PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

Sadržaj Granična stanja upotrebljivosti 1 Granična stanja upotrebljivosti Deformacije prethodno napregnutih elemenata 2

Sadržaj Granična stanja upotrebljivosti Deformacije prethodno napregnutih elemenata 1 Granična stanja upotrebljivosti Deformacije prethodno napregnutih elemenata 2

Deformacije prethodno napregnutih elemenata Granična stanja upotrebljivosti Deformacije PN elemenata Načelno, PN elementi dimenzionišu se prema graničnom stanju normalnih napona ili prema graničnom stanju loma PN nosači su relativno većih raspona, a zbog materijala visokih mehaničkih karakteristika imaju relativno veću vitkost i manju krutost, tako da su relativno više deformabilni od klasičnih AB nosača Imajući sve to u vidu, potrbno je da se vrši kontrola deformacija PN nosača

Deformacije prethodno napregnutih elemenata Granična stanja upotrebljivosti Deformacije PN elemenata Proračun deformacija PN elemenata treba da obuhvati - elastične deformacije od kratkotrajnih opterećenja - deformacije od dugotrajnih opterećenja usled skupljanja i tečenja betona i relaksacije kablova za prednaprezanje Sračunate deformacije se upoređuju sa dopuštenim deformacijama koje zavise od značaja i funkcije konstrukcije

Deformacije prethodno napregnutih elemenata Granična stanja upotrebljivosti Deformacije PN elemenata Deformacije od kratkotrajnih opterećenja određuju se uobičajenim postupcima teorije konstrukcija za homogen presek Pri tome se prethodno naprezanje posmatra kao jedan poseban slučaj spoljašnjeg opterećenja Početne elastične deformacije u trenutku t = 0 sračunavaju se superpozicijom: v 0 = v(n k0 ) + v(g) (1)

Deformacije prethodno napregnutih elemenata Granična stanja upotrebljivosti Deformacije PN elemenata U izrazu (1) uvedene su oznake: - v(n k0 )... elastična deformacija (ugib) usled početne sile prethodnog naprezanja, koja je obično negativna (izdizanje) - v(g)... elastična deformacija (ugib) usled sopstvene težine koja deluje u trenutku unošenja sile prethodnog naprezanja Pri proračunu deformacija (ugiba) treba da se uzmu u obzir odgovarajuće geometrijske karakteristike poprečnih preseka Za prednapregnutu prostu gredu daju se izrazi za ugibe u sredini raspona usled sile prednaprezanja, za nekoliko karakterističnih oblika trase kablova, uz pretpostavku da je sila u kablu konstantna duž raspona

Deformacije prethodno napregnutih elemenata Ugibi u sredini raspona za N k = const i EI = const

Deformacije prethodno napregnutih elemenata Granična stanja upotrebljivosti Deformacije PN elemenata Proračun deformacija u toku vremena t kao i konačnih deformacija za t vrši se uzimajući u obzir dugotrajnost opterećenja To je vrlo složen proračun koji podrazumeva, između ostalog, i određivanje krivine u karakterističnim presecima i integraciju duž raspona Za praktične probleme kod kojih se ne dozvoljava pojava prslina, sa dovoljnom tačnošću mogu da se primene približni postupci za proračun deformacija Deformacije parcijalno prethodno napregnutih elemenata računaju se isto kao i deformacije AB elemenata

Deformacije prethodno napregnutih elemenata Granična stanja upotrebljivosti Deformacije PN elemenata Približni proračun ugiba PN elementa, koji zavisi od vremena, može da se izvrši na uobičajen način (elastična analiza) Ugib u proizvoljnom trenutku vremena t dat je sa v(t) = v(n k ) + 1 2 [v(n k0) + v(n k )] ϕ(t, t 0 ) + v(g + s) [1 + ϕ(t, t 0 )] + v(p) (2)

Deformacije prethodno napregnutih elemenata Granična stanja upotrebljivosti Deformacije PN elemenata U izrazu (2) uvedene su oznake: - v(n k )... elastični deo deformacije od krajnje sile prethodnog naprezanja - v(g + s)... elastični deo deformacije od sopstvene težine i dodatnih opterećenja stalnog karaktera - v(p)... elastični deo deformacije od kratkotrajnih povremenih opterećenja - ϕ(t, t 0 )... koeficijent tečenja - t 0... starost betona u trenutku nanošenja opterećenja

Deformacije prethodno napregnutih elemenata Granična stanja upotrebljivosti Deformacije PN elemenata U približnom izrazu za ugib (2) vodi se računa o uticaju promene sile prethodnog naprezanja u toku vremena i o dugotrajnosti opterećenja Pri tome se takođe vodi računa i o starosti betona u trenutku delovanja pojedinih dodatnih stalnih opterećenja Približni postupak dat sa (2) daje rezultate zadovoljavajuće tačnosti Sa porastom procenta armiranja preseka odstupanja mogu da budu nešto veća, ali opet prihvatljiva

