Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ) Αν f : A τότε για κάθε α, β πραγματικό με α=β θα ισχύει f(α)=f(β). ) Αν η f περιττή και το ανήκει στο πεδίο ορισμού της τότε το f() μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. 3) Οι περιοδικές συναρτήσεις δεν παρουσιάζουν ολικά ακρότατα. 4) Αν f ().g() για κάθε πραγματικό τότε η f () ή g() για κάθε πραγματικό. 5) Αν f, g συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το και ισχύει ότι f () g() τότε f () g() ή f () g() για κάθε πραγματικό. 6) Η συνάρτηση, f(), ή είναι και άρτια και περιττή. 7) Μια συνάρτηση δεν μπορεί να είναι και περιττή και άρτια. 8) Αν η f δεν έχει ρίζες στο πεδίο ορισμού της τότε διατηρεί πρόσημο. 9) Αν μια συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το R τότε δεν έχει ακρότατα. ) Αν το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το [-,] τότε υπάρχει μοναδικό Α (Α το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f) για το οποίο ισχύει f( ). ) Αν για την συνάρτηση f: ισχύει ότι f() f( ) τότε η f είναι περιοδική. ) Αν μία συνάρτηση είναι άρτια θα έχει υποχρεωτικά ή ελάχιστο ή μέγιστο. ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 3) Αν δυο συναρτήσεις είναι ίσες τότε έχουν τον ίδιο τύπο. 4) Αν δυο συναρτήσεις έχουν τον ίδιο τύπο είναι ίσες.
ΣΥΝΘΕΣΗ 5) Αν η f g έχει πεδίο ορισμού το τότε υποχρεωτικά οι f, g έχουν πεδίο ορισμού το. 6) Ισχύει f g g f 7) Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f,g,h: ισχύει f (g h) f g f h. 8) Αν f() τότε υπάρχει μοναδική συνάρτηση g() ώστε f g () ημ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ 9) Αν η f f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε υποχρεωτικά η f είναι γνησίως αύξουσα. ) Αν μια μη σταθερή συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα τότε θα είναι γνησίως φθίνουσα. ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της τότε δεν έχει ακρότατα. ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα κατά διαστήματα τότε είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. 3) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] και στο [β,γ] τότε αυτή είναι και γνησίως αύξουσα στο [α,γ] 4) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] και στο (β,γ] τότε αυτή είναι και γνησίως αύξουσα στο [α,γ]. 5) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, τότε η f έχει ακριβώς μία ρίζα. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ 6) Αν μια συνάρτηση είναι - τότε είναι γνησίως μονότονη. 7) Η συνάρτηση 8 789 8 f ( ) ( )( 333 6 ) είναι -. 8) Αν η f αντιστρέψιμη τότε f f f f. 9) Υπάρχει συνάρτηση άρτια με πεδίο ορισμού το που είναι γνησίως μονότονη 3) Αν δυο αντίστροφες συναρτήσεις έχουν κοινά σημεία τότε αυτά είναι πάνω στην ευθεία ψ=. 3) Υπάρχουν συναρτήσεις f,g: με την g να μην είναι - και η σύνθεσή τους f gείναι -. 3) Αν η f είναι περιττή και αντιστρέψιμη η αντίστροφη είναι περιττή. 33) Η αντίστροφη της συνάρτησης f (), είναι η f (). 34) Υπάρχει συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το που δεν είναι - και η f f είναι -.
