Σ. Φωτόπουλος -- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Άσκηση. Περιγράψτε τα σήµατα που φαίνονται στο σχήµα. χρησιµοποιώντας κατάλληλα την συνάρτηση µοναδιαίας κρούσης δ[]. x[] + x[] + + + + + (a) (b) -.5 Σχήµα. Λύση: Εφαρµόζοντας τον τύπο + x() = x(κ)δ( - κ) έχουµε για τις δύο περιπτώσεις: Α) x()=δ()+ δ(-)+δ(-) Β) x()=δ(+)+ δ()-.5 δ(-)+δ(-4) Άσκηση. Ποιες από τις παρακάτω κρουστικές αποκρίσεις Αιτιολογείστε τις απαντήσεις σας. περιγράφουν αιτιατό, ευσταθές σύστηµα; Α) h[]=3δ[-]+ δ[-4] Β) h[]=u[-3]-u[+5] Γ) h[]=cos(π/8) -<<, οπουδήποτε αλλού. ) h[]=exp(-.) u[] Ε) h[]=si() exp() u[] Λύση: Α)h[]=3δ[-]+ δ[-4] Είναι αιτιατό αφού η έξοδος προέρχεται από εισόδους προηγούµενων στιγµών (στην ουσία δεν υπάρχει στιγµή +i). Είναι ευσταθές αφού δεν αυξάνει επ άπειρο. Β)h[]=u[-3]-u[+5] εν είναι αιτιατό αφού υπάρχει το u[+5]. Είναι ευσταθές αφού δεν αυξάνει επ άπειρο. Γ) h[]=cos(π/8) -<<, οπουδήποτε αλλού.
Σ. Φωτόπουλος -- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Είναι αιτιατό αφού η έξοδος περιέχει χρονικές στιγµές του και όχι του +i. Είναι ευσταθές (πεπερασµένος αριθµός). ) h[]=exp(-.) u[] Είναι αιτιατό αφού η έξοδος περιέχει χρονικές στιγµές του και όχι του +i. Είναι ευσταθές αφού ελαττώνεται εκθετικά. Ε) h[]=si() exp() u[] Είναι αιτιατό αφού η έξοδος περιέχει χρονικές στιγµές του και όχι του +i. εν είναι ευσταθές αφού έχουµε συνεχόµενη αύξηση αυτού. Άσκηση.3 Σχεδιάστε την απόκριση µοναδιαίας βαθµίδας για κάθε ένα από τους γραµµικούς, αµετάβλητους µε το χρόνο επεξεργαστές που περιγράφονται από τις παρακάτω εξισώσεις. Α)y[]=.5 y[-] +x[] Β)y[]= -.5y[-] +x[] Για κάθε µία περίπτωση βρείτε την τιµή της s() καθώς το. Στηριγµένοι στα αποτελέσµατά σας αποφανθείτε για το DC level του επεξεργαστή. Λύση: Ψάχνουµε να βρούµε την απόκριση µοναδιαίας βαθµίδας s(), για τον λόγο αυτό χρησιµοποιούµε τον τύπο που την συνδέει µε την απόκριση µοναδιαίας κρούσης: s () = h(m) () m= Aρκεί να υπολογίσουµε την h(). Για κάθε περίπτωση λοιπόν έχουµε: Α) y[]=.5 y[-] +x[] Για τον υπολογισµό της h() έχουµε: h()=.5h(-)+δ() Για = h()=.5h(-)+δ() h()= δ()= Για = h()=.5h()+δ() h()= 5. +=.5 Για = h()=.5h()+δ() h()= 55.. + h()=(.5) Για =3 h(3)=.5h()+δ(3) h()= 5. ( 5. ) + h(3)=(.5) 3 Στηριζόµενοι στον τύπο () έχουµε: s()=h()= s()=h()+h()=+.5=.5 s()=h()+h()+h()=+.5+(.5) =.75 s[] +.875 +.75... +.5 + + + + + s(3)=h()+h()+h()+h(3)=+.5+(.5) +(.5) 3 =.875 s( ) =+.5+(.5) +(.5) 3 +...= 5. s( ) = (a) ηλ. Το DC level του επεξεργαστή ισούται µε.
