CALCUL NUERIC. Itegrre umercă INTEGRAREA NUERICĂ. APROXIAREA FUNCłIILOR Deseor î cdru epereńeor pr ser de rezutte obńute petru umte vor Ńe e. Apre probem progozăr rezutteor petru crev codń Ńe, rezre căror este dcă su mposbă. Probem se rezovă pr modere epereńe î bz rezutteor obńute teror. Eempu Fe că ost măsurtă stte pe ocece îtru puct cu coordote dte, dâcme,,,..., 5 m. Cercetător îsă trebue să cuoscă stte pe orce dâcme ître ş 5 m. Probem pote rezovtă pr modere grcuu stăń î bz dteor obńute epermet. Evdet, grcu modet pote der de ce re, dr dâcme, î cre stte este cuoscută ect, grcee vor cocde. Eempu Tempertur uu pcet este măsurtă pe prcursu 4 ore cu tervu de 4 ore. Se cere să se costruscă grcu de tempertur pcetuu. Grcu de tempertur se modeeză î bz dteor d ş bovuu. Grcu modet tempertur pote der de ce re, dr î mometee măsurăror de tempertură ee vor cocde. Î term mtemtc probem se ormueză î eu următor: Fe dtă o ucńe, descrsă pr vore se î puctee,,..., ordote. Se cere să se estmeze vore ucńe î orcre d puctee terore e segmetuu [, ] Probem promăr ucńor pre destu de des tât c probemă prte, cât ş î ctte de subprobemă î cdru rezovăr tor probeme. Eempu 3 U crev proces este descrs de ucń cu structură compctă, dcă petru cercetre. Petru smpc studere procesuu, se promeză ucń Ńă cu o tă ucńe g, de eempu - u poom, cre pote cercett retv smpu. Estă derte metode de promre ucńor. Tote u drept scop o propere cât m mre grcuu ucńe cre promeză de grcu ucńe promte. Î cee ce urmeză v epusă dor u dtre umerosee metode de promre ucńor - terpore ucńe pr u poom. Fe că se cerceteză o ucńe ră y b. Petru - costru grcu, e ecesr să se cuoscă două pucte, cre î prń. Îtr-devăr, dcă sut cuoscute pucte e grcuu ucńe de grdu, y ş, y se costrueşte sstemu de ecuń: b y b y d cre î mod uvoc se determă coeceń ş b. Pr urmre pote determtă vore ucńe î orce t puct. y b c, metod este ceeş: se creeză u sstem Petru ucń poomă de grdu d tre ecuń, d cre se determă uvoc coeceń, b, c ucńe Ńe. Vore ucńe î orce t puct pote ccută. OpŃo
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă Î cz geer, dcă sut cuoscute m pucte dstcte cre prń grcuu ue ucń poome de grd m-, vore ucńe pote ccută î orce t puct domeuu de deńe. Se cută u poom P de orm Coorm codńe puse Se costrueşte sstemu de m ecuń: P... m m m m P y,.. m m m... m m y... y...... y m m m m m m m m m m m m Necuoscutee sstemuu sut vore,,,... m-.coeceń sstemuu d determtu prcp ormeză o sere de puter, dec determtu prcp, ormt de e este dert de. Rgu u este m după umăru de ecuń î sstem. Î cest cz souń sstemuu estă ş e ucă. Pr urmre, î bz souńor sstemuu dt putem recostru poomu căutt P. Deorece souń sstemuu e ucă, rezută că e uc sstemu de coeceń poomuu, pr urmre ş poomu e uc. Poomu ste determt este umt poom de terpore pucteor, y,,,, m. Î czu, câd pereche, y,,,, m prń grcuu ue ucń, spuem că poomu terpoeză ucń dtă. Dcă ucń, grcuu căre î prń puctee, u este poomă, tuc poomu de terpore este o promre e, r terpore pote reztă dor pe segmetu determt de odure de