Osovi teorije grešaka Pozato je da svakoj fizičkoj pojavi u prirodi možemo pristupiti kvalitativo (opiso). To bi začilo objasiti suštiu same fizičke pojave,ači, uzroke i uslove pod kojima se oa odigrava. Međutim, da bi aše zaje o ekoj grupi fizičkih pojava moglo dobiti auči karakter, sve teorijske hipoteze se moraju proveriti i dokazati eksperimetalim putem. Dakle, kvatitativi ači proučavaja fizičkih pojava je eophoda, jer se jime utvrđuju odgovarajuče zakoitosti između pojediih veličia, i proveravaju teorijske pretpostavke. Da avedemo reči lorda Kelvia: Ja često kažem da oda kada možete meriti oo o čemu govorite i izraziti ga brojevima, vi o tome zate ešto. li kada ga e možete izraziti brojevima, vaše zaje je oskudo i e zadovoljava; oo može biti početak sazaja, ali ste u svojim rasuđivajima jedva dospeli do stupja auke. Dakle, osovi metod sazaja u fizici je eksperimet. Eksperimet se zasiva a mereju. Mereje je upoređivaje vredosti eke fizičke veličie sa drugom količiom iste fizičke veličie koja je uzeta za jediicu mere. Međutim, pri svakom mereju, moramo imati u vidu da apsoluto ikada e možemo odrediti pravu ili stvaru vredost fizičke veličie koju merimo - mi možemo samo proceiti iterval oko eke sredje izmeree vredosti, za koji smo a određeom ivou povereja (sa određeom verovatoćom) siguri da se u jemu alazi stvara ili prava vredost. Najčešće se sredja izmerea vredost uzima za ajbolju proceu prave vredosti, pa se rezultat svakog mereja bilo koje fizičke veličie uvek piše u obliku obostraog itervala oblika ( ± ) gde je sredja izmerea vredost, a apsoluta greška mereja (može biti i slučaja ili ukupa!). Sredja vredost se običo lako alazi, dok je problem u alažeju vredosti greške mereja, odoso u određivaju širie datog itervala u kome treba da se alazi prava vredost. Sve greške koje pri ekom mereju možemo apraviti možemo podeliti u tri grupe: grube greške - gruba odstupaja, a primer, pogrešo očitavaje vredosti sa istrumeta. Oe su ajčešće posledica epažje eksperimetatora i aravo, isu dozvoljee. sistematske greške - greške koje se javljaju kao posledica esavršeosti istrumeta kojim se vrši mereje. Svaki istrumet ima jedu karakteristiku - klasu tačosti a osovu koje se može odrediti koliku sistematsku grešku pravi. Međutim, kasije ćemo videti da postoje i druge metode za proceu sistematskih grešaka, kada se upozamo sa pojmovima direktih i idirektih mereja. slučaje greške - greške koje se uvek javljaju, imaju slučaja karakter, i e mogu se otkloiti čak i kada bi smo koristili idealo tače istrumete! Za proceu slučajh grešaka koriste se Gausova (za veći broj mereja) i Studetova raspodela verovatoće, o da bi smo jih procejivali trebalo bi da imamo ekoliko desetia mereja, ili više. Slika. Odos sistematske i slučaje greške u zavisosti od tačosti mereja.
