UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu, mogu poslužiti studentima za pripremu ispita iz ovog kolegija. Svaka konstruktivna sugestija u svrhu poboljšanja ovih materijala, je dobrodošla. Želim vam što uspješnije savladavanje izloženog gradiva!! dr. sc. Josip Matejaš, EFZG

SADRŽAJ Funkcije... 1 Realne funkcije jedne varijable... 3 Granična vrijednost (limes) funkcije... 7 Neprekidnost funkcije... 14 Derivacije funkcija jedne varijable... 15 Tehnika deriviranja... 19 Diferencijal funkcije... 39 Teorem srednje vrijednosti... 42 L Hospital Bernoulijevo pravilo... 48 Primjena derivacija na ispitivanje toka i grafičko predočavanje funkcija... 50 Primjena derivacija na ekonomske funkcije... 70 Elastičnost... 76 Engelovi zakoni... 83

SADRŽAJ (NASTAVAK) Funkcije više varijabli... 85 Parcijalne derivacije... 87 Homogene funkcije... 91 Diferencijali funkcija više varijabli... 94 Elastičnost funkcija više varijabli... 98 Ekstremi funkcija dvije varijable... 102 Metoda najmanjih kvadrata... 110 Uvjetni ekstremi... 113

FUNKCIJE Definicija: Neka su D i K neprazni skupovi. Preslikavanje koje svakom elementu skupa D pridružuje samo jedan elemenat skupa K nazivamo funkcija. Simbolički f : D K. Ako u definiciji izostavimo riječi samo jedan tj. ako nekom elementu skupa D može biti pridruženo više elemenata skupa K, imamo relaciju (višeznačnu funkciju). Skup D nazivamo domena ili područje definicije a skup K kodomena ili područje vrijednosti funkcije. Skup f(d) = {f(x) : x D} K nazivamo slika funkcije f. Ako je y = f(x) tada x nazivamo argumenat ili nezavisna varijabla a y zavisna varijabla ili funkcija. + 1

Inverzna funkcija funkcije f : D K, ako postoji, je funkcija f 1 : K D sa svojstvom y = f(x) x = f 1 (y) Kompozicija funkcija f : D K i g : K M je funkcija g f : D M sa svojstvom Primijetimo da je (g f)(x) = g (f(x)) (f 1 f)(x) = f 1 (f(x)) = f 1 (y) = x (f f 1 )(y) = f(f 1 (y)) = f(x) = y Dakle, f 1 f = i (identiteta) na D, odnosno f f 1 = i (identiteta) na K. Ako je f : D K, D, K R, tj. domena i kodomena funkcije su podskupovi skupa realnih brojeva, tada imamo + 2

REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE Prirodna domena ovih funkcija je skup D(f) = {x R : f(x) R}. Možemo ih zadati tablicom, grafički i analitički (formulom). Primjeri... Klasifikacija Algebarske: polinomi (operacije +,, ) y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n racionalne (razlomljene) funkcije (operacije +,,, :) y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n b 0 + b 1 x + b 2 x 2 +... + b m x m iracionalne funkcije (operacije +,,, :, n ) + 3

Transcendentne: eksponencijalne i logaritamske y = a x i y = log a x, a > 0 trigonometrijske i ciklometrijske y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = arcsin x y = arccos x y = arctan x y = arccot x Domena i kodomena (slika) ovih funkcija najčešće su intervali (segmenti) ili njihove unije. PRIMJERI 1. Klasificirajte slijedeće funkcije f(x) = x4 5 1, g(x) = 1 x, h(x) = r(x) = 1 x 2, x e x + 1, z(x) = 2 + x + 3 x + ln x. + 4

2. Parne funkcije: f( x) = f(x) (graf im je simetričan s obzirom na os y), takve su npr. x 2, x 4,..., x n, n paran. Neparne funkcije: f( x) = f(x) (graf im je centralno simetričan s obzirom na ishodište), npr. x, x 3,..., x n, n neparan. Ispitajte parnost slijedećih funkcija: f(x) = x, g(x) = 2 x 3 x, h(x) = x2 +x. 3. Iz grafa funkcije y = f(x) za zadane realne brojeve α i β, konstruirajte graf funkcije y = f(x + α) + β. Rješenje: y β }{{} y = f(x } + {{ α} ) x Kako je y = f(x ) zadano, imamo y = y + β, x = x α, tj. graf funkcije y = f(x + α) + β dobije se iz grafa funkcije y = f(x) translacijom za β u smjeru osi y i za α u smjeru osi x. + 5

4. Odredite domene slijedećih funkcija a(x) = x x 2 9, b(x) = x x 2 + 9, c(x) = 1 x, d(x) = 3 1 x, f(x) = log(x 2 4), g(x) = ln(x3 8) 3 x, h(x) = log log x, k(x) = 2 x 2 1 x. Rješenje: D(a) = R \ { 3, 3}, D(b) = R, D(c) =, 1], D(d) = R, D(f) =, 2 2, +, D(g) = 2, 9, D(k) = D(h) = 1, +, [ 1 2, +. Pravila: B/N N 0, parni 0, log a > 0. + 6

GRANIČNA VRIJEDNOST (LIMES) FUNKCIJE PRIMJER: Promatrajmo funkciju f(x) = x3 1 x 1. Vidimo da je D(f) = R \ {1}. Dakle, funkcija je definirana za svaki x osim za x = 1. Pitamo se što se dogada sa vrijednostima funkcije kad se x sve više približava broju 1? Simbolički x 1 f(x)? Drugim riječima mi tražimo graničnu vrijednost ili limes fukcije kad x teži broju 1, lim f(x) =? x 1 Što znači x 1? To znači da x poprima takve vrijednosti x 1, x 2, x 3,..., x n, x n+1,... da za svaki proizvoljno mali broj δ > 0 vrijedi 0 < x n 1 < δ za sve n > n 0 = n 0 (δ). Očito je da x može težiti broju 1 na beskonačno mnogo načina. + 7

Na primjer: x f(x) 0.9 2.71 0.99 2.9701 0.999 2.997... 0.9999 2.9997... 0.99999 2.99997... 1 3 x f(x) 1.1 3.31 1.01 3.0301 1.001 3.003... 1.0001 3.0003... 1.00001 3.00003... 1+ 3 Dakle, naslućujemo da bi moglo biti Zaista, lim x 1 x 3 1 x 1 = lim f(x) = 3. x 1 { } 0 0 = lim x 1 (x 1)(x 2 + x + 1) x 1 = lim x 1 (x 2 + x + 1) = 3. + 8

Definicija (konačni limes u konačnosti): Neka su c, L R. Kažemo da je L limes funkcije f(x) kada x teži broju c i pišemo lim x c f(x) = L ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi 0 < x c < δ f(x) L < ε. Primijetimo da je 0 < x c < δ x c δ, c + δ }{{} okolina točke c i x c, f(x) L < ε f(x) L ε, L + ε }{{} okolina točke L. Drugim riječima, funkcija poprima vrijednosti po volji blizu broju L kad se argumenat dovoljno približi broju c. To možemo zapisati i ovako: Skica... f(x) = L + ω(x), lim ω(x) = 0. x c + 9

Beskonačni limes u konačnosti (c R, L = ± ): lim f(x) = (ili ) x c Funkcija poprima proizvoljno velike pozitivne (ili negativne) vrijednosti kad se argumenat dovoljno približi broju c. U ovom slučaju pravac x = c nazivamo uspravna (vertikalna, okomita) asimptota funkcije. Skica... Konačni limes u beskonačnosti (c = ±, L R): lim f(x) = L ili lim x x f(x) = L Funkcija poprima vrijednosti po volji blizu broju L kad argumenat poprimi dovoljno velike pozitivne ili negativne vrijednosti. U ovom slučaju pravac y = L nazivamo vodoravna (horizontalna) asimptota funkcije. Skica... + 10

Beskonačni limes u beskonačnosti (c = ±, L = ± ): lim f(x) = ili lim x x f(x) = (ili ) Funkcija poprima proizvoljno velike pozitivne (ili negativne) vrijednosti kad argumenat poprimi dovoljno velike pozitivne ili negativne vrijednosti. Skica... Kažemo da funkcija konvergira u nekoj točki ako u njoj ima konačni limes. U protivnom (ako je limes beskonačan ili ga nema) kažemo da divergira. Svojstva limesa: Limes zbroja, razlike, produkta ili kvocjenta dviju funkcija jednak je zbroju, razlici, produktu ili kvocjentu limesa tih dviju funkcija (ako su navedeni izrazi dobro definirani), tj. lim x c (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x), x c x c pri čemu je {+,,, :}. Specijalno ako je g(x) = k (konstanta), imamo npr. lim(k f(x)) = k lim x c x c f(x). + 11