terpore. Determre poomuu de terpore uu sstem de pucte pr metod drectă este destu de dcă, î spec î czu suceńe de odur. Î cee ce urmeză se v dscut o metodă de costrucńe poomeor de terpore, cre pote pctă petru orce umăr de odur. Poomee smetrce Poome de terpore Lgrge Fe dt u sstem de odur, y,,,,m cre prń grcuu ue ucń. Se v îcerc geerre ue sere de poome F,,...,m, cre terpoeză puctee Cu te cuvte F, F j j.,,, -,,,,,, m,. Petru c poomu să devă î puctee j derte de vom troduce î e ctor,, -,, - m, cre î trsormă î petru,, -,, m. Dec poomu v cońe rgmetu - - m Petru trsorm cest produs î petru, se îocueşte pr, r epres obńută este pstă umtoru rcńe: î rezutt se obńe - - m K F K K m K m Cu jutoru poomeor costrute m sus poomu de terpore P se deeşte pr ormu m P F y
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă 3 Acest poom re grdu m-, deorece preztă o sumă de terme, ecre vâd grdu m-, r petru vore e u prmeşte vore y e ucńe terpote. Pr urmre P este poom de terpore petru ucń F. Î czu, câd se promeză o ucńe, cre trece pr puctee,,,, 3, 3 m, m, după ecudere termeor detc eg cu ormu cpătă orm K K m m P K K m y Acestă ormuă portă deumre de poom de terpore Lgrge. Î czu câd ucń este de m or dervbă erore de terpore ucńe pr poomu de terpore Lgrge P este determtă de ormu m umăru de odur de terpore Eempu 4 7. Eempu 5 m P m! ude m sup [, m ] Să se determe poomu de terpore Lgrge petru ucń dtă pr pereche,,, 5, 3,, y ;, y 5; 3 3, y 3 7; P y y y 3 3 3 3 3 3 3 3 5 3 7 7 5. Tempertur uu pcet ost măsurtă pe prcursu ore cu tervu de oră. ScreŃ u progrm, cre să permtă determre tempertur î orce momet de tmp î tervu î cre u ost ăcute măsurăre t 3 4 5 6 t 38 37, 37.8 39. 38,4 37,4 36,9 Itrre: prm e şeruu.tt cońe u umăr tur < < umăru de măsurăr. Fecre d următoree cońe câte două umere ree tmpu măsurăr tempertur ş vore măsurtă, y. Ieşre: tempertur determtă se şeză ecr. Rezovre: petru comodtte vom ebor u progrm cre v permte troducere repettă dteor de tsttură. Progrm c3; cost m; {umăru mm de odur de terpore} uses crt; type odrecord {structur oduu},y :re; ed; sstemrry[..m] o od; vr u:sstem; {tbou oduror de terpore}
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă 4 m,m,:re; {etremtăńe segmetuu pe cre pote } {reztă terpore ş u puct teror} :teger; g:tet; procedure ctreodur; vr I : teger; beg {deschdere şeruu de trre petru ctre} ssgg,'.tt'; resetg; {ctre dteor} redg,; or : to do redg, u[]., u[].y; coseg; {determre etremtăńor segmetuu de terpore} m:u[].; m:u[].; or : to do beg m<u[]. the m: u.[].; m>u[]. the m: u.[].; ed; ed; ucto gq:re:re; vr,j:teger; s,p,p:re; beg s:;{ńzre vor tote} or : to do beg {ccuu următoruu terme} p:; p:; {Ńzre umărătoruu ş umtoruu } or j: to do {reccuu umtoruu ş umărătoruu} <>j the beg p:p*q-u[j].; p:p*u[].-u[j].; ed; {dăugre termeuu curet sum totă} s:sp/p*u[].y; ed; g:s; ed; beg crscr; ctreodur; repet wrte 'trodu u puct de pe segmet [',m::,';'m::,']'; red; wrte ::,' 'g::4; wrte'at od D/Nu'; ut upcseredkey'n'; ed. Rezutte: Petru uu de dte de trre
