Slika Limesi, asimptote i neprekidnost funkcija. Limesi funkcija Zajedni ko svim varijantama esa funkcije je da se opisuju (procjenjuju) vrijednosti zadane funkcije u okolini neke vrijednost varijable. Promotrimo sliku. Za funkciju s te slike, kad su -evi blizu 4, vidljivo je da su f()-evi blizu 3 iako je f( 4) =. S druge strane, kad su -evi blizu, f()-evi su blizu 3 = f( ). Dakle, vrijednosti f() oko neke to ke c iz domene funkcije mogu i ne moraju biti bliske vrijednostima f(c). Nadalje, vidljivo je da nije u domeni funkcije jer ta apscisa nema pridruºene to ke na grafu, ali ipak moºemo identicirati ordinatu 3 kao onu za koju vrijedi da kad je blizu su f()-evi blizu te ordinate. Dakle, ima smisla pitati se kakvi su f()-evi za -eve blizu nekog c ak i ako c nije u domeni od f. Opis pona²anja vrijednosti f()-eva za -eve blizu c zove se es funkcije f u to ki c; ukoliko smo kao u gornja tri slu aja u stanju identicirati ordinatu L takvu da su za -eve blizu c ordinate f() blizu L, kaºemo da taj es postoji i pi²emo c f() = L. Za funkciju sa slike stoga pi²emo: 4 f() = 3, f() = 3, f() = 3. Preciznije, es funkcije f u to ki c je, ako postoji, broj L takav da ²to je bliºi c (ali c), to je f() bliºi L. Dakle, znak f() = zna i da ²to je bliºe, to je f() bliºe. Pritom podrazumijevamo da je, dakle ne zanima nas ²to se de²ava za = (ako je u domeni, to znamo odrediti izra unavanjem f( ),
(a) (b) Slika : Polarne koordinate u ravnini. a ako nije, onda znamo da f( ) ne postoji ), nego kako se funkcija pona²a oko. Uvjet da pitanje koliki je f() ima smisla jest da je funkcija f denirana na nekom intervalu oko (kako bismo se -evima iz tog intervala mogli pribliºiti k i pritom izra unavati f()-eve), osim eventualno u samom. Precizna denicija esa funkcije f u to ki c R glasi: Denicija Neka je f denirana na nekom intervalu I oko c, osim eventualno u c. Kaºemo da f() teºi prema L R kad teºi u c, simboli ki c f() = L, ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 takav da kad je I i 0 < c < δ vrijedi f() L < ε. Ako moºemo odrediti takav realan broj L kaºemo da f ima es u c, a ina e da es od f u c ne postoji. Iznos esa c f() gra ki odrežujemo tako da nažemo ordinatu L (ako se moºe takva na i) sa svojstvom da sve to ke grafa od f za blizu c (osim eventualno to ke s apscisom c) imaju ordinate blizu L. Vrijedi: Teorem Ako postoji broj L takav da je c f() = L, onda je taj broj jedinstven. Primjer Funkcije f() = + i g() = { + 0 4 = 0 imaju isti iznos esa u to ki 0 ( 0 f() = 0 g() = ) iako je f(0) =, a g(0) = 4. Pripadni grafovi vidljivi su na slici. Limesi u to ki ne moraju postojati. Primjer Limes 0 sin ne postoji jer ako je blizu nule i recimo pozitivan, onda je jako velik, a sinusi velikih brojeva se zbog periodi nosti funkcije sinus ne pribliºavaju nekom odreženom broju. Iako se tehnika ra unanja esa esto svodi na uvr²tavanje u f, zapravo sam iznos f( ) ne utje e na iznos esa.