Neki važniji limesi: (1) lim x (2) lim x 0+ a x = 0, a x =, (3) lim x a x = lim x lim x 0 a = 0 za a R, x a = za a > 0, x 0 za 0 < a < 1 1 za a = 1 za a > 1, (4) lim x a = 1 za a > 0, lim x x = 1, x x ( (5) lim 1 + 1 x = 2.71828182... = e, x x) lim x ( 1 + k x) x = e k, k R. + 12

PRIMJERI 1. Odredeni oblici limesa: lim x 4 x 2 + 1 = { 4 } = 0. Npr. 0+ 4 = 0, 4 =, 4 0+ =, 0 4 = 0, =, + =, =,... 2. Neodredeni oblici limesa: lim x 4x 2 x 2 + 1 = { } 4 = lim x 1 + 1 = 4. x 2 4x 2 = lim x x 2 ( 1 + 1 ) x 2 Npr., 0,, 0, 0 0, 1, 0 0,... + 13

NEPREKIDNOST FUNKCIJE Definicija: Funkcija f(x) je neprekidna u točki x = c ako vrijedi lim f(x) = f(c). x c Primijetimo da definicija podrazumijeva da je funkcija definirana u točki c, da ima limes u točki c i da su te dvije vrijednosti jednake. U protivnom (ako nešto od navedenog nije ispunjeno) kažemo da funkcija ima prekid u točki c. Slikovito rečeno, funkcija je neprekidna u nekoj točki ako njezin graf kroz tu točku možemo nacrtati jednim potezom. PRIMJER: Ispitajte neprekidnost funkcija f(x) = x2 1 x 1 i g(x) = x + 1. + 14

DERIVACIJE FUNKCIJA JEDNE VARIJABLE Promatrat ćemo kako se mijenja funkcija u odnosu na promjenu argumenta. Skica... x promjena (prirast) argumenta, y ili f promjena (prirast) funkcije uzrokovana promjenom argumenta. Definicija derivacije: f (x) = lim x 0 y x = lim x 0 f(x + x) f(x) x Graničnu vrijednost kvocjenta prirasta funkcije i prirasta argumenta u nekoj točki kad prirast argumenta teži k nuli, ako postoji, nazivamo derivacija funkcije u toj točki. Funkcija koja ima derivaciju nazivamo derivabilna ili diferencijabilna funkcija. Pravac kroz točke P (x, f(x)) i M(x + x, f(x + x)) je sekanta grafa funkcije f. Kad x 0 tada M P, pa sekanta prelazi u tangentu. + 15

Dakle, f (x) = lim x 0 = lim x 0 y x koef. smjera sekante = koef. smjera tangente Geometrijska interpretacija derivacije: Derivacija funkcije u nekoj točki je koeficijent smjera tangente na graf funkcije u toj točki. Drugim riječima, derivacija je mjera brzine promjene funkcije uzrokovane malom promjenom argumenta. Primjer: interpretirajte slijedeće tvrdnje f (2) = 3, f (5) = 1/4. Napomenimo da se osnovna formula (definicija) derivacije može pisati na više načina, npr. stavimo li z = x + x tada je x = z x i x 0 z x, pa je f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x) x = lim z x f(z) f(x) z x + 16

DERIVABILNOST I NEPREKIDNOST Ako je funkcija derivabilna u nekoj točki tada je u njoj i neprekidna. Obrat ne mora vrijediti. Dokažimo ovu tvrdnju! Ako je funkcija f(x) derivabilna u točki x = c, bit će odnosno f (c) = lim x c f(x) f(c) x c, ili f(x) f(c) x c = f (c) + ω(x), lim x c ω(x) = 0 f(x) f(c) = (x c)f (c) + (x c)ω(x). Uzmemo li u ovoj jednakosti limes kad x c, desna strana postane nula, pa dobijemo lim f(x) f(c) = 0, x c a što je definicija neprekidnosti. + 17

Tvdnju da obrat ne mora vrijediti pokazuje primjer funkcije f(x) = x = { x za x 0 x za x < 0. Kako je lim x 0 f(x) = lim x 0 x = 0 = f(0), funkcija je neprekidna u točki x = 0. Medutim lim x 0+ f(x) f(0) x 0 = lim x 0+ x x = 1, lim x 0 f(x) f(0) x 0 = lim x 0 x x = 1, pa funkcija nema derivacije u točki x = 0 (jer limes nije jedinstven). + 18

TEHNIKA DERIVIRANJA Da bi postupak deriviranja učinili jednostavnijim, koristeći definiciju derivacije, izvest ćemo: općenita pravila deriviranja (derivaciju zbroja, razlike, produkta i kvocjenta), tablicu derivacija (izraze - formule za derivaciju elementarnih funkcija) i derivaciju složenih funkcija. + 19

PRAVILA DERIVIRANJA Neka su u i v derivabilne funkcije a c konstanta. Tada vrijedi 1. (c u) = c u 2. (u ± v) = u ± v 3. (uv) = u v + uv 4. ( u v ) = u v uv v 2 Ova pravila dobijemo primjenom definicije derivacije f f(x + h) f(x) (x) = lim, h 0 h (tu smo prirast argumenta x označili kraćom oznakom h). Pokazujemo pravila 2 i 3. + 20

Pravilo 2: u definiciju derivacije stavimo f(x) = u(x) + v(x) (slično za razliku ). Imamo (u(x) + v(x)) = lim h 0 [u(x + h) + v(x + h)] [u(x) + v(x)] h = lim h 0 [ u(x + h) u(x) h + v(x + h) v(x) h ] = u (x) + v (x) + 21

Pravilo 3: u definiciju derivacije stavimo Imamo (u(x) v(x)) f(x) = u(x) v(x). = lim h 0 u(x + h)v(x + h) u(x)v(x) h [ u(x + h)v(x + h) u(x)v(x + h) = lim h 0 h + u(x)v(x + h) u(x)v(x) h ] = lim h 0 u(x + h) u(x) h v(x + h) + lim h 0 u(x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) v(x + h) v(x) h + 22

TABLICA DERIVACIJA OSNOVNIH ELEMENTARNIH FUNKCIJA 1. (konstanta) = 0 2. (x n ) = nx n 1, n R, (x) = 1 3. ( x ) = 1 2 x 4. ( ) 1 x n = n x n+1, n R 5. (a x ) = a x ln a 6. (e x ) = e x + 23

7. (log a x) = 1 x ln a = log a e x 8. (ln x) = 1 x 9. (sin x) = cos x 10. (cos x) = sin x 11. (tan x) = 1 cos 2 x 12. (cot x) = 1 sin 2 x Sve navedene formule dobijemo iz definicije derivacije. Pokazujemo neke od njih. + 24

Formula 2: U definiciju derivacije stavljamo f(x) = x n. Formulu pokazujemo za n N. U izvodu koristimo binomni teorem. Imamo (x n ) = lim h 0 (x + h) n x n h 1 = lim h 0 h + [ x n + ( n2 ) ( n1 ) x n 2 h 2 + x n 1 h ( n3 ) x n 3 h 3 +... + ( ) ] n n 1 xh n 1 + h n x n = lim h 0 [( n1 ) x n 1 + ( n2 ) x n 2 h ( ) ] + n3 x n 3 h 2 +... + h n 1 = nx n 1 + 25

Formula 3: U definiciju derivacije stavljamo f(x) = x. Imamo ( x) x + h x = lim h 0 h = lim h 0 x + h x h x + h + x x + h + x = lim h 0 x + h x h ( x + h + x ) = 1 2 x + 26

Formula 7: U definiciju derivacije stavljamo f(x) = log a x. Imamo (log a x) = lim h 0 log a (x + h) log a x h 1 = lim h 0 h log a ( x + h 1 = lim h 0 x x ( h log a 1 + h ) x ( 1 = lim h 0 x log a 1 + 1 )x h x h x ) = {t = xh, h 0 t } = 1 ( x t lim log a 1 + 1 ) t t = 1 x log a e + 27

PRIMJERI Derivirajte slijedeće funkcije 1. y = 6x 3 2x + 4 x + 2 ln x 9 y = 6 (x 3 ) 2 (x) + 4 ( x) + 2 (ln x) 9 = 6 3x 2 2 1 + 4 1 2 x + 2 1 x 0 = 18x 2 2 + 2 x + 2 x 2. y = 8 4 x 3 + 2 x 3 y = 8x 3/4 + 2x 3 y = 8 (x 3/4 ) + 2 (x 3 ) = 8 3 4 x 1/4 + 2 ( 3) x 4 = 6x 1/4 6x 4 = 6 4 x 6 x 4 + 28

3. y = x 4 ln x y = (x 4 ) ln x + x 4 (ln x) = 4x 3 ln x + x 4 1 x = 4x 3 ln x + x 3 4. y = x x 2 + 1 y = (x) (x 2 + 1) x (x 2 + 1) (x 2 + 1) 2 = 1 (x2 + 1) x 2x (x 2 + 1) 2 = 1 x2 (x 2 + 1) 2 + 29

