Fişier template preliminar

logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi UC.png Universitatea din Craiova

Ion CRĂCIUN Expert pe termen lung Paul Valeriu GEORGESCU Expert pe termen scurt Departamentul de Matematică şi Informatică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ME 12. APLICAŢII ALE TRANSFORMĂRII LAPLACE IAŞI 212

Cuprins 1 ME 12. Aplicaţii ale transformării Laplace 5 1.1 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale..................................... 5 1.2 Integrarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare.......................... 7 1.3 Integrarea unor ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi variabili.................. 8 1.4 Integrarea unor ecuaţii cu derivate parţiale.............................. 1 1.5 Rezolvarea unor ecuaţii integrale.................................... 12 1.6 Calculul unor integrale improprii.................................... 14 3

1 ME 12. Aplicaţii ale transformării Laplace 1.1 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Să considerăm problema determinării funcţiei x(t), t >, care verifică ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n cu coeficienţi constanţi, neomogenă şi condiţiile iniţiale a x (n) + a 1 x (n 1) + + a n 1 x + a n x = f(t) (1.1) x(+) = x, x (+) = x 1, x (+) = x 2,, x (n 1) (+) = x n 1, (1.2) unde f(t) este o funcţie dată, iar x, x 1, x 2,, x n 1 sunt n numere date. Soluţia generală a ecuaţiei omogene asociate este o sumă de funcţii de forma a x (n) + a 1 x (n 1) + + a n 1 x + a n x = e α t [P (t) cos βt + Q(t) sin βt], unde P (t) şi Q(t) sunt polinoame. Deci, funcţia x(t), nulă pentru t <, care verifică ecuaţia omogenă şi condiţiile iniţiale (1.2), este o funcţie original împreună cu derivatele sale de orice ordin. În general nu putem afirma acelaşi lucru pentru ecuaţia (1.1) datorită prezenţei funcţiei f(t). În cele ce urmează, vom presupune că f(t) este un original şi că funcţia x(t), care verifică ecuaţia (1.1) şi condiţiile iniţiale (1.2), îndeplineşte condiţiile impuse originalelor, împreună cu derivatele lor până la ordinul n. Notăm X(p) = Lx(t), F (p) = Lf(t). Datorită proprietăţilor de liniaritate a transformatei Laplace, din ecuaţia (1.1) deducem a Lx (n) + a 1 Lx (n 1) + + a n 1 Lx + a n Lx = Lf(t). (1.3) Conform egalităţii (??) şi ţinând seama de condiţiile iniţiale (1.2), avem Lx (n) (t) = p n X(p) (x p n 1 + x 1 p n 2 + + x n 2 p + x n 1 ), Lx (n 1) (t) = p n 1 X(p) (x p n 2 + x 1 p n 3 + + x n 2 ),.......... Lx (t) = p 2 X(p) (x p + x 1 ), Lx (t) = p X(p) x, Lx(t) = X(p). 5

6 Ion Crăciun Paul Valeriu Georgescu Introducem în (1.3) şi ordonăm termenii convenabil. Obţinem (a p n + a 1 p n 1 + + a n 1 p + a n )X(p) = F (p) + G(p), (1.4) unde G(p) = x (a p n 1 + a 1 p n 2 + + a n 2 p + a n 1 )+ +x 1 (a p n 2 + a 1 p n 3 + + a n 3 p + a n 2 )+................................................... +x n 2 (a p + a 1 )+ +x n 1 a. Egalitatea (1.4) se numeşte ecuaţia operaţională corespunzătoare ecuaţiei (1.1) cu condiţiile iniţiale (1.2). ecuaţia operaţională se reţine uşor dacă facem următoarele observaţii: X(p) se înmulţeşte cu polinomul caracteristic al ecuaţiei diferenţiale (1.1); G(p) este o combinaţie liniară de polinoame ϕ(p) = a p n + a 1 p n 1 + + a n 1 p + a n G(p) = x ϕ (p) + x 1 ϕ 1 (p) + + x n 1 ϕ n 1 (p); polinomul ϕ (p) se obţine din polinomul caracteristic ϕ(p) suprimând termenul liber şi împărţind cu p; prin acelaşi procedeu se obţine ϕ 1 (p) din ϕ (p); ϕ 2 (p) se obţine suprimând termenul liber al polinomului ϕ 1 (p) şi împărţind rezultatul cu p şi aşa mai departe până se obţine ϕ n 1 (p) = a. Din ecuaţia (1.4) deducem X(p) = F (p) + G(p). ϕ(p) Soluţia ecuaţiei (1.1) care satisface condiţiile iniţiale (1.2) este x(t) = L 1 X(p) şi se determină fie folosind formula lui Mellin Fourier, fie prin descompuneri convenabile ale funcţiei X(p). Exerciţiul 1.1.1. Să se determine soluţia a ecuaţiei diferenţiale x + ω 2 x = (λ 2 + ω 2 )e λ t care satisface condiţiile iniţiale x(+) = 1, x (+) = ω λ. Soluţie. Ecuaţia operaţională corespunzătoare este (p 2 + ω 2 )X(p) = (λ 2 + ω 2 1 ) + p + (ω λ) p + λ

