Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku

Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku - vježbe - Danijel Krizmanić 28. rujna 2007.

Sadržaj Osnove vjerojatnosti 2 2 Kombinatorika i vjerojatnost 5 3 Uvjetna vjerojatnost. Nezavisnost 9 4 Geometrijske vjerojatnosti 4 5 Diskretne slučajne varijable 6 6 Bernoullijeva shema 20 7 Granični teoremi u Bernoullijevoj shemi 22 8 Matematičko očekivanje i varijanca diskretnih slučajnih varijabli 24 9 Funkcije gustoće i distribucije. Diskretni slučajni vektori 28 0 Funkcije izvodnice 32 Neprekidne slučajne varijable 34 2 Matematičko očekivanje i varijanca neprekidnih slučajnih varijabli 38 3 Normalna razdioba. Centralni granični teorem 40 4 Osnove deskriptivne statistike. Linearna korelacija 42 5 χ 2 -test 48

Poglavlje Osnove vjerojatnosti Definicija.. Neka je Ω neprazan skup. Familiju F podskupova od Ω zovemo σ- algebra skupova (na Ω) ako vrijedi: (F) F; (F2) A F A c F; (F3) A i F, i N A i F. Zadatak.2. Neka je F σ-algebra na Ω. Pokažite da vrijede slijedeće tvrdnje: (a) Ω F; (b) A i F, i N A i F; (c) A, B F A \ B F. Definicija.3. Neka je Ω i F σ-algebra na Ω. Uredeni par (Ω, F) zovemo izmjeriv prostor. Elementi σ-algebre F zovu se dogadaji. Zadatak.4. Provjerite da li je familija A P(Ω) σ-algebra na Ω ako je: (a) A = {A Ω : A je konačan }, Ω je beskonačan; (b) A = {A Ω : A ili A c je konačan }, Ω je beskonačan; (c) A = {A Ω : A ili A c je najviše prebrojiv}, Ω je neprebrojiv. 2

3 Zadatak.5. Dokažite da je presjek konačne familije σ-algebri opet σ-algebra. Da li to vrijedi i za proizvoljnu familiju σ-algebri? Zadatak.6. Dokažite da unija σ-algebri ne mora biti σ-algebra. Definicija.7. Neka je (Ω, F) izmjeriv prostor. Funkciju P : F [0, ] zovemo vjerojatnost (na F) ako vrijedi: (P) P (A) 0, A F (nenegativnost); (P2) P (Ω) = (normiranost); ( ) (P3) A i F (i N), A i A j = za i j P A i = Uredenu trojku (Ω, F, P ) zovemo vjerojatnosni prostor. P (A i ) (σ-aditivnost). DZ.8. Neka je P vjerojatnost na izmjerivom prostoru (Ω, F), te neka su A, B dva dogadaja iz F za koja vrijedi A B = Ω i A B =. Definirajmo funkciju Q: F R sa 2P (C A) + P (C B) Q(C) =, C F. 2P (A) + P (B) Dokažite da je Q vjerojatnost. Zadatak.9. Neka su A, B, C proizvoljni dogadaji. Nadite relacije koje opisuju sljedeće dogadaje: (a) dogodio se samo dogadaj A ; (b) sva 3 dogadaja su se dogodila ; (c) bar 2 dogadaja su se dogodila ; (d) 2 i ne više od 2 dogadaja su se dogodila ; (e) nisu se dogodila više od 2 dogadaja ; (f) dogodili su se dogadaji A i B, ali ne i C ; (g) bar jedan dogadaj se dogodio ; (h) nijedan dogadaj se nije dogodio. Zadatak.0. Neka su A, B, C dogadaji. Dokažite da vrijedi:

4 (a) A B P (A) P (B); (b) P (A B C) max{p (A), P (B), P (C)}; (c) P (A B C) min{p (A), P (B), P (C)}; (d) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B); (e) P (A c ) = P (A); (f) P (A B) P (A) + P (B). Propozicija.. (Sylvestrova formula) Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor i A i F (i =,..., n). Tada vrijedi ( n ) P A i = P (A i ) P (A i A j )+ i n i<j n i<j<k n ( n P (A i A j A k )...+( ) n+ P A i ). Zadatak.2. Neka je Ω = {w,..., w n }, F = P(Ω), P ({w i }) = n Pokažite da za A Ω vrijedi P (A) = A Ω. (i =,... n). Primjer.. Sa Ω = {P, G} (P - pismo, G - glava), F = P(Ω), P ({P}) = P ({G}) = 2 opisan je vjerojatnosni prostor za slučajni pokus bacanja simetričnog novčića. Primjer.2. Sa Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6}, F = P(Ω), P ({i}) = (i =,..., 6) opisan je 6 vjerojatnosni prostor za slučajni pokus bacanja simetrične kocke. Zadatak.3. Bacimo dvije simetrične kocke. Kolika je vjerojatnost da je zbroj brojeva koji su pali na te dvije kocke jednak 7? DZ.4. Kolika je vjerojatnost da će pri slučajnom izboru jednog dvoznamenkastog broja njegove znamenke biti jednake?

Poglavlje 2 Kombinatorika i vjerojatnost Definicija 2.. Neka je A = {a, a 2,..., a n } ( A = n), r N, r n. () Varijacija r-tog razreda u skupu A je svaka uredena r-torka (a i, a i2,..., a ir ) medusobno različitih elemenata skupa A. Broj svih varijacija r-tog razreda u n- članom skupu A jednak je V n (r) = n(n )... (n r + ). (2) Permutacija u skupu A je svaka varijacija n-tog razreda u skupu A. Broj svih permutacija u n-članom skupu A jednak je P n = V n (n) = n!. (3) Varijacija s ponavljanjem r-tog razreda u skupu A je svaka uredena r-torka (a i, a i2,..., a ir ) elemenata skupa A (članovi r-torke mogu biti jednaki). Broj svih varijacija s ponavljanjem r-tog razreda u n-članom skupu A jednak je V (r) n = n r. (4) Kombinacija r-tog razreda u skupu A je svaki r-člani podskup skupa ( ) A. Broj n svih kombinacija r-tog razreda u n-članom skupu A jednak je C n (r) =. r (5) Kombinacija s ponavljanjem r-tog razreda u skupu A je svaka neuredena r-torka (a i, a i2,..., a ir ) elemenata skupa A (članovi r-torke mogu biti jednaki). Broj svih kombinacija s ponavljanjem r-tog razreda u n-članom skupu A jednak je C (r) n = ( n + r r ). Zadatak 2.2. Bacamo simetričnu kocku tri puta. Kolika je vjerojatnost da ćemo svaki put dobiti veći broj? Zadatak 2.3. Bacamo šest simetričnih kocki. Izračunajte vjerojatnost da ćemo na svim kockama dobiti različite brojeve, ako kocke razlikujemo. U (3) i (5) može biti i r > n. 5

6 DZ 2.4. Riješite prethodni zadatak uz pretpostavku da kocke ne razlikujemo. Zadatak 2.5. U nekoj srednjoj koli od 400 učenika njih se 80 bavi nogometom, 30 košarkom, 00 rukometom, 40 nogometom i košarkom, 30 nogometom i rukometom, 20 košarkom i rukometom, a 0 sa sva tri sporta. Kolika je vjerojatnost da će se slučajno odabrani učenik škole baviti: (a) barem jednim sportom; (b) samo jednim sportom; (c) sa barem 2 sporta; (d) sa sva 3 sporta? Zadatak 2.6. U jednoj se kutiji nalazi 0 crvenih, 8 bijelih i 5 plavih kuglica. Na slučajan način izvlačimo po jednu kuglicu s vraćanjem. Kolika je vjerojatnost da će bijela kuglica biti izvučena prije crvene? DZ 2.7. Bacamo 0 simetričnih kocki. Koji je dogadaj vjerojatniji: A = { suma brojeva koji su pali na tih 0 kocki iznosi 30} ili B = { suma brojeva koji su pali na tih 0 kocki iznosi 40}? DZ 2.8. Slučajni se pokus sastoji od biranja jednog broja iz skupa N 00 = {, 2,..., 00}. Kolika je vjerojatnost da izabrani broj pri djeljenju s 8 daje ostatak 2? Zadatak 2.9. Od 50 ogrlica 5 je lažnih. Kolika je vjerojatnost da će slučajnim izborom 45 ogrlica biti izabrane i dvije lažne ogrlice? Zadatak 2.0. Slučajno izabrani telefonski broj sastoji se od 6 znamenaka. Kolika je vjerojatnost: (a) da su sve znamenke različite; (b) da su 2 znamenke jednake? Zadatak 2.. Kolika je vjerojatnost da 2 slučajno izabrane osobe imaju rodendan: (a) u istom danu;

