JAOTUSFUNKTSIOONID JA MÕÕTEMÄÄRAMATUSED

Tartu Üliool Kesoafüüsia istituut JAOTUSFUNKTSIOONID JA MÕÕTEMÄÄRAMATUSED I VIHIK LOENGUKONSPEKT Rei Rõõm TARTU 5

Käesolev loeguospet JAOTUSFUNKTSIOONID JA MÕÕTEMÄÄRAMATUSED o mõeldud asutamises eesätt füüsia-eemiateadusoa esimese ursuse üliõpilastele, es läbivad füüsia, eemia a materaliteaduse baalaureuseõppe avu Käesolev ursus eeleb Füüsialiste mõõtmiste aluste ursusele a o selle eeldusaies Kursuse JAOTUSFUNKTSIOONID JA MÕÕTEMÄÄRAMATUSED sisus o tutvumie tõeäosusteooria a matemaatilise statistia alustega mahus, mis o miimaalselt tarvili selles, et mõista looduses a ühisoas aset leidvaid uhuslie ähtusi a protsesse, õppida eid täppisteaduslie meetoditega aalüüsima ig väla selgitama eis peituvaid seaduspärasusi See o ursuse esimee, laiem ülesae a eesmär Teie, itsam raeduseesmär o tutvumie füüsialiste mõõtmiste alustega Mõõtmisosus o vaali teadusuurigutes, tehilises tegevuses, meditsiiis, maaduses, spordis, oduses maapidamises Mõõtmisosus uulub mistahes teholoogilise eriala alustesse Kesse tähtsusega igasugustel mõõtmistel, füüsialistel mõõtmistel sealhulgas, o mõõtmistulemuste statistilie töötlus a mõtestamie tõeäosuslies ategooriates Suure osa füüsialiste mõõtmiste alustest moodustabi mõõtmistulemuste töötlemie Kouvõtvalt, ui ursuse esimee pool o sisseuhatus tõeäosusteooriasse a matemaatilisse statistiasse, siis teie pool tegeleb omadatud matemaatilise aparaadi raedamisega füüsialistel mõõtmistel

Sisseuhatus3 JUHUSLIKUD SÜNDMUSED 5 Südmuste liigitamie 5 Tehted südmustega 7 3 Elemetaarsüdmuste ruum 4 Südmuse sagedus4 5 Südmuse tõeäosus7 6 Geomeetrilie tõeäosus 7 Märusi tõeäosuse mõiste ohta7 JUHUSLIKUD SUURUSED 9 Juhusliu suuruse mõiste 9 Disreetse uhusliu suuruse aotusseadus 3 3 Pideva uhusliu suuruse aotustihedus 34 4 Itegraale aotusfutsioo39 5 Ühtlae aotus 4 6 Espoetaotus43 7 Normaalaotus46 8 Deltaaotus 54 9 Tõeäosustiheduse hidamie esperimedist57 3 ÕPPEKIRJANDUST TÕENÄOSUSTEOORIA KOHTA 6

Sisseuhatus Sisseuhatus Looduses a ühisoas sealhulgas teaduslius uurimistöös, mitmesugustel tehiaaladel ig tööstuslius masstootmises - o sageli tegemist orduvalt esievate ähtustega, mis toimuvad või ulgevad iga ord veidi erievalt Niisuguseid ähtusi imetatase uhuslies Näiteid uhusliest ähtustest: Täaval vastutulevate iimeste pius (vaus, ehaaal, ); Märlaua tabamie märilasmisel püssi või vibuga; Radioatiivse elemedi aatomi eluiga; Tuule suud a suurus; Viig-loto loosimise uus võiduumbrit; Masstootmises oveierilt tulevate seadmete või detailide parameetrid (äites detaili pius); Ühe a sama eseme pius (aal, eletriuhtivus, ) erievatel (orduvatel) mõõtmistel; Üldiselt saab õii ähtusi a südmusi liigitada idlates, võimatutes a uhuslies Nähtust imetatase idlas, ui ta seatud tigimustel alati toimub Nähtust imetatase võimatus, ui see seatud tigimustel ei toimu iialgi Näide Nähtus, mis seiseb selles, et äestpillatud ese uub maha (a ei lähe selle asemel hoopis ledu), o idel südmus Maal, uid ei ole seda mitte ümber Maa tiirlevas orbitaalaamas Samal aal südmus äestpillatud pliiats ääb õhu hõluma o Maal võimatu Nähtust imetatase uhuslius, ui see seatud tigimustel võib toimuda või mitte toimuda Võime öelda a ii, et seatud tigimustel uhusli ähtus ulgeb orduvatel atsetel iga ord erievalt Näide Tärigu visamisel silmade,, 3, 4, 5 või 6 saamie o uhusli ähtus (eeldusel, et tärig o orrapärae a valmistatud homogeesest materalist) Paludel ähtustel o hariliult orduv iseloom, mis o orduvalt realiseeritavate põhuste (tigimuste) tagaärg Niisuguste orduvate ähtuste ohta võib uueda teatud obetiive etteuutus ede uhusliuse või võimaliuse ohta Osutub, orduvaid uhuslie ähtusi iseloomustavad seaduspärasused, mis ei ole uhusliud Selliseid seaduspärasusi imetatase tõeäosuslies 3

Sisseuhatus Näide Tööpigil ühesugustel tigimustel toodetud detailide mõõtmed (pius, laius, diameeter) o üldiselt erievad, uid ede mõõtmete arvväärtused õiguvad väieses vahemius, eriedes üllalt vähe migist esmisest Kõiumistel o üll uhusli iseloom, uid suurtes partiides o erievate partiide detailide mõõtmete aritmeetilised esmised ligiaudu võrdsed Eamgi mõõtmete hälbed aritmeetilistest esmistest erievates partiides o peaaegu ühesuguse sagedusega Juhuslies suurustes või ähtustes ilmevaid mitteuhuslie seaduspärasusi uurib, põhedab a selgitab tõeäosusteooria Juhuslie suuruste tõeäosuslie seaduspärasuste esperimetaalse uurimisega a põhedamisega tegeleb matemaatilie statistia Kui tõeäosusteooria tegeleb peaasaliult uhuslie südmuste a uhuslie suuruste aalüüsiga, esedudes tõeäosustele, aotusfutsiooidele a uhulie suuruste arvarateristiute uurimisele, siis matemaatilise statistia eesmärgis o orduvatel mõõtmistel või vaatlustel saadud admete tõeäosusli-- statistiliste seaduspärasuste välaselgitamise a põhedamise Selles asutab matemaatilie statistia suurte arvude seadusi seaduspärasusi, mis ilmevad väga suure arvu ühesugustes tigimustes toimuvate sõltumatute atsete esmistamisel Suurte arvude seaduste ehtivust tõestatase omaorda tõeäosusteooria meetodite a vaheditega Tõeäosusteooria ui raedusmatemaatia haru teis 5 a 6 saadil a arees sõltuvalt pratia vaadustest Tõeäosusteooria oma aregu algstaadiumis oli seotud maaduslie ülesaetega (äites eluidlustus, mis o seotud iisuguste ähtustega agu haigestumus, suremus) a hasartmägudega Tõeäosusteooria aregut stimuleeris pratiliste a teaduslie probleemide hul, mis omaorda põhiesid vaatlusadmetel a teoreetilistel üldistustel Täapäeval o tõeäosuse mõiste, tõeäosusli-teoreetilie meetod, leviud mitte aiult maaduses, tööstuses a tehiaaladel, vaid a rida täppisteadusi raaeb tõeäosusliteoreetilistel alustel Näitea olgu imetatud termodüaamia (statistilie füüsia) a ogu mirofüüsia alustades vatmehaaiaga Käesoleva ursusel o as eesmäri Esimee, laiem ülesae o ada ülevaade tõeäosusteooria a matemaatilise statistia alustest mahus, mis o tarvili selles, et mõista looduses a ühisoas aset leidvaid uhuslie ähtusi a protsesse üleüldse, õppida eid täppisteadusliult aalüüsima ig väla selgitama uhuslies ähtustes a südmustes peituvaid seaduspärasusi Teie, itsam a raeduslium eesmär o tutvumie füüsialiste mõõtmiste tõeäosusteoreetiliste alustega Mõõtmistega tuleb tegemist teha ogu füüsiapratiumi ulatuses, samuti eemia pratiumides Suure osa pratiumide töömahust moodustab mõõtmistulemuste statistilie töötlus, mille eesmärgis o võimaliult täpsete mõõtmistulemuste saamie a mõõtmise ui uhusliust sisaldava protsessi usaldusväärsuse hidamie (mõõtemääramatuste aalüüs) Nagu piaaalie ogemus äitab, o see osa üliõpilastele üs õige rasemii omadatavaid mõõtmispratiumide alalõie Seetõttu o äesolev ursus füüsialiste mõõtmiste aluste omadamises vaali a olulie 4

Südmuste liigitamie JUHUSLIKUD SÜNDMUSED Südmuste liigitamie Iga teadusharu põhieb teatud arvul põhimõistetel, mille abil atase teooria loogilie ülesehitus, st määratase eeruamad mõisted Tõeäosusteoorias o esimestes iisugustes mõistetes atse (esperimet) a südmus Neid ei defieerita, vaid selgitatase äidetega Üldiselt märgime, et südmuses võime imetada õigepealt igat loodusähtust Hariliult ii imetame ähtust, mis migil põhusel o meie huvisfääris a püüame seda uurida a tuetada Isoleeritud ähtusi looduses ei esisteeri Migi ähtuse teimises peavad olema täidetud teatud tigimused Täpsustame üüd atse a südmuse mõisteid Katse all mõistame teatud tigimuste omplesi realiseerumist, mille tulemusea võivad toimuda migid südmused Tigimused võivad olla loodud ustliult (tahtliult), või ad esisteerivad sõltumatult esperimetaatorist Võime öelda a, et atse o iisugue oluord või seisud, mille tulemusea võivad toimuda migid südmused Südmuse all mõistame igat fati, mis atse tulemusea võib toimuda või mitte Rõhutame, et sõltuvalt südmuse sisust asutame imetuse atse asemel veel imetusi esperimet või vaatlus Niisiis atse tulemusea toimuvad teatavad (aimatavad) südmused Katse o määratletud, ui o teada atse tigimused a oodatavate südmuste hul Katse võib olla orraldatud idla eesmärgi suuitlusega, plaeerimisega, aga a passiivse vaatlusea, lihtsalt admete registreerimisega Rõhutame veel, et atse ei tarvitse olla orraldatud iimese poolt; atse võib ulgeda sõltumatult iimesest Siiuures o iimee aiult vaatlea osas või toimuva registreeria Katsed võib aotada ahte lassi Esimeses lassis o atsetulemused ettearvatavad loodusteaduste seaduste alusel Niisuguseid atseid imetatase determieeritud atsetes Teise lassi arvame südmused, mille orral samadel atsetigimustel võivad esieda üsteist välistavad südmused Niisuguste atsete uurimie moodustabi tõeäosusteooria aie, a atseid imetatase uhuslies eh stohhastilistes eh tõeäosuslies atsetes Edaspidi asutame lühemat imetust atse Tähistame südmusi ladia tähestiu suurtähtedega, varustades eid vaaduse orral idesitega: A, B, A, B e Juhuslius südmuses imetatase südmust, mis atse tulemusea võib toimuda või mitte, usuures varem ei ole teada, as südmus toimub Juhusliu südmuse toimumie o üll võimali, uid selle reaale toimumie sõltub mitmetest omavahel seotud või sõltumatutest põhustest Teadusharu, mis äsitleb uhuslie südmusi, imetatase sageli stohhastias Vaatleme äiteid uhuslie südmuste ohta Näide Lihtsamates uhuslies südmustes o tärigu visamisel silmade tule, aardi võtmie aardipaist, müdi visamie, võit loteriil, iimese eluiga e Näide Valime Tartu elaiest uhusliult suvalise esidaa Juhuslius südmuses o meesterahva/aisterahva saamie, aga samuti vaema/oorema ui 35 aastat iimese saamie Näide 3 Koosegu toodag seadmest Seadme valiteedi otrollimie olgu aga iisugue, et selle tulemusel seade hävib Et mitte hävitada ogu toodagut, valitase m seadet ( ) 5 m < a