Deformacije prethodno napregnutih elemenata Granična stanja upotrebljivosti Deformacije PN elemenata U približnom izrazu za ugib (2) uvedene su sledeće apoksimacije: 1 deformacije tečenja betona od sile prethodnog naprezanja odigravaju se pod konstantnom silom koja je jednaka srednjoj vrednosti početne i krajnje sile prethodnog naprezanja 2 između deformacija tečenja i odgovarajućih trenutnih elastičnih deformacija postoji ista linearna veza, izražena koeficijentom tečenja ϕ(t, t 0 ), kao i između napona i deformacija u betonu pri konstantnom jednoaksijalnom naprezanju

Opšte napomene prethodno napregnutih elemenata mora da se dokaže bez obzira na veličinu napona u fazi unošenja sile prednaprezanja ili tokom eksploatacje Za razliku od klasično armiranih konstrukcija, kod PNK sprečava se pojava prslina i uključuje u nosivost ceo presek (koji je ceo pritisnut za potpuno prednaprezanje, ili je malim delom zategnut, za ograničeno prednaprezanje) Do nivoa opterećenja u eksploataciji naponi zatezanja u betonu (za ograničeno prednaprezanje) su od dopuštenih napona zatezanja σ bzd

Opšte napomene Sa daljim povećanjem opterećenja, posle iscrpljenja unetog prethodnog pritiska, kao i čvrstoće betona na zatezanje, u zategnutoj zoni preseka nastaju prsline U preseku od PNB, u trenutku nastanka prslina nastaje skok napona u zategnutom čeliku za prethodno naprezanje

Lom prethodno napregnutih elemenata usled M i N U opštem slučaju, lom PN elemenata, opterećenih spoljašnjim momentom savijanja M i normalnom silom N, može da nastupi 1 iscrpljenjem nosivosti kablovskog čelika 2 iscrpljenjem nosivosti betona 3 istovremenim iscrpljivanjem nosivosti i betona i čelika, uz naglašene pojave otvaranja prslina i izrazitih deformacija

Lom prethodno napregnutih elemenata usled M i N U slučaju iscrpljenja nosivosti kablovskog čelika, t.j. njegovim velikim deformacijama ε ak, na pritisnutoj ivici betona nije dostignuta granična čvrstoća Dilatacije čelika ε ak su ograničene i ne mogu da budu veće od ε ak = ε k0 + ε ak gde je - ε k0... dilatacija čelika za prednaprezanje za stanje delovanja krajnje sile PN N k - ε ak... dilatacija čelika za prednaprezanje usled delovanja spoljašnjih uticaja za stanje loma M u i N u i ova dilatacija može da bude veća od 10

Lom prethodno napregnutih elemenata usled M i N U slučaju iscrpljenja nosivosti betona, pri dilatacijama čelika ε ak 10, nastaje lom po betonu za σ b = f B U ovom slučaju, pri znatnim procentima armiranja, lom može da nastane iznenada, bez naglašenih deformacija i predskazavanje prslina u slučaju visokih MB

Osnovne pretpostavke proračuna U proračunu PN preseka prema graničnom stanju nosivosti usled uticaja graničnih vrednosti momenata savijanja i normalnih sila, uvode se sledeće pretpostavke: 1 raspodela deformacija po visini preseka je linearna (Bernulijeva hipoteza ravnih preseka), ili, dilatacije pri lomu su linearno proporcionalne sa rastojanjem od neutralne ose 2 beton u zategnutoj zoni ne prima sile zatezanja 3 raspodela napona u pritisnutoj zoni preseka, prema PNB 71, ima oblik kvadratne parabole (prema BAB 87 i EC 2, RDB je u obliku parabole i prave) 4 naponi u kablovskom čeliku određuju se iz stvarng radnog dijagrama kablovskog čelika, pri čemu se max dilatacija čelika za kablove pri lomu ograničava na 10

Radni dijagrami betona Prema Pravilniku PNB 71 raspodela napona u pritisnutoj zoni betonskog preseka ima oblik kvadratne parabole sa temenom koje je određeno graničnom dilatacijom ε B = 3.5 Pri tome je odgovarajući najveći napon određen sa računskom čvrstoćom betona pri pritisku f B = 0.70 f k, gde je f k marka betona Ako je pri lomu pritisnuti element preseka (ploča) debljine manje od 12cm, ili je pitanju trougaoni presek sa vrhom u pritisnutoj zoni, računska čvrstoća betona se umanjuje za 10%

Radni dijagrami betona U proračunu može da se uzme i drugi dijagram raspodele napona u pritisnutoj zoni ako postoji dokaz da se na taj način dobijaju vrednosti uticaja pri lomu koje su iste ili manje od vrednosti uticaja dobijene na osnosu dijagrama u obliku kvadratne parabole Jednačina kvadratne parabole u vezi napon - dilatacija može da se prikaže u obliku: σ b = 2 f B ε B (ε b ε2 b 2 ε B ) = f B 12.25 (7 ε b) ε b (3)