7 (b) u različitim mjesecima? Zadatak 2.2. Za okrugli se stol po volji razmjestilo n osoba (n > 2). vjerojatnost da su dvije fiksirane osobe A i B sjele jedna pored druge? Kolika je DZ 2.3. Grupa od n strijelaca gada u m meta (n m). Svaki od strijelaca izabire si metu na slučajan način nezavisno od drugih strijelaca. Kolika je vjerojatnost da će svi strijelci gadati u: (a) istu metu; (b) različite mete? Primjer 2.. (Razdioba r kuglica u n kutija) Pretpostavimo da na slučajan način (bacanjem) vršimo razdiobu r kuglica u n kutija. Označimo kutije sa a, a 2,..., a n. Svakom pojedinom bacanju kuglica odgovara jedan izbor kutija. Npr. za r = 3, n = 5 s (a, a 4, a 3 ) označavamo ishod bacanja kod kojeg je prva kuglica rasporedena u. kutiju, druga kuglica u 4. kutiju te treća kuglica u 3. kutiju. () Ako kuglice medusobno razlikujemo i ako svaka kutija može primiti proizvoljno mnogo kuglica (od 0 do r), tada je ukupan broj svih mogućih razdioba r kuglica u n kutija jednak V (r) n = n r (tzv. Maxwell - Boltzmanova hipoteza). (2) Ako kuglice medusobno ne razlikujemo i ako svaka kutija može primiti proizvoljno mnogo kuglica (od 0 do r), tada je ukupan broj svih mogućih razdioba r kuglica u n kutija jednak C (r) n = ( ) n+r r (tzv. Bose - Einsteinova hipoteza). (3) Neka je r n i neka svaka kutija može primiti najviše jednu kuglicu. Ako kuglice medusobno ne razlikujemo, tada je ukupan broj svih mogućih razdioba r kuglica u n kutija jednak C n (r) = ( n r) (tzv. Fermi - Diracova hipoteza). (4) Neka je r n i neka svaka kutija može primiti najviše jednu kuglicu. Ako kuglice medusobno razlikujemo, tada je ukupan broj svih mogućih razdioba r kuglica u n kutija jednak V n (r) = n(n )... (n r + ) (tzv. Linden - Bellova hipoteza). DZ 2.4. Pročitajte iz knjige Nikola Sarapa: Vjerojatnost i statistika I. dio (Osnove vjerojatnosti, Kombinatorika) poglavlje o izvlačenju kuglica iz kutije (Primjer 3.40., 92. str.). Zadatak 2.5. Na slučajan način razmještamo n kuglica u n kutija (kuglice razlikujemo i svaka kutija može primiti proizvoljno od 0 do n kuglica). Kolika je vjerojatnost da točno jedna kutija ostane prazna?

8 DZ 2.6. Na slučajan način razmještamo 4 kuglica u 6 kutija (kuglice razlikujemo i svaka kutija može primiti proizvoljno od 0 do 4 kuglica). Kolika je vjerojatnost da će u prve četiri kutije biti točno po jedna kuglica? Zadatak 2.7. Pretpostavimo da 4 igrača igraju igru sa 52 igraće karte, pri čemu se u svakoj igri svakom igraču podijeli 3 karata. Kolika je vjerojatnost da u jednoj igri svaki igrač ima jednog asa (djeljenje karata je slučajno)? DZ 2.8. Lift kreće sa 7 putnika i staje na 0 katova. Kolika je vjerojatnost da svaki putnik izade na različitom katu ako: (a) putnike medusobno razlikujemo; (b) putnike medusobno ne razlikujemo? DZ 2.9. Kutija sadrži 0 kuglica numeriranih brojevima od do 0. Na slučajan način izvučemo iz kutije 5 kuglica. Izračunajte vjerojatnost da drugi po veličini od 5 izvučenih brojeva bude 8.

Poglavlje 3 Uvjetna vjerojatnost. Nezavisnost Definicija 3.. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor, A F dogadaj takav da je P (A) > 0. Definiramo funkciju P A : F [0, ] sa P A (B) = P (B A) := P (A B), B F. P (A) P A je vjerojatnost na F koju zovemo uvjetna vjerojatnost uz uvjet A. Broj P (B A) zovemo vjerojatnost od B uz uvjet A. DZ 3.2. Dokažite da je P A vjerojatnost na F. Zadatak 3.3. Dva se broja na slučajan način odjednom izabiru izmedu brojeva, 2,..., 0. Ako je poznato da je njihov zbroj paran, nadite vjerojatnost da su oba neparna. Definicija 3.4. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor. Dogadaji A i B su nezavisni ako vrijedi P (A B) = P (A) P (B). Dogadaji A,..., A n su nezavisni ako vrijedi P (A i A i2... A ik ) = P (A i ) P (A i2 )... P (A ik ) za i < i 2 <... < i k n. Dogadaji A α, α A, su nezavisni ako za svaki konačan podskup (i, i 2,..., i k ) A različitih indeksa vrijedi P (A i A i2... A ik ) = P (A i ) P (A i2 )... P (A ik ). Primjer 3.. Na osnovi definicije 3.4. slijedi da su dogadaji A, B, C nezavisni ako vrijedi: 9

0 P (A B) = P (A) P (B) P (A C) = P (A) P (C) P (B C) = P (B) P (C) P (A B C) = P (A) P (B) P (C). Zadatak 3.5. Pokažite da disjunktnost skupova A i B ne povlači (općenito) nezavisnost tih dogadaja. DZ 3.6. Dokažite da su disjunktni dogadaji A i B nezavisni ako i samo ako vrijedi P (A) = 0 ili P (B) = 0. Zadatak 3.7. Neka su A i B nezavisni dogadaji. dogadaji A i B c. Dokažite da su tada nezavisni i DZ 3.8. Neka su A i B nezavisni dogadaji. Dokažite da su tada nezavisni i dogadaji A c i B c. Primjer 3.2. Dogadaji A, B, C mogu biti u parovima nezavisni, ali ne moraju biti nezavisni. Naime, promotrimo slučajni pokus bacanja dviju simetričnih kocki i promotrimo dogadaje Tada imamo Nadalje A = {na prvoj kocki palo je, 2 ili 3}, B = {na drugoj kocki palo je 4, 5 ili 6}, C = {zbroj brojeva koji su pali na obje kocke je 7}. A = {(, i), (2, i), (3, i) : i =, 2,..., 6} P (A) = 8 36 = 2, B = {(i, 4), (i, 5), (i, 6) : i =, 2,..., 6} P (B) = 8 36 = 2, C = {(, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, )} P (C) = 6 36 = 6. A B = {(, 4), (, 5), (, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} P (A B) = 9 36 = 4, A C = {(, 6), (2, 5), (3, 4)} P (A C) = 3 36 = 2, Ovdje je Ω = {(i, j) : i, j 6}, F = P(Ω), P ((i, j)) = 36 za (i, j) Ω.

B C = {(, 6), (2, 5), (3, 4)} P (B C) = 3 36 = 2, A B C = {(, 6), (2, 5), (3, 4)} P (A B C) = 3 36 = 2. Lako se provjeri da vrijedi P (A B) = P (A) P (B), P (A C) = P (A) P (C), P (B C) = P (B) P (C), odakle slijedi da su A, B i C u parovima nezavisni. 2 Ali jer je slijedi da A, B i C nisu nezavisni. P (A B C) P (A) P (B) P (C), Zadatak 3.9. Koliko najmanje slučajno odabranih osoba treba pitati za datum njihovog rodenja (zanemarujemo godinu rodenja, već uzimamo u obzir samo dan i mjesec) da bi se s vjerojatnošću većom od 0.5 našla barem jedna osoba rodena istog datuma kao i vi (isključujemo 29. 2.)? DZ 3.0. (a) Bacamo jednu simetričnu kocku 4 puta (nezavisno). Dokažite da je vjerojatnost dogadaja da padne parem jedna šestica veća od 0.5. (b) Da li je vjerojatnost da u šest puta više bacanja (dakle 24 bacanja) dvije simetrične kocke padne barem jedna dvostruka šestica takoder veća od 0.5? Teorem 3.. (Formula potpune vjerojatnosti) Neka je {H, H 2,..., H n } potpun sistem dogadaja u vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ) (tj. P (H i ) > 0 za i =, 2,..., n; H i H j = za i j; H H 2... H n = Ω), 3 te neka je A F. Tada vrijedi P (A) = n P (H i )P (A H i ). Zadatak 3.2. Neki vojni cilj gada se iz tri topa. Topovi gadaju cilj nezavisno jedan od drugoga s vjerojatnošću 0.4. Ako jedan top pogodi cilj, on ga uništi s vjerojatnošću 0.3, ako ga pogode dva topa, unište ga s vjerojatnošću 0.7, a ako ga pogode sva tri topa, unište ga s vjerojatnošću 0.9. Nadite vjerojatnost uništenja cilja. 2 To znači da su A i B nezavisni, A i C nezavisni te B i C nezavisni. 3 Dogadaji H i nazivaju se hipoteze.