DERIVACIJA SLOŽENE FUNKCIJE (KOMPOZICIJE) y = (f u)(x), tj. y = f(u(x)) f (x) = lim x 0 = lim x 0 f x f u u x = { x 0 u 0 f 0} = lim u 0 f u lim x 0 u x = f (u) u (x), uz pretpostavku da svi navedeni limesi postoje. Dakle, f x = f u u x. + 30

PRIMJERI Derivirajte slijedeće funkcije 1. y = x 2 + 1 y = = = { ( ) = 1 2 } 1 (x 2 + 1) 2 x 2 + 1 1 2x = 2 x 2 + 1 x x 2 + 1 2. y = e x3 y = { (e ) = e } = e x3 (x 3 ) = 3 x 2 e x3 + 31

3. y = y = ln(x 6 1) { ( ) = 1 2 } = 1 ( ln(x 6 1) ) 2 ln(x 6 1) = { (ln ) = 1 } = = = 1 2 ln(x 6 1) 1 2 ln(x 6 1) (x 6 1) 3x 5 1 x 6 1 (x6 1) 1 x 6 1 6x5 ln(x 6 1) + 32

DERIVACIJA INVERZNE FUNKCIJE Znamo, da ako funkcija ima inverznu, tada vrijedi y = f(x) x = f 1 (y). Ako je f (x) poznato, koliko je ( f 1 (y) )? ( f 1 (y) ) = lim y 0 x y = { y 0 x 0} = lim x 0 1 y x = 1 f (x) PRIMJER y = e x x = ln y, (e x ) = e x, (ln y) =? (ln y) = 1 (e x ) = 1 e x = 1 y + 33

DERIVACIJE VIŠEG REDA Derivacija zadane funkcije je nova funkcija. Njenu derivacija, ako postoji, nazivamo druga derivacija zadane funkcije. Dakle f f (x + h) f (x) (x) = lim h 0 h Ovaj postupak deriviranja možemo nastaviti: f f f f... f (n) f (n+1)... Pri tome se više derivacije mogu označavati rimskim brojevima ili arapskim u zagradi, npr. f vii = f (7). S obzirom na najviši red derivacije koji na nekom području funkcija ima, razlikujemo slijedeće klase funkcija: C neprekidne funkcije, C 1 funkcije čija je prva derivacija neprekidna ( neprekidna je i funkcija), C 2 funkcije čija je druga derivacija neprekidna ( neprekidna je i prva derivacija i funkcija),... + 34

C n funkcije čija je n-ta derivacija neprekidna ( neprekidne su i sve derivacije nižeg reda i funkcija), C funkcije koje su neprekidne i čije su sve derivacije neprekidne. PRIMJERI 1. Odredite sve derivacije funkcije y = x 4 + 5x 3 4x 2 + 7x 11. y = 4x 3 + 15x 2 8x + 7 y = 12x 2 + 30x 8 y = 24x + 30 y iv = 24 y v = 0 y (n) = 0 za sve n 5 + 35

2. Odredite prvih nekoliko derivacija funkcije y = x e x, te zaključite koliko je y (n). y = (xe x ) = e x + xe x y = e x + (xe x ) = 2e x + xe x y = 2e x + (xe x ) = 3e x + xe x y iv = 3e x + (xe x ) = 4e x + xe x... y (n) = ne x + xe x 3. Odredite treću derivaciju funkcije y = ln(x 2 + 1). y = 1 x 2 + 1 (x2 + 1) = 2x x 2 + 1 y = 2(x2 + 1) 2x 2x (x 2 + 1) 2 = 2 2x2 (x 2 + 1) 2 y =... = 4x3 12x (x 2 + 1) 3 + 36

TANGENTA I NORMALA Vidjeli smo da je vrijednost derivacije koeficijent smjera tangente na graf funkcije u promatranoj točki. Normala je pravac okomit na tangentu u toj točki. Ako uzmemo točku (x 0, f(x 0 )) na grafu funkcije f, tada je jednadžba tangente i normale y f(x 0 ) = k(x x 0 ), pri čemu je k = f (x 0 ) za tangentu, odnosno, k = 1/f (x 0 ) za normalu. PRIMJER: Napišite jednadžbu tangente i normale na graf funkcije f(x) = ln x u točki apscise 1. Rješenje: x 0 = 1, f(x 0 ) = ln 1 = 0, f (x) = 1/x, f (x 0 ) = 1/1 = 1. Tangenta... y 0 = 1(x 1)... y = x 1. Normala... y 0 = 1(x 1)... y = x + 1. + 37

LOGARITAMSKO DERIVIRANJE Ako je y = f(x), tada je (ln y) = y y. Ovo je formula logaritamskog deriviranja. Možemo je koristiti za deriviranje funkcija koje ne možemo derivirati standardnim pravilima. PRIMJER: Derivirajte funkciju y = x x. Rješenje: ln y = x ln x, pa ako deriviramo obje strane jednakosti imamo y y = ln x + x 1 x y = y (ln x + 1), dakle, (x x ) = x x (ln x + 1). Općenito za y = u(x) v(x) imamo ln y = v ln u čijim deriviranjem dobijemo y dakle, (u v ) = u v y = v ln u + v u u, ( v ln u + v u u ). + 38

DIFERENCIJAL FUNKCIJE Ako je funkcija y = f(x) derivabilna u nekoj točki, znamo da u toj točki vrijedi y = odnosno y x = y + ω( x), ili y = y x }{{} diferencijal lim x 0 y x, lim x 0 + ω( x) x }{{} zanemarivo malo ω( x) = 0, (skica...) Neka je dx = x (proizvoljno mali prirast ili diferencijal nezavisne varijable x). Diferencijal funkcije definiramo formulom Slijedi da je dy = y dx. y = dy dx, tj. derivacija je jednaka kvocjentu diferencijala zavisne i nezavisne varijable. Vidimo da je diferencijal funkcije dy glavni (linearni) dio prirasta y. Drugim riječima, dy aproksimira prirast y to bolje što je dx manji. + 39

Dakle, y dy za dovoljno mali dx, odnosno, u terminima funkcije f u točki x vrijedi f(x + dx) f(x) df(x) = f (x)dx ili f(x + dx) f(x) + f (x)dx. Time smo vrijednost funkcije u točki x + dx aproksimirali pomoću vrijednosti funkcije i njenog diferencijala u točki x. Geometrijski, dy je dio prirasta y do tangente na graf funkcije u točki x. Kao i kod derivacija, definiramo diferencijale višeg reda: d 2 y = d(dy) = y dx 2, d 3 y = d(d 2 y) = y dx 3,... d n y = d(d n 1 y) = y (n) dx n. + 40

PRIMJERI 1. Ako znamo da je f(6) = 3 i f (6) = 5, što možemo reći o f(6.02)? Rješenje: f(6.02) f(6)+f (6) 0.02 = 3 + 5 0.02 = 3.1. 2. Pomoću diferencijala približno izračunajte 3 2.998 2 1. Rješenje: f(x) = 3 x 2 1 f (x) = 2x 3 3 (x 2 1) 2. x = 3, dx = 0.002, f(3) = 2, f (3) = 0.5 f(2.998) 2 + 0.5 ( 0.002) = 1.999. + 41

TEOREM SREDNJE VRIJEDNOSTI Skica... Sekanta i tangenta su paralelne, tj. MS P S = f(b) f(a) b a } {{ } koef. smjera sekante = f (c) }{{} koef. smjera tangente Teorem (Lagrangeov teorem srednje vrijednosti): Ako je funkcija f neprekidna na [a, b] i derivabilna na a, b, tada postoji bar jedna točka c a, b takva da vrijedi f(b) f(a) = f (c) (b a). Razlika vrijednosti funkcije na krajevima intervala jednaka je umnošku derivacije u nekoj točki unutar intervala i veličine intervala. Napomena: stavimo li x 0 = a, x 0 + x = b, imamo b a = x i c = x 0 + t x, t 0, 1, pa je f(x 0 + x) = f(x 0 ) + f (x 0 + t x) x. Usporedimo ovo sa formulom za diferencijal f(x 0 + x) f(x 0 ) + f (x 0 ) x. + 42

Ako u Lagrangeovu teoremu pretpostavimo da vrijedi još i dobivamo f(a) = f(b), f(b) f(a) = 0 = f (c) (b a) f (c) = 0, a što je Rolleov teorem srednje vrijednosti. Skica... + 43