Σ. Φωτόπουλος -3- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Β) y[]=-.5 y[-] +x[] Για τον υπολογισµό της h() αρκεί να θεωρήσουµε ως είσοδο την συνάρτηση δ(). Έτσι έχουµε: h()=-.5h(-)+δ() Για = h()=-.5h(-)+δ() h()= δ()= Για = h()=-.5h()+δ() h()=- 5. +=-.5 Για = h()=-.5h()+δ() h()= ( 5. )( 5. ) + h()=(-.5) Για =3 h(3)=-.5h()+δ(3) h()= ( 5. )( 5. ) + h(3)=(-.5) 3 Στηριζόµενοι στον τύπο () έχουµε: s()=h()= s()=h()+h()=+(-.5)=.5 s()=h()+h()+h()=+(-.5)+(-.5) =.75 s(3)=h()+h()+h()+h(3)=+(-.5)+(-.5) +(-.5) 3 =.65 s( ) =+(-.5)+(-.5) +(-.5) 3 +...= + 5. s( ) =/3 s[] + +.5 +.75 +.65....66.66.66.66 (b) Σχήµα.3β: Μορφή της s(). Το DC level του επεξεργαστή ισούται µε /3. Άσκηση.4 Βρείτε την κρουστική απόκρουση h() του συστήµατος που προκύπτει από την σύνδεση σε σειρά (cascade) δύο γραµµικών, χρονοανεξάρτητων επεξεργαστών (LTI) που ορίζονται από τις κρουστικές αποκρίσεις : h ()=, <<4; h ()=, <<4; Η απάντηση να εκφραστεί σε µορφή σειράς. = οπουδήποτε αλλού = οπουδήποτε αλλού
Σ. Φωτόπουλος -4- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Αρχικά πρέπει να βρούµε τις τιµές που παίρνουν οι αποκρίσεις των δύο επεξεργαστών και ιδιαίτερα στο διάστηµα <<4 όπου και υπάρχουν τα µη µηδενικά στοιχεία. Έχουµε αναλυτικά: h (): Για = έχουµε h () = = έχουµε h () =.5 =3 έχουµε h (3) =.333 h (): Για = έχουµε h () = = έχουµε h () = =3 έχουµε h (3) = 3 Oι αποκρίσεις τους φαίνονται παρακάτω: h ():....5.333.. h ():... 3... Επειδή αυτοί οι επεξεργαστές έχουν συνδεθεί διαδοχικά η απόκριση του συνολικού συστήµατος h ΟΛ () θα προκύπτει από την συνέλιξη των h () και h (): h ΟΛ () = h () * h () έχουµε: h ΟΛ () = h ΟΛ () = h ΟΛ () =(x) + (x) + (3x)= h ΟΛ (3) = (x.5) + (x) + (3x)=.5 h ΟΛ (4) = (x.33) + (x.5) + (3x)=4.33 h ΟΛ (5) = (x) + (x.33) + (3x.5)=.7 h ΟΛ (6) =(x) + (x) + (3x.33)= h ΟΛ (7) =(x.) + (x) + (3x)= Άρα η απόκριση του συνολικού συστήµατος h ΟΛ () εκφρασµένη σε µορφή σειράς µε τον πρώτο µη µηδενικό όρο να εµφανίζεται για = είναι η εξής:....5 4.33.7... Άσκηση.5 ύο ψηφιακοί, γραµµικοί LTI επεξεργαστές που περιγράφονται από τους επαναληπτικούς τύπους που φαίνονται στο σχ.5 συνδέονται παράλληλα. Βρείτε την κρουστική απόκριση h() του συνολικού συστήµατος για 8 και σχεδιάστε την σε αυτό το διάστηµα. y ()=x()+x(-)+3x(-) x() y ()=.8y (-)+x() y() Σχήµα.5 Επειδή οι δύο επεξεργαστές έχουν συνδεθεί παράλληλα η απόκριση του συνολικού συστήµατος h ΟΛ () θα δίνεται από την άθροιση των h () και h () σύµφωνα και µε τον παρακάτω τύπο: h ΟΛ () = h () + h ()