2 Zadatak 3.3. U kutiji se nalazi N kuglica od kojih je M bijelih (M < N). Na slučajan način se iz kutije jedna za drugom izvlače dvije kuglice (bez vraćanja). Nadite vjerojatnost da druga izvučena kuglica bude bijela. DZ 3.4. U skupini od 0 strijelaca nalaze se 4 izvrsna i 6 dobrih. Vjerojatnost pogotka za izvrsne strijelce iznosi 0.9, a za dobre 0.7. Iz skupine slučajno izabiremo jednog strijelca. Kolika je vjerojatnost da će on pogoditi metu? Propozicija 3.5. Neka je {H, H 2,..., H n } potpun sistem dogadaja u vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ). Tada za A, B F vrijedi P (B A) = n P (H i A)P (B H i A). Teorem 3.6. (Bayesova formula) Neka je {H, H 2,..., H n } potpun sistem dogadaja u vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ) i A F takav da je P (A) > 0. Tada za svaki i {, 2,..., n} vrijedi P (H i A) = P (H i)p (A H i ). n P (H j )P (A H j ) j= Zadatak 3.7. Na stolu se nalaze tri kutije. U prvoj se kutiji nalaze 2 žute, 4 zelene i 6 plavih kuglica, u drugoj 4 žute, 6 zelenih i 8 plavih, a u trećoj 6 žutih, 8 zelenih i 0 plavih kuglica. Bacamo simetričnu kocku i ako na kocki padne, 2, 3 biramo prvu kutiju, 4 biramo drugu kutiju, 5, 6 biramo treću kutiju. (a) Iz tako odabrane kutije je na slučajan način izvučena kuglica i ona je bila zelena. Ako tu kuglicu ne vraćamo natrag u kutiju, izračunajte vjerojatnost da će slijedeća izvučena kuglica iz iste kutije biti plava. (b) Ako su izvučene dvije žute kuglice, iz koje je kutije najvjerojatnije da su one bile izvučene? DZ 3.8. U dvije od tri jednake pregrade nalaze se 2 crne i 2 bijele kuglice, a u trećoj 5 bijelih i crna. Iz na sreću odabrane pregrade izvučena je jedna kuglica bijele boje. Kolika je vjerojatnost da je ona izvučena iz treće pregrade?

3 DZ 3.9. U kutiji se nalazi 90 kuglica od kojih je 0 numerirano brojem, 0 ih je numerirano brojem 2 i tako dalje, konačno 0 ih je numerirano brojem 9. Na slučajan način se jedna za drugom bez vraćanja izvlače tri kuglice te se zapiše dobiveni broj (izvučemo li npr. brojeve, 7, 6 tim redosljedom, to zapisujemo kao broj 76). Definiramo dogadaj A = {dobiveni troznamenkasti broj je paran}. Odredite vjerojatnost dogadaja A. Što se promijeni ako svaki put vratimo izvučenu kuglicu u kutiju (odnosno, izvlačimo kuglice s vraćanjem)?

Poglavlje 4 Geometrijske vjerojatnosti Napomena 4.. Neka je Ω R n (n =, 2, 3) ograničen skup za koji vrijedi 0 < λ(ω) <, pri čemu je λ duljina za n =, površina za n = 2 i volumen za n = 3. Za A Ω, za koji postoji λ(a), definiramo Tada je P vjerojatnost. P (A) = λ(a) λ(ω). Zadatak 4.. Iz segmenta [0, ] slučajno i nezavisno biramo dva broja x i y. Odredite vjerojatnost dogadaja: (a) A = {x = y}; (b) B = {x y}; (c) C = {x < y}; { (d) D = x < } 2 { y > }. 2 3 Zadatak 4.2. Dva prijatelja se dogovore da se nadu negdje u gradu. Svaki od njih će doći u neko slučajno doba uzmedu 8 i 9 sati. Kada dode, svaki od njih čeka 20 minuta te ako se drugi ne pojavi, odlazi. Kolika je vjerojatnost da će se oni sresti? Zadatak 4.3. Na slučajan način izabiremo brojeve x [0, ] i y [0, 2]. Kolika je vjerojatnost da je x + y > 2 i xy <? Možemo i ovako reći: P (slučajno odabrana točka x Ω nalazi se u A) = P (A) = λ(a) λ(ω). { 2 Skup D možemo zapisati i u obliku x < 2, y > }. Ovdje nam zarez zamjenjuje simbol za 3 presjek. Taj ćemo oblik često koristiti u nastavku. 4

5 DZ 4.4. Slučajno i nezavisno izabiremo brojeve x, y [0, ]. Izračunajte vjerojatnost da je x + y i xy 2 9. Zadatak 4.5. Slučajno su i nezavisno jedna od druge, odabrane tri točke x, y, z [0, ]. Izračunajte vjerojatnost da je x + y + z 2. Zadatak 4.6. Na slučajan način su izabrani brojevi a, b [0, ]. Izračunajte vjerojatnost da će korijeni jednadžbe x 2 + ax + b 2 = 0 biti realni. DZ 4.7. U jednakokračnom trokutu osnovice duljine a i visine duljine a upisan je kvadrat. Kolika je vjerojatnost da na sreću odabrana točka u trokutu ne leži unutar tog kvadrata?

Poglavlje 5 Diskretne slučajne varijable Definicija 5.. Neka je (Ω, F, P ) diskretni vjerojatnosni prostor. Proizvoljna funkcija X : Ω R naziva se (diskretna) slučajna varijabla (na Ω). Reći ćemo da je zadana distribucija (razdioba) slučajne varijable X (odnosno, zakon razdiobe od X) ako je zadan (konačan ili prebrojiv) niz a, a 2, a 3,... svih različitih vrijednosti koje poprima slučajna varijabla X, 2 te niz brojeva p, p 2, p 3,... takvih da je p i = P (X = a i ) = P (X (a i )) = P (ω Ω : X(ω) = a i ), 3 što zapisujemo X ( a a 2 a 3... p p 2 p 3... ) (5.) Napomena 5.. Ako je slučajna varijabla X dana zakonom razdiobe (5.), tada za proizvoljan skup B R vrijedi P (X B) = p i. {i : a i B} p i = a i B Primjer 5.2. Promotrimo slučajni pokus bacanja dvije simetrične igraće kocke. 4 Vjerojatnosni prostor kojim je opisan navedeni pokus dan je s Ω = {(i, j) : i, j 6}, 5 F = P(Ω) i P (ω) = P ({ω}) = 36 za ω Ω. Definirajmo dvije slučajne varijable na Ω: X : Ω N, X = broj koji je pao na prvoj kocki, Vjerojatnosni prostor (Ω, F, P ) kod kojeg je skup Ω konačan ili prebrojivo beskonačan zovemo diskretni vjerojatnosni prostor. 2 X(Ω) = {a, a 2, a 3,...}. 3 Uočimo da mora vrijediti: 0 p i i p i =. 4 i Kocke razlikujemo, npr. neka je prva obojana crvenom, a druga plavom bojom. 5 U uredenom paru (i, j), i predstavlja broj koji je pao na prvoj kocki, a j broj koji je pao na drugoj kocki. 6