Radni dijagrami betona - PNB 71 Ako se uvedu oznake ϕ = ε b ε B = ε b 3.5 kao i ϕ = 2ϕ ϕ 2 onda jednačina (3) može da se napiše u ekvivalentnom obliku σ b = (2ϕ ϕ 2 ) f B = ϕ f B (4)

Radni dijagrami betona - PNB 71 σ b = 2 f B ε B (ε b ε2 b 2 ε B ) = f B 12.25 (7 ε b) ε b

Radni dijagrami betona - BAB 87 Kao što je poznato, Pravilnik BAB 87 kao radni dijagram betona definiše kvadratnu parabolu do 2, kao i pravougaonik do 3.5 Analitički izraz za RDB, prema BAB 87, dat je sa σ b = f B 4 (4 ε b ) ε b u intervalu ε b [0, 2] σ b = f B u intervalu ε b [2, 3.5] (5)

Radni dijagrami betona - BAB 87 (a) Dijagram kvadratna paravola - prava (b) Ekvivalentan pravougaonik

Radni dijagrami betona - BAB 87 Za preseke - gde je pritisnuta zona preseka kružnog ili trougaonog oblika, - nepravilnog oblika, - kao i kod pravougaonih preseka napregnutih na koso savijanje, sa N ili bez nje, sa položajem neutralne ose unutar preseka, umesto RDB parabola-prava, može da se koristi ekvivalentni pravougaonik sa graničnom čvrstoćom f B i neutralnom osom x 0 = 0.8 h 1 + εa ε b gde je ε b > 3

Radni dijagrami betona - BAB 87 Računska čvrstoća betona f B pri pritisku zavisi od marke betona MB i data je sa MB 30 40 50 60 f B [MPA] 20.5 25.5 30 33 Za elemente čija je visina manja od 12cm, računska čvrstoća f B smanjuje se za 10%

Radni dijagrami čelika za kablove Načelno, pri proračunu prema graničnom stanju nosivosti, dilatacije ε ak i naponi σ ak kablovskog čelika određuju se iz stvarnog radnog dijagrama posmatranog čelika Na granici razvlačenja tipičnih čelika za kablove dilatacije iznose ε ak = (8.5 12) Tipični dijagrami napon - dilatacija čelika za kablove dati su na sledećoj slici

Tipočni radni dijagrami čelika za kablove

Koeficijenti sigurnosti prema PNB 71 Prema Pravilniku PNB 71, koeficijenti sigurnosti γ u pri graničnom stanju loma su: - γ u 1.80... za preseke u kojima pri lomu nastaje izduženje kablovskog čelika ε uk 3 - γ u = 2.20... za centrično pritisnute preseke - za preseke u kojima je pri lomu 0 ε ak < 3 za γ u se uzima linearna interpolacija između 1.80 i 2.20 zavisno od dilatacije čelika ε ak pri lomu

Koeficijenti sigurnosti prema BAB 87 Prema Pravilniku BAB 87, računske vrednosti graničnih uticaja dobijaju se množenjem reprezentativnih vrednosti uticaja S i sa parcijalnim koeficijentima sigurnosti γ ui : S u = i S i γ ui Za proračun se uzimaju sledeći uticaji - S g... uticaji od sopstvne težine i stalnog opterećenja - S p... uticaji od promenljivog opterećenja, statičkog ili dinamičkog, opterećenja snegom ili vetrom - S... uticaji od ostalih opterećenja (promena temperature, skupljanje betona, razicanje ili sleganje oslonaca, sleganje tokom vremena,... ) - S k... uticaji od prethodnog naprezanja

Koeficijenti sigurnosti prema BAB 87 Za stalno i promenljivo opterećenje granični uticaji se određuju prema izrazima: S u = 1.6 S g + 1.8 S p za ε a 3 S u = 1.9 S g + 2.1 S p za ε a 0 (6) Za stalno, promenljivo i ostala opterećenja granični uticaji se određuju prema izrazima: S u = 1.3 S g + 1.5 S p + 1.3 S za ε a 3 S u = 1.5 S g + 1.8 S p + 1.5 S za ε a 0 (7) Ako su dilatacije čelika između 0 i 3, koeficijenti γ ui određuju se linearnom interpolacijom

Koeficijenti sigurnosti prema BAB 87 Za stalno i promenljivo opterećenje, ako sopstvena težina i stalno opterećenje deluju povoljno u smislu povećanja nosivosti preseka, granični uticaji se određuju prema izrazima: S u = 1.0 S g + 1.8 S p za ε a 3 S u = 1.2 S g + 2.1 S p za ε a 0 (8) Za stalno, promenljivo i ostala opterećenja, ako sopstvena težina i stalno opterećenje deluju povoljno u smislu povećanja nosivosti preseka, granični uticaji se određuju prema izrazima: S u = 1.0 S g + 1.5 S p + 1.3 S za ε a 3 S u = 1.2 S g + 1.8 S p + 1.5 S za ε a 0 (9)

