2 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL

1 2 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL 2.1 Probleme clsice de clcul vriţionl Din punct de vedere istoric, prim problemă de clcul vriţionl este ş numit problemă lui Dido. Legend mitologică spune că Dido, su Didon, prinţesă unui din cetăţile vechii Grecii şi soră lui Pygmlion, er mărittă cu pontiful Sihrbs. Pygmlion îl ssineză pe pontif şi Dido fuge cu frtele său şi cu vere soţului într-o flotilă improviztă. Debrcând pe ţărmul fricn, loclnicii îi oferă c loc de dăpost tât pământ cât pote cuprinde cu o piele de tur. Dido tie piele în fâşii înguste pe cre le legă cp l cp şi înconjoră cu ele o buctă de teren pe cre v construi cette Crtginei, cărei regină devine Dido. Incă din ntichitte, ltur mtemtică legendei interest pe mtemticieni: cum trebuie dispus firul lcătuit din fâşiile înguste pentru c el să înconjore o porţiune de rie mximă? Problem re mi multe vrinte. Un dintre ceste r fi următore: să presupunem că x x Ox reprezintă ţărmul mării şi că punctele A(, 0), B(b, 0) reprezintă cpetele firului, grficul funcţiei y = y(x), definită şi derivbilă pe [, b], 1

este firul. Ari limittă de fir şi de ţărm este S = y(x)dx, în timp ce lungime firului este L = 1 + y (x) 2 dx. Atunci problem lui Dido revine l determinre funcţiei y = y(x), definite şi derivbile pe [, b], cre stisfce condiţiile y() = 0, y(b) = 0, L = 1 + y (x) 2 dx stfel încât integrl S = y(x)dx să ibă vlore mximă. Din motive evidente, o semene problemă se numeşte problem ă izoperimetrică. Încă din ntichitte se cunoşte că form căuttă firului este ce unui rc de cerc, ş cum vom răt şi noi mi încolo. Putem rţion şi ltfel. Fied AB rcul grficului. În relţi S = y(x)dx, AB 2

considerăm pe x, y c funcţii de bscisâ curbilinie s şi integrăm prin părţi S = yx B A = L xdy = x(s) 1 + x (s) 2 ds. AB Problem revine l determin funcţi x = x(s) definită pe intervlul [0, L] cu propriette că x(0) =, x(l) = b şi că integrl L S = x(s) 1 + x (s) 2 ds 0 re vlore minimă. O ltă vrintă problemei lui Dido r fi cee în cre presupunem că firul r reprezent o curbă netedă închisă cu ecuţiile prmetrice x = x(t)y = y(t)t [t 1, t 2 ], funcţiile x(t), y(t) fiind deci derivbile pe porţiuni pe [t 1, t 2 ]. Atunci lungime firului este L = t 2 ir ri limittă de fir este S = t 2 t 1 t 1 0 x (t) 2 + y (t) 2 dt, [y(t)x (t) x(t)y (t)]dt. Problem revine deci l determinre celor două funcţii x(t), y(t) definite şi derivbile pe porţiuni pe intervlul [t 1, t 2 ] stfel 3

încât să ibă loc relţi şi c integrl S = L = t 2 t 1 t 2 t 1 x (t) 2 + y (t) 2 dt [y(t)x (t) x(t)y (t)]dt să fie mximă. Şi cest este tot o problemă izoperimetrică şi curb cre dă soluţi este un cerc. O ltă problemă importntă cre dus l priţi clculului vriţionl este problem brhistocronei. E fost propusă în 1696 de către Jen Bernoulli şi fost rezolvtă în diferite moduri de Jcob Bernoulli, Leibniz, lhospitl, Euler. E constă în determinre unei curbe cre uneşte punctele A(0, h) şi B(b, 0) pe cre se mişcă un punct mteril de msă m plecând din A cu viteză iniţilă nulă şi junge în B sub influienţ greutăţii după un timp T minim. Dcă presupunem că y = y(x) este ecuţi curbei căutte şi v(x) este mărime vitezei punctului în poziţi (x, y(x)), tunci conformlegii conservării energiei vem de unde Pe de ltă prte gm(h y) = mv(x)2, 2 v(x) = 2g(h y). v = ds dt = 1 + y (x)2dx 4

şi deci timpul în cre mobilul se deplseză din punctul (x, y(x)) în punctul (x + dx, y(x + dx)) este 1 + y (x) 2 dt = 2g(h y) dx. Rezultă că timpul în cre mobilul junge din A în B este 1 + y (x) 2 T = 2g(h y) dx. Deci problem brhistocronei revine l determinre funcţiei y = y(x), definite şi derivbile pe [0, b] stfel încât y(0) = h, y(b) = 0 şi stfel încât integrl 1 + y (x) 2 T = 2g(h y) dx să fie minimă. Este evident că şi în cest cz curb pote fi căuttă c în problem precedentă sub formă prmetrică. O problemă semănătore este problem opticii geometrice. Într-un mediu izotrop neomogen lumin se propgă în fiecre punct M(x, y, z) cu o viteză v(x, y, z) independent ă de direcţie. Timpul necesr c lumin să jungă din punctul M 1 (x 1, y 1, z 1 ) în punctul M 2 (x 2, y 2, z 2 ) de- lungul curbei de ecuţii y = y(x), z = z(x) este x 2 1 + y (t) T = 2 + z (t) 2 dx. v(x, y(x), z(x) x 1 Principiul lui Fermt firmă că lumin se propgă de- lungul celei curbe pentru cre T este minim. Problem opticii geometrice este deci determinre funcţiilor y = y(x), z = z(x) 5