7 Y : Ω N, Y = broj koji je pao na drugoj kocki. Tada za ω = (i ω, j ω ) Ω vrijedi X(ω) = i ω i Y (ω) = j ω. Odredimo zakone razdioba od X i Y. Zbog simetričnosti, X i Y imaju jednake zakone razdiobe pa je dovoljno odrediti zakon razdiobe od X. Prvo, slučajna varijabla X poprima šest različitih vrijednosti; to su, 2,..., 6 (a i = i za i =, 2,..., 6). Odredimo p i = P (X = i). Imamo P (X = ) = P (ω Ω : X(ω) = ) = P ({(, ), (, 2), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6)}) = 6 36 = 6. Slično se dobije i P (X = 2) = P (X = 3) =... = P (X = 6) =. Zato je zakon 6 razdiobe od X dan sa ( 2 3 4 5 6 X Odredimo još P (X 4), P (X + Y = 7) i P (X = 5 X + Y = 7). Imamo 6 6 6 P (X 4) = P (X = ) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = 4 6 = 2 3, 6 6 6 6 ). P (X + Y = 7) = P ({(, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, )}) = 6 36 = 6, P (X = 5 X + Y = 7) = P (X = 5, X + Y = 7) P (X + Y = 7) = P ({(5, 2)}) P (X + Y = 7) = 36 6 = 6.7 Definicija 5.2. Neka je (Ω, F, P ) diskretni vjerojatnosni prostor te X,..., X n slučajne varijable na Ω. Kažemo da su X,..., X n nezavisne slučajne varijable ako za proizvoljne skupove B i R (i =,..., n) vrijedi P (X B,..., X n B n ) = n P (X i B i ). Zadatak 5.3. Neka meta gada se četiri puta pri čemu je vjerojatnost pogotka u svakom gadanju jednaka 0.8. Neka je X slučajna varijabla čija je vrijednost broj pogodaka u metu. Odredite: (a) zakon razdiobe od X; (b) vjerojatnost dogadaja { X 3}. 6 Ovdje smo dogadaj {X 4} rastavili na uniju četiri disjunktna dogadaja {X = }, {X = 2}, {X = 3}, {X = 4} pa smo iskoristili aditivnost vjerojatnosti. 7 P (X = 5, X + Y = 7) = P ({X = 5} {X + Y = 7}) = P (ω Ω : X(ω) = 5, X(ω) + Y (ω) = 7) = = P (ω Ω : X(ω) = 5, 5 + Y (ω) = 7) = P (ω Ω : X(ω) = 5, Y (ω) = 2) = P ({(5, 2)}).

8 Primjer 5.3. (Osnovne distribucije diskretnih slučajnih varijabli) () Kažemo da slučajna varijabla X ima binomnu razdiobu s parametrima n N i p (0, ) ako joj je distribucija dana formulom ( ) n P (X = k) = p k q n k, k = 0,,..., n k gdje je q = p. Oznaka: X B(n, p). (2) Kažemo da slučajna varijabla X ima Bernoullijevu razdiobu s parametrom p (0, ) ako joj je distribucija dana sa ( ) 0 X q p gdje je q = p. 8 (3) Kažemo da slučajna varijabla X ima diskretnu uniformnu razdiobu s parametrom n N ako joj je distribucija dana sa ( ) 2... n X,... n n n tj. P (X = k) =, k =, 2,..., n. n (4) Kažemo da slučajna varijabla X ima hipergeometrijsku razdiobu s parametrima n, m N, r N 0 (n m, r {0,,..., m}) ako joj je distribucija dana formulom ( r m r ) P (X = k) = k)( n k ( m k = 0,,..., n. n) (5) Neka je λ R, λ > 0. Kažemo da slučajna varijabla X ima Poissonovu razdiobu s parametrom λ ako joj je distribucija dana formulom Oznaka: X P (λ). P (X = k) = λk k! e λ, k = 0,, 2... (6) Kažemo da slučajna varijabla X ima logaritamsku razdiobu s parametrom p (0, ) ako joj je distribucija dana formulom gdje je q = p. P (X = k) = qk k ln p, k N 8 Vrijedi sljedeća činjenica: ako su X,..., X n nezavisne Bernoullijeve slučajne varijable s n parametrom p, tada je X i B(n, p).

9 (7) Kažemo da slučajna varijabla X ima geometrijsku razdiobu s parametrom p (0, ) ako joj je distribucija dana formulom gdje je q = p. P (X = k) = p q k, k = 0,, 2,... Zadatak 5.4. Provjerite da su slučajne varijable iz Primjera 5.3. dobro definirane. Zadatak 5.5. Neka je Ω = {ω, ω 2, ω 3 } i P (ω ) = P (ω 2 ) = P (ω 3 ) = 3. Definirajmo slučajne varijable X, Y, Z sa X(ω ) =, X(ω 2 ) = 2, X(ω 3 ) = 3, Y (ω ) = 2, Y (ω 2 ) = 3, Y (ω 3 ) =, Z(ω ) = 3, Z(ω 2 ) =, Z(ω 3 ) = 2. Pokažite da X, Y, Z imaju isti zakon razdiobe te nadite zakone razdiobe od X +Y, Y +Z, X + Y Z, Z (X 2 + Y 2 )Z i X Y. DZ 5.6. U kutiji se nalazi 7 kuglica od kojih su 4 bijele i 3crne. Iz kutije na slučajan način izvlačimo 3 kuglice (bez vraćanja). Označimo s X broj bijelih kuglica medu izvučenim kuglicama. Odredite zakon razdiobe slučajne varijable X. DZ 5.7. Neka je X B(3, 2 3 ). Odredite razdiobu slučajne varijable Y = X2.

Poglavlje 6 Bernoullijeva shema Definicija 6.. Neka je Ω = {0, }, P : P(Ω ) [0, ] vjerojatnost na Ω t. d. je P ({}) = p i P ({0}) = q = p. Bernoullijeva shema je diskretni vjerojatnosni prostor (Ω, F, P ) gdje je Ω = Ω n i P = P n. Napomena 6.. Bernoullijeva je shema matematički model za n nezavisnih pokusa od kojih svaki ima samo dva moguća ishoda - uspjeh () i neuspjeh (0) - pri čemu je vjerojatnost uspjeha u svakom pokusu ista. Korolar 6.2. Neka su Ω, P i p kao u definiciji 6.. te neka je ω = (ω,..., ω n ) Ω (ω i = ili 0). Na Ω definiramo slučajnu varijablu X sa Tada je X B(n, p). Ako stavimo X(ω) = broj jedinica u ω. A = {X = k} = {u n pokusa dogodilo se k uspjeha}, ( ) n slijedi P (A) = P (X = k) = p k q n k. k Zadatak 6.3. Četvorica igrača igraju neku igru s kartama i prilikom podjele 52 karte jedan od igrača tri puta zaredom nije dobio asa. Izračunajte vjerojatnost tog dogadaja. Zadatak 6.4. Razvrstavamo (nezavisno) 6 kuglica u 3 kutije A, B, C. Vjerojatnost da ćemo svaku kuglicu smjestiti u pojedinu kutiju iznosi. Kolika je vjerojatnost da će u 3 kutiji A biti: (a) točno 4 kuglice; Za ω = (ω,..., ω n ) Ω imamo P (ω) = P n (ω) = P (ω ) P (ω 2 )... P (ω n ). 20

2 (b) barem 2 kuglice; (c) barem 4 kuglice; (d) najviše 5 kuglica? DZ 6.5. U svakom slučajnom pokusu (koji su nezavisni) dogadaj A pojavljuje se s vjerojatnošću 0.25. Izračunajte vjerojatnost da će se u 7 izvodenja pokusa dogadaj A pojaviti paran broj puta. 2 Definicija 6.6. Neka je Ω = {ω, ω 2,..., ω k }, P : P(Ω ) [0, ] vjerojatnost na Ω t. d. je P ({ω i }) = p i, i =, 2,... k. Generalizirana Bernoullijeva shema je diskretni vjerojatnosni prostor (Ω, F, P ) gdje je Ω = Ω n i P = P n. Napomena 6.2. Generalizirana Bernoullijeva shema niz je od n ponovljenih nezavisnih pokusa s tim da u svakom pokusu imamo k (dakle, konačno mnogo) ishoda. Korolar 6.7. Neka su Ω, P, p i kao u definiciji 6.6. te neka je ω Ω. Tada je P ({ω}) = p n p n 2 2... p n k k, gdje je n i broj pojavljivanja ω i u nizu ω = (ω i,..., ω in ). Jasno, vrijedi Stavimo k n i = n. A(n,..., n k ) = {ω Ω : ω i se u n-torci ω = (ω i,..., ω in ) pojavljuje n i puta, i =,..., k}. Tada je P (A(n,..., n k )) = n! n!... n k! pn... p n k k (=: p(n,..., n k )). Zadatak 6.8. Na slučajan način nezavisno rasporedujemo 2 kuglica u 3 prazne kutije. Izračunajte vjerojatnost da će: (a) u svaku kutiju biti rasporeden jednak broj kuglica; (b) u jednu kutiju biti rasporedeno 5 kuglica, u jednu 4 i u jednu 3 kuglice. Zadatak 6.9. Bacimo 5 simetričnih kocaka. Kolika je vjerojatnost da padnu točno dvije dvojke i jedna šestica? DZ 6.0. Na jednom šahovskom turniru nastupa i Matko Fizić. On će na turniru odigrati 6 partija, nezavisno jednu od druge. Vjerojatnost da Matko u pojedinoj partiji pobijedi iznosi 4, da remizira i da izgubi 2. Kolika je vjerojatnost da će na kraju 7 7 7 turnira Matko imati 7 pobjeda, 5 remija i 4 poraza? 2 Nula se računa kao paran broj.