Promotrimo jo² jednom sliku. Za -eve koji su blizu 7 a koji su malo manji od 7 ordinate to aka grafa su blizu, dok su za -eve blizu 7 a koji su malo ve i od 7 ordinate to aka grafa blizu 0. Dakle, es 7 f() za funkciju iji graf je prikazan na slici, no kad bismo se ograni ili na pribliºavanje -eva k 7 samo s jedne strane mogli bismo identicirati po jednu ordinatu koja bi bila es. Takve situacije opisuju se pomo u jednostranih esa.. Jednostrani esi Ukoliko promatramo ²to se de²ava s f() kad su -evi sve bliºi c, ali isklju ivo manji (ili ve i) od c, govorimo o jednostranim esima. Pribliºavanje -eva broju c slijeva ozna avamo s c, a pribliºavanje -eva broju c slijeva ozna avamo s c ribliºavanje -eva broju c zdesna ozna avamo s c+. Limes funkcije f u to ki c slijeva je broj (ako postoji) L = c f() takav da ²to je bliºi c, a da je pritom < c, to je f() bliºi L. Analogno, es funkcije f u to ki c zdesna je broj (ako postoji) L = c+ f() takav da ²to je bliºi c, a da je pritom > c, to je f() bliºi L. Formalnije Denicija Neka je f denirana na nekom intervalu a, c. Kaºemo da je c f() = L, ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 takav da kad je a, c i 0 < c < δ vrijedi f() L < ε. Neka je f denirana na nekom intervalu c, b. Kaºemo da je c+ f() = L, ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 takav da kad je c, b i 0 < c < δ vrijedi f() L < ε. 0. Tako npr. za funkciju iji graf je prikazan na slici pi²emo 7 f() = i 7+ f() = Korisno je znati, a intuitivno je jasno da vrijedi: Teorem Limes c f() postoji ako i samo ako postoje oba jednostrana esa c f() i c+ f() i jednaki su. U tom slu aju vrijedi c f() = c f() = c+ f(). Primjer 3 Neka je e, > 0 f() =, < 0 +, Odredimo jednostrane ese u c = 0 i c =. Imamo: 0 f() =(pravilo lijevo od nule je )= 0 =(za blizu 0 je blizu 0)=0; 0+ f() =(pravilo desno od nule je e )= 0+ e =(za blizu 0 je e blizu )=. Dakle, ne postoji es 0 f() jer se jednostrani esi u nuli razlikuju. f() =(pravilo lijevo od je + )= ( + ) =(za blizu je + blizu )=; + f() =(pravilo desno od je )= + e =(za blizu je blizu )=. Dakle, postoji es f() i jednak je jer su jednostrani esi u jednaki. Odgovaraju i graf prikazan je na slici 3. Uz slu aj kad se lijevi i desni es u to ki c razlikuju, postoji jo² jedna situacija kad ne moºemo na i broj L takav da je c f() = L tj. kad taj es ne postoji. 3
Slika 3 Primjer 4 Za varijable blizu nule vrijednosti funkcije f() = postaju proizvoljno velike - ma koliko velik broj M zamislili, moºemo na i 0 takav da je > 0. Primjerice, za presko iti vrijednost M = 000 moºemo uzeti primjerice = 0, 0 i dobit emo f() = f(0, 0) = 0000 > 000 = M. Za slu ajeve poput gornjeg ve smo ranije naveli da se radi o pojavi vertikalnih asimptota grafa funkcije. Sad emo taj pojam precizirati..3 Vertikalne asimptote i beskona ni esi funkcija Ozna imo: c za c R zna i da se pribliºava broju c; nadalje zna i postaje jako mali (negativan), i to bez preciziranja koliko (proizvoljno mali) - kaºemo i da postaje proizvoljno malen; + zna i postaje jako velik, i to bez preciziranja koliko (proizvoljno velik) - postaje proizvoljno velik. S vertikalnim asimptotama smo se susreli kod racionalnih funkcija te kod logaritamskih funkcija. Tada smo ih opisali kao vertikalne pravce, dakle pravce s jednadºbom oblika = c, 4