Greške sa kojima ćemo se mi ovde baviti su sistematske greške. Podrazumevaćemo da grubih grešaka ema, a zbog majeg broja mereja, zaemarivaćemo slučaje. Razlikovaćemo apsolutu i relativu sistematsku grešku. psoluta greška ekog mereja se običo defiiše kao apsoluto odstupaje vredosti tog mereja od sredje vredosti: i ko imamo veći broj mereja, i svako ima svoju sistematsku grešku, za koaču sistematsku grešku uzimamo ajveće od pojediačih odstupaja i i ma Relativa greška se defiiše kao odos apsolute greške i sredje vredosti, i običo se izražava u procetima: 00% δ Ovo su defiicije koje se mogu aći u većii kjiga, o praksa pokazuje da postoje različite metode određivaja apsolutih, a samim tim i relativih grešaka, u zavisosti od vrste mereja i ačia a koji se oo vrši. Direkta i idirekta mereja Po ačiu a koji se dolazi do vredosti meree fizičke veličie, sva mereja možemo podeliti a direkta i idirekta. Direkto mereje je mereje pri kom, kako mu samo ime kaže, direkto očitavamo vredost fizičke veličie sa odgovarajućeg aalogog ili digitalog istrumeta. Na primer, temperaturu ekog tela direkto očitavamo sa termometra, jačiu struje u ekom kolu direkto očitavamo sa ampermetra, vreme za koje se eko telo kreće direkto merimo hroometrom (štoperica) itd. Idirekto mereje je mereje pri kom vredost eke fizičke veličie određujemo posredim putem - preko eke formule koja je povezuje sa drugim veličiama koje običo merimo direktim putem. Na primer, ako bi smo određivali ubrzaje sile Zemljie teže matematičkim klatom, merili bi smo period oscilovaja i jegovu dužiu. Za određivaje perioda merili bi smo vreme oscilovaja dok klato e apravi oscilacija, pa bi smo oda ubrzaje teže alazili po odgovarajućoj formuli: t T, T l l l π, > g 4π 4π g T t Tada kažemo da ubrzaje sile teže merimo idirektim putem. Nači a koji određujemo apsolutu i relativu grešku zavisi od toga da li fizičku veličiu merimo direktim ili idirektim putem. ko veličiu određujemo idirektim putem, oda jea sistematska greška zavisi od sistematskih grešaka svih direkto mereih veličia pomoću kojih se oa određuje. Sada ćemo objasiti metod alažeja sistematskih grešaka kod svake vrste mereja.
psoluta i relativa greška direkto meree veličie Vredost eke fizičke veličie možemo direkto meriti jedom, ili više puta. ko merimo samo jedom, oda apsolutu grešku veličie možemo odrediti a dva moguća ačia: Za apsolutu grešku možemo uzeti ili ceo ajmaji podeok, ili poloviu ajmajeg podeoka a odgovarajućem istrumetu (da li se uzima ceo podeok ili polovia zavisi od procee eksperimetatora, a osovu veličie sredje vredosti), i Koristeći klasu tačosti istrumeta k, apsolutu grešku račuamo po obrascu: k ma 00 gde je ma maksimala vredost koja se datim istrumetom može izmeriti (praktičo meri opseg istrumeta). Ovaj obrazac ije jedistve, i običo se koristi za aaloge istrumete. Preporučljivo je da se direkto mereje eke veličie vrši veći broj puta, jer se tada može pomoću sredje vredosti izvršiti ajbolja procea prave vredosti meree veličie: i i gde je broj mereja, a i pojediače vredosti dobijee tokom mereja. Svaka vredost ima eko svoje apsoluto odstupaje - apsolute greške pojediačih mereja:,,... Tada za koaču apsolutu grešku mereja uzimamo maksimalo od gore avedeih odstupaja, dakle i rezultat zapisujemo u obliku i ( ± ) Na primer, ako smo metarskom trakom tri puta merili dužiu ekog tela, i dobili pojediače vredosti l 39, 9cm, l 40, 0cm, l 40, cm 3 sredja vredost je l + l + l3 l 40, 0cm 3 apsoluta odstupaja su l 39,9 40,0 cm 0,cm l 40,0 40,0 cm 0cm l 40, 40,0 cm 0,cm pa je apsoluta greška 3 ma l lma 0, cm i rezultat zapisujemo u obliku l ( 40,0 ± 0,)cm Ovde je bito apomeuti da sredja vredost i apsoluta greška trebaju biti izražee sa istom tačošću, odoso sa istim brojem začajih cifara (to praktičo ajčešće zači sa istim brojem decimala). Kasije ćemo reći ešto o pravilima zaokruživaja i pojmu začaja cifra. 3