definite pe [x 1, x 2 ] stfel încât y(x 1 ) = y 1, y(x 2 ) = y 2, z(x 1 ) = z 1, z(x 2 ) = z 2 şi pentru cre integrl de mi sus re vlore minimă. O ltă problemă clsică clculului vriţionl este ş numit problemă lui Plteu (Plteu, Antoine Ferdinnd Joseph, 1801-1883, belgin, profesor de fizică şi ntomie l Universitte din Gnd). E constă în determinre formei de echilbru unei pelicule de săpun susţinute de două inele (pentru simplitte de ceeşi rză R) perpendiculre pe x comună Ox în punctele de bscise -b, b. Neglijând greutte peliculei, din proprietăţile tensiunii superficile rezultă că pelicul se dispune stfel încât e să ibă o suprfţă minimă. Din motive de simetrie evidente, pelicul re form unei suprfeţe de rotţie de rie minimă. De cee problem lui Plteu se mi numeşte şi problem suprfeţei de rotţie de rie minimă. Dcă notăm cu y = y(x), b x b ecuţi curbei de secţiune cu plnul x0y, tunci ri suprfeţei de rotţie este S = 2π y(x) 1 + y (x) 2 dx. b Deci, problem lui Plteu revine l determinre funcţiei y = y(x) definite şi derivbile pe [ b, b] stfel încât y( b) = R, y(b) = R şi stfel încât integrl S = 2π y(x) 1 + y (x) 2 dx b să fie minimă. Tot problemă clsică de clcul vriţionl este problem formei de echilibru unui fir greu omogen flexibil şi 6

inextensibil de lungime dtă l fixt l cpete. Se vede uşor că l echilibru firul se flă într-un pln verticl. Considerând cest pln verticl drept plnul xoy, unde x Oy este dirijtă după verticl locului, curb de echilibru corespunde l ce curbă pentru cre energi potenţilă firului este minimă, dică l ce curbă pentru cre ordont yg centrului de greutte l firului este minimă. Dcă punctele A(, y ), B(b, y b ) sunt cpetele firului, dcă y = y(x), x [, b] este ecuţi explicită curbei de echilibru, cu y(x) funcţie derivbilă pe [, b], dcă ρ este densitte lineră firului, tunci ordont centrului de greutte l firului este y G = ρy(x) 1 + y (x) 2 dx lungime firului fiind ρ 1 + y (x) 2 dx l = = 1 l ρ 1 + y (x) 2 dx. y(x) 1 + y (x) 2 dx Deci, problem revine l determinre funcţiei y(x) definite şi derivbile pe [, b], stfel încât y() = y, y(b) = y b, 1 + y (x) 2 dx = l şi stfel încât integrl y(x) 1 + y (x) 2 dx 7

să fie minimă. şi ici curb de echilibru pote fi căuttă sub formă prmetrică luând c prmetru o bscisă curbilinie. Aş cum vom vede, curb de echilibru firului este o porţiune din ş-numitul lănţişor, un rc de curbă propit de un rc de prbolă. Altă problemă clsică de clcul vriţionl este problem geodezicelor pe o suprfţă S, dică problem determinării pe o suprfţă S unei curbe cre uneşte două puncte de pe ce suprfţă şi re lungime minimă. Dcă suprfţ S este dtă prmetric prin ecuţi vectoril prmetrică dcă r = r(u, v), (u, v) D u,v, ds 2 = d r 2 = E(u, v)du 2 + 2F (u, v)dudv + G(u, v)dv 2, este prim s formă fundmentlă cu coeficienţii E(u, v) = r u (u, v) r u (u, v), şi dcă F (u, v) = r u (u, v) r v (u, v), G(u, v) = r v (u, v) r v (u, v) u = u(t), v = v(t), t [t 1, t 2 ], u(t 1 ) = u 1, v(t 1 ) = v 1, u(t 2 ) = u 2, v(t 2 ) = v 2 sunt ecuţiile prmetrice le unei curbe cre uneşte punctele M 1 (u 1, v 1 ), M 2 (u 2, v 2 ), tunci lungime cestei curbe este t 2 l= y(x) E(u(t), v(t)) u (t) 2 +2F (u(t), v(t)) u (t)v (t)+g(u(t), v(t)) v (t) 2 dt. t 1 8

Deci, problem determinării geodezicelor pe S revine l determinre funcţiilor derivbile u = u(t), v = v(t), t [t 1, t 2 ], u(t 1 ) = u 1, v(t 1 ) = v 1, u(t 2 ) = u 2, v(t 2 ) = v 2 stfel încât integrl lf CE(u(t), v(t)) u (t) 2 + 2F (u(t), v(t)) u (t)v (t) + G(u(t), v(t)) v (t) 2 dt să fie minimă. În czul în cre suprfţ S este plnul xoy cu ecuţi prmetrică r = x i + y j, (x, y) R 2 cu prim formă fundmentlă ds 2 = dx 2 + dy 2, problem geodezicei cre uneşte punctele M 1 (x 1, y 1 ), M 2 (x 2, y 2 ) revine l determinre funcţiilor derivbile x = x(t), y = y(t), t [t 1, t 2 ] cu x(t 1 ) = x 1, y(t 1 ) = y 1, x(t 2 ) = x 2, y(t 2 ) = y 2 stfel încât integrl să fie minimă. Dcă legem c prmetru coordont x, problem revine l determinre funcţiei derivbile y = y(x), x [x 1, x 2 ] cu y(x 1 ) = y 1, y(x 2 ) = y 2 stfel încât integrl x 2 1 + y (x) 2 dx să fie minimă. 2.2 Funcţionle x 1 Tote problemele enunţte mi sus eru probleme de extremum - determinre mximului su minimului - pentru o numită integrlă, cre depinde de o numită curbă, deci de un su mi multe funcţii definite pe un numit intervl. Spre deosebire de problemele de extremum pentru funcţiile de o vribilă su mi multe vrible, rezolvte cu mijlocele clculului diferenţil, unde vem de- fce cu probleme cu unul su mi multe grde 9