koji imaju svojstvo da se graf funkcije oko vrijednosti varijable = c uz njih priljubljuje bez da se s njima poklapa (pri emu funkcija obi no nije denirana u c). Smisao vertikalne asimptote je da je za blizu c vrijednost funkcije postaje jako velika ili jako mala ²to ozna avamo s f() + odnosno f(). Ovakve situacije opisuju se tzv. beskona nim esima (koji su vrsta nepostoje ih esa). Kaºemo da je es funkcije f u to ki c beskona an i pi²emo ili f() = + c f() = c ako vrijedi: ²to je bliºi c (a da je pritom c, to f() postaje neograni eno ve i (slu aj + ) odnosno neograni eno manji (slu aj ). Jednostrani beskona ni esi se deniraju analogno, s tim da gledamo samo da bude ²to bliºi c sa samo jedne strane (samo > c odnosno > c). Denicija 3 (Vertikalne asimptote) Pravac = c je vertikalna asimptota za funkciju y = f() ako je bar jedan od jednostranih esa c f() i c+ f() jednak + ili. Matemati ki precizna denicija beskona nih esa je Denicija 4 (Beskona ni esi) Kaºemo da je c f() = ± (odnosno da je = b VA za f) ako vrijedi: za svaki M > 0 (gornja / donja granica za f() za koju ºeo da se proizvoljno pove ava) postoji δ > 0 takav da kad god je 0 < c < δ ( dovoljno blizu c, ali c) vrijedi f() > M odnosno f() < M. Ideja gornje denicije je idu a: za proizvoljno zadanu granicu vrijednosti za funkciju ( M) moºemo na i interval oko c (²irine δ) takav da uvr²tavanje -eva iz tog intervala u funkciju daje rezultate ve e od M odnosno manje od M. Ponekad se, kao kod funkcije f() =, de²ava da funkcija ima vertikalnu asimptotu, ali se s jedne strane graf priljubljuje uz nju prema gore, a s druge prema dolje. Stoga je potrebno uvesti pojam jednostranog esa tj. esa kod kojeg se varijabla funkcije () nekoj to ki c pribliºava samo slijeva ( c ) ili samo zdesna ( c+). Denicija 5 (Jednostrani beskona ni esi) Kaºemo da je c f() = + ako vrijedi: za svaki M > 0 postoji δ > 0 takav da kad god je c < δ i < c vrijedi f() > M. Kaºemo da je c+ f() = + ako vrijedi: za svaki M > 0 postoji δ > 0 takav da kad god je b < δ i > c vrijedi f() > M. 5
(a) (b) Slika 4: Polarne koordinate u ravnini. Kaºemo da je c f() = + ako vrijedi: za svaki M > 0 postoji δ > 0 takav da kad god je b < δ i < c vrijedi f() < M. Kaºemo da je c+ f() = + ako vrijedi: za svaki M > 0 postoji δ > 0 takav da kad god je b < δ i > c vrijedi f() < M. Kra e: c f() = + ako ²to je bliºi c i pritom je < c, to f() postaje sve ve i. Analogno se mogu opisati ostale tri denicije. Tako je recimo = 0 vertikalna asimptota za f() = jer je jako velik kad je blizu nule i pozitivan, a jako mali kad je blizu nule i negativan: 0 = i 0+ = +. Napomenimo da je mogu e, iako nije uobi ajeno, da funkcija posjeduje vertikalnu asimptotu u to ki domene; takožer postoje funkcije koje imaju vertikalnu asimptotu samo s jedne strane tj. es s druge strane je kona an. Primjeri takvih anomalija prikazani su slikom 4. Od beskona nih esa, dobro je zapamtiti sljede e: 0 0 0+ a = + (n N, a 0), n a = + n (n N, n paran, a 0), a = n (n N, n neparan, a 0), log a = + (0 < a < ), 0+ log a = (a > ). 0+ f() Vrijedi: ako je c f() = a 0 i c g() = 0, onda je c g() kratko zapisuje s a 0 = = ±. To se 6