ME 12. Aplicaţii ale transformării Laplace 7 şi se mai poate scrie (p 2 + ω 2 )X(p) = ω + p2 + ω 2 p + λ. Deducem X(p) = 1 p + λ + ω p 2 + ω 2. Folosind rezultatele din Exemplul?? şi Exerciţiul?? determinăm originalul funcţiei X(p) x(t) = e λ t + sin ωt, funcţia astfel găsită fiind soluţie a problemei Cauchy date. 1.2 Integrarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare Transformata Laplace se poate aplica şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale cu coeficienţi constanţi. Vom lua ca exemplu, sistemul de ecuaţii diferenţiale a x + a 1 x + a 2 x + b y + b 1 y + b 2 y = f(t) α x + α 1 x + α 2 x + β y + β 1 y (1.5) + β 2 y = ϕ(t) şi condiţiile iniţiale x(+) = x, x (+) = x 1 ; y(+) = y, y (+) = y 1. (1.6) În ipoteza că f(t) şi ϕ(t) sunt funcţii original şi că funcţiile x(t), y(t) care verifică sistemul (1.5) şi condiţiile iniţiale (1.6) sunt, de asemenea, funcţii original împreună cu primele două derivate, aplicăm transformata Laplace celor două ecuaţii (1.5) obţinând astfel sistemul operaţional (a p 2 + a 1 p + a 2 )X(p) + (b p 2 + b 1 p + b 2 )Y (p) = F (p)+ +x (a p + a 1 ) + x 1 a + y (b p + b 1 ) + y 1 b, unde am notat, ca de obicei, (α p 2 + α 1 p + α 2 )X(p) + (β p 2 + β 1 p + β 2 )Y (p) = Φ(p)+ +x (α p + α 1 ) + x 1 α + y (β p + β 1 ) + y 1 β, Lx(t) = X(p), Ly(t) = Y (p), Lf(t) = F (p), Lϕ(t) = Φ(p). Din acest sistem se deduc funcţiile X(p), Y (p). Soluţia problemei este sistemul de funcţii x(t) = L 1 X(p), y(t) = L 1 Y (p). Exerciţiul 1.2.1. Să se determine funcţiile x(t) şi y(t) care verifică sistemul { x + 2x + x + y + y + y = 1 2x + 2x + y + 2y = 2t şi condiţiile iniţiale x(+) =, x (+) = 2; y(+) = 1, y (+) = 2.