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă 5.5.5.5 3.5 4.5 5.5 u ost obńute rezuttee 37.739 37.3 38.633 38.9878 37.796 37.445
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă 6. ETODA DREPTUNGHIURILOR PENTRU CALCULUL APROXIATIV AL INTEGRALEI U dtre cee m des pcte mpemetăr e ccuuu umerc este ccure tegre dete pr metode promtve. etodee drecte u îtotdeu permt ccuu tc tegre, de mute or c u e cuoscută ormu cre deeşte ucń ce trebue tegrtă. De obce sut dte dor o sere de pucte î cre este cuoscută vore ucńe. Î ceste czur tegr pote ccută dor pr metode promtve î presupuere că ucń de sub tegră este cotuă pe segmetu pe cre se ce tegrre. D cursu de ză mtemtcă se şte, că sesu geometrc tegre dete este r trpezuu curbu, determt de X, dreptee ş b, ş grcu ucńe pe segmetu [,b] deseu 3. Fe o ucńe dervbă pe [,b] ş sup ' [, b] Cosderăm o dvzue segmetuu orm < < < < - < b [,b] î Deseu 3 Sesu geometrc tegre dete este r trpezuu curbu mărgt de e OX,, b, y Pe ecre d segmetee [, ] vom prom supr-ń trpezuu curbu pr r dreptughuu cu bz, - r îăńme egă cu vore ucńe î puctu Deseu 4 Dvzre segmetuu - Ń î segmete eemetre ş promre tegre pe ecre d ee z Petru smptte, segmetee [, ] se vor cosder ege. Atuc ugme segmetuu eemetr v de b r puctee vor pute determte de ormu * FucŃ costtă g, / pe ecre segmet eemetr [, ] este de pt u poom de terpore de grd, cre promeză ucń îtr-u sgur puct segmetuu - mjocu u. Î cest cz vore tegre dete pe segmetu [, b] petru ucń se v prom coorm ormue: Deseu 5. Pe segmetu eemetr [, ] ucń este promtă de ucń costtă g, r tegr - pr r dreptughuu cu bz ş îăńme g.
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă 7 b d S umăru de dvzăr segmetuu Ń ugme segmetuu eemetr S vore ccută tegre. Aste, tegr se trsormă îtr-o eprese rtmetcă cre depde dor de umăru de dvzu e segmetuu ş de vore ucńe î puctee de mjoc e segmeteor eemetre. etod cre reduce ccuu tegre ccuu ue sume de r dreptughuror este umtă metod dreptughuror. Determre eror de ccu Erore de terpore pe u terv eemetr se estmeză c moduu dereńe ître vore ectă ucńe pe terv ş ucń de terpore. Coorm prgruu 5. cestă erore este: g Corespuzător, erore de tegrre v tegr eror de terpore. Pr urmre, pe u segmet eemetr erore de tegrre v : d d g d supremu pe segmetu eemetr. O ormuă m ectă de estmre eror se obńe pr îocure vrbe : t t dt t d g d Pr urmre, erore de ccu p segmetu de tegrre [,b]v ude supremu pe [,b]. D ormu precedetă rezută u pt mportt: erore de ccu este depedetă de umăru de dvzăr segmetuu. Aste, petru obńe o erore de ccu, ce u depăşeşte o vore prestbtă ε, este sucet să se rezeze dvzre segmetuu de tegrre î segmete eemetre, vore u d determtă pr secveń de trsormăr 4 4 b b