(za a 0). Nadalje, ako je c f() = a ± i c g() = ±, onda je c f() g() = 0. To se kratko zapisuje s a = 0 (za a ). Oprez: pri kori²tenju ova dva pravila ne smijete misliti da to pravilo zna i da je dozvoljeno dijeljenje s nulom ili s beskona nosti, ve se samo radi o skra enom zapisu jednog svojstva esa. Kod racionalnih funkcija potencijalne vertikalne asimptote odnosno beskona ni esi funkcije mogu se pojaviti u rupama u domeni (nulto kama nazivnika). Vertikalna asimptota = c e se pojaviti to no u onim slu ajevima u kojima je nakon skra ivanja svih zajedni kih faktora brojnika i nazivnika broj b nulto ka nazivnika, ali ne i brojnika. Skra ivanje faktora ( c) iz brojnika i nazivnika pod esom je dozvoljeno jer b (vidi deniciju) te stoga c 0. Ukoliko je c f() = c g() = 0, onda je c f() g() es tipa 0 0 neodrežene izraze. To zna i da kona ni iznos esa c f() g() Primjer 5 Limesi + 0 pravilu ispada: + 0 (jer je + blizu kad je blizu 0), a za drugi imamo koji spada u ovisi o funkcijama f i g. i su oba tipa 0. Za prvi prema gore opisanom 0 = = 0 ( + ) = + = (jer je blizu kad je blizu ). + Vidimo dakle da esi tipa 0 mogu davati razli ite kona ne rezultate. 0.4 Horizontalne asimptote i esi funkcija u beskona nosti S horizontalnim asimptotama susreli smo se kod racionalnih funkcija te kod eksponencijalnih funkcija. Tada smo ih opisali kao horizontalne pravce, dakle pravce s jednadºbom oblika y = L koji imaju svojstvo da se lijevi odnosno desni dio grafa funkcije uz njih sve vi²e priljubljuje ²to smo dalje lijevo odnosno desno. Pod lijevi/desni dio grafa mislilo se: dio grafa koji se odnosi na jako male/jako velike vrijednosti varijable. Iz interpretacije grafa funkcije slijedi i druga iji, ne²to precizniji opis : pravac y = L je horizontalna asimptota funkcije y = f() kad za jako male ili za jako velike vrijedi f() L. U ovom poglavlju formalizirat emo tu deniciju. Ako nas pona²anje funkcije f za jako male ili jako velike vrijednosti varijable, onda govorimo o esima u beskona nosti. Oznaka f() = L + ita se es funkcije f kad teºi u plus beskona nost je L i zna i: ²to je ve i, to je f() bliºi broju L. Skra ivanje razlomka je dijeljenje brojnika i nazivnika istim brojem, dakle moºemo skratiti samo one faktore za koje smo sigurni da nisu jednaki nula. 7
Denicija 6 (Horizontalne asimptote) Pravac y = L je horizontalna asimptota lijevo/desno za funkciju y = f() ako vrijedi + f() = L odnosno f() = L. Matemati ki precizna denicija esa u beskona nosti glasi Denicija 7 (Limesi u beskona nosti) Kaºemo da je f() = L + ako vrijedi: za svaki ε > 0 postoji M > 0 takav da kad god je > M vrijedi Kaºemo da je f() L < ε. f() = L ako vrijedi: za svaki ε > 0 postoji M > 0 takav da kad god je < M vrijedi f() L < ε. U obje denicije smisao broja ε je da opisuje udaljenost f() do L za koju ºeo da bude proizvoljno mala, a da pritom moºemo s oti i dovoljno daleko lijevo / desno (²to je regulirano postojanjem broja M). Moºemo to izre i i druga ije: za proizvoljno zadanu maksimalnu gre²ku aproksimacije (ε) moºemo na i vrijednost varijable (M odnosno M) po ev²i od koje (udesno odnosno ulijevo) aproksimacija vrijednosti f() s L daje gre²ku manju od zadane. Limesi u beskona nosti pojavljuju se primjerice u kemijskoj kinetici, u kojoj se ravnoteºna koncentracija nekog reaktanta ili produkta B esto ozna ava s [B] i pod tim se misli na [B] = t + c B tj. koncentraciju nakon ²to je proteklo jako puno vremena. Od esa u beskona nosti, dobro je zapamtiti sljede e: ± C = C, ± n = 0 (n N), + a = 0 (0 < a < ), a = 0 (a > ). Nadalje, kod racionalnih funkcija lako je odrediti ese u