de libertte (dr în număr finit), ici vem de- fce cu probleme cu un număr infinit de grde de libertte. În czul extremelor funcţiilor de n vribile, cele n vribile x 1, x 2,..., x n eru coordontele unui element, unui punct x = (x 1, x 2,..., x n ) din R n. În R n vem operţiile de dunre două semene elemente şi operţi de înmulţire unui element cu un număr rel, R n fiind stfel un spţiu vectoril n-dimensionl, de cee spunem că vem un număr finit de grde de libertte. În plus, în Rn putem introduce o normă, deci o distnţă, stfel încât să putem vorbi de puncte vecine. În problemele clculului vriţionl este vorb de găsire extremului unei integrle cre depinde de un su mi multe funcţii şi de derivtele cestor. O semene integrlă este o funcţie definită pe o mulţime de funcţii şi re vlori rele. E se numeşte funcţionlă exprimtă printr-o integrlă. Deci clculul vriţionl studiză extremele funcţionlelor exprimte prin integrle. În continure, vom conveni c funcţionlele să fie notte prin litere mri ltine, mrcând rgumentele lor, deci funcţiile de cre depind, între prnteze drepte. Vom conveni să mrcăm în prnteze rotunde rgumentul su rgumentele funcţiilor, deşi ceste sunt vribile mute, deci pot fi notte oricum. Astfel, funcţionl din problem lui Dido este I[y(x)] = y(x)dx su L I[x(s)] = x(s) 1 x (s) 2 ds 0 10

su I[x(t), y(t)] = 1 t2 2 = [x(t)y (t) y(t)x (t)]dt t 1 după cum folosim reprezentre explicită su prmetrică curbei. În celellte probleme enunţte funcţionlele sunt: - în problem brhistocronei I[y(x)] = 1 + y (x) 2 2g(h y(x)) dx; - în problem suprfeţei de rotţie minime I[y(x)] = 2π b y(x)) 1 + y (x) 2 dx; - în problem echilibrului firului greu I[y(x)] = - în problem geodezicelor în pln I[y(x)] = y(x)) 1 + y (x) 2 dx; x 2 x 1 1 + y (x) 2 dx. Domeniul de definiţie l unei funcţionle este o mulţime de funcţii rele definite pe un intervl în czul funcţiilor de o vribilă, su pe un domeniu în czul funcţiilor de mi multe vribile, cre stisfc numite condiţii de netezime - derivt continuă su continuă pe porţiuni - în intervl su domeniu şi numite condiţii l cpetele intervlului su pe frontier domeniului. 11

Mulţimile de funcţii rele definite pe un intervl su domeniu cu numite condiţii de netezime înzestrte cu operţi de dunre funcţiilor şi cu operţi de înmulţire funcţiilor cu numere rele formeză spţii vectorile cu dimensiune infinită. Se spune că vem de- fce cu probleme cu un număr infinit de grde de libertte. Mi mult, ceste spţii vectorile pot fi înzestrte cu numite norme, deci cu numite distnţe, şi putem stfel vorbi despre funcţii vecine şi despre vecinătte unei funcţii. 2.3 Clsificre extremelor Fie I[y(x)] o funcţionlă definită pe o mulţime de funcţii M. Vom spune că funcţionl I[y(x)] re minim (mxim) pe mulţime M 0 M în y 0 (x) M 0 dcă pentru orice y(x) M 0 re loc relţi I[y(x)] I[y 0 (x)] 0( 0). Dcă funcţionl I[y(x)] re minim (mxim) pe mulţime M 0 M în y 0 (x) M 0 tunci e re minim (mxim) în y 0 (x) pe orice mulţime mi mică M 1 M 0, y 0 (x) M 1. Fie I[y(x)] o funcţionlă definită pe o mulţime de funcţii M. Vom spune că funcţionl I[y(x)] re un minim (mxim) tre în y 0 (x) C[, b] M dcă există o vecinătte tre V (y 0 (x)) stfel încât funcţionl re un minim (mxim) pe V (y 0 (x)) M în y 0 (x). Anlog, vom defini minimul (mximul) slb cu derivtă discontinuă. Dcă funcţionl I[y(x)] definită pe mulţime de funcţii M re un minim ( mxim) pe M în y 0 (x) M vom spune că e re un minim (mxim) bsolut pe M în y 0 (x). Definiţiile dte mi sus se extind în mod nturl tât în czul funcţionlelor cre depind de o funcţie de mi multe vribile 12