Uzastopnom primjenom teorema srednje vrijednosti (na funkciju, zatim na njenu derivaciju, pa onda na drugu derivaciju itd.) dolazimo do Taylorovog polinoma stupnja n za funkciju f klase C n u točki x 0, T n (x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! + f (x 0 ) 3! (x x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) 2 2! (x x 0 ) 3 + f iv (x 0 ) (x x 0 ) 4 4! +... + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n, n! pri čemu vrijedi Taylorova formula f(x) = T n (x) + R n (x), R n (x) = (x x 0 ) n r n (x), }{{} ostatak lim r x x0 n (x) = 0. Taylorov polinom T n (x) ima svojstvo da su u točki x = x 0 vrijednosti funkcije i polinoma kao i vrijednosti njihovih prvih n derivacija jednake. Ovaj polinom, najbolje od svih polinoma stupnja n, aproksimira funkciju f u okolini točke x 0. + 44

PRIMJER Napišite Taylorov polinom stupnja 4 za funkciju f(x) = ln x u točki x 0 = 1. Rješenje: f(x) = ln x f(1) = 0 f (x) = 1 x f (1) = 1 f (x) = 1 x 2 f (1) = 1 f (x) = 2 x 3 f (1) = 2 f iv (x) = 6 x 4 f iv (1) = 6 T 4 (x) = 0 + 1 1! 1 (x 1) + (x 1)2 2! + 2 3! (x 1)3 + 6 (x 1)4 4! + 45

Dakle, (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 T 4 (x) = (x 1) + 2 3 4 Primjena: numeričko izvrednjavanje funkcija pomoću računala, npr. za x = 1.5 je T 4 (1.5) = 0.4010..., f(1.5) = ln 1.5 = 0.4054... Za funkciju f klase C imamo Taylorov red f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) 2 2! + f (x 0 ) (x x 0 ) 3 +... 3! Ako je x 0 = 0 imamo Mac-Laurinov red f(x) = f(0)+ f (0) 1! x+ f (0) 2! x 2 + f (0) 3! x 3 +... + 46

PRIMJER Napišite Mac-Laurinov red za funkciju f(x) = e x. Rješenje: Kako je f (k) (x) = e x, k = 1, 2, 3,... bit će f (k) (0) = e 0 = 1, tj. f(0) = f (0) = f (0) = f (0)... = 1, pa je e x = 1 + x + x2 2 + x3 3! + x4 4! + x5 5! +... (razvoj funkcije u red potencija). + 47

L HOSPITAL BERNOULIJEVO PRAVILO Ako je vrijedi lim f(x) = lim g(x) = 0 (ili ± ), tada x c x c { 0 f(x) lim x c g(x) = 0 ili f (x) = lim x c g (x), ukoliko navedeni limesi postoje. Ovo pravilo, dakle, možemo koristiti za rješavanje neodredenih oblika limesa 0/0 i /. Ostale neodredene oblike trebamo prvo svesti na jednog od njih, a zatim primijeniti pravilo. L Hospitalovo pravilo pokazujemo za ublik 0/0 i za slučaj derivabilnih funkcija f i g u točki x = c. Koristimo Taylorovu formulu za f i g. f(x) g(x) = f(c) + f (c)(x c) + (x c)r 1f (x) g(c) + g (c)(x c) + (x c)r 1g (x) Kako je, zbog neprekidnosti, f(c) = g(c) = 0, imamo f(x) g(x) = f (c) + r 1f (x) g (c) + r 1g (x) Uzevši lim x c na obje strane ove jednakosti, dobivamo L Hospitalovo pravilo. + 48 }

PRIMJERI 1. lim x 1 x 3 3x + 2 x 4 4x + 3 = = lim x 1 3x 2 3 4x 3 4 = { } 0 0 { } 0 0 = lim x 1 6x 12x 2 = 1 2 2. lim x 0 x ln x = {0 } = lim x 0 ln x 1 x = { } = lim x 0 1 x 1 x 2 = lim x 0 ( x) = 0 3. lim x + lim x e x x = { + + e x x = { 0 } } = lim x + = 0 e x 1 = + + 49

PRIMJENA DERIVACIJA NA ISPITIVANJE TOKA I GRAFIČKO PREDOČAVANJE FUNKCIJA JEDNE VARIJABLE Graf funkcije y = f(x) je skup točaka Γ(f) = {(x, f(x)) : x D(f)}. Da bi ispitali tok ili grafički prikazali funkciju y = f(x), odredujemo: 1. Područje definicije (domenu). 2. Karakteristične pravce (asimptote). 3. Karakteristične točke (nul-točke, ekstreme, točke infleksije). 4. Karakteristična područja (područja na kojima funkcija ima odredena svojstva: područja rasta, pada, konveksnosti, konkavnosti). + 50

ASIMPTOTE Asimptota je pravac sa svojstvom da udaljenost izmedu njega i grafa funkcije teži nuli što se više udaljujemo od ishodišta. Dakle, pravac p je asimptota funkcije f ako vrijedi lim x + f(x) d ( T (x, f(x)), p ) = 0, gdje d označava udaljenost dviju točaka. Razlikujemo uspravne (vertikalne, okomite), vodoravne (horizontalne) i kose asimptote. Uspravna asimptota: skica... p... x = a, T... (x, f(x)). d(t, p) = x a 0 za x + f(x) x a i f(x) Dakle, pravac x = a je uspravna asimptota funkcije y = f(x) ako vrijedi lim x a f(x) = (ili ). Napomene: Točka a je točka prekida ili rub domene. Umjesto x a dovoljno je x a+ ili x a. + 51

Vodoravna asimptota: skica... p... y = b, T... (x, f(x)). d(t, p) = f(x) b 0 za x + f(x) f(x) b i x Dakle, pravac y = b je vodoravna asimptota funkcije y = f(x) ako vrijedi lim x f(x) = b ili lim x f(x) = b. Kosa asimptota: skica... Koristimo formulu za udaljenost točke T (x 0, y 0 ) od pravca p... Ax + By + C = 0, d(t, p) = Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2. + 52

p... y = kx + l, k 0, d(t, p) = kx f(x) + l k 2 + 1 T... (x, f(x)). 0 za x + f(x) x, f(x). Dakle, za Isto tako lim [kx f(x) + l] = 0, x lim [f(x) kx] = l. x lim x x [ k f(x) x + l x ] } {{ } 0 = 0. imamo f(x) Budući da l/x 0, imamo lim x x = k. Dakle, pravac y = kx + l je kosa asimptota funkcije y = f(x) ako vrijedi ili lim x f(x) x lim x... = k, lim [f(x) kx] = l, x + 53

PRIMJER Odredite asimptote funkcije f(x) = 3x2 x 2 4. Rješenje: x 2 4 = 0 x = ±2 D(f) = R\{ 2, 2}. Uspravne asimptote se mogu pojaviti jedino u točkama prekida x = ±2. Imamo lim x 2 3x 2 x 2 4 = { 12 0 } =, 3x 2 { } 12 lim x 2 x 2 4 = =, 0 pa su x = 2 i x = 2 uspravne asimptote. Vodoravne asimptote: lim x 3x 2 x 2 4 = { } Isto dobijemo i za x. 6x = lim x 2x = 3. Dakle, pravac y = 3 je vodoravna asimptota na obje strane (za x i za x ). Kosih asimptota nema jer ima vodoravnu. + 54

PODRUČJA RASTA I PADA Definicija: Funkcija y = f(x) je monotono rastuća na intervalu I = a, b ako vrijedi x 1, x 2 I, x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Ako u ovoj definiciji znak možemo zamijeniti sa < kažemo da je funkcija (strogo) rastuća. Skica... Ovom definicijom dani su potrebni (nužni) uvjeti za rast funkcije. Ako je funkcija derivabilna na I, tada svojstvo rasta možemo izraziti pomoću derivacije. Teorem: Za funkciju f C 1 (I) vrijedi f je monotono rastuća na I f (x) 0, x I. + 55

Dokaz: : Pretpostavljamo da je f monotono rastuća na I. Računamo derivaciju u proizvoljnoj točki x I. Kako je to je x 2 {}}{ = f( x + h) f( h x 1 {}}{ x 1 x ) {}}{ x 2 = f( {}}{ x ) f( x + h) h f (x) = lim h 0 0. 0 za h > 0 0 za h < 0, : Pretpostavljamo da je f (x) 0, x I. Uzmimo proizvoljne x 1, x 2 I, x 1 < x 2 i primijenimo teorem srednje vrijednosti na interval [x 1, x 2 ], f(x 2 ) f(x 1 ) = f (c) }{{} 0 (x 2 x 1 ), c x 1, x 2. } {{ } >0 Slijedi f(x 2 ) f(x 1 ) 0, odnosno f(x 2 ) f(x 1 ), pa je funkcija monotono rastuća. + 56