beskona nosti. Ideja postupka je da kad je jako velik (ili jako mali) onda u vrijednosti polinoma dominira vode i lan (primjerice: ako je f() = + 3 + onda za jako velike imamo >> 3 + te je f() ). Stoga imamo ± a n n + a n n +... + a + a 0 b m m + b m m +... + b + b 0 = ± a n n b m m = a n n m. ± b m Posljednji es je 0 ako n < m, a za n = m je jednak an b m. Stoga sve racionalne funkcije kojima nazivnik nema manji stupanj od brojnika imaju horizontalne asimptote (i to istu lijevo i desno). Ako je nazivnik ve eg stupnja od brojnika ta asimptota je -os. 8
Napomenimo da, kao i esi u nekoj to ki c R, esi u beskona nosti takožer ne moraju postojati. Jedan takav slu aj su beskona ni esi u beskona nosti. Ako f() postaje proizvoljno velik (malen) ²to je ve i, pi²emo + f() = + odnosno + f() =. Analogno, f() = L zna i da ²to je manji, to je f() bliºi L. Zadatak Formulirajte rije ima ²to zna e oznake f() = + i f() =. Od beskona nih esa u beskona nosti, dobro je zapamtiti sljede e: ± n = + za paran n, ± n = ± za neparan n, + a = + (a > ), a = + (0 < a < ), log a = + (a > ), + log a = (0 < a < ). + Moºe se desiti i da se es funkcije u beskona nosti ne moºe opisati niti kao beskona an. Primjer 6 Limesi ± cos ne postoje: o ito nisu beskona ni jer kosinus poprima samo vrijednosti izmežu i, a zbog periodi nosti se ne moºe identicirati nikoji broj kojem bi se vrijednosti cos pribliºavale za jako velike ili jako male vrijednosti varijable. Treba biti oprezan i oko pitanja smislenosti ispitivanja nekog (ili oba) beskona na esa. Primjer 7 Nema smisla pitati koliki je i postoji li log a jer nema smisla uvr²tavati nikoje, pa dakle ni jako male, negativne brojeve u logaritam..5 Kose asimptote Ponekad se za graf funkcije moºe uo iti pravac koji nije horizontalan, a ima svojstvo da se graf uz njega priljubljuje sve vi²e ²to su vrijednosti varijable ve e ili manje. Tada govorimo o kosoj asimptoti. Kad e pravac y = k + l biti kosa asimptota za funkciju y = f(), recimo desno? Za po etak, f mora biti denirana do + i ne smije postojati desna horizontalna asimptota (ne smije postojati + f()). šeo da bude f() k + l za jako velike tj. da bude k+ l k i f() k l za jako velike. Stoga imamo f() 9
Denicija 8 (Kose asimptote) Pravac y = k + l je kosa asimptota desno za funkciju y = f() ako vrijedi f() k = + i l = (f() k). + Analogno, pravac y = k + l je kosa asimptota lijevo za funkciju y = f() ako vrijedi i l = k = f() (f() k). Primjer 8 Neka je f : R R, f() = +. Tada je 5 dakle k =. Sad moºemo dalje ra unati (f() k) = ± f() ± = + ± 5 =, ± ( ) + 5 5 + = ± 5 = 5 tj. l = 5. Stoga je pravac y = + 5 kosa asimptota (i lijevo i desno) za funkciju f. Napomenimo da se moºe desiti da se moºe izra unati k, ali ne moºe izra unati l. U tom slu aju naravno nema kose asimptote. Za kraj pri e o pona²anju funkcija u beskona nostima, zaklju imo: horizontalne i kose asimptote, ako postoje, omogu uju aproksimaciju funkcije konstantnom odnosno anom funkcijom. Na jednoj (lijevoj ili desnoj) strani funkcija moºe imati najvi²e jednu asimptotu, dakle ne moºe imati istovremeno horizontalnu i kosu. S druge strane, lijeva i desna asimptota ne moraju se poklapati te imamo sljede e mogu e kombinacije: ˆ Funkcija nema ni horizontalnih ni kosih asimptota; ˆ Funkcija ima samo jednu horizontalnu ili kosu asimptotu za obje strane; ˆ Funkcija ima