definită pe un domeniuşi de derivtele prţile le cestei cât şi în czul funcţionlelor cre depind de mi multe funcţii de o vribilă definite pe un intervl şi de derivtele cestor. In ultimul cz, în locul funcţiei y(x) putem consider că vemde- fce cu o funcţie vectorilă y(x) cu n componente funcţii de o singură vribilă. 2.4 Condiţii necesre de extremum Orice condiţie necesră de extremum v fi şi o condiţie necesră pentru extremum bsolut. Exct c în czul extremelor funcţiilor de mi multe vribile vem următorele teoreme: Teorem 2.1. Dcă funcţi y 0 (x) relizeză extremul funcţionlei I[y(x)] tunci derivt s de ordinul întâi este nulă. Teorem 2.2. Dcă funcţi y 0 (x) relizeză minimul (mximul) funcţionlei I[y(x)] tunci derivt s de ordinul doi este pozitivă (negtivă). Avem şi o teoremă cre dă condiţii suficiente de extremum. Teorem 2.3. Dcă funcţi y 0 (x) este o extremlă funcţionlei I[y(x)] şi dcă există constnt C stfel încât d 2 I[y 0 (x); η(x)] = 2 t 2I[y 0(x) + tη(x)] > C η(x) 2 t=0 pentru orice η(x) M 0 = {η(x) η(x) C 1 [, b], η() = 0, η(b) = 0}, tunci funcţi y 0 (x) relizeză minimul funcţionlei. 13

Demonstrţie. În devăr, cum I[y(x) + η(x)] I[y(x)] = 1 2 δ2 I[y 0 (x); η(x)] + o( η(x) 2 ) rezultă că fiind dt ε > 0 există δ(ε) stfel încât pentru η(x) < δ(ε) vem I[y(x)+η(x)] I[y(x)] == 1 2 δ2 I[y 0 (x); η(x)]+θε( η(x) 2 )cuθ [ 1, 1]. Atunci pentru ε < C 2 vem I[y(x) + η(x)] I[y(x)] η(x) 2 ( C 2 + θε ) > 0 pentru η(x) 0. Condiţi nu pote fi înlocuită cu condiţi mi slbă δ 2 I[y 0 (x); η(x)] = 0 cum se vede în czul funcţionlei 1 I[y(x)] = y 2 (x)(x y(x))dx pentru cre funcţi identic nulă extremlă, 0 1 δ 2 I[0; η(x)] = xη(x) 2 dx 0, dr funcţionl nu re extremum pentru că pentru o funcţie { e x pentru x < e y ε (x) = 0 pentrux = e 0 14

i vlori negtive I[y ε (x)] = ε4. Din cest motiv cestă 6 teoremă este greu de plict în prctică. În prticulr vom ve: Teorem 2.4. Dcă funcţi y 0 (x) relizeză extremul funcţionlei I[y(x)] = F (x, y(x), y 0 (x))dx pe mulţime funcţiilor dmisibile M = {y(x) y(x) C 1 [, b], y() = y 1, y(b) = y 2 } tunci vriţi întâi funcţionlei este nulă. Altfel spus, dcă funcţi F re derivte prţile de ordinul întâi continue tunci re loc relţi δi[y 0 (x); η(x)] = pentru orice funcţie [F y (x, y 0 (x), y 0(x))η(x)+F y0 (x, y 0 (x), y 0(x))η (x)]dx = 0, η(x) M 0 = {η(x) η(x) C 1 [, b], η() = 0, η(b) = 0}. Dcă funcţi F re derivte prţile de ordinul doi continue şi dcă funcţiile dmisibile sunt cu derivtă de ordinul doi tunci re loc relţi δi[y 0 (x); η(x)] = pentru orice funcţie F y (x, y 0 (x), y 0(x)) d dx F y (x, y 0(x), y 0(x))η(x)dx = 0 η(x) M 0 = {η(x) η(x) C 1 [, b], η() = 0, η(b) = 0}. 15

Acestă condiţie este numi necesră pentru relizre extremului, nu şi suficientă. Definiţi 2.1. Dcă pentru funcţi y0(x) prim derivtă funcţionlei este nulă δi[y 0 (x); η(x)] = 0 pentru orice vriţie η(x) M 0 = {η(x) η(x) C 1 [, b], η() = 0, η(b) = 0} se spune că funcţionl este stţionră de- lungul lui y 0 (x). Teorem 2.5. Dcă funcţi y 0 (x)relizeză minimul (mximul) funcţionlei y(x)] = pe mulţime funcţiilor dmisibile F (x, y(x), y ( x))dx = y(x) y(x) C 1 [, b], y() = y 1, y(b) = y 2 tunci derivt dou funcţionlei este pozitivă (negtivă) pentru orice funcţie δ 2 I[y 0 (x); η(x)] 0( 0) η(x) M 0 = {η(x) η(x) C 1 [, b], η() = 0, η(b) = 0}. Deci dcă funcţi F re derivte prţile de ordinul doi continue, tunci δ 2 I[y 0 ; η] = pentru orice funcţie {F yy (x, y 0, y 0)η 2 +2F yy (x, y 0, y 0)ηη +F y y (x, y 0, y 0)η 2 }dx 0( 0) η(x) M 0 = {η(x) η(x) C 1 [, b], η() = 0, η(b) = 0}. Teoreme de genul celor de mi sus u loc evident şi în czul celorllte funcţionle din exemplele de mi sus. 16

