ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός Laplace Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Αιτιατότητα Μη-Αιτιατότητα. Ευστάθεια. Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηµατισµού Laplace των Ευσταθών & Αιτιατών Συστηµάτων. Εκθετικά Σήµατα. Πολυωνυµικά Εκθετικά Σήµατα -οστής τάξης. Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Laplace. Αυστηρά ρητός Μετασχηµατισµός Laplace & Ανάλυση σε Απλά κλάσµατα. Ρητός Μετασχηµατισµός Laplace. 2
Μιγαδικό Επίπεδο-s jωim{s} Περιοχή Σύγκλισης σre{s} -2-1 3
Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηµατισµού Αιτιατά & Μη-αιτιατά σήµατα a x1 e u L 1 X1 s,re{ s} s + a > α a x2 e u L 1 X 2 s,re{ s} s + a < α 4
a x2 e u Μιγαδικό Επίπεδο-s jωim{s} a x1 e u Πόλος σ-α σre{s} Περιοχή Σύγκλισης X2sL{x2} σre{s}<-α Περιοχή Σύγκλισης X1sL{x1} σre{s}>-α 5
a Εκθετικά Σήµατα: x e u a x e u L X 1 s,re{ s} s + a > α Πολυωνυµικά Εκθετικά Σήµατα -οστής τάξης: a x e u! a x e u! L X 1 s,re{ s + } + 1 s a > α 6
x y a M N β Μετασχηµατισµός Laplace & Διαφορικές Εξισώσεις Θεωρήστε ένα ΓΧΑ σύστηµα του οποίου η είσοδος και η έξοδος ικανοποιούν την ακόλουθη Δ.Ε. Προσδιορίστε το Μετασχηµατισµό Laplace της κρουστικής απόκρισης του συστήµατος. 7
Ιδιότητα της Διαφόρισης στο πεδίο του χρόνου Αν XsL{x}, τότε: L { x 1 } sx s Γενίκευση της ιδιότητας: L{ x } s X s 8
x y a M N β Λύση ΔΕ µε Χρήση Μετασχηµατισµού Laplace-Συνάρτηση Μεταφοράς } { } { x L y L a M N β N M s a s s X s Y h L s H } { β Εφαρµόζοντας Μετασχηµατισµό Laplace και στα δύο µέλη, έχουµε: και εφαρµόζοντας την ιδιότητα της διαφόρισης, βρίσκουµε: Συνάρτηση Μεταφοράς 9
Μετασχηµατισµός Laplace & ΔΕ-Συνάρτηση Μεταφοράς Προσδιορίστε τη Συνάρτηση Μεταφοράς του παρακάτω συστήµατος: L R x u C y 1
Μετασχηµατισµός Laplace & ΔΕ-Χαρακτηρισµός Συστήµατος Θεωρήστε ένα ΓΧΑ σύστηµα του οποίου η είσοδος και η έξοδος ικανοποιούν την ακόλουθη Δ.Ε. 1 y + 3y x Προσδιορίστε την κρουστική απόκριση του συστήµατος. 11
Μετασχηµατισµός Laplace & ΔΕ-Ευστάθεια Θεωρήστε ένα ΓΧΑ σύστηµα για το οποίο γνωρίζουµε ότι αν εφα- ρµόσουµε στην είσοδό του το σήµα y e 2 u είναι. e x e 3 u η έξοδος του Χαρακτηρίστε το σύστηµα ως προς την ευστάθειά του και προσδιο- ρίστε τη Δ.Ε. που ικανοποιεί. 12
Μετασχηµατισµός Laplace & Διαφορικές Εξισώσεις Προσδιορίστε το ρεύµα i που διαρρέει το παρακάτω κύκλωµα, αν γνωρίζουµε ότι i+io. L R u i 13
Μονόπλευρος Μετασχηµατισµός Laplace L + s + { x } X s x e d, s σ + jω + Υπολογίστε τον Αµφίπλευρο και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό του a + 1 Σήµατος x e u + 1 s 1 L{ x } e, Re{ s} > a s + a a 1 L x e + { }, Re{ s} > a s + a 14
Μονόπλευρος Μετασχηµατισµός Laplace + L{ x } X s Ιδιότητα της Διαφόρισης στο πεδίο του χρόνου a x e s d, s σ + jω 1 Αν XsL{x}, τότε: { x } sx s x a Γενίκευση της ιδιότητας: L a L a { x } s X s k 1 s k x k 1 a 15
Μονόπλευρος Μετασχηµατισµός Laplace Να λυθεί η Δ.Ε. x 1 + 2x δ, x 1, > Κλασσικός Τρόπος Λύσης Χρησιµοποιώντας Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace α+ Χρησιµοποιώντας Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace α- 16
Μονόπλευρος Μετασχηµατισµός Laplace Θεώρηµα Αρχικής και Τελικής τιµής + x lim sx s s lim x lim s sx s 17
Θεώρηµα Αρχικής Τιµής Ανεξάρτητα από το α που χρησιµοποιούµε + x lim sx s s Απόδειξη για τα σήµατα που ανήκουν στην κλάση C lim s L{ x 1 } Απόδειξη για συνεχή σήµατα και σήµατα µε ασυνέχεια στο Γενίκευση του Θεωρήµατος Αρχικής Τιµής για σήµατα που περιέχουν και κρουστικές συναρτήσεις στο. 18
Γενίκευση του Θεωρήµατος Αρχικής Τιµής για σήµατα που περιέχουν και κρουστικές συναρτήσεις στο. Αν X s K k a k s k + X o s τότε + x lim sx s s o 19
Ιδιότητα της Ολοκλήρωσης στο πεδίο του χρόνου Αν XsLα{x}, και: τότε y x τ d X s y a L a { y } + s s τ Li Παράδειγµα: Λύστε την παρακάτω εξίσωση 1 1 + Ri + i C τ d τ x, v c γνωστή. 2
Αιτιατά Περιοδικά Σήµατα Έστω x X 1 x s st e + T,, τότε T L{ x }, Re{ s} > όπου X s L x, x x, T > T T T < και µηδέν αλλού. 21
Μιγαδικό Επίπεδο-s jωim{s} Περιοχή Σύγκλισης Σήµατος σre{s} 22
Πόλοι στο Αριστερό Ηµιεπίπεδο. X s F{ x } X Ω j s jω Πόλοι Πάνω στον Φανταστικό άξονα οριακή περίπτωση σ. Τι γίνεται σ αυτή την περίπτωση; 23