35) Αν η f είναι συνεχής τότε και η f είναι συνεχής. ΟΡΙΑ 36) Για κάθε συνάρτηση f: ισχύει lim f () f( ) για κάθε. 37) Αν lim f () και g() κοντά στο τότε lim[f () g()]. 38) Το όριο αθροίσματος δυο συναρτήσεων είναι ίσο με το άθροισμα των ορίων δυο συναρτήσεων. 39) Αν f () g() h() τότε δεν μπορεί να ισχύει το κριτήριο παρεμβολής. 4) Αν lim f () τότε lim ή. f () 4) Αν το πεδίο ορισμού μίας συνάρτησης f είναι το a,,,τότε το lim f από τα α και β. εξαρτάται 4) Αν f :(, ) και η f είναι γνησίως αύξουσα τότε lim f (). 43) Ισχύει πάντα lim f () lim f (). 44) Αν υπάρχουν τα όρια lim f (), limg() και f()<g() κοντά στο τότε lim f () limg(). 45) Αν ημ lim τότε. 46) Ένα όριο είναι πάντα καλά ορισμένο. 47) Αν ένα όριο είναι καλά ορισμένο τότε αυτό υπάρχει. 48) Αν lim f () τότε lim f () ή lim f (). 49) Αν lim f () τότε lim f (). 5) To lim f () υπάρχει μόνον για D f. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ 5) Υπάρχει συνάρτηση συνεχής στο μη σταθερή που παίρνει μόνο ακέραιες τιμές. 5) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και δεν έχει ρίζες τότε διατηρεί πρόσημο. 3
53) Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [α,β] τότε η f έχει σύνολο τιμών κλειστό διάστημα. 54) Αν μια μη σταθερή συνεχής συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [α,β] τότε η f έχει σύνολο τιμών κλειστό διάστημα 55) Αν μια μη σταθερή συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [α,β] τότε η f έχει σύνολο τιμών κλειστό διάστημα. 56) Το ΘΒ ισχύει ακόμη και αν η f είναι συνεχής στο (α,β) 57) Αν f,g συνεχείς στο, τότε η f g συνεχής στο. 58) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] τότε η f παίρνει μόνον τις τιμές μεταξύ του f(α) και f(β). 59) Ισχύει ότι 8ημ 8 6) Μια συνεχής συνάρτηση f μπορεί να αλλάζει πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. 6) Αν η συνάρτηση f ορίζεται στο [α,β] τότε παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ f(α), f(β). 6) Η f () έχει ένα σημείο ασυνέχειας. 63) Αν μια συνάρτηση δεν έχει ρίζες στο τότε αυτή διατηρεί πρόσημο. 64) Κάθε συνάρτηση συνεχής στο έχει ακρότατα. 65) Η σύνθεση δυο ασυνεχών συναρτήσεων είναι ασυνεχής συνάρτηση. 66) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και στο (β,γ] τότε αυτή είναι και συνεχής στο [α,γ] 67) Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα πεπερασμένου μήκους τότε το γράφημά της γίνεται μονοκονδυλιά. 68) Αν η f () είναι συνεχής στο Α τότε και η f() συνεχής στο Α. 69) Αν η f είναι συνεχής στο (α,β) τότε έχει και ολικό ma και ολικό min. 7) Αν η f είναι συνεχής στο (α,β) τότε δεν έχει ολικά ακρότατα. 7) Αν η f () είναι συνεχής και η f() είναι συνεχής. 7) Αν ισχύει το θεώρημα Bolzano στο [α,β] τότε η f έχει μοναδική ρίζα στο (α,β). 73) Αν τύπου lim f() και f() για χ κοντά στο τότε το ( ) lim f() είναι απροσδιόριστη μορφή 4
Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ) Αν f : A τότε για κάθε α, β πραγματικό με α=β θα ισχύει f(α)=f(β). Αν f () ln το -= - όμως δεν ορίζεται το f(-). ) Αν η f περιττή και το ανήκει στο πεδίο ορισμού της τότε το f() μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Η f περιττή συνεπώς f ( ) f() f () f () άρα δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. 3) Οι περιοδικές συναρτήσεις δεν παρουσιάζουν ολικά ακρότατα. Η f()=ημ είναι περιοδική με περίοδο π και έχει μέγιστο το και ελάχιστο το -. 4) Αν f () g() για κάθε πραγματικό τότε η f () ή g() για κάθε πραγματικό.,, Αν f () και g() τότε f ()g() για κάθε πραγματικό και δεν είναι καμία,, από τις δυο μηδενική συνάρτηση. 5) Αν f, g συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το και ισχύει ότι f() g() τότε f() g() ή f() g() για κάθε χ πραγματικό. g(), Αν f () τότε ισχύει ότι f () g(), για κάθε πραγματικό. g() και δεν ισχύει ότι: f () g() ή f () g(), 6) Η συνάρτηση f () είναι και άρτια και περιττή., ή Αν ήταν άρτια θα έπρεπε f ( ) f() άτοπο ενώ αν ήταν περιττή θα έπρεπε να ισχύει ότι: f ( ) f ( ) άτοπο. 4 4 5