2.5 Lemele fundmentle le clculului vriţionl Condiţiile necesre de extremum slb stbilite mi sus conţin în enunţul lor funcţiile rbitrre η(x) su δy(x). Pentru stbili condiţii necesre de extremum slb cre să conţină numi funcţiile cre relizeză extremul vom d în prelbil câtev propoziţii jutătore, cunoscute sub numele de lemele fundmentle le clculului vriţionl. Lem 1. (lem lui Lgrnge, prim lemă fundmentlă)fie funcţi continuă f(x) C 0 [, b]. Dcă f(x)η(x)dx = 0 pentru orice funcţie η(x) C k [, b], k N cre verifică condiţiile η() = η(b) = 0, tunci f(x) = 0 pentru orice x [, b]. Dcă f nu r fi identic nulă în [, b] tunci r exist un punct c [, b] unde f(c) 0. În virtute continuităţii lui f putem presupune că punctul c este punct interior intervlului. Dr tunci, tot în virtute continuităţii, există un întreg intervl (α, β) cre îl conţine pe c şi unde funcţi nu se nuleză, este de exemplu strict pozitivă. Dcă considerăm funcţi η(x) =???(x )2(x β)2, x?(, β), 0, x/?(, β) e stisfce condiţiile lemei şi vem f(x)η(x)dx = β f(x)(x α) 2 (x β)2dx > 0 şi jungem l o contrdicţie cu ipotez lemei. α 17

O lemă semănătore vem în czul funcţiilor de mi multe vribile: Lem 2. (lem lui Lgrnge pentru funcţii de mi multe vribile) Fie funcţi f(x) C 0 ( D) unde D este un domeniu mărginit din R n şi D = D D este închidere s. Dcă f(x)η(x)dx = 0 D pentru orice funcţie η(x) C1( D) cre verifică condiţi η(x) D = 0, tunci funcţi f este nulă în D. Aici m nott prin x punctul x = (x 1, x 2,..., x n ) din R n şi dx = dx 1 dx 2...dx n. Demonstrţi este identică celei de sus. Lem 3. (lem lui Pul Du Bois Rymond) Fie funcţi g(x) C 0 [, b]. Dcă g(x)η (x)dx = 0 pentru orice funcţie η(x) C 1 [, b] cre verifică condiţiile η() = η(b) = 0, tunci g(x) =constnt în [, b]. Demonstrţie. Într-devăr, funcţi η(x) = x g(t)dt C(x ) prţine lui C 1 [, b], este nulă în şi putem determin constnt C = 1 g(x)dx b 18

stfel încât şi η(b) = 0. Dr tunci vem g(x)η (x)dx = g(x)(g(x) C)dx = g(x)[g(x)(g(x) C) C(g(x) C)]dx = (g(x) C) 2 dx = 0 şi deci g(x) = C ( )x [, b]. Lem 4. ( dou lemă fundmentlă) Fie funcţiile f(x), g(x) C 0 [, b]. Dcă η(x) + g(x)η (x)]dx = 0 pentru orice funcţie η(x) C 1 [, b] cre verifică relţiile η() = η(b) = 0, tunci funcţi g este derivbilă pe [, b] şi verifică relţi g (x) = f(x) ( )x [, b]. Demonstrţie. Într-devăr, considerând funcţi F (x) = x integrând prin părţi putem scrie f(x)η(x)dx = F (x)η(x) f(t)dt, F (x) = f(x), f(x)η (x)dx = f(x)η (x)dx. 19

Relţi din lemă devine şi după Lem 3 rezultă că [g(x) F (x)]η (x)dx = 0 g(x) = F (x) + C. Cum membrul l doile este o funcţie derivbilă, rezultă că şi membrul întâi este derivbil şi g (x) = f(x). 2.6 Ecuţiile lui Euler-Lgrnge Fie y 0 (x) funcţi cre relizeză extremul funcţionlei I[y(x)] = F (x, y(x), y 0 (x))dx pe mulţime funcţiilor dmisibile M = {y(x) y(x) C 1 [, b], y() = y 1, y(b) = y 2 }. Atunci conform teoremei 6., dcă funcţi F re derivte prţile de ordinul întâi continue, tunci re loc relţi I[y 0 (x); η(x)] = pentru orice funcţie [F y (x, y 0 (x), y 0(x))η(x)+F y (x, y 0 (x), y 0(x))η (x)]dx = 0, η(x) M 0 = {η(x) η(x) C 1 [, b], η() = 0, η(b) = 0}. 20

Conform celei de dou leme clculului vriţionl funcţi F y (x, y 0 (x), y 0(x)) este derivbilă pe [, b] şi re derivt F y (x, y 0 (x), y 0(x)), ltfel spus re loc ecuţi lui Euler- Lgrnge: d dx F y (x, y 0(x), y 0(x)) = F y (x, y 0 (x), y 0(x)), ( )x [, b] su ecuţi lui Euler-Lgrnge sub formă integrlă există C stfel încât oricre r fi x [, b] F y (x, y 0 (x), y 0(x)) = x F y (t, y 0 (t), y 0(t)) + C. Definiţi 2.2. Orice funcţie y 0 (x) cre verifică ecuţi lui Euler- Lgrnge se numeşte extremlă funcţionlei I[y(x)]. Teorem 2.6. Dcă y 0 (x) este funcţi cre relizeză extremul slb l funcţionlei I[y(x)] = F (x, y(x), y 0 (x))dx pe mulţime funcţiilor dmisibile M = {y(x) y(x) C 1 [, b], y() = y 1, y(b) = y 2 } şi dcă funcţi F re derivte prţile de ordinul întâi continue tunci e este o extremlă funcţionlei cre verifică l cpetele intervlului condiţiile dte. Vom observ că dcă funcţi F re derivte prţile de ordinul doi şi dcă funcţi y 0 (x) re derivtă de ordinul doi, prim din ecuţiile lui Euler-Lgrnge rezultă din dou formă vriţiei de ordinul întâi şi din lem fundmentlă clculului 21

