Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012
Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno.
Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno. Iskaze ćemo obeležavati slovima, recimo p, q, r,.... Umesto iskaz koji je obeležen slovom p, mi ćemo kraće reći iskaz p.
Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno. Iskaze ćemo obeležavati slovima, recimo p, q, r,.... Umesto iskaz koji je obeležen slovom p, mi ćemo kraće reći iskaz p. Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost tačan, onda kažemo i da je iskaz p tačan (i analogno za istinitosnu vrednost netačan ).
Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno. Iskaze ćemo obeležavati slovima, recimo p, q, r,.... Umesto iskaz koji je obeležen slovom p, mi ćemo kraće reći iskaz p. Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost tačan, onda kažemo i da je iskaz p tačan (i analogno za istinitosnu vrednost netačan ). Logički veznici služe da od polaznih iskaza dobijemo složenije iskaze.
Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno. Iskaze ćemo obeležavati slovima, recimo p, q, r,.... Umesto iskaz koji je obeležen slovom p, mi ćemo kraće reći iskaz p. Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost tačan, onda kažemo i da je iskaz p tačan (i analogno za istinitosnu vrednost netačan ). Logički veznici služe da od polaznih iskaza dobijemo složenije iskaze. Logički veznici koje ćemo ovde razmatrati su: i, ili, ako...onda, ako i samo ako (binarni veznici), i nije (unarni veznik):
Složeni iskazi konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q,
Složeni iskazi konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q, disjunkcija iskaza p i q je iskaz : p ili q,
Složeni iskazi konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q, disjunkcija iskaza p i q je iskaz : p ili q, implikacija iskaza p i q je iskaz : ako p onda q,
Složeni iskazi konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q, disjunkcija iskaza p i q je iskaz : p ili q, implikacija iskaza p i q je iskaz : ako p onda q, ekvivalencija iskaza p i q je iskaz : p ako i samo ako q,
Složeni iskazi konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q, disjunkcija iskaza p i q je iskaz : p ili q, implikacija iskaza p i q je iskaz : ako p onda q, ekvivalencija iskaza p i q je iskaz : p ako i samo ako q, negacija iskaza p je iskaz : nije p.
Istinitosna vrednost složenog iskaza Istinitosna vrednost složenog iskaza zavisi od istinitosnih vrednosti iskaza od kojih se taj iskaz sastoji, i to na sledeći način: iskaz p i q je tačan ako i samo ako su i p i q tačni, iskaz p ili q je netačan ako i samo ako su i p i q netačni, iskaz ako p onda q je netačan ako i samo ako je p tačan a q netačan, iskaz p ako i samo ako q je tačan ako i samo ako iskazi p i q imaju istu istinitosnu vrednost, iskaz nije p je tačan ako i samo ako je iskaz p netačan.
Sintaksa iskazne logike Azbuka iskazne logike se sastoji od sledećih simbola: skup iskaznih slova S, simboli logičkih operacija:,,,,, pomoćni znaci: (, ).
Sintaksa iskazne logike Azbuka iskazne logike se sastoji od sledećih simbola: skup iskaznih slova S, simboli logičkih operacija:,,,,, pomoćni znaci: (, ). Skup iskaznih formula je najmanji skup reči nad azbukom L tako da Sva iskazna slova su iskazne formule; Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeći izrazi: (A B), (A B), (A B), (A B), ( A)
Indukcija po složenosti formula Teorema Neka je O neki podskup skupa svih iskaznih formula Form tako da važe sledeći uslovi S O, Ako formule A i B pripadaju skupu O, tada i formule A B, A B, A B, A B, A pripadaju skupu O. Tada je O = Form.
Iskazna algebra Iskazna algebra je algebra I = {, },,,,,, gde su operacije,,, binarne, a unarna operacija, definisane svojim Cayleyevim tablicama na sledeći način: p p
Interpretacija iskazne formule Valuacija u iskaznoj logici je svako preslikavanje τ : S {, }. Interpretacija iskaznih formula za datu valuaciju τ jeste preslikavanje v τ : Form {, } tako da ako je p S iskazno slovo, onda v τ (p) = τ(p), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ ( A) = v τ (A). Za v τ (A) kažemo da je vrednost formule u valuaciji τ (ili u interpretaciji v τ ). Ukoliko je v τ (A) =, kažemo da je formula A u toj valuaciji (interpretaciji) tačna, a ako je v τ (A) =, da je netačna.