samo jednu horizontalnu ili kosu asimptotu, ali samo lijevo ili samo desno, a na drugoj strani nema asimptota; ˆ Funkcija ima dvije asimptote, jednu lijevu i jednu desnu, a svaka je ili horizontalna ili kosa. Ni horizontalne ni kose asimptote nema smisla traºiti ako funkcija nije denirana do (tada nema smisla traºiti lijevu) odnosno do + (tada nema smisla traºiti desnu). Specijalno, za dva slu aja naj e² a u primjenama, ako je funkcija denirana na segmentu, ne moºe imati ni horizontalnih ni kosih asimptota, a ako je denirana na 0, + ili na [0, +, onda moºe imati samo desnu horizontalnu ili kosu asimptotu. 0
.6 Svojstva esa i neki vaºni esi Intuitivno je jasno da ako je za blizu c (moºe biti i c = ± ) f() blizu L, a g() blizu L, da je onda i f() ± g() blizu L ± L, f()g() blizu L L i f() g() blizu L L (ovo posljednje naravno samo za L 0 jer su rezultati esa realni brojevi za koje nije dozvoljeno dijeljenje s nulom). Kao i obi no u matematici, svojstva na koja nas intuicija navodi da bi morala vrijediti moraju se dokazati. Vjerovali ili ne, gornja svojstva se stvarno mogu dokazati te vrijedi Teorem 3 Neka postoje c f() i c g(), gdje je c R, c = + ili c =. U tom slu aju postoje i esi c (f() + g()), c (f() g()) i c (f() g()) te vrijedi: i c c c (f() + g()) = f() + g(), c c (f() g()) = f() g(), c c (f() g()) == f() g(). c c Nadalje, ako je c g() 0, postoji i c f() g() i jednak je c f() c g(). Zapravo, ta smo svojstva koristili ve u opisu postupka za ra unanje esa racionalnih funkcija, a slijedi jo² jedan primjer. + Primjer 9 Treba izra unati e 0. Kad je blizu 0, kosinus mu je blizu te je es cos nazivnika. Kad je blizu nule, onda su i blizu nule, a e je blizu te je brojnik blizu 0 + 0 odnosno es brojnika je 0 (kad teºi u nulu). Stoga je + e 0 cos = 0 + 0 = 0. Kako bismo izra unali es 0 sin? Nije primjenjivo nijedno od etiri pravila iz teorema jer u teoremu nije navedeno pravilo za odreživanje esa kompozicije funkcija. No, opet e se potvrditi ²to intuicija nalaºe: kad je blizu 0, onda je sin blizu 0 te je sin blizu 0 = 0 tj. na² es iznosi nula. Moºe se dokazati da vrijedi Teorem 4 Neka postoji es c f() = L i y L g(y) = L. Tada je g(f()) = g( f()) = c c L. Pomo u gornja dva teorema mogu se izra unati mnogi esi, no problemi nastaju ako pravila ne primjenjujemo u skladu s gornjim teoremima tj. ne pazimo na uvjet o postojanju esa. Primjer 0 Neka je f() = sin i g() = sin. Za ± ne postoji niti es ± f() niti ± g(), ali postoji ± f()g() = ± =. Dakle, mogu e je da postoji es produkta iako pojedina ni esi ne postoje (jedan ili oba). Isto vrijedi i za ostala svojstva iz teorema.
Ponekad indirektno moºemo zaklju iti koliki je es, primjenom tzv. teorema o sendvi u. On u biti kaºe da ako znamo da je za -eve iz nekog intervala oko c i ako znamo da je onda je i c Primjer Znamo da je za svaki Stoga je i za sve > 0 ( ) Kako je + = + Analogno bi se vidjelo da je i f() g() h() f() = h() = L, c g() = L. c sin. sin. = 0 slijedi i da je sin + = 0. sin = cos ± = 0. Za izra unavanje raznih esa osobito korisno je znati sljede a tri vaºna esa: ± sin 0 =, e =, 0 ( + ) = e (posljednji es moºe se uzeti kao denicija broja e!). Primjer Izra unajmo 0 cos cos 0 ± sin = = 0 ln( + ) 0 ln(+), 0 ( ) sin 0 4 ( ) = 0 i ± ( +). ( sin ) = =, y = {y = ln( + )} = y 0 e y = =, ( ) ( ) = + ± + = ± ( ( + ) ( ) ( ) ) = e e = e.