8 Ion Crăciun Paul Valeriu Georgescu Soluţie. Sistemul operaţional corespunzător este (p 2 + 2p + 1)X(p) + (p 2 + p + 1)Y (p) = 1 p + p + 1 (2p + 2)X(p) + (p 2 + 2p)Y (p) = 2 p 2 + p. Scăzând a doua ecuaţie din prima şi simplificând cu p 1, obţinem sistemul echivalent Soluţia acestui sistem este (p + 1)X(p) Y (p) = p + 2 p 2 2(p + 1)X(p) + (p 2 + 2p)Y (p) = p3 + 2 p 2. X(p) = 1 p 2 + 1 p 2 + 2p + 2, Y (p) = 1 p 2 + p + 1 p 2 + 2p + 2. Deoarece trinomul p 2 + 2p + 2 are rădăcini imaginare, vom scrie Originalele acestor funcţii sunt X(p) = 1 p 2 + 1 (p + 1) 2 + 1, Y (p) = 1 p 2 + p + 1 (p + 1) 2 + 1. x(t) = t + e t sin t, y(t) = t + e t cos t şi cu aceasta problema Cauchy este rezolvată. 1.3 Integrarea unor ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi variabili În cele expuse mai sus, am arătat cum metoda operaţională transformă problema integrării unei ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi, cu condiţii iniţiale date, în problema rezolvării unei ecuaţii algebrice. Se obţine astfel imaginea X(p) a soluţiei x(t). Dificultăţile de calcul sunt legate de determinarea originalului x(t), cunoscută fiind imaginea sa. Această metodă poate fi extinsă şi pentru unele ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi variabili. Aplicând transformarea Laplace ecuaţiei date, aceasta se transformă uneori tot într o ecuaţie diferenţială, care se poate întâmpla să se integreze mai uşor. Să considerăm, de exemplu, ecuaţia diferenţială liniară în care coeficienţii a k sunt polinoame în t a x (n) + a 1 x (n 1) + + a n 1 x + a n x = f(t) (1.7) a k = α k t r + α k1 t r 1 + + α k r 1 t + α kr Ecuaţia (1.7) conţine în membrul stâng termeni de forma x, tx, t 2 x, x, tx, t 2 x, x, tx, t 2 x,.... x (n), tx (n), t 2 x (n), (1.8)

ME 12. Aplicaţii ale transformării Laplace 9 Presupunem că f(t) şi funcţia necunoscută x(t), împreună cu derivatele sale până la ordinul n inclusiv, sunt originale. Aplicând transformarea Laplace ecuaţiei (1.7), va trebui să calculăm imaginile funcţiilor (1.8). Pentru aceasta folosim egalităţile (??) şi (??). Avem Lx = X(p), L(tx) = X (p), L(t 2 x) = X (p), Lx = px(p) x(+), L(tx ) = [px(p)], L(t 2 x ) = [px(p)], Lx = p 2 X(p) [px(+) + x (+)], L(tx ) = [p 2 X(p)] + x(+), (1.9) dacă se aplică transformarea Laplace în ecuaţia (1.7) şi se folosesc relaţiile (1.9) se obţine ca ecuaţie operaţională tot o ecuaţie diferenţială liniară A X (r) + A 1 X (r 1) + + A r X = Φ(p). Ordinul acestei ecuaţii este cel mult r, unde r este cel mai mare dintre gradele polinoamelor a k. Coeficienţii A, A 1,, A r în număr uneori mai mic decˆt gradul ecuaţiei iniţiale, sunt polinoame în variabila p. Exerciţiul 1.3.1. Să se determine soluţia ecuaţiei diferenţiale tx + x + x = care satisface condiţiile iniţiale x(+) = x, x (+) = x 1. Soluţie. Avem Obţinem ecuaţia operaţională a cărei soluţie generală este L(tx ) = p 2 X (p) 2 px(p) + x, Lx = px(p) x. p 2 X (p) + (p 1)X(p) = X(p) = C 1 1 p e p, C fiind o constantă arbitrară. Observăm că, în conformitate cu Exerciţiul??, originalul său este x(t) = CJ (2 t), unde J (τ) este funcţia lui Bessel de speţa întâia şi de ordinul zero J (τ) = ( 1) k 1 ( τ (k!) 2 2 k= Constanta C se determină folosind condiţiile iniţiale. Avem ) 2k. x(t) = C ( 1) k tk (k!) 2, k= x (t) = C k= ( 1) k ktk 1 (k!) 2. Condiţiile iniţiale dau x(+) = C = x, x (+) = C = x 1. Rezultă că cele două condiţii iniţiale nu pot fi date arbitrar. Va trebui să avem x = x 1. Presupunând această condiţie îndeplinită, soluţia problemei este x(t) = x J (2 t). Faptul că cele două condiţii iniţiale nu