Σ. Φωτόπουλος -5- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Για να υπολογίσουµε λοιπόν την h ΟΛ () θα πρέπει να βρούµε τις αποκρίσεις του κάθε επεξεργαστή. Αυτές τις βρίσκουµε αν βάλουµε όπου x() τη συνάρτηση µοναδιαίας κρούσης δ() οπότε έχουµε: h () = δ() + δ(-) + 3δ(-) h ()=.8h (-) + δ() Για την h () έχουµε h ()= h ()=.8 h ()=.8 h (3)=.8 3 h (4)=.8 4 h () =.8 h (5)=.8 5 h (6)=.8 6 h (7)=.8 7 Αρα η απόκριση του συνολικού συστήµατος θα δίνεται από τον τελικό τύπο: h ΟΛ () = δ() + δ(-) + 3δ(-) +.8 Yπολογίζουµε την απόκριση του συνολικού συστήµατος για 8 όπως φαίνεται στην συνέχεια: h ΟΛ () = () + (x) + (3x) + (.8) = h ΟΛ () = () + (x) + (3x) +.8 = +.8 =.8 h ΟΛ () = () + (x) + (3x) +.8 = 3 +.8 = 3.64 h ΟΛ (3) =.8 3 =.5 h ΟΛ (4) =.8 4 =.496 h ΟΛ (5) =.8 5 =.3768 h ΟΛ (6) =.8 6 =.644 h ΟΛ (7) =.8 7 =.975 h ΟΛ (8) =.8 8 =.67776 Χρησιµοποιώντας τις παραπάνω τιµές σχεδιάζουµε την απόκριση h ΟΛ () στο διάστηµα 8 που φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: 4 h () ΟΛ 3 4 6 8 Άσκηση.6 Η παρακάτω Ε περιγράφει ένα σύστηµα ψηφιακό επεξεργαστή. y () =.8 y (-) +. x ()
4 6 8 Σ. Φωτόπουλος -6- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Εφαρµόσουµε στον επεξεργαστή αυτό τη συνάρτηση µοναδιαίας βαθµίδας u(). Βρείτε την απόκριση λύση και ξεχωρίστε την οµογενή από την µερική.,8,7,6,5 Αρχικά θα βρούµε την συνολική απόκριση του επεξεργαστή και αυτό γίνεται αν όπου x() αντικαταστήσουµε τη συνάρτηση µοναδιαίας βαθµίδας u() οπότε και έχουµε: y() =.8y(-) +. u() y() =. y() =.8x. +.=.36 y() =.8x.36 +.=.488 y(3) =.8x.488 +.=.594 y(4) =.8x.594 +.=.673 Ένας εύκολος τρόπος για να βρούµε την τιµή που θα πάρει η απόκριση του επεξεργαστή όταν εξαλειφθούν τα µεταβατικά φαινόµενα είναι ο εξής: αφού στην είσοδο εφαρµόζουµε σταθερό σήµα u() τότε αναµένουµε και η έξοδος από κάποια στιγµή και πέρα να παραµένει και αυτή σταθερή δηλαδή να ισχύει: y() = y(+) y() =.8y() +. u(+). y() =.u() y() = u() ηλαδή ότι η απόκριση του επεξεργαστή µετά από κάποια χρονική στιγµή θα είναι σταθερή =. Αυτή είναι η µερική λύση δηλαδή y p ()=. Αρα η λύση της οµογενούς θα