Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί 1η. Άσκηση Να αποδείξετε ότι Α) όπου Β) Αν με τότε Γ) όπου ν Δ) Αν με τότε Ε) αν για τους μιγαδικούς z, w ισχύει τότε 2η. Άσκηση Α) Εφαρμογή 1 σελίδα 93. Β) Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση: Γ) Άσκηση βιβλίου 8 σελίδα 95 και 4 Β ομάδα σελίδα 96. 3η. Άσκηση A) Να υπολογίσετε τις ρίζες και της εξίσωσης. B) Να αποδείξετε ότι Γ) Να υπολογίσετε την παράσταση 4η. Άσκηση A) Να βρείτε την γεωμετρική σχέση που έχουν οι μιγαδικοί z, iz, -iz. Β) Άσκηση βιβλίου 3 Β ομάδα σελίδα 96. Γ) Άσκηση βιβλίου 3 Β ομάδα σελίδα 96. Δ) Να υπολογίσετε την παράσταση,. 5η. Άσκηση Να δείξετε ότι οι αριθμοί και είναι πραγματικοί αριθμοί. 6η. Άσκηση Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί με. Να δείξετε ότι ο αποκλείεται να είναι πραγματικός. 7η. Άσκηση Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού Οx. με τον ημιάξονα 8η. Άσκηση Έστω η συνάρτηση, για την οποία ισχύει, για κάθε. Να αποδείξετε ότι f(z) = για κάθε. (υπόδειξη: περνάς πρώτα στην και μετά μετασχηματίζοντας την αρχική σε και μετά καταλήγεις στην.) 9η. Άσκηση Να γραφεί ο σαν άθροισμα δυο μιγαδικών z 1, z 2 οι εικόνες Μ, Ν των οποίων είναι σημεία των ευθειών ε 1 : και ε 2 : αντίστοιχα. 10η. Άσκηση Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύει, να δείξετε ότι οι αριθμοί z και w είναι πραγματικοί. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 1
11η. Άσκηση Αν, με να αποδείξετε. (Διάταξη στο C) 12η. Άσκηση Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί αν. (Διάταξη στο C) 13η. Άσκηση Για τους μιγαδικούς z και w ισχύει θετικός αριθμός τότε το φανταστικό μέρος του w είναι αρνητικός αριθμός. 14η. Άσκηση. Να αποδείξετε ότι αν το φανταστικό μέρος του z είναι Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M(x,y) για τα οποία ισχύει z z z, όπου z = x+yi με, είναι παραβολή. 15η. Άσκηση Α) Αν με και, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z όταν. (Απάντηση: 2x+y=4, -{A(2,0)}) Β) Αν με, όπου να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z. (Απάντηση: πάνω από τον άξονα x x). 16η. Άσκηση Α) Άσκηση ΣΒ 9 σελίδα 101 (Να μάθουμε τον τύπο) Β) Αν και, να βρεθεί η τιμή της παράστασης 17η. Άσκηση Αν και, να βρεθεί η τιμή της παράστασης Π= 18η. Άσκηση Έστω z C και Να βρείτε το 19η. Άσκηση Έστω z C και. Να βρείτε το. 20η. Άσκηση Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: i) ii), iii), v), vi), vii), viii), iv) 21η. Άσκηση Να βρεθούν οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει: i), ii) 2-z, iii) 22η. Άσκηση Να βρείτε τον σε κάθε μια από τις παρακάτω: i) ii) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 2
23η. Άσκηση Δίνονται οι μη μηδενικοί μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει η σχέση:. α) Να δείξετε ότι, β) Να βρεθούν οι μιγαδικοί που ικανοποιούν την (1), γ) Είναι ο κύκλος ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z; γ.1) Είναι σωστή η διατύπωση: να δείξετε ότι οι εικόνες του z που ικανοποιούν την (1) ανήκουν στον κύκλο. 24η. Άσκηση Αν και ισχύει, να δείξετε ότι ο z δεν είναι πραγματικός. 25η. Άσκηση Έστω, ( μιγαδικοί με ν>1 και τότε να δείξετε ότι είναι φανταστικός 26η. Άσκηση Αν, να δείξετε ότι. 27η. Άσκηση Αν ο μιγαδικός αριθμός z ικανοποιεί τις σχέσεις: (1), Im (z) 2 (2) και z 2 (3). Να γραμμοσκιάσετε στο μιγαδικό επίπεδο το χωρίο που αντιπροσωπεύει το σύνολο των εικόνων του z και να βρείτε το εμβαδόν του. 28η. Άσκηση Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z και να γράψετε την αντίστοιχη καρτεσιανή εξίσωση σε κάθε περίπτωση: i), ii), iii) και iv). 29η. Άσκηση Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z σε κάθε περίπτωση: i) ii), iii) και iv) 30η. Άσκηση Έστω με i) Να βρείτε τον παραπάνω γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z. ii)να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των w όπου. 31η. Άσκηση Έστω με.να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w=x+yi για τον οποίο ισχύει. 32η. Άσκηση Για τους μιγαδικούς αριθμούς z ισχύει: Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z. Ποιος από τους μιγαδικούς που ικανοποιούν την προηγούμενη σχέση έχει το μικρότερο μέτρο; Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w ισχύει z+2w=1, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w. 33η. Άσκηση A) Να βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:. Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση των μιγαδικών που ικανοποιούν την προηγούμενη σχέση με την εικόνα του μιγαδικού. B) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z αν και =2. 34η. Άσκηση Α) Να βρεθεί το μέγιστο και το ελάχιστο μέτρο των μιγαδικών που ικανοποιούν τη σχέση. Β) Αν, μιγαδικοί που ανήκουν στον προηγούμενο ΓΤ με, να βρεθεί το (υπόδειξη σκέψου με διανύσματα =10) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 3
