. RUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţini algebrice) Un grpoid poate fi gândit ca n grp c mai mlte elemente nitate. Dacă n grpoid are n singr element nitate, atnci de fapt, este grp. Astfel noţinea de grpoid este o extensie a celei de grp. Pe de altă parte, vom vedea că grpoizii generalizează şi alte strctri printre care se nmără acţinile grprilor, relaţiile de echivalenţă şi spaţiile obişnite. Vom prezenta în acest capitol câteva aspecte algebrice elementare referitoare la grpoizi. Vom folosi definiţia grpoidli algebric dată de P. Hahn în [4]. ( ) Definiţie.. Un grpoid este o mlţime împrenă c o sbmlţime şi doă aplicaţii : ( ) ( x, y) xy ( aplicaţia prods ) x x ( aplicaţia de inversare ) având rmătoarele proprietăţi: () ( x ) = x ( ) (, yz) ( ) ( ) ( ) () Dacă ( x, y) şi ( y, z), atnci (, z) x şi ( xy ) z = x( yz) ( ) (3) ( ) x ( x, x ) = > xy, ( ), şi dacă ( y, x) atnci ( yx) x = y CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
4 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI ( ) (4) ( ) x = > ( x, x) ( ), şi dacă ( x, y) atnci x ( xy) = y Mlţimea () se nmeşte mlţimea perechilor compozabile, iar x - se nmeşte inversl li x. ( ) Pentr x se notează r( x) = xx şi d( x) = x x. Atnci (, y) x dacă. şi nmai dacă d(x) = r(y). U = r() = d() este spaţil nităţilor li, elementele sale fiind nităţi în sensl că xd(x) = r(x)x = x. Pentr, v U şi A, notăm = { x A : r( x) }, A v : { x A : d( x) = v } A : = = şi A v : = A A v. se nmeşte grp de izotropie pentr orice U, şi se mai notează c. Pentr A, B, definim A - = { x : x A} AB = { z : ( ) x A, ( ) y B c z = xy}. Pe U se defineşte rmătoarea relaţie de echivalenţă : ~ v < = > ( ) x astfel încât r ( x) = şi ( x) v şi d =. Clasele de echivalenţă se nmesc orbite, iar orbita nei nităţi U se notează []. O mlţime A U se nmeşte satrată sa invariantă dacă este reninea orbitelor elementelor sale (i.e. A şi v ~ => v A). Pentr A U mlţimea [A] = [] =d(r - (A)) = r(d - (A)) se nmeşte satrata li A. A se nmeşte grpoid tranzitiv dacă ( r,d): U U def este srjectivă sa, echivalent dacă pentr orice U avem ] U [ =. se nmeşte grpoid principal dacă ( r,d): U U este injectivă. Un sbgrpoid al grpoidli este o sbmlţime închisă pentr aplicaţia prods şi aplicaţia de inversare. Vom da o serie de exemple de grpoizi dintre care nele vor fi frecvent tilizate în capitolele rmătoare 4
REPREZENTĂRI DE RUPOIZI 5 Exemple... Orice grp este n grpoid. Mai mlt, grpoidl este grp <=> () = (orice doă elemente snt compozabile) <=> U conţine n singr element (elementl nitate al grpli). prin. Fie S o mlţime şi g n grp. Definim o strctră de grpoid pe =S g () : = {(( s, x, t ), ( s, x, t )) : t = } s (, x, t )( t, x, t ): ( s, x x, ) s = şi ( s, x, t) : = ( t, x,s) t Este şor de verificat că r(s,x,t) = (s,e,s), d(s,x,t) = (t,e,t) şi U = S {} e S (e elementl netr din g). De obicei vom identifica U c S. rpoidl = S g S se nmeşte grpoidl trivial pe S de grp g, şi este n grpoid tranzitiv. În particlar, orice grp poate fi considerat n grpoid trivial pe o mlţime formată dintr-n singr element, şi orice prods cartezian S S este n grpoid trivial pe S de grp { e. } pe S şi. Fie S o mlţime, g n grp care acţionează la stânga (respectiv la dreapta) g S (x,s) xs S ( resp. S g (s,x) sx S ) acţinea. Vom defini pe = g S (resp. = S g ) o strctră de grpoid astfel: ) {((x,s),(y, t) ) (g