Poglavlje 7 Granični teoremi u Bernoullijevoj shemi Teorem 7.. (Lokalni Moivre-Laplaceov teorem) Neka je p (0, ), X n B(n, p) i x k = k np npq, k = 0,,..., n (q = p). Tada vrijedi 2πnpq P (Xn = k) lim = n e x2 k2 i to uniformno na svakom ograničenom segmentu [a, b], a x k b, za sve k i n. Napomena 7.. Dakle, za velike n vrijedi P (X n = k) e (k np)2 2npq. npq 2π Stavimo ϕ(x) = 2π e x2 2. Tada za velike n vrijedi P (X n = k) ( k np ϕ ). (7.) npq npq Teorem 7.2. (Integralni Moivre-Laplaceov teorem) Neka je p (0, ) i X n B(n, p) (n N). Tada za proizvoljne a, b R (a < b) vrijedi ( lim P a X n np n npq ) b = 2π b a e x2 2 dx. Funkcija ϕ naziva se Gaussova ili normalna funkcija i njezine su vrijednosti tabelirane, npr. u Matematičkom priručniku Bronštejna i Semendjajeva. 22

23 Korolar 7.3. Stavimo Φ(x) = x 0 ϕ(t) dt = x 2π Φ je monotono rastuća i neparna funkcija (Φ( x) = Φ(x)) te vrijedi Φ(0) = 0. Tada za velike n vrijedi ( b np ) ( a np P (a X n b) Φ Φ ). 2 (7.2) npq npq 0 e t2 2 Za ɛ > 0 i velike n vrijedi sljedeća formula ( X ) ( n n ) P n p < ɛ 2Φ ɛ. pq Napomena 7.2. Obično se formule (7.) i (7.2) primjenjuju ako je npq 0. dt. Zadatak 7.4. Simetričan novčić bacamo 00 puta. pasti točno 50 puta? Kolika je vjerojatnost da će grb Zadatak 7.5. Zadana su dva kruga K = K(0, r) i K 2 = K(0, 2r) (r > 0). Na slučajan se način odabire 000 točaka unutar većeg kruga. Izračunajte vjerojatnost da će se: (a) točno 700 od tih 000 točaka nalaziti unutar kružnog vijenca odredenim sa ta dva kruga; (b) barem 720 točaka nalaziti u kružnom vijencu. Zadatak 7.6. Koliko (najmanje) puta moramo baciti par igraćih kocaka da bi se s vjerojatnošću 0.95 dogodilo da barem 00 puta zbroj brojeva koji su pali na kockama bude jednak 7? Zadatak 7.7. Kolika je vjerojatnost da će se prilikom 3600 bacanja simetričnog novčića relativna frekvencija dobivanja pisma razlikovati po apsolutnoj vrijednosti od 0.5 za manje od 0.0? DZ 7.8. Koliko puta treba baciti simetričnu kocku da bi relativna frekvencija dobivanja šestice s vjerojatnošću 0.95 bila izmedu 9 i 2? 20 20 DZ 7.9. Na prijemnom ispitu se rješava 40 zadataka. Za svaki su zadatak ponudena 4 odgovora od kojih je samo jedan točan. Za točno zaokruženi odgovor dobiva se 5 bodova, a za netočan gubi se 5 bodova. Pod pretpostavkom da odgovorite na svako pitanje, izračunajte vjerojatnost da slučajnim odabirom ponudenih odgovora prijedete klasifikacijski prag od 20 bodova. 2 Ova se formula koristi u primjenama jer su vrijednosti funkcije Φ tabelirane (npr. u Matematičkom priručniku Bronštejna i Semendjajeva).

Poglavlje 8 Matematičko očekivanje i varijanca diskretnih slučajnih varijabli Definicija 8.. Neka je (Ω, P(Ω), P ) diskretni vjerojatnosni prostor, Ω = {ω, ω 2,...} i X slučajna varijabla na Ω. Ako red ω k Ω X(ω k )P ({ω k }) apsolutno konvergira, tada njegovu sumu zovemo (matematičko) očekivanje slučajne varijable X i označujemo sa EX = ω k Ω X(ω k )P ({ω k }). Teorem 8.2. Neka je X ( a a 2... p p 2... ) zakon razdiobe slučajne varijable X. Redovi ω k Ω X(ω k )P ({ω k }) i i a i p i istodobno ili apsolutno konvergiraju ili apsolutno divergiraju. U slučaju apsolutne konvergencije suma im je ista, dakle vrijedi EX = a i p i. i Korolar 8.3. (Svojstva matematičkog očekivanja) () X = konstanta = c (c R) EX = c. (2) Neka je X slučajna varijabla s distribucijom X proizvoljna funkcija. Tada vrijedi ( a a 2... p p 2... ) i g : R R E[g(X)] = i g(a i )p i X(ω) = c za sve ω Ω. 24

25 (uz pretpostavku da red i g(a i )p i apsolutno konvergira). (3) Neka su X i Y diskretne slučajne varijable koje imaju (konačna) očekivanja i α, β R. Tada slučajna varijabla αx + βy takoder ima očekivanje i vrijedi E(αX + βy ) = αex + βey. 2 (4) Neka slučajna varijabla X ima očekivanje i neka je X 0. 3 Tada je EX 0. (5) Neka slučajne varijable X i Y imaju očekivanje i neka je X Y. 4 Tada je EX EY. Primjer 8.. Neka je sa ( ) 0 X 3 dan zakon razdiobe slučajne varijable X. Odredimo EX i EX 2. Koristeći Teorem 8.2. dobivamo EX = 3 + 0 3 + 3 = 0. Nadalje, iz Korolara (8.3.) (svojstvo (2) primijenjeno na funkciju g(x) = x 2 ) slijedi EX 2 = ( ) 2 3 + 02 3 + 2 3 = 2 3. 3 3 Definicija 8.4. Neka je X diskretna slučajna varijabla s konačnim očekivanjem. Tada se varijanca od X definira sa ako očekivanje od (X EX) 2 postoji. VarX = E[(X EX) 2 ], ( ) a a Korolar 8.5. Neka je sa X 2... p p 2... X koja ima (konačnu) varijancu. Tada vrijedi dan zakon razdiobe slučajne varijable VarX = i (a i EX) 2 p i. 2 Ovo se svojstvo naziva linearnost matematičkog očekivanja. 3 X(ω) 0 za sve ω Ω. 4 X(ω) Y (ω) za sve ω Ω.

26 Zadatak 8.6. Neka slučajna varijabla X ima konačnu varijancu. Dokžite da vrijedi sljedeća formula VarX = EX 2 (EX) 2. ( 0 2 Zadatak 8.7. Neka je sa X Odredite varijancu od X. 3 3 3 ) dan zakon razdiobe slučajne varijable X. Definicija 8.8. Neka je X diskretna slučajna varijabla i r R, r > 0. r-ti moment α r od X definira se sa α r = E(X r ), ako očekivanje E(X r ) postoji. r-ti apsolutni moment β r od X definira se sa ako očekivanje E( X r ) postoji. 5 β r = E( X r ), ( ) a a Napomena 8.2. Neka je sa X 2... dan zakon razdiobe slučajne varijable p p 2... X za koju postoji r-ti apsolutni moment (pa onda i r-ti moment). Tada vrijedi α r = i a r i p i, β r = i a i r p i. ( 0 2 DZ 8.9. Neka je X 2 4 8 8 ). Izračunajte α 3 i β 3. Propozicija 8.0. Neka je X slučajna varijabla za koju postoji varijanca i neka su a, b R. Tada je Var (ax + b) = a 2 VarX. DZ 8.. Dokažite Propoziciju 8.0. Teorem 8.2. Neka su X,..., X n nezavisne slučajne varijable i neka postoji VarX i, i =,..., n. Tada je ( n ) n Var X i = VarX i. 5 Iz ove definicije odmah proizlazi da X ima r-ti moment ako i samo ako X ima r-ti apsolutni moment.