vriţionl (lem lui Lgrnge). În ceste condiţii, prim ecuţie lui Euler-Lgrnge este o ecuţie diferenţilă de ordinul doi: F xy (x, y 0, y 0)+F yy (x, y 0, y 0)y 0+F y y (x, y 0, y 0)y 0 F y (x, y 0, y 0) = 0. Dcă funcţi F re derivte prţile de ordinul doi continue, folosind teorem funcţiilor implicite se pote răt că în tote punctele în cre F y y (x, y 0, y 0) 0 funcţi y 0 (x) dmite derivte de ordinul doi şi verifică ecuţi diferenţilă de ordinul doi de mi sus. Teorem 2.7. Dcă y 0 (x) este o extremlă funcţionlei I[y(x)] = F (x, y(x), y 0 (x))dx pe mulţime funcţiilor dmisibile M = {y(x) y(x) C 1 [, b], y() = y 1, y(b) = y 2 } şi dcă funcţi F re derivte prţile de ordinul doi continue, tunci în tote punctele în cre F y y (x, y 0, y 0) 0 funcţi y 0 (x) re derivtă de ordinul doi şi verifică ecuţi lui Euler-Lgrnge de ordinul doi: F xy (x, y 0, y 0)+F yy (x, y 0, y 0)y 0+F y y (x, y 0, y 0)y 0 F y (x, y 0, y 0) = 0. Vom observ că l fel c în czul extremelor funcţiilor de mi multe vribile, ecuţiile lui Euler-Lgrnge reprezintă numi condiţii necesre pentru funcţi cre relizeză extremul funcţionlei. Cu lte cuvinte, funcţi cre relizeză extremul trebuie căuttă printre funcţiile cre verifică ecuţiile lui Euler- Lgrnge. 22

Repetăm, funcţiile cre relizeză extremul funcţionlei se cută printre extremlele funcţionlei; nu orice extremlă relizeză extremul funcţionlei, o extremlă pote fi numi bănuită că r pute reliz extremul. De- lungul unei extremle putem scrie d dx F (x, y 0(x), y 0(x)) = F x (x, y 0, y 0) + F y (x, y 0, y 0)y00 + F y (x, y 0, y 0)y 0 = F x (x, y 0, y 0) + d dx F y (x, y 0, y 0)y 0 + F y (x, y 0, y 0)y 0 = F x (x, y 0, y 0) + d dx (F y (x, y 0, y 0)y 0) dică ecuţiile lui Euler-Lgrnge sunt echivlente şi cu ecuţiile oricre fi x? [, b] F (x, y 0 (x), y 0(x)) F y (x, y 0 (x), y 0(x))y 0(x)) = F x (x, y 0 (x), y 0(x)) ( )x [, b] su există C stfel încât oricre r fi x [, b] F (x, y 0 (x), y 0(x)) F y (x, y 0 (x), y 0(x))y 0(x) = x F x (t, y 0 (t), y 0(t))dt+C. Observăm că există situţii când ordinul ecuţiilor lui Euler- Lgrnge se reduce cu o unitte, dică există integrle prime: Teorem 2.8. Dcă funcţi F nu depinde de y, F y = 0, tunci ecuţi lui Euler- Lgrnge dmite o integrl primă: există C stfel încât oricre r fi x [, b] F y (x, y 0 (x), y 0(x)) = C. Teorem 2.9. Dcă funcţi F nu depinde de x, F x = 0, tunci ecuţi lui Euler- Lgrnge dmite o integrlă primă: 23

există C stfel încât oricre r fi x [, b] F (x, y 0 (x), y 0(x)) F y (x, y 0 (x), y 0(x))y 0(x) = C. Exemplul 2.1. Fie funcţionl I[y(x)] = x 2 x 1 1 + y (x) 2 dx din problem geodezicelor în pln definită pe mulţime M = {y(x) : [, b] R y(x) C 2 [, b], y() = y, y(b) = y b }. Funcţi de sub integrlă F = 1 + y (x) 2 nu depinde de y, deci vom ve integrl primă F y = C, dică y 1 + y (x) 2 = C, su renotând constnt, y = C, de unde y = Cx + C 1. Constntele C,C 1 se determină din condiţiile y() = y, y(b) = y b, dică extreml este segmentul de dreptă cre uneşte cele două puncte. În cest cz, ştim din geometrie că extreml chir relizeză minimul funcţionlei. 24

Exemplul 2.2. Fie funcţionl 1 + y (x) 2 I[y(x)] = 2g(h y(x)) dx din problem brhistocronei definită pe mulţime 0 M = {y(x) : [0, b] R y(x) C 2 [0, b], y(0) = h, y(b) = 0}. Funcţi de sub integrlă 1 + y (x) 2 F = 2g(h y(x)) nu depinde de x deci vom ve integrl primă F y F y = C, dică, lăsând l o prte fctorul constnt 1 2g, 1 + y (x) 2 = h y(x) y 2 (h y)(1 + y 2 ) = C, de unde Punând vem y = h Din relţi dy = tn udx găsim C 1 + y 2. y = tn u, y = h C cos 2 u. dx = 2Ccos 2 u = C(1 + cos 2u) 25