Südmuste liigitamie otrollitase eid Katse tulemuses saame defetsete seadmete arvu Siit võib uba teha äreldusi toodagu ohta Näide 4 Vaatleme Browi liiumist vedelius heluvate väieste aieosaeste aootilist liiumist Osae muudab oma asedit uhusliult, põrudes ou vedeliu moleulidega Osaese ased fiseeritud aamomedil t o aga rasesti progoositav a seega uhusli südmus Kui aga aeg t muutub pidevalt, õuame üldisema mõiste uhusliu protsessi uurde Vaadeldud äidetest tuleeb, et tõeäosusteoorias südmus o väga üldie a uiversaale mõiste, mille alla mahuvad õi meid igapäevaelus ümbritsevad ähtused Tõeäosusteoorias o aga erilie oht ahel südmusel, mida imetame edaspidi idel südmus a võimatu südmus Kidlas südmuses imetatase südmust, mis atse tulemusea teatud tigimustel alati toimub a tähistatase tähega Ω Näites idlates südmustes o: visatud ivi uub alati maa peale tagasi; iga elusoled huub temperatuuril C Võimatu südmus o südmus, mis vaadeldava atse tulemusea uagi ei toimu Tähistame võimatu südmuse sümboliga Φ Näites ui võrgus voolu ei ole, siis võimatus südmuses o eletripir põleb Kui südmuse A toimumisest äreldub südmuse B toimumie, siis tähistame A B või A B Sel orral imetatase südmust A a südmuse B alamsüdmuses või osasüdmuses a südmust B südmuse A ülemsüdmuses Näites, ui südmus A tähedab, et tärigul tuleb 6 silma a B tärigul tuleb paarisarv silmi, siis ilmselt A B Ilmselt ehtivad seosed A Ω, Φ A Esimese seose orral võime öelda a ii ua südmus Ω toimub alati, siis toimub ta a uhul, ui o toimuud südmus A, teise seose orral ua südmus Φ ei toimu uagi, siis võib öelda, et uhul, ui võimatu südmus toimub, toimub mis tahes südmus Südmusi A a B imetatase võrdsetes või samastes või idetsetes (evivaletsetes), ui ehtivad seosed A B, B A a sel orral irutatase A B 6

Tehted südmustega Vei diagrammid Graafiliselt uutame edaspidi südmusi putihuladea Vei diagrammi äol Südmus A olgu evivalete uhusliu puti sattumisega piiroda A (ühe-, ahe- või olmemõõtmelises ruumis), mis o piiroa Ω alamhul Vaatleme sii ahemõõtmelisi piirodi Sel orral idlat südmust uutame ristüliua Kui o tarvis eraldi eristada või rõhutada migit südmust, siis viirutame vastava piiroa Kidel südmus Ω a uhusli südmus A o A B o uutatud ooisel Südmuste graafilisel uutatud ooisel Seos uutamisel võivad eile vastavad hulgad olla lõpliud või lõpmatud (otiiuumi võimsusega) Lõplie hulade orral ooseb piirod ooisel lõpliust arvust disreetsetest putidest (oois 3); võimatu südmus sel uhul o uutatud ooisel 4 Joois Joois Joois 3 Joois 4 Tehted südmustega Südmuste A a B summas imetatase südmust A U B (alteratiivtähis A + B ), mis seiseb vähemalt ühe südmuse toimumises südmustest A a B Summa o uutatud graafiliselt ooisel varutatud alaa Ilmselt ehtivad seosed Joh Ve (834 93), iglise matemaati a loogi 7

Tehted südmustega A U A A, Ω U A Ω, A U Φ A Südmuste A a B orrutises imetatase südmust A I B ( A B) A a B toimumises Korrutis o uutatud ooisel, mis seiseb südmuste Joois Joois Kehtivad seosed A I A A Ω I A A, A I Φ Φ, Defiitsiooidest äreldub, et südmuste summa a orrutis o ommutatiivsed, so Südmuste (,,, ) U A A U B B U A, A I B B I A A summas imetatase südmust, Alteratiive tähistus: A, mis seiseb vähemalt ühe südmuse toimumises edest südmustest Südmuste A (,,, ) orrutises imetatase südmust I A Alteratiive tähistus: A, mis seiseb õigi ede südmuste toimumises Märgime, et asutatase a lühedatud tähistusi U A, I A Kehtivad südmuste liitmise a orrutamise assotsiatiivsuse seadus 8

Tehted südmustega ( A U B) U C ( A I B) I C A U ( B U C), A I ( B I C) a distributiivsuse seadus ( A U B) I C ( A I C) U ( B I C) Südmuste A a B vahes imetatase südmust A \ B, mis seiseb selles, et toimub südmus A, aga ei toimu südmust B Vahe o uutatud ooisel 3 Joois 3 Joois 4 Kehtivad seosed A \ Ω Φ, A \ Φ A, Φ \ A Φ Vahet Ω \ A imetatase südmuse A vastadsüdmuses a tähistatase A Ω \ A, mis o uutatud ooisel 4 Defiitsiooist äreldub, et ui toimub südmus A, siis ei toimu südmust A Kehtivad seosed Ω Φ, Φ Ω, ( A) A, A U A Ω, A I A Φ Olgu märgitud, et südmuste vahe võib defieerida a võrdusega A \ B A I B Mitmed tehted avalduvad teiste tehete audu, äites A U B ( A \ B) U ( A I B) U ( B \ A) 9

Tehted südmustega Kasutades vaadeldud tehteid, saab eeruamaid südmusi (liitsüdmusi) avaldada atud südmuste (lihtsüdmuste) audu Ülesaete lahedamisel o sageli otstarbeas lihtsustada valemeid, us migid südmused avalduvad teiste südmuste audu Seda võib teha vastavalt summa või orrutise ommutatiivsuse, assotsiatiivsuse või distributiivsuse omaduste põhal Kasuliud o siiuures ärgmised duaalsusseosed eh Morgai seadused: A U B A I B, A I B A U B, mis formaalselt tähedavad, et orrutamise a summa tehtemärgid tuleb ära vahetada, ui südmused asedada vastadsüdmustega Esimee seadus tähedab, et umbi südmustest A a B ei toimu, teie ülimalt üs südmustest A a B toimub (toimub südmus A või B) Need südmused o uutatud ooistel 5 a 6 Joois 5 Seose A U B A I B tõestus Joois 6 Seose A I B A U B tõestus Duaalsusseosed võib üldistada südmuste hulga aos: U A I A, I A U A Märus: Nagu äha, o tehted südmustega sarased hulade tehetega See o seletatav a a arusaadav selles mõttes, et iga südmus o seotud teatud hulga võimalie uhtudega Südmus toimub, ui uht uulub teatud uhtude hula, ega toimu, ui uht ei uulu sellesse hula Näide Olgu südmus A vähemalt üs võit maleturiiril esimeses ahes partiis, A võit esimeses partiis a A võit teises partiis Nede südmuste vahel ilmselt ehtib seos A A U A Võib arutleda aga a ärgmiselt: võib võita esimese partii a aotada teise ( A ) mõlemad partiid A I ) või aotada esimese a võita teise ) Seega ( A ( A A I A A I A ) U ( A I A ) U ( A I ) ( A A I või võita Võib leida a olmada variadi südmuse A ireldamises Paeme tähele, et südmus A o A I aotatase mõlemas partiis vastadsüdmus Järeliult südmuse A A A I A

3 Elemetaarsüdmuste ruum Näide Kirutada liitsüdmusea ärgmised südmused: ) toimub aiult üs südmustest A a B, ) ülimalt üs (A või B) südmustest A a B, 3) umbi ei toimu Esimee südmus o teie A I B Kolmas südmus o Näide 3 Olgu ( A I B) U ( A I B),, mis Morgai teise seaduse põhal avaldub uul A U B A Lihtsustada südmuse avaldist A I B A U B, mis Morgai esimese seaduse ärgi o A U B A I B ( B U C) I ( B U C ) I ( B U C) Et suvaliste südmuste B a C orral B U ( B I C) B, siis a ( B U C) I ( B U C ) ( B I B) U ( B I C ) U ( C I B) U ( B I C ) B U ( C I B) U ( B I C ) U Φ B A B I ( B U C) ( B I B) U ( B I C) B I C Näide 4 Aaloogiliselt saame I ( B U C ) B U I C 3 Elemetaarsüdmuste ruum Juhuslie südmusi A a B imetatase teieteist välistavates, ui ühe südmuse toimumie välistab teise südmuse toimumise, st (oois 3) A I B Φ Kaht südmust A a B imetatase mittevälistavates, ui ühe südmuse toimumie ei välista teise südmuse toimumist (oois 3) Vaatleme südmuste lõpliu hula A { A, A,, A },

3 Elemetaarsüdmuste ruum us õi südmused o erievad Hula A imetatase üsteist välistavate südmuste hulgas, ui mistahes as sellesse hula uuluvat südmust o teieteist välistavad südmused, so (oois 33) A I A i Φ ( i ) Joois 3 Joois 3 Joois 33 Joois 34 Üsteist välistavate südmuste hula A imetatase südmuste täissüsteemis, ui ehtib võrdus (oois 34) Näites täissüsteemis o hul { A, A} U A Ω Südmusi imetatase võrdvõimalies, ui üsi eist südmustest ei ole rohem eelistatud ui teised Võrdvõimaliuse mõiste o üs põhimõisteid a rasesti otrollitav Sageli tuvastatase võrdvõimaliust sümmeetria abil (müt, tärig, mäguaardid, rulett) Näide Kui tärig o valmistatud homogeesest materalist a tal o orrapärase hultahua uu, siis tärigu visamisel ühe või teise silmade arvu tule o võrdvõimaliud südmused

3 Elemetaarsüdmuste ruum Südmusi imetatase aiuvõimalies, ui atse tulemusea ühe a aiult ühe südmuse toimumie o idel südmus Aiuvõimalie a võrdvõimalie südmuste täissüsteemi imetatase elemetaarsüdmuste ruumis Südmusi, mis moodustavad elemetaarsüdmuste ruumi, imetatase elemetaarsüdmustes a tähistatase E (,,, ) Näide Tärigu visamisel südmused (,,,6) E tärigul tuleb silma, o elemetaarsüdmused Südmuse A tärigul tuleb paarisarv silmi, võime irutada uul A E U U E4 E6 Järeldus Vaadeldud mõistete põhal võime öelda, et südmus o määratud elemetaarsüdmuste ruumi migi alamhulgaga Raedustes o sageli ülesadeid, us võimalie tulemuste arv o lõpmatu Seetõttu üldistame elemetaarsüdmuse mõistet Südmust E imetatase elemetaarsüdmuses, ui ei esisteeri südmusi ii, et ehtis võrdus E E E, E E U E Teisisõu südmust ei saa lahutada lihtsamate teieteist välistavate võimatust südmusest erievate südmuste summas, so elemetaarsüdmus ei sisalda teisi alamsüdmusi peale võimatu südmuse a iseeda Lõpmatut hula {,, } E E imetatase elemetaarsüdmuste ruumis, ui iga as südmust E a E m o elemetaarsüdmused, südmused o võrdvõimaliud a aiuvõimaliud ig E U E Ω Näide 3 Edaspidi o väga olulie iisugue atse, mille orral mõõdetase migit suurust X Elemetaarsüdmustes o sii südmused uul X, us o migi fiseeritud väärtus Seega o loomuli samastada elemetaarsüdmuste hul migi putihulgaga sirgel Kui o eelevalt teada, et suurus X võib omadada väärtusi migist putihulgast H, siis seda hula tulebi vaadelda elemetaarsüdmuste ruumia See hul o ülduhul aga otiiumi võimsusega hul Näide 4 Katse all vaatleme rigiuulise märlaua tabamist Rigi esput olgu oordiaadisüsteemi algusputis a raadius olgu r Elemetaarsüdmusea vaatleme suvalise puti (, y) tabamist Elemetaarsüdmuste ruum Ω o sii ogu tasad R Märlaua tabamie (südmus A) tähedab seda, et uhusli put sattub rigi { } y r A Ω + Ilmselt 3