27 Zadatak 8.3. Odredite matematičko očekivanje i varijancu slučajnih varijabli definiranih u Primjeru 5.3. DZ 8.4. Neka je X B(n, p). Odredite VarX bez korištenja Teorema 8.2. ( ) 2 3 4 6 Zadatak 8.5. (a) Odredite konstantu c > 0 tako da je s X c c c 2 4c 2 c 2 4 definiran zakon razdiobe od X. (b) Izračunajte P (2 < X 4). (c) Odredite najmanji k N takav da je P (X k) 2. (d) Odredite EX i VarX. Teorem 8.6. Slučajne varijable X,..., X n definirane ( na diskretnom) vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ), zadane svojom distribucijom X i a (i) a (i) 2... p (i) p (i) 2... (i =,..., n), su nezavisne ako i samo ako vrijedi n P (X = a () i,..., X k = a (n) i n ) = za sve i,..., i n. Teorem 8.7. Neka su X,..., X n nezavisne slučajne varijable na diskretnom vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ) i neka su g i : R R (i =,..., n) proizvoljne funkcije. Tada su slučajne varijable g (X ),..., g n (X n ) nezavisne. Teorem 8.8. Neka su slučajne varijable X,..., X n nezavisne i neka postoji EX i (i = n,..., n). Tada slučajna varijabla X i ima očekivanje i vrijedi ( n ) E X i = n EX i. Zadatak 8.9. Provjeri da li vrijedi obrat Teorema 8.8. DZ 8.20. Neka je X P (λ), λ > 0. Stavimo Y =. Odredite zakon razdiobe od + X Y i E(XY ). DZ 8.2. Neka su X, Y, Z slučajne varijable nezavisne u parovima (tj. X i Y su nezavisne, X i Z su nezavisne, Y i Z su nezavisne). Dokažite da tada vrijedi j= p (j) i j Var (X + Y + Z) = VarX + VarY + VarZ.

Poglavlje 9 Funkcije gustoće i distribucije. Diskretni slučajni vektori Definicija 9.. Neka je X slučajna varijabla ( na diskretnom ) vjerojatnosnom prostoru a a (Ω, F, P ) zadana zakonom razdiobe X 2.... Funkcija gustoće od X, p p 2... ili kraće, gustoća od X je funkcija f X = f : R R + definirana sa { 0, x ai f(x) = P (X = x) =, x R. p i, x = a i Napomena 9.. Neka je X diskretna slučajna varijabla. Tada za proizvoljan skup B R vrijedi P (X B) = p i = f X (x). a i B x B Definicija 9.2. Neka su ispunjeni uvjeti kao u Definiciji 9.. Funkcija distribucije slučajne varijable X je funkcija F X = F : R [0, ] definirana sa F (x) = P (X x) = a i x p i = y x f(y), gdje je f funkcija gustoće od X. Propozicija 9.3. (Svojstva funkcije distribucije) Neka je F funkcija distribucije slučajne varijable X te neka je f gustoća od X. Tada vrijedi: () F je monotono neopadajuća (x y F (x) F (y)). R + = {x R : x 0}. 28

29 (2) F ( ) = 0, F (+ ) =. 2 (3) F je neprekidna zdesna (x = lim n x n, x x n F (x) = lim n F (x n )). (4) Za svaki x R vrijedi F (x) F (x ) = f(x). 3 (5) F ima prekid u točki x ako i samo ako je P (X = x) = f(x) > 0. Zadatak 9.4. Odredite funkcije gustoće i distribucije slučajne varijable s Bernoullijevom razdiobom. Zadatak 9.5. Neka je X diskretna slučajna varijabla i a, b R. vrijedi: (a) P (a < X b) = F (b) F (a), a < b; Dokažite da tada (b) P (a X b) = F (b) F (a ), a b; (c) P (a X < b) = F (b ) F (a ), a < b; (d) P (a < X < b) = F (b ) F (a), a < b. Zadatak 9.6. Odredite funkcije gustoće i distribucije slučajne varijable X dane zakonom razdiobe ( ) 2 3 4 X. Zadatak 9.7. Slučajna varijabla X ima funkciju distribucije 0, x < 0 F (x) =, 0 x < 4, x < 2 2, x 2 ( (a) Izračunajte P 2 X 3. 2) (b) Odredite zakon razdiobe od X. 4 4 3 6 DZ 9.8. Odredite funkcije gustoće i distribucije (te skicirajte njihove grafove) slučajne varijable Z dane zakonom razdiobe ( ) 2 0 3 X. 0.2 0.4 0. 0.2 0. 2 F (± ) = lim x ± F (x). 3 F (x ) je limes slijeva funkcije F u točki x.

30 Definicija 9.9. Neka je (Ω, F, P ) diskretni vjerojatnosni prostor. Proizvoljnu funkciju X : Ω R n nazivamo (diskretni n-dimenzionalan) slučajni vektor (na Ω). Napomena 9.2. n-dimenzionalan slučajni vektor na Ω je zapravo uredena n-torka slučajnih varijabli na Ω. Napomena 9.3. U nastavku poglavlja ćemo se baviti samo 2-dimenzionalnim slučajnim vektorima. Definicija 9.0. Neka je Z = (X, Y ) 2-dimenzionalan slučajni vektor i neka su distribucije slučajnih varijabli X i Y dane sa ( ) ( ) a a X 2... b b, Y 2.... p p 2... q q 2... Kažemo da je zadana distribucija (ili zakon razdiobe) slučajnog vektora Z ako su za sve i, j zadani parovi (a i, b j ) R 2 i brojevi p ij = P (Z = (a i, b j )) = P (ω Ω : X(ω) = a i, Y (ω) = b j ) = P (X = a i, Y = b j ). Definicija 9.. Funkcija distribucije slučajnog vektora Z = (X, Y ) je funkcija F Z = F X,Y = F : R 2 [0, ] definirana sa F (x) = F (x, x 2 ) = P (Z x) = P (X x, Y x 2 ), x = (x, x 2 ) R 2. Napomena 9.4. Neka su slučajne varijable X i Y dane zakonima razdiobe kao u Definiciji 9.0. te neka ja F funkcija distribucije slučajnog vektora Z = (X, Y ). Tada vrijedi F (x) = F (x, x 2 ) = p ij = f(y), x = (x, x 2 ) R 2, y x a i x b j x 2 gdje je f = f Z = f X,Y : R 2 R + funkcija gustoće slučajnog vektora Z, ili kraće, gustoća od Z, definirana sa f(x) = f(x, x 2 ) = P (Z = x) = P (X = x, Y = x 2 ), x = (x, x 2 ) R 2. Nadalje, za proizvoljnu funkciju g : R 2 R vrijedi E[g(X, Y )] = i,j g(a i, b j )p ij. Posebno, za g(x, y) = xy dobivamo E(XY ) = i,j a i b j p ij.

3 Definicija 9.2. Neka je X = (X,..., X n ) n-dimenzionalan slučajni vektor i neka postoje EX 2 i, i =,..., n. Stavimo µ ij = E[(X i EX i )(X j EX j )] = E(X i X j ) EX i EX j, i, j =,..., n. Za i j, µ ij zovemo kovarijanca slučajnih varijabli X i, X j i često označujemo cov (X i, X j ). Ako je µ ii > 0 i µ jj > 0, tada broj ρ ij = µ ij, i j, µii µ jj zovemo koeficijent korelacije izmedu slučajnih varijabli X i i X j. DZ 9.3. Neka su X i Y nezavisne slučajne varijable te neka postoje EX i EY. Pokažite da je tada cov (X, Y ) = 0. Definicija 9.4. Slučajne varijable X i Y su nekorelirane ako je cov (X, Y ) = 0. Napomena 9.5. U zadatku 9.5. pokazati ćemo da postoje nekorelirane slučajne varijable koje nisu nezavisne. Dakle, ne vrijedi obrat tvrdnje iz DZ 9.3. Zadatak 9.5. Neka su X, Y B(, 0.5) nezavisne slučajne varijable. Da li su tada i slučajne varijable X + Y i X Y nezavisne? Izračunajte cov (X + Y, X Y ). Zadatak 9.6. U kutiji se nalazi 25 kuglica numeriranih brojevima, 2,..., 25. slučajan način izvlačimo jednu kuglicu. Neka je X slučajna varijabla definirana sa { 0, ako je broj na izvučenoj kuglici djeljiv s 3 X =, inače te Y slučajna varijabla definirana sa { 0, ako je broj na izvučenoj kuglici paran Y =, inače Odredite: (a) distribuciju slučajnog vektora Z = (X, Y ); (b) distribucije slučajnih varijabli X i Y ; (c) uvjetnu vjerojatnost P (X = Y = ). Na DZ 9.7. Za slučajne varijable X i Y iz Zadatka 9.6. nadite cov (X, Y ) i koeficijent korelacije izmedu X i Y te provjerite jesu li X i Y nezavisne slučajne varijable. Zadatak 9.8. Zajednička distribucija slučajnih varijabli X i Y (odnosno, distribucija slučajnog vektora (X, Y )) dana je sa P (X = 0, Y = ) = P (X = 0, Y = ) = P (X =, Y = 0) = P (X =, Y = 0) = 4. Odredite VarX, VarY i cov (X, Y ). Provjerite da li su X i Y nezavisne slučajne varijable.