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă 8 Agortmu b ε 4 b 4 ε b 4ε Deorece î czu ccueor cu o erore ce u depăşeşte vore prestbtă umăru ecesr de dvzăr pote dedus pror, este sucet să se rezeze u sgur gortm petru u umăr t de dvzăr : Ps Se troduc dtee Ńe. Petru vore dtă e eror de ccu se determă umăru de dvzăr d b ormu 4ε Ps Se ccueză psu de depsre. S. Ps 3 Petru toń de - : Se ccueză vore Se ccueză r dreptughuu eemetr: S Ar ccută se sumeză cu re precedete: S S S Ps 4 Se şeză r totă ccută S. SFÂRŞIT. 4 Eempu Fe dtă tegr detă d. Să se scre u progrm cre ccueză tegr dtă pr dvzre segmetuu de tegrre î, 4, 8, 6 dvzăr. Petru ecre umăr de dvzăr să se dce vore ccută cu şse seme după vrguă. Rezovre: deorece umăru de dvzăr este dct î codńe probeme, preprocesre mtemtcă u este ecesră. Progrm: progrm c4; cost r4; vr S,, b,, : re; j,,:teger; ucto :re: re; beg :***/sqrt; ed; beg :; b:; :; or j: to r do beg S:; :*; :b-/; or : to - do S:S * * /; wrte ' ',,' I',S::6; ed;
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă 9 red; ed. Rezutte I3.78853 4 I3.78969 8 I3.78998 6 I3.789977 Eempu Să se scre u progrm, cre ccueză vore promtvă tegre π π scos d π îdepeşte codń: ε; 8 pr metod dreptughuror de mjoc. Ccuu v oprt, dcă se b, umăru curet de dvzăr Vore, b, ε se deesc drect î progrm. Rezovre: D codńe probeme se deduce umăru ecesr de dvzăr: Progrm : π b 8 ε; progrm c5; vr S,, b,, e, : re; j,,:teger; ucto :re: re; beg :scos */; ed; beg :-p/; b:p/; e:.; :roudp*bsb-/8*e; S:; :b-/; or : to - do S:S * * /; wrte '',,' I',S::6; red; ed. Rezutte 338 I.884 π b 8ε Ac ş î te progrme d prezet edńe se ooseşte costt predetă p, utztă î medu Turbo Psc. Utztor tor mbje de progrmre su tor comptore Psc vor de costt respectvă î cdru progrmuu. E: cost p3.4
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă VrŃ e metode dreptughuror Î uee czur puctee determă îăńme dreptughuu cre promeză tegr pe u segmet eemetr se u u mjocu segmeteor eemetre, c etremtăńe or. Î cest cz, dcă ucń se promeză pr etremtăńe stâg e segmeteor eemetre, tegr detă se promeză pr sum: / d b S r metod este umtă metod dreptughuror de stâg. Dcă ucń se promeză pr etremtăńe drepte e segmeteor eemetre, tegr detă se promeză pr sum: / d b S r metod este umtă metod dreptughuror de drept. Determre eror de ccu Î czu vrńor metode dreptughuror erore de terpore pe u segmet eemetr este: g Corespuzător, erore de tegrre v : d g d supremu pe segmetu eemetr Deseu 6. Apromre tegre dete pr dreptughur de stâg Deseu 7. Apromre tegre dete pr dreptughur de drept
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă Pr urmre erore de ccu p segmetu de tegrre [, b] v b ude supremu pe [, b]. b L e c î czu dreptughuror de mjoc umăru de dvzăr ecesre petru obńe o souńe ccută cu o erore ce u depăşeşte o vore prestbtă ε pote dedus drect d ormu eror: b b b ε; ; b ε b ε Agortmu dreptughur de stâg 3 Deorece î czu ccueor cu o erore ce u depăşeşte vore prestbtă ε umăru ecesr de dvzăr pote dedus pror, este sucet să se rezeze u sgur gortm petru u umăr t de dvzăr : Ps Se troduc dtee Ńe. Petru vore dtă e eror de ccu se determă umăru de dvzăr d b ormu ε Ps Se ccueză psu de depsre. S. Ps 3 Petru toń de - : Se ccueză vore Se ccueză r dreptughuu eemetr: S Ar ccută se sumeză cu re precedete: S S S Ps 4 Se şeză r totă ccută S. SFÂRŞIT. Eempu 3. Să se ccueze tegr detă s π d utzâd metod dreptughuror, vrń dreptughuror de stâg, petru,, dvzăr. Atrbure voror Ńe se ce drect î progrm. Petru ecre umăr de dvzăr ecr se v ş vore ccută ş umăru de dvzăr, seprte pr spńu. progrm c6; cost r3; vr S,, b,, : re; j,,:teger; ucto :re: re; beg 3 Petru dreptughure de drept gortmu se deosebeşte dor î ps 3 pr dpzou voror pe cre e prmeşte dcee : de