1 Ion Crăciun Paul Valeriu Georgescu pot fi independente se poate explica amintind că ecuaţia de tip Bessel de forma celei din enunţ are soluţia generală x(t) = A J (2 t) + B Y (2 t), unde Y (t) este funcţia lui Bessel de speţa a doua, cu proprietatea lim τ Y (τ) =. Pentru a fi îndeplinită ultima condiţie trebuie să luăm B =. Soluţia ecuaţiei, cu condiţii iniţiale date, se construieşte numai cu primul termen x(t) = A J (2 t) şi pentru determinarea constantei A este suficientă doar o condiţie iniţială. 1.4 Integrarea unor ecuaţii cu derivate parţiale Să considerăm ecuaţia liniară a 2 u x 2 + b u x + α 2 u t 2 + β u + γ u = ϕ(x, t), (1.1) t unde a, b, α, β, γ sunt funcţii numai de x, continu e pe un interval [, l]. Se pune problema determinării soluţiei u(x, t) a acestei ecuaţii pentru care satisface condiţiile iniţiale şi condiţiile la limită u(x, ) = f(x), (x, t) [, l] (, ), u (x, ) = g(x); ( ) x [, l] (1.11) t [ A u x + B u t ]x= + Cu [ u A 1 x + B u ] 1 t + C 1u x=l = h(t) = k(t) (1.12) unde A, B, C, A 1, B 1, C 1 sunt constante, iar h(t) şi k(t) funcţii date. Vom presupune că h(t) şi k(t) sunt funcţii original. Fie H(p) şi K(p) imaginile lor. De asemenea, presupunem că ϕ(x, t) este un original în raport cu t şi notăm Φ(x, p) = Lϕ(x, t) = ϕ(x, t)e pt dt. În ipoteza că soluţia u(x, t) a problemei, precum şi derivatele sale parţiale de primele două ordine satisfac în raport cu t condiţiile impuse funcţiilor original oricare ar fi x [, l], putem aplica transformarea Laplace ecuaţiei (1.1) şi condiţiilor (1.12). Deoarece a, b, c, α, β, γ nu depind de t, avem a L 2 u x 2 + b L u x + u αl 2 t 2 + βl u + γlu = Φ(x, p). (1.13) t De asemenea, [ AL u x + BL u t + CLu = H(p) ]x= [ A 1 L u x + B 1L u ] t + C 1Lu = K(p) x=l pentru că integrarea în raport cu t şi înlocuirile x =, x = l sunt operaţii independente. Avem Lu(x, t) = u(x, t)e pt dt = U(x, p), L u u (x, t) = x x (x, t)e pt dt = du (x, p), dx (1.14)

ME 12. Aplicaţii ale transformării Laplace 11 L 2 u 2 u (x, t) = x2 x 2 (x, t)e pt dt = d2 U (x, p). dx2 Am notat derivatele funcţiei U(x, p) în raport cu x cu du dx (x, p), d2 U (x, p) deoarece, în cele ce urmează, p dx2 figurează ca un parametru în raport cu care nu avem de derivat. Pe de altă parte, în conformitate cu (??) şi ţinând seama de condiţiile iniţiale (1.11), avem L u (x, t) t = p U(x, p) f(x), L 2 u t 2 (x, t) = p2 U(x, p) [p f(x) + g(x)]. Introducem în (1.13) şi (1.14). Obţinem ecuaţia operaţională a d2 U dx 2 + bdu + cu = d, (1.15) dx unde şi condiţiile la limită c = αp 2 + βp + γ, [ A du dx ]x= + (Bp + C)U [ du ] A 1 dx + (B 1p + C 1 )U d = Φ(x, p) + (αp + β)f(x) + αg(x), x=l = H(p) + Bf(+) = K(p) + B 1 f(l) (1.16) Ecuaţia operaţională (1.15) este o ecuaţie diferenţială ordinară liniară cu coeficienţi funcţii de x şi de parametrul p. De obicei, integrarea acestei ecuaţii cu condiţiile (1.16) este o problemă mai simplă decândt problema iniţială. Fie U(x, p) soluţia ecuaţiei (1.15) care verifică egalităţile (1.16). Soluţia problemei iniţiale va fi originalul acestei funcţii, u(x, t) = LU(x, p). Observaţia 1.4.1. condiţii la limită. În cazul când ecuaţia este de tip parabolic, nu trebuiesc date două condiţii iniţiale şi două Exerciţiul 1.4.1. Să se determine soluţia u(x, t) a ecuaţiei 2 u t 2 a2 2 u = A sin ωt, x2 unde A, a şi ω sunt constante reale, care satisface condiţiile iniţiale şi condiţiile la limită u(x, ) =, u (x, ) =, x [, l] t u(, t) =, u(l, t) =, t.