Slično tome imamo: Definicija: Funkcija y = f(x) je monotono padajuća na intervalu I = a, b ako vrijedi x 1, x 2 I, x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Zamijenimo li sa > imamo (strogo) padajuću funkciju. Skica... Teorem: Za funkciju f C 1 (I) vrijedi f je monotono padajuća na I f (x) 0, x I. Time smo dobili operativni kriterij (dovoljne uvjete) za odredivanje područja rasta (sve točke x za koje je f (x) > 0) i područja pada (sve točke x za koje je f (x) < 0). Točke za koje je f (x) = 0, a koje mogu pripadati jednom i drugom području, promatrat ćemo zasebno. Područja rasta i pada zajedničkim imenom nazivamo područja monotonosti funkcije. + 57

PRIMJER Odredite područja monotonosti funkcije f(x) = ln x x. Rješenje: D(f) = 0, + (područja se nalaze unutar domene!!) f 1 (x) = x x ln x 1 x 2 = 1 ln x x 2 Područje rasta: f (x) > 0 1 ln x > 0 ln x < 1 x < e = 2.7182... P rasta = 0, e. Slično za područje pada: f (x) < 0... x > e P pada = e, +. Napomena: dovoljno je odrediti jedno od ovih područja, drugo je tada preostali dio domene. + 58

PODRUČJA KONVEKSNOSTI I KONKAVNOSTI Definicija: Funkcija y = f(x) je konveksna na intervalu I = a, b ako za sve x 1, x 2 I vrijedi ( ) x1 + x f 2 f(x 1) + f(x 2 ). 2 2 Ako u ovoj definiciji znak možemo zamijeniti sa < kažemo da je funkcija strogo konveksna. Analogno definiramo i konkavnost ( ). Skica... Vidimo da je funkcija konveksna na I ako se spojnica bilo koje dvije točke njenog grafa nalazi iznad grafa (za konkavnu ispod grafa). Može se pokazati da za funkciju klase C 2 (I) svojstvo konveksnosti možemo izraziti pomoću druge derivacije. Teorem: Za funkciju f C 2 (I) vrijedi f je konveksna na I f (x) 0, x I. Slično za konkavnost ( ). + 59

Napomena: navedena područja tražimo rješavajući nejednadžbe f (x) > 0 i f (x) < 0, a točke f (x) = 0 ćemo promatrati zasebno. PRIMJER Odredite područja konveksnosti i konkavnosti funkcije f(x) = e x2. Rješenje: D(f) = R, f (x) = 2 x e x2, f (x) = (4x 2 2) e x2. Područje konveksnosti: f (x) > 0 4x 2 2 > 0 x 2 > 1 2 x > 1 2 = 2 2 = 0.7071... 2 2 P konvek. =, 2 2, + Na sličan način dobijemo područje konkavnosti (f (x) < 0...) a koje je sada preostali dio domene, 2 2 P konkav. = 2,. 2 + 60.

EKSTREMI (MINIMUM I MAKSIMUM) Definicija: Neka je I = a, b. Točka x 0 I je točka maksimuma funkcije y = f(x) na I ako vrijedi x I, x x 0 f(x) f(x 0 ). Ako u ovoj definiciji znak možemo zamijeniti sa < kažemo da je x 0 točka strogog maksimuma. Skica... Slično za minimum ( ). Ovom definicijom dani su potrebni (nužni) uvjeti za postojanje ekstrema. Razlikujemo lokalni ekstrem (postoji okolina te točke na kojoj je ona ekstrem) i globalni (na zadanom intervalu području ili na čitavoj domeni). + 61

Dovoljni uvjeti za odredivanje ekstrema derivabilnih funkcija: skica... Ako je x 0 I = a, b točka maksimuma na I tada postoje x 1, x 2 I, x 1 < x 0 < x 2, takvi da funkcija f: raste na x 1, x 0 f (x) 0 za x x 1, x 0, pada na x 0, x 2 f (x) 0 za x x 0, x 2. Ako je derivacija neprekidna, proizlazi da je f (x 0 ) = 0. Vidimo takoder da f (x) pada u okolini točke x 0. To znači da je njena derivacija (ako postoji) negativna, tj. f (x 0 ) < 0. Slično zaključujemo i za minimum. Imamo Teorem: Za funkciju f klase C 2 vrijedi (i) f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) < 0 x 0 je lokalni maksimum, (ii) f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) > 0 x 0 je lokalni minimum. Primijetimo kako uvjet f (x 0 ) < 0 pokazuje da je u okolini maksimuma funkcija konkavna (slično, konveksna u okolini minimuma). + 62

Primijetimo takoder da je ekstrem točka prijelaza sa područja rasta na područje pada ili obratno, dakle, to je točka u kojoj prva derivacija mijenja predznak. Napomena: Ako je i f (x 0 ) = 0, tada potražimo prvu slijedeću derivaciju koja je u točki x 0 različita od nule. Ako je ona parnog reda (4., 6., 8.,...), x 0 je točka ekstrema. Postupak odredivanja ekstrema: 1. Rješavamo jednadžbu f (x) = 0. Njena rješenja su stacionarne točke (kandidati za točke ekstrema). 2. Da bi odredili koji su ekstremi, napravimo tablicu predznaka prve derivacije ili uvrstimo stacionarne točke u drugu derivaciju. 3. Dobivene točke ekstrema uvrstimo u polaznu funkciju. Time dobijemo obje koordinate ekstrema a koje možemo koristiti za crtanje grafa funkcije. + 63

TOČKE INFLEKSIJE Točka x 0 je točka infleksije ili točka prijevoja funkcije f ako postoje točke x 1 i x 2, x 1 < x 0 < x 2, takve da je f strogo konveksna na x 1, x 0 a strogo konkavna na x 0, x 2 ili obratno. Graf funkcije se previja u toj točki. Ako funkcija ima neprekidnu drugu derivaciju na x 1, x 2, tada je f (x) > 0 za x x 1, x 0 i f (x) < 0 za x x 0, x 2 ili obratno. Odavde slijedi da je f (x 0 ) = 0. Kako u točki x 0 druga derivacija mijenja predznak, točka infleksije je točka ekstrema prve derivacije. Dakle, dovoljni uvjeti za funkciju f klase C 3 su f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) 0 x 0 je točka infleksije. Napomena: Ako je i f (x 0 ) = 0, tada potražimo prvu slijedeću derivaciju koja je u točki x 0 različita od nule. Ako je ona neparnog reda (5., 7., 9.,...), x 0 je točka infleksije. + 64

SAŽETAK f(x) > 0... graf iznad osi x f(x) = 0... nul-točke f(x) < 0... graf ispod osi x f (x) > 0... područje rasta f (x) = 0... točke ekstrema f (x) < 0... područje pada f (x) > 0... područje konveksnosti f (x) = 0... točke infleksije f (x) < 0... područje konkavnosti + 65

Ako želimo konstruirati graf funkcije, preporuča se slijedeći redosljed u odredivanju elemenata toka: 1. Domena. 2. Asimptote. 3. Ekstremi (područja rasta i pada). 4. Nul-točke. 5. Točke infleksije (područja konveksnosti i konkavnosti). 6. U svrhu preciznije konstrukcije i/ili kontrole odredujemo vrijednost funkcije u nekoliko, proizvoljno odabranih, točaka iz domene. + 66

PRIMJER Grafički prikažite funkciju f(x) = x 1 + x 2. Rješenje: Domena: 1 + x 2 0 D(f) = R. Asimptote: Uspravnih nema jer je domena R (nema točaka prekida niti rubova domene). Vodoravne... lim x }{{} ili x x 1 + x 2 = { } = lim x }{{} ili x 1 2x = 0, pa je y = 0 (os x) vodoravna asimptota na obje strane (za x i za x ). Kose nema jer ima vodoravnu. + 67

Ekstremi: f (x) = 1 x2 (1 + x 2 ) 2, f (x) = 2x3 6x (1 + x 2 ) 3. f (x) = 0 1 x 2 = 0 x 1,2 = ±1 (stacionarne točke). x = 1: x = 1: f (1) = 1/2 < 0 (maksimum). f(1) = 1/2 max(1, 1/2). f ( 1) = 1/2 > 0 (minimum). f( 1) = 1/2 min( 1, 1/2). P rasta = 1, 1, P pada =, 1 1, +. Nul-točke: f(x) = 0 x = 0. Točke infleksije: f (x) = 0 2x 3 6x = 0 2x (x 2 3) = 0 x 1 = 0, x 2,3 = ± 3. f(0) = 0 I 1 (0, 0), f(± 3) = ± 3/4 I 2,3 = ±( 3, 3/4). + 68

Područja konveksnosti i konkavnosti x 3 0 f (x) + f(x) x 0 3 + f (x) + f(x) P konkav. =, 3 0, 3, P konvek. = 3, 0 3, +. + 69