4 Südmuse sagedus Märus Samas atses võib elemetaarsüdmusi esitada erievalt Näites märlaua orral uhusliu puti võib esitada ristoordiaatides või polaaroordiaatides putipaaridea vastavalt (, y) või ( ρ, ϕ) Kouvõttes oleme õudud ärgmise mudelii Vaadeldava atsega seome migi elemetaarsüdmuste ruumi Ω ii, et atse tulemusel toimub üs a aiult üs elemetaarsüdmus ω, mida iterpreteerime hulgaa, mis sisaldab aiult ühe elemedi (üheelemedilie hul) Kidel südmus o seega õigi elemetaarsüdmuste hul Ω a võimatu südmus tühi hul Φ 4 Südmuse sagedus Vaatleme atset, mille tulemusea võib toimuda südmus A Eeldame, et atset võib orrata, usuures atsetigimused ei muutu a igal atsel ei sõltu atsetulemus teiste atsete tulemustest Nimetame iisuguseid atseid sõltumatutes atsetes südmuse A suhtes Olgu selles atseseerias atsete arv a m(a) selles seerias südmuse A toimumiste (esiemiste) arv Vaadeldavas atseseerias imetatase südmuse A sageduses suurust P * ( A) p * m( A) Kui atsete arv ei ole suur, siis südmuse sagedus o oluliselt uhusliu iseloomuga Katsete suure arvu orral o aga sagedused p erievates atseseeriates, agu äitab piaaalie * pratia, ligiaudu võrdsed St sagedusel o tedets stabiliseeruda (o stabiilsuse omadus) Sii peab märima, et tõeäosusteooria uurib aiult iisuguseid südmusi, millel o stabiilsuse omadus Teisisõu, esisteerib iisugue ostat P (A), mida imetatase südmuse A tõeäosuses, mille ümber sagedused võguvad, so erievad vähe sellest ostadist P (A) (oois 4) Lühidalt, ehtib ligiaude võrdus m( A) P( A) Joois 4 4

4 Südmuse sagedus Öeldust äreldub, et vaadeldava südmusega o võimali siduda ostatset suurust P (A), mille ümbruses o õi sagedused a mis iseloomustab südmuse a atsetigimuste vahelist obetiivset seost Rõhutame, et sageduse leidmises ei piisa atsetigimuste teadmisest, vaid o tarvis veel statistilisi admeid (atsed o vaa orraldada) Niisiis sagedus o südmuse esperimetaale (atselie) arateristi Sageduse põhiomadused Iga südmuse A orral ehtivad võrratused *( A) P, so südmuse sagedus o mitteegatiive reaalarv ulli a ühe vahel Tõepoolest, ilmselt ehtivad võrratused Jagades eed võrratused suurusega, saame eh m( A) m( A) *( A) Kidla südmuse sagedus o võrde ühega, st Sageduse mõiste ärgi mida oligi vaa tõestada 3 Võimatu südmuse sagedus o ull, st Et m ( Φ), siis P P * ( Ω) m( Ω) 5 P *( Φ) P *( Φ ) 4 Sageduste liitmisreegel Kahe teieteist välistava südmuse A a B orral ehtib võrdus P *( A U B) P *( A) + P *( B) Et a m( A) P * ( A), P * ( B), m( B)

siis 4 Südmuse sagedus m ( A B) m( A) + m( B) U, m( A) + m( B) m( A) m( B) P *( A U B) + P *( A) + P *( B) 5 Sageduste orrutamisreegel Kahe uhusliu südmuse A a B orral ehtivad võrdused P *( A I B) P *( A) P *( B) A), P *( A I B) P *( B) P *( A) B), us P *( A B) o südmuse A tigli sagedus südmuse B suhtes Ühe südmuse A sagedust, mis o leitud tigimusel, et teie südmus B toimus, imetatase südmuse A tiglius sageduses südmuse B suhtes a tähistatase P *( A B) Joois 4 Olgu (oois 4) m( A) m( B) l P *( A), P *( B), P *( A I B) Tigliu sageduse mõiste ärgi äreliult l l P *(B A ), P *( A B ), m( A) m( B) l m( A) l P *( A I B) P *( A) P *( B A ) m( A) 6

5 Südmuse tõeäosus Aaloogiliselt m( B) l P *( A I B) P *( B) P *( A ) m( B) B 5 Südmuse tõeäosus Südmuse tõeäosus o tõeäosusteooria olulisemaid mõisteid Tõeäosus o südmuse obetiivse võimaliuse arvmõõt See iseloomustab obetiivset põhusliust teatud tigimuste a südmuste vahel Olgu E { E E, },, E lõpli elemetaarsüdmuste ruum Südmus A avaldugu m elemetaarsüdmuse audu, so m A U Ei ( i {,,, }) Viimae tähedab seda, et südmus A toimub, ui toimub üs elemetaarsüdmustest (oois 5) E i Joois 5 Rõhutame, et tõeäosusteoorias vaadeldase aiult iisuguseid südmusi, mis avalduvad elemetaarsüdmuste summaa Südmuse A tõeäosuses imetatase arvu m a elemetaarsüdmuste arvu agatist a tähistatase m P ( A) p( A) p (5) See o tõeäosuse lassialie defiitsioo tähistus tuleeb ii ladiaeelsest sõast probābilitās ui a igliseelsest probability 7

5 Südmuse tõeäosus Sageli sõastatase see defiitsioo teistsuguses termioloogias Moodustagu südmused E (,,, ) südmuste täissüsteemi Üsiuid südmusi E imetatase uhtudes Juhtu imetatase soodsas südmuse toimumises, ui selle uhu realiseerumisel toimub südmus A Südmuse A tõeäosuses imetatase selle südmuse õigi soodsate uhtude arvu m a õigi uhtude arvu suhet, st P A) m ( Klassialisest defiitsiooist (5) äreldub (ii agu südmuse sageduse orral), et ehtivad võrratused usuures Tõepoolest, ui Kui A Φ, siis ( A) P, P ( Ω), P( Φ) A Ω, siis m a m P ( Ω) P( Φ ) Suvalise südmuse A orral < m < eh m < <, so Kouvõttes < P ( A) < ( A) P Seega o võetud südmuse toimumise võimaliuse mõõtühius idla südmuse tõeäosus Mida lähemal arvule o südmuse tõeäosus, seda võimalium o südmuse toimumie Vaatleme äiteid tõeäosuse lassialise defiitsiooi raeduse ohta Näide Leida tõeäosus, et tärigu visamisel silmade arv o: ) uus, ) paarisarv Olgu südmus A tärigul o 6 silma, B tärigul o paarisarv silmi Seega 3 P ( A), P( B) 6 6 8

5 Südmuse tõeäosus Näide Valides telefoiumbrit oli aboet uustaud as viimast umbrit a teades, et eed o erievad, valis eid seetõttu uhusliult Leida tõeäosus, et valitase õige telefoiumber Elemetaarsüdmuste arv (õigi uhtude arv) o soodsate uhtude arv o Järeliult V 9 9,,() 9 p Kui aga as viimast umbrit võivad olla ühesugused, siis a tõeäosus Tuletame meelde: Variatsiooid Variatsiooid elemedist m aupa W, p m V o arv, mis äitab, mitmel erieval viisil saab elemedist valida m erievat elemeti, usuures elemetide ärestus valimis o olulie Variatsiooide arvutusvalem o V m ( )( ) ( m + ) Variatsiooid ordumistega elemedist m aupa m W o arv, mis äitab, mitmel erieval viisil saab elemedist valida m elemeti, usuures elemetide ärestus valimis o olulie, uid (erievalt variatsiooidest) üht a sama elemeti võib valida orduvalt (ui m orda) Kordumistega variatsiooide arvutusvalem o W m m Näide 3 Seitsmele aardile o irutatud tähed a, i, l, l,,, t Leida tõeäosus, et uhusliult ärestatud aartidel tuleb sõa talli Kõigi uhtude arv o 7! Soodsate uhtude arv o!! vahetada Seega, sest l-isid a -isid võib omavahel p!! 7! 6,794 9

5 Südmuse tõeäosus Tuletame meelde: Permutatsiooid Permutatsiooid elemedist tähistatase P (mitte segi aada tõeäosusega!) või! Permutatsiooid o arv, mis äitab, mitmel eri viisil saab ärestada Permutatsiooide arvutusvalem o P! 3 ( ) elemeti Tuletame meelde: Kombiatsiooid m Kombiatsiooid elemedist m aupa C ( m) o arv, mis äitab, mitmel eri viisil võib valida elemedist m elemeti, usuures elemetide ärestus valimis ei ole olulie Kombiatsiooide arvutusvalem o C m m V ( ) ( m + )! ( ) m P m m! m!( m)! Näide 4 Uris o 8 valget a 4 musta uuli Juhusliult valitase uuli Leida tõeäosus, et mõlemad uulid o valged Kõiide uhtude arv soodsate uhtude arv a C m C 8 8!!! 7 8 p! 6!! ( ), 8 ( ) 4 33,44(4) Märus Ka äited 3 võime sõastada ii, et o tegemist uuli võtmisega urist Üldiselt õii ülesadeid, us eeldatase südmuste võrdvõimaliust, võib taadada uriseemile Näide 5 Eesti Loto 5 3-st Leida tõeäosus, et ühel täidetud piletil o märgitud õigesti: ) 3 umbrit, ) 4 umbrit, 3) õi 5 umbrit Ilmselt saame ülesade taadada uriseemile, st urile, milles o 5 valget (võiduumbrit) a 7 musta uuli (ei ole võiduumbrid) Kõiide erievate uhtude arv võtta urist 5 uuli o soodsate uhtude arvud o vastavalt a seega o vastavad tõeäosused 3 ( ) 376, 5 5 7 5 7 ( )( ), m ( ) ( ) 35, m 3 3 35 4 4 m5

5 Südmuse tõeäosus 35 35 p 3,743, p4,67, 376 376 p 376 5,5 (eh,7 orral saast, 6,7 orral ümest tuhadest a 5 orral miloist atsest) Näide 6 (Aaloogilie eelevaga) Viig Lotol o 48 umbrit (uuli) a võidud o 3, 4, 5 a 6 õiget umbrit (6 o Jacpot ) Vastavad võidutõeäosused tulevad p p 3 6,33 / 43, p /(,3 6 ) 4,6 / 86, p 5, / 5, Näide 7 Toodagupartii ooseb seadmest, usuures o defetsed Juhusliult valitase otrollis m ( m < ) seade Leida tõeäosus, et m seadme hulgas o täpselt ( < m) defetset Kõiide uhtude arv o ilmselt erievate ombiatsiooide arv elemedist m aupa Soodsate uhtude arv aga ( m ) ( )( ), sest seadet peavad olema defetsed a seega üldse Järeliult õutud tõeäosus o p m m mittedefetsed; mittedefetseid o aga ( )( m ) ( ) Märus Sageli o tegemist südmustega, millede tõeäosus o väga väie (lähedae ullile) Siit ei äreldu, et üsiul atsel südmus ei toimu Piaaalie pratia aga äitab, et vähe tõeäolie südmus üsiul atsel eamiel uhtudel ei toimu Näites võit loteriil! Siit tuleeb väiese tõeäosusega südmuse pratilise mittetoimumise pritsiip: ui südmuse tõeäosus o väga väie, siis pratiliselt üsiul atsel seda südmust ei toimu Loomuliult teib üsimus ui väie peab olema südmuse tõeäosus, et lugeda see südmus võimatus üsiul atsel? Ühest vastust sii ada ei saa Erieva sisuga südmuste orral o vastused erievad ega ole seega seotud matemaatilise teooriaga Kõi sõltub atse tulemuse tähtsusest a tagaärgedest Mida ohtlium o võimali atsetulemus, seda lähedasem ullile peab olema vastava südmuse tõeäosus, et lugeda seda pratiliselt võimatus Näites o lubamatu, et osmoselaeva lagevaru mitteavaemise tõeäosus o Samal aal aga tõeäosus, et äites Talli-Tartu iirrog saabub hiliemisega, o väga hea äitaa Pratiliselt saabub rog õigel aal, hiliedes esmiselt ühel orral 33 uu oosul Kasutame edaspidi a imetust pratiliselt võimatu südmus, ui m p ( A)

