ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Ι 6
ΑΣΚΗΣΗ. ύο σφίρες φορτίου q κι µάζς m g, κρέµοντι πό το ίδιο σηµείο µε νήµτ µήκους 40cm. Αν οι σφίρες ισορροπούν ότν τ νήµτ σχηµτίζουν γωνί φ 60 ο, ν ρεθεί το φορτίο q. ίνοντι g 0m/s κι ε ο 8,85x0 - F/m. φ Ty T φ/ Fc Tx B Σε κάθε σφίρ σκούντι το άρος Β, µι πωστική ηλεκτρική δύνµη (δύνµη Cumb) F c κι η τάση του νήµτος Τ. Ανλύουµε την τάση Τ σε δύο ορθογώνιες συνιστώσες T x κι T y. Θεωρώντς ισορροπί δυνάµεων στον οριζόντιο κι κτκόρυφο άξον έχουµε: φ q ΣFx 0 Tx Fc T sin 4πε φ ΣFy 0 Ty B T cs mg ιιρώντς κτά µέλη τις δύο τελευτίες σχέσεις: φ tan q 4πε mg Επιλύνοντς ως προς το φορτίο: q πε mg tan( φ / ). Επειδή τ νήµτ κι η πόστση µετξύ των φορτίων σχηµτίζουν ισόπλευρο τρίγωνο έπετι ότι. Εποµένως: 64
q πε mg tan φ ( / ) 5,6x0 7 C. ΑΣΚΗΣΗ. ύο όµοι ηλεκτρικά φορτί Q Q µc είνι τοποθετηµέν στις δύο κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς 0cm. Ν υπολογιστεί η έντση του ηλεκτρικού πεδίου που σχηµτίζετι στην τρίτη κορυφή. ίνετι ε ο 8,85x0 - F/m. Ε Α Ε Α Ε Α Α Το φορτίο Q δηµιουργεί στο σηµείο Α έντση Ε Α ίση µε 6 Q x0 N A 900000. 4πε a 4x,4 x8,85x0 x C Β Q Γ Q ( 0,) Οµοίως το φορτίο Q δηµιουργεί στο σηµείο Α έντση Ε Α ίση µε Q N A 900000. 4πε a C Η συνολική έντση στο σηµείο Α ρίσκετι πό τη δινυσµτική άθροιση των επιµέρους πεδίων Ε Α κι Ε Α. Η σχέση που χρησιµοποιούµε ονοµάζετι νόµος συνηµιτόνου κι πρτηρούµε ότι τ δινύσµτ σχηµτίζουν γωνί ίση µε φ 60 ο. 65
A A A A + A + x A + A A + A A csφ A csφ N C ( 900000) + x900000x900000 cs60 559000. ΑΣΚΗΣΗ. Σφίρ κτίνς 5cm έχει χωρική πυκνότητ φορτίου ρ V x0-6 C/m. Η σφίρ περικλείετι πό σφιρικό φλοιό κτίνς 0cm µε επιφνεική πυκνότητ φορτίου ρ S x0-7 C/m. Ν υπολογιστεί η έντση Ε στο τυχίο σηµείο του χώρου που πέχει πόστση > πό το κοινό κέντρο. Το πρόληµ προυσιάζει σφιρική συµµετρί. Επιλέγουµε µι σφιρική επιφάνει S µε κτίν ίση µε. Το διάνυσµ της έντσης θ έχει τη διεύθυνση της κτίνς κι θ έχει στθερό µέτρο σε όλη την επιφάνει της εξωτερικής σφίρς. Η εφρµογή του νόµου του Gauss δίνει. Φ Q ολ ε ds Q S Το ολικό φορτίο ισούτι µε το φορτίο Q ρ V V της εσωτερικής σφίρς συν το φορτίο Q ρ S S της ενδιάµεσης σφίρς. Αντικθιστώντς τις εκφράσεις την επιφάνει S, τον όγκο V κι το εµδόν S ολ 66