Koeficijenti sigurnosti prema BAB 87 Granični uticaji od prethodnog naprezanja određuju se izrazima: - za nepovoljno dejstvo sopstvene težine i stalnog opterećenja S ku = 1.3 S k (1.3 S k ) za ε a 3 S ku = 1.5 S k (1.3 S k ) za ε a 0 (10) - za povoljno dejstvo sopstvene težine i stalnog opterećenja S ku = 1.0 S k (1.0 S k ) za ε a 3 S ku = 1.2 S k (1.2 S k ) za ε a 0 (11) Vrednosti u zagradama odnose se na stalno, promenljivo i ostala opterećenja

Naponsko-deformacijske oblasti U zavisnosti od mogućih raspodela dilatacija po visini preseka razlikuju se sledaća naponska stanja preseka 1 Slučaj 1... lom po armaturi: u preseku je mala količina armature, a dilatacije kablovskog čelika pri lomu dostižu vrednost ε ak = 10, dok su dilatacije betona ε b 3.5 2 Slučaj 2... lom po betonu: u preseku je iskorišćena dilatacija betona, ε b = 3.5, dok su dilatacije čelika ε ak 10, pa su za ukupnu dilatciju kablovskog čelika ε ak naponi u kablovima σ ak σ 02

Naponsko-deformacijske oblasti 3 Slučaj 3... lom po betonu: dilatacije betona su iskorišćene ε b 3.5, dok su naponi u kablovskom čeliku neiskorišćeni σ ak < σ 02 i mogu da budu vrlo mali u slučaju delovanja spoljašnje normalne sile, pa se lom odvija kao krti lom betona bez naglašenih pojava prslina 4 Slučaj 4... karakteriše lom za stanje pritiska u betonu po celom preseku za slučaj naponske faze I

Naponsko-deformacijske oblasti pri lomu preseka

Proračun po graničnom stanju loma Pri proračun po graničnom stanju loma mogu da se pojave dva slučaja: 1 dimenzije preseka, meka (nezategnuta) armatura i kablovi su prethodno određeni iz naponskih uslova za fazu prethodnog naprezanja i za stanje eksploatacije, a granično stanje loma mora da se naknadno dokaže 2 dimenzije preseka, meka armatura (ako se koristi u nosivosti preseka) i kablovska armatura određeni su prema graničnom stanju loma U prvom slučaju za usvojen presek i ukupnu armaturu odredi se granični momenat nosivosti preseka M u i granična normalna sila N u za složeno savijanje Sračunata granična nosivost preseka mora da bude od najnepovoljnije kombinacije granučnih uticaja M u i N u

Proračun po graničnom stanju loma Za preseke koji su dimenzionisani po graničnom stanju loma, mora da se dokaže stanje napona i stanje deformacija za uslove u fazi unošenja sile prednaprezanja i za fazu eksploatacije Pri proračunu PN konstrukcija obično se praktikuje prvi slučaj (dimenzionisanje preseka i kablova iz naponskih uslova za faze prednaprezanja i eksploatacije), a naknadno se dokazuje granično stanje loma

Proračun po graničnom stanju loma Dokaz sigurnosti za granično stanje loma vrši se (po pravilu) uvodeći u račun samo armaturu kablova Ako se u proračun uvodi i nezategnuta (meka) armatura, razlika u čvrstoći kablova i klasične armature uvodi se u proračun preko koeficijenta armiranja idealizovanom armaturom µ i Koeficijent armiranja idealizovanom armaturom µ i dat je sa µ i = µ k + µ a σ v σ 02 (12) gde je µ k = A k b h µ a = A a b h

Proračun po graničnom stanju loma Pri tome je: - A a... površina meke (nezategnute) armature u zoni najvećih dilatacija (u zoni gde sussmešteni kablovi) - A k... ukupna površina kablova - σ 02... granica razvlačenja kablovskog čelika, odn. napon σ k određen iz radnog dijagrama kablovskog čelika za dilataciju ε ak = ε k0 + ε ak - σ v... granica razvlačenja meke armature Kod preseka gde se i meka armatura uvodi u proračuna dokaza koeficijenta sigurnosti na lom, statička visina preseka data je sa h = d a (13)

Položaj težišta kablovske i meke armature

Proračun po graničnom stanju loma Položaj težišta kablovske i meke armature a određuje se prema izrazu: a = A σ a a v a σ 02 + A k a k σ A v (14) a σ 02 + A k Proračun PN preseka po lomu, bez obzira na stepen prethodnog naprezanja, vrši se na isti način kao i proračun AB preseka sa uticajima od spoljašnjih sila, ali mora da se vodi računa o sledećem: - ako se uzima u obzir i meka armatura, koef. armiranja i statička visina dati su sa (12), (13) i (14)

Proračun po graničnom stanju loma Takođe, da bi se osigurala prethodna plastifikacija čelika, potrebno je da se izvrši kontrola dlatacija kablovske armature iz uslova kompatibilnosti napona i dilatacija ε ak = ε k0 + ε ak ε 02 (15) Dilatacija ε k0 određuje se za trajnu silu prethodnog naprezanja: ε k0 = σ k0 E k = N k A k E k (16)