βρεθεί από την σχέση : y h () = y()- y p () Εφαρµόζοντας τον παραπάνω τύπο και γνωρίζοντας τις τιµές της y() και ότι y p ()= βρίσκουµε την y h () που φαίνεται παρακάτω: y h () =. - = -.8 = -(.8) y h () =.36 - = -.64 = -(.8) y h () =.488 - = -.5 = -(.8) 3 y h (3) =.594 - = -.496 = -(.8) 4 y h (4) =.673 - = -.3768 = -(.8) 5 Στη συνέχεια δεικνύονται οι 3 γραφικές παραστάσεις...: y(),6,4,, y p (),6,4,, y h (),, 3, 4, 5, 6, 7, 8,,4,3,,, 3 4 5 6 7 8 9,8,6,4,, 3 4 5 6 7 8 9 -, -,4 -,6 -,8 -,
Σ. Φωτόπουλος -7- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Άσκηση.7 Για κάθε ένα από τα παρακάτω συστήµατα διακριτού χρόνου, όπου y[] και x[]είναι αντίστοιχα η έξοδος και η είσοδος, να βρεθεί ποια είναι () γραµµικά, () αιτιατά, (3) ευσταθή και (4) αµετάβλητα στη µετατόπιση. α) y[] = x[] b) y[] = x 3 [] 5 c) y[] = β + x[ l], β l= 5 d) y[] = β + x[ l], β l= 5 e) y[] = ax[-], a f) y[] = x[+6] ΛΥΣΗ : α) y[] = x[] () είναι γραµµικό: x ()+x ()=[x ()+x ()] () είναι αιτιατό, διότι εξαρτάται µόνο από την παρούσα τιµή του (3) δεν είναι ευσταθές, διότι για µεγάλο απειρίζεται η έξοδος (4) δεν είναι αµετάβλητο µε το χρόνο b) y[] = x 3 [] () δεν είναι γραµµικό, (τρίτη δύναµη). () είναι αιτιατό, διότι εξαρτάται µόνο από την παρούσα τιµή του (3) είναι ευσταθές (4) είναι αµετάβλητο στη µετατόπιση 5 c) y[] = β + x[ l], β l= () δεν είναι γραµµικό διότι έχει και σταθερό όρο β. () είναι αιτιατό (3) είναι ευσταθές (4) είναι αµετάβλητο στη µετατόπιση 5 d) y[] = β + x[ l], β l= 5 () δεν είναι γραµµικό () δεν είναι αιτιατό, διότι το l παίρνει και αρνητικές τιµές (3) είναι ευσταθές (4) είναι αµετάβλητο µε τη µετατόπιση e) y[] = ax[-], a () είναι γραµµικό () δεν είναι αιτιατό (3) είναι ευσταθές (4) είναι αµετάβλητο σε µετατόπιση του f) y[] = x[+6] () είναι γραµµικό () δεν είναι αιτιατό, διότι έχει στην τον όρο +6 (3) είναι ευσταθές (4) είναι αµετάβλητο σε µετατοπίσεις
Σ. Φωτόπουλος -8- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Άσκηση.8 Ποια η συνέλιξη των δύο εποµένων ακολουθιών; h[] =.5 δ[-] + δ[-] +.5 δ[] x[] = δ[-3] + δ[-] + δ[-] +δ[] ΛΥΣΗ : Η συνέλιξη των παραπάνω ακολουθιών δίνεται από τη σχέση: y()=x()*h[] = = k = h( k) x( k) = κ = =. = [.5 δ(k - ) + δ(k -) +.5 δ(k)][δ( - k - 3) + δ( - k - ) x[]*h[] =.5 δ[ - 5] +.5 δ[ - 4] + δ[ 3] + δ[ ] +.5 δ[ ] +.5 