şi obţinem ecuţiile prmetrice le extremlei x = C (u + 12 ) sin 2u + C 1 y = h C (1 + cos 2u). 2 Extreml este un rc de cicloidă. Constntele C, C 1 se determină din condiţiile l cpete Fie funcţionl I[y(x)] = y(0) = h, y(b) = 0. F (x, y(x), y (x),..., y (m) (x))dx definită pe mulţime funcţiilor dmisibile M = {y(x) y(x) C 2m [, b], y (i) () = y i, y (i) (b) = y ib, i = 0, 1,..., m 1} şi unde presupunem că funcţi F re derivte prţile de ordinul 2m în rport cu tote rgumentele continue într-un domeniu din R m+2. Funcţi y 0 (x) este extremlă cestei funcţionle dcă stisfce ecuţi lui Euler-Poisson F y d dx F dm y +... + ( 1)m dx mf y (m) = 0. Fie czul unei funci onle I[y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)] = F (x, y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x), y 1(x), y 2(x),..., y n(x))dx, definite pe o mulţime de n funcţii de obilă derivbile pe intervlul [, b] : M = {y i (x), i = 1, 2,..., n y i (x) C 1 [, b], y i () = y i, y i (b) = y ib }, 26

funcţi F fiind definită într-un domeniu şi cu derivtele prţile de ordinul doi continue în cel domeniu. Funcţiile y 10 (x), y 20 (x),..., y n0 (x) constituie extreml cestei funcţionle dcă stisfc sistemul de ecuţii le lui Euler F (y i0 (x), y y i0(x)) d F i dx y i (y i0 (x), y i0(x)), i = 1, 2,..., n. Dcă se introduc opertorii diferenţili y = y 1., = y y n y 1. y n tunci cest sistem se scrie exct c ecuţi lui Euler pentru funcţionl I[y(x)] = F (x, y(x), y (x))dx : F y (y(y 0(x), y 0(x)) d F dx y (y 0(x), y 0(x)) = 0. În czul unei funcţionle l cărui rgument este o funcţie de două vribile definită pe un domeniu D din plnul xoy I[z(x, y)] = F (x, y, z(x, y), z x (x, y), z y (x, y))dxdy D definită pe mulţime funcţiilor dmisibile M = {z(x, y) z(x, y) C 2 (D), z(x, y) D = dt} 27

presupunând că funcţi F re derivte prţile de ordinul doi continue în rport cu tote rgumentele sle într-un domeniu mărginit din expresi vriţiei de ordinul întâi rezultă că funcţi z 0 (x, y) este extremlă funcţionlei dcă e verifică ecuţi lui Euler- Ostrogrdski 2.7 Exerciţii F z x F z x y F z y = 0. 1. Să se determine extremlele următorelor funcţionle cu condiţiile l cpete dte: ) I[y(x)] = 2 R.y = x 6 (1 x2 ). b) I[y(x)] = 1 3 1 (y 2 2xy)dx; y(1) = 0, y(2) = 1. (3x y)ydx; y(1) = 1, y(3) = 9 2. R. nu există extremlă. 2π c) I[y(x)] = (y 2 y 2 )dx; y(0) = 1, y(2π) = 1. 1 R. o infinitte de extremle y = cos x + C sin x. d) I[y(x)] = R. y = x 3. e) I[y(x)] = 0 1 1 0 (12xy y 2 )dx; y( 1) = 1, y(0) = 0. yy 2 dx; y(0) = 1, y(1) = 4 1/3. R. două extremle y = (x + 1)2/3, y = (3x 1)2/3. f) I[y(x)] = 1 0 (y 2 y 2 y)e 2x dx; y(0) = 0, y(1) = e 1. R.y = 1 2 [e x + (1 + e)xe x 1]. 28

g) I[y(x)] = 1 1 R.y = 7 6 x 1 6 x3. h) I[y(x)] = 1 R.y = e 2(1 x). i) I[y(x)] = 0, y (1) = 2.5. 0 1 0 (y 2 2xy)dx; y( 1) = 1, y(1) = 1. (y 2 + 4y 2 )dx; y(0) = e 2, y(1) = 1. (360x 2 y y 2 )dx; y(0) = 0, y (0) = 1, y(1) = R. y = 1 2 x6 + 3 2 x3 3x 2 + x. j) I[y(x)] = 1 1, y (1) = sinh 1. R. y = (1 x) sinh x. k) I[y(x)] = 0 0 1 (y 2 + 2y 2 + y 2 )dx; y(0) = 0, y(1) = 0, y (0) = (240y y 2 )dx; y( 1) = 1, y(0) = 0, y ( 1) = 4.5, y (0) = 0, y ( 1) = 16, y (0) = 0. R. y = x3 6 (x3 + 6x + 1). l) I[y(x)] = 1 R. y = 1 2 x2. m) I[y(x), z(x)] = 0 y 2 dx, y(0) = 0, y(0) = 0, y (1) = 1. 2 1 (y 2 + z 2 + z 2 )dx; y(1) = 1, y(2) = 2, z(1) = 0, z(2) = 1. sinh(x 1) R.y = x, z =. sinh1 π n) I[y(x), z(x)] = π(2yz 2y 2 +y 2 z 2 )dx; y(0) = 0, y(π) = 0 29