6 Geomeetrilie tõeäosus Aaloogiliselt imetatase südmust pratiliselt idlas südmuses, ui p ( A) Pratiliselt idlatel a võimatutel südmustel o erilie oht tõeäosusteoorias eile o raatud ogu igapäevae tuetusli väärtus Näites leates leuiga või sõites laevaga (autoga), ei arvesta me võimaliu õetusega, uigi iisuguse südmuse tõeäosus erieb ullist (uid o väga väie) Juhime veel tähelepau südmuse pratilise mittetoimumise pritsiibi sõastuses väledile üsiul atsel Asi o selles, et orrates atseid, suuredame tõeäosust, et südmus toimus as või üs ord selles atseseerias Vaatleme loteriid, mis ooseb miloist piletist, usuures aiult üs o võidupilet Ühe pileti omaiul o võidu tõeäosus Niisiis võit o pratiliselt võimatu südmus Olgu müüdud õi piletid Keegi ostatest võitis! Seega toimub pratiliselt võimatu südmus Mille arvel? Selle arvel, et atset (pileti ostmist) orrati väga palu ordi 6 Geomeetrilie tõeäosus Tõeäosuse lassialie defiitsioo õuab, et elemetaarsüdmuste ruum o lõpliumõõtmelie Raedustes esievad aga sageli ülesaded, us elemetaarsüdmuste ruum o lõpmatumõõtmelie Mõiord saab iisugustel uhtudel asutada tõeäosuse leidmises iisuguseid meetodeid, us olulie osa o iagi südmuste võrdvõimaliuse mõistel Kasutada saab seda ülesaetes, mis taaduvad uhusliu puti sattumisele (visamisele) lõiu, lõpliu tasadilisse või ruumilisse piiroda Siit päriebi meetodi imetus geomeetrilie tõeäosus Vaatleme tasadilist uhtu Olgu D a D tasadilised piiroad ii, et D D a ede vastavad pidalad o A (D) a A ( D ) (oois 6) Vaatleme puti uhusliu sattumist piiroda D a leiame tõeäosuse, et put sattub piiroda D Siiuures eeldame, et uhusli put võib sattuda piiroa D mis tahes puti a tõeäosus sattuda piiroda D migisse osapiiroda o võrdelie selle osapiiroa pidalaga ig ei sõltu osapiiroa asedist ega uust Teisiti öeldes, me seame elemetaarsüdmuste ruumile Ω vastavas piiroa D a uhusliule südmusele B vastavas piiroa D Tõeäosus, et uhusli put sattub piiroda D (südmus B), arvestades eeldust, o seega P B) ca( D ) ( Kordaa c määramises oletame, et piirod D ühtib piiroaga D Siis o südmus B samavääre südmusega Ω (st B Ω) Järeliult P ( Ω) ca( D), millest c A( D) Seega oleme saaud südmuse B tõeäosuse, mida imetatase geomeetrilises tõeäosuses

6 Geomeetrilie tõeäosus A( D ) P ( B) (6) A( D) Joois 6 Teisisõu, tõeäosus P (B) o võrde piiroa D (putide soodsate asedite hul) a ogu piiroa D (putide õivõimalie asedite hul) pidalade suhtega (Tegeliult o valem (6) ituitiivselt ergesti adutav) Ülduhul, ui puti uhusliu sattumise võimalius migisse mitmemõõtmelisse piiroda (eriuhul sirgel, tasadil või ruumis) ei sõltu selle piiroa asedist a raa uust, vaid sõltub üses piiroa mõõdust A (vastavalt piusest, pidalast või ruumalast), siis o migisse piiroda D uhusliu puti sattumise tõeäosus võrde selle piiroa mõõduga Nii et valem (6) ehib suvalise dimesiooiga geomeetrias selle paradusega, et A o piiroa ruumala vastavas ruumis Näide Leida tõeäosus, et ruutvõrradi + a + b Need lahedid o reaalsed, ui 3 lahedid o reaalsed, ui ordaate a a b väärtused o võrdvõimaliud a rahuldavad tigimusi a, b Millise tõeäosusega o võrradil positiivsed lahedid? Võrradi lahedid o a ± a b

6 Geomeetrilie tõeäosus a b (6) Kõigi elemetaarsüdmuste ( a, b) hul D moodustab ruudu a, b ooisel 6 Soodsate elemetaarsüdmuste hul D, mis o määratud võrratusega (63), o ooisel 6 tooitud hallis Ilmselt a A ( D) 4 A ( D ) + a da + 3 ig tõeäosus, et lahedid o reaalsed, avaldub 8 p,6(6) 3 4 3 8 3 Joois 6 Ruutvõrradil o positiivsed lahedid, ui a < a b > a 3 a A ( D ) a da 3 Nüüd o 3 4

6 Geomeetrilie tõeäosus p,83(3) Näide Kas tuttavat otsustavad ohtuda teatud ohas aavahemiul [ T, T + t] Saabua ootab t / mi Kui teist tuttavat selle aa oosul ei tulud või oli ee lahuud, siis ohtumist ei toimu Leida tõeäosus, et ohtumie toimub Olgu tuttavate saabumise aamomedid a y Kohtumie toimub, ui t y Arvutuste a ooise lihtsustamises võime ilmselt võtta hul D o ruut [, t ] [, t] T Elemetaarsüdmuste (, y) Kohtumistele vastav elemetaarsüdmuste hul võrratust (64)) o ooisel 63 tähistatud halli värviga Nüüd A ( D) t, D (rahuldab a äreliult t t 3 ( D ) t t t A 4 3t p 4 t,75 4 Joois 63 Näide 4 Kuubis R [ a < < a], [ a < y < a], [ a < z < a] : teitatase ( X, Y, Z r ( r < a uhusliu puti ) Leida tõeäosus, et lähima geereeritud puti augus uubi esputist o suurem ui ) 5

6 Geomeetrilie tõeäosus Olgu lähima puti augus r, st eras K, mille esput lageb ou uubi esputiga, ei ole ühtegi geereeritud puti (oois 65) Ilmselt tõeäosus, et üs uhusliult geereeritud put satub sellesse erasse, o võrdelie era ruumalaga, so tõeäosus puti saamises sellesse erasse o V ( K) p V ( R) 4 3 πr 8a 3 3 π 6 Vastavalt tõeäosus, et see put ei satu erasse K o selle südmuse vastadsüdmus tõeäosusega p' p π r 6 a Järeliult avaldub tõeäosus, et õi geereeritud puti paievad välaspool era K, valemiga P ( p') π 6 r a 3 r a 3 3 Joois 64 Joois 65 Näide 4 Kui suur o tõeäosus, et maapial paievasse ühiruutu sattuv vihmapiis satub ühtlasi a sellesse ruutu paigutatud puutuarigooe sisse (oois 65)? Vastav tõeäosus o ühiulise diameetriga rigi pidala S O π / 4 suhe ühiruudu pidalasse S R, seega P / / 4,785 S S O R π DEMO: π väärtuse arvutamie vihmasaus 6

7 Märusi tõeäosuse mõiste ohta 7 Märusi tõeäosuse mõiste ohta Kui lassialie tõeäosus ei ole raedatav, siis võib määrata südmuse sageduse Selles o aga vaa orraldada atseseeria Kui atseseerias o atset a südmus toimub m orda, siis südmuse sagedus o p * m Vastadades tõeäosuse a sageduse mõisted, äeme, et südmuse tõeäosuse määramises ei pea orraldama atseseeriat (esperimeti), sageduse leidmises o see aga eeltigimus Teisisõu tõeäosus leitase ee atset (a priori), sagedus peale atset (a posteriori) Uurimused a pratia o äidaud (mida uba putis 4 märisime), et üllalt suure atsete arvu orral o südmuste sagedusel p stabiilsuse omadus, mis seiseb selles, et erievates * atseseeriates südmuse sagedus muutub vähe (seda vähem, mida suurem o atsete arv) a õigub migi ostadi ümber, mida imetatase südmuse tõeäosuses Öeldust tuleeb, et ui esperimetaalselt o määratud sagedus, siis võib selle võtta südmuse tõeäosuse ligiaudses väärtuses 3 Kui o olemas piirväärtus lim m siis imetatase seda südmuse statistilises tõeäosuses (RE Mises, 98) Märgime aga, et põhimõtteliselt ei ole võimali idlas määrata Misese mõttes defieeritud statistilist tõeäosust, ua ei saa orraldada lõpmatut atseseeriat Samal aal võib aga iga * ε > orral määrata atsete arvu (ε) ii, et südmuse sagedus p erieb piirväärtusest (statistilisest tõeäosusest) p * absoluutväärtuse poolest vähem ui ε, so p * * p p * < ε Pratias (a a äesolevas ospetis) asutatase statistilist tõeäosust hariliult selles mõttes, * et selle väärtuses võetase sagedus p fiseeritud orral või viimasest ümardamisega saadud väärtus 4 Paludel uhtudel o teoreetiliste aalutlustega võimatu leida südmuse tõeäosust Nii äites ei osata teoreetiliselt leida tõeäosust, et südiv laps o äites poiss või leida tõeäosust, et iimee sureb teatud haigusesse, Näide Võrreldes admeid tüdruute a poiste südide ohta ogu maailmas, o saadud sagedused p * t * 486, p,54, 7

7 Märusi tõeäosuse mõiste ohta mis o tutud demograafias ui tüdruute a poiste südide tõeäosused Asaolu, et poisse süib rohem ui tüdruuid, märis esmaordselt J Arbuthot 3 7 aastal, uurides 8 aasta oosul (69 7) toimuud süde Lodois Aastal 8 leidis PS Laplace, et poiste a tüdruute südide suhe o :, mis lageb ou A Humboldti admetega Lõua-Ameeria troopiliste alade ohta See aab sageduse p *, 56 Esitame veel tabeli aastatel 99 998 Eestis südiud poisslaste sageduste ohta p 99 99 99 993 994 995 996 997 998,55,54,53,599,5,54,537,588,565 Kouvõttes võib öelda, et südmuse tõeäosuse võib määrata esperimetaalselt Selles o vaa orraldada atseseeria a leida südmuse sagedus Seega võib väita, et (mõedel itsedustel) o igal südmusel olemas tõeäosus 3 Joh Arbuthot (667 735), šoti arst a matemaati 8