7) Μια συνάρτηση δεν μπορεί να είναι και περιττή και άρτια. Η f()= για κάθε πραγματικό είναι και άρτια και περιττή αφού για κάθε πραγματικό το f f f. πραγματικός και 8) Αν η f δεν έχει ρίζες στο πεδίο ορισμού της τότε διατηρεί πρόσημο. Α. Η f() δεν έχει ρίζες και είναι f()< για χ< και f()> για χ>., Β. f () δεν έχει ρίζες και δεν διατηρεί πρόσημο., 9) Αν μια συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το R τότε δεν έχει ακρότατα. H f()=ημ, έχει μέγιστο το και ελάχιστο το -. ) Αν το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το [-,] τότε υπάρχει μοναδικό Α (Α το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f) για το οποίο ισχύει f. Η συνάρτηση f()=ημ έχει ελάχιστο το - και όμως το - παρουσιάζεται σε κάθε π κπ, κ. ) Αν για την συνάρτηση f: ισχύει ότι f f τότε η f είναι περιοδική. Αληθές Για, το +, - έχω f f για το - έχω f f και άρα η f είναι περιοδική με περίοδο Τ= αφού για το + και το - ανήκουν στο πεδίο ορισμού της και ισχύει f f f. ) Αν μία συνάρτηση είναι άρτια θα έχει υποχρεωτικά ή ελάχιστο ή μέγιστο. f ln είναι άρτια με σύνολο τιμών το άρα δεν έχει ακρότατα. Η συνάρτηση ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 3) Αν δυο συναρτήσεις είναι ίσες τότε έχουν τον ίδιο τύπο. 4 Αν f () και g() με πεδίο ορισμού Df Dg {,,} τότε αυτές έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και για κάθε Df Dg {,,} ισχύει f () g() άρα f=g και όμως δεν έχουν τον ίδιο τύπο. 4) Αν δυο συναρτήσεις έχουν τον ίδιο τύπο είναι ίσες. 6
Αν f () με πεδίο ορισμού το και g() με πεδίο ορισμού το (, ) που δεν είναι ίσες γιατί δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. ΣΥΝΘΕΣΗ 5) Αν η f g έχει πεδίο ορισμού το τότε υποχρεωτικά οι f, g έχουν πεδίο ορισμού το. Αν f(), με Df [,] και g() ημ, Dg τότε D fog {Dg : g() Df} και f g () συν με. 6) Ισχύει f g g f Αν f () και g() προφανώς δεν είναι ίσες. τότε f g () με και g f () με πραγματικό που 7) Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f,g,h : ισχύει f (g h) f g f h. f, g, h f g h f και Αν με πραγματικό τότε f g f h,. 8) Αν f() τότε υπάρχει μοναδική συνάρτηση g() ώστε f g () ημ. Είναι f g () ημ f g () g () τότε και g () ημχ g () συν, A g() συν. Άπειρες συναρτήσεις g() όπου Α, Β υποσύνολα του χωρίς συν, B κοινά στοιχεία. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ 9) Αν η f f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε υποχρεωτικά η f είναι γνησίως αύξουσα. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο τότε για κάθε, με f f f f f ( ) f ( ) f f δηλαδή η f f είναι γνησίως αύξουσα και η f δεν είναι γνησίως αύξουσα. ) Αν μια μη σταθερή συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα τότε θα είναι γνησίως φθίνουσα. f ημ δεν είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της όμως δεν είναι ούτε γνησίως H φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της τότε δεν έχει ακρότατα. π H f ημ,, έχει μέγιστο το και ελάχιστο το. 7
) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα κατά διαστήματα τότε είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,) και στο (, ) όμως -< και f(-)<f() οπότε δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. 3) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] και στο [β,γ] τότε αυτή είναι και γνησίως αύξουσα στο [α,γ] Αληθές Για κάθε f f, [α,β] με f f f f Για κάθε, [β,γ] με Για [α,β], [β,γ] με, ισχύει β (Οι δυο ισότητες δεν f ( ) f ( ).Άρα η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο [α,γ]. μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα) θα είναι 4) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] και στο (β,γ] τότε αυτή είναι και γνησίως αύξουσα στο [α,γ]., [,] Η f () είναι γνησίως αύξουσα στο [,] και στο(,3] όμως δεν είναι γνησίως, (,3] αύξουσα στο [,3] αφού <3 και f () f (3). 5) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, τότε η f έχει ακριβώς μία ρίζα. f e είναι γνησίως αύξουσα και δεν έχει ρίζα αφού e για κάθε πραγματικό. Η συνάρτηση ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ 6) Αν μια συνάρτηση είναι - τότε είναι γνησίως μονότονη., Α) Η συνάρτηση g() είναι αλλά δεν είναι, γνησίως μονότονη, y O y=g() Β) Η f()= είναι - και δεν είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της ενώ είναι κατά διαστήματα. 8 789 8 7) Η συνάρτηση f () ( )( 333 6 ) είναι -. Είναι f()=f(-)= άρα δεν είναι -. 8) Αν η f αντιστρέψιμη τότε f f f f. 8
Αφού το πεδίο ορισμού της f f είναι το πεδίο ορισμού της f και το πεδίο ορισμού της f f είναι το σύνολο τιμών της f. 9) Υπάρχει συνάρτηση άρτια με πεδίο ορισμού το που είναι γνησίως μονότονη. Αφού είναι άρτια για το - f f άρα δεν είναι - άρα δεν είναι γνησίως μονότονη. και 3) Αν δυο αντίστροφες συναρτήσεις έχουν κοινά σημεία τότε αυτά είναι πάνω στην ευθεία y =. Η f () (διχοτόμος ου,4 ου τεταρτημορίου) η αντίστροφη της είναι η f () που κάθε σημείο (α,-α) με α είναι κοινό σημείο και δεν ανήκει στην y =. 3) Υπάρχουν συναρτήσεις f,g: με την g να μην είναι - και η σύνθεσή τους f gείναι -. Για κάθε, με g( ) g( ) f (g( )) f (g( )) άρα η g είναι -. 3) Αν η f είναι περιττή και αντιστρέψιμη η αντίστροφη είναι περιττή. Αληθής Έστω Α το πεδίο ορισμού της f, τότε αν ψ ανήκει στο πεδίο ορισμού της αντίστροφης (σύνολο τιμών της f ) θα υπάρχει Α τέτοιο ώστε f()=y, όμως το ανήκει στο πεδίο ορισμού της f και άρα το f(-)= - f()= - y άρα το y ανήκει στο πεδίο ορισμού της αντίστροφης και f ( y) f ( f()) f (f( )) f (y) δηλαδή η είναι περιττή. f 33) Η αντίστροφη της συνάρτησης f (), είναι η f (). Α. Για ψ=f() έχουμε ψ= άρα η αντίστροφη της είναι η ψ= με,. Β. Το σημείο (,) είναι σημείο της C f όμως το (,) θα ανήκει και στην την f (). f που όμως δεν επαληθεύει 34) Υπάρχει συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το που δεν είναι - και η f f είναι -. Για κάθε, με ff f ( ) f ( ) f (f ( )) f (f ( )) άρα η f είναι -. 35) Αν η f είναι συνεχής τότε και η f είναι συνεχής., Αν f () η f είναι συνεχής για < ως πολυωνυμική και για ως πολυωνυμική άρα,, είναι συνεχής. H f () όμως είναι ασυνεχής στο., (lim f () lim lim f () lim( ) ) 9
ΟΡΙΑ 36) Για κάθε συνάρτηση f: ισχύει lim f () f( ) για κάθε., Η f () είναι limf () f()., 37) Αν lim f () και g() κοντά στο τότε Αν f () και g() τότε limf() lim[f()g()] lim[f ()g()]. και g() κοντά στο και όμως 38) Το όριο αθροίσματος δυο συναρτήσεων είναι ίσο με το άθροισμα των ορίων δυο συναρτήσεων. Αν f () και g() τότε lim[f () g()] lim ενώ το lim[f ()], lim[g()] δεν υπάρχουν αφού lim[f ()], lim[g()] και lim[f ()], lim[g()] 39) Αν f () g() h() τότε δεν μπορεί να ισχύει το κριτήριο παρεμβολής. Αφού αν f () g() h() τότε ισχύει και ότι f () g() h(). 4) Αν lim f () τότε Η f () είναι lim ή. f () limf() όμως το lim δεν είναι καλά ορισμένο. f () 4) Αν το πεδίο ορισμού μίας συνάρτησης f είναι το a,,,τότε το lim f εξαρτάται από τα α και β. Aν θέλουμε να βρούμε το όριο της συνάρτησης f () στο, περιοριζόμαστε στο υποσύνολο (,) (,) του πεδίου ορισμού της, στο οποίο αυτή παίρνει τη μορφή ( ) f (). Επομένως, το ζητούμενο όριο είναι limf (). 4) Αν f :(, ) και η f είναι γνησίως αύξουσα τότε lim f ().