Presci proizvoljnog oblika Posmatraju se preseci proizvoljnog oblika (ali simetrični u odnosu na ravan opterećenja) Širina gornjeg vlakna preseka (širina ivice 2) označena je sa B, a visina preseka je d Položaj proizvoljnog vlakna na pritisnutom delu preseka meri se bezdimenzionalnom koordinatom η: rastojanje vlakna od neutralne ose je h η, a debljina elementarnog vlakna je h dη Širina preseka proizvoljnog vlakna na pritisnutom delu preseka označena je sa b = B β(η), gde je β(η) zakon promene oblika pritisnutog dela preseka

Proračunska šema za presek proizvoljnog oblika ϕ 0 = 2 3.5 = 4 7 ϕ = ε b = ε b ε B 3.5 ( ϕ ϕ = σ η f B = 2 ϕ ϕ 0 ϕ 0 ) 2 1 η = ϕ 0 ϕ s

Presci proizvoljnog oblika Uvedene su oznake (prema knjizi Ž.Radosavljević: Armirani beton 2 - Teorija graničnih stanja, Građevinska knjiga, Beograd, 1986): ϕ 0 = 2 3.5 = 4 7 ϕ = ε b ε B = ε b 3.5 η = ϕ 0 ϕ s kao i ϕ = σ η = 2 ϕ ( ) ϕ 2 1 f B ϕ 0 ϕ 0 Za ϕ ϕ 0... dobija se: ϕ = 1 Za ϕ < ϕ... dobija se: ϕ = 7 2 ϕ 49 16 ϕ2

Presci proizvoljnog oblika Položaj neutralne ose (prema Bernulijevoj hipotezi), dobija se kao ε b 1 x = h = ε b + ε ak 1 + ε h = s h ak ϕ ε B Sa ovim oznakama naponi pritiska u betonu za pojedine delove RDB glase σ η = 2 f ( B s s 2 ϕ 2 ϕ0 η ϕ 0 ϕ η ) za η < ϕ 0 2 ϕ s σ η = f B za η ϕ (17) 0 ϕ s

Presci proizvoljnog oblika Jednačina (17)/1 pretstavlja kvadratnu parabolu sa temenom na mestu dilatacija ϕ 0 ε B Statička visina preseka h ili granični momenat nosivosti M u (ako je h poznato) određuju se iz uslova ravnoteže momenata za težište zategnute armature: η=s η=0 σ η (h x + η h) da M u = 0 (18) - da... elementarna površina pritisnutog dela betona, koja je data sa da = B β(η) h dη

Presci proizvoljnog oblika Zamenom vrednosti za σ η i da u uslovni jednačinu (17) dobija se B h 2 f B ϕ 2 J II s 2 M u = 0 (19) gde je J II = 2 ϕ 2 0 η= sϕ 0 ϕ η=0 ( η 2 sϕ0 ϕ η ) β(η) dη 2 ( sϕ0 η ϕ η ) β(η) dη 2 η= sϕ 0 ϕ + (1 s) 2 ϕ 2 0 η=0 η=s + s2 ϕ 2 η β(η) dη + (1 s) s2 η= sϕ 0 ϕ 2 ϕ η=s η= sϕ 0 ϕ β(η) dη (20)

Presci proizvoljnog oblika Za integrale u izrazu (20) uvode se oznake za pojedine integrale (po redosledu integrala): J II = J 1 IIB + (1 s) I 1 IB + J 2 IIB + (1 s) J 2 IB (21) Pri proračunu funkcije J II mogu da se jave dva slučaja: - slučaj kada je RDB prikazan sa parabolom i pravougaonikom (ϕ > ϕ 0 ), kada su u izrazu (21) zastupljeni svi članovi - slučaj kada je RDB dat samo sa parabolom (ϕ < ϕ 0 ), kada se uzimaju samo članovi J II = J 1 IIB + (1 s) J 1 IB a domen integracije se kreće od η = 0 do η = s

Presci proizvoljnog oblika Iz izraza (19) dobija se potrebna statička visina preseka h: h = k b M u B f B (22) gde je - k b... bezdimenzionalni koeficijent koji zavisi od odnosa dilatacije čelika i betona ε bk ϕ ε B i oblika preseka, a dat je izrazom: s k b = 2 ϕ 2 (23) J II

Presci proizvoljnog oblika Iz istog izraza (19), za poznatu statičku visinu preseka h, dobija se granični momenat savijanja M u : M u = B h 2 f B m (24) gde je - m... koeficijent nosivosti preseka, dat izrazom: m = ϕ2 J II s 2 (25)

Presci proizvoljnog oblika Za proračun ukupne zategnute armature (kablovske i meke) u preseku, potrebno je da se odredi ukupna sila pritiska u betonu i u pritisnutoj armaturi za stanje granične nosivosti, kao i njen položaj u preseku: D u = η=s η=0 Zamenom vrednosti za σ η i da u (26) dobija se σ η da (26) D u = B h f B ϕ 2 J I s 2 (27)

