ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο Ορισμού Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των αριθμών που μπορούμε να «βάλουμε» στη θέση του και να έχει νόημα ο τύπος της () (δηλαδή να βγαίνει αποτέλεσμα)περιορισμούς στις τιμές του έχουμε στις περιπτώσεις: Αν ο τύπος της είναι πηλίκο (κλάσμα) τότε η έχει πεδίο ορισμού όλο το R εκτός από τις τιμές του που μηδενίζουν τον παρανομαστή του κλασματος Αν ο τύπος της έχει ριζικά τότε πρέπει οι τιμές του που βρίσκονται «μέσα» στη ρίζα να είναι θετικές ή μηδέν Αν ο τύπος της έχει λογάριθμο τότε πρέπει οι τιμές του που βρίσκονται «μέσα» στο λογάριθμο να είναι θετικές Αν δεν έχουμε κάποιον από τους περιορισμούς τότε πεδίο ορισμού είναι το R ) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : () 5 Να υπολογιστούν οι τιμές : α) () β) () γ) ( ) δ) ε) () στ) ( ) ) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : () Να υπολογιστούν οι τιμές : α) () β) ( ) γ) () δ) ε) () στ) ( ) 5 ) Δίνεται η συνάρτηση πολλαπλού τύπου: () Να υπολογιστούν οι τιμές : α) () β) () γ) ( ) δ) ε) () στ) 5 4 4) Δίνεται η συνάρτηση πολλαπλού τύπου: g() 5 Να υπολογιστούν οι τιμές : α) g ( ) β) g (4) γ) g () 5 g ε) g ( ) στ) g 4 δ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P( ) Q ( ) ( ) Q( ) ( ) v P( ) P ( ) ( ) ln P( ) P ( ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i ( ) ii ( ) iii ( ) iv ( ) ln e Λύση : i Πρέπει : & Άρα D ii Πρέπει : [ ] Άρα D [ ] iii Πρέπει : () και () Έχω - + - + - Άρα επειδή θέλω [ ] () Από () & () D [ ) ( ] iv Πρέπει : e e e e Άρα D () ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i ( ) ii ( ) 4 iii 5 ( ) 5 6 iv ( ) v ( ) 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ vi ( ) vii ( ) viii ( ) 9 i ( ) 5 6 ( ) 4 ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i ( ) ln( ) ii ( ) ln( ) iii ( ) ln( ) iv ( ) ln(4 ) v ( ) ln 5 4) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 4 i ( ) ii ( ) 5 6 ln( ) iii ln( 5) ( ) 4 iv ( ) 6 v ln( 9) ( ) 7 vi ( ) ln( ) vii 5 6 ( ) 4 5) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων : i () = ii () = iii () = 4 iv () = ln( ) v () = 5 vi () = vii () = 4 viii () = ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης (συμβ C ) ισχύουν τα παρακάτω : Για όλα τα σημεία ( y) που ανήκουν στη C ισχύει y () Δηλ ( ( )) Πιο συγκεκριμένα το σημείο ( ) C αν και μόνο αν Η C βρίσκεται πάνω από τον ( ) Η C βρίσκεται κάτω από τον ( ) Η C βρίσκεται πάνω από τη C g ( ) g( ) Η C βρίσκεται κάτω από τη C g ( ) g( ) ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΜΕ ΑΞΟΝΕΣ Η C τέμνει τον σε σημεία της της μορφής ( ) οπότε για να τα βρούμε λύνουμε την εξίσωση y ( ) Η C τέμνει τον y y σε σημεία της της μορφής y ) οπότε για να τα ( βρούμε βάζουμε όπου το δηλ υπολογίζουμε το () Για να βρούμε κοινά σημεία C και C g λύνουμε την εξίσωση ( ) g( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 5) Δίνεται η συνάρτηση ( ) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(5) και Β(7) ανήκουν στην καμπύλη της 6) Να βρεθούν οι τιμές των ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) να διέρχεται από τα σημεία Α(-) και Β(7) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θα λέμε ότι μια συνάρτηση : ( ) ( ) R έχει όριο τον πραγματικό αριθμό όταν το τείνει στο αν οι τιμές της () βρίσκονται οσοδήποτε κοντά στον