Να βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων: 00 00 005 006 ( ( ( ( ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ + + + + (Απ:0 5ν+ 5ν+ 5ν+ 5ν+ + + + (Απ:0 Να γίνουν οι πράξεις: + (Απ:0 5 ( 5 ( ( + + + + + + (Απ: + + Nα βρεθούν τα αθροίσµατα για τις διάφορες τιµές του φυσικού αριθµού ν: S ν = + + + + + (Απ: ν ν S = + + + (Aπ: 0, αν ν=πολ, αν ν=πολ+ S = +, αν ν=πολ+, αν ν=πολ+ ν, άν ν άρτιος S = ν, άν ν περιττός Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: ( x ( x ( x ( x + + (Aπ: 0 ( α β + ( β + ( α ( αβ( β ( α (Aπ: 00 00 5 ( ( + (Aπ: 0 Re(+Im( Re( + Im( Im( Re( Im( Re( (Aπ:0 6 Να γραφούν στη µορφή α+β (κανονική µορφή οι µιγαδικοί αριθµοί: 5 7 + + + + (Απ: (Aπ:0 7 Να λυθούν στο σύνολο C οι εξισώσεις: ( 6 6 +(+ = ( + 5 (Aπ: +5=0 (Aπ: (5+ ++5=0 (Απ:, + 0 50=0 v ( ± (Απ: = ± ( ή = ± ( 8 Να λυθεί το σύστηµα: (+ ( u= 5 (++(+u=7+8 9 Να βρεθεί ο συζυγής µιγαδικός του µιγαδικού: (Aπ: =, u=+ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ/ Ο ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 7 C:\Documents and Settngs\ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ\Επιφάνεια εργασίας\folder\gl_kat_doc
Αν = + 7 + και w=+να βρεθεί η τιµή της παράστασης: + w w w+w S= + w w w ( ( (Aπ: 5 (Απ: 0 Να βρεθούν οι τιµές των παραµέτρων α και β ώστε να είναι συζυγείς οι µιγαδικοί,w =α+β, w= β (5α+9 (Aπ:-, =α + αββ+ ( α+β w=αβα β + ( α β (Aπ(-,0,(-, Αν,w µιγαδικοί αριθµοί να αποδειχθούν οι ισότητες: w Re + Re = +w +w και u+ u= [ Re(Re(u+Im(Im(u ] w Im + Im = 0 +w +w Aν,w είναι µιγαδικοί αριθµοί να δειχθεί ότι: Α είναι πραγµατικοί οι αριθµοί: + w= + + B είναι φανταστικοί οι αριθµοί: + w w + + w= + ( + ( ( + + ( ( ( + u u w u w u Με υπόθεση ότι ισχύει η πρόταση p να αποδειχθεί η πρόταση q : p : = q : o + είναι πραγµατικός αριθµός x y p : Αν x, y, C και δύο από τους αριθµούς,, είναι φανταστικοί y x x y q : ο τρίτος αριθµός είναι φανταστικός Αν,w είναι µιγαδικοί αριθµοί να βρεθούν οι συνθήκες µεταξύ των πραγµατικών αριθµών α,β ώστε να ισχύουν: + + w φανταστικός µε =α+β (Απ: α + β = πραγµατικός µε =α+β και w=α γ (Απ: α(β+γ=β γ 5 Να λυθούν στο C οι εξισώσεις: ( + ( = (Aπ: = 8 + = (Απ: = ± ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ/ Ο ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 7 C:\Documents and Settngs\ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ\Επιφάνεια εργασίας\folder\gl_kat_doc
6 Να δειχθεί ότι αν το τετράγωνο ενός µιγαδικού αριθµού είναι ίσο µε το τετράγωνο του συζυγούς του τότε ο αριθµός είναι πραγµατικός ή φανταστικός Αν οι ρίζες της εξίσωσης + α+β=0 είναι συζυγείς µιγαδικοί αριθµοί να δειχθεί ότι οι α,β είναι πραγµατικοί αριθµοί Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς x, y, ισχύουν: x+ y+ = x + y + = xy 0, 0, 0 = = Να δειχθεί ότι ισχύει η ισότητα x y 7 Να βρεθούν τα µέτρα των µιγαδικών αριθµών: =+ (Aπ:5 + = Aπ: ( ( ( + (Aπ:75 8 Να βρεθεί το µέτρο του µιγαδικού αριθµού όταν ισχύουν: = + (Aπ: = (Aπ: 5 ( = ( + (Aπ:5 6 7 + + 5 9 Να βρεθεί το µέτρο του µιγαδικού αριθµού όταν ισχύουν οι ισότητες: = (Aπ: 0 ( ++ ( ++ 8 5 5 = (Aπ: 5 0 Να βρεθεί ο µιγαδικός αριθµός όταν ισχύουν οι ισότητες: = = 8 (Aπ: + 5 + = 5 και = ++ (Απ: ή 5+ Να λυθούν οι εξισώσεις: + =0 (Aπ:+ ή + = 8 (Aπ: Nα αποδειχθούν στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών τα παρακάτω: + = + v = w = + 6 w + w = + w = 0 +w= w v = w = +w+w = +w