.7 L'Hôpital-ovo pravilo 0 0 i. ƒest problem pri izra unavanju esa su tzv. neodreženi izrazi Ti izrazi zovu se neodreženi jer daju razli ite kona ne rezultate ovisno o funkcijama zbog kojih su se pojavili te nije mogu e direktno zaklju iti koji je kona ni rezultat esa. U neodrežene izraze spadaju i 0, +,, 0 0, 0 i jo² neki, no ve ina se uz odrežene manipulacije mogu svesti na tipove 0 0 i. Iako se u nekim slu ajevima, primjerice kod ra unanja esa racionalnih funkcija, dosta lako ispetljati iz problema i izra unati takve ese do kraja, ipak se esto radi o dosta mukotrpnim ra unima koji se obi no mogu izbje i kori²tenjem sljede eg teorema: Teorem 5 (L'Hôpital-ovo pravilo) Neka su oba esa c f() i c g() jednaka f 0 ili su pak oba beskona na. Ako postoji es () c ili ako je jednak ±, te ako je g () g () 0 za -eve iz nekog intervala oko c, onda vrijedi f() c g() = f () c g (). Primjer 3 Limes ln je tipa 0. Primjena L'Hôpital-ova pravila daje: 0 ln = =. f U teoremu uvjet ako postoji je nagla²en, jer postoje situacije kad es () c g () f() postoji, ali ipak postoji es c g(). ne Primjer 4 Poku²aj izra unavanja esa (koji je tipa ) L'Hôpital-ovim pravilom daje: + sin ± + sin ± = ( + cos ). ± +sin Posljednji es ne postoji iako postoji ± i jednak je (jer za jako velike dodavanje sinusa - koji je broj izmežu i - nema bitan utjecaj na es, vrijedi ± = +sin ± = ). Takožer, L'Hôpital-ovo pravilo smije se primjenjivati samo na ese kvocijenata funkcija koji su tipa 0 0 ili. Primjer 5 Imamo = jer je u prirodnoj domeni funkcije kojoj ra unamo 5 4 es. Da smo i²li primijeniti L'Hôpital-ovo pravilo bez provjere uvjeta da se radi o esu tipa 0 ili (a ovdje to nije slu aj) dobili bismo 0 = 5 =. 3
Pomo u L'Hôpital-ova pravila moºemo pokazati da eksponencijalna funkcija s bazom a > brºe raste od svake potencije tj. da vrijedi + n a = 0. Limesi se i u primjenama koriste za procjenu grani nog pona²anja. Primjer 6 Molarni toplinski kapacitet dvoatomnog idealnog plina konstantnog volumena opisan je formulom C V,m = 5 ( ) hν R + e hν/(kt ) kt (e hν/(kt ) ). Pritom su R, h, k i ν konstante. šeo li opisati molarni toplinski kapacitet pri vrlo niskim temperaturama, treba izra unati T 0K+ C V,m tj. ( ( ) ) 5 hν T 0K+ R + e hν/(kt ) kt (e hν/(kt ) ) = ( ( ) ) 5 hν R + e hν/(kt ) T 0K+ kt (e hν/(kt ) ) = Radi lak²eg ra unanja ozna imo = hν. Ako T 0K+, onda + ( ima jedinicu J K kt mol ). Stoga je = 5 R + e + (e ) = (L'Hôpital) = 5 R + ( + )e + e (e ) = = 5 R + + + e = (L'Hôpital) = 5 R + + = (L'Hôpital) = 5 R + + e = 5 R + 0 = 5 R. + e = Dakle, pri vrlo niskim temperaturama molarni toplinski kapacitet dvoatomnog idealnog plina konstantnog volumena iznosi pribliºno, 5R. Zadatak Kakav je molarni toplinski kapacitet dvoatomnog idealnog plina konstantnog volumena za jako visoke temperature? Zadatak 3 Ovisnost koncentracije c produkta C reakcije A + B > C o vremenu u slu aju reakcije drugog reda (prvog u A i prvog u B) dana je formulom c(t) = ab e(b a)kt a be (b a)kt. Pritom je a po etna koncentracija reaktanta A, b je po etna koncentracija reaktanta B, a k je koecijent brzine reakcije (ima pozitivan iznos). Odredite c tj. koncentraciju produkta kad reakcija ode do kraja. Uputa: odvojeno promatrajte slu ajeve a > b, a = b i a < b. Rje²enje: c bit e jednaka manjoj od po etnih koncentracija a i b. 4
