ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (x)= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 9 Α. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x Aτοπικό μέγιστο; Σελίδα από 8 Μονάδες 6 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό. β) Αν x θέση τοπικού ακροτάτου μιας συνάρτησης f τότε ισχύει πάνταf '(x ). γ) Αν f '(x) για κάθε x R *τότε η f είναι σταθερή στο R*. δ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα x του πεδίου ορισμού της τότε η f είναι παραγωγίσιμη σε αυτό. ε) Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση δευτέρου βαθμού δεν έχει ασύμπτωτες. Μονάδες Θέμα Β x, x Έστω η συνάρτηση: f(x) η οποία είναι συνεχής στο. x e, x Β. Να δείξετε ότι α=. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x=. Μονάδες 5 Β3. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. Μονάδες 7
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 Β4. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της f(x)=λ για τις διάφορες τιμές του. Μονάδες 9 Θέμα Γ Έστω συνάρτηση f:rr με f(x)x x, xr. Γ. Να δείξετε ότι f(x), xr. Μονάδες 5 Γ. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την f -. Μονάδες 6 Γ3. Να υπολογίσετε το dx. x Μονάδες 7 Γ4. Να βρεθεί το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική 3 παράσταση της C f, x, x. 4 Μονάδες 7 Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση f:[, ] R η οποία είναι συνεχής και ισχύει η σχέση: x f (x)dx xf(x)e dx (. 4 e ) Δ. Να υπολογισθεί το x x e dx. Μονάδες 4 Δ. Δείξτε ότι ο τύπος της f είναι f(x)xe x, x[, ]. Μονάδες 7 Δ3. α) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Αν επιπλέον η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [, e] Δ4. Αν ισχύει e f (x) να υπολογισθεί το I f (x)e dx. Μονάδες 6 f(x)dx f (x)dx e με α[,], β[,e] να βρείτε τους αριθμούς α και β. Μονάδες 8 Σελίδα από 8
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 Απαντήσεις Θέμα Α Α. Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε x x ϵ Δ ισχύει f(x ) = f(x ). Πράγματι Αν x = x, τότε προφανώς f(x ) = f(x ). Αν x < x, τότε στο διάστημα [x,x ] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής. Επομένως, υπάρχει ξ ϵ (x,x ) τέτοιο, ώστε Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f ʹ(ξ) =, οπότε, λόγω της (), είναι f(x ) = f(x ). Αν x < x, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι f(x ) = f(x ). Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι f(x ) = f(x ). Α. Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x ϵ A τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε f(x) f( x ) για κάθε x ϵ A ( x δ, x + δ). Το x λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το f( x ) τοπικό μέγιστο της f. Α3. α) Σ, β) Λ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Σ Θέμα Β B. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο συνεπώς και στο x=, άρα limf(x) limf(x) f() x x x x Σελίδα 3 από 8 limf(x) lim (x ), f() x limf(x) lim(e ) e, συνεπώς : x x () e. x Θεωρούμε g(x) e x, x. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως σύνθεση και διαφορά παραγωγίσιμων με: x x g (x) e ( x) e άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο. Για x= είναι: g() e. Το x= είναι μοναδική ρίζα αφού η g είναι γνησίως φθίνουσα, άρα και «-». Επομένως α=.