δ[] + δ ( - k -) + δ( - k)] Άσκηση.9 Ποια η έξοδος του παρακάτω συστήµατος µε : h [] = δ[-] + 3 δ[] h [] = δ[-] + δ[] h 3 [] = 6 δ[-6] +7 δ[-4] 3 δ[-] + δ[] ΛΥΣΗ : Το σήµα στην έξοδο είναι το : y[] = {h [] * h []} +h 3 [] h [] * h [] = δ[-3] + δ[-] + 3 δ[-] + 6δ[] Τελικά για την έξοδό µας θα είναι : y[] = δ[-3] + δ[-] + 3 δ[-] + 6δ[] + 6 δ[-6] +7 δ[-4] 3 δ[-] + δ[] => y[] = 6 δ[-6] + 7 δ[-4] + δ[-3] + 3 δ[-] - δ[-] + 7 δ[] Άσκηση. ίνεται το σήµα x()={.5,.75,,.5,.375,.5,.75,.875,.5.5} Υποθέτουµε ότι για < και για >9 η τιµή του είναι µηδέν. Να βρεθούν: x(), x(5), x(-), x(-), x(), x(3) ΛΥΣΗ.8 x().6.8 x(-).6.4.4.. 5 5 5 5
Σ. Φωτόπουλος -9- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο.8 x(-).6.4.8 x().6.4.. 5 5 3 4 5 6.8 x(3).6.4. 3 4 5 Άσκηση. Να γραφεί η συνάρτηση x() που να περιγράφει το σήµα του σχήµατος ΛΥΣΗ Προφανώς είναι: x()= 4δ()-δ(-)+3δ(-)-δ(-3) 5 4 x() 3 - - -3-4 Άσκηση. Ένα σήµα ορίζεται από την σχέση: x()=(-.6) Nα σχεδιασθεί και να γραφεί η σχέση που περιγράφει το σήµα x(-) ΑΠΑΝΤΗΣΗ x(-)=(-.6) - -5-4 - 4 3 x() - - - 4 Άσκηση.3 Ένα ψηφιακό σήµα ορίζεται ως x()=cos(4π/5). Eίναι η ψηφιακή αυτή ακολουθία περιοδική; Bρείτε τα πρώτα 8 στοιχεία της ακολουθίας. Λύση H ψηφιακή συχνότητα είναι ω=4π/5.
Σ. Φωτόπουλος -- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Για να επαναλαµβάνεται µετά από Ν δείγµατα πρέπει cos(4π/5)=cos((4π/5)(+n)) κπ+4π/5=(4π/5)(+n) κπ=4π/5ν Ν=κπ/(4π/5)=5/κ. Από την σχέση αυτή συνεπάγεται ότι η ακολουθία επαναλαµβάνεται για κ= δηλ. για κάθε 5 δείγµατα που αντιστοιχούν σε δύο κύκλους του σήµατος. x().5 -.5-4 6 8 Άσκηση.4 Ένα σύστηµα περιγράφεται από την εξής εξίσωση διαφορών : y()=.5y(-)+x(). Είναι το σύστηµα αυτό επαναληπτικό (recursive); Εάν δίνεται ότι x()=u() για -3 βρείτε τα πρώτα δείγµατα της εξόδου. ΛΥΣΗ Το σύστηµα είναι επαναληπτικό διότι η έξοδος του εξαρτάται και από προηγούµενες τιµές της εξόδου. Υποθέτωντας ότι y(-)= υπολογίζονται εύκολα οι τιµές του y() για =, y()=.5y(-)+x() = += y()=.5y()+x()=.5 +=.5... Άσκηση.5 Βρείτε τα πρώτα 6 σηµεία της κρουστικής απόκρισης για την εξίσωση διαφορών: y().4y(-) = x() x(-) ΛΥΣΗ αντικαθιστώντας x() µε δ() και y() µε h() έχουµε: h()-.4h(-) = δ()- δ(-) h() =.4h(-) + δ()- δ(-) Aρχίζουµε από = και λαµβάνουµε: h() =.4()+-= h()=.4 h()+δ()-δ()=.4 ()+-=-.6.