Η f (), είναι γνησίως αύξουσα και lim f (). 43) Ισχύει πάντα, Αν f (), ορίζεται το limf (). lim f () lim f (). τότε f () και lim f () και το lim f () lim f () οπότε δεν 44) Αν υπάρχουν τα όρια lim f (), limg() και f()<g() κοντά στο τότε lim f () limg(). Αν f () και g() τότε κοντά στο μηδέν είναι f()<g() και όμως limf () limg(). ημ 45) Αν lim τότε. ημ Το lim. π 46) Ένα όριο είναι πάντα καλά ορισμένο. Το lim δεν είναι καλά ορισμένο αφού η f () δεν ορίζεται για αρνητικές τιμές του (κοντά στον - ) 47) Αν ένα όριο είναι καλά ορισμένο τότε αυτό υπάρχει., Αν f (),τότε lim f ενώ είναι καλά ορισμένο δεν υπάρχει, lim f () lim f () 48) Αν lim f () τότε lim f () ή lim f ()., Αν f (), οπότε δεν υπάρχει το τότε f () άρα lim f (). lim f () τότε lim f (), lim f () 49) Αν lim f () τότε lim f (). Αληθής Αφού - f () f () f () και από κριτήριο παρεμβολής το lim f ().
5) To lim f () υπάρχει μόνον για Df. Ορίζεται το όριο αν η f ορίζεται κοντά στο. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ 5) Υπάρχει συνάρτηση συνεχής στο μη σταθερή που παίρνει μόνο ακέραιες τιμές. Γιατί αν έπαιρνε δυο διαφορετικές ακέραιες τιμές, επειδή είναι συνεχής, θα έπαιρνε από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, όλες τις τιμές μεταξύ των δυο ακεραίων άρα και μη ακέραιες τιμές. 5) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και δεν έχει ρίζες τότε διατηρεί πρόσημο. Η f () είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και είναι για < το f()< και για > το f()> δηλαδή διατηρεί πρόσημο και δεν έχει ρίζες. 53) Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [α,β] τότε η f έχει σύνολο τιμών κλειστό διάστημα. Η f () 5 με πεδίο ορισμού το [,] έχει σύνολο τιμών το μονοσύνολο {5}. 54) Αν μια μη σταθερή συνεχής συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [α,β] τότε η f έχει σύνολο τιμών κλειστό διάστημα. Σωστό Από θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής και από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. 55) Αν μια μη σταθερή συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [α,β] τότε η f έχει σύνολο τιμών κλειστό διάστημα., [, ) Αν f () τότε το σύνολο τιμών της είναι το [,)., [,3] 56) Το ΘΒ ισχύει ακόμη και αν η f είναι συνεχής στο (α,β). 5, (,] Αν f () συνεχής στο (,) ως σταθερή με f ()f () 5 και προφανώς δεν έχει 3, ρίζες. 57) Αν f,g συνεχείς στο, τότε η f g συνεχής στο.