Istinitosna funkcija Teorema Vrednost iskazne formule A u nekoj valuaciji zavisi samo od vrednosti onih iskaznih slova koja figurišu u formuli A.
Istinitosna funkcija Teorema Vrednost iskazne formule A u nekoj valuaciji zavisi samo od vrednosti onih iskaznih slova koja figurišu u formuli A. Definicija Istinitosna funkcija je svaka funkcija f : {, } n {, }, gde n 1. Ako je A = A(p 1, p 2,..., p n ) neka formula, onda istinitosna funkcija indukovana sa A jeste funkcija f A : {, } n {, } takva da za sve a 1, a 2,..., a n {, } važi f A (a 1, a 2,..., a n ) = v τ (A), gde je τ valuacija u kojoj je τ(p i ) = a i, za sve i {1, 2,..., n}. Primer... Test A...
Vrste iskaznih formula Definicija Kažemo da je iskazna formula A zadovoljiva ako postoji valuacija u kojoj je vrednost te formule tačna, oboriva ako postoji valuacija u kojoj je vrednost te formule netačna, tautologija ili valjana formula je tačna za sve valuacije, kontradikcija ako je njena vrednost netačna za sve valuacije. Test A...
1. p p Zakon dvojne negacije 2. p p Tertium non datur 3. (p p) Zakon neprotivrečnosti 4. (p (p q)) q Modus Ponens 5. ((p q) q) p Modus Tollens 6. (p q) ( q p) Kontrapozicija 7. (p q) p q De Morganov zakon za 8. (p q) p q De Morganov zakon za 9. ((p q) (q r)) (p r) Zakon silogizma 10. ( p (q q)) p Reductio ad absurdum 11. p (p q) Ex falso quolibet 12. p (q p) Verum ex quolibet 13. ((p r) (q r)) ((p q) r) Zakon nabrajanja 14. (p q) ((q r) (p r)) Tranzitivnost za 15. ((p q) (q r)) (p r) Tranzitivnost za 16. ((p q) p) p Pierceov zakon
Zamena, logička ekvivalentnost Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ), i neka su B 1, B 2,..., B n neke formule. Sa A(B 1, B 2,..., B n ) označimo formulu koja nastaje simultanom zamenom formule B i umesto iskaznog slova p i (i {1, 2,..., n}).
Zamena, logička ekvivalentnost Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ), i neka su B 1, B 2,..., B n neke formule. Sa A(B 1, B 2,..., B n ) označimo formulu koja nastaje simultanom zamenom formule B i umesto iskaznog slova p i (i {1, 2,..., n}). Teorema Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ) neka tautologija. Tada za proizvoljne formule B 1, B 2,..., B n važi da je A(B 1, B 2,..., B n ) takodje tautologija.
Zamena, logička ekvivalentnost Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ), i neka su B 1, B 2,..., B n neke formule. Sa A(B 1, B 2,..., B n ) označimo formulu koja nastaje simultanom zamenom formule B i umesto iskaznog slova p i (i {1, 2,..., n}). Teorema Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ) neka tautologija. Tada za proizvoljne formule B 1, B 2,..., B n važi da je A(B 1, B 2,..., B n ) takodje tautologija. Definicija Za dve formule A i B kažemo da su logički ekvivalentne ako je formula A B tautologija. U tom slučaju pišemo A B.
Najlakše tautologije 1. A A A Idempotentnost konjunkcije 2. A A A Idempotentnost disjunkcije 3. A B B A Komutativnost konjunkcije 4. A B B A Komutativnost disjunkcije 5. A B B A Komutativnost ekvivalencije 6. (A B) C A (B C) Asocijativnost konjunkcije 7. (A B) C A (B C) Asocijativnost disjunkcije 8. (A B) C A (B C) Asocijativnost ekvivalencije 9. A (A B) A Apsorpcija prema 10. A (A B) A Apsorpcija prema 11. A (B C) (A B) (A C) Distributivnost prema 12. A (B C) (A B) (A C) Distributivnost prema
Odnos medju veznicima A B A B A B (A B) A B A B A B (A B) A B ( A B) A B ( A B) A B (A B) (B A) A B ( A B) ( B A)
Potformule ekvivalencijska transformacija formula: postupak kada se od jedne formule konstruiše lanac ekvivalentnih formula...