S) (g S) : s yt} (resp. : {((s,x),(t, y) ) (S g) (S g) : t sx} ( : = = ( x, yt)(y, t) : = (xy, t) (resp. ( s, x)(sx, y) : = (s, xy) ) (x,s) : = (x, xs) (resp. (s, x) : = (sx, x ) ) = ) C aceste operaţii devine grpoid c spaţil nităţilor U = {} e S (resp. U = S {} e ) (e elementl netr din g). Vom identifica spaţil nităţilor c S. Aplicaţiile r, d snt definite prin r ( x,s) = ( e, xs), d( x, s)= (e, s) pentr orice ( x,s) g S ) (resp. r ( s,x) = ( s,e), d( s, x)= (sx, e) pentr orice ( s, x) S g ). CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
6 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI rpoidl se nmeşte grpoidl determinat de acţinea li g pe S. este grpoid tranzitiv dacă şi nmai dacă acţinea li g pe S este tranzitivă, şi este grpoid principal dacă şi nmai dacă acţinea este liberă. 4. Dacă este grpoid ptem defini pe () o strctră de grpoid dpă cm rmează { : z = xy} ()() ( ) ( ) : = (( x, y),( z, w) ) (x,y)(xy,w) : = (x, yw) şi (x,y) - : = (xy, y - ) Notăm aplicaţiile r, d corespnzătoare grpoidli () c r (), respectiv d (). Avem r () (x,y) = (x,d(x)) şi d () (x,y) = (xy, d(xy)), deci spaţil nităţilor U ( ) poate fi identificat c. () este grpoid principal. rpoidl () este tranzitiv dacă şi nmai dacă este grp. 5. Fie n grpoid şi E o sbmlţime a spaţili nităţilor U. Notăm E = { x : r( x) E,d( x) E} = r ( E) d ( E) Dacă definim ( ) ( ) ca fiind ( ) ( ) E operaţiilor de pe, atnci şi operaţiile ca restricţii ale E E devine grpoid c spaţil nităţilor egal c E. E E este n sbgrpoid al li, nmit contracţia (sa redcerea) li la E. 6. Fie S o mlţime şi R S S o relaţie de echivalenţă. Lăm ( ) = {(( s, t ), ( s, t )): t t } R = şi definim (s, t ) (t, t ) : = (s, t ) şi (s, t) - : = (t, s). Este şor de verificat că R devine grpoid c U R = {(,s): s S} s. Vom identifica frecvent U R c S şi astfel, r(s,t) = s, d(s,t).= t. R este grpoid principal. Pnem în evidenţă doă cazri extreme. Dacă R = S S, atnci R este grpoidl trivial pe mlţimea S, iar dacă R = diag(s) = {(,s): s S} s, atnci R se nmeşte grpoidl co-trivial pe mlţimea S. 7. Dacă este n grpoid, atnci {(, v) U U :( ) x, r( x) =,d( x) = v} = {( r( x),d( x) ): x } este relaţia de echivalenţă pe U din definiţia.. rpoidl definit de această relaţie de echivalenţă (ca în exempll anterior) se nmeşte grpoidl principal asociat li şi se notează c (r,d)(). Spaţil nităţilor acesti grpoid se identifică c U. 6
REPREZENTĂRI DE RUPOIZI 7 8. Fie S o mlţime şi p : S U o aplicaţie srjectivă. Nmim p - () fibra peste şi o notăm c S pentr U. Fie Iso(S, p, U) = { (v, ϕ, ) : ϕ : S S v este bijectivă}. Spnem că doă elemente (v, ϕ, ) şi (v, ϕ, ) snt compozabile dacă şi nmai dacă = v. Definim rmătoarele operaţii (v, ϕ, )(, ϕ, ) : = (v, ϕ ϕ, ) şi (v, ϕ, ) - : = (v, ϕ -, ). Relativ la aceste operaţii Iso(S, p, U) este n grpoid, nmit grpoidl de izomorfisme ale fibratli p : S U. 9. Fie S o mlţime. Notăm: Inj(S) : = { f : D(f) S : D(f) S, f injectivă} R() f : = f ( D() f ) S Lăm ( ) ( Inj S ) {( f, g) : D( f ) = R( g) } =, şi definim rmătoarele aplicaţii: [ ] ( f,g) fg : Inj( S) ( ) Inj( S), fg : D( g) S, fg( x) = f ( g( x) ) f f Pentr a defini [: Inj( S) Inj( S) ] f ţinem cont de faptl că : D() f S deci f : D() f R() f, f ( x) f ( x)( ) x D( f ) ( ) g : R( f ) D( f ), g = f f f este injectivă, = este bijectivă, şi (inversa li f relativ la compnere ). Definim : R( f ) S, f ( x) = g( x) ( ) x R( f ). C aceste operaţii ( S ) Pentr acest grpoid aplicaţiile de proiecţie,d : Inj( S) U Inj ( S) () f f f D ( f ) d = r f f f = =, () = R( f ) iar spaţil nităţilor este dat de U Inj ( S) { A : A S / A S} =, nde prin A am notat fncţia identică pe A. Inj devine grpoid. r snt definite prin Pnem în evidenţă doi sbgrpoizi şi grpoidli Inj ( S). Dacă U = { : S S} 0 S atnci Inj { } = { f : S S / f bijectivă} ( S) = f : D() f S / D( f ) = S = R ( f ) U 0 CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
8 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI Deci contracţia grpoidli Inj ( S) la mlţimea formată din fncţia identică a li S este chiar grpl de permtări al li S. Dacă {} P este o partiţie a li S şi { : P } U = P P atnci ( S) { f : D() f S injectivă / () P, P a.î. D() f = P şi R() f P } Inj = P =. U rpoidl Inj ( S) U se notează c ( S, P ) P P Inj şi este format din fncţiile injective al căror domeni şi a căror imagine aparţin partiţiei P. Dacă P = {P i } i I, definim p : S I, prin p(s) = i dacă s P i. Este şor de observat că grpoidl ( S, P ) Inj poate fi identificat c Iso(S, p, I). rpoizii Inj(S) şi Iso(S, p, I) pot fi priviţi ca grpoizi care generalizează grpl de permtări ai mlţimii S. Definim 0. Fie = { } U o familie de grpri indexate dpă o mlţime U. Notăm U = {(,t) : U, t }. (U ) () : = {((, t),(v, s)) : = v}, (, t)(,s) : = (, ts) şi (, t) - :=(, t - ). C această strctră U devine n grpoid, nmit fibrat de grpri peste U. Pnem în evidenţă n fibrat de grpri asociat ni grpoid H. Fie I = {x H : r(x) = d(x)}. I este n sbgrpoid al li H. Deoarece I este reninea disjnctă H { }, I poate fi U H privit ca n fibrat de grpri (grprile de izotropie ale li H) peste spaţil nităţilor li H. I este nmit fibratl de grpri de izotropie al li H.. Fie { α } α A o familie de grpoizi disjncţi doi câte doi, şi = α. C () = α A ( ) α şi c operaţiile evidente devine grpoid.. Fie { α } α A o familie de grpoizi, şi = α A () = {((x α ), (y α )) : (x α, y α ) şi c operaţiile definite pe componente devine grpoid. α ( ) α }. C α A 8
REPREZENTĂRI DE RUPOIZI 9 Definiţie.3. Dacă, H snt grpoizi atnci o fncţie ρ : H se nmeşte ( ) ( ) morfism (strict) dacă pentr orice ( x, y) rezltă ( ( x), ρ( y) ) ρ ( x) ρ( y) = ρ( xy). Dacă ρ este şi bijectivă, atnci se nmeşte izomorfism. ρ şi Este şor de observat că orice morfism comtă c aplicaţiile r şi d (ρ r = r ρ şi ρ d = d ρ), dce nităţile în nităţi şi inversele în inverse. Pentr n morfism de grpoizi ρ: H se notează c ρ ~ restricţia li ρ la U, ρ ~ : U U H. Propoziţie.4. ) Orice morfism de grpoizi triviali ϕ : S g S S g S este de forma ϕ(s, x, t) = (ϕ(s, e, s), θ(s)f(x)θ(t) -, ϕ(t, e, t)), nde e este elementl netr al grpli g, f : g g este n morfism de grpri, iar θ : S g este o aplicaţie oarecare. ) Dacă = S S este n grpoid trivial pe o mlţime S şi este n grpoid oarecare, atnci orice morfism ϕ : este de forma ϕ(s,t) = θ(s)θ(t) - = θ(r(s,t))θ(d(s,t)) -, nde θ : S (= U ) este o fncţie oarecare. Demonstraţie. ) Deoarece ϕ r = r ϕ şi ϕ d = d ϕ, atnci componentele şi 3 din ϕ(s, x, t) trebie să fie ϕ(s, e, s), respectiv ϕ(t, e, t). Fie n b S fixat. Definim θ : S g şi f : g g prin ϕ(s, e, b) = (ϕ(s, e, s), θ(s), ϕ(b, e, b)), ϕ(b, x, b) = (ϕ(b, e, b), f(x), ϕ(b, e, b)). Avem (ϕ(b, e, b), f(xy), ϕ(b, e, b)) = ϕ(b, xy, b) = ϕ((b, x, b)(b, y, b)) = ϕ(b, x, b)ϕ(b, y, b) = = (ϕ(b, e, b), f(x), ϕ(b, e, b)) (ϕ(b, e, b), f(y), ϕ(b, e, b)) = (ϕ(b, e, b), f(x)f(y), ϕ(b, e, Obţinem