psoluta greška idirekto meree veličie Neka se eka veličia y određuje idirekto, a osovu direkto mereih veličia,,..., po ekoj formuli y f,,... ) ( Samo ćemo avesti opštu formulu za određivaje sistematske greške, a oda ćemo objasiti alterativi metod jeog alažeja: y y + y y y +... + i () i i lterativi metod: Za objašjeje alterativog metoda ajbolje je poslužiti se kokretim primerom eke zavisosti. Neka to bude zavisost ubrzaja teže od dužie matematičkog klata i vremea jegovog oscilovaja, u već avedeom eksperimetu određivaja ubrzaja teže pomoću matematičkog klata: 4π l g t ko imamo apsolute greške za vreme oscilovaja i dužiu klata, apsolutu grešku za g alazimo iz tri koraka: ) Logaritmovaje odgovarajuće zavisosti prirodim logaritmom l. Logaritmovajeg gorje jedakosti dobijamo: l g l 4 + lπ + l + ll lt ) Difereciraje tako dobijee jedakosti. d Kako je d (l ), i kako je diferecijal zbira jedak zbiru diferecijala, diferecirajem gorja jedačia dobija oblik: dg d4 dπ d dl dt + + + g 4 π l t Takođe, kako je diferecijal kostate jedak uli, j-a dobija prostiji oblik: 4 dg g dl l 3) Zamea diferecijala u svakom izrazu sa i prebacivaje svih miuseva u pluseve. Naime, diferecijal eke fizičke veličie u fizici predstavlja jako malu promeu jee vredosti - je jako mali priraštaj, za eki beskoačo mali iterval vremea. Kako su sva mereja vršea za eko koačo vreme, sve diferecijale zamejujemo apsolutim greškama direkto mereih veličia. Takođe, u osovi mi e zamo kako greške pojediih direkto mereih veličia utiču a grešku idirekto meree vredosti. li, s obzirom a čijeicu da mi samo procejujemo iterval oko sredje vredosti u kome pretpostavljamo da se (sa određeom verovatoćom) alazi prava vredost, oda trebamo posmatrati ajgori simultai uticaj grešaka svih direkto mereih veličia, u smislu da svaka greška utiče a povećaje sistematske greške idirekto meree veličie. Tako ćemo dobiti maksimali mogući iterval, u kome će aravo biti i ajveća verovatoća alažeja prave vredosti. Iz tog razloga su, u ostalom, i svi parcijali izvodi u j-i () u apsolutim zagradama - da bi se obezbedila jihova pozitivost i sabiraje svih grešaka! dt t
Na osovu svega avedeog, dobićemo jedačiu sa relativim greškama oblika g l t + g l t i ako smo izračuali sredju vredost, apsolutu grešku alazimo po obrascu l t g g + l t Po jedačii (), ali i po alterativoj metodi mogu se odrediti izrazi za apsolutu i relativu grešku bilo koje zavisosti. Najbitiji izrazi su avedei u priložeoj tabeli. Tabela. psolute i relative greške ekih zavisosti I koačo, bito je apomeuti da se vredost veličie i jea greška ovako određuju jedio ako se u eksperimetu e crta grafik. Međutim, ako se u eksperimetu crta grafik, oda se vredost veličie i jea greška određuju sa eke od karakteristika grafika, da bi precizost bila što je moguće veća. Najlakše je raditi sa graficima liearih fukcija, o jaso je da zavisost između mereih veličia e mora biti takva. U tom slučaju, eku eliearu zavisost možemo svesti a liearu postupkom koji se sastoji u pravilom i promišljeom odabiru ooga što ćemo aostiti a koordiatim