12 Ion Crăciun Paul Valeriu Georgescu Soluţie. În ipoteza că soluţia u(x, t) a problemei şi derivatele sale parţiale de primele două ordine satisfac în raport cu t condiţiile impuse funcţiilor original, oricare ar fi x [, l], se poate aplica transformarea Laplace ecuaţiei date şi condiţiilor la limită. Se obţine ecuaţia operaţională cu condiţiile la limită unde a 2 d2 U dx 2 p2 U(x, p) = Aω p 2 + ω 2 U(, p) =, U(l, p) =, U(x, p) = Lu(x, t) = u(x, t)e pt dt. Soluţia generală a ecuaţiei operaţionale este p U(x, p) = C 1 ea x p + C 2 e a x + Aω p 2 (p 2 + ω 2 ). Din condiţiile la limită se determină C 1 şi C 2, după care rezultă că U(x, p) = Aω p 2 (p 2 + ω 2 ) Soluţia problemei la limită şi cu condiţii iniţiale date va fi u(x, t) = AL 1 ω p 2 (p 2 + ω 2 ) p Aω p 2 (p 2 + ω 2 ) e a x p + e (x l) a p 1 + ea l. p [ AL 1 ω p 2 (p 2 + ω 2 ) e a x p + e (x l) a ] p 1 + ea l. Rămâne acum să determinăm inversele prin transformata Laplace a funcţiilor de mai sus. Aceasta se poate face folosind formula lui Mellin Fourier. 1.5 Rezolvarea unor ecuaţii integrale În cele ce urmează vom da două tipuri de ecuaţii integrale care pot fi rezolvate prin metode operaţionale. Prima ecuaţie are forma Ax(t) + B t x(τ)k(t τ)dτ = Cf(t), (1.17) în care A, B, C sunt constante, iar f(t) şi k(t τ) sunt funcţii cunoscute. Funcţia necunoscută este x(t) şi figurează şi sub semnul de integrare. De aceea egalitatea (1.17) se numeşte ecuaţie integrală. Funcţia k(t τ) se numeşte nucleul ecuaţiei integrale şi în general este o funcţie de două variabile, k(t, τ). Deci, putem spune că ecuaţia (1.17) este un caz particular al ecuaţiei Ax(t) + B t x(τ)k(t, τ)dτ = Cf(t), în care nucleul k(t, τ) este o funcţie de două variabile. Să presupunem că funcţiile f(t), k(t) şi funcţia necunoscută x(t) sunt originale. Notăm Conform egalităţii (??) din Teorema?? (Borel), avem Lf(t) = F (p), K(p) = Lk(t), X(p) = Lx(t). L t x(τ)k(t τ) dτ = X(p)K(p).