PRIMJENA DERIVACIJA NA EKONOMSKE FUNKCIJE Promatrajući proces proizvodnje nekog proizvoda, najčešće susrećemo slijedeće funkcije: Funkcija ukupnih troškova T (Q) (ili T (x)), pri čemu je Q (ili x) volumen ili opseg ili količina proizvodnje. Ukupni troškovi sastoje se od fiksnih i varijabilnih. Pri tome su T (0) ukupni fiksni troškovi a T (Q) T (0) ukupni varijabilni troškovi za opseg proizvodnje Q. Funkcija prosječnih troškova po jedinici proizvoda je T = T/Q. Pri tome je udio fiksnih troškova po jedinici proizvoda f = T (0)/Q a preostali dio su varijabilni troškovi po jedinici proizvoda v. Ako je funkcija ukupnih troškova linearna, tada je T (Q) = v Q + T (0). Funkcija graničnih troškova t(q) = T (Q). Ona nam, za zadani opseg proizvodnje, pokazuje za koliko se približno promijene ukupni troškovi ako se opseg proizvodnje poveća za jedinicu. + 70

Funkcija ukupnih prihoda P (Q). Funkcija prosječnih prihoda po jedinici proizvoda je P = P/Q. To je u stvari proizvodačka cijena proizvoda p, a koja općenito ovisi o opsegu proizvodnje, p(q) = P (Q). Funkcija graničnih prihoda P (Q), za zadani opseg proizvodnje, pokazuje za koliko se približno promijeni ukupni prihod ako se opseg proizvodnje poveća za jedinicu. Funkcija dobiti ili profita je razlika ukupnih prihoda i troškova, D(Q) = P (Q) T (Q). Promatrajući tržište, najčešće ćemo susresti funkciju potražnje q 1 (p) i ponude q 2 (p), pri čemu je p prodajna cijena proizvoda. Kažemo da je p 0 tržišna cijena ako su za nju ponuda i potražnja jednake (one su u ravnoteži ili ekvilibriju), q 1 (p) = q 2 (p) p = p 0. Derivacije q 1 (p) i q 2 (p) su stope promjene potražnje i ponude u odnosu na cijenu. Pokazuju nam za koliko se približno promijeni potražnja i ponuda ako se cijena proizvoda poveća za jedinicu. + 71

PRIMJERI 1. Zadane su funkcije ukupnih troškova i u- kupnih prihoda, T (Q) = 2Q + 10, P (Q) = Q 2 + 32Q. Odredite fiksne troškove, funkcije prosječnih i graničnih prihoda i troškova i funkciju dobiti. Rješenje: T (0) = 10 P (Q) = P (Q) Q T (Q) = T (Q) Q = Q + 32 = 2 + 10 Q P (Q) = 2Q + 32 T (Q) = 2 D(Q) = P (Q) T (Q) = Q 2 + 30Q 10 + 72

2. Odredite maksimalni ukupni prihod i maksimalnu dobit za funkcije iz primjera 1. Rješenje: P (Q) = 0 2Q + 32 = 0 Q = 16, P (16) = 256, P (Q) = 2 < 0, D (Q) = 0 2Q + 30 = 0 Q = 15, D(15) = 215, D (Q) = 2 < 0. Maksimalni ukupni prihod iznosi 256 novčanih jedinica i ostvaruje se kod proizvodnje 16 količinskih jedinica proizvoda dok je maksimalna dobit 215 novčanih jedinica kod 15 količinskih jedinica proizvoda. Uočimo da je dobit maksimalna za onaj opseg proizvodnje za koji su granični prihodi jednaki graničnim troškovima. Naime D = 0 P T = 0 P = T. U našem primjeru je 2Q + 32 = 2 itd. + 73

3. Odredite udio fiksnih i varijabilnih troškova po jedinici proizvoda za funkciju prosječnih troškova iz primjera 1 za Q = 1, 5, 10, 25, 50, 100, 1000, 10000, te zatim skicirajte njezin graf. Rješenje: T (Q) = 2 }{{} v + 10 Q }{{} f T (1) = 2 + 10 = 12 T (5) = 2 + 2 = 4 T (10) = 2 + 1 = 3 T (25) = 2 + 0.4 = 2.4 T (50) = 2 + 0.2 = 2.2 T (100) = 2 + 0.1 = 2.1 T (1000) = 2 + 0.01 = 2.01 T (10000) = 2 + 0.001 = 2.001 Što je opseg proizvodnje veći, to je udio fiksnih troškova po jedinici proizvoda manji pa su i troškovi po jedinici proizvoda manji (efekat serijske proizvodnje). Graf T (Q).... + 74

4. Pokažite da su prosječni troškovi minimalni onda kad su jednaki graničnim troškovima. Rješenje: Iz uvjeta ( T ) = 0 slijedi odnosno Q T Q T 1 Q 2 = 0, T Q = T ili T = T Q. + 75

ELASTIČNOST Elastičnost u ekonomiji je sposobnost neke ekonomske veličine da reagira (više ili manje intenzivno) na promjenu neke druge veličine o kojoj ona na bilo koji način ovisi. Veličina je to elastičnija što je reakcija jača. Kao mjeru reakcije uzimamo relativnu promjenu promatranih veličina. Primjer: Cijena proizvoda A je a = 10 kuna a proizvoda B je b = 1000 kuna. Ako jedan i drugi proizvod poskupi za 5 kuna, koji od njih je više poskupio? Apsolutno poskupljenje a = b = 5 kuna je jednako. Relativno poskupljenje je a a = 5 10 = 0.5 = 50%, b b = 5 = 0.005 = 0.5%, 1000 pa je proizvod A poskupio daleko više (100 puta više) od proizvoda B. + 76

Promatrajmo funkciju y = y(x). Mjera elastičnosti je koeficijent elastičnosti E, E = relativna promjena od y relativna promjena od x = y y x x Ovako definirani pojam elastičnosti uveo je Alfred Marshall 1885. godine za funkciju potražnje. Uzmemo li x/x = 1/100 = 1%, bit će E = y y 1 100 = y y 100 (%). Dakle, koeficijent elastičnosti pokazuje za koliko % se promijeni funkcija ako se varijabla, sa neke vrijednosti (razine), poveća za 1%. Ako promatramo male promjene pojedinih veličina, pitamo se što je sa koeficijentom E kada x 0? Imamo lim E = lim x 0 x 0 x y y x = x y y.. + 77

Time smo dobili koeficijent elastičnosti funkcije y u odnosu na varijablu x u točki E y,x = x y y = x y dy dx. Kako je koeficijent elastičnosti neimenovani broj (izražava se u postocima), pogodan je za usporedbu ekonomskih veličina koje pripadaju različitim mjernim sustavima. Napominjemo da osim navedene analitičke metode (formule) postoji i grafička metoda za odredivanje koeficijenta elastičnosti u točki. Ako je E y,x > 1 kažemo da je y elastična veličina u odnosu na x, a ako je E y,x < 1, neelastična. Slično tome imamo E y,x = 1 (jedinično elastična), E y,x = 0 (savršeno neelastična), E y,x = (savršeno elastična). Skup svih točaka u kojima je y elastična čine područje elastičnosti funkcije y. Slično tome imamo i područje neelastičnosti. + 78

PRIMJER Zadana je funkcija potražnje gdje je p cijena. q(p) = 300 p 2, 1. Odredite domenu ove funkcije. Kod ekonomskih funkcija osim općenitih pravila za odredivanje domene, sve varijable su nenegativne ( 0). Imamo p 0 i q 0 300 p 2 0 p 300 = 10 3 = 17.32... Dakle, D(q) = [0, 10 3]. 2. Odredite koeficijent elastičnosti ove funkcije i interpretirajte rezultat na razini cijene p = 5 i p = 15. E q,p = p q q = p q ( 2p) = 2p2 300 p 2. E q,p (5) = 2 11... p = 5 1% q 2 11 %. E q,p (15) = 6... p = 15 1% q 6%. + 79

3. Na kojoj razini cijene je funkcija: (a) jedinično elastična, (b) savršeno elastična, (c) savršeno neelastična? (a) E q,p = 1 2p2 300 p 2 = 1 p = 10, (b) E q,p = 300 p 2 = 0 p = 10 3, (c) E q,p = 0 2p 2 = 0 p = 0. 4. Odredite područja elastičnosti i neelastičnosti funkcije q. Područja se nalaze unutar domene! Područje elastičnosti: E q,p > 1 2p2 300 p 2 > 1 p2 > 100 p > 10 P el. = 10, 10 3 ], pa je P neel. = [ 0, 10. + 80

Svojstva koeficijenta elastičnosti: (y, u, v funkcije, 1. E cy,x = E y,x 2. E uv,x = E u,x + E v,x 3. Eu v,x = E u,x E v,x c konstanta) 4. E y,x = 1 (el. inverzne f.) E x,y 5. E y,x = E y,u E u,x (el. kompozicije y[u(x)] ) Sva svojstva izvode se iz definicije koeficijenta elastičnosti, npr. svojstva 2 i 4: E uv,x = x uv (uv) = x uv (u v + uv ) = x u u + x v v, E y,x = x y dy dx = 1 y x dx dy = 1 E x,y. Koeficijent elastičnosti možemo izraziti i na slijedeći način E y,x = x y dy dx = dy y dx x = d(log a y) d(log a x). + 81