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă :sqr* s; ed; beg :; b:p; :; or j: to r do beg S:; :*; :b-/; or : to - do S:S * *; wrte '',,' I',S::6; ed; ed. Rezutte: I4.38796 I4.3835 I4.3835 Eempu 4. Să se ccueze tegr detă s s s 3d utzâd metod dreptughuror, vrń dreptughuror de drept, cu o erore de ccu, ce u depăşeşte vore ε.. Atrbure voror Ńe se ce drect î progrm. L ecr se v ş vore ccută tegre ş umăru de dvzăr ecesre petru obńe precz cerută, seprte pr spńu. Rezovre: umăru ecesr de dvzăr pote determt tc: b ε Pr ccue eemetre se determă vore 6. Progrm: progrm c7; vr S,, b,, e,, : re; j,,:teger; ucto :re: re; beg :s* s** s3*; ed; beg :; b:; e:.; :6; :truc*b-*b-/*e ; S:; :b-/; or : to do S:S * *; wrte '',,' I',S::6; ed. Rezutt: 3 I.7879
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă 3 Îtrebăr ş eercń. otvń ecestte ccuuu umerc tegre dete.. Ce procedeu stă bz ccuuu umerc tegre? 3. DemostrŃ corecttude ormueor de tegrre. 4. Cre este erore tegrre umercă? Cum este e egtă de erore de promre ucńe? 5. ScreŃ u progrm cre ccueză tegr detă 3 d π e cos d 6 d π d s d 3 d cos 3 s pr metod dreptughuror de stâg, de mjoc, de drept. UtzŃ u umăr vrb de dvzăr de eempu,,. ComprŃ rezuttee obńute pr derte metode petru ceş umăr de dvzăr. 6. Cre dtre tegree dete de m jos este m mre? π π π e e cos d d su su e π d e cos d
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă 4 3. FORULA TRAPEZELOR Î prgru precedet petru promre vor tegre u ost ooste dreptughur gur geometrce, suprń căror se ccueză pr ormue eemetre. U ejus ceste metode este umăru mre de dvzăr, ecesre petru obńere uor rezutte cu eror de ccu sucet de mc. Este ogcă promre m ectă tegre pr te gur geometrce, r căror pote ccută pr ormue. U d gure, cre permt cest ucru este trpezu. Apromre tegre dete pr u set de trpeze corespude promăr ucńe cu u poom Lgrge de grdu o ucńe ră cre trece pr odure de terpore. EcuŃ ceste ucń este dtă de ormu: g ude ş sut puctee î cre vore ucńor ş g cocd deseu 8. Petru pcre metod trpezeor, este ecesr c ucń tegră să e de două or dervbă. Atuc: Fe o ucńe de două or dervbă pe [, b] ş sup '' [, b] Se cosderă o dvzue tervuu [, b] î orm Deseu 8. Pe ecre d segmetee eemetre î cre este dvzt [,b] vore tegre dete este promtă de r uu trpez. Ltur superoră trpezuu, g este î ceş tmp promre ucńe pe segmetu eemetr[, ] < < < < - < b. Pe ecre d segmetee [, ] suprń trpezuu curbu se promeză cu r trpezuu cu bz, -, ture tere cu ugme, ş ş tur superoră determtă de segmetu cu etremtăńe,, deseu 9. L e î czu ormue dreptughuror se v cosder că segmetee [, ] sut ege. Lug-me segmetuu eeme-tr v de: b r puctee vor pute determte de ormu * Atuc vore tegre dete pe u segmet eemetr [, ] petru ucń se v prom coorm ormue Deseu 9. Apromre tegre pe u segmet eemetr pr r trpezuu determt de X, dreptee, ş ucń ră g d g d r pe îtreg segmetu [,b]:
