BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul A = + b + b este un multiplu de 0, rătţi că A este în mod necesr un multiplu de 00 Problem În interiorul unui dreptunghi de rie 5 se consideră 9 poligone de rie Arătţi că există printre ceste poligone două cre se intersecteză, vând ri suprfeţei comune cel puţin 9 Problem 4 ) e dă un prlelogrm ABCD în cre bisectorele unghiurilor sle se intersecteză în punctele E, F, G, H Arătţi că EF GH este dreptunghi b) Dcă ri dreptunghiului EF GH este eglă cu o treime din ri prlelogrmului ABCD, clculţi rportul AB BC Timp de lucru: 4 ore şi 0 de minute
oluţii oficile: Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte oluţie: Din relţi dtă, obţinem xy + yz + zx (x + y + z) = x + y + z + xy + yz + zx = (xy + yz + zx) = (x + y + z ) () Din ineglitte evidentă (x y) + (y z) + (z x) 0 obţinem (x + y + z ) (xy + yz + zx) 0 (x + y + z ) (xy + yz + zx) Astfel, relţi () devine (x + y + z ) (xy + yz + zx) (xy + yz + zx) (xy + yz + zx) xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul A = + b + b este un multiplu de 0, rătţi că A este în mod necesr un multiplu de 00 oluţie: Mi întâi să observăm că dcă unul dintre numerele şi b este impr, tunci unul dintre numerele, b şi b este impr, ir celellte două u ceeşi pritte, deci A = + b + b este impr, cee ce nu convine deorece A este divizibil cu 0 Rămâne că numerele şi b trebuie să fie pre Dcă este divizibil cu 0, ir b nu este divizibil cu 0, tunci numerele şi b sunt divizibile cu 0 dr b nu este divizibil cu 0, prin urmre A = + b + b nu este divizibil cu 0, contrdicţie ă presupunem că niciunul din numerele şi b nu este divizibil cu 0 Numerele şi b u ultim cifră 4 su 6 Dcă unul din ele r ve ultim cifră 4, ir celăllt 6, tunci + b s-r termin în 0, deci r fi divizibil cu 0 Ar rezult că b este divizibil cu 0 Cum şi b sunt pre, r rezult că unul din ele este divizibil cu 0, contrdicţie Rămâne czul în cre şi b u ceeşi ultimă cifră, 4 su 6, dr tunci şi b r ve ultim cifră 4 su 6, cz în cre + b + b n-r fi divizibil cu 0 Ajungem l concluzi că tât cât şi b trebuie să fie divizibile cu 0 şi tunci se vede uşor că A este divizibil cu 00 Problem În interiorul unui dreptunghi de rie 5 se consideră 9 poligone de rie Arătţi că există printre ceste poligone două cre se intersecteză, vând
ri suprfeţei comune cel puţin 9 oluţie: Fie P, P,, P 9 cele nouă poligone de rie ă presupunem prin bsurd că oricre două din poligonele P i r ve în comun o suprfţă de rie mi mică decât 9 Atunci ri poligonului P cre nu este în P este mi mre c 9 În plus, ri poligonului P cre nu este coperită de niciunul din poligonele P şi P este mi mre c 9 9 = 7 Continuând rţionmentul, jungem l sfârşit că 9 ri poligonului P 9 cre nu este coperită de niciunul din poligonele P, P,, P 8 este mi mre c 8 9 = 9 Prin urmre, ri coperită de cele 9 poligone este mi mre c + 8 9 + 7 9 + + 9 + = 5, dică mi mre decât ri dreptunghiului, cee ce este o contrdicţie 9 Problem 4 ) e dă un prlelogrm ABCD în cre bisectorele unghiurilor sle se intersecteză în punctele E, F, G, H Arătţi că EF GH este dreptunghi b) Dcă ri dreptunghiului EF GH este eglă cu o treime din ri prlelogrmului ABCD, clculţi rportul AB BC oluţi : ) Deorece m( A)+m( D) = 80, ir (AE şi (DE sunt bisectorele unghiurilor A şi D, rezultă că m( EAD) + m( EDA) = 90, deci m( F EH) = 90 Anlog se rtă şi despre celellte unghiuri le lui EF GH că sunt drepte, deci cest este un dreptunghi
b) ă notăm cu ri prlelogrmului ABCD, cu s ri dreptunghiului EF GH, cu x riile triunghiurilor congruente DEA şi CGB şi cu y riile porţiunilor din triunghiurile congruente DF C şi AHB cre nu sunt conţinute în dreptunghiul EF GH Atunci vem relţiile: s = şi x + y + s = x + y = () De semene şi y + s = AB v Înlocuind în (), obţinem AB v y = AB v x = BC v + BC v =, deci AB v + BC v = 4 () Deorece vârful G se flă pe bisectorele unghiurilor B şi C, el este egl depărtt de lturile AB, BC şi CD le prlelogrmului, prin urmre Anlog se obţine v = AB AB = BC v v = BC şi, înlocuind în relţi (), găsim BC + BC AB = 4 AB BC + BC AB = 8 şi, notând α = AB, ultim ecuţie devine BC α + α = 8 α 8α + = 0 α = 4 ± 7 AB BC = 4 ± 7 dcă E, F, G, H int(abcd) 4
oluţi : b) Mi întâi clculăm rportul A (DEC) A (ABCD) : A (DEC) = A (DXC) = sin ϕ pentru că triunghiul DXC este isoscel, unde = AB, ϕ = C; A A (DEC) (ABCD) = b sin ϕ, unde b = BC, deci = A (ABCD) 4b, cee ce implică A (DEC) = 4b A (ABCD) () Cum DT BP este prlelogrm, DP = T B = F H = b, din F H DP T B, vem: ( ) A ( ) ( (F EH) F H b = = = b şi din () rezultă A (DEC) DC ) A (EF GH) 4b A (ABCD) de unde = ( b ) A (ABCD) 4b A = (ABCD) b = 4 ± 7 b = 4 7 ( b ) b ( ) b b = +, 5