f(xy) = f(x)f(y) pentr orice x,y g, deci f morfism de grpri. În pls, ϕ(s, x, t) = ϕ((s, e, b)(b, x, b) (b, e, t)) = ϕ(s, e, b)ϕ(b, x, b) ϕ(t, e, b) - = = (ϕ(s, e, s), θ(s), ϕ(b, e, b)) (ϕ(b, e, b), f(x), ϕ(b, e, b)) (ϕ(t, e, t), θ(t), ϕ(b, e, b)) - = = (ϕ(s, e, s), θ(s)f(x)θ(t) -, ϕ(t, e, t)). Se observă că aplicaţiile f : g g, θ : S g n snt nice (depind de alegerea li b din S ). b)). CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
0 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI ) Fie b S fixat. Definim θ : S (= U pentr (s,t) S S, ) prin θ(s) = ϕ(s,b). Atnci ϕ(s,t) = ϕ((s,b)(b,t)) = ϕ(s,b)ϕ(b,t) = ϕ(s,b)ϕ(t,b) - = θ(s) θ(t) - = θ(r(s, t)) θ(d(s, t)) -. Propoziţie.5. ) rprile de izotropie ale ni grpoid corespnzătoare la nităţi din aceeaşi orbită snt izomorfe. ) Orice grpoid poate fi scris, în mod nic, ca o renine disjnctă de grpoizi tranzitivi. 3) Orice grpoid tranzitiv este izomorf c n grpoid trivial de grp egal c nl din grprile de izotropie ale grpoidli. Demonstraţie. Pentr a arăta prima afirmaţie, considerăm,v U c ~ v. Atnci există x astfel încât r(x) = şi d(x) = v. Aplicaţia I x :, definită v v prin I x (y) = xyx -, este în mod evident n izomorfism de grpri. A doa afirmaţie rezltă din faptl că = [], iar [] este grpoid tranzitiv. Pentr a demonstra a [] treia afirmaţie, să observăm că dacă este tranzitiv şi U este o nitate fixată, atnci aplicaţia r σ = r este srjectivă, şi deci există σ : U injectivă astfel încât U. Definim ϕ : U U, prin ϕ(v, x, w) = σ(v)xσ(w) - pentr orice (v, x, w) U Se verifică şor că ϕ este izomorfism, şi că ϕ - : U U. U, ϕ - (x) = (r(x), σ(r(x)) - xσ(d(x)), d(x)). Definiţie.6. Fie şi doi grpoizi. Morfismele ϕ, ϕ : se nmesc similare dacă există o fncţie θ : U astfel încât ( x) =θ( r( x) ) ϕ ( x) θ( d( )) ϕ pentr orice x din. x Doi grpoizi şi se nmesc similari dacă există doă morfisme ϕ : şi : ϕ astfel încât ϕ ϕ este similar c identitatea din şi ϕ ϕ este similar c identitatea din. 0
REPREZENTĂRI DE RUPOIZI Observaţie.7.. Noţinea de similaritate pentr morfisme de grpoizi generalizează noţinea de conjgare pentr morfisme de grpri. Aceasta înseamnă că, dacă şi snt grpri, atnci morfismele ϕ, ϕ : snt similare în sensl definiţiei precedente dacă şi nmai dacă există b astfel încât ( x) = bϕ ( x) ϕ pentr orice x. b. Relaţia de similaritate a grpoizilor este o relaţie de echivalenţă..8. Exemple de grpoizi similari. Orice grpoid este similar c contracţia li la o mlţime care intersectează fiecare orbită. Într-adevăr, fie U 0 o sbmlţime a li U care intersectează fiecare orbită (i.e. [U 0 ] = U ). Fie i : U0, definită prin i(x) = x pentr orice x U0, şi o fncţie θ : U definită dpă cm rmează. θ() = pentr orice U 0. Dacă U 0 există v U 0 c v ~, şi deci există x c r(x) = şi d(x) = v. În acest caz pnem θ() = x. Considerăm morfisml de grpoizi ϕ: U0, definit prin ϕ(x) = θ(r(x))xθ(d(x)) - pentr orice x. Deoarece θ() = pentr U 0, ϕ coincide c identitatea pe U şi deci ϕ i este identitatea pe 0 U 0. Pentr a arăta că i ϕ = ϕ este similar c identitatea li, tilizăm θ: ϕ(x) = θ(r(x))xθ(d(x)) - pentr orice x.. Orice grpoid este similar c o renine disjnctă de grpri. Dacă în exempll precedent U 0 conţine exact câte n element din fiecare orbită, atnci U0 =, şi deci este similar c. U 0 3. Un grpoid tranzitiv este similar c n grp. Într-adevăr, conform exemplli.8., este similar c {} = U 0. 