Juhusliu suuruse mõiste JUHUSLIKUD SUURUSED Juhusliu suuruse mõiste Teame, et loodusähtused o ii valitatiivselt ui a vatitatiivselt määratletud Nähtuse a atse valitatiive tulemus uutab edast südmust Täppisteaduste eesmärgis o saada vatitatiivseid arateristiuid Uuriat huvitab mitte aiult teatud südmuse toimumie, vaid a mõede arvsuuruste väärtused, mis o seotud vaadeldava südmusega Sageli tehasegi migi südmuse toimumie idlas sellega, et migi füüsialie suurus omadas atse (uurimuse) äigus teatud väärtuse Niisugust, uhusliu südmusega seotud suurust, mis atse tulemusea omadab migi, varem mitteteadaoleva väärtuse, imetatase uhuslius suuruses Niisiis uhusli suurus o seotud südmusega a uhusliu suuruse mõiste üldistab uhusliu südmuse mõistet Täpsemii, uhuslius suuruses imetatase suurust, mis atse tulemusel omadab ühe või teise, varem mitteteadaoleva väärtuse migist väärtuste hulgast Viimast hula imetatase uhusliu suuruse võimalie väärtuste hulgas Juhuslius suuruses o äites: tärigu visamisel saadud silmade arv, telefoiesaama saabuvate utsugite arv, spordivõistlustel augushüppe võita tulemus, eletripiri põlemisestus, gaasimoleuli iirus, välisõhu temperatuur (migil idlal aahetel) Tartus Raeoa Platsil Sii ahel esimesel suurusel o aturaalarvulised, olmel ärgeval reaalarvulised positiivsed võimaliud väärtused, viimasel ii positiivsed ui egatiivsed (ui mõõdame Celsiuse raadides) Tähistame uhuslie suurusi ladia tähestiu suurtähtedega X, Y, ; ede võimalie väärtusi aga vastavate väietähtedega, y, Kui atse tulemusel uhusli suurus X omadab väärtuse, siis öeldase a, et o uhusliu suuruse X realisatsioo X Üldiselt imetatase uhuslius suuruses suurust X, ui iga reaalväärtuselise orral vahemius < < (seda tähistatase a ii: R, st uulub reaaltelele ) o määratud või atud tõeäosus leida uhusli suurus putist vasemal P ( X < ) Liigitame uhuslie suurusi disreetsetes a pidevates suurustes (võimaliud o a segatüüpi uhusliud suurused, aga eid selles ursuses ei vaadelda) Juhusliu suurust imetatase disreetses, ui selle võimalies väärtustes o üsiud, disreetsed või isoleeritud väärtused Võimalie väärtuste hul o sii lõpli või loeduv hul 9

Disreetse uhusliu suuruse aotusseadus Pideva uhusliu suuruse all mõistame iisugust suurust, mille võimalie väärtuste hul o reaaltelg R või selle migi alamhul, äites lõi [ a,b] Pideva uhusliu suuruse mõistet täpsustame hilem Juhuslie suurusi iseloomustatase aotusseadustega Öeldase, et aotusseadus eh aotus eh tõeäosusaotus o atud, ui o määratud: ) uhusliu suuruse võimalie väärtuste hul, ) eesiri, mis võimaldab leida tõeäosust, et uhusliu suuruse väärtus o migis piiroas Jaotusseaduse eamleviumates a pratilistes vormides o aotustabel, aotustihedus a itegraale aotusfutsioo Kui uhusliul suurusel o atud aotusseadus, siis öeldase, et uhusli suurus o atud aotusega või uhusli suurus allub atud aotusele Disreetse uhusliu suuruse aotusseadus Vaatleme disreetset uhusliu suurust X võimalie väärtustega tähistame edaspidi,,,, mida lühidalt :,, See, et uhusli suurus X omadab ühe eist X, X väärtustest, äites, o tüüpilie uhusli südmus migi tõeäosusega Tähistame tõeäosused P( X ) p (,, ), mida imetame disreetse uhusliu suuruse X tõeäosusfutsioois Ilmselt ehtib p, () X o aiuvõimaliud, üsteist välistavad a moodustavad täissüsteemi ua südmused Võrduse () paremal poolel olev arv o seega aotatud uhusliu suuruse võimalie väärtuste vahel Siit tuleeb a imetus aotus Disreetse uhusliu suuruse lihtsaimas aotusseaduse esitamisvormis o tabel, us o loetletud võimaliud väärtused a eile vastavad tõeäosused X P p p p Niisugust tabelit imetatase uhusliu suuruse aotustabelis Pratias sobib asutada aotustabelit, ui võimalie väärtuste arv ei ole suur Mõedel uhtudel saab aotusseaduse ada a valemi uul P X ) g( ) ( 3

Disreetse uhusliu suuruse aotusseadus Joois Joois Joois 3 Joois 4 Jaotustabeli võib esitada a graafiliselt, märides uhusliu suuruse võimaliud väärtused abstsisstelel a tõeäosused ordiaattelel Seega saame ooisel üsiud isoleeritud putid (oois ) Selle paremas visualiseerimises võib toimida mitmeti Ühedades putid (, p ) ede proetsiooidega (,) abstsisstelel sirglõiude abil, saame aotusspetri (oois ) Kui ühedame putid (, p ) omavahel sirglõiudega (see o aiult äitliustamises), saame aotuspolügooi (oois 3) Kasutatase veel mehaailist iterpretatsiooi (oois 4) Sii o putid ui materiaalsed putid massidega p, usuures masside summa o võrde ühega Näide Teelõigul o 4 valgusfoori Igaüs eist fooridest lubab liilusvahedi liiumise tõeäosusega p Leida liilusvahedi poolt peatuseta (ui esimese peatusei) läbitud fooride arvu aotustabel Olgu uhusli suurus X liilusvahedi poolt peatuseta läbitud fooride arv Ilmselt X võimaliud väärtused o (ei läbi ühti foori),,, 3 a 4 Tähistame tõeäosuse, et liilusvahed ei läbi oreetset foori Tõeäosus, et ei läbita ühti foori: q p Siis tõeäosused avalduvad P ( X ) q Tõeäosus, et läbitase esimee foor, uid peatutase teise ees: P X ) p q ( Tõeäosus, et läbitase esimee a teie foor, uid peatutase olmada ees: 3

Disreetse uhusliu suuruse aotusseadus P( X ) p q Tõeäosus, et läbitase esimee, teie a olmas foor, uid peatutase elada ees: 3 P( X 3) p q Tõeäosus, et peatuseta läbitase õi eli foori: Niisiis o aotustabel uul P ( X p 4 4) Lihte o otrollida, et ehtib võrdus (): 4 p q( + p + p + X 3 4 3 4 P q 3 p ) + p Koreetsel eriuhul p 5 saame 4 pq p q p q ( p)( + p + p p + p 3 ) + p 4 X 3 4 P,5,5,5,65,65 Näide Bioomaotus eh Beroulli aotus (A Moivre, 7; Jaob Beroulli, 73) Vaatleme sõltumatut atset, ui igal atsel toimub südmus A ostatse tõeäosusega p Olgu disreete uhusli suurus X südmuse A toimumiste arv selles atseseerias Leida uhusliu suuruse X aotusseadus Ilmselt X,,,, : Südmuse A toimumise tõeäosus üsiatsel o p, mittetoimumise tõeäosus aga o q p Kui teeme atset a saame migis oreetses ärestuses südmuse A toimumise -l orral, ig äreliult, vastadsüdmuse A toimumise -l orral: A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A,, A, A, A, A, A A, A, A, A, A, oreete atseseeria, ou atset, siis o sellise tulemuse saamise tõeäosus p q 3 Kou o erievaid võimalusi saada erievas ärestuses soodsat atset võrde ombiatsiooide arvuga liimest aupa, so C -ga Seega

Disreetse uhusliu suuruse aotusseadus P X ) P ( ) ( ) p q ( Seega oleme aotusseaduse esitaud tõeäosusfutsiooia valemi abil Loomuliult võime selle esitada a aotustabelia X P ( ) q pq p q Niisugust aotusseadust imetatase bioomaotuses eh Beroulli aotuses Nimetus bioomaotus tuleeb sellest, et Newtoi bioomvalemis ( p + q) üldliige ogi meid huvitav tõeäosus P () Viimasest võrdusest äreldub veel, et ehtib võrdus (), ua p + q Näide 3 Poissoi aotus Vaatleme veel ord atseseeriat, milles o atset a südmuse A tõeäosus igal atsel o p Tõeäosus, et atseseerias südmus A toimub orda, avaldub Beroulli valemiga Kui o üllalt suur a p väga väie, siis valem pratilises arvutamises ei sobi, ua o tegemist väga suurte a väga väieste arvude orrutamisega Leiame sobivama valemi Eeldame, et orrutis p o ostate a tähistame täpsemii λ p, 33 ( ) λ lim p p p q Teisedame Beroulli valemit (asedades suuruse p eelmisest võrdusest) P ( ) ( )! ( )! [ ( ) ] [ ( ) ] Et o väga suur, siis leiame piirväärtuse λ λ lim! λ λ p ( λ λ e! p) λ λ lim ( ) lim P! λ p

Saadud aotust 3 Pideva uhusliu suuruse aotustihedus λ λ P( X ) e (,, )! imetatase Poissoi aotuses (A de Moivre, 78; SD Poisso, 83, 837) Jaotust imetatase samuti väieste arvude seaduses eh harva esievate südmuste seaduses, sest see ireldab harva esievaid ähtusi Ka sii ehtib võrdus (), sest P ( X Poissoi aotuse aotustabel o ) e λ λ! e λ e λ () X λ P λ λ e λ e e λ Bioomaotust võib lähedada Poissoi aotusega, ui p < 3 Pideva uhusliu suuruse aotustihedus Pidevalt muutuva suuruse X orral o tõeäosus, et tuleb etteatud fiseeritud väärtus X, võrde ulliga: P ( X ) Et seda demostreerida, vaatleme äites lõiu[,] eh Küsime ui suur o tõeäosus, et sellest itervallist uhusliult valitud arv o võrde arvuga 38345? Küsimus o sisuliselt mõttetu, sest tõeäosuse arvutamise reegli ärgi saame tulemuses P soodsad võimalused õi võimalused P Seepärast o mõtet vaid tõeäosusel, et uhusliu suuruse realisatsioo asub migis itervallis < X <, või poollõigul X <, või rahuldab tigimust X <, us o ette atud 34

3 Pideva uhusliu suuruse aotustihedus Näide Juhusli suurus võib omadada võrdse tõeäosusega mistahes väärtusi lõigust [, 8] Kui suur o tõeäosus, et uhusliult valitud väärtus uulub alamlõiu [, 5] (oois 3) Joois 3 Otsitav tõeäosus määratase vastavate lõiude piuste suhtea soodsa piiroa pius 5 3 p,48 ogu piiroa pius 8 7 Sii o ilmselt tegemist geomeetrilise tõeäosuse uhtumiga, us geomeetrilises uudis o sirglõi ig uhusliu südmuse realiseerumise tõeäosus o võrdelie selle lõigu piusega Toodud äites ei olud soodsas piiroas [,5] Pratilistes ülesaetes aga hariliult o eelistatumaid ega vähemeelistatumaid alasid Näiteid Kuutagu X edast patsiedi ehatemperatuuri C, siis pratiliselt õi võimaliud väärtused atab piirod [ 34, 4] Selles piiroas o aga temperatuuride alampiirod,38 4, 4 [ 36 ] üldiselt hoopis tõeäosem ui [ ] Või teie äide Kuutagu edast täisasvaud mehe ehaaalu (orretsem oles öelda,3 Samas massi!) ilogrammides Kogu lubatav väärtuste piirod o hiaguliselt [ ] o ilme, et alampiirod [ 6,9] o palu tõeäosem ui sama lai piirod [,9] 6 Juhusliu suuruse võimalie väärtuste erievate piirodade tõeäosust väledab uhusliu suuruse aotustihedus Kasutatase a termieid tõeäosustihedus, tihedusfutsioo, aotusfutsioo NB! Termi aotusfutsioo o leviud a asutusel füüsiute a eemiute hulgas ig vastavate suudade erialairaduses Matemaatiud tähistavad selle termiiga tavaliselt suurust, mida äesolevas ursuses (hilem, allpool) tähistame termiiga itegraale aotusfutsioo Seepärast peab olema termii aotusfutsioo asutamisega ettevaatli a alati täpsustama, mida selle termii all oreetselt silmas peetase Käesolevas ursuses o aotusfutsiooil alati uhusliu suuruse aotustiheduse tähedus Vaatleme reaaltelel (lõpmata) lühiest poolitervalli [, + d), mis sisaldab vasema otsputi, uid ei sisalda parempoolset otsputi + d (vt oois 3) Joois 3 35