w+ +w u log +00 = + log + = 0 v u = u w = I w Στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών να δειχθεί ότι ισχύει: +w + w = + w (κανόνας παραλληλογράµµου Nα δειχθεί στο C η ισοδυναµία: +u w u+w u=w = + Αν x,y C να δειχθεί ότι: είναι φανταστικός ο αριθµός: x y y x w= xy+ xy αν x+y x = y = R +xy Αν,w C και = w, να δειχθεί ότι ο αριθµός + w= R + + ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ/ Ο ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 7 C:\Documents and Settngs\ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ\Επιφάνεια εργασίας\folder\gl_kat_doc
5 Αν x,y C να δειχθεί ότι: x x x x y = x+y Ι x+y = x = y + + = 0 y y y 6 Να αποδειχθούν στο C οι συνεπαγωγές: +u+w=0 και u+uw+w=0 = u = w ( + ( ( u u w + w = 0 u = u w = w + u + w = u+uw+w u = u w = w v Αν οι µιγαδικοί,,, ν είναι ρίζες της εξίσωσης: ν ν ν ν * x + x + + x+ = 0, ν N, τότε: ν + + + ν = 7 Για κάθε u, C να δειχθεί ότι: + + + u ( ( u u u u 0 + + + + u +u + u v Aν +5 > τότε +6 > v Re( + Im( 8 Να εξετάσετε αν είναι σωστές οι παρακάτω ισοδυναµίες: Έστω, w C Τότε θα έχουµε: ( ( + w 0 + w 0 + w + w 0 + w + w+ w 0 + w + w w 9 Nα δειχθεί ότι ισχύει: + + + + +5 Aν,u,w C και +u+w=0 + u w Aν,u,w C και α>0 α+ + + u + u+w + w α v + + v + 8 v +w + + w+ +u 0 Aν για τους µιγαδικούς αριθµούς,u είναι u +u + < < + u+ +u+ π u Για x R µε 0< x< να αποδειχθεί στο C η ανισότητα: + +u ηµx συνx Αν C και Re( < Im( να δειχθεί ότι +< + Aν στο C * ισχύει η ισότητα: u = + u να δειχθεί ότι: Re < 0 w + = +5+ Να βρεθεί ο όταν ισχύουν: = 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ/ Ο ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 7 C:\Documents and Settngs\ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ\Επιφάνεια εργασίας\folder\gl_kat_doc
Α Να αποδειχθεί ότι τρία σηµεία A(, Β ( και ( µόνο όταν: R Γ είναι συνευθειακά όταν και Β Να δειχθεί ότι για κάθε λ R είναι συνευθειακά τα σηµεία A(, Β ( και Γ( όπου: = λ +, = λ +, = λ + Να αποδείξετε ότι οι ρίζες των εξισώσεων: +=0 και + +=0 ορίζουν τις κορυφές ισοσκελούς τραπεζίου 5 Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς,, ισχύουν οι ισότητες: + + = 0 και = = τότε το τρίγωνο των εικόνων τους είναι ισόπλευρο τρίγωνο 6 Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών για κάθε µια από τις παρακάτω περιπτώσεις: Αν 7 9 = Αν ( 0 0 = 7 Αν για τον µιγαδικό αριθµό ισχύει των είναι οµοκυκλικά σηµεία Aν τα σηµεία A(, Β ( και (,,, ( + ( R να δειχθεί ότι οι εικόνες Γ είναι σηµεία του κύκλου x + y = και + + = 006 να δειχθεί ότι ισχύει: + + = 006 8 Αν µιγαδικός αριθµός µε Re =, τότε: α Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του β Να βρείτε τη µέγιστη τιµή του γ Αν, µιγαδικοί µε Re = Re = να βρείτε τη µέγιστη τιµή του να αποδείξετε ότι ( ( 8 ( ( : + + = + - 9 ίνονται δύο µιγαδικοί αριθµοί, για τους οποίους ισχύουν: + = και + + = 5 5 α Να αποδείξετε ότι = β Να βρείτε τον γτ C των εικόνων του στο µιγαδικό επίπεδο γ Να βρείτε τον γτ C των εικόνων του στο µιγαδικό επίπεδο δ Αν C και C, να βρείτε την ελάχιστη και µέγιστη τιµή του µέτρου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ/ Ο ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα 5 από 7 C:\Documents and Settngs\ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ\Επιφάνεια εργασίας\folder\gl_kat_doc