4. Dacă este n grp şi H este n sbgrp a li, atnci F = \H (grpoidl determinat de acţinea li pe \H ) este similar c H. CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI similar c Dacă în exempll.8. U 0 = {(H,e)} (e este nitatea grpli ), atnci F este F U0 F este similar c H.. Deoarece h (H, h) este n izomorfism al li H pe F U0, rezltă că Acţinea la stânga (respectiv la dreapta) a ni grp pe o mlţime S este dată de n morfism (respectiv n antimorfism) al li pe grpl permtărilor li S. Prin analogie vom defini acţinea ni grpoid pe o mlţime. (a) Propoziţia.9. Fie n grpoid şi S o mlţime. Considerăm F { S} ( S) = f : D( f ) S D( f ) ψ : F ( S) Pentr x notăm c '( x) ψ ( x) : D' ( x) S, D' ( x) S Notăm ( x )( s) = xs ψ. D domenil aplicaţiei ψ(x), deci ψ este n morfism de grpoizi de la la Inj ( S) (grpoidl din exempll..9) dacă şi nmai dacă rmătoarele doă condiţii snt îndeplinite şi s D' ( ) => s = s U ( ) (b) ( x, y), s D' ( y) Demonstraţie. Pentr că (a)+(b) => : Inj( S) proprietatea că ψ ( x)( s ) = ψ( x)( ) avem ( x) ( xy) ys D' => şi x( ys) = ( xy)s s D' x notăm c R' ( x) = { xs / s D' ( x) }. Demonstrăm ψ morfism de grpoizi. Fie s Analog x ( xs ) = s x x şi,s D' ( x) s c (echivalent c xs = xs ). Deoarece s D (x), ( xs ) = ( x x) s = d( x) s ( a ) = d(x) U ( ). Dar xs = xs, deci s = s. Am demonstrat că ψ(x) este injectivă pentr oricare x, şi în consecinţă că ψ : Inj(S) este corect definită. Arătăm că D' ( x) R' ( x ) = pentr oricare x. Dacă s D (x), atnci s
s REPREZENTĂRI DE RUPOIZI 3 = ( x x) s = x ( xs) R' ( x ). Dacă s R' ( x ), atnci există t '( x ) D astfel încât s = x t, şi din (x, x - ) () () rezltă că s D (x). Arătăm că pentr ( x, y) avem ( x) R' ( y) D ' =. Dacă s R (y), atnci există t D (y) astfel încât s = yt. Din () (, y) x rezltă că s = yt D (x). Reciproc, dacă s D (x) atnci xs D (x - ), şi ( ) din ( y, x ) rezltă că s D (y - ( ) ) = R (y). În consecinţă, din ( x, y) rezltă ( ψ ( x), ψ( y) ) Inj( S) ( ) (). Pentr (, y) = R (y - ) = D (y). Pentr s D' ( xy) = D' ( y) ψ avem () x rezltă că ( xy, y ) ( x) ψ( y)( s) = ψ( x) ( ψ( y)( s) ) = ψ( x)( ys) = x( ys) = ( xy) s = ψ( xy)( s) Deci ψ este morfism de grpoizi. Demonstrăm că : Inj( S) s D' ( ) s ψ ( ) b) şi D (xy) ψ morfism => (a)+(b). Fie U şi = (s) s. Condiţia (a) este astfel îndeplinită. = nitate=> ψ ( ) nitate ( ) Dacă ( x, y) şi s D' ( y) = D( ψ( y) ) = ( y )( s) R( ψ( y) ) = R' ( y) ψ = D '(x)., atnci ys Pe de altă parte din ψ( xy) = ψ( x) ψ( y) rezltă ( ) s x( ys) xy =. Definiţie.0 Fie grpoid, S o mlţime şi F S o sbmlţime c proprietatea că pentr fiecare x există cel pţin n s S astfel încât ( x,s) F. Pentr x notăm D' ( x) { s S: ( x,s) F} =. O fncţie ψ : F S se nmeşte acţine la stânga a li în S dacă şi nmai dacă fncţia : ( S ), ψ( x)( s) = ψ( x,s) propoziţia.9. ψ F satisface condiţiile (a) şi (b) din Dacă S D' ( x) = = F spnem că acţionează pe S. x x x CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
