MEHNIK FLUID KINEMTIK FLUID 13 3. KINEMTIK FLUID Kinemaika fluida je dio fizike koji se bavi gibanjem fluida. Prema hipoezi koninuuma vrijedi pravilo da svaka česica fluida (maerijalna očka) zauzima samo jednu očku prosora, a u jednoj očki prosora se može nalazii samo jedna česica koninuuma. 3.1 Opis gibanja fluida Lagrangeov opis gibanja fluida Položaji očaka prosora i položaji česica fluida opisuju se radijus vekorom r (čije su komponene prosorne ili Eulerove koordinae x, y, z). U apsolunom koordinanom susavu je položaj očke prosora je salan u vremenu (prosorne koordinae x, y, z nisu funkcije vremena), a položaj gibajuće česice fluida se mijenja s vremenom, šo znači da su komponene radijus vekora r (vekora položaja) koje opisuju položaj česice fluida jesu funkcija vremena. Gibanje česice definirano je vremenskom promjenom njena vekora položaja u obliku r = r() (jednadžba gibanja česice fluida). Brzina česice fluida jes vremenska derivacija vekora položaja v = r () (očkica označuje vremensku derivaciju), a ubrzanje česice fluida jes vremenska derivacija brzine a = v () = r (). z 0 V M ( 0 ) r = r( r, ) 0 V M () r = r( ) rr (, ) 0 O y x lika uz opis gibanja česica fluida Maerijalni volumen se sasoji od beskonačnog broja česica fluida, a koje su o česice definirano je uočenom konfiguracijom V M( 0 ) u počenom vremenskom renuku 0. Za porebe opisa njihova gibanja nužno ih je razlikovai. obzirom da se u jednoj očki prosora može nalazii samo jedna česica fluida, Česice će se razlikovai po položaju kojeg zauzimaju u počenoj konfiguraciji. Za koordinae počenog položaja česica fluida se uvodi posebna oznaka r0 = r( 0) i e se koordinae nazivaju maerijalnim ili Lagrangeovim koordinaama. Jasno je da su maerijalne koordinae vremenski nezavisne.
MEHNIK FLUID KINEMTIK FLUID 14 Gibajući maerijalni volumen će u renuku zauzei novi položaj, a budući da se radi o maerijalnom volumenu u om renuku će se u njemu nalazii ise česice koje su u njemu bile i u renuku. Na primjer očka koja je u počenoj 0 konfiguraciji bila na položaju definiranom koordinaama r 0, će u renuku bii u očki s koordinaama r. Jasno je da će vrijednosi koordinaa x, y, z zavisii i od vremena i od očke u počenoj konfiguraciji, ako da vrijedi x = ξ1( x0, y0, z0, ) r = r( r 0, ), odnosno y = ξ x, y, z, (, y,, ) 2 0 z = ξ x z 3 0 Gornje jednadžbe opisuju vremenski promjenljivi položaj one česice fluida koja je u renuku 0 bila na poziciji opisanoj vekorom položaja r 0. Mijenjajući vekor r 0 dobivaju je jednadžbe gibanja različiih česica maerijalnog volumena. Brzina česice fluida jes vremenska derivacija vekora položaja rr ( 0, ) Dr vr ( 0, ) = r0 = kons. = U mehanici se ona naziva maerijalnom derivacijom, a zbog posebne važnosi se označuje s D. Maerijalnom derivacijom se izražava vremenska promjena fizikalnog svojsva česice fluida, onako kako bi o osjećao promarač koji se giba zajedno s česicom. Gornji izraz opisuje promjenu brzine česica fluida izraženu Lagrangeovim koordinaama. Promjenom koordinaa r 0 dobiju se brzine različiih česica maerijalnog volumena. Ubrzanje česice fluida jes maerijalna derivacija brzine vr ( 0, ) Dv ar ( 0, ) = r0 = kons. = Ponovo