Σ. Φωτόπουλος -- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Άσκηση.6 Να γραφεί η εξίσωση διαφορών για το σύστηµα που έχει κρουστική απόκριση αυτή του σχήµατος ΛΥΣΗ Η κρουστική απόκριση h() γράφεται σαν άθροισµα συναρτήσεων δ(): h()=δ()+.8δ(-)+.δ(-) Αντικαθιστώντας y() και x() στη θέση h() και δ() λαµβάνουµε: y()=x()+.8x(-)+.x(-) x() Άσκηση.7..8.6.4. h() - 4.8 + y() Nα γραφεί η εξίσωση διαφορών για το σύστηµα που περιγράφεται από το διάγραµµα του σχήµατος. T ΛΥΣΗ. + -. y()=.x(-)-.3y(-)+.x(-) -.y(-)+.8x() T Άσκηση.8 Η είσοδος σε ένα σύστηµα είναι η µοναδιαία βαθµίδα u(). Η κρουστική απόκριση του συστήµατος αυτού είναι h()=.4δ()-δ(-)+.7δ(-). Να βρεθεί η έξοδος του συστήµατος αυτού και να αναγνωρισθεί η µεταβατική και η σταθερή απόκριση. ΛΥΣΗ Οι υπολογισµοί δεικνύονται στο παρακάτω διάγραµµα +. -.3 x(k) h(k).4 -.7 h(-k).7 -.4 y()=.4 h(-k).7 -.4 y()=-.6 h(-k).7 -.4 y()=. h(3-k).7 -.4 y(3)=. h(4-k).7 -.4 y(4)=. h(5-k).7 -.4 y(5)=. h(6-k).7 -.4 y(6)=. Όπως φαίνεται η σταθερή κατάσταση εµφανίζεται στο 3 σηµείο και έχει πλάτος.. Στα δύο πρώτα σηµεία έχουµε την µεταβατική κατάσταση του συστήµατος Άσκηση.9 Βρείτε την µαθηµατική έκφραση για τα σήµατα του παρακάτω σχήµατος
Σ. Φωτόπουλος -- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο x() 3 x() - x() 4 3 (a) Μοναδιαία βαθµίδα, µετατοπισµένη στο = και πολλαπλασιασµένη επί 3. x() = 3u(-) (b) Συνάρτηση-δ, τιµής, ανεστραµµένη και µετατοπισµένη στο =-. x() = -δ(+) (c) Αρχικά έχουµε συνάρτηση µοναδιαίας κλίσης, µετατοπισµένη = - 4. Στη συνέχεια για να πάρουµε σταθερές τιµές σήµατος από το =, πρέπει να αφαιρέσουµε µια ίδια συνάρτηση µοναδιαίας κλίσης η οποία να αναιρέσει την πρώτη. Aπό το =7 θα πρέπει να πάρουµε µια συνάρτηση µοναδιαίας κλίσης, µε κλίση. Τέλος από το =9, για να πάρουµε σταθερές τιµές σήµατος προσθέτουµε µια ίδια µε την προηγούµενη συνάρτηση µοναδιαίας κλίσης. x() = r(+4) r() r(-7) + r(-9) Άσκηση. Βρείτε ποίο από τα παρακάτω σήµατα είναι αυστηρά περιοδικό και ποια είναι στην περίπτωση αυτή η συχνότητα του. (α) x( ) = si Για να είναι περιοδική π = π = 8 9 (β) x()=si(π ) samples Για να είναι περιοδική: π = πk = k µή περιοδική π π (γ) x() = cos 5 π = πk = 3k = 3k Ζ µη περιοδική 5 (δ) π π x() = si π + + cos π = 5 π π = si cos Είναι 5 π άθροισµα ενός ηµιτονικού σήµατος µε = π = samples περίοδο: 5 π και ενός συνηµιτονικού σήµατος µε περίοδο: = π = samples Άρα το σήµα είναι περιοδικό µε περίοδο Τ= samples π 9