4 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI Observaţie.. Fie S D' ( ) =. Atnci S 0 x x S 0 şi ( ) Inj este n sbgrpoid al grpoidli Inj ( S). Deci orice acţine a grpoidli pe S dă naştere nei acţini a grpoidli pe S 0. S 0 ψ : Inj S se nmeşte Definiţie. Un morfism de grpoizi ( ) S reprezentare a li prin permtări. Dacă P este o partiţie a li S atnci o acţine căreia îi corespnde n morfism ( S; P ) ψ : Inj se nmeşte acţine care respectă partiţia P. din ( x) ψ( y) Morfisml de grpoizi ψ : se nmeşte adevărat dacă şi nmai dacă ψ definit rezltă xy definit. xy definit. O acţine este adevărată dacă şi nmai dacă s D' ( y) şi D' ( x) ys implică Propoziţia.3. Dacă este n grpoid, S o mlţime şi : Inj( S) ψ este n morfism atnci ψ este adevărat dacă acţinea corespnzătoare este adevărată. Reciproca este adevărată dacă acţinea respectă o partiţie. Demonstraţie. Pentr x,y, ( ) ( ψ ( x), ψ( y) ) <=> R( ψ( y) ) = D( ψ( x) ) <=> R' ( y) = D' ( x) Dacă acţinea este adevărată, atnci avem şirl de implicaţii ( y) => ys R' ( y) = D' ( x) xy s D' => este definit. Pentr reciprocă observăm că dacă s D' ( y) şi ys D' ( x) ( x) R' ( y) ys D'. Deoarece '( x) R' ( y) φ, atnci D, şi acţinea este sbordonată nei partiţii, avem ( ) ( ) D '( x) = R' ( y), de nde rezltă ( ψ ( x), ψ( y) ), şi deci (, y) x. Propoziţia.4. Dacă ( x,s) xs este o acţine adevărată a grpoidli pe o mlţime S, considerăm relaţia definită prin ( ) x s ~ t <=> astfel încât xt = s 4
REPREZENTĂRI DE RUPOIZI 5 şi definim orbita [s] pentr s S ca fiind { xs : s D' ( x) } [ s] =. Atnci relaţia ~ este o relaţie de echivalenţă. încât (,s) F Demonstraţie. Verificăm doar reflexivitatea. Fie s S şi x astfel x. Atnci s D (x), xs D (x - ) şi s = ( x x)s. Teorema.5. (Teorema li Cayley) Fie n grpoid. Considerăm rmătoarea partiţie a li, = { } U ψ Dacă x definim ψ ( x) Inj(, P ) prin ψ d( x ) ( x) : ( x)( y) = xy P. Atnci ψ este n morfism adevărat, şi de fapt n izomorfism al li pe n sbgrpoid al li (, P ) Inj. Demonstraţie. Evidentă. Observaţie.6. Conform exemplli..9 grpoidl (, P ) Inj poate fi identificat c grpoidl Iso(, r, U ), şi deci teorema li Cayley mai poate fi ennţată şi astfel: Orice grpoid este izomorf c n sbgrpoid al li Iso(S, p, U) pentr n anmit fibrat p : S U. Propoziţia.7. Pentr definim *s r( x) x considerăm '( x) d( x) x =. Atnci * este o acţine adevărată a li pe U. Demonstraţie. Evidentă. D = { } şi pentr s D' ( x) Observaţie.8 În restl lcrării prin acţine ( x,s) xs [ : F S] vom înţelege o acţine adevărată şi având în pls, proprietatea că S = D' ( x) = Fx. Pentr astfel de acţini ptem defini o aplicaţie p : S U prin p(s) = d(x), nde x este n element din c proprietatea că (x, s) F. Aplicaţia p se notează c r, când x x CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
6 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI n există pericol de confzie c aplicaţia scop r a grpoidli. C această observaţie ptem defini acţinile în rmătorl mod (notând mlţimea F c S): Definiţie.9. Fie n grpoid şi S o mlţime. Spnem că acţionează la stânga pe S, sa că S este n -spaţi la stânga, dacă există o srjecţie r:s şi o aplicaţie (,s) xs U încât să fie îndeplinite rmătoarele condiţii: x definită pe S = {( x,s):d( x) = r( s) } () r( xs) = r( x), ( x,s) S ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) y, yx, s, x s x,s S, y, x y( x s) = ( yx ) s () 3 r() s s = s,s S astfel S Acţinile la dreapta şi -spaţiile la dreapta se definesc similar, dar vom nota c d aplicaţia de la S la U şi c S = {(s, x) : d(s) = r(x) }. Observaţie.0.. Dacă acţionează la stânga ( respectiv la dreapta ) pe S, atnci S (resp. S ) are o strctră de grpoid şi se nmeşte grpoidl acţine la stânga (resp. la