Οι συναρτήσεις f () και g() με πεδίο ορισμού το (,+ ) και αντίστοιχα είναι συνεχείς στο ενώ η f g () δεν ορίζεται στο οπότε δεν μπορεί να πούμε ότι είναι συνεχής στο. 58) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] τότε η f παίρνει μόνον τις τιμές μεταξύ του f(α) και f(β). Η f () είναι συνεχής στο [-,] με f(-)= και f()=4 και το f()= που δεν βρίσκεται μεταξύ των f(-) και f(). 59) Ισχύει ότι 8ημ 8 Σωστό 8ημ 8 ημ που ισχύει γιατί ισχύει ότι ημχ χ η ισότητα μόνον για χ= 8 8 οπότε για = 8 έχουμε ημ ημ. 8 8 8 6) Μια συνεχής συνάρτηση f μπορεί να αλλάζει πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. Αν α, β δυο διαδοχικές ρίζες με α < β και αλλάζει πρόσημο στα κ, λ (α,β) με κ < λ τότε στο [κ,λ] ισχύει το θεώρημα Bolzano (συνεχής στο [κ,λ] και f(κ)f(λ) < ) άρα θα έχει ρίζα στο (κ,λ) (α,β) άτοπο. 6) Αν η συνάρτηση f ορίζεται στο [α,β] τότε παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ f(α), f(β)., [,) H f (), ορίζεται στο [,3] και δεν παίρνει τιμές μεταξύ f()= και f(3)=., [,3] 6) Η f () έχει ένα σημείο ασυνέχειας. Αφού η f είναι συνεχής ως ρητή (στο πεδίο ορισμού της). 63) Αν μια συνάρτηση δεν έχει ρίζες στο τότε αυτή διατηρεί πρόσημο., Αν f () αυτή δεν έχει ρίζες και όμως δεν διατηρεί πρόσημο., 64) Κάθε συνάρτηση συνεχής στο έχει ακρότατα. 3
Η f () είναι συνεχής στο και ως γνησίως αύξουσα δεν έχει ακρότατα. 65) Η σύνθεση δυο ασυνεχών συναρτήσεων είναι ασυνεχής συνάρτηση.,, Αν f () και g() τότε (f g)(), και ενώ οι f,g δεν είναι συνεχείς,, στο η f gείναι συνεχής. 66) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και στο (β,γ] τότε αυτή είναι και συνεχής στο [α,γ], [,] Η f () είναι συνεχής στο [,] [συνεχής στο (,) και lim f () f () και, (,3] lim f () f () ] συνεχής στο(,3] όμως δεν είναι συνεχής στο [,3] αφού δεν είναι συνεχής στο γιατί lim f () f () lim f (). 67) Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα πεπερασμένου μήκους τότε το γράφημά της γίνεται μονοκονδυλιά. Η f () με πεδίο ορισμού το [-,) (,] που είναι συνεχής σε διάστημα με πεπερασμένο πλάτος που όμως η γραφική παράστασή της διακόπτεται στο. 68) Αν η f () είναι συνεχής στο Α τότε και η f() συνεχής στο Α., Αν f () τότε f () άρα lim f () = f ( ) τότε, συνεπώς η f δεν είναι συνεχής στο. lim f (), lim f () και 69) Αν η f είναι συνεχής στο (α,β) τότε έχει και ολικό ma και ολικό min. Αν f (), (,) ως γνησίως αύξουσα δεν έχει ακρότατα. 7) Αν η f είναι συνεχής στο (α,β) τότε δεν έχει ολικά ακρότατα. Η f(), (,) που είναι συνεχής στο, σαν πολυωνυμική και έχει ελάχιστο στο το μηδέν. 7) Αν η f () είναι συνεχής και η f() είναι συνεχής. 4
, Αν f () τότε f () άρα, συνεπώς η f δεν είναι συνεχής στο. lim f () = f () και lim f () lim f (), 7) Αν ισχύει το θεώρημα Bolzano στο [α,β] τότε η f έχει μοναδική ρίζα στο (α,β). π π Για τη συνάρτηση f()=ημ με πεδίο ορισμού το,π 6 6 ισχύει το θεώρημα Bolzano και έχει ρίζες το,π,π περισσότερες από μία. 73) Αν lim f () και f () για χ κοντά στο τότε το lim είναι απροσδιόριστη μορφή f () τύπου ( ). Για κοντά στο είναι f () άρα lim. f () 5