3 Pideva uhusliu suuruse aotustihedus Poolitervalli asutamie o tarvili, et üs a sama put ei oles orraga mitmes alamhulgas Vaadeldes aht õrvutiseisvat poolitervalli [, + d) a [ + d, + d + d ) o idel, et ede oupuuteput + d uulub parempoolsele itervallile, uid ei uulu vasempoolsele, ig samal aal ei ole a oluorda, us see put ei uulus ummalegi alamhulgale Tähistame tõeäosuse, et pideva muutoaga uhusli suurus X satus sellesse poolitervalli [ + d), sümboliga dp Ilmselt tõeäosus dp o võrdelie elemetaarlõigu piusega d : dp f ( ) d (3) Võrdetegurit f () imetatase uhusliu suuruse aotustiheduses Vastavalt toodud valemile võime irutada dp f ( ), (3) d so tõeäosustihedus o tõeäosus, et X satub puti lähiümbrusesse, arvutatua ühiulise itervalli ohta Tõeäosustiheduse olemust illustreerib võrdlus tavalise massitihedusega Kui vaadelda reaaltelge muutuva läbimõõduga vardaa, mille ogumass o üs, siis dp o poolitervalli [, + d) mass a () f varda massi(oo-)tihedus putis Tõeäosustiheduse põhiomadused Mitteegatiivsus: f ( ) See omadus äreldub määragust (3) Kua loeme itervalli d positiivses a ehtib dp, siis äreldub meie väide Jaotusfutsiooi põhimõttelie uu o toodud ooisel 33 Joois 33 36

3 Pideva uhusliu suuruse aotustihedus Elemetaartõeäosuse geomeetrilie tõlgedus Elemetaartõeäosus dp o ristüliu pidala, mille aluse laius o d a õrgus o f () (oois 33) Sel põhusel imetatase elemetaartõeäosust dp a tõeäosuselemedis 3 Tõeäosus lõpliul lõigul Summeerides valemi (3) üle elemetaaritervallide d lõpliul poolitervallil [ b) a,, so summeerides itervalli elemetaartõeäosused dp, saame tõeäosuse, et uhusli suurus X satub sellesse vahemiu: P a X < b) dp f ( ) d b a b ( (33) Vastavalt määratud itegraali defiitsiooile o paremal oleva itegraali väärtuses õvera f () alla ääva, vasemalt a paremalt vertiaalootega a a b ig alt reaaltelega piiratud uudi pidala S (oois 34) Defiitsioo Tõeäosust p P( a X < b) imetame lõigu [ b) a a, usaldusivoos Usaldusivoo sõltub oreetsest aotusest a lõigu asuohast a piusest Usaldusivood väledatase sageli (äites füüsialistel mõõtmistel) a protsetides Joois 34 4 Nullile läheemie argumedi asvamisel Selles, et itegraal (33) esisteeris õiide a a b väärtuste orral, peab ehtima 5 Normeerimistigimus: lim f ( ) ± f ( ) d See tigimus väledab tõsiasa, et suvalise X väärtuse saamie peab olema tõee südmus 37

3 Pideva uhusliu suuruse aotustihedus Joois 35 Geomeetriliselt tähedab see, et aotustiheduse a -tele poolt piiratud uudi ogupidala o võrde ühega, agu äidatud ooisel 35 Märus Iga futsioo, mis rahuldab mitteegatiivsuse tigimust a ormeerimistigimust 5, o tõeäosustihedus (st võib olla migi tõeäosustihedus) 6 Lõpliul lõigul loaliseeritud tõeäosustihedus a, Sel uhul o a tõeäosus, et uhusliu suuruse realisatsioo satub välapoole seda itervalli, võrde ulliga Tõeäosustihedus võib seeuures saada ullis itervalli otstes (oois 36a), aga see ei ole tigimata tarvili ig ta võib olla a ullist erievate väärtustega otstes (oois36b) a, b imetatase aotuse adas Võib osutuda, et tõeäosustihedus o ull välaspool migit lõpliu itervalli [ b] Itervalli [ ] Joois 36a Joois 36b 38

4 Itegraale aotusfutsioo Märus Iga lõpliul lõigul loaliseeritud aotust f () võib vaadelda atua ogu reaaltelel, ätates teda ulliga a -st vasemale a b -st paremale Uus aotus f * ( ), f ( ),, < a a b > b rahuldab õii aotustihedusele esitatavaid õudeid Selles mõttes o õi aotused atud ogu reaaltelel Raedustes o muidugi suur erievus, as aotus o tegeliult atud lõpliul lõigul või o suurus aotuud ullist erieva tõeäosustihedusega ogu reaaltelel Lõpmatu muutumispiiroaga aotust võib a vaadelda ui ooisel 36a atud aotuse piiruhtu protsessis a, b Samuti o mõttead pooltelgedel (, b] a [, ) a loaliseeritud aotused 4 Itegraale aotusfutsioo Itegraale aotusfutsioo F () o õrvuti aotustihedusega teie eamleviud vahed pideva uhusliu suuruse X ireldamises Juhusliu suuruse X itegraalses aotusfutsioois F () imetatase futsiooi, mis o võrde tõeäosusega, et ehtib võrratus X < : F ( ) P( X < ) Seega, futsioo F() o tõeäosus, et uhusli put X asetseb arvsirgel putist vasaul, piiroas (, ) (oois 4) Joois 4 Ümarsulg väärtuse ohal tähistab asaolu, et tegemist o paremalt avatud itervalliga, mille otsput (äesoleval uhul ) ei uulu selle itervalli oosseisu Võttes avaldises (33) vasapoolse raa võrdses miius lõpmatusega a parempoole raa b võrdses -ga, saame Seega P ( < X < ) P( X < ) f ( ') d' 39

4 Itegraale aotusfutsioo F ) f ( y) dy ( (4) Joois 4 Tegemist o ülemise raa futsiooiga ( F () argumedis o itegraali ülemie raa) Segaduse vältimises o seeuures itegraalialue muutua tähistatud y -ga Nagu äeme, o itegraale aotusfutsioo leitav, ui o teada aotustihedus f () Vastupidi, teades itegraalset aotusfutsiooi, o võimali arvutada aotustihedus, agu äitab allpool omaduste irelduses omadus Itegraalse aotusfutsiooi omadused Jaotustihedus o itegraalse aotusfutsiooi tuletis Tõestuses vaatame diferetsiaali df F( + d) F( ) f ) 4 df d ( (4) + d + d f ( y) dy f ( y) dy Et viimases itegraalis itegreerimislõi [ + d] f ( y) dy f ( ) d, o lõpmata lühie, siis võib lugeda itegraalialuse futsiooi ostadis ig ta itegraali alt väla tuua, peale mida ärgebi viimae võrdus Seega oleme saaud millest äreldub (4) df f ( ) d, Kommetaar Tihedusfutsiooi a itegraalse aotusfutsiooi asutamie o samavääre teades ühte eist, o alati võimali üle mia teisele Üldiselt o ii, et füüsias a eemias o levium aotustiheduse (aotusfutsiooi) asutamie, ua matemaatiud eelistavad itegraalset aotusfutsiooi

5 Ühtlae aotus Itegraalse aotusfutsiooi tõestatus Itegraale aotusfutsioo F () rahuldab võrratusi F ( ) X < tõeäosus a tõeäosus o reaalarv ulli a ühe vahel, Et aotusfutsioo o südmuse siis siit äreldubi omadus Geomeetriliselt tähedab see, et aotusfutsiooi graafi paieb ahe paralleelse sirge y a y vahel (vt parempoole oois 4) 3 Itegraalse aotusfutsiooi mootoosus Itegraale aotusfutsioo F () o mitteahaev futsioo: <, siis F ) F( ) Kui ( Kõige vahetumalt äreldub F mootoosus tema tuletise f mitteegatiivsusest (vt eelmie put, omadus ) Kui futsiooi tuletis o ull või suurem ullist, siis futsioo ei saa ahaeda, sest tema tõusuurga tages (võrdub tuletisega ) o õial mitteegatiive 5 Ühtlae aotus Ühtlae aotus o alati atud lõpliul lõigul [ b] leviud aotus Ühtlase aotuse ülduu o f ( ) C, a b Seeuures ostadi C saame ormeerimistigimusest Arvutame Et orm oles üs, peab ehtima Seega ühtlase aotuse lõpli uu o b a b f ) d Cd C d C( b a) a a, See o lihtsaim, uid raedustes üsa ( C b a b a f ( ), a b (5) b a Ühtlase aotuse graafi o toodud ooisel 5 4

5 Ühtlae aotus Joois 5 Leiame a ühtlase aotuse itegraalse aotusfutsiooi Kui Kui Kui Seega < a, siis F ( ) a < b <, siis valemi (4) põhal > b, siis F ) f ( y) dy a dy b a a b a ( b dy b a ( ) + dy b a b a F a b, a, a F ( ), a b, (5) b a, b Ühtlase aotuse itegraalse aotusfutsiooi graafi o ooisel 5 4

6 Espoetaotus Joois 5 Leiame veel tõeäosuse, et uhusliu suuruse X väärtus o vahemius ( α, β) [ a,b] (33) põhal P α < X < β) β α β α d b a b a (, mille võime saada a geomeetrilise tõeäosuse mõistet asutades Valemi Ühtlase aotuse äiteid Browi osaesed, mis alguses o vedeliu sisse pritsitud ühte puti, aotuvad aa asvades (so t orral) lõplius aumas ühtlaselt (Kui tahame olla orretsed a piirduda sii vaid ühemõõtmelise uhusliu suurusega, tules valida aumas apilaartoru, siis osaeste aotus pii apillaartoru o ühemõõtmelise uhusliu suuruse aotustihedus) Mõõteriistast põhustatud mõõtmisvead loetase ühtlaselt aotuus migis itervallis ( B- tüüpi e mittestatistilise päritoluga mõõtemääramatus, millest tuleb lähemalt uttu loeguursuse teises, füüsialistele mõõtmistele pühedatud osas) 6 Espoetaotus Espoetaotus o lihtsaim aotus, mille adas o ogu positiive pooltelg [, ) Espoetaotuse itegraale aotusfutsioo o F( ), <, λ e,, (6) 43

6 Espoetaotus us positiive ostat λ o aotuse parameeter Itegraalse aotusfutsiooi graafi o toodud ooisel 6a Võttes itegraalsest aotusfutsiooist tuletise, saame aotustiheduse aos avaldise f ( ), λ e λ, <, Seega, espoetaotuse tihedus o atev putis ull, hüppe suurus o λ Espoetaotuse graafi o toodud ooisel 6b (6) Joois 6a Joois 6b Näide Radioatiivse isotoobi aatomi lõhustumise tõeäosus aahetel t ühiulise aaitervalli oosul o f t) ep( t / t ), (63) t ( 44