Presci proizvoljnog oblika U izrazu (28) uvedena je oznaka: J I = 2 ϕ 2 0 + s2 ϕ 2 η= sϕ 0 ϕ η=0 η=s η= sϕ 0 ϕ η ( sϕ0 ϕ η ) β(η) dη 2 β(η) dη (28) odnosno, J I = J 1 IB + J 2 IB (29)

Presci proizvoljnog oblika Slično kao i za integrale J II, član J 2 IB postoji za ϕ > ϕ 0 Za ϕ ϕ 0 vrednost funkcije J 2 IB je nula, pa je izraz za J I dat sa J I = J 1 IB Na osnovu sračunate sile pritiska D u, može da se odredi krak unutrašnjih sila: z = M u D u = ξ h (30) gde je ξ = J II J I (31)

Presci proizvoljnog oblika Ukupna zategnuta armatura (kablovska i meka) dobija se iz izraza A i = M u σ ak z = B h µ f B i (32) σ ak gde je - µ i = ϕ2 J I s... mehanički koeficijent armiranja zategnutom 2 (kablovskom i mekom) armaturom

Presci proizvoljnog oblika Sila pritiska u preseku pri lomu D u, data sa (27), može da se, prema izrazu za mehanički koeficijent armiranja µ i, prikaže u obliku m D u = B h f B µ i = B h f B (33) ξ Rastojanje centra pritiska D u od pritisnute ivice preseka je dato sa α x: α x = α s h = h ξ h = h (1 ξ) odn. α = 1 ξ s

Proračunska šema za presek pravougaonog oblika Slučaj 1 Preseci gde su dilatacije betona krajnjeg pritisnutog vlakna ε b < 2, odnosno, gde je ϕ < ϕ 0 Slučaj 2 Preseci gde su dilatacije betona krajnjeg pritisnutog vlakna ε b (2 3.5], odnosno, gde je ϕ ϕ 0

Presci pravougaonog oblika U analizi preseka pravougaonog oblika mogu da se jave dva slučaja: 1 Dilatacije krajnjeg pritisnutog vlakna su ε b < 2, odnosno, gde je ϕ < ϕ 0 2 Dilatacije krajnjeg pritisnutog vlakna su ε b (2 3.5], odnosno, gde je ϕ ϕ 0 Za pravougaoni presek je β(η) = 1, kao i B = b

Presci pravougaonog oblika - Slučaj 1 Za slučaj 1 integralne funkcije (20) i (28) dobijaju se kao J I = J 1 IB = s3 ϕ 2 0 ( ϕ0 ϕ 1 ) 3 J II = J 1 IIB + (1 s) J 1 IB = s3 ϕ 2 0 ( s 12 + ϕ 0 ϕ s ϕ 0 3 ϕ 1 3 ) (34)

Presci pravougaonog oblika - Slučaj 1 Potrebni koeficijenti za dimenzionisanje, dati izrazima (23), (25), (12), kao i (31), dati su, za pravougaoni presek i slučaj 1, sa 1 k b = ϕ 2 ϕ 2 0 m = ϕ2 ϕ 2 s 0 µ i = ϕ2 ϕ 2 s 0 ξ = m µ i ( s s 12 + ϕ 0 ϕ sϕ 0 3ϕ 1 3 ( s ) 12 + ϕ 0 ϕ sϕ 0 3ϕ 1 ) 3 ( ϕ0 ϕ 1 ) 100 [%] 3 α = 1 ξ s (35)

Presci pravougaonog oblika - Slučaj 2 Slučaj 2 znači da su dilatacije krajnjeg pritisnutog betonskog vlakna u granicama 2 < ε b 3.5, odn. da je ϕ ϕ 0 Za slučaj 2 integralne funkcije (20) i (28) dobijaju se kao J I = J 1 IB + J 2 IB = s3 ϕ 2 0 J II = J 1 IIB + J 2 IIB = s3 ϕ 2 0 ( 1 ϕ 0 3ϕ ) [ 1 s 2 + ϕ 0 3ϕ (1 s) s ϕ2 0 12 ϕ 2 ] (36)

Presci pravougaonog oblika - Slučaj 2 Potrebni koeficijenti za dimenzionisanje, dati izrazima (23), (25), (12), dati su, za pravougaoni presek i slučaj 2, sa 1 k b = [ ] s 1 s 2 ϕ 0 3ϕ (1 s) sϕ2 0 12ϕ 2 [ m = s 1 s 2 ϕ ] 0 3ϕ (1 s) sϕ2 0 (37) 12ϕ ( 2 µ i = s 1 ϕ ) 0 100 [%] 3 ϕ

Presci pravougaonog oblika - Slučaj 2 Ukoliko je presek iskorišćen, pri čemu su dilatacije ε b = 3.5, t.j. za ϕ = 1 i za ϕ 0 = 4/7, izrazi za slučaj 2 (36) i (37) dobijaju se u obliku: J I = 17 21 s3 J II = 17 21 s3 33 1 k b = 17 21 s 33 98 ( s2 17 m = 21 s 33 ) 98 s2 100 [%] 98 s4 µ i = 17 21 s ξ = 1 99 238 s α = 99 238 (38)