αριθμό όταν το είναι αρκετά κοντά στο (αλλά δεν γίνεται απαραίτητα ίσο με το ) Θα συμβολίζουμε : () Όταν δοθεί ο τύπος της () και ο αριθμός το όριο υπολογίζεται απλώς αντικαθιστώντας το με το και κάνοντας τις πράξεις εκτός : Αν η είναι πολλαπλού τύπου (δηλαδή έχει περισσότερους από έναν τύπους) και το είναι το σημείο αλλαγής του τύπου Τότε υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια () και () Αν είναι () = () = τότε το όριο υπάρχει και είναι το : Αν είναι () () () τότε το όριο δεν υπάρχει Αν η έχει κλασματικό τύπο και μετά την αντικατάσταση έχουμε την απροσδιόριστη μορφή Τότε παραγοντοποιούμε και αριθμητή και παρανομαστή (συνήθως με τη μέθοδο Horner ή με τη συζυγή παράσταση όταν έχουμε ρίζες) και απλοποιούμε το κλάσμα και μετά ξανακάνουμε αντικατάσταση Αν δεν δίνεται ο τύπος της αλλά δίνονται τα όρια συναρτήσεων που συμπεριλαμβάνουν την Τότε χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των ορίων Ιδιότητες ορίων Αν οι συναρτήσεις και g έχουν όρια στο πραγματικούς αριθμούς δηλαδή αν () και g( ) όπου R τότε ισχύουν: o o ( () g()) () g() (() g()) () g() () () g() g( ) () () ( ()) k () v () () k εφόσον k με ν * N αν () κοντά στο κ και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να υπολογίσουμε ένα όριο ( ) αρχικά θέτω όπου το Περίπτωση η Αν το αποτέλεσμα είναι αριθμός l τότε το ( ) l Περίπτωση η Αν μετά την αντικατάσταση προκύψει απροσδιοριστία της μορφής τότε παραγοντοποιώ αριθμητή και παρανομαστή με σκοπό να απλοποιηθεί ο παράγοντας της μορφής Περίπτωση η Αν έχουμε όριο άρρητης συνάρτησης (που περιέχει ρίζες) και προκύπτει η απροσδιοριστία τότε πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση του όρου ή των όρων που περιέχει ρίζα Περίπτωση 4 η Αν προκύψει τότε κάνω ομώνυμα τα κλάσματα και προκύπτει όριο της μορφής οπότε και εργάζομαι όπως παραπάνω ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ : Κοινός παράγοντας : Βγάζουμε κοινό παράγοντα από όλους τους όρους ή κατά ομάδες Ταυτότητες : Συνήθως χρησιμοποιούμε τις Ταυτότητες ( )( ) ( )( ) Τριώνυμο : Αν Δ> τότε )( ) ( ) Αν Δ= τότε ( Αν Δ< τότε το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται Σχήμα Horner : Δόκιμη κάνω πρώτα με το ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Περίπτωση η 7) Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : i ( 5 6 ) ii 9 4 iii ( 7 8) Λύση : 5 5 i ( 6 ) 6 6 8 ii 9 4 9 5 4 iii ( 7 8) ( ) 7 ( ) 8 8 8 8 8 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Περίπτωση η 8) Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : i 4 6 8 ii iii ` iv ( ) 7 Λύση : i ii iii iv 4 8 4 6 ( )( 4) ( 4) 8 ( ) ( 4)( 4) ( )( 4 ) ( )( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( )( )( 4) ( )( 4) ( ) ) ( )[( ) ( ) ] ( 6 9 9 9) 6 9 9 9 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Περίπτωση η 9) Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : i 9 9 ii iii 5 iv 4 5 4 Λύση : i ii iii iv 9 9 ( ( )( (9 )( 9 ) ( ( 5 ( ) ) 9 (9 )( ( ( )( 9 9 ) 6 ) ) ( ) )( 5 )( )( 5 ) 5 )( ) ( 4)( 5 ) ( )( 5 ) ( )( 5 ) ( 5 9)( ) ( 4)( ) ( )( )( 5 ( )( ) 6 6 ( )( ) 4 5 4 4 ( )( 4)( ) 4 ( )( ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Περίπτωση 4 η ) Να υπολογίσετε το όριο : ( ) Λύση : ( ) ( ( )( ) ( )( 8 ) 4 4 ( )( 4)( ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 6 ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: ) Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : i ( ) ii [ln( e )] e iii ( ) iv ( 5 ) v vi (e ln ) ln vii e e viii ln( ) e ) Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : i ( 7 ) ii 9 5 iii ( 5) ) Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια i 4 ii 4 iii 5 iv 4 v vi 6 4 4 vii 5 9 viii 4 5 4 i 6 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 4 4 i 4 5 ii iii iv 7 9 4) Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : i 4 ii iii 7 6 5 6 iv v 5 4 6 6 vi 8 6 vii 4 8 8 viii 4 4 i 7 6 5 6 5) Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : 8 i 9 ii iii iv v vi 4 5 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ vii viii i 6) Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : i ii 5 5 5 iii 4 7 4 iv v 7 49 vi 8 7) Να λυθούν τα όρια : i ii 7 4 iii 4 6 8) Να υπολογιστούν τα όρια : i 5 5 7 iii 6 9) Να υπολογιστούν τα όρια : i 4 iii 4 ii 4 iv 5 ii 4 5 iv 5 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 5 α) β) γ) δ) 4 4 ε) στ) 5 4 4 ζ) η) 8 θ) ι) ) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 9 α) 5 6 γ) ε) 6 9 ζ) θ) 8 4 ια) 5 ιγ) 4 6 β) 4 δ) 4 4 στ) 4 η) 7 ι) 4 6 ιβ) 4 6 5 8 4 ιδ) ) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 8 α) β) 5 9 γ) δ) 9 9 7 6 4 8 ε) στ) 4 4 5 ζ) η) 6 8 θ) ι) 4 5 6 5 ια) ιβ) 5 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 9 α) β) 9 6 γ) δ) 4 4 5 ε) στ) 5 5 ζ) η) 9 9 θ) ι) 5 4 4 4) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: α) 4 4 γ) ε) ζ) 5 θ) 4 5 5) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: α) γ) ε) ζ) 5 β) 9 δ) 9 στ) 4 7 η) 4 ι) 7 β) δ) 8 5 στ) η) 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ A) Το όριο μιας συνάρτησης υπάρχει αν και μόνο αν υπάρχουν τα πλευρικά όρια και είναι ίσα δηλαδή ( ) l l αν και μόνο αν : ( ) ( ) l Αν τα ) (Άσκηση 5 σελ 75 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ) Να βρεθεί (αν υπάρχει) το όριο της () στο αν : i ( ) και 5 ii ( ) και Λύση : i ( ) ii 5 5 ( ) ( ) ( ) Άρα ( ) ( ) ( ) και άρα δεν υπάρχει το ( ) ( ) Άρα ( ) ( ) άρα υπάρχει το ( ) και μάλιστα ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: ) Να βρείτε αν υπάρχει το ( ) όταν i ii ( ) 5 ( ) ) Να βρείτε αν υπάρχει το ( ) όταν i ii πλευρικά όρια μιας συνάρτησης είναι διαφορετικά δηλαδή λέμε ότι δεν υπάρχει το όριο της στο 9 ( ) 5 να βρείτε το ( ) 6 9 ( ) να βρείτε το ( ) 9 ( ) ( ) τότε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ iii ( ) να βρείτε το ( ) iv ( ) να βρείτε το ( ) ) Έστω η συνάρτηση : () 5 Να υπολογίσετε τα όρια : α) () γ) () β) () δ) () 4) Δίνεται η συνάρτηση : Να υπολογίσετε τα όρια : α) () γ) () () 9 9 β) () δ) () 5) Να υπολογιστούν αν υπάρχουν τα () συναρτήσεις : α) () β) () 4 γ) () δ) και () 6 () 4 σε καθεμιά απο τις παρακάτω ε) () 6) Να υπολογιστούν τα ζητούμενα όρια για τις παρακάτω συναρτήσεις : α) 6 () τα () () 8 ) ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο β) () : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4 τα () () γ) 5 () 4 4 τα () () () δ) () = 5 7 τα () () () ε) () 4 τα () () 7) Να υπολογιστούν τα ζητούμενα όρια για τις παρακάτω συναρτήσεις : α) () = 5 6 τα () () β) () = τα () () γ) () τα () () ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ B) ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8) Δίνεται συνάρτηση ( ) Να βρείτε