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 f(x) f() x (x )(x ) lim lim lim lim(x ) x x x x x x x B. x f(x) f() e x x x DLH x lim lim lim( e ) άρα x x f(x) f() f(x) f() lim lim x x x x συνεπώς η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x=. x, x B3. Για α=f(x) x e, x Για κάθε x< η f είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με f (x) (x ) x f (x) x,f (x) x, f (x) x (,). Για κάθε x> η f είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση και διαφορά x x x παραγωγίσιμων με f (x) (e ) e ( x) e. Η f είναι συνεχής στο άρα είναι x γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα (,],[, ) και f γνησίως αύξουσα στο [,]. f H f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για x= το f() =. H f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για x= το f()=. Για το σύνολο τιμών έχουμε: f((,)) (limf(x),limf(x)) (, ) αφού είναι: x x x x limf(x) lim (x ) lim x f([,]) [f(),f()] [,] f((, )) (limf(x),limf(x)) (,), x x x y x y αφού είναι: limf(x) lim (e ) lim (e ). x x y x Το σύνολο τιμών της f είναι η ένωση των παραπάνω διαστημάτων, δηλαδή: f( ) f((,)) f([,]) f((, )) [, ). B4. Αν η εξίσωση f(x)=λ είναι αδύνατη γιατί f( ). Αν η εξίσωση f(x)=λ έχει μοναδική λύση γιατί f([,])η f είναι μονότονη στο [,] και f((,)), f((, )). Σελίδα 4 από 8
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 Αν η εξίσωση f(x)=λ έχει τρεις ακριβώς ρίζες γιατί f([,]), f((,)), f((, )) και η f είναι μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα (,),[,],(, ). Αν η εξίσωση f(x)=λ έχει δύο ρίζες γιατί f((,)), f([,])η f είναι μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα (,),[,] και f((, )). Αν η εξίσωση f(x)=λ έχει μοναδική λύση γιατί f((, )) η f είναι μονότονη στο (, ) και f((,)), f([,]). Θέμα Γ Γ. f(x) x x x x () Αν x, () x x, ισχύει Αν x, η () ισχύει αφού x. Συνεπώς f(x) για κάθε xr. Γ. H f είναι παραγωγίσιμη στο R με Σελίδα 5 από 8 x x x x f(x) f '(x) x x x x Για κάθε xr, f(x) f(x) και x, xr, άρα f (x), xr, δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα και «-», συνεπώς αντιστρέφεται. Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο τιμών της f, f(r). lim f(x) lim(x x ) lim x x x (x x )(x x ) x x lim, αφού x x x lim(x x ) x, αφού x lim x lim(x x ) x x x, Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, άρα f(r) (lim f(x), lim f(x)) (,). x D (,) f x Θέτουμε f(x)y lim x x x x y x x y x (x y).
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 x x xyy xyy x x y Οπότε f (x),x. x Γ3. f '(x) dx dx ln f(x) ln( f() ln f() x f(x) y ln ln ln( ) Γ4. Είναι f(x), xr, άρα f(x)dx. 3 4 Θέτω f(x)u xf (u), dx(f (u)) du. Για 3 x : f (u) 3 f () u 4 4 Για x: f (u)f () f "" u u E u(f (u))' du [uf (u)] f (u)du f ( ) f ( ) du u 3 3 u ( ) (u )du ln u 4 u 3 3 ln ln ln.. 4 Θέμα Δ Δ. x x x x x e dx x (e )'dx [x e ] xe dx Σελίδα 6 από 8
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 x e x(e )'dx x x x e [xe ] e dx e e [e ] (e ) 4 4 Δ. Είναι: x f (x)dx xf(x)e dx x x e dx x x f (x)dx xf(x)e dx (xe ) dx x (f(x) xe ) dx Σελίδα 7 από 8 x (f(x) xe ) dx x Αν υπάρχει x [,]: (f(x ) xe ), τότε, άτοπο. Άρα (f(x)xe x ), x[,] f(x)xe x f(x)xe x, x[,]. Δ3. α) Είναι f (x)e x xe x (x)e x, άρα f γνησίως αύξουσα στο [,], οπότε f, άρα αντιστρέφεται. f ή f([,]) [f(),f()] [,e] A f β) Είναι f() ex f f () και f()e f f (e). f (x). Ισχύει f(x)xe x, x[,], για x το f (x) έχουμε ότι: f (x) f (x) f(f (x)) f (x)e x f (x)e, x [,e] Άρα e e e Δ4. Είναι f (x) e f (x)e dx xdx [x ]. e f(x)dx f (x)dx () Θέτουμε xf(u), dxf (u)du και x f(u) f()f(u) u
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 xe ef(u) f()f(u) u, άρα e f (x)dx f (f(u))f '(u)du uf '(u)du xf '(x)dx. και (): Ισχύει f(x)dx xf '(x)dx (xf(x))' dx [xf(x)] f() e f(x)dx f (x)dx e f(x)dx f (x)dx e f(x)dx f (x)dx e f(x)dx f(x)dx f (x)dx f (x)dx f(x)dx f (x)dx e Είναι f(x), x[,] και f (x), x[,e]. Αν α, τότε Αν βe, τότε Δηλαδή, f(x)dx. f (x)dx. e f(x)dx f (x)dx, άτοπο, άρα α και βe. e Από το Μαθηματικό Τμήμα των Φροντιστηρίων Πουκαμισάς Ηρακλείου συνεργάστηκαν : Γ. Ανδρουλιδάκης, Μ. Βυνιχάκης, Α. Δουλγεράκης, Μ. Μπαρμπούνη, Ζ. Μπομπότη, Π. Σιδερής, Α. Τσιλιφώνης. Σελίδα 8 από 8