LEKCIJE IZ MATEMATIKE Ivica Gusić Lekcija 2 Svojsva derivacija. Derivacije elemenarnih funkcija
Lekcije iz Maemaike. 2. Svojsva derivacija. Derivacije elemenarnih funkcija. I. Naslov i obja²njenje naslova U lekciji se razmaraju svojsva derivacija funkcija s obzirom na zbrajanje, oduzimenje, mnoºenje, dijeljenje i kompoziciju (derivacija sloºene funkcije i inverzne funkcije). Takodjer izvode se derivacije nekih najvaºnijih elemenarnih funkcija. II. Pripadni inºenjerski odnosno maemai ki problem Jedan od najop eniijih znansvenih prisupa nekom problemu jes da se on razloºi na elemenarne (sasavne) dijelove, da se i elemenarni dijelovi razrije²e, e da se izgradi meoda rje²avanja sloºenog problema ako se znadu rije²ii njegovi sasavni dijelovi. Popu sloºenih re enica koje se grade od jednosavnih povezuju i ih veznicima i sl., funkcije se vore od jednosavnih pomo u operacija zbrajanja, oduzimanja, mnoºenja, dijeljenja i kompozicije. Da bismo razrije²ili problem deriviranja funkcija, izves emo pravila prema kojima se moºe odredii derivacija funkcije ako se znadu derivacije njenih sasavnih dijelova. Takodjer emo izvesi derivacije najvaºnijih elemenarnih funkcija. III. Porebno predznanje Porebno je poznavai:. analii ku deniciju derivacije funkcije (pomo u limesa): f f(x + ) f(x) (x) : lim 0 2. Osnovne elemenarne funkcije (poencije i korijene, eksponencijalne i logariamske, rigonomerijske i arkus funkcije), e njihova osnovna svojsva. 3. Pojam limesa funkcije i njegova svojsva.
IV. Nove denicije i vrdnje s primjerima Derivacija poencije Ve smo vidjeli da za f(x) x 2 vrijedi f (x) 2x ²o kra e zapisujemo kao: (x 2 ) 2x Neka je sad, op enio, f(x) x n, gdje je n prirodan broj. Tada je f(x + ) (x + ) n x n + nx n + ( )x n 2 () 2 +... + () n Mogli bismo o no odredii koecijen uz svaku poenciju od x, medjuim, nama je vaºan samo koecijen uz x n. Sad je: f (x) : lim 0 f(x+) f(x) lim 0 (x+) n x n lim 0 (x n +nx n +( )x n 2 () 2 +...) x n lim 0 nx n +( )x n 2 () 2 +... lim 0 (nx n + ( )x n 2 () +...) nx n. Kra e: (x n ) nx n Primjer. (i) (x 3 ) 3x 2 (ii) (x) (x ) x x 0 (iii) () (x 0 ) 0 x 0 0 (derivacija konsanne funkcije je nula; o smo mogli i izravno dobii iz formule za derivaciju). O ia svojsva derivacija funkcija I. (i) (Derivacija zbroja je zbroj derivacija): [f(x) + g(x)] f (x) + g (x) (ii) (Derivacija razlike je razlika derivacija): [f(x) g(x)] f (x) g (x) II. [cf(x)] cf (x) za svaki broj (konsanu) c. Formule se mogu zapisai i bez argumena x: I. (f + g) f + g (ii) (f g) f g II. (cf) cf za svaki broj (konsanu) c. Te su formule izravne posljedice o iih svojsava limesa:. limes zbroja je zbroj limesa; 2. limes razlike je razlika limesa; 3. konsana se moºe izlu ii ispred limesa. Takodjer, vrijedi, a korisi emo poslije: 4. limes produka je produk limesa 2