67 ( ). 40 4 4 4 + + C N S V S V ε ρ ρ π ρ π ρ π ε ΑΣΚΗΣΗ.4 Ν υπολογιστεί η έντση Ε κι το δυνµικό φ σε έν σηµείο που πέχει πόστση > R πό τον άξον ενός φορτισµένου κυλίνδρου κτίνς R 0cm. Ο κύλινδρος έχει γρµµική πυκνότητ φορτίο ρ x0-6 C/m κι συνολικό µήκος ίσο µε. ) Το πρόληµ προυσιάζει κυλινδρική συµµετρί. Γι ν εφρµόσω το νόµο του Gauss επιλέγω µι κυλινδρική επιφάνει S µε κτίν ίση µε. Η έντση Ε θ έχει διεύθυνση κάθετη στην πράπλευρη επιφάνει του κυλίνδρου. ( ) Φ C N ds Q S 6000 πε ρ ρ π ε ρ ε ολ ) Η συνάρτηση δυνµικού υπολογίζετι µε πευθείς ολοκλήρωση της έκφρσης γι την έντση του ηλεκτρικού πεδίου. R
φ R R ( ) d 6000 d 6000[ n ] 6000( n R n ) 6000n ( V) R R ΑΣΚΗΣΗ.5 Ν ρεθεί το φορτίο κι η διφορά δυνµικού γι κάθε πυκνωτή του σχήµτος, ν C 8µF, C 5µF, C µf κι V 00V. C V C C V V Οι πυκνωτές C κι C είνι συνδεδεµένοι πράλληλ κι έχουν ισοδύνµη χωρητικότητ C C + C 5 + 8µF. Η χωρητικότητ C είνι σε σειρά µε τον πυκνωτή C κι εποµένως η συνολική χωρητικότητ του συστήµτος θ δίνετι πό τη σχέση C C + C CC C C + C 8x8 4µ F. 8 + 8 Το ολικό φορτίο είνι ίσο µε Q C V 4x0-6 x00 4x0-4 C. Η εν σειρά σύνδεση σηµίνει ότι Q Q Q 4x0-4 C. Γι τη διφορά δυνµικού έχουµε 4 Q 4x0 V 50V V V V 00 50 50V. 6 C 8x0 Τ φορτί υπολογίζοντι ως εξής: 68
Q C V 5x0-6 x50,5x0-4 C. Q C V x0-6 x50,5x0-4 C. 69
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ ΙI 70
ΑΣΚΗΣΗ. Ν επιλυθεί το κύκλωµ µε τη µέθοδο των ελάχιστων ρόχων. R 0Ω R 4Ω 0V V I A R 0Ω V 0V V 0V R5 0Ω R4 6Ω Γι ν εφρµοστεί η µέθοδος, όλες οι πηγές στο κύκλωµ πρέπει ν είνι πηγές τάσης. Μεττρέπουµε ρχικά την πηγή ρεύµτος των A µε την πράλληλη ντίστση των 0Ω σε πηγή τάσης. R 0Ω R 4Ω 0V V R 0Ω V 0V V 0V Ι R5 0Ω Ι V4 40V Ι R4 6Ω Ορίζουµε σε κάθε πλό ρόχο έν ρεύµ µε φορά δεξιόστροφη. Οι εξισώσεις ρόχων γράφοντι ως εξής: 0 0 0 I+ 0( I I ) 0 0 ( I I) + 0( I I ) I + 0( I I ) 0 40 0+ 40 Κάνοντς πράξεις κι εµφνίζοντς σε κάθε ρόχο όλ τ ρεύµτ 7