PRIMJER Odredite elastičnost ukupnih troškova T (Q) i prosječnih troškova T (Q) = T (Q)/Q. Rješenje: E T,Q = Q T T = T T Q = T T. Elastičnost ukupnih troškova jednaka je kvocijentu graničnih i prosječnih troškova. E TQ, Q = E T,Q E Q,Q = E T,Q Q Q Q = E T,Q 1. Elastičnost prosječnih troškova je za jedan manja od elastičnosti ukupnih troškova. + 82

ENGELOVI ZAKONI To su zakoni dobiveni empiričkom analizom izdataka iz budžeta prosječnog domaćinstva. Pretpostavljamo da se poveća ukupni prihod domaćinstva i promatramo kako se povećavaju pojedini izdaci. I Engelov zakon: Neka je x prihod (dohodak, budžet) domaćinsta a y izdaci za hranu. Očito je y funkcija od x. Ako prihodi domaćinstva rastu, izdaci za hranu relativno opadaju. ( ) y xy y < 0 x x 2 < 0 xy y < 0 xy < y x y y < 1 tj. E y,x < 1. Izdaci prosječnog domaćinstva za hranu nisu elastični. II i III Engelov zakon: Izdaci domaćinstva za odijevanje (II) i stan (III) približno su jedinično elastični, E y,x 1. IV Engelov zakon: Izdaci domaćinstva za kulturne potrebe su elastični, E y,x > 1. + 83

PRIMJERI 1. Da li funkcija izdataka za hranu y = ax x+b, a, b > 0 potvrduje I Engelov zakon? E y,x = x y y = x ax x+b = x(x + b) ax a(x + b) ax (x + b) 2 ab (x + b) 2 = b x + b. Vidimo da je 0 < E y,x < 1 za sve x > 0, dakle, potvrduje. 2. Za koje vrijednosti dohotka x, funkcija izdataka za kulturne potrebe y = 2 0.05 x2, potvrduje IV Engelov zakon? E y,x = za x > x 2 0.05 20.05 x2 ln 2 0.05 2x x2 = 0.1 ln 2 x 2 > 1 1 0.1 ln 2 = 3.798... + 84

FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Definicija: Neka je D R n = R R... R }{{} n puta Svaku funkciju f : D R nazivamo realna funkcija od n varijabli. PRIMJERI Osnovne računske operacije definiraju funkcije dviju varijabli, z(x, y) = x + y, r(x, y) = x y, p(x, y) = x y, k(x, y) = x y. Pri tome je z, r, p : R 2 R, dok je k : D R gdje je D = {(x, y) R 2 : y 0}. Funkcija s(x, y, z) = x + y + z x 2 + y 2 + z 2 je funkcija tri varijable i D(s) = R 3 \ {0, 0, 0}.. G(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 1 x 2 x 3 7x 2 4 varijable i D(G) = R 4 itd. je funkcija 4 + 85

LIMES I NEPREKIDNOST FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Definicija: Neka je f : D R, D R n. Kažemo da je realni broj L limes funkcije f u točki P 0 R n i pišemo lim f(p ) = L P P 0 ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi 0 < d(p, P 0 ) < δ f(p ) L < ε. Ako je i f(p 0 ) = L kažemo da je f neprekidna u točki P 0. Uočimo da su ovdje točke P i P 0 iz prostora R n, dakle, svaka ima n komponenti. Oznaka d(p, P 0 ) je oznaka za udaljenost tih dviju točaka. Na primjer, za n = 2 je P (x, y), P 0 (x 0, y 0 ) i f(p ) = f(x, y). Tu je sada d(p, P 0 ) = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2, i P P 0 x x 0 i y y 0. + 86

PARCIJALNE DERIVACIJE Promatramo funkciju dvije varijable f(x, y). Ako fiksiramo y tada je f(x, y) funkcija jedne varijable x. Ako fiksiramo x tada je f(x, y) funkcija jedne varijable y. Derivacije tih dviju funkcija nazivamo parcijalne derivacije funkcije f(x, y). Imamo f x (x, y) = lim x 0 f(x + x, y) f(x, y) x, f y (x, y) = lim y 0 f(x, y + y) f(x, y) y Općenito je za f(x 1, x 2,..., x n ) i k = 1,..., n f x k (x 1,... x n ) = lim x k 0 f(x 1,... x k + x k,... x n ) f(x 1,... x n ) x k. Dakle, parcijalna derivacija funkcije po jednoj njenoj varijabli je granična vrijednost kvocijenta parcijalnog prirasta funkcije po toj varijabli i prirasta same varijable kad on teži nuli. + 87.

Po jednoj varijabli deriviramo tako da sve ostale držimo konstantnima. Funkcija n varijabli ima n parcijalnih derivacija (1. reda). Ako tako dobivene derivacije (koje su općenito o- pet funkcije n varijabli) ponovo deriviramo dobijemo parcijalne derivacije drugog reda itd. PRIMJER: Za funkciju f(x, y) imamo slijedeće parcijalne derivacije: f x ili f x ili f x f y ili f y ili f y 2 f ili f x2 xx ili f xx 2 f ili f y2 yy ili f yy 2 f x y 2 f y x ili f xy ili f xy ili f yx ili f yx itd. 1. reda 2. reda + 88

Teorem (Schwarz) 2 f x y = 2 f y x, uz uvjet da su sve navedene derivacije neprekidne u promatranoj točki i njenoj okolini. Općenito, kod parcijalnih derivacija višeg reda nije bitan redosljed deriviranja već samo izbor varijabli po kojima se derivira. PRIMJERI 1. Koliko parcijalnih derivacija trećeg reda ima funkcija f(x, y)? Rješenje: f xxx, f yyy, f xxy = f xyx = f yxx, f xyy = f yxy = f yyx (ukupno 4). + 89

2. Odredite sve parcijalne derivacije prvog i drugog reda za funkciju f(x, y) = x 2 y 3 2x 4 + 5y + xe y 6. Rješenje: f x = 2xy 3 8x 3 + e y f y = 3x 2 y 2 + 5 + xe y f xx = 2y 3 24x 2 f yy = 6x 2 y + xe y f xy = (f x ) y = (f y) x = 6xy 2 + e y 1. reda 2. reda 3. Za funkciju f(x, y, z) = xy z odredite 3 f x y z. Rješenje: f x = y z f xy = zy z 1 f xyz = y z 1 + zy z 1 ln y = y z 1 (1 + z ln y) + 90

HOMOGENE FUNKCIJE Definicija: Funkcija y = f(x 1, x 2,..., x n ) je homogena stupnja homogenosti α ako, za svaki λ R za koji je λ α definirano, vrijedi f(λx 1, λx 2,..., λx n ) = λ α f(x 1, x 2,..., x n ). Ako vrijednosti svih varijabli pomnožimo sa λ, vrijednost funkcije se pomnoži sa λ α. Uzmemo li λ = 1.01 slijedi λ α 1 + 0.01α. Dakle, stupanj homogenosti α pokazuje za koliko se % približno promijeni funkcija ako sve varijable povećamo za 1%. Za α = 1 funkcija je linearno homogena (množi se istim faktorom kao i varijable). Za α = 0 vrijednost funkcije se ne mijenja množenjem varijabli istim faktorom λ. Teorem (Euler) Ako je y = f(x 1, x 2,..., x n ) homogena stupnja α, tada vrijedi x 1 f x 1 +x 2 f x 2 +...+x n f x n = α f(x 1,..., x n ). + 91

PRIMJERI 1. Ispitajte homogenost funkcije f(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 x2 + x 3. Rješenje: f(λx 1, λx 2, λx 3 ) = (λx 1 ) 2 λx2 + λx 3 = λ2 λ x 2 1 x2 + x 3 = λ 3/2 f(x 1, x 2, x 3 ) Funkcija je homogena stupnja homogenosti α = 3/2. 2. Za funkciju iz primjera 1 odredite f f f x 1 + x 2 + x 3. x 1 x 2 x 3 Rješenje: Koristimo Eulerov teorem, x 1 f x1 + x 2 f x2 + x 3 f x3 = 3 2 f(x 1, x 2, x 3 ). + 92