osama - liearizacijom grafika. Prema tome, pre o što se upozamo sa crtajem grafika i odgovarajućim pravilima, moramo se podsetiti lieare zavisosti o a kokretom primeru objasiti postupak liearizacije. Liearizacija grafika Primer određivaja ubrzaja sile teže matematičkim klatom koji smo odabrali u prethodom odeljku takođe je jako pogoda za objašjavaje pojma liearizacije. Pozato je da se u eksperimetu crta grafik zavisosti T f ( l), i da se ubrzaje sile teže određuje iz koeficijeta pravca tog grafika: l T 4π <> y k g k 4 π 4, > g π g k ko bi smo crtali grafik zavisosti perioda od dužie klata, grafik bi bio parabola, sa koje bi smo teško odredili ubrzaje sile teže, dok je grafik zavisosti T f ( l) lieara prava. Dakle, 5
liearizacija eke zavisosti predstavlja samo pravila odabir veličia koje ćemo aositi a apscisu i ordiatu. Lieara fukcija i je grafik Opšti ekspliciti oblik lieare fukcije y f () je: y k + gde je k koeficijet pravca a odsečak a y-osi. ko je koeficijet pravca pozitiva, fukcija ima rastuće, a ako je egativa opadajuće poašaje, kao a aredim slikama (a i b): Slika. y y k + k > 0 a) b) y y k + k < 0 Jako često je dobro pozavati i segmeti oblik jedačie prave, zato što se poekad tražea veličia može određivati i sa jedog od odsečaka a osama! Segmeti oblik se lako dobija iz eksplicitog: y y k + y, +, + m k odavde se može videti da je odsečak a -osi m / k, a a y-osi. Koeficijet pravca prave predstavlja tages agibog ugla te prave sa -osom, i ajlakše se određuje odabirom dve tačke i sa prave, kao a slici 3. Slika 3. Određivaje koeficijeta pravca prave Koeficijet pravca se lako određuje iz odgovarajućeg pravouglog trougla: k tgα y y Naravo, koordiate tačaka i direkto očitavamo sa grafika, tako da ovakvo određivaje koeficijeta pravca spada u idirektu metodu. Ta čijeica je bita zbog ačia određivaja jegove greške. Do sada smo govorili o idealoj, matematičkoj liearoj fukciji. Međutim, kada u eksperimetu izvršimo eka mereja, i eksperimetale tačke aesemo a grafik, oe siguro eće pripadati jedoj ovakvoj pravoj, već će se, zbog slučajih grešaka, javiti određea odstupaja, kao a slici 4. Slika 4. Eksperimetali podaci sa statističkom liearom zavisošću i regresioa prava 6
Naš zadatak je da a osovu eksperimetalih tačaka ađemo liearu pravu koja a ajbolji ači opisuje datu liearu zavisost. Takva prava se aziva regresioa prava, a metod određivaja jee jedačie metod ajmajih kvadrata. Ovde se ećemo upuštati u detalju aalizu metoda ajmajih kvadrata, već ćemo samo objasiti jegovu ( yi suštiu, koja se sastoji u sledećem: i Regresiou pravu treba kostruisati tako da je zbir kvadrata odstupaja svih eksperimetalih tačaka od je miimala. Odoso, da je algebarski zbir odstupaja miimala. Pod pojmom algebarski zbir podrazumeva se čijeica da eka y) mi odstupaja ulaze sa predzakom + a eka sa predzakom -. Odstupaja oih tačaka koje su izad regresioe prave Slika 5. možemo po dogovoru uzimati za pozitiva, a odstupaja tačaka ispod prave za egativa. Drugim rečima, zbir odstupaja svih tačaka izad i ispod prave treba da budu što približiji. Na slici 5. prikazaa su odstupaja eksperimetalih tačaka od eke prave. Na ovakvom grafiku koeficijet pravca alazimo a već objašje ači - biramo dve proizvolje, eeksperimetale tačke i. Tačka običo se bira između prve i druge, a tačka između pretposledje i posledje eksperimetale tačke. Greška koeficijeta pravca se alazi a ači a koji se traži greška idirekto meree veličie: k y y l k l( y y ) l( ) (. korak) dk