35η. Άσκηση Αν η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει σε κύκλο κέντρου Κ(2,-1) και ακτίνας 3, να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του 36η. Άσκηση Έστω για το μιγαδικό z ισχύει. α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z για τους οποίους ισχύει η προηγούμενη σχέση. β) Ποιος από τους μιγαδικούς z έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο μέτρο. 37η. Άσκηση Έστω για το μιγαδικό z ισχύει:. α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z για τους οποίους ισχύει η προηγούμενη σχέση. β) Ποιος από τους μιγαδικούς z έχει το ελάχιστο μέτρο. 38η. Άσκηση A) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z για τους οποίους ισχύει η σχέση: α), β) γ) Ποιος από τους μιγαδικούς z της περίπτωσης (α) έχει το ελάχιστο μέτρο. (γεωμετρική λύση) B) Δίνεται και, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z και να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης. 39η. Άσκηση Άσκηση 3 σελίδα 123. 40η. Άσκηση Αν για τον μιγαδικό z ισχύει να δείξετε ότι. 41η. Άσκηση Αν για τον μιγαδικό z ισχύει παράστασης:.. Να υπολογίσετε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της 42η. Άσκηση Εφαρμογή 1 σελίδα 99 43η. Άσκηση Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ, Δ που είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών 0, 3, 3+ 3i, 6 + 3i αντίστοιχα, α) Εξετάστε το είδος του τετράπλευρου που σχηματίζεται. β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης με. (υπόδειξη: φτιάξε σχήμα, η ελάχιστη τιμή είναι το κέντρο του παραλληλογράμμου) 44η. Άσκηση Αν για τον μιγαδικό z ισχύει παράστασης:.. Να υπολογίσετε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της 45η. Άσκηση Α) Να αποδείξετε γεωμετρικά την πρόταση στην άσκηση του βιβλίου 9 σελίδα 101. Β) Να αποδείξετε γεωμετρικά την πρόταση στην άσκηση του βιβλίου 7 σελίδα 102. Γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύουν οι ανισότητες: α) β) και γ). (γεωμετρική λύση) 46η. Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση όπου με x, y πραγματικούς αριθμούς και α. Να γραφεί ο μιγαδικός στη μορφή. β. Να αποδειχθεί η ισοδυναμία: f(z) πραγματικός τότε z πραγματικός. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 4
γ. Αν ισχύει, να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος κέντρου Κ(1,0) και ακτίνας. δ. Για τους μιγαδικούς του προηγούμενου ερωτήματος να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του μέτρου. 47η. Άσκηση Δίνονται οι μιγαδικοί, και τέτοιοι ώστε οι εικόνες των z και w να σχηματίζουν με την αρχή των αξόνων Ο, ορθογώνιο τρίγωνο στο Ο. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι οι διχοτόμοι των αξόνων χωρίς το σημείο τομής τους. β. Να δείξετε ότι ο u είναι φανταστικός. γ. Αν ισχύει να βρείτε το μέτρο του u. 48η. Άσκηση Αν και ισχύει με, να αποδείξετε ότι: α. β. και γ. 49η. Άσκηση Δίνεται η εξίσωση [ ]. Να βρεθούν: α. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z. β. Τον μιγαδικό z με το ελάχιστο μέτρο. γ. Αν. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w. δ. Την ελάχιστη απόσταση των σημείων του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου από την αρχή των αξόνων. ε. την ελάχιστη απόσταση μεταξύ των εικόνων των μιγαδικών z και w. 50η. Άσκηση Δίνονται οι μιγαδικοί με εικόνες αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία Α,Β,Γ. για τους οποίους ισχύει: και. α. Να δείξετε ότι. β. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την ΑΒ. γ. Να υπολογίσετε το καθώς και το δ. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. ε. Να υπολογίσετε τις αποστάσεις ΑΓ και ΒΓ. 51η. Άσκηση α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z που ικανοποιούν την εξίσωση: β) Δίνονται οι μιγαδικοί για τους οποίους οι εικόνες τους ανήκουν στον προηγούμενο γεωμετρικό τόπο. Αν για κάθε ισχύει: >1 να αποδείξετε ότι:. (υπόδειξη υψώνω τετράγωνο πράξεις και διακρίνουσα αρνητική) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 5
52η. Άσκηση Έστω οι μιγαδικοί με εικόνες στο πρώτο τεταρτημόριο και εκτός των αξόνων και επιπλέον βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ένα. Αν η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες τους, να δείξετε ότι: α. Οι ρίζες αυτές είναι μιγαδικοί αριθμοί. β. Ισχύει:. γ. Ισχύει:. δ. Ο μιγαδικός είναι πραγματικός. Ποια είναι η μικρότερη τιμή του; 53η. Άσκηση Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z με, για τους οποίους ισχύει ότι ο αριθμός είναι φανταστικός. α) β) γ) δ) Οι εικόνες των μιγαδικών u για τους οποίους ισχύει, ανήκουν στην υπερβολή Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 6