* 0 ίνεται ο µιγαδικός = x+ y, x R, y R είξτε ότι ο αριθµός w= είναι πραγµατικός, αν και µόνο αν οι σηµειακές εικόνες του στο µιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε µια υπερβολή από την οποία έχουν εξαιρεθεί οι κορυφές της - Ένας µιγαδικός αριθµός ικανοποιεί τη σχέση ( Να αποδειχθεί ότι = 0 ή = Αν 0, να αποδειχθεί ότι = Αν 0, να αποδειχθεί ότι 6 = = v Να βρεθούν όλοι οι µιγαδικοί αριθµοί µε = v Σε ποια γραµµή βρίσκονται οι εικόνες των παραπάνω µιγαδικών αριθµών, αν 0 ; ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί, w για τους οποίους ισχύει: + w+ w= = w = και + w+ = w Να αποδείξετε ότι Nα βρείτε τους µιγαδικούς, w ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί µε + + + = 5 Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του Ποια είναι η ελάχιστη τιµή του ; Ποιος από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς έχει το µέγιστο µέτρο; ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί α,β,γ µε α = β = γ = και Αν = α+β+γ, να αποδείξετε ότι: α = 0 β α β γ α, αβ+βγ+γα=0, γ Re(αβ Re(βγ Re(γα α+β+γ + α+β+γ + α+β+γ = α + β + γ = 0, α = β = γ = = = και α β = β γ = γ α = δ Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες στο µιγαδικό επίπεδο των µιγαδικών α,β,γ να βρείτε: το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ το µιγαδικό µε εικόνα το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ ε α++ α + + α + 5 Αν,,, C και Μ,,, να δείξετε ότι: ΜΜ // ΜΜ Μ Μ Μ οι εικόνες τους αντιστοίχως στο µιγαδικό επίπεδο R ΜΜ ΜΜ τα σηµεία Μ, Μ, Μ είναι συνευθειακά Ι m = 0 v να βρείτε το γτ των εικόνων των µιγαδικών αριθµών για τους οποίους οι εικόνες των αριθµών,, + είναι συνευθειακά σηµεία Ι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ/ Ο ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα 6 από 7 C:\Documents and Settngs\ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ\Επιφάνεια εργασίας\folder\gl_kat_doc
π π 6 Έστω =εφθ+, θ, Να βρείτε το γτ των εικόνων του συνθ, C µε = + Αν η εικόνα του µιγαδικού ( 7 Έστω O, να δείξετε ότι η εικόνα του ανήκει στον κύκλο ανήκει σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε τις εστίες 8 Αν = και R τότε: α Να βρείτε τους µιγαδικούς β Να δείξετε ότι ( + ( + = 5 γ Να δείξετε ότι ( ( ( ( = 9 9 Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης α+9=0,α R και, R α Να βρείτε τις δυνατές τιµές του πραγµατικού α β Να αποδείξετε ότι ( 7 7 γ Να βρείτε τα, δ Αν + R + = να βρείτε το α ε Για α=0 να βρείτε τον γτ των εικόνων του µιγαδικού στο µιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει = + λ + µ 50 ίνονται οι µιγαδικοί,, Αν =, λ,µ R, λµ>0 να αποδείξετε ότι: λ+µ + = 5 Να βρεθούν οι µιγαδικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει: 0 (Απ R µε ή 5 Α Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών για τους οποίους ισχύει ότι: ( = Im( Re Β Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών για τους οποίους ισχύει ότι: ( = Im( Re 5 Έστω µιγαδικός w=, ( και A,B,M οι εικόνες των,, αντίστοιχα στο + µιγαδικό επίπεδο Να βρείτε το µιγαδικό για τον οποίο ισχύει w= + και να βρείτε το Nα δείξετε ότι ( ΜΒ w = ( ΜΑ Αν = x+ y, x, y R µιγαδικός αριθµός που ικανοποιεί την ( να βρείτε το γτ των εικόνων του, όταν w = ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ/ Ο ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα 7 από 7 C:\Documents and Settngs\ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ\Επιφάνεια εργασίας\folder\gl_kat_doc