40I 0I 0I 0I + 50I 0I 0I 0I + 0I 0 60 0 Σε µορφή πινάκων οι εξισώσεις ρόχων γράφοντι 40 0 0 0 50 0 0 I 0 I 0 I 0 60 0 Μπορούµε εύκολ ν διπιστώσουµε ότι ο πίνκς των ντιστάσεων είνι συµµετρικός ως προς την κύρι διγώνιο. Η επίλυση του συστήµτος γίνετι µε τη µέθοδο Camme. Υπολογίζουµε πρώτ τις ορίζουσες 40 0 0 0 50 0 0 0 0 7 0 60 0 0 50 0 0 0 0 7 40 0 0 0 60 0 0 0 0 55 40 0 0 0 50 0 0 60 0 Τ ρεύµτ των ρόχων δίνοντι πό τις σχέσεις 7 55 I,8, A I A I,8A. 7 7 7 ΑΣΚΗΣΗ. Ν γρφούν οι εξισώσεις κόµων. Ν υπολογιστεί το ρεύµ µέσω της ντίστσης 4Ω. R 4Ω Ι I 5Α R 0Ω R Ω 0A I Ι 0 Ι 7
Το κύκλωµ έχει µόνο πηγές ρεύµτος. Οι κόµοι του κυκλώµτος είνι τρεις, θεωρούµε τον έν πό υτούς ως κόµο νφοράς (κόµος 0). Ορίζουµε επίσης ρεύµτ σε κάθε κλάδο µε υθίρετη φορά. Οι εξισώσεις των κόµων κι γράφοντι: Ι + Ι 0 0 Ι - Ι 5 0 Εκφράζουµε τ ρεύµτ κλάδων συνρτήσει των δυνµικών των κόµων. Ή διφορετικά: V V + V V 0 V 4 V 4 0 0 5 0 + V V 0 4 4 V + + V 5 4 0 4 Επίλυση του συστήµτος δίνει V 4,V κι V,5V. Το ρεύµ µέσω της ντίστσης 4Ω εποµένως είνι V V 4,,5 I 4,A. 4 4 Το ρνητικό πρόσηµο υποδηλώνει ότι η πργµτική φορά του Ι είνι ντίθετη πό υτή που ρχικά υποθέσµε. 7
ΑΣΚΗΣΗ. Με το θεώρηµ της επλληλίς (υπέρθεσης) ν υπολογιστεί το ρεύµ I x. R 0Ω R 0Ω I x R4 0Ω Is A R 0Ω Vs 00V 40V Vs Υπολογίζουµε τη συνεισφορά κάθε πηγής στο ρεύµ του κλάδου που µς ενδιφέρει νεκρώνοντς όλες τις υπόλοιπες πηγές. Πηγή 00V R 0Ω V A I x R4 0Ω R 0Ω R 0Ω Vs 00V Είνι 0 / VA VA 00V 4,7V I x,47 A. 0 + 0 / 0 Πηγή 40V 40V Vs I x R4 0Ω R 0Ω R 0Ω R 0Ω V B 74
Είνι 4 VB VB 40V,4V I x,4 A. 0 + 4 0 Πηγή Α Ι x R4 0Ω Is A R 0Ω R 0Ω R 0Ω Από το διιρέτη ρεύµτος που σχηµτίζετι έχουµε /0 I x 0,57A. /0+ /0+ /0+ / 0 Το ρεύµ I x υπολογίζετι πό την υπέρθεση των τριών ρευµάτων λµάνοντς υπόψη τη φορά τους. I I x I x+ I x 0,855 A. x ΑΣΚΗΣΗ.4 Ν υπολογιστεί η ισχύς στην ντίστση R L µε τη οήθει του θεωρήµτος Thevenin. R 0Ω R 0Ω R 0Ω RL,5Ω R5 5Ω R4 0Ω V 8V Αποσυνδέουµε το φορτίο R L κι νεκρώνουµε την πηγή τάσης (ντικθιστώντς την µε ρχυκύκλωµ). 8V 75
R 0Ω R 0Ω R 0Ω R5 5Ω R4 0Ω Η ντίστση κοιτάζοντς το κύκλωµ πό τ σηµεί κι είνι R 0 + 5 // [0 + (0//0)] 0 + 5 // 5 0 + 7,5 7,5Ω. Αυτή είνι κι η ντίστση του ισοδύνµου κυκλώµτος Thevenin. Επνφέρουµε στη συνέχει την πηγή των 8V κι υπολογίζουµε την τάση V (τάση Thevenin). R 0Ω R 0Ω R 0Ω R5 5Ω R4 0Ω V 8V Γι την πλοποίηση του κυκλώµτος µεττρέπουµε την πηγή τάσης σε ρεύµτος. R 0Ω R 0Ω R5 5Ω R4 0Ω R 0Ω 0,8A I 76