τις τιμές των για τις οποίες ισχύει ( ) Λύση : ( ) ( ) ( ) Έχω : ( ) ( ) () Επίσης : ( ) ( ) 6 () ( ) 6 6 Τις () και () με πρόσθεση κατά μέλη έχω : 6 6 5 και αντικαθιστώντας στην η 4 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: a 9) Δίνεται η συνάρτηση ( ) όπου α πραγματικός αριθμός Να βρείτε a το α ώστε να υπάρχει το ( ) a a ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) όπου α πραγματικός αριθμός Να ( a ) βρείτε το α ώστε να υπάρχει το ( ) )Δίνεται η συνάρτηση ( ) όπου α β πραγματικοί αριθμοί Να βρείτε τα αβ ώστε να υπάρχουν συγχρόνως τα ( ) και ( ) ) Έστω η συνάρτηση με τύπο : () Να βρείτε την τιμή του α ώστε να υπάρχει το () όπου R ) Έστω η συνάρτηση με τύπο : () 4 όπου R α) Υπολογίστε τα πλευρικά όρια () και () ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ β) Ποιά πρέπει να είναι η τιμή του α ώστε να υπάρχει το όριο () 4) Δίνεται η συνάρτηση : () όπου R α) Υπολογίστε τα πλευρικά όρια () και () β) Ποιές πρέπει να είναι οι τιμές του α ώστε να υπάρχει το όριο () 5) Δίνεται η συνάρτηση : () όπου R α) Υπολογίστε τα πλευρικά όρια () και () β) Ποιές πρέπει να είναι οι τιμές του λ ώστε να υπάρχει το όριο () 6) Δίνεται η συνάρτηση : ( ) 4 όπου R α) Υπολογίστε τα πλευρικά όρια () και () β) Ποιές πρέπει να είναι οι τιμές των α και β ώστε να ισχύει () 7) Δίνεται η συνάρτηση : ( ) όπου R Να βρείτε τους R αν γνωρίζετε ότι υπάρχει το όριο ( ) και ότι ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Συνέχεια συνάρτησης σε σημείο Έστω A R και Α Θα λέμε ότι η συνάρτηση : A R είναι συνεχής στο αν και μόνο αν ισχύει ότι : ( ) ( ) Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Σε ανοιχτό διάστημα (α β) Μια συνάρτηση : ( ) R λέγεται συνεχής στο διάστημα (α β) αν είναι συνεχής σε κάθε (α β) Σε κλειστό διάστημα [α β] Μια συνάρτηση : [ ] R λέγεται συνεχής στο διάστημα [α β] αν είναι συνεχής σε κάθε (α β) και επιπλέον ισχύει ότι : () ( ) και () ( ) Όλες οι συναρτήσεις (τριγωνομετρικές πολυωνυμικές εκθετικές λογαριθμικές και όσες προκύπτουν από πράξεις μεταξύ αυτών) είναι συνεχείς σε όλο το πεδίο ορισμού τους Οι συναρτήσεις που μπορεί να μην είναι συνεχείς είναι αυτές που έχουν πολλούς τύπους Αυτές πρέπει να ελέγχονται ως πρός τη συνέχεια στα σημεία που αλλάζει ο τύπος τους Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων Αν οι συναρτήσεις g : A R είναι συνεχείς στο σημείο Α τότε : Η συνάρτηση h() () g() είναι συνεχής στο Η συνάρτηση h() () είναι συνεχής στο για κάθε κr Η συνάρτηση h() () g() είναι συνεχής στο () 4 Η συνάρτηση h() είναι συνεχής στο αν g( ) g() 5 Η συνάρτηση h() () είναι συνεχής στο 6 Η συνάρτηση h () () με () είναι συνεχής στο Επίσης έχουμε ότι η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση Έστω συναρτήσεις : A R και g : B R με (A) B Αν η είναι συνεχής στο Α και η g στο () B τότε και η σύνθεσή τους g : A R είναι συνεχής στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου εργαζόμαστε ως εξής : Εξηγούμε γιατί είναι συνεχής κάθε κλάδος της συνάρτησης ξεχωριστά στα ανοιχτά διαστήματα που ορίζεται Εξετάζουμε (με τον ορισμό) τη συνέχεια στα σημεία που αλλάζει ο τύπος Αν ( ) ( ) τότε η είναι συνεχείς στο αλλιώς όχι Τονίζουμε ότι για την εύρεση του ( ) εργαζόμαστε με πλευρικά όρια Η δεν είναι συνεχείς στο αν : Δεν υπάρχει κάποιο από τα πλευρικά όρια ή Τα πλευρικά όρια στο υπάρχουν αλλά είναι