Potformule ekvivalencijska transformacija formula: postupak kada se od jedne formule konstruiše lanac ekvivalentnih formula... Definicija Neka je F neka formula. Skup potformula formule F definišemo kao najmanji skup formula koji zadovoljava sledeća dva uslova: svaka formula je sama sebi potformula; ako je F jednaka nekoj od formula A B, A B, A B, A B, onda je svaka od podformula formula A i svaka potformula formule B ujedno i potformula od F; ako je F = A, onda je svaka potformula formule A ujedno i potformula od F.
Potformule ekvivalencijska transformacija formula: postupak kada se od jedne formule konstruiše lanac ekvivalentnih formula... Definicija Neka je F neka formula. Skup potformula formule F definišemo kao najmanji skup formula koji zadovoljava sledeća dva uslova: svaka formula je sama sebi potformula; ako je F jednaka nekoj od formula A B, A B, A B, A B, onda je svaka od podformula formula A i svaka potformula formule B ujedno i potformula od F; ako je F = A, onda je svaka potformula formule A ujedno i potformula od F. Neka je A neka formula i C njena potformula. Ako je D neka formula tako da je C D tada je A A[C D].
Logičke konstante Proširena azbuka iskazne logike L se dobija dodavanjem dva simbola logičkih konstanti i standardnoj azbuci L. Skup iskaznih formula Form je najmanji skup reči nad azbukom L tako da važi.1 Sva iskazna slova i simboli logičkih konstanti i su iskazne formule;.2 Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeći izrazi: (A B), (A B), (A B), (A B), ( A)
Logičke konstante Proširena azbuka iskazne logike L se dobija dodavanjem dva simbola logičkih konstanti i standardnoj azbuci L. Skup iskaznih formula Form je najmanji skup reči nad azbukom L tako da važi.1 Sva iskazna slova i simboli logičkih konstanti i su iskazne formule;.2 Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeći izrazi: (A B), (A B), (A B), (A B), ( A) Valuacija τ odnosno odgovarajuća interpretacija v τ iskaznih formula na proširenoj azbuci se definiše na isti način kao na standardnoj azbuci, s tim da za svaku valuaciju τ važi da je v τ ( ) = i v τ ( ) =.
Tautologije sa konstantama A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A
Jedan primer p q r f
Disjunktivna normalna forma Neka istinitosna funkcija f : {, } n {, } nije kontradikcija (tj. nema stalno vrednost ). Tada za sve x 1,..., x n {, } važi: f (x 1,..., x n ) = = {x 1 a 1 x n a n : a 1,..., a n {, } n, f (a 1,..., a n ) = } gde je x i znači x i, a x i znači x i.
Konjunktivna normalna forma Neka istinitosna funkcija f : {, } n {, } nije tautologija (tj. nema stalno vrednost ). Tada za sve x 1,..., x n {, } važi: f (x 1,..., x n ) = = {x 1 a 1 x n a n : a 1,..., a n {, } n, f (a 1,..., a n ) = } gde je x i znači x i, a x i znači x i.
Baze iskazne algebre Kao posledicu dobijamo: Za svaku iskaznu formulu A postoji njoj ekvivalentna iskazna formula B, koja od logičkih veznika ima samo,, ili, ili, ili,.
Baze iskazne algebre Kao posledicu dobijamo: Za svaku iskaznu formulu A postoji njoj ekvivalentna iskazna formula B, koja od logičkih veznika ima samo,, ili, ili, ili,. Definicija Neka je F neki skup istinitosnih funkcija. Kažemo da je F baza iskazne algebre I ako se svaka istinitosna funkcija može dobiti kompozicijom funkcija iz skupa F.
Jednoelementne baze Shefferova operacija (ili operacija nand), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q).
Jednoelementne baze Shefferova operacija (ili operacija nand), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q). Lukasiewiczeva operacija (ili operacija nor), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q).
Jednoelementne baze Shefferova operacija (ili operacija nand), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q). Lukasiewiczeva operacija (ili operacija nor), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q). Teorema Jedine binarne operacije skupa {, } koje, svaka za sebe, čine jednoelementnu bazu iskazne algebre jesu Shefferova operacije odnosno Lukasiewiczeva operacija.