- složeno savijanje Presci proizvoljnog oblika Veliki ekscentricitet kod složenog savijanja znači da je normalna sila (pritiska) izvan jezgra preseka, a dilatacije zategnute armature su ε ak 10 U takvom slučaju, neutralna osa je unutar preseka x h Za granično stanje loma granični uticaji M u i N u računaju se za najnepovoljnija moguća dejstva

- složeno savijanje Presci proizvoljnog oblika Posmatraju se dva slučaja: - granični slučaj pri kome se javlja ekstremna vrednost graničnog uticaja momenta savijanja M u i njemu odgovarajuća granična normalna sila N u koji izazivaju granično stanje naprezanja u zategnutoj armaturi - granični slučaj pri kome se javlja ekstremna vrednost graničnog uticaja normalne sile N u i njoj odgovarajuća granična vrednost momenta savijanja M u koji izazivaju granično stanje naprezanja u betonu Sile u preseku: M, sila pritiska +N ili sila zatezanja Z = N, definišu se u odnosu na tešišnu osu nosača

Proračunska šema za presek proizvoljnog oblika A k, A a... kablovska i meka armatura u zoni zatezanja A k, A a... kablovska i meka armatura u zoni pritiska e = Mu N u... ekscentricitet sile N u u odnosu na težište preseka T

- složeno savijanje Presci proizvoljnog oblika Na slici je dat proizvoljan simetričan presek napregnut na složeno savijanje sa alternativnim graničnim uticajima ±M u i normalne sile pritiska N u ili normalne sile zatezanja N u Presek je armiran u obe zone sa kablovima i sa mekom armaturom Armatura u zategnutoj zoni preseka je - A k... ukupna površina kablova - A a... ukupna površina meke armature Analogno, u pritisnutoj zoni preseka je armatura A k i A a

- složeno savijanje Presci proizvoljnog oblika Uslovi ravnoteže momenata spoljašnjih i unutrašnjih sila za težište ukupne zategnute i pritisnute kablovske i meke armature glase D u ξ h M ku = 0 Z u h (1 a h ) D u (α s h a ) M ku = 0 (39) Sa M ku i M ku označeni su granični uticaji momenata savijanja u odnosu na težište ukupne zategnute kablovske i meke armature, kao i u odnosu na težište ukupne pritisnute kablovske i meke armature

- složeno savijanje Presci proizvoljnog oblika Granični momenti savijanja M ku i M ku dati su sa: M ku = M u + N u c = N u (e + c) = N u e u M ku = M u N u c = N u (e c ) (40) Za slučaj granične sile zatezanja u izraze se sila N u unosi sa znakom minus

- složeno savijanje Presci proizvoljnog oblika Unutrašnja sila pritiska u betonu D u data je sa (27): D u = B h f B ϕ 2 J I s 2 sila zatezanja u ukupnoj zategnutoj armaturi Z u data je sa Z u = A i σ ak dok su koeficijenti ξ i α dati izrazima: ξ = J II J I α = 1 ξ s

- složeno savijanje Presci proizvoljnog oblika Integralne funkcije J I i J II date su, u ovom slučaju, izrazima: J I = J IB + µ i J II = J IIB + µ i s 2 ϕ 2 s 2 ϕ 2 ) (41) (1 a h Ako se jednačine ravnoteže momenata (39) podele sa Bh 2 f B, dobijaju se jednačine izražene preko mehaničkih koeficijenata armiranja µ i i µ i, kao i preko koeficijenata nosivosti preseka m ku i m ku

- složeno savijanje Presci proizvoljnog oblika Dobijaju se jednačine: ϕ 2 J IIB s 2 + µ i (1 a h ( ) µ i 1 a ϕ2 h s 2 ) m ku = 0 [J IB (1 a h ) J IIB ] m ku = 0 (42) gde je m ku = M ku B h 2 f B m ku = M ku B h 2 f B (43)

- složeno savijanje Presci proizvoljnog oblika Uvodi se oznaka p = ϕ2 s 2 gde je [J IB (1 a h ) ] ) J IIB = µ 0 (1 a m (44) h - m = ϕ2 J IIB s... koeficijent nosivosti jednostruko armiranog 2 betonskog preseka pri čistom savijanju - µ 0 = ϕ2 J IB s... mehanički koeficijent armiranja jednostruko 2 armiranog preseka kod čistog savijanja

- složeno savijanje Presci proizvoljnog oblika Mehanički koeficijenti armiranja u jednačinama (42), sa oznakama (44), dati su u obliku: µ i = 1 1 a h µ i = 1 1 a h (m ku m) (m ku + p) (45) Zategnuta i pritisnuta ukupna armatura (kablovska i meka) određuju se prema izrazima A i = B h µ i f B σ ak A i = B h µ i f B σ ak (46)

- složeno savijanje Presci pravougaonog oblika Posmatra se presek pravougaonog oblika izložen složenom savijanju Mogu da se posmatraju različiti slučajevi postupka proračuna: 1 nesimetrično armiran presek 2 jednostruko armiran presek 3 simetrično armiran presek 4 određivanje graničnih uticaja M u i N u za poznati poprečni presek i armaturu