Ο πράλληλος συνδυσµός των R κι R 4 ισοδυνµεί µε µι ντίστση 5Ω. Επιπλέον µεττροπή της πηγής ρεύµτος (µε πράλληλη ντίστση 5Ω) σε τάσης δίνει το πρκάτω κύκλωµ. R 5Ω R 0Ω δ R 0Ω R5 5Ω V 4V γ Επειδή η R δεν διρέετι πό ρεύµ δεν υπάρχει πτώση τάσης πάνω της. Κτά συνέπει η τάση V ισούτι µε τη τάση V γδ. Η V γδ µπορεί πευθείς ν υπολογιστεί πό το διιρέτη τάσης που σχηµτίζετι. 5 V γδ V 4V V. 5 + 5 Σχηµτίζουµε το ισοδύνµο κύκλωµ Thevenin κι συνδέουµε το φορτίο R L. Rth 7,5Ω Ι L RL,5Ω Vth V Το ρεύµ ρόχου είνι Ι L V/(7,5 +,5) 0,05A. Η ισχύς στο φορτίο είνι P ( 0,05) x,5,5mw. L I L RL 77
ΑΣΚΗΣΗ.5 Ν υπολογιστεί η ισχύς στην ντίστση R L µε τη οήθει του θεωρήµτος Ntn. R 4,5Ω RL Ω R Ω R,5Ω 4A I Νεκρώνουµε την πηγή ρεύµτος (ντικθιστώντς τη µε νοικτό κύκλωµ) κι ποµκρύνουµε το φορτίο. R 4,5Ω R Ω R,5Ω Η ντίστση που φίνετι πό τ σηµεί κι είνι: R // (4,5 +,5) // 6,5Ω. R 4,5Ω 4A I R,5Ω R Ω Ι Ν 78
Η ντίστση των Ω ρχυκυκλώνετι κι εποµένως πό το διιρέτη ρεύµτος που σχηµτίζετι 4,5 I N 4A A. + 4,5,5 Το ισοδύνµο κύκλωµ Ntn µε συνδεδεµένο το φορτίο δίνετι πρκάτω. I L RL Ω RN,5Ω A IN Από το διιρέτη ρεύµτος που σχηµτίζετι το ρεύµ I L θ είνι: I L A 0,A. +,5 Η ζητούµενη ισχύς δίνετι πό τη σχέση P ( 0,) x 0,W. L I L RL 79
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ ΙIΙ 80
S S ΑΣΚΗΣΗ. Ν ρεθεί το ρεύµ Ι στο τύλιγµ έτσι ώστε η µγνητική ροή στο δεξιό κι ριστερό σκέλος του µγνητικού κυκλώµτος ν είνι Φ Φ mwb. ίνετι Ν 500 σπείρες, S 0cm, S S 0cm. Η κµπύλη µγνήτισης του σιδηροµγνητικού υλικού δίνετι στον πρκάτω πίνκ. Β(Τ) 0,8 0,9,0,,,,4,5,6,7 Η(Α/cm),85,5,00,95 5,40 7,70,00 7,50 5,50 89,00 ζ Φ Ι 60mm Φ Φ S ε δ 60mm γ ικρίνουµε τις διδροµές όπου λλάζει είτε το υλικό, ή η διτοµή του πυρήν. Ορίζω ως τη διδροµή <δ> 0,6m, ως τη διδροµή <δεζ> 0,4m κι ως τη διδροµή <γδ> 0,4m. Υπολογίζω τη µγνητική επγωγή Β κι έντση Η στ διάφορ τµήµτ. Φ x0 Φ B T B T. 4 S 0x0 S Φ 4x0 Φ Φ + Φ 4x 0 Wb B,T. 4 S 0x0 Από την κµπύλη µγνήτισης (πίνκς) γι τις ντίστοιχες τιµές του Β προκύπτει: 8