d( y y ) d( ) (. korak) k y y k k + y + y l + y y (3. korak) Posledja jedačia je jedačia koja se može koristiti kao gotova, i predstavlja obrazac za relativu grešku koeficijeta pravca. Koordiate,, y i y očitavamo direkto sa grafika, a jihove apsolute greške koje figurišu u brojiocima možemo procejivati a dva ačia: ko svaka eksperimetala tačka ima svoju grešku po - osi i po y - osi, oda se za apsolutu grešku tačke i (bilo koje koordiate) uzima jeda od apsolutih grešaka susedih tačaka - uvek se uzima oa koja je veća! ko eksperimetale tačke emaju apsolute greške po jedoj od osa, oda za apsolute greške tačaka i (po toj osi) treba uzeti vredost ajmajeg podeoka a toj osi (jeu razmeru). Odsečci a osama se direkto očitavaju sa grafika, a jihove apsolute Slika 6. greške se takođe mogu procejivati a dva ačia: Za apsolutu grešku odsečka a ekoj od osa možemo uzeti ajveću od apsolutih grešaka svih eksperimetalih tačaka po toj osi Možemo aći tzv. ajhorizotaliji i ajvertikaliji položaj prave, takve da prava još uvek prolazi kroz itervale grešaka svih eksperimetalih tačaka. Ta dva graiča položaja regresioe prave će a koordiatim osama odsecati određee dužie, koje možemo uzeti za sistematske greške odsečaka a tim osama, kao a slici 6. 7
Pravila za crtaje grafika S obzirom a čijeicu da se tražea veličia ajčešće izračuava iz eke od karakteristika grafika (koeficijeta pravca, odsečaka a osama...) jaso je da je jako bito tačo acrtati grafik. Za to služe tzv. pravila za crtaje grafika. Njih ima više, mada ćemo ovde apomeuti samo oa ajbitija: Grafik se crta isključivo a milimetarskom papiru, formata 4, običom olovkom. Grafik mora imati aziv (Grafik zavisosti... od...) i a osama moraju biti obeležee veličie čije se vredosti aose, sa azakom jediica u uglastim zagradama. Kada crtamo grafik, biramo takvu razmeru da ajveći deo raspoloživog prostora a milimetarskom papiru bude iskorišće. Međutim, pri odabiru razmere treba biti pažljiv, jer isu sve razmere dozvoljee! Nedozvoljee razmere su oe koje podrazumevaju da vredost jedog milimetra a osi ije koača broj. Tada se pri aošeju vredosti fizičke veličie a odgovarajuću osu mora vršiti zaokruživaje, a time se pravi greška. Dozvoljee razmere su oe pri kojima vredost jedog milimetra a grafiku izosi: 0,005, 0,004, 0,05, 0,00, 0,00, 0,05, 0,04, 0,05, 0,0, 0,0, 0,, 0,0, 0,05, itd. jediica veličie koju aosimo a datu osu. Odoso, jediica veličie koju aosimo može biti predstavljea sa,,,5, 5, 0, 0, 5, 50, 00 milimetara itd. Razmere :3, :6, :7, :9, : itd. isu dozvoljee. Pri tom, razmera :4 je dozvoljea, ali je treba izbegavati. Na koordiate ose se aose samo ekvidistate vredosti, ajbolje celobroje, a ikako vredsoti eksperimetalih tačaka (osim ako se aravo eksperimetala e poklopi sa celobrojom). To su tzv. uporede tačke. Koga iteresuje kolika je vredost koordiate eke od eksperimetalih tačaka, oe je lako može očitati sa grafika. Ovo pravilo se primejuje radi pregledosti grafika. Eksperimetale tačke se a grafik aose različitim simbolima - u obliku krstića, kvadratića, kružića, malih trouglova itd. No ajbolji je metod krstića, jer o omogućuje da se a grafiku sa svakom eksperimetalom tačkom aesu i jee apsolute greške po svakoj od osa. Na slici 7. prikazaa je jeda uvećaa eksperimetala tačka, i fizička suštia krakova krstića. Oi predstavljaju apsolute greške, dok koordiate cetra krstića predstavljaju sredje vredosti eksperimetale tačke po -osi i po y-osi. Slika 7. Greške eksperimetalih tačaka