Poglavlje 0 Funkcije izvodnice Definicija 0.. Neka je X cjelobrojna slučajna varijabla, tj. slučajna varijabla koja prima samo nenegativne cjelobrojne vrijednosti. Stavimo p k = P (X = k), k N {0}. Funkciju g definiranu sa g(z) = p k z k = p 0 + p z + p 2 z 2 +..., z R, z k=0 zovemo funkcija izvodnica od X i označavamo je sa g X. Propozicija 0.2. Ako cjelobrojna slučajna varijabla X ima konačnu varijancu, tada je njena funkcija izvodnica g dva puta diferencijabilna u točki z = i vrijedi EX = g (), VarX = g () + g () [g ()] 2. Teorem 0.3. Neka su X,..., X n nezavisne cjelobrojne slučajne varijable. Stavimo n S n = X k. Tada vrijedi k= n g Sn (z) = g Xk (z). k= Zadatak 0.4. Bacamo tri simetrične kocke (nezavisno). suma brojeva koji su pali na kockama biti jednaka 9. Nadite vjerojatnost da će Zadatak 0.5. Bacamo nesimetričnan novčić sve dok ne padne (prvi put) glava. Označimo sa X broj pisama koji su pali do prvog pada glave. Nadite EX i VarX. Napomena 0.. Cjelobrojne slučajne varijable X i Y imaju iste zakone razdiobe ako i samo ako je g X = g Y. 32

33 DZ 0.6. Neka su X,..., X n nezavisne slučajne varijable, X k P (λ k ) (k =,... n). n ( n Stavimo S n = X k. Dokažite da je S n P λ k ). k= k= DZ 0.7. Automatski stroj, pri normalnoj regulaciji, može proizvesti škart s vjerojatnošću p. Podešavanje rada stroja izvodi se odmah nakon dobijanja škarta. Ako sa X označimo broj svih proizvoda izmedu dva podešavanja stroja, nadite EX.

Poglavlje Neprekidne slučajne varijable U ovom ćemo poglavlju prvo definirati slučajne varijable na proizvoljnom vjerojatnosnom prostoru pa ćemo pažnju obratiti na neprekidne slučajne varijable. Definicija.. Neka je U = {U R : U je otvoreni skup} familija svih otvorenih podskupova od R. σ-algebru generiranu familijom U, tj. najmanju σ-algebru koja sadrži familiju U zovemo Borelova σ-algebra i označujemo je sa B = σ(u). Elemente σ-algebre B zovemo Borelovi skupovi. Definicija.2. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor. Funkcija X : Ω R jest slučajna varijabla (na Ω) ako je X (B) F za svaki B B. Definicija.3. Funkcija g : R R jest Borelova funkcija ako je g (B) B za svaki B B. Napomena.. Svaka neprekidna funkcija : R R je Borelova. Takoder, svaka rastuća (ili padajuća) funkcija g : R R je Borelova. Odavde slijedi da nisu sve Borelove funkcije neprekidne. 2 Definicija.4. Neka je X slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ). Funkcija distribucije slučajne varijable X je funkcija F X : R [0, ] definirana sa F X (x) = P (X x), x R. Može se pokazati da σ-algebra { B postoji te da je jednaka presjeku svih σ-algebri koje sadrže U. 0, x < 0 2 Naprimjer, funkcija g(x) = je Borelova, iako nije neprekidna., x 34

35 Definicija.5. Neka je X slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ). Kažemo da je X (apsolutno) neprekidna slučajna varijabla ako postoji nenegativna Borelova funkcija f : R R + tako da vrijedi F X (x) = x f(t) dt, x R. 3 Funkciju f zovemo funkcija gustoće (ili samo gustoća) od X. Napomena.2. Neka je X neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće f. Tada vrijedi: () P (X B) = f(t) dt, B B; B (2) F X = f (na otvorenom intervalu); (3) P (X = x) = 0 za svaki x R. Propozicija.6. Neka je f : R R Borelova funkcija. Da bi f bila funkcija gustoće neke neprekidne slučajne varijable, nužno je i dovoljno da vrijedi: () f(x) 0 za svaki x R; (2) f(x) dx =. Primjer.3. (Osnovne neprekidne slučajne varijable) () Slučajna varijabla X ima uniformnu distribuciju na segmentu [a, b], a < b, ako joj je gustoća dana sa f(x) = b a K [a,b](x) = b a, 0, inače a x b Oznaka: X U(a, b). 3 Ovdje bi zapravo trebao stajati Lebesgueov integral F X (x) = (,x], x R. 4 f(t) dλ(t), ali kako navedeni pojam prelazi izvan okvira ovog kolegija te ćemo mi raditi samo sa neprekidnim slučajnim varijablama kod kojih se Lebesgueov integral poklapa s Riemannovim, zadržati ćemo (nepravi) Riemannov integral u Definiciji.5. 4 K A je karakteristična funkcija skupa A, definirana sa K A (x) = {, x A 0, x A.

36 (2) Slučajna varijabla X ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom λ > 0 ako joj je gustoća dana sa Oznaka: X Exp (λ). f(x) = λe λx K (0,+ ) (x), x R. (3) Slučajna varijabla X ima dvostruku eksponencijalnu distribuciju s parametrom λ > 0 ako joj je gustoća dana sa Oznaka: X Dexp (λ). f(x) = 2 λe λ x, x R. (4) Slučajna varijabla X ima Cauchyjevu distribuciju s parametrima a i b (a > 0) ako joj je gustoća dana sa f(x) = a π[a 2 + (x b) 2 ], x R. Oznaka: X C(a, b). X ima jediničnu Cauchyjevu distribuciju ako je X C(, 0). (5) Slučajna varijabla X ima normalnu distribuciju s parametrima µ i σ 2 (σ > 0) ako joj je gustoća dana sa f(x) = σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, x R. Oznaka: X N(µ, σ 2 ). X ima jediničnu normalnu distribuciju ako je X N(0, ). (6) Slučajna varijabla X ima gama-distribuciju s parametrima α i β (α, β > 0) ako joj je gustoća dana sa f(x) = Γ(α)β α xα e x β K(0,+ ) (x), x R, gdje je Γ(x) = 0 e t t x dt (x > 0) gama-funkcija. 5 Oznaka: X Γ(α, β). (7) Slučajna ( varijabla X ima χ 2 -distribuciju s parametrom n (n N) ako je X n ) Γ 2, 2. Oznaka: X χ 2 (n), pri čemu n zovemo broj stupnjeva slobode od X. ( 5 Vrijedi: Γ(x + ) = xγ(x), Γ() =, Γ = 2) π i Γ(n + ) = n! (n N).

37 (8) Slučajna varijabla X ima Studentovu t-distribuciju s n stupnjeva slobode (n N) ako joj je gustoća dana sa Oznaka: X t (n). f(x) = n+ Γ( ) ( 2 nπ Γ( n) 2 + x2 n ) n+ 2, x R. (9) Slučajna varijabla X ima beta-distribuciju s parametrima p i q (p, q > 0) ako joj je gustoća dana sa f(x) = xp ( x) q K (0,) (x), x R, B(p, q) gdje je B(x, y) = B(p, q). 0 t x ( t) y dt (x, y > 0) beta-funkcija. Oznaka: X Zadatak.7. Pokažite da su uniformna i eksponencijalna distribucija dobro definirane. DZ.8. Pokažite da su dvostruka eksponencijalna i Cauchyjeva distribucija dobro definirane. Zadatak.9. Neprekidna slučajna varijabla X zadana je svojom gustoćom Odredite: (a) konstantu A; (b) funkciju distribucije od X; ( (c) P 0 X < ). 2 f(x) = Ax 2 e 2x K [0,+ ) (x), x R. DZ.0. Odredite konstantu B R tako da funkcija f(x) = Bx 2 K [0,2] (x), x R, bude funkcija gustoće neke neprekidne slučajne varijable, koju označimo s X. Odredite i funkciju distribucije od X te izračunajte P (X [0, ]).