5. limes kvocijena je kvocijen limesa (ako u nazivniku nije nula). Primjer 2. (4x 3 5x 2 + 7x + 3) 4(x 3 ) 5(x 2 ) + 7(x) + 3() 4 3x 2 5 2x + 7 + 3 0 2x 2 0x + 7 Vidimo da pomo u o iih svojsava i formule za derivaciju poencije moºemo derivirai bilo koji polinom (deriviramo lan po lan). Neo ia svojsva derivacije funkcija: III. (Derivacija umno²ka-produka funkcija:) [f(x) g(x)] f (x) g(x) + f(x) g (x) (dakle ne vrijedi da je derivacija umno²ka umnoºak derivacija). Izvod formule osavi emo za kasnije. Zapis bez argumena x: III. (fg) f g + fg IV. (Derivacija kvocijena-koli nika funkcija:) [ f(x) g(x) ] f (x) g(x) f(x) g (x) g 2 (x) (dakle ne vrijedi da je derivacija kvocijena kvocijen derivacija). Zapis bez argumena x IV. ( f g ) f g f g g 2 Primjer 3. - Primjena formule za derivaciju kvocijena: derivacija poencije s negaivnim eksponenom. (x n ) ( x ) x n (x n ) n (x n ) nxn 2 x n 2n x n+ (x n ) nx n To zna i da op enio vrijedi (za svaki cijeli eksponen m): (x m ) mx m To se moºe zapisai i kao: Izvod formule za derivaciju kvocijena iz formule za derivaciju produka. f. korak: g g f 2. korak (deriviramo): ( f g g) f, j. ( f g ) g + f g g f 3. korak (sredjivanje): ( f g ) f g f g g 2 Izvod formule za derivaciju produka (f(x)g(x)) 3
f(x+) g(x+) f(x) g(x) lim 0 (dodamo i oduzmemo f(x)g(x + )) [f(x+) g(x+) f(x) g(x+)]+[f(x) g(x+) f(x) g(x)] lim 0 je zbroj limesa) (limes zbroja [f(x+) f(x)]g(x+) lim 0 (limes produka je produk limesa) + lim 0 f(x)[g(x+) g(x)] lim 0 f(x+) f(x) f (x)g(x) + f(x)g (x) lim 0 g(x + ) + f(x) lim 0 g(x+) g(x) Derivacija sinusa i kosinusa. Vrijedi: (sin x) cos x; (cos x) sin x (derivacija sinusa je kosinus, a kosinusa minus sinus). Primjer 4. (i) (x sin x) x sin x + x(sin x) sin x + x cos x. (ii) (x cos x) x cos x + x(cos x) cos x + x( sin x) cos x x sin x. Uo ie da, op enio, ne moºemo u izrazu za derivaciju funkcije pomo u limesa, uvrsii 0, jer bismo dobili izraz 0 0. Tu smo poesko u kod izvodjenja formule za derivaciju poencije uspjeli razrije²ii ako ²o smo u brojniku izlu ili, e pokraili u nazivniku. Nakon oga smo u limesu mogli uvrsii 0 i dobii rezula. Tako ne²o ne vrijedi op enio, j. ne emo uvijek mo i izlu ii u brojniku. Na primjer, o ne emo mo i u inii pri izvodu formula za derivaciju sinusa, kosinusa, eksponencijalne funkcije. Zao emo rebai neke posebne, kzv. zna ajne limese. Zna ajni limes koji je poreban za izvod formule za derivaciju sinusa i kosinusa: sin lim ( ) 0 (na ma e bii porebna a formula u kojoj e umjeso bii ). U isinios jednakosi uvjeravamo se uvr²avanjem sve manjih vrijednosi. Naravno, a se jednakos moqv ze i srogo maemaiqv cki dokazai. Uo ie da se aj limes ne moºe dobii pukim uvr²avanjem 0 (jer se dobije 0 0 ). sin Primjer 5. - neki limesi koji se izvode iz lim 0 cos (i) lim 0 2 2 cos (ii) lim 0 0 Za (i) uo imo da za cos vrijedi: cos +cos 2 +cos cos 2 cos2 2 (+cos ) sin2 2 +cos ( sin ) 2 +cos Zao je cos lim 0 lim 2 0 ( sin ) 2 +cos 2 + 2. 4
Tvrdnja (ii) izravno slijedi iz (i). Naime: cos, pa je: cos lim 0 2 2 0 0. cos cos 2 lim 0 Za izvod derivacije sinusa i kosinusa porebno je poznavai i adicijske formule (ili formule za prevaranje zbroja u produk). Na primjer: sin(x + y) sin x cos y + cos x sin y Izvod formule za derivaciju sinusa (sin x) lim 0 sin(x+) sin x lim 0 sin x cos +cos x sin sin x lim 0 sin x[cos ]+cos x sin sin x lim 0 [cos ] sin x 0 + cos x (adicijska formula za sinus) (grupiranje. i 3. lana) + cos x lim 0 sin cos x. Tu smo sin x, odnosno cos x izvukli ispred limesa jer i izrazi ne ovise o, pa se pona²aju kao