A A A A H H 00 H 8 800. cm m cm m Με εφρµογή του νόµου του διρρεύµτος στη διδροµή <γδ> κι θεωρώντς δεξιόστροφη φορά διγρφής H + H 54 I 0,5A. 500 NI 54A ΑΣΚΗΣΗ. Στο κύκλωµ της άσκησης. εισάγουµε διάκενο δ 0,cm. Οι υπόλοιπες διστάσεις κι η κµπύλη µγνήτισης πρµένουν ως έχουν. Ν υπολογιστεί το ρεύµ Ι έτσι ώστε Φ mwb (µ ο 4πx0-7 H/m). ζ Φ Ι S 60mm Φ Φ S S δ ε δ 60mm γ Υπολογίζουµε πρώτ τη µγνητική επγωγή Β δ στο διάκενο. Φ x0 B δ B T. 4 S 0x0 Γι τον υπολογισµό της έντσης στο διάκενο χρησιµοποιούµε τη σχέση H δ B 4πx0 δ 7 µ A 796000. m 8
Από την κµπύλη µγνήτισης γι Β Τ προκύπτει Η A/cm 00A/m. Εφρµόζω το νόµο του διρρεύµτος στη διδροµή <γδεζ>. H H + H H + H + H δ δ δ δ 0 A 00. m Από την κµπύλη µγνήτισης ρίσκω Β,48Τ κι εποµένως Φ Φ B B Φ Φ S S + Φ,48x 0x0 4,96x0 0x0 4,96mWb. 4 4,65T.,96mWb. Από την κµπύλη µγνήτισης Η 69,5A/cm 6950A/m. Το ζητούµενο ρεύµ µπορεί ν υπολογιστεί µε εφρµογή του νόµου του διρρεύµτος στη διδροµή <γδ>. H H H + + δ δ 0 I 4,06A. 500 NI 0A. ΑΣΚΗΣΗ. Γι το σωληνοειδές του σχήµτος ν υπολογιστεί ο συντελεστής υτεπγωγής ν 6cm, d cm, N 00 κι µ ο 4πx0-7 H/m. d Η µγνητική ροή µέσ πό µι σπείρ επιφάνεις S ισούτι µε I Φ BS NI πd µ HS µ 4. 8
Όπου η έντση Η ντικθίσττι µε ΝΙ/ πό το νόµο του διρρεύµτος κι η επιφάνει S εκφράζετι συνρτήσει της διµέτρου d. Από τη σχέση ορισµού ο συντελεστής υτεπγωγής είνι ( 0,0) NΦ πd 7,4 x L µ N 4πx0 x00 66µ H. I 4 4x0,06 Η ποσότητ L είνι πολύ µικρή κι η τιµή της µπορεί ν υξηθεί σηµντικά τυλίγοντς το πηνίο γύρω πό πυρήν σιδηροµγνητικού υλικού. ΑΣΚΗΣΗ.4 Η µγνητική ροή σε έν κύκλωµ ως συνάρτηση του χρόνου δίνετι στο διάγρµµ που κολουθεί. Αν Ν 5 σπείρες, ν υπολογιστεί η επγόµενη στο πηνίο τάση. Φ(t) 0, 0,0 0,04 0,06 0,08 γ t -0, ικρίνουµε τρί ευθύγρµµ τµήµτ τ, κι γ που µπορούµε ν εκφράσουµε µε τη οήθει της εξίσωσης ευθείς. Γι την ευθεί που περνά πό τ σηµεί (t, Φ ) κι (t, Φ ) η εξίσωση είνι Φ t Φ t Φ Φ t t. Αντικθιστώντς τις ντίστοιχες τιµές οι εξίσωση της ροής ως συνάρτηση του χρόνου γι κάθε έν πό τ ευθύγρµµ τµήµτ, κι γ είνι ) Φ -0t ) Φ -0,4 + 0t γ) Φ 0,8 0t. 84
Η επγόµενη τάση προκύπτει µε πολλπλσισµό επί Ν κι πευθείς πργώγιση των πρπάνω σχέσεων. ) ) γ ) dφ N 5 dt dφ N 5 0 dt dφ N 5 dt ( 0) ( ) 50V 50V ( 0) 50V Η µορφή της τάσης φίνετι στο σχήµ. Ε(t) 50 0,0 0,04 0,06 0,08 t -50 85