dreapta). Spaţil perechilor compozabile ( S) ( ), (resp. ( ) ( ) se defineşte ca iar operaţiile {(( x,s ),( x,s )) : s = x } ( resp. {((, x ),( s x )): s s } s (, x s )( x, s ): ( x x, ) x = şi ( x, s) : = ( x, xs) s (resp. (, x )( s x, x ): ( s, x ) x s = ), x S ) s = şi ( s, x) : ( sx, x ) = ). Spaţil nităţilor li S (resp. S ) se identifică c S prin aplicaţia s ( r(s), s ) ( resp. s ( s, d(s) ) ) deoarece r ( x,s) = ( x,s)( x,s) = ( x,s)( x, xs) = ( xx, xs ) = r( x) (, xs) = ( r( xs), xs), (resp.: d r ( x,s) = ( x, s) ( x, s) = ( x, xs)( x,s) = ( x x, s) = d( x) (,s) ( s, x) = ( s, x)( s, x) = ( s, x)( sx, x ) = ( s, xx ) = s,r( x) ( ) 6
REPREZENTĂRI DE RUPOIZI 7 d ( s, x) = ( s, x) ( s, x) = ( sx, x )( s, x) = ( sx, x x) = sx,d( x) rpoizii S şi S generalizează grpoizii din exempll..3. ( ) = ( sx,d( sx) ) Scriem \ S (resp. S / ) pentr spaţil cât obţint prin factorizarea la rmătoarea relaţie de echivalenţă: s ~ t <=> ( ) x astfel încât xs = t (resp. sx = t ).. Pnem în evidenţă grpoidl obţint prin acţinea la dreapta prin translaţie a li aspra li însşi. În acest caz = ( ), iar strctra de grpoid este aceeaşi c cea din exempll..4. Unităţile ( x, d(x) ) şi ( y, d(y) ) snt echivalente dacă şi nmai dacă r(x) = r(y). Astfel, ( ) poate fi privit ca o relaţie de echivalenţă ). pe ale cărei clase de echivalenţă snt spaţiile, U. Definiţie.. Fie S n -spaţi la stânga, şi fie S op tot spaţil S, dar pe care se consideră acţinea li la dreapta, definită dpă cm rmează : sx: = x s. Se notează c S op S: = op {( s, t) : d ( s) = r( t) } = {( s, t) : r( s) = r( t) } şi se defineşte acţinea diagonală prin : x ( s, t) : = ( sx,sxt) = ( xs, x t) op, dacă d( x) d ( s) = r( t) =. d op = r şi Notăm spaţil cât \ (S S) prin sa prin S op S, iar elementele sale prin [s, t], pentr (s, t) strctră de grpoid definită prin : S op S. Rezltă că avem [s x, t] = [s, x t]. are o ( ) : = {([ s, t ],[ s, t ]):( ) x c proprietatea s x t } = [ s, t ][ s, t ] = [ s, t ][ t x, t ] = [ s, t ][ t, x t ]: = [ s, x t ] = [ s x, ] t [ s, t] : = [ t, s] Aplicaţiile de proiecţie snt : r ([ s, t] ) = [ s, t][ s, t] = [ s, t][ t,s] = [ s,s] ([ s, t] ) = [ s, t] [ s, t] = [ t,s][ s, t] = [ t, t] d CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
8 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI Spaţil nităţilor U se identifică c \ S prin aplicaţia [s] [s, s], şi astfel ptem scrie r ([ s, t] ) = [s] şi ([ s, t] ) [t] d =. S devine spaţi la dreapta dacă pnem : d : S \ S U, d(s) = [s] S = { ( q,[ s, t] ) : d( q) r( [ s, t] )} = {( q, [ s, t] ) : [q] = [s]} = ( q, [ s, t] ):( ) x,q = x s = sx { } q [q x, t] = q [q, x t] : = x t. Acţinile li şi comtă : =. ( q[ s, t] ) = x ( q[ qx, t] ) = x ( xt) = ( xx ) t = x q[ ( x q)( xx ), t] = q ( qx )( xx ), t = xq qx, t = xq s, t x [ ] [ ] ( )[ ] x Dând-se n -spaţi la dreapta S, ptem transforma S într-n -spaţi la stânga, notat de asemenea c S op, prin formla x s: sx =. Aplicaţia op r este d. Ptem forma grpoidl = S, care este câtl li op S S prin acţinea S op diagonală a li, şi ptem observa că S acţionează la stânga pe S. Din no, S op această acţine comtă c acţinea iniţială a li. rpoidl = S op S ( resp. S ) asociat -spaţili la stânga ( S op resp. la dreapta ) S se nmeşte grpoidl de imprimitivitate al perechii ( S, ), sa simpl al li S dacă roll li este clar. rpoidl acţionează liber pe S (la stânga) dacă x s = s implică x = d(x) = r(s). Analog se defineşte noţinea de acţine liberă la dreapta. Definiţie.. Fie şi H doi grpoizi. Spnem că şi H snt echivalenţi dacă există o mlţime S, o acţine la stânga, liberă a li pe S şi o acţine la dreapta, liberă a li H pe S astfel încât:. cele doă acţini comtă. aplicaţia r indce o bijecţie între S / H şi în H astfel încât s x = s U i.e ( s ) r( ) r = <=> ( ) x s 8