1, z(0) = 0, z(π) = 1. R.y = C sin x x π cos x, z = C sin x + 1 (2 sin x x cos x),c π rbitrr. π 2 o) I[y(x), z(x)] = (y 2 + z 2 2yz)dx; y(0) = 0, y(p/2) = 1, z(0) = 0, z(p/2) = 1. R. y = sin x, z = sin x. p) I[y(x), z(x)] = 0 1 3/2, z(0) = 1, z(1) = 1. R. y = x2 2, z = 1. 0 (y 2 + z 2 + 2y)dx; y(0) = 1, y(1) = 2.8 Condiţii nturle, condiţii de trnsverslitte Fie y 0 (x) funcţi cre relizeză extremul slb l funcţionlei I[y(x)] = F (x, y(x), y (x))dx pe mulţime funcţiilor dmisibile M = y(x) y(x) C 1 [, b], y() = y1, dică numi cpătul din stâng este fixt, cpătul din drept putându-se mişc pe verticl x = b. Reltiv l funcţi F, presupunem că re derivte prţile de ordinul doi continue. Funcţi y0(x) este evident o extremlă funcţionlei I[y(x)] pentru că e relizeză minimul cestei funcţionle pe mulţime funcţiilor cre u celeşi cpete cu e. E verifică deci ecuţi 30

lui Euler-Lgrnge d dx F y F y = 0. Vom ve prim vriţie δi[y 0 ; η] = F y (x, y 0, y 0) d dx F y (x, y 0, y 0)ηdx++F y (x, y 0 (b), y 0(b))η(b). Cum y 0 (x) relizeză extremul, trebuie să vem δi[y 0 ; η] = 0 pentru orice funcţie η(x) M 0 = {η(x) η(x) C 1 [, b], η() = 0, η(b)rbitrr}. Cum primul termen este nul pentru că y 0 (x) este extremlă, rezultă că în cpătul mobil în mod necesr trebuie să ibă loc ş numit condiţie nturlă F y (b, y 0(b), y 0(b)) = 0. Condiţiile nturle sunt importnte în rezolvre numerică ecuţiilor diferenţile su cu derivte prţile considerte c ecuţii Euler-Lgrnge unei numite funcţionle. În cest cz nu trebuie să se ţină sem în mod specil de condiţiile nturle pentru că ele se relizeză utomt dcă se rezolvă direct problem de extremum. Să considerăm cum problem mi generlă extremului funcţionlei I[y(x)] = F (x, y(x), y (x))dx 31

pe mulţime funcţiilor M = {y(x) y(x) C 1 [, B], y() = y1, y c (b) = y(b), b B} dică pe mulţime funcţiilor l căror grfic re cpătul din stâng fixt, ir cpătul din drept se pote depls pe o curbă cu ecuţi explicită y = y c (x), x B. Dcă y 0 (x) relizeză cest extremum, evident e este o extremlă funcţionlei, dică verifică ecuţi Euler-Lgrnge d dx F y F y = 0. ţinând cont că y 0 (x) este extremlă rezultă δi[y 0 (x); δy(x)] = F (b, y y 0 (b), y 0(b))δy(b)+ ( + F (b, y 0 (b), y 0(b)) y 0(b) F ) y (b, y 0(b), y 0(b)) δb = 0. Punctul (b, y(b)) flându-se pe curb y = y c (x) vem δy(b) = y c(b)δb şi deci vom ve condiţi F (b, y 0 (b), y 0(b)) (y 0(b) y c(b)) F y (b, y 0(b), y 0(b)) = 0. Dcă punctul (b, y(b)) se deplseză pe curb cu ecuţi explicită τ(x, y) = 0 vând în vedere relţi vom ve condiţi δy(b) δx(b) = τ x(b, y 0 (b)) τ y (b, y0(b)) F (b, y 0 (b), y 0(b)) F y (b, y0(b), y 0(b))y 0(b) τ x (b, y 0 (b)) 32 = F y (b, y0(b), y 0(b)). τ y (b, y 0 (b))

Aceste condiţii se numesc condiţii de trnsverslitte. Ele trebuie verificte în cpătul mobil. În czul în cre curb pe cre se mişcă cpătul din drept este x = b regăsim condiţi nturlă. Exemplul 2.3. Fie funcţionl opticii geometrice în pln Cum F = I[y(x)] = 1 + y (x) 2, F y = v 1 + y (x) 2 v(x, y(x)) dx. y v 1 + y 2, F y F y = 1 1 + y 2 condiţi de trnsverslitte devine su 1 v 1 + y 2 τ x = 1 τ x = y τ y, y 1 + y 2 τ y dică extremlele şi curb t(x, y) = 0 se tie ortogonl. 2.9 Exerciţii 1. Să se găsescă distnţ ce mi scurtă între prbol y = x 2 şi drept x y 5 = 0. Ind. Problem revine l găsi minimul funcţionlei I[y(x)] = 1 + y (x) 2 dx 33

cu condiţiile y() = 2, y(b) = b 5. Extremlele sunt dreptele y = C 1 x+c 2. Condiţiile l cpete du C 1 +C 2 = 2, C 1 b+c 2 = b 5. Condiţiile de trnsverslitte du 1 + C1 2 + (2 C C 1 1) = 0 1 + C 2 1 1 + C1 2 + (1 C C 1 1) = 0. 1 + C 2 1 Rezultă C 1 = 1, C 2 = 3 4, = 1 2, b = 23. Deci extreml 8 este y = x + 3 şi distnţ este 4 23 8 1 2 1 + ( 1)2 dx = 19 2. 8 2. Să se găsescă distnţ ce mi scurtă dintre punctul A(1, 0) şi elips 4x 2 + 9y 2 36 = 0. 4 R.. 5 34