6 Espoetaotus us parameeter t o isotoobi arateristli eluiga (aeg, mille oosul isotoobi aatomite arv ahaeb esialgsega võrreldes e ( aturaallogaritmi alus) orda Vastavalt, itegraale aotusfutsioo F t) ep( t / t ) (64) ( aab tõeäosuse, et aatom o lõhustuud hetes t Parameeter λ / t äesolevas äites Tuumafüüsias a iirgusaitses o õrvuti t -ga asutusel poolestusaeg t / aeg, mille oosul isotoobi aatomite arv ahaeb as orda: F( t ) / / eh ep( / / t ) / t See aotusseadus saadase äreldusea lõhustumisseadusest, mille tuletusäi o ärgmie Olgu isotoobi aatomite arv atud oreetses proovis (t) a olgu ede muut aa dt oosul d Ilmselt d ~ a d ~ dt (mär ~ tähedab võrdelie ) Seega d ~ dt Tähistame võrdeteguri ga: d ( / t) dt / t Miiusmär võtab arvesse, et osaeste arv ahaeb a d o egatiive Tegemist o diferetsiaalides atud võrradiga, mis ireldab isotoobi aatomite arvu ahaemist aas Eraldades sii muutuad saame itegreerimisel osaeste arvus hetel t: d dt, t ( t) ep( t / t), us o isotoobi aatomite arv proovis alghetel Siit saame veel allesolevate aatomite suhtelises hulgas 3 ( t) / ep( t / t) Kua aatomite arv o väga suur ( ~, sest ühes gramm-moolis 3 sisaldub Avogadro arv N A 6 aatomit), siis o suhe ( t) / väga suure täpsusega seesama, mis tõeäosus, et oreete osae ei ole veel lagueda õudud Järeldusea o ( t) / võrde tõeäosusega, et osae o hetes t uba lagueda õudud Viimae ei ole aga midagi muud ui itegraale aotusseadus (64) Näide Footoi eeldumise tõeäosus hägusas esoas allub espoetaotusele Tõeäosus, et footo läbib hägusas esoas vahemaa ee ui ta eeldub, o P( X > ) ep( / l), us l o footoi vaba tee pius selles esoas (l suurus sõltub esoa läbipaistvusest a o seda väisem, mida hägusem o esod) Vastavalt, tõeäosus, et footo o vahemaa oosul eelduud, o atud itegraalse aotusfutsiooiga (6), mis äesoleval uhul o F( ) ep( / l) 45

7 Normaalaotus 7 Normaalaotus Normaalaotus e Gaussi aotus o üs tähtsamaid aotusseadusi uhusliele suurustele, mis o aotuud ogu reaaltelele a võivad omadada väärtusi vahemius ( ), Juhusliu suuruse aotust imetatase ormaalaotuses eh Gaussi aotuses, ui aotustihedus o ( a) ( ) ep σ π σ f (7) us a o fiseeritud reaalarv (võib olla ii egatiive ui positiive, aga võib olla a ull), a σ > o fiseeritud positiive reaalarv Parameetreid a a σ imetatase ormaalaotuse esväärtuses a ruuthälbes Nede imetuste päritolu saab selgemas veidi hilem, ui asume uurima aotuste arvarateristiuid Jaotustiheduse määramispiirod o ogu reaaltelg R (st argumet võib omadada väärtusi ogu reaaltelel) Kui ±, siis f ( ) Seega o sirge y aotustiheduse f () asümptoot protsessis ± Putis a o aotustiheduse masimum, usuures ta saavutab seal väärtuse, 3989 4 ma f ( ) f ( a) σ π σ σ a suhtes a, Jaotusoo o sümmeetrilie vertiaalsirge Normaalaotuse tiheduse graafi o parameetrite σ orral toodud ooisel 7 4 f( ) 3 4 4 6 Joois 7 Normaalaotus a, σ orral Parameetri a muutumisel ooe ased muutub -tele suhtes: a asvades aotus ihub paremale (toimub uudi -tele sihilie paralleellüe) Mida suurem o a, seda paremal paieb õver (oois 7) 46

7 Normaalaotus 6 f f f3 ( ) ( ) ( ) 4 6 4 4 6 6 6 Joois 7 Erievad ormaalaotused a (õver f()) a a (õver f()) σ orral: a (õver f3()), Kui parameeter σ asvab, siis ahaevad futsiooi väärtused a oo muutub lamedamas õver surutase ou y-tele suuas Kui σ ahaeb, siis muutub oo teravatipulisemas õver veitatase väla y-tele suuas (oois 73) 5 f ( ) f ( ) f3 ( ) 5 6 4 4 6 Joois 73 Normaalaotus ( a ) erievate σ -de orral: f( ) σ, f() σ a f3() σ,3 47

7 Normaalaotus Normaalaotus (7) o ormeeritud, st ehtib σ π Et selles veeduda, tuleb arvutada itegraal ( a) ep σ d (7) I ( a) ep σ d ep σ (Sii esimee itegraal läheb üle teises muutuavahetusel d ' : ' a ) Tavaliselt seda itegraali arvutatase omplesfutsiooide teooria vahedeid asutades a tõeäosusteooria elemetaarursustes äetase valem (7) tõestamata Tegeliult o I leidmie üsa elemetaare ärgmise avaluse asutamisel Arvutame esmalt suuruse I a seeärel võtame tulemusest ruutuure Suuruse I arvutamises tuleb leida aheorde itegraal I ep σ d ep σ y ep σ y ep σ dy ddy ep + y + y ddy ep σ S σ ds(, y), ds(, y) d dy us Läheme sii viimases piditegraalis muutuatelt (ristoordiaatidelt) seostega r cos( ϕ), y r si( ϕ), y üle polaaroordiaatidele r, ϕ Seeuures itegreerimispiirod S, milles o,y-tasad, a mis ristoordiaatides esitub S ( < <, < y < ), teiseeb piiroas S ( < ϕ π, r < ), usuures piaelemet o defieeritud uul ds ( ϕ, r) r drdϕ (vt oois 74) 48

7 Normaalaotus Joois 74 Et seeuures ehtib I S + y r, o uutes muutuates piditegraali arvutus õige lihte + y ep σ π r d r ep σ ds(, y) πσ r d σ π dϕ r ep σ a mies sii itegraali all üle muutuale ς r /(σ ), saame lõpliult dr r r ep σ I πσ dςep πσ Siit äreldub I σ π Normeerig (7) o tõestatud ( ς) Kui a a σ, siis imetatase aotust stadardiseeritud (stadardses) ormaalaotuses Sel orral o aotustihedus ( ) ep π ϕ (73) Normaalaotuse a stadardiseeritud ormaalaotuse vahel ehtib seos 49

f 7 Normaalaotus a ) ϕ σ σ ( Leiame tõeäosuse, et ormaalaotusega uhusli suurus X omadab väärtuse vahemiust ( α, β) Selles asutame valemit (33) β ( a) P α < X < β) σ π α α σ f ( ) d ep β d ( Teisedame itegraali muutuate vahetusega siis P( α < π X < β ) ( β a)/( a t, d σ dt, σ σ ) ep π ( β a) /( ( α a) /( σ ) ep σ ) ( t ) dt ( α a)/( σ ) ( t ) dt ep( t ) dt π (74) Et viimased itegraalid ei avaldu vadratuurides (st, ad ei ole avaldatavad teadaolevate elemetaarfutsiooide audu), siis defieerime uue futsiooi, mille audu avaldame õutava tõeäosuse Veafutsioois imetatase itegraali erf ( ) π ep( t ) dt, (75) mida vaadatase ülemise raa futsiooia Futsiooi tähis erf tuleeb igliseelsest imetusest error fuctio Futsiooi graafi o esitatud ooisel 75 Veafutsiooi tuleb äsitleda aaloogiliselt elemetaarfutsiooidega (si, l, ep,) Veafutsiooi arvutamise võimalus o isegi mõedel allimatel tasuarvuteil Tema arvutusalgoritm o õiides eamleviud matemaatilistes tarvarapaettides (Mathcad, Mathematica, Maple, ) Joois 75 äites o valmistatud Mathcad esoas Nõutava tõeäosuse (74) saab veafutsiooi audu avaldada ärgmiselt β a) α a) ( α < X < β ) erf erf σ σ P (76) 5

7 Normaalaotus 5 erf ( ) 5 5 5 5 5 Joois 75 Veafutsioo Veafutsiooi omadusi Mõlemad allärgevad omadused o äha graafiult ooisel 75 Tõestame eed sii a defiitsiooist (75) lähtudes Veafutsioo o paaritu futsioo: ehtib erf ( ) erf ( ) Tõepoolest, teisedades itegraali (75) muutuate vahetusega saame erf ( ) u t, du dt, ep( u )( du) ep( u ) du erf ( ) π π Seega, tõepoolest o tegu oordiaatide alguse suhtes paaritu futsiooiga Seetõttu tema väärtused tabuleeritase või salvestatase vaadusel vaid positiivsete argumediväärtuste aos Kehtib võrdus Kua vastavalt valemile (76) lim erf ( ) + erf ( ) erf ( ) erf ( ) erf ( a äsatõestatud omaduse põhal ), saame 5

7 Normaalaotus erf ( ) erf ( ) erf ( ) 3 Leiame tõeäosuse, et ehtis võrratus X a < ε, mis o samavääre võrratustega Valemi (76) abil ε < X < a + ε a st P( X a erf < ε ) P( a ε < ε erf σ X < a + ε ) ε erf σ ε σ ε P ( X a < ε ) erf (77) σ Lõpus, avaldame ormaalaotuse itegraalse aotusfutsiooi veafutsiooi audu Et F siis muutuate vahetusega saame Kua Saame ) ( y a) ep σ σ π dy (, y a u, dy σ σdu ( a) /( σ ) F( ) ep π π π ep ( a) /( σ ) ( u ) du + ep( u )du ( u ) du ep( u ) du erf ( ), F ( ) π + erf a σ, 5

7 Normaalaotus 8 F( ) 6 4 Itegraalsse aotuse graafi o uhul 3 3 Joois 76 Itegraale ormaalaotus, a, σ esitatud ooisel 76 Normaalaotuse äiteid Näide Gaasi moleulide iirus mille esväärtus a o ull a stadardhälbe ruut Lähemalt tehase sellega tutvust statistilise füüsia ursuses V migi oreetse tele sihis allub ormaalaotusele, σ ~ T (o võrdelie temperatuuriga) a Browi osaese Igal ärgeval aahetel Näide Süstime apillaartorusse puti o osaese tõeäosusaotus pii apillaartoru (tõeäosus leida osae puti ühiulises ümbruses) atud ormaalaotusega, mille esväärtus o paraasti a a mille stadardhälbe ruut σ ~ t, us t o esperimedi algusest mööduud aavahemi Tegemist o ö aas laiali valguva ormaalaotusega (mis läbib ärestiu faasid 3,, ooisel 73) Kui toru o piisavalt pi, siis aotustihedus läheeb lõpus ullile Küllalt lühiese apillaari orral teib suurte t -de piiroas õrvalealdumie ormaalsest seadusest, ua osae haab põrumisel toru otsaseiaga sellelt peegelduma, mistõttu Browi osaese tõeäosusaotus läheb lõpus üle ühtlases aotusseaduses Näide 3 Normaalaotusele allub A-tüüpi e statistilise päritoluga mõõtemääramatus (mõõtmisviga), millest lähemalt tuleb uttu loeguursuse teises, füüsialistele mõõtmistele pühedatud osas Näide 4 Kui migi suuruse uuemist põhustab väga suure arvu tegurite oosmõu, mis õi o uhusliud, vastastiu sõltumatud ig ühtmoodi aotuud, siis see suurus o aotuud 53

8 Deltaaotus ormaalselt Eelevad äited 3 o õi ust taolise teemehhaismiga Koreetse äitea võib tuua summa s K K X i i us õi uhusliud suurused i ε,ε ), vastastiu sõltumatud suurused Kui sii lasta K --l saada hästi suures (teoreetilisel piiril K ), siis o s ormaalselt aotuud suurus (igaorde matemaatilie probleem o vaid tema parameetrite a a σ leidmie sõltuvalt X parameetritest, X o ühtmoodi aotuud (äites ühtlae aotus lõigul [ ] i 8 Deltaaotus Kui putis aisat masimumi omava aotusfutsiooi f (, ) laius läheeb ullile, ii et masimumputi ased ei ihu, saame piiril lõpmata itsa, putis lõpmata õrge aotustiheduse, mida imetatase deltaaotuses, delta-futsioois eh Diraci futsioois (iglise füüsiu Paul Dirac i aus, es võttis selle futsiooi esmaordselt asutusele vatmehaaias) a tähistatase sümboliga δ ) Vaatame äites ormaalaotust (7): ( ( ) ξ( ; σ) f ( ) ep σ π σ us esväärtus a o tähistatud -iga Selle aotuse abil saame määrata deltaaotuse ui piirväärtuse δ ) limσ ξ( ; ) (8) ( σ Aaloogiliselt, olgu ühtlae aotus (5) loaliseeritud lõigul [, + / ] a /, b + / ς( ; ) ) Tähistame selle ühtlase aotuse,, > / /, (st / Selle aotuse abil saab delta-futsiooi defieerida aaloogiliselt eelevaga ui piirväärtuse δ ) lim ξ( ; ) (8) ( Joois 8 demostreerib, mil viisil itsad aotused ξ a ς lähedavad delta-futsiooi erievate σ a väärtuste orral ξ-aotuse puhul o parameetri σ väärtustes valitud σ a σ ς -aotuse parameetri väärtused o võetud vastavalt võrdses 54

