako vrijedi stroga nejednakost, onda je strogo konkavna. Vrijedi: je konveksna je konkavna. Neka je R i : R unkcija. ažemo da je c točka inleksije unkcije ako postoji δ R, δ > 0 takav da je strogo konveksna na c δ, c i strogo konkavna na c, c + δ ili da je strogo konkavna na c δ, c i strogo konveksna na c, c + δ. Zadatak. oristeći deiniciju dokažite da je: a) : R R, (x) = ax + bx + c, a > 0 konveksna na R, b) g : R R, g(x) = ax + bx + c, a < 0 konkavna na R, c) h : R + R, h(x) = log a x, a > 1 konkavna na R +, d) l : R + R, l(x) = log a x, a 0, 1 konveksna na R +. Zadatak 3. okažite da unkcija : R R, (x) = x 3 ima točno jednu točku inleksije. 10
4.6.4 Monotonost unkcije Neka je R i : R unkcija. ažemo da je monotona rastuća na intervalu a, b ako x 1, x a, b x 1 < x = (x 1 ) (x ). Ako vrijedi stroga nejednakost, onda je strogo monotono rastuća. Neka je R i : R unkcija. ažemo da je monotona padajuća na intervalu a, b ako x 1, x a, b x 1 < x = (x 1 ) (x ). Ako vrijedi stroga nejednakost, onda je strogo monotono padajuća. Vrijedi: je monotona rastuća je monotono padajuća. Teorem: Ako je strogo monotona onda je i injektivna. Zadatak 4. oristeći deiniciju odredite koje su unkcije monotono rastuće/padajuće, a koje su strogo monotono rastuće/padajuće, ako je zadano: a) : R R, (x) = x + 5, b) : R R, (x) = x 3, 0, x 0; c) (x) = 1, x > 0. d) : R R, (x) = x, e) : R + R, (x) = 1 x, x, x 1; ) (x) = 1, 1 < x < 1; x +, x 1. 4.6.5 Lokalni ekstremi unkcije Okolina točke x 0 R je svaki skup koji sadrži neki otvoreni interval oko x 0. ažemo da unkcija : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) a, b točke x 0 takva da je (x) (x 0 ), x O(x 0 ). 11
Ako za svaki x x 0 vrijedi stroga nejednakost, onda govorimo o strogom lokalnom minimumu. ažemo da unkcija : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni maksimum ako postoji okolina O(x 0 ) (a, b) točke x 0 takva da je (x) (x 0 ), x O(x 0 ). Ako za svaki x x 0 vrijedi stroga nejednakost, onda govorimo o strogom lokalnom maksimumu. Lokalne minimume i lokalne maksimume zovemo lokalnim ekstremima unkcije. Funkcija : R postiže globalni minimum u točki x 0 ako (x) (x 0 ), x. Ukoliko za svaki x x 0 vrijedi stroga nejednakost, govorimo o strogom globalnom minimumu (u tom slučaju, on je jedinstven). Funkcija : R postiže globalni maksimum u točki x 0 ako (x) (x 0 ), x. Ukoliko za svaki x x 0 vrijedi stroga nejednakost, govorimo o strogom globalnom maksimumu (u tom slučaju, on je jedinstven). Zadatak 5. oristeći deiniciju odredite ekstreme sljedećih unkcija, ako je zadano: a) : R R, (x) = x 3, x, x 1; b) : R R, (x) = 1, 1 < x < 1; x, x 1. c) : R R, (x) = 3 (x ). 4.6.6 Ograničenost, inimum i supremum unkcije ažemo da unkcija : R i) ograničena odozdo, ako postoji broj m R takav da je (x) m, x, u tom slučaju m zovemo donja ograda (ako postoji jedna donja ograda, postoji ih i beskonačno mnogo: svaki broj koji je manji od m) 1
ii) ograničena odozgo, ako postoji broj M R takav da je (x) M, x, u tom slučaju M zovemo gornja ograda (ako postoji jedna gornja ograda, postoji ih i beskonačno mnogo: svaki broj koji je veći od M) iii) ograničena, ako je ograničena odozdo i odozgo. Funkcija je ograničena ako i samo ako joj je ograničen skup vrijednosti, tj. ako joj je slika ograničen skup. Ako je unkcija : R a) ograničena odozdo, onda njenu najveću donju ogradu zovemo inimum unkcije, i označavamo in, Vrijedi b) ograničena odozgo, onda njenu najmanju gornju ogradu zovemo supremum unkcije, i označavamo sup. 1. in = in{(x) : x }. sup = sup{(x) : x } 3. Ako postoji x 0 takav da je (x 0 ) = in, onda je x 0 točka globalnog minimuma. 4. Ako postoji x 0 takav da je (x 0 ) = sup, onda je x 0 točka globalnog maksimuma. Zadatak 6. Provjerite ograničenost sljedećih unkcija a) : R R, (x) = e x, b) : R 0 R, (x) = e x, c) : R R, (x) = e x, d) : R R, (x) = 3 sin x, e) : R R, (x) = (x 5), ) : R R, (x) = x + 4, g) : R R, (x) = 3x + 10, h) : [0, 3] R, (x) = 3x + 10, 13
4.6.7 Periodičnost Neka je R i : R unkcija. T R, T > 0 takav da je ažemo da je periodična ako postoji 1. x = x + T,. (x + T ) = (x), x. Najmanji broj T, ako postoji, za koji vrijedi gornje svojstvo zovemo temeljni period unkcije. Zadatak 7. Ispitajte periodičnost sljedećih unkcija a) : R R, (x) = cos x 4, b) : R + 0 R, (x) = cos x + cos x, c) : R R, (x) = A 1 sin ω 1 x + A cos ω x, A 1, A, ω 1, ω R. d) : R R, (x) = x sin x. Zadatak 8. Neka je a R +. Neka je realna unkcija za koju vrijedi (x) = okažite da je periodična s periodom T = 4a. 1 + (x a) 1 (x a), x. Zadatak 9. Zadana je unkcija : R R. Neka je T R + takav da je (x + T ) + (x) = 0, x R. okažite da je periodična. Zadatak 30. okažite da je unkcija : R, (x) = log 3 cos πx periodična s periodom T =. 14