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă 5 su b d b g d Determre eror de ccu S L e c î czu ormue dreptughuror erore de ccu tegrre v cercettă c tegr eror de promre ucńe pr g pe ecre segmet eemetr: g! ude, puctee de terpore, supremu pe [, ]. Atuc erore de tegrre 4 pe segmetu eemetr e de d g 3 d Erore de tegrre pe segmetu [, b] este sum eroror de tegrre pe segmetee eemetre, pr urmre pote estmtă pr ormu: ude supremu pe [, b], ugme uu segmet eemetr Î czu câd î euńu probeme se cere ccuu tegre pr metod trpezeor cu o erore de ccu cre u depăşeşte o vore dtă ε, umăru ecesr de dvzăr segmetuu de tegrre pote determt pror d reń: echvetă cu su b Agortmu b ε 3, b b ε Ps. Se troduc dtee Ńe: mtee de tegrre,b, umăru de dvzăr. Î czu câd î euń se cere obńere ue eror de ccu cre u depăşeşte vore predetă ε, umăru ecesr de dvzăr se ccueză cu jutoru ormue b 3 ε 4 Demostrre corecttud ceste ormue pote propusă î ctte de eercńu rezt î r ore de curs b 3 d g d b ε 3
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă 6 Ps. Se ccueză psu de depsre după ormu tegre S, cotoruu. Ps 3. Petru toń de - Se ccueză vore b. Se Ńzeză vore Se ccueză r trpezuu eemetr: S Ar ccută se sumeză cu re precedete: S S S Ps 4 Se şeză r totă ccută S. SFÂRŞIT Eempu. π Să se ccueze tegr detă d, utzâd metod trpezeor, 4 4 s cos petru, 4, 8 dvzăr segmetuu de tegrre. Atrbure voror Ńe se ce drect î progrm. Petru ecre umăr de dvzăr ecr se v ş vore ccută ş umăru de dvzăr, seprte pr spńu. Rezovre: umăru de dvzăr e segmetuu de tegrre se modcă de cz cz pr ormu. Ceete ccue rezută drect d gortm. Progrm progrm c8; cost r3; vr S,, b,, : re; j,,:teger; ucto :re: re; beg :/sqrsqrssqrsqrcos; ed; beg :; b:*p; :; or j: to r do beg S:; :*; :b-/; or : to - do S:S * **/; wrte '',,' I',S::; ed; ed.
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă 7 Rezutte: I8.883455 4 I8.88576669 8 I8.8857658763 Eempu. 3 3 Să se ccueze tegr detă 3 7 d, utzâd metod trpezeor, cu o erore de ccu, ce u depăşeşte vore ε.. Atrbure voror Ńe se rezeză drect î progrm. L ecr se v ş vore ccută tegre ş umăru de dvzăr ecesr petru obńe ecttte cerută. Rezovre: umăru de dvzăr e segmetuu de tegrre se ccueză drect cu jutoru b 3 ormue. Pr ccue eemetre se stbeşte 4. ε Progrm progrm c9; vr S,, b,, e,, : re; j,:teger; :ogt; ucto :re: re; beg :3***-7**; ed; beg :; b:3; e:.; :4; :trucsqrt*b-*b-*b-/*e ; S:; :b-/; or : to - do S:S * * */; wrte '',,' I',S::9; ed. Rezutte: 68 I3.59889846 Îtrebăr ş eercń. EumerŃ codńe î cre pote pctă metod trpezeor.. Cre este deosebre ître metod dreptughuror ş ce trpezeor? 3. Cre dtre metodee studte de ccuu umerc tegre dete este m ectă? otvń. 4. CcuŃ tegree dete, utzâd metod trpezeor petru,, 3 dvzăr e segmetuu de tegrre:
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă 8 4 e 4 d 3 3 5 4d d 4 π 3 s cos d s cos d tg cos s d π π 3