Poglavlje 2 Matematičko očekivanje i varijanca neprekidnih slučajnih varijabli Definicija 2.. Neka je X neprekidna slučajna varijabla s gustoćom f. Matematičko očekivanje (ili kraće očekivanje) od X, u oznaci EX, definiramo sa EX = + tf(t) dt, ako taj integral postoji. Varijancu od X, u oznaci VarX, definiramo sa VarX = + (t EX) 2 f(t) dt, ako taj integral postoji (uz pretpostavku da postoji i EX). Napomena 2.. () Ako neprekidna slučajna varijabla X ima varijancu, tada vrijedi VarX = EX 2 (EX) 2. (2) Neka je X neprekidna slučajna varijabla te g : R R Borelova funkcija. Tada vrijedi ako taj integral postoji. E[g(X)] = + g(t)f(t) dt, Zadatak 2.2. Izračunajte očekivanje i varijancu slučajne varijable s uniformnom razdiobom. DZ 2.3. Neka je X Exp (λ). Dokažite da je EX = λ i VarX = λ 2. 38

39 DZ 2.4. Neka je X Dexp (λ). Dokažite da je EX = 0 i VarX = 2 λ 2. Zadatak 2.5. Neka je X N(µ, σ 2 ). Izračunajte EX i VarX. Zadatak 2.6. Dana je funkcija f(x) = kxk [2,4] (x), x R. (a) Odredite konstantu k tako da f bude funkcija gustoće neke neprekidne slučajne varijable, koju označimo s X. (2) Izračunajte P (2 X 3). (3) Izračunajte EX i VarX. DZ 2.7. Dana je funkcija f(x) = A cos xk [ π 2, π 2 ] (x), x R. Odredite konstantu A tako da f bude funkcija gustoće neke neprekidne slučajne varijable, koju označimo s X. Pronadite funkciju distribucije od X te izračunajte EX i VarX.

Poglavlje 3 Normalna razdioba. Centralni granični teorem Napomena 3.. Za X N(µ, σ 2 ) vrijedi: () P (a X b) = b funkcija gustoće od X; a f(x) dx (a < b), gdje je f(x) = σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, x R, (2) EX = µ i VarX = σ 2 ; (3) Y = X µ N(0, ); σ ( b µ ) ( a µ ) (4) P (a X b) = Φ Φ (a < b), gdje je Φ(x) = x σ σ 2π 0 x R; ( ɛ ) (5) P ( X µ ɛ) = 2Φ (ɛ > 0). σ e t2 2 dt, Zadatak 3.. Na temelju mnogobrojnih mjerenja u nekoj se regiji došlo do zaključka da je visina muškaraca u toj regiji normalno distribuirana s očekivanjem µ = 70 cm i standardnom devijacijom (to je pozitivni drugi korijen iz varijance) σ = 6 cm. Izračunajte vjerojatnost da visina slučajno izabranog muškarca u toj regiji bude u granicama od 82 cm do 9 cm. Zadatak 3.2. Neka je X N(µ, σ 2 ). Izračunajte P (µ 3σ X µ + 3σ). Zadatak 3.3. Neka je X N(6, 6). Nadite simetričan interval oko točke µ = 6 u kojem slučajna varijabla X poprima vrijednosti s vjerojatnošću: (a) 0.95; 40

4 (b) 0.99. Zadatak 3.4. Neka je X N(0, ). Izračunajte: (a) P (X.64); (b) P (.96 X.96); (c) P ( X ). DZ 3.5. Alatni stroj proizvodi odredene proizvode. Na temelju brojnih mjerenja zapaženo je da je duljina X gotovih proizvoda normalna slučajna varijabla za koju je µ = 20 cm i σ = 0.2 cm. Odredite vjerojatnost da će se duljina slučajno izabranog gotovog proizvoda nalaziti u granicama od 9.7 cm do 20.3 cm. DZ 3.6. Neka je X N(2, 9). Odredite P (X 2 > 3). Teorem 3.7. (Centralni granični teorem za Bernoullijevu shemu) Neka je X B(n, p). Za velike n, X je približno normalna slučajna varijabla s parametrima np i npq (q = p), tj. za velike n vrijedi ( P a X np ) b b e x2 2 dx (a < b). npq 2π Teorem 3.8. (Lévyjev centralni granični teorem) Neka je (X n ) niz nezavisnih, jednako distribuiranih slučajnih varijabli (tj. slučajne varijable X, X 2,... imaju jednaku distribuciju) s očekivanjem µ i varijancom σ 2 > 0 i n neka je S n = X i (n N). Tada vrijedi ( lim P a S n nµ ) n σ n b = 2π b a a e x2 2 dx = Φ(b) Φ(a) (a < b). Zadatak 3.9. Pretpostavimo da u nekom gradu imamo 200 000 automobila. Neka je prosječna potrošnja benzina po automobilu tjedno µ = 50 litara sa standardnim odstupanjem σ = 8 litara. Da li je dovoljno tjedno osigurati 0 000 000 litara benzina pa da ne bude nestašice? Zadatak 3.0. Proizvodnja meda u sezoni po jednoj košnici iznosi 4 kg sa standardnim odstupanjem 0.5 kg. Koliko košnica treba imati da bi s vjerojatnošću 0.97 ukupna proizvodnja meda bila barem 800 kg? DZ 3.. Broj automobila koji produ kroz jedno križanje tijekom jedne minute je slučajna varijabla s Poissonovom razdiobom P (6). Kolika je vjerojatnost da će tijekom 2 sata kroz križanje proći barem 700 automobila? Vrijedi: EX = EX 2 =... = µ i VarX = VarX 2 =... = σ 2.

Poglavlje 4 Osnove deskriptivne statistike. Linearna korelacija Osnovni pojam u statistici jest skup nekih elemenata čija zajednička svojstva izučavamo. Taj skup zovemo populacija, a njegove elemente statističke jedinice. Kod svakog elementa populacije zanimati će nas neka njegova numerička karakteristika, koju zovemo (statističko) obilježje. Neka populaciju čini skup Ω = {ω, ω 2,...}. Obilježje X elemenata populacije Ω, svakom elementu ω i Ω pridružuje odredenu numeričku karakteristiku X(ω i ). Prema tome, obilježje X elemenata populacije Ω, jest funkcija X : Ω R. Primjer 4.. Neka populaciju čine svi stanovnici u nekom gradu. Jedno obilježje elemenata populacije je naprimjer visina svakog stanovnika. Definicija 4.. Neka populacija Ω ima ukupno N elemenata i neka je X obilježje populacije Ω, dakle je X : Ω R. Kako je skup Ω konačan, funkcija X poprima konačno mnogo različitih realnih vrijednosti. Neka su x,..., x k sve različite vrijednosti obilježja X. Za i =,..., k neka je N i broj elemenata ω iz populacije Ω za koje je X(ω) = x i. Razdiobu obilježja X čine vrijednosti x,..., x k s odgovarajućim brojevima N,..., N k. Broj N i zovemo frekvencija vrijednosti x i, broj N i relativna N frekvencija vrijednosti x i, a broj N zovemo duljina populacije. Napomena 4.2. Često je populacija prevelika te ne možemo lako ni bez velikih troškova ispitati obilježje kod svakog elementa populacije. Naprimjer, ako populaciju čine sve žarulje proizvedene u nekoj tvornici žarulja u jednom mjesecu i ako je obilježje vrijeme trajanja žarulje, tada bismo ispitivanjem vijeka trajanja svake žarulje (prije puštanja u prodaju) zapravo uništili cijelu proizvodnju žarulja u tom mjesecu. Zato se često iz populacije izdvaja jedan dio elemenata te se na njemu ispituje obilježje pa se dobiveni rezultati poopćavaju na cijelu populaciju. Ostaje pitanje reprezentativnosti takvog Vrijedi N +... + N k = N. 42