8 Deltaaotus σ π, mis tagab ξ- a ς -aotuste võrdse õrguse a seega parema vastastiuse võrreldavuse Lisas o ξ-aotuse tseter paigutatud puti a ς -aotuse tseter vastavalt puti O äha, et mida väisem o σ (vastavalt ) väärtus, seda itsam a õrgem o aotustihedus 5 ξ (, ) ξ (, ) ζ, π ζ, π 5 5 Joois 8 Delta-futsiooi omadused Delta-futsioo ( ) omadada vaid fiseeritud väärtuse, st δ o tõeäosustihedus mitteuhusliule suurusele, mis võib P ( X ) Järeldus Disreetse uhusliu suuruse (vt put ) X,,, : P( X ) p (,, ), usuures, mille puhul tõeäosustihedus o esitatav delta-futsiooide aalutud summaa, us aaludes o disreetse suuruse tõeäosused p : p, Delta-futsioo o ormeeritud ühele: f ( ) p δ ( ) 55

8 Deltaaotus δ ( ) d iga orral See omadus tuleeb ede aotusfutsiooide ormeeritusest, mille piiris delta-futsioo o 3 Itegraal delta-futsiooist suvalisel lõpliul lõigul [ a, b] : b a ( ) d ui ui ui < a a < a või < b, või b, δ (83) > b Seeuures a a b võivad paieda teieteisele uitahes lähedal, uid alati peab itervalli pius eriema ullist, st peab ehtima a < b Tõestada o seda omadust lihte, asutades ällegi ede lõpliu laiusega aotustiheduste abi, mille piirväärtusea delta-aotus o defieeritud Võttes oreetselt äites futsiooi ξ ( ; σ ), ehtib piirväärtus lim b ξ( ; σ σ a ) d mis sisuliselt tähedabi omadust (83) ui ui ui < a a < a või < b, või b, > b, 4 Itegraal delta- futsiooi a sileda, aeglaselt muutuva futsiooi g () orrutisest Kehtib: δ ) g( ) d g( ) (84) ( Selle omaduse äitamises tuleb puti ümbruses eraldada väla uitahes väie, uid lõpli,, ε > δ ( ) võrde ulliga, selle piiroa sees aga o () piirod [ ε + ε] ligiaudu ostate, seetõttu ehtib + ε ε Välaspool seda piiroda o delta-futsioo g ui aeglaselt muutuv futsioo δ ( ) g( ) d δ ( ) g( ) d g( ) δ ( ) d g( ) Omaduse (84) ohta öeldase: Delta-futsioo määrab itegraaloperaatori, mis seab suvalisele itegreeruvale futsiooile vastavusse tema väärtuse üsius fiseeritud putis + ε ε 56

9 Tõeäosustiheduse hidamie esperimedist 9 Tõeäosustiheduse hidamie esperimedist Paludel uhtudel (võib öelda isegi et masedavalt määravas eamuses uhtudest) ei ole pideva uhusliu suuruse X aotusseadus (so aotusfutsioo) teada aprioorsetest aalutlustest ig see o vaali leida atseliselt Selles tuleb läbi viia suur hul N sõltumatuid uhusliu suuruse mõõtmisi, mille tulemusel saame uhusliu suuruse realisatsiooide ada,,, i, i, i +, N (9) Matemaatilises statistias imetatase X õivõimalie väärtuste üldhula üldogumis (igl eeles geeral esemble), mõõdetud lõpliu piusega väärtuste ada (9) aga imetatase valimis Pideva uhusliu suurusega esperimeteerimisel o spetsiifilie, et uigi suurus ise o pidev, o tema valim alati disreete ogum, a selles mõttes aaloogilie disreetse uhusliu suuruse mõõtmisel saadud valimiga Fudametaale erievus o aga selles, et pideva uhusliu suuruse ühesi lõplius valimis ei ole aht võrdset suurust Teiste sõadega, P( i, i ) alati Seepärast peab pideva suuruse puhul aotama X a a a X a esputide, + < + muutumispiiroa väiestes lõiudes [ ) { } oordiaatidega a + a Joois 9 +, agu äidatud ooisel 9 Iga poolitervalli orral saame ada soodsate atsetulemuste arvu, et atsetulemusel saadud uhusliu suuruse väärtus asub selles poolitervallis (oois 9) Samuti saame arvutada esperimetaalse sagedusaotuse Kua ilmselt alati ehtib p N (9) N, (grupeeritud atsetulemuste arvude summa peab võrduma atsetulemuste oguarvuga), siis p 57

9 Tõeäosustiheduse hidamie esperimedist Tulemused o esitatavad aotustabelia (tabel 9) Pideva ooega o uutatud histogrammile vastav polügoo murdoo, mis ühedab histogrammi tulpade tippude espute Me saame sisse tuua approsimeeriva aotustiheduse * * f f ( ), mille defieerime ii: f * ( ) p N Nüüd saame aotustabelit täiedada (viimae rida tabelis 9) * f väärtuste reaga Joois 9 Tabel 9 M p M M p p p p M M f * f * * * f f * fm Samuti saab tulemused esitada sagedusaotuse histogrammia agu uutatud ooisel 93 58

9 Tõeäosustiheduse hidamie esperimedist p p a a + Joois 93 Teeme hüpoteesi, et atsete arvu N läheemisel lõpmatusse a samaaegsel itervallide piuste läheemisel ullile esisteerib piirväärtus f * ( ) lim f ( N ) lim, N,, N Seda piirväärtust imetame uhusliu suuruse X tõeäosustiheduses vaadeldavas putis Jooisel 93 illustreerib atedli oo hüpoteetilist aotustihedust, millele polügoo peas/võis läheeda piiril Piirile ülemie o võimali vaid teoreetiliselt, pratias tuleb alati piirduda lõpliu itervallide arvuga a lõpliu atsete oguhulgaga O selge, et mida suurem o atsete oguhul a mida detailsemalt o aotatud arvtelg alalõiudes, seda paremii approsimeerib f * tõelist aotustihedust f Kua sii o tegemist üheaegselt aheordse piirprotsessiga ühelt poolt peab itervallide arv läheema lõpmatusele (usuures igaühe pius läheeb ullile), teisalt peab igasse alaitervalli sattuvate südmuste arv samuti läheema lõpmatusele siis o tõeäosustiheduse esperimetaale hidamie väga suurt atsete arvu vaav, aegaõudev a allis ettevõtmie Pratias ei ole võimali uagi sellist piirülemieut teha, sest pole võimali sooritada lõpmatut arvu atseid Teib üsimus, uidas hiata vaaliu miimaalset atsete arvu a uidas optimaalselt valida itervalle a ede arvu M Vastused sõltuvad üldiselt vaadeldava uhusliu suuruse iseloomust Põhedatud vastuse eile üsimustele saab ada matemaatilise statistia vaheditega Aame siiohal lihtsa reegli a M valius Olgu 59

9 Tõeäosustiheduse hidamie esperimedist sooritatud atsete arv N ig olgu vähim a suurim mõõdetud X realisatsioo vastavalt a Valime itervallide arvus ma M N (täisarvus ümmardamise täpsusega), võtame ogu aotuse paievas lõigul [, mi ma ] a õi itervallid võrdses: ma M Sel uhul o lootust, et igasse itervalli sattuvate mõõtmiste hul o ~ N / M M (loe: o sama suurusäru ui itervallide arv), mis tagab teatava optimaalsuse: ui oles liiga palu itervalle, siis oles väiesed a ede flutuatsiooid ühest raust teise olesid suured Valides aga itervallide arvu tuduvalt alla siitoodu, saasime üll igal itervallil usaldusväärse sagedushiagu, uid aotus (histogramm) ise oles liiga äme a väheiformatiive mi mi Näide Olgu meil tehtud mõõtmist, mis paievad migil lõigul [, b ] [ ] a, siis optimaale itervallide arv oles a igasse itervalli satus suurusärgult üsimõõtmist Olgu üüd aga sama uhusliu suurusega tehtud orda rohem mõõtmisi, so olgu mõõtmiste üldarv, ii et optimaale itervallide arv oles sii Võime oletada, et paiemie a lõigu ulatus sellest ei muutu palu a o lähedae [ a, b] --le Sel uhul tuleb sii üsiitervalli pius ligiaudu orda lühem ui eelmisel uhul, samal aal ui mõõtmiste arv igal üsiitervallil o suureeud umbes ümme orda Näide Silidri piuse aotusfutsiooi hidamie Vaatleme metallsilidri mõõtmist Metallsilidri läbimõõt olgu 5 mm, aga see umber 5 ei ole mõõtmiste seisuohast olulie Olulie o, et silidri otsad o risti moodustaaga (lõigatud või treitud) a me mõõdame silidri piust mitmest erievast ohast Erievatel mõõtmistel saame erievad silidri piused Oletame, et mõõtsime metallsilidri piust orda Tulemuses saime lugemit, millest vähim oli 75,6 a suurim 78, Mõõtmistulemuste diapasooi [ ] ma võrdses vahemius igasse vahemiu sattus i, 4 mm mi mi, ma, mi ma agame M, seeärel loedame, mitu orda mõõtmistulemus Tabel 93 Jaotustabel histogrammi ooistamises 3 4 5 6 7 8 9 [mm] 75,7 75,96 76, 76,44 76,68 76,9 77,6 77,4 77,64 77,88 7 4 9 5 7 8 5 * f [/mm],83,9,58,79,4,7,33, 4,83 6

9 Tõeäosustiheduse hidamie esperimedist Tulemused o esitatud tabelis 93 Tabeli alusel ooistame histogrammi (oois 94) Pideva ooega o ooisel äidatud histogrammi õige täpsemalt approsimeeriv ormaalaotus Histogramm aab olulist ifot, äidates et mõõtmistulemused o ligiaudu ormaalselt aotuudsii ohtume esmaordselt aotusfutsiooi dimesiooiga Sei vaatlesime uhuslie suurusi ust agu dimesiooitutea (tegeliult ei pööraud sellele tähelepau) Tegeliult o füüsias a eemias eami mõõdetavaid suurusi dimesiooiga suurused Jaotustiheduse dimesioo o alati uhusliu suuruse dimesiooi pöördväärtus: Kui X dimesioo o dim X, siis f () dimesioo o /(dim X ) See äreldub asaolust, et tõeäosus uhusliu suuruse sattumises elemetaaritervalli d : dp f ( ) d o dimesiooitu suurus Lähemalt peatume sellel üsimusel veel füüsialiste mõõtmiste peatüis Käesoleval uhul o mõõdetava suuruse dimesioo pius väledatua millimeetrites a vastavalt o tõeäosustiheduse dimesioo pöördpius pöördmillimeetrites Joois 94 Silidri piuste aotuse histogramm (tulbad) a seda approsimeeriv aotusfutsioo Probleem mõtlemises: Kuidas valida itervall [, mi ma ] paievad lõigul [ b], ui õi mõõtmistulemused a,, väla arvatud üs mõõtmie, mis paieb augel välaspool seda lõiu? 6