Σ. Φωτόπουλος -3- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Άσκηση. Στο σχήµα που ακολουθεί, περιγράφεται ένα ψηφιακό σύστηµα. Εάν y[]= για < να βρεθεί και να σχεδιαστεί η έξοδος όταν η είσοδος είναι α) x[]=δ[] και β)x[]=u[]. Υποθέτουµε ότι η τιµή του α είναι µεταξύ και. Τι θα συµβεί εάν α> ή α<- ; y()=x(-)-αy(-) (α) Συνάρτηση δ() h()=δ(-)-αh(-) h()=-= -α h()= δ()- h() αh()=+= h()= δ()-αh()=-α=-α h(3)= δ()-αh()=-α(-α)=α δ() h(4)= δ(3)-αh(3)=-α(α )=-α 3..... - 3 4 5..Αφού <α< α <, άρα το h() θα παίρνει συνεχώς µικρότερη (απόλυτο) τιµή. Το σύστηµά µας είναι ευσταθές αφού για πεπερασµένη είσοδο έχουµε πεπερασµένη έξοδο ( x() < ). Αν α> ή α<-, τότε η τιµή h() συνεχώς θα αύξανε µε το χρόνο και, εποµένως το σύστηµά µας θα ήταν ΑΣΤΑΘΕΣ. u() (β) Μοναδιαία βαθµίδα u() y()=u(-)-αy(-) x() + - Τ y() - 3 4 5 y()=-= y()=-= y()=-αy()=-α y(3)=-αy()=-α(-α)=-α+α y(4)=-αy(3)=-α(-α+α )=-α+α -α 3 y(5)=-αy(4)=-α(-α+α -α 3 )=-α+α -α 3 +α 4 y(6)=-αy(5)=-α(-α+α -α 3 +α 4 )=-α+α -α 3 +α 4 -α 5 Όµοια µε την περίπτωση (α), αν α < τότε το σύστηµά µου θα ήταν ασταθές. y() - 3 4 5 6-3 4 5 6
Σ. Φωτόπουλος -4- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Ασκηση. (Matlab) Να βρεθεί η συνέλιξη των εξής ακολουθιών: x=[3 7-4 ]; και h=[ 3-5 ]; Χρησιµοποιούµε την εντολή cov x=[3 7-4 ]; h=[ 3-5 ]; z=cov(x,h) Το µήκος του z: size(z) Εντοπισµός του χρόνου: =-4 έως 7 Ασκηση.3 (Matlab) Ένα σύστηµα περιγράφεται µε την εξής Ε : y()=y(-)+.9y(-)+x() Ζητούνται η κρουστική και η βηµατική απόκριση του συστήµατος αυτού. Εξετάστε αν το σύστηµα είναι ευσταθές. Χρησιµοποιούµε την εντολή filter Σύµφωνα µε τον τρόπο αναπαράστασης των Ε στο Matlab a()*y() = b()*x() + b()*x(-) +... + b(b+)*x(-b) - a()*y(-) -... - a(a+)*y(-a) έχουµε: a=[ - -.9]; b=[]; imp=[ zeros(,99)]; step=oes(,); y=filter(b,a,imp); y=filter(b,a,step); Για την ευστάθεια του συστήµατος ελέγχουµε το άθροισµα y: sum(abs(y)) Ασκηση.4 (Matlab) Να βρεθεί η απόκριση συστήµατος µε κρουστική απόκριση h()=.8 u() σε διέγερση: x()=u(-5)-u(-) Θα χρησιµοποιήσουµε την εντολή του Matlab: filter. Για να είναι αυτό δυνατόν βρίσκουµε την αντίστοιχη Ε : y()-.8y(-)=x() a=[ -.8],b=[], x=[ zeros(,4)] y=filter(b,a,x), stem(y) 4 3 y() --> 3 4 5