konsane; akodjer smo iskorisili limes "sinus iks kroz iks", j. zna ajni limes ( ) i limes (ii) iz Primjera 5. Formula za derivaciju kosinusa izvede se sli no, samo se reba korisii adicijska formula za kosinus (ili formula za prevaranje razlike kosinusa u produk). Primjer 6. - Jo² jedna primjena formule za derivaciju kvocijena: derivacija angensa i koangensa. Vrijedi (gx) cos 2 x, (cgx) sin 2 x Na primjer, (gx) ( sin x cos x ) (sin x) cos x sin x(cos x) cos 2 x cos2 x+sin 2 x cos 2 x cos 2 x Zna ajni limes koji je poreban za izvod formule za derivaciju eksponencijalne funkcije: e lim ( ) 0 U aj se limes akodjer moºemo uvjerii uvr²avanjem sve manjih brojeva (dokaz ovdje ne provodimo). Uo ie da se limes ne moºe dobii pukim uvr²avanjem 0 (dobije se 0 0 ). 5
Derivacija eksponencijalne funkcije: (e x ) e x (eksponencijalna funkcija s prirodnom bazom ne mijenja se pri deriviranju) Izvod formule (e x ) e lim x+ e x e 0 lim x e e x e 0 lim x [e ] 0 e x e lim 0 e x e x. V. Formula za derivaciju sloºene funkcije - derivacija kompozicije: Zapis bez argumena x [f(g(x))] f [g(x)] g (x) V. (f g) (f g) g (uo ie razliku izmedju znaka koji ozna uje kompoziciju funkcija od znaka koji ozna uje mnoºenje(i kakad se ispu²a). Primjer 7. - jedna primjena formule za derivaciju sloºene funkcije: [sin(ax)] a cos(ax), za svaki realan broj (konsanu) a. Naime, prema formuli za derivaciju kompozicije, vrijedi: [sin(ax)] sin (ax) (ax) cos(ax) a a cos(ax). Dakle [sin(2x)] 2 cos(2x), a ne cos(2x) kako se na prvi pogled moºe u inii. Primjer 8. - jo² jedna primjena formule za derivaciju sloºene funkcije - derivacija op e eksponencijalne funkcije: (a x ) a x ln a Naime, iz a x (e ln a ) x e ln a x, dobijemo (a x ) (e ln a x ) e ln a x (ln a x) a x ln a VI. Vaºna primjena formule za derivaciju sloºene funkcije - formula za derivaciju inverzne funkcije. Zapis bez argumena x (f ) (x) (f ) f [f (x)] f f Izvod formule za derivaciju inverzne funkcije. Iz f[f (x)] x za sve x iz domene od f, deriviranjem dobijemo: (f[f (x)]), j. f [f (x)] (f ) (x), odakle se dobije raºena formula. Primjena formule za derivaciju inverzne funkcije - derivacija logariamske funkcije i arkus funkcija 6
. (ln x) x ; (log a x) x ln a Naime, u je f (x) : ln x pa je f(x) : e x, dakle f (x) e x, akodje. Sad je: (ln x) e ln x x. 2. (Arcsinx) x 2 ; (Arccosx) (Arcsinx) Naime, ako je f Arcsin, onda je f sin i f cos (ali na inervalu [ π 2, π 2 ]). Napomenimo da na om inervalu vrijedi cos x sin 2 x (jer je u kosinus poziivan). Zao je sad (Arcsinx) sin (Arcsinx) cos(arcsinx) sin 2 (Arcsinx) [sin(arcsinx)] 2 x 2 Uo ie da je desna srana u formuli za derivaciju arkussinusa denirana za < x <, ²o zna i da funkcija nije derivabilna u rubovima (o se vidi geomerijski ako ²o je angena na graf u rubnim o kama usporedna s y-osi - ima "beskona an" koecijen smjera). Tablica zna ajnih inegrala - reba znai napame. (i) (x n ) nx n - o vrijedi za sve realne eksponene, a ne samo za prirodne. (ii) ( n x) n n, specijalno xn ( x) 2 x 2. (sin) cos (cos) sin (g) cos 2 (cg) sin 2 3. (Arcsinx) x 2 (Arccosx) x 2 (Arcgx) +x 2 (Arccgx) +x 2 4. (e x ) e x (a x ) a x ln a 5. (ln x) x (log a x) x ln a 7