Proračunska šema za presek pravougaonog oblika A k, A a... kablovska i meka armatura u zoni zatezanja A k, A a... kablovska i meka armatura u zoni pritiska e = Mu N u... ekscentricitet sile N u u odnosu na težište preseka T

- složeno savijanje Presci pravougaonog oblika - nesimetrično armiran presek Posmatra se presek pravougaonog oblika izložen složenom savijanju, koji je nesimetrično armiran Dimenzionisanje ne može da se izvrši direktno, već se - pretpostave dimenzije preseka - sračunaju se koeficijenti m ku i m ku, prema (43) - odrede mehanički koeficijenti armiranja, prema (45): µ i = 1 1 a h (m ku m) µ i = 1 1 a h (m ku + p)

- složeno savijanje Presci pravougaonog oblika - nesimetrično armiran presek Za iskorišćene preseke, za ϕ = 1, koeficijenti m i p dati su sa: m = 17 21 s 33 98 s2 µ 0 = 17 21 s p = 33 98 s2 17 a 21 h s q = p m = 33 49 s2 17 21 s ) (1 + a h (47)

- složeno savijanje Presci pravougaonog oblika - nesimetrično armiran presek Na osnovu mehaničkih koeficijenata armiranja m ku i m ku određuje se armatura u preseku: A i = b h µ i f B A i = b h µ i σ ak f B σ ak (48)

- složeno savijanje Presci pravougaonog oblika - jednostruko armiran presek Posmatra se jednostruko armiran presek pravougaonog oblika izložen složenom savijanju Za jednostruko armiran presek armatura se dobija za µ i = 0 Na osnovu izraza (45) dobija se m ku = m = 17 21 s 33 98 s3

- složeno savijanje Presci pravougaonog oblika - simetrično armiran presek Posmatra se simetrično armiran presek pravougaonog oblika izložen složenom savijanju Za simetrično armiran presek i za unapred usvojenu širinu b, statička visina preseka se dobija u obliku: h = N u s 2 b f B ϕ 2 J IB Za iskorišćenu nosivost betona, pri ε B = 3.5, dobija se ϕ = 1, kao i J IB = 17 21 s3 s = 1 1 + ε ak0 3.5

- složeno savijanje Presci pravougaonog oblika - simetrično armiran presek Izraz za statičku visinu preseka glasi h = 42 N u( ε ak0 + 3.5) 119 b f B Dilatacija ε ak0 usvaja se unapred, odn. za poznat presek iznosi ( ) 17 b h fb ε ak0 = 3.5 1 21 N u

- složeno savijanje Presci pravougaonog oblika - simetrično armiran presek Ukupna armatura u preseku računa se preko ukupnog mehaničkog koeficijenta armiranja, koji je dat sa: µ i + µ i = 1 ( ) 2 Mu 1 a b h 2 + q (q = p m) f h B Time se dobija ukupna armatura Ai = b h ( µ i + µ i) f B gde je q dato sa (47) = b h f B σ ak [ 1 σ ak 1 a h ( ) ] 2 Mu b h 2 + q f B

- složeno savijanje Pravougaoni presci - određivanje graničnih uticaja M u i N u Posmatra se pravougaoni presek poznatih dimenzija i armature (kablovske i meke) Određuju se granični uticaji M u i N u Pretpostavlja se da je ϕ > ϕ 0 (naponski dijagram u pritisnutom delu betona je na delu ε b > 2 ) Za pravougaoni presek je: J IB = s2 ϕ 2 J IIB = s3 ϕ 2 ( 1 ϕ ) 0 3ϕ [ 1 s 2 ϕ 0 3ϕ (1 s) s ] ϕ2 0 12 ϕ 2

- složeno savijanje Pravougaoni presci - određivanje graničnih uticaja M u i N u Za slučaj simultanog loma po beton i čeliku (ε b = 3.5 i ε ak = 10 ), kao i za simetrično armirane preseke ( µ i = µ i ), jednačina iz koje se određuje položaj neutralne ose, za delovanje normalne sile pritiska, data je sa s 2 + 2.4 s ( ea h 1 ) 98 33 µ i (1 a h ) = 0 (49)

- složeno savijanje Pravougaoni presci - određivanje graničnih uticaja M u i N u Koristeći izraze (44) i (45), sračunaju se p i m, kao i koeficijenti m au i m au: ) m au = (1 a µ i + m h ) m au = (1 a µ i p h (50)

- složeno savijanje Pravougaoni presci - određivanje graničnih uticaja M u i N u Granični uticaji M u i N u određuju se prema izrazima (43) i (50) Za slučaj da je a = a i c = c dobija se M u = 1 ) 2 b h2 f B [( µ i + µ i) (1 a h [ ( µ i µ i ) N u = 1 h a b h2 f B (1 a h ] q ) + m + p ] (51) Veličina ekscentriciteta e a koja je pretpostavljena u određivanju položaja neutralne ose, mora da zadovolji izraz: e a = M u N u + c