ME 12. Aplicaţii ale transformării Laplace 13 Deci, aplicând transformata Laplace, ecuaţia integrală (1.17) se transformă în egalitatea [A + BK(p)]X(p) = CF (p) (1.18) care se numeşte ecuaţia operaţională corespunzătoare ecuaţiei integrale (1.17). Din aceasta se deduce CF (p) X(p) = A + BK(p). Soluţia ecuaţiei integrale (1.17) este originalul acestei funcţii. Exerciţiul 1.5.1. Să se rezolve ecuaţia integrală x(t) 2ω t x(τ) sin ω(t τ) dτ = λ cos ωt. Soluţie. Ecuaţia operaţională corespunzătoare este ) (1 2ω2 p p 2 + ω 2 X(p) = λ p 2 + ω 2. Rezultă p X(p) = λ p 2 ω 2 = λ ( 1 2 p ω + 1 ). p + ω Soluţia ecuaţiei integrale este originalul acestei funcţii, x(t) = λ cosh ωt. Pentru determinarea rezultatului s a ţinut cont de faptul că originalul fracţiilor simple de mai sus sunt respectiv funcţiile e λ t şi e λ t. Cea de a doua ecuaţie integrală căreia i se poate aplica metoda operaţională este Ax(t) + B Ecuaţia operaţională corespunzătoare este t x(τ)x(t τ) dτ = Cf(t). (1.19) BX 2 (p) + AX(p) CF (p) =. (1.2) Soluţiile acestei ecuaţii algebrice sunt imaginile soluţiilor ecuaţiei integrale. Exerciţiul 1.5.2. Să se determine o soluţie a ecuaţiei integrale x(t) + 1 2 t x(τ)x(t τ) dτ = cos t. Soluţie. Aplicând teoria de mai sus, se obţine ecuaţia operaţională X 2 (p) 2X(p) 2p p 2 + 1 =,

14 Ion Crăciun Paul Valeriu Georgescu care are soluţiile X(p) = 1 + p2 ± p 1 + p 2 ± 1 1 + p 2. Dacă din cele două soluţii alegem atunci originalul ei este X(p) = p + 1 + p 2 1 + p 2 x(t) = J 1 (t) J (t) 1 1 + p 2, unde J, J 1 sunt funcţiile Bessel de speţa întâi: prima, de ordin zero; a doua, de ordin unu. Funcţia original x(t) este o soluţie a ecuaţiei integrale date. 1.6 Calculul unor integrale improprii Arătăm pe un exerciţiu cum se utilizează transformata Laplace pentru calculul unor integrale improprii. Exerciţiul 1.6.1. Să se calculeze integralele improprii: I = sin 3 x cos x x 2 dx; I = 1 + x 2 dx; I = sin 3 x dx. x Soluţie. Pentru calculul primei integrale considerăm integrala improprie depinzând de parametrul t căreia îi aplicăm transformata Laplace. Avem LI 1 (t) = Integrala din interior este ( sin 3 tx x 2 I 1 (t) = sin 3 tx x 2 dx, ) dx e pt 1 dt = x 2 dx Lsin 3 tx = 3 4 Lsin tx 1 4 Lsin 3tx = 3 4 x p 2 + x 2 1 4 (sin 3 tx)e pt dt. 3x p 2 + 9x 2. Înlocuind această valoare a integralei din interior şi efectuând schimbarea de variabilă x 2 = u, găsim LI 1 (t) = 3 1 (p 2 + u)(p 2 + 9u) du. Valoarea acestei integrale se determină imediat şi se găseşte ( 3 ) 1 LI 1 (t) = 4 ln 3 p 2 = I 1 (t) = 3t 4 ln 3 de unde, luând t = 1, se deduce I = 3 ln 3. 4 Pentru calculul celei de a doua integrale se procedează analog considerând funcţia I 1 (t) = căreia îi aplicăm transformarea Laplace. Avem ( cos tx ) LI 1 (t) = 1 + x 2 dx e pt dt = 1 1 + x 2 dx (cos tx)e pt dt. cos tx 1 + x 2 dx

ME 12. Aplicaţii ale transformării Laplace 15 p Integrala din interior este transformata Laplace a funcţiei cos tx care se ştie că este Lcos tx = p 2 + x 2 astfel 1 că putem scrie LI 1 (t) = 1 + x 2 p p 2 dx. Valoarea acestei integrale se poate determina fie folosind + x2 descompunerea în fracţii simple, fie utilizând teorema reziduurilor. Se găseşte LI 1 (t) = π 2(p + 1) Pentru a treia integrală, pornind de la integrala I 1 (t) = π 6p şi de aici la valoarea I = π a integralei date. 6 = I 1 (t) = π 2 e t = I = π 2e. sin tx 3 dx, se ajunge la LI 1 (t) = x x 2 p 2 + x 6 dx =