.8 Neprekidnost funkcija Na po etku ovog poglavlja, vezano uz sliku, utvrdili smo da kad je to ka u kojoj traºimo es u domeni funkcije, es u toj to ki moºe i ne mora biti jednak vrijednosti funkcije u njoj. Tako smo sa slike utvrdili da je 4 f() = 3 f( 4) = i 7 f() ne postoji, dok je f(7) = 0, a f() = 3 = f( ). Posljednja situacija je e² a, a i ljep²a - sa slike vidimo da pri crtanju grafa prolaskom kroz to ku s apscisom ne moramo podi i ruku s papira odnosno da graf prirodno prolazi kroz odgovaraju u to ku. Takvo svojstvo zove se neprekidnost. Preciznije: Denicija 9 (Neprekidnost) Funkcija f je neprekidna u to ki c svoje domene ako vrijedi c f() = f(c). Ako je c u domeni od f i c f() f(c), onda kaºemo da f u c ima prekid. Funkciju koja je neprekidna u svakoj to ki svoje domene zovemo neprekidnom funkcijom. Uobi ajeno je to ke prekida identicirati kao apscise mjesta na kojima smo pri crtanju grafa morali podi i ruku s papira, no primijetimo da se pitanje (ne)prekidnosti funkcije odnosi samo na elemente domene. Primjer 7 Funkcija f() = nema prekid u 0 iako pri crtanju grafa kod apscise 0 moramo podi i olovku s papira. Naime, 0 nije u domeni pa je besmisleno pitanje ima li ili nema funkcija prekid u 0. Obzirom na deniciju, postoje dva mogu a uzroka prekida funkcije nekoj to ki c svoje domene: ˆ Ne postoji es c f() pa ne moºe biti jednak f(c) - primjer je to ka c = 7 za funkciju iji graf je na slici ; ako pritom postoje jednostrani esi c+ f() i c f(), onda govorimo o prekidu prve vrste ili skoku, a ako bar jedan od ta dva jednostrana esa ne postoji (ili je beskona an), govorimo o prekidu druge vrste ili bitnom prekidu; ˆ Limes c f() postoji, ali je razli it od f(c) - primjer je to ka c = 4 za funkciju iji graf je na slici ; u ovakvom slu aju govorimo o uklonjivom prekidu jer bismo promjenom denicije f(c) iz trenutne vrijednosti u vrijednost c f() dobili funkciju neprekidnu u c. Posljedica svojstava esa je da se neprekidne funkcije pristojno pona²aju kad ih kombiniramo. Preciznije: Teorem 6 Ako su funkcije f i g neprekidne u to ki c, onda su i njihov zbroj, razlika i produkt funkcije neprekidne u c. Ako je uz to i g(c) 0, onda je i kvocijent f/g takožer funkcija neprekidna u to ki c. Ako je funkcija f neprekidna u to ki c i funkcija g neprekidna u to ki f(c), onda je i kompozicija g f neprekidna u c. 5
Velika ve ina funkcija koje se pojavljuju u primjenama matematike u kemiji su neprekidne funkcije. Ipak, postoje i neke iznimke. One se pojavljuju naj e² e u obliku skokova tj. prekida prve vrste jer se obi no radi o nagloj promjeni vrijednosti neke zikalne ili kemijske veli ine. Najtipi nije to ke prekida imamo na granicama faza odnosno pri faznoj tranziciji. Primjer 8 Promotrimo ovisnost gusto e ρ neke iste tvari o temperaturi T (pri konstantnom tlaku). Tada ρ ima dvije to ke prekida (skoka), i to pri temperaturama ledi²ta i vreli²ta (T f i T b ). Skok (pad gusto e) pri T f (razlika lijevog i desnog esa od ρ u T f ) je u pravilu manji od onog pri T b. Unutar pojedine faze se gusto a mijenja neprekidno u ovisnosti o T. Primijetimo ovdje da zbog mogu nosti supostojanja dviju faza ovdje nemamo pravu funkciju - temperaturama T p i T f pridruºene su dvije gusto e koje odgovaraju dvjema supostoje ima fazama promatrane tvari pri toj temperaturi. Gotovo sve funkcije koje susre emo u primjenama su na ve em dijelu domene neprekidne i imaju najvi²e kona no mnogo prekida - takve funkcije zovemo po dijelovima neprekidne funkcije. Teorem o mežuvrijednostima i ekstremima garantira da svaka neprekidna funkcija kojoj je domena segment