3. Zadana je funkcija ukupnih prihoda P (Q 1, Q 2 ) = 25Q 0.2 1 Q0.6 2 + 4Q 1 Q 0.2 2 gdje su Q 1 i Q 2 proizvedene količine proizvoda 1 i 2. Ako se planira povećanje proizvodnje svakog proizvoda za 10%, za koliko % možemo očekivati povećanje prihoda? Rješenje: Odredimo stupanj homogenosti P (λq 1, λq 2 ) = 25λ 0.2 Q 0.2 1 λ0.6 Q 0.6 2 + 4λQ 1 λ 0.2 Q 0.2 2 = λ 0.8 P (Q 1, Q 2 ) Funkcija je homogena stupnja α = 0.8. +10% +10% Imamo Q 1 1.1Q 1, Q 2 1.1Q 2, dakle λ = 1.1. Ako smo varijable pomnožili sa λ = 1.1, funkcija se pomnoži sa λ 0.8 = 1.1 0.8 = 1.079... = 107.9...% Možemo očekivati povećanje prihoda za oko 7.9%., + 93

DIFERENCIJALI FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Teorem srednje vrijednosti za funkciju dvije varijable f : D R, D R 2 : Neka je A(x 0, y 0 ), B(x 0 + x, y 0 + y) D, tako da je i AB D. Ako f ima neprekidne prve parcijalne derivacije na D, tada postoji bar jedna točka C na dužini AB tako da vrijedi f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) = f f (C) x + (C) y. x y Označimo li dx = x, dy = y (diferencijali nezavisnih varijabli), tada se izraz df = f x dx + f y dy naziva totalni diferencijal prvog reda funkcije f u promatranoj točki. + 94

Općenito, za f(x 1, x 2,..., x n ) je totalni diferencijal prvog reda df = f x 1 dx 1 }{{} + f x 2 dx 2 }{{} p a r c i j a l n i +... + f x n dx n }{{} d i f e r e n c i j a l i Parcijalni (totalni) diferencijali aproksimiraju parcijalne (totalne) priraste funkcije u nekoj točki to bolje što su diferencijali nezavisnih varijabli manji. Diferencijale višeg reda definiramo sukcesivno d 2 f = d(df),..., d n+1 f = d (d n f).. + 95

PRIMJERI 1. Za funkciju z(x, y) = x 2 + 2xy odredite parcijalne i totalne priraste i diferencijale u točki x = 1, y = 2, ako je x = 0.1, y = 0.2. Rješenje: Parcijalni prirasti z(1.1, 2) z(1, 2) = 5.61 5 = 0.61, z(1, 2.2) z(1, 2) = 5.4 5 = 0.4. Totalni prirast z(1.1, 2.2) z(1, 2) = 6.05 5 = 1.05. Parcijalni diferencijali z x dx = (2x+2y)dx = (2 1+2 2) 0.1 = 0.6, z y dy = 2xdy = 2 1 0.2 = 0.4. Totalni diferencijal dz = z x dx + z y dy = 0.6 + 0.4 = 1. Uočimo vezu izmedu pojedinih prirasta i pripadnih diferencijala. + 96

2. Za funkciju f(x, y) odredite d 2 f. Rješenje: Kako je df = f x dx+f y dy, imamo d 2 f = d(df) = (df) x dx + (df) y dy = (f xx dx + f }{{} yx dy)dx (Schwarz) {}}{ + ( f xy dx + f yy dy)dy = f xx dx 2 + 2 f xy dx dy + f yy dy 2 3. Derivacija implicitno zadanih funkcija. Ako je y = y(x) implicitno zadana funkcija jednadžbom F (x, y) = 0, koliko je y? Rješenje: df = 0 F x dx + F y dy = 0 F y dy = F x dx. Dakle Npr. za xe y + y }{{} F (x,y) y = dy dx = F x F y. = 0 je y = ey xe y + 1. + 97

ELASTIČNOST FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Za funkciju y = y(x 1, x 2,..., x n ) definiramo koeficijente parcijalne elastičnosti u odnosu na svaku varijablu posebno E y,xk = x k y y x k, k = 1, 2,..., n. Ako su i funkcija i sve varijable zadane logaritamski, log a y = log a y (log a x 1, log a x 2,..., log a x n ), tada je E y,xk = (log a y) (log a x k ), k = 1, 2,..., n. Za neke ekonomske funkcije, npr. za funkciju potražnje q 1 = q 1 (p 1, p 2,..., p n ), gdje je q 1 potražnja dobra 1, p 1 cijena dobra 1 a p 2,..., p n cijene ostalih dobara koje utječu na potražnju dobra 1, koeficijente E q1,p 2,..., E q1,p n nazivamo još i koeficijenti ukrštene (križne) elastičnosti. + 98

Koeficijent parcijalne elastičnosti E q1,p 1 pokazuje kako reagira potražnja dobra 1 na promjenu njegove cijene. Koeficijenti ukrštene elastičnosti pokazuju kako reagira potražnja dobra 1 na promjenu cijene nekog od ostalih dobara koja na nju utječu. Ako je neki koeficijent ukrštene elastičnosti pozitivan tada su ta dva dobra supstituti, a ako je negativan, komplementi. Ako je y homogena funkcija stupnja α, znamo da vrijedi x 1 y x 1 + x 2 y x 2 +... + x n y x n = α y. Dijeljenjem obiju strana ove jednakosti sa y dobijemo E y,x1 + E y,x2 +... + E y,xn = α. (Eulerov teorem izražen u terminima parcijalnih elastičnosti). + 99

PRIMJERI 1. Za funkciju potražnje q 1 = p 2 2 /p 1 odredite koeficijente parcijalne i ukrštene elastičnosti i interpretirajte rezultate. Rješenje: E q1,p 1 = p 1 q 1 = p 1 q 1 p 1 p 2 2 p 1 ( p2 2 p 2 1 ) = 1, p 1 1%, p 2 = const. q 1 1%. E q1,p 2 = p 2 q 1 = p 2 q 1 p 2 p 2 2 p 1 2p 2 p 1 = 2, p 2 1%, p 1 = const. q 1 2%. Dobra 1 i 2 su supstituti. + 100

2. Odredite koeficijente parcijalne elastičnosti za funkciju log P = log 35 + 0.6 log L + 0.4 log C. Rješenje: E P,L = (log P ) (log L) = 0.6, E P,C = (log P ) (log C) = 0.4. 3. Zadana je funkcija potražnje robe 1 q 1 (p 1, p 2, p 3 ) = 3 p2 2 3p2 1 + p 1p 3 4p 1 (3p 2 p 3 ). Odredite zbroj koeficijenata parcijalne i ukrštenih elastičnosti. Rješenje: Eulerov teorem E q1,p 1 + E q1,p 2 + E q1,p 3 = α = 0. + 101

EKSTREMI FUNKCIJA DVIJE VARIJABLE f : D R, D R 2 Definicija: Točka P 0 D je točka lokalnog maksimuma funkcije f ako postoji okolina točke P 0, Ω(P 0 ) takva da vrijedi P Ω, P P 0 f(p ) f(p 0 ). Za < umjesto imamo strogi maksimum. Slično za minimum ( odnosno >). Pri tome je za okoline točke P 0 R 2 dovoljno promatrati krugove središtem u P 0. Skice... (a) (b) (c) maksimum, minimum, sedlasta točka. + 102

DOVOLJNI UVJETI ZA ODRE-DIVANJE EKSTREMA DIFERENCIJABILNIH FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI Analogija sa jednom varijablom... U točki ekstrema tangencijalna ravnina je paralelna sa x-y ravninom, tj. df = f x dx + f y dy = 0 za sve dx, dy f x = 0, f y = 0. To su potrebni uvjeti prvog reda (ispunjeni u slučajevima (a), (b) i (c)). Dovoljni uvjeti drugog reda: d 2 f < 0 (max), d 2 f > 0 (min). d 2 f = f xx dx 2 + 2 f xy dx dy + f yy dy 2 ( = f xx dx 2 + 2 f ) xy dx dy + f yy dy 2 f xx ( = f xx dx + f ) 2 xy fxy 2 dy f xx f xx fxx 2 dy 2 + f yy dy 2 ( = f xx dx + f ) 2 xy dy + f xx f yy fxy 2 dy 2 f xx f xx + 103

Dovoljni uvjeti: Maksimum... f xx < 0, f xx f yy f 2 xy > 0 Minimum... f xx > 0, f xx f yy f 2 xy > 0 Sedlasta točka... f xx f yy fxy 2 }{{} < 0 Hesseova determinanta: H = Hesseova matrica H = [ H11 H 12 H 21 H 22 ] = f xx f xy [ fxx f xy f yx f yy f xy f yy je matrica drugih parcijalnih derivacija. Kako je H 12 = f xy = f yx = H 21 (Schwarzov teorem), matrica H je simetrična. Dovoljne uvjete možemo izraziti i pomoću nje: Maksimum... H 11 < 0, H > 0 Minimum... H 11 > 0, H > 0 Sedlo... H < 0. Napomenimo da ako je H = 0 tada nemamo nikakav zaključak, u tom slučaju potrebna su dodatna ispitivanja. + 104 ]