REPREZENTĂRI DE RUPOIZI 9 3. aplicaţia d indce o bijecţie între \ S şi H y astfel încât y s = s U i.e ( s ) d( ) d = <=> ( ) s S se nmeşte echivalenţă între şi H sa simpl (, H ) echivalenţă. Observaţie.3. Dacă acţionează liber pe S la stânga, iar este grpoidl constrit anterior atnci S este o (,) -echivalenţă. Exemple de echivalenţe.4.. Prespnem că este grpoidl trivial peste {,,3,,n}, (deci = {,,3,..., n} {,,3,..., n} ), H este {,,3,..., m} {,,3,..., m} {,,3,..., n} {,,3,..., m}, şi S este. Aplicaţia r este definită prin r(k,l):=k, în timp ce aplicaţia d prin d(k,l):=l. Dacă ( i, j) şi ( j, k) S, atnci ( i, j)( j,k) : = ( i,k) şi analog se defineşte acţinea (la dreapta) a li H pe S. Se verifică şor că S este o (,H)- echivalenţă. d. Fie n grpoid şi T o sbmlţime a li U a cărei satrată [T] = ( r ( T) ) r d ( T) ( ) = este întreaga mlţime U. Fie T S =. Deoarece d(s) = U, acţionează la dreapta pe S prin translaţie (mltiplicare) la dreapta. Analog, pentr că r(s) = T (T este spaţil nităţilor li T T ), este şor de observat că acţionează pe S la stânga prin mltiplicare la stânga, şi că S este o (,) T - echivalenţă. 3. Un caz particlar al exemplli de mai ss se obţine pnând T = U. În acest caz rezltă că este o (,)-echivalenţă. 4. Noţinea de echivalenţă generalizează noţinea de izomorfism. Dacă avem ϕ : H n izomorfism, atnci devine o (,H)-echivalenţă considerând că acţionează pe prin mltiplicare la stânga, iar acţinea li H pe este dată prin : xy = xϕ(y). CAPITOLUL :RUPOIZI. MORFISME.ACŢIUNI (NOŢIUNI ALEBRICE)
30 MĂDĂLINA ROXANA BUNECI Observaţii.5.. Dacă şi H snt echivalenţi via S, atnci H este izomorf op c. Într-adevăr ;dacă [ s, t], atnci r() s = d () s = r() t. Astfel există n nic x astfel încât tx =s.se verifică şor că aplicaţia [, t] x s este n izomorfism.. Dând-se n grpoid şi n -spaţi liber la stânga S, este şor de demonstrat că şi snt izomorfi, nde = ( ). 3. Echivalenţa de grpoizi este o relaţie de echivalenţă. Într-adevăr, dacă S este o (,H)-echivalenţă, şi T este o (H,K)-echivalenţă, atnci echivalenţă, nde S H S H T este o (,K)- T este spaţil cât obţint prin factorizarea li S relativ la acţinea diagonală a li H: ((, t), x) ( s x, x t) s. Propoziţie.6. ) Dacă este n grpoid tranzitiv, atnci pentr fiecare nitate U, şi { } snt echivalenţi. ) Fiecare grpoid este echivalent c n fibrat grpal. Demonstraţie. A doa afirmaţie rezltă din prima, pentr că echivalenţa respectă reninile disjncte. Prima afirmaţie este n caz particlar al exemplli.4. - este sficient să considerăm T ={}. Faptl că este tranzitiv este echivalent c [] = U. Propoziţie.7. Doi grpoizi snt echivalenţi dacă şi nmai dacă snt similari. Demonstraţie. Deoarece ambele noţini respectă reninile disjncte, ptem prespne că cei doi grpoizi snt tranzitivi. Vom ţine de asemenea seama de faptl că doă grpri snt echivalente sa similare dacă şi nmai dacă snt izomorfe. Este sficient să observăm că n grpoid tranzitiv este similar şi echivalent c { }, ( ). 30