διαφορετικά ή Τα πλευρικά όρια στο είναι ίσα όχι όμως ίσα με το ) ( ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ) Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο τις παρακάτω συναρτήσεις : 4 i ( ) αν = ii ( ) αν = iii ( ) αν =- Λύση : i Είναι : ( ) ( 4) 8 ( ) ( ) 8 Άρα ( ) ( ) ( ) 8 άρα η () είναι συνεχής στο ii Είναι : ( ) ( ) ( ) Άρα ( ) ( ) ( ) άρα η () είναι συνεχής στο ( )( ) i Είναι : ( ) ( ) Άρα ( ) ( ) άρα η () είναι συνεχής στο ) Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση : ( ) Λύση : i Αν ( ) είναι συνεχής ως πολυωνυμηκή Αν ( ) είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών Θα εξετάσω τώρα αν η () είναι συνεχής στο (σημείο αλλαγής τύπου) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα () 8 ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ( ) Άρα η () δεν είναι συνεχής στο ) ii Αν ( ) είναι συνεχής ως πηλίκο συνέχων Αν ( ) είναι συνεχής Θα εξετάσω τώρα αν η () είναι συνεχής στο (σημείο αλλαγής τύπου) ( ) ( ) ( ) Άρα η () είναι συνεχής στο ( )( ) ) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς στο 4 α) () = 5 e β) () = 4 4) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς στο α)() = στο β)() = στο γ)() = 4 στο δ)() = 5) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς στο α) () = β) () = 5 γ) () = δ) () = 7 4 6) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς στο 5 4 4 7 α) () = 6 6 β) () = 9 4 8 7) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) () = 8 β) () = 6 8) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς α) () β) () 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Αν μια συνάρτηση μας δίνεται ότι είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της και ζητείται να προσδιορίσω κάποιες παραμέτρους τότε κάνω χρήση του ορισμού : H είναι συνεχείς στο τότε ( ) ( ) Αν χρειαστεί κάνω χρήση του ορισμού με τα πλευρικά όρια :H είναι συνεχείς στο τότε : ( ) ( ) ( ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9) (Άσκηση σελ 99 B Ομάδας σχολικό βιβλίο) ( )( ) Αν ( ) να προσδιορίσετε το κ ώστε η 5 () να είναι συνεχής στο Λύση : Η () είναι συνεχής στο ( ) ( ) () ( ) ( )( ) ( ) ( 5) 5 ( ) ( )( ) 4 Άρα 4 ( )Αν ( ) 5 να βρείτε τις τιμές των για τις οποίες η () να είναι συνεχής στο Λύση : Η () είναι συνεχής στο ( ) ( ) () ( ) ( ) 4 5 ( ) ( ) ( ) 5 ) 5() Άρα 5() ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ () : 5 5 () () 5 5 4 ή Για 4 () : 5 4 Για () : 5 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: )Δίνεται η συνάρτηση ( ) a i Για είναι η συνεχής; ii Για ποια τιμή του α η συνάρτηση είναι συνεχής στο χ =; )Δίνεται η συνάρτηση είναι συνεχής ( ) Να βρείτε την τιμή των α β ώστε η να a ) Δίνεται η συνάρτηση : ( ) α) Να υπολογίσετε το ( ) β) Να υπολογίσετε το ( ) 5 6 όπου λ R γ) Να υπολογιστεί η τιμή του λ ώστε η να είναι συνεχής στο 4) Δίνεται η συνάρτηση : ( ) α) Να υπολογίσετε το ( ) β) Να υπολογίσετε το ( ) όπου λ R γ) Να υπολογιστεί η τιμή του λ ώστε η να είναι συνεχής στο 5) Δίνεται η συνάρτηση : ( ) α) Να υπολογίσετε το ( ) 4 4 4 4 όπου λ R β) Να υπολογιστεί η τιμή του λ ώστε η να είναι συνεχής στο 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 6 5 6) Δίνεται η συνάρτηση : () α) Να υπολογίσετε το ( ) β) Να υπολογίσετε το ( ) όπου λ R γ) Να υπολογιστεί οι τιμές του λ ώστε η να είναι συνεχής στο 5 8 4 7) Δίνεται η συνάρτηση : ( ) α) Να υπολογίσετε το ( ) β) Να υπολογίσετε το ( ) γ) Να υπολογιστεί οι τιμές του λ ώστε η να είναι συνεχής στο 8) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : () = α) Να υπολογίσετε το () β) Να υπολογίσετε το () 5 6 γ) Να υπολογιστεί οι τιμές του α ώστε η να είναι συνεχής στο όπου λ R όπου λr 9) Δίνεται η συνάρτηση : () όπου α R α) Να υπολογιστεί οι τιμές του α ώστε η να είναι συνεχής στο β) Είναι η συνεχής στο 4 ; ) Να βρείτε τα α R ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι συνεχείς στο σημείο που αλλάζει ο τύπος τους α) () = 4 β) () = γ) () = 5 δ) () = 4 8 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 5 ) Να βρείτε τα α R ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι συνεχείς στο σημείο που αλλάζει ο τύπος τους

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 α) () = β) () = 4 γ) () = 4 δ) () = 5 9 ε) () = 4 6 5 στ) () = 8 4 4 ) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : α) Να υπολογίσετε το () β) Να υπολογίσετε το () 9 () όπου αβ R γ) Να υπολογιστεί οι τιμές των α και β ώστε η να είναι συνεχής στο ) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : α) Να υπολογίσετε το () β) Να υπολογίσετε το () () 4 όπου αβ R γ) Να υπολογιστεί οι τιμές των α και β ώστε η να είναι συνεχής στο 4) Δίνεται η συνάρτηση : () α) Να υπολογίσετε το ( ) β) Να υπολογίσετε το ( ) 4 όπου αr γ) Να υπολογιστεί οι τιμές του α ώστε η να είναι συνεχής στο 5) Δίνεται η συνάρτηση : 6 ( ) 4 4 4 όπου αβ R ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Να υπολογίσετε το ( ) β) Να υπολογίσετε το ( ) γ) Να υπολογίσετε το ( ) 4 δ) Να υπολογίσετε το ( ) 4 ε) Να υπολογιστεί οι τιμές των α και β ώστε η να είναι συνεχής και στο και στο 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ () : ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ Ή ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΤΗΣ Όταν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο D τότε ( ) ( ) Άρα αν μας ζητείται η τιμή αν μας ζητείται το ( ) τότε αρκεί να βρούμε το ( ) αν η είναι συνεχής στο και μας δίνεται μια ανισοτική σχέση τότε το ( ) το Βρίσκουμε χρησιμοποιώντας πλευρικά όρια και καταλήγοντας στις σχέσεις ( ) ( ) οπότε ( ) ( ) τότε αρκεί να βρούμε το ( ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6) Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ) ( ) για κάθε Να βρείτε την τιμή () Στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο της () Λύση : Είναι ( ) ( ) 5 6 για κάθε 5 6 Αν τότε ( ) ( ) 5 6 ( ) Για να βρούμε το () θα χρησιμοποιήσουμε την συνέχεια της () Δηλ Η () είναι συνεχής για κάθε άρα η () συνεχής και στο άρα ισχύει : 5 6 ( )( ) () ( ) ( ) 5 6 Άρα για τον τύπο της () ισχύει : ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 5 6 7)Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ) ( ) 7 για κάθε Να βρείτε την τιμή () 8)Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει ( ) για κάθε Αν η είναι συνεχής στο να βρείτε το () ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9)Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ) ( ) για κάθε Να βρείτε τον τύπο της )Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο να βρείτε τη τιμή ( ) στις παρακάτω περιπτώσεις : i ( ) ( ) 4 για κάθε και = ii ( ) 5 ( ) για κάθε και = ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8