se a grafik e aose samo ako su jihove vredosti maje od vredosti jedog milimetra a odgovarajućoj osi (razmere). Poekad je bolje da a grafiku preseci koordiatih osa e budu u koordiatom početku, odoso da jeda od osa e počije od ule. Na primer, ako se vredosti eksperimetalih tačaka a ekoj od osa kreću recimo u itervalu 360-370 (jediica veličie), jaso je da je bolje da ta osa e polazi od ule, već od recimo 358. podeoka itd. Međutim, pri ovome je potrebo biti pažljiv, jer to ekada može dovesti do grube greške. Na primer, ako se treba odrediti odsečak a jedoj osi, druga mora polaziti od ule! Na grafiku se e povlače bilo kakve liije od aetih tačaka do koordiatih osa! Na aredoj slici je prikaza grafik kod koga su ispoštovaa sva avedea pravila. 8
9
Pojam sigurih i esigurih cifara U jedom od prethodih odeljaka rečeo je da se sredja vredost i apsoluta greška zapisuju sa istom tačošću, odoso sa istim brojem sigurih cifara. psolute greške mogu da utiču samo a izvesta broj cifara u broju kojji predstavlja rezultat mereja. Tako a primer, ako je rezultat mereja eke veličie (,336 ± 0,00) oda ova greška može da izmei samo krajju cifru, odoso 6, dok ostale cifre,33 ostaju epromejee. Dakle, ako mereje poovimo više puta, cifre,33 se eće mejati. Ove cifre koje se e mejaju ma koliko puta poavljali eksperimet azivaju se sigure (tače) cifre. Oe cifre u rezultatu koje se mogu promeiti u zavisosti od apsolute greške i broja poavljaja eksperimeta, azivaju se esigure (sumjive) cifre. Pri izražavaju rezultata mereja, uobičaje je ači pisaja koji daje mogućost da se odmah ocee graice u kojima se greška kreće. Ovo se postiže tako što se pišu sve sigure cifre i samo jeda, prva od esigurih. ko je apsoluta greška veća od reda veličie te esigure cifre, ta esigura cifra se e piše. Na primer, ako je eka dužia data u obliku 6,45cm, podrazumevamo da su 6,4 sigure cifre, a 5 je esigura, pa odmah procejujemo da je red veličie apsolute greške 0,0cm. Na osovu ovoga, postoje dva ekvivaleta ačia zapisa rezultata mereja, što se može videti iz aredog primera: (,456 ± 0,0004)cm ili,456(4) cm Zaokruživaje sredjih vredosti Primeri: ko je prva cifra koja se odbacuje 0,,, 3 ili 4, posledja zadržaa cifra se e meja ko je prva cifra koja se odbacuje 6, 7, 8 ili 9, posledja zadržaa cifra se povećava za jeda ko je prva cifra koju treba odbaciti 5, a iza je ima još cifara koje su različite od ule, tada se posledja zadržaa cifra povećava za jeda. ko je prva cifra koju treba odbaciti 5, a iza je ema više cifara ili su sve ule, tada se zadja cifra koja ostaje uvećava za jeda ako je epara, a e meja ako je para. 0,006385 7,43876 7,44 (drugo pravilo) 0,0855 3 0,0063 6,3 0 (prvo pravilo) 0,09,9 0 (treće pravilo) 0,0855 5,485 5,48 (četvrto pravilo, drugi slučaj) 0,086,86 0 (četvrto pravilo, prvi slučaj) U praksi prilikom izračuavaja vredosti eke fizičke veličie ajčešće se pojavljuje više od jede račuske operacije. Oda se za sve međurezultate koristi ezaokružea vredost, ili bar zaokružea vredost koja ima jedu začaju cifru više od koačog rezultata! 0
Literatura: () Vlastimir V. Vučić Osova mereja u fizici, eograd 995. () Čedomir. Maluckov, Zora T. Pavlović, Miodrag K. Radović Zbirka zadataka iz obrade rezultata fizičkih mereja, Uiverzitet u eogradu, Tehički fakultet u oru, or 007. (3) S. Vukadiović, Elemeti teorije verovatoće i matematičke statistike, Privredi pregled, eograd 978. (4) G. L. Dimić, M. D. Mitriović Metrologija u fizici, Građeviska kjiga, eograd 99.