se promjenom Lagrangeovih koordinaa dolazi do ubrzanja različiih česica koninuuma, u bilo kojem renuku. U Lagrangeovom opisu srujanja fluida se funkcijama Lagrangeovih koordinaa i vremena mogu opisai i druga fizikalna svojsva česica fluida. ko se sa Φ označi neko fizikalno svojsvo koninuuma (gdje za Φ može sajai skalarno fizikalno svojsvo popu gusoće i emperaure, vekorsko popu položaja, brzine i ubrzanja ili enzorsko svojsvo), općenio se može pisai: L r Φ= Φ 0, Riječima bi se reklo da gornja jednadžba opisuje vremensku promjenu fizikalnog svojsva Φ česice r 0. Nadindeks L u oznaci funkcije ukazuje da je fizikalno svojsvo izraženo Lagrangeovim koordinaama. Eulerov opis gibanja fluida U mehanici fluida se uglavnom korisi Eulerov opis srujanja fluida, koji se emelji na poljima fizikalnih veličina. ko se svakoj očki prosora u svakom vremenskom renuku pridruži fizikalno svojsvo one česice fluida koja se u promaranom renuku nalazi u promaranim očkama prosora dobije se polje fizikalne veličine izraženo prosornim (Eulerovim) koordinaama E Φ= Φ ( r, )
MEHNIK FLUID KINEMTIK FLUID 15 Za polje koje nije funkcija vremena kaže se da je sacionarno, inače je nesacionarno. Vezu među Lagrangeovim i Eulerovim opisom nekog fizikalnog svojsva u srujanju fluida definiraju inverzne jednadžbe gibanja 1 : x0 = x0( x, y, z, ) y = y ( x, y, z, ) ili kraće r = r ( r ) (,,, ) z = z x y z, Gornje jednadžbe daju počeni položaj (u renuku 0 ) one česice fluida koja se u renuku nalazi na poziciji definiranoj prosornim koordinaama r. Uvršavanjem gornjeg izraza u Lagrangeov zapis fizikalnog svojsva Φ slijedi Eulerov zapis polja Φ Φ= Φ L r, = Φ E r( r, ), = Φ E r, Bez obzira šo su fizikalna svojsva izražena prosornim koordinaama jasno je da su nosielji fizikalnih svojsava česice fluida, a ne očke prosora. U očkama prosora u kojima nema česica fluida polje fizikalne veličine nije definirano. Maerijalna derivacija Maerijalna derivacija izražava brzinu promjene fizikalnog svojsva česice fluida, j. promjenu koju bi osjeio promarač koji bi se gibao zajedno s česicom. Za fizikalno svojsvo zapisano Lagrangeovim koordinaama ona je definirana kao L DΦ Φ ( r0, ) = r0 = kons. Maerijalna derivacija isog og fizikalnog svojsva zapisanog u Eulerovim koordinaama glasi E D Φ Φ ( r, ) E E = r= kons. + vi ( r, ) Φ ( r, ) = kons. Prvi član desne srane gornjeg izraza označuje lokalnu promjenu fizikalnog svojsva, koju bi osjeio promarač u fiksnoj očki prosora, dok drugi član desne srane označuje konvekivnu ili prijenosnu brzinu promjene fizikalnog svojsva, uslijed pomicanja česice fluida u polju Φ. Ispušajući oznaku E za Eulerovsko polje i izbjegavajući eksplicino navođenje zavisnosi polja Φ od prosornih i vremenske koordinae, gornji izraz u razvijenom obliku poprima oblik: D Φ = Φ + v Φ x + v Φ y + v Φ z x y z lokalna promjena konvekivna promjena Moguće je definirai i operaor maerijalne derivacije, koji glasi: D = + v Gdje umjeso oznake može sajai skalarno, vekorsko ili enzorsko polje izraženo u funkciji prosornih koordinaa i vremena. 1 Nužan i dovoljan uvje za posojanje inverzne funkcije je da je deerminana r / r0 različia od nule i konačna.
MEHNIK FLUID KINEMTIK FLUID 16 Dok se u Lagrangeovom opisu srujanja fluida polazi od jednadžbi gibanja (čijim se deriviranjem dolazi do brzine i ubrzanja), u Eulerovom se opisu polazi od polja brzine (jer se polje brzine pojavljuje u operaoru maerijalne derivacije). 3.2 rujnice rujnice su zamišljene krivulje kojima se u svakoj očki smjer angene poklapa sa smjerom vekora brzine. Na srujnicama se ucrava smjer srujanja kao šo prikazuje slika. Za nesacionarno polje brzine, slika srujnica se mijenja od renuka do renuka, pa se slika srujnica odnosi na jedan izabrani vremenski renuak, npr. = 1. ko se pravac vekora brzine poklapa s angenom na srujnicu, ada je usmjereni elemen luka srujnice dr paralelan vekoru brzine v, e je njihov vekorski produk jednak nuli, odnosno pripadajuće komponene im se razlikuju isim fakorom, ako da vrijedi: dx dy dz = = v ( x, y, z, ) v ( x, y, z, ) v ( x, y, z, ) x y z Osnovno svojsvo srujnica je da se one ne mogu presijecai, jer bi o značilo da u očki presjeka vekor brzine ima dva različia smjera, šo je nefizikalno. Izuzeak čine očke zasoja u kojima je brzina jednaka nuli. 3.3 Trajekorije Trajekorija je prosorna krivulja koju svojim gibanjem opisuje česica fluida. Jednadžbe gibanja česice fluida zapisane u Lagrangeovim koordinaama označuju paramearski zapis jednadžbe rajekorije. U Eulerovom opisu srujanja, gdje se polazi od polja brzine, do jednadžbe rajekorija se dolazi, polazeći od definicije brzine česice koninuuma. ko je dr usmjereni infiniezimalni elemen pua kojeg prevali česica koninuuma gibajući se po svojoj rajekoriji za infiniezimalno vrijeme, ada za aj usmjereni elemen luka rajekorije, iz same definicije brzine slijedi: d r = v( r, ), šo se može prikazai i u obliku susava diferencijalnih jednadžbi: dx dy dz = = = vx( x, y, z, ) vy( x, y, z, ) vz( x, y, z, ) čijim se rješavanjem uz počene uvjee za = 0, r( 0) = r 0, dolazi do jednadžbi rajekorija. Krivulja obilježenih česica u danom vremenskom renuku spaja sve česice fluida koje su prošle zadanom očkom prosora. U sacionarnom srujanju rajekorije, srujnice i krivulje obilježenih česica se poklapaju.
MEHNIK FLUID KINEMTIK FLUID 17 vekori brzine za srujanje u blizini očke zasoja srujnice za srujanje u blizini očke zasoja rujnice pri opjecanju cilindra slika srujnica za slučaj naglog proširenja 3.4 rujna površina i srujna cijev rujna površina je sasavljena od srujnica koje prolaze očkama neke krivulje C. Vekor brzine je angencijalan na površinu v n = 0, pa kroz srujnu površinu nema prooka Q= v n d = 0. ko je krivulja C zavorena, srujna površina prelazi u plaš srujne cijevi, kroz kojeg nema prooka fluida, kao i kroz plaš neke fizičke cijevi. ko je površina poprečnog presjeka cijevi d infiniezimalna, govori se o elemenarnoj srujnoj cijevi. U graničnom prijelazu d 0 elemenarna srujna cijev prelazi u srujnicu.
MEHNIK FLUID KINEMTIK FLUID 18 3.6 Prook Volumenski prook ili jednosavno prook Q jes volumen česica fluida koje u jediničnom vremenu prođu kroz promaranu površinu orijeniranu jediničnim vekorom normale n. ko se česice fluida gibaju brzinom v, a očke površine brzinom u, ada je relaivna brzina gibanja česica fluida u odnosu na površinu w = v u, a prook Q je definiran izrazom Q= wn d = v u n d. Mirujuća površina T() d n v d T(+) Primjer 1: Prook kroz mirujuću površinu ( u = 0 ) je prema općoj formuli Q = v n d. Česica fluida T se u renuku nalazi na površini d, a u renuku + će zauzei novi položaj u prosoru, pri čemu će prevalii pu v d, odnosno svojim gibanjem opisai kosu prizmu, kojoj je visina jednaka projekciji vekora pua na smjer normale dh= n v. Volumen česica fluida koje u vremenu d prođu kroz površinu d jednak je volumenu prizme = d dh= v nd. Elemenarni prook kroz površinu d jednak je po definiciji omjeru volumena d V i vremena, j. d Q= v nd =, a ukupni prook kroz površinu jednak je zbroju svih elemenarnih prooka, šo se opisuje inegralom Q = v nd. Poseban slučaj (brzina okomia na ravnu površinu) Q = v nd= vd v d Brzina je okomia na ravnu površinu i konsanna Q= vd= v v Gibajuća površina () d n u d (+) Primjer 2: Prook kroz površinu koja se giba brzinom u u miruju ćem fluidu ( v = 0 ) je prema općoj formuli Q = u nd. Gibanjem površine, elemen d opisuje kosu prizmu kojoj je duljina brida u, a volumen = u n d. Dakle gibanjem površine mirujuće česice fluida prelaze s desne na lijevu sranu površine, pa gledano relaivno u odnosu na površinu o je iso kao da je površina mirovala, a česice brzinom u prolazile kroz površinu. Zao je prook definiran izrazom Q = u nd.
MEHNIK FLUID KINEMTIK FLUID 19 ) Primjer 3: Prook kroz maerijalnu površinu ( u = v Q = ( v u ) n d = 0. Jasno je da kroz maerijalnu površinu nema prooka česica fluida jer se ona sasoji salno od jednih e isih česica. Prook fizikalne veličine Česice fluida osim volumena imaju masu, energiju, količinu gibanja, id. Prolaskom česice fluida kroz neku površinu, ona pronosi fizikalne veličine, pa se govori o proocima: volumena (šo je gore definirano jednosavno kao prook), mase, energije, količine gibanja i sl. ko se sa F označi fizikalna veličina, a sa Φ volumensku gusoću e fizikalne veličine, koja je definirana izrazom lim F df Φ = =, V 0 V d V odnosno sadržaj fizikalne veličine unuar česice fluida (unuar infiniezimalnog volumena ) jes df=φ, a sadržaj e fizikalne veličine unuar određenog volumena V je definiran inegralom F= Φ V 1 2 1 2 F= = 1; F= m Φ = ρ ; F= mv Φ = ρv, F= mv Φ = ρv 2 2 Primjeri: V Φ Dakle za slučaj gibajuće površine u gibajućem fluidu, volumenski prook kroz elemenarnu površinu d će bii dq= ( v u) n d, a prook fizikalne veličine pronesene kroz u površinu je dq = Φ v u nd, odnosno prook fizikalne veličine kroz ukupnu površinu je F Q = Φ v u n F d Primjeri: a) Maseni prook: Q = m = ρ ( v u) nd ; [ m] = MT 1, [ m] m površine: m = ρv nd. Za ρ = kons. vrijedi m = ρq. = kg/s I. Za slučaj mirujuće b) Težinski prook QG = G = ρ g( v u) nd ; 3 G = MLT, G N/s. Za slučaj I mirujuće površine: G = ρ gv nd =. Za ρ = kons. i g = kons. vrijedi G= mg =ρgq. Q = v v u nd c) Prook količine gibanja: ( KG ) ρ k k Za slučaj mirujuće površine: ( Q ) vekorska veličina!) 2 d) Prook kineičke energije: EK ρ KG k = ρv v nd 1 Q = v v u nd 2 k MLT 2 ; Q =, ( Q ) = N. KG k KG k I. (Prook količine gibanja je 2 3 ; [ Q ] [ Q ] = ML T, = W. EK EK I
MEHNIK FLUID KINEMTIK FLUID 20 3.7 Leibnizov eorem Brzina promjene veličine volumena V() () d n u d Gibajuća površina V(+) (+) a) Opći slučaj volumena V čija se granica giba brzinom u Brzina promjene volumena je po definiciji V( + ) V( ) =, a elemen površine d opisuje elemen volumena d = un d d, šo inegrirano po površini daje razliku volumena V + V, e je konačno: = u nd = u. d V Brzina promjene sadržaja fizikalne veličine unuar volumena d 0 1 fφ= lim f( r, + ) f( r, ) = 0 V V( + ) V( ) 1 lim f( r, + ) f( r, ) + f( r, + ) f( r, + ) = V () V() V( + ) V() + f ( r, + ) = + fu nd = + ( fu) V() V( + ) V() V( ) ( ) V( ) ( ) a) Opći slučaj gibajućeg volumena d f fu nd ( fu) V = + = + V V lokalna promjena promjena uslijed gibanja volumena b) Maerijalni volumen ( u = v, d D ) D f fv nd fv V = M V + = + M M V M c) Mirujući volumen (u = 0 ) d f V = V
MEHNIK FLUID KINEMTIK FLUID 21 3.8 Maerijalni volumen D Maerijalni volumen V M (fluidno ijelo) je uočeni dio prosora ispunjen fluidom koji se ijekom gibanja sasoji salno od jednih e isih česica. Maerijalni volumen je od okoline odijeljen maerijalnom površinom M koja se akođer sasoji salno od jednih e isih česica. Jasno je da je brzina gibanja maerijalne površine jednaka brzini gibanja česica fluida, koje čine maerijalnu površinu. U općem slučaju maerijalni volumen ijekom gibanja mijenja svoj položaj, oblik i veličinu, pa je za opis njegova gibanja, porebno opisai gibanje svake njegove česice. Nema prooka kroz maerijalnu površinu ( v = u ). Brzina promjene sadržaja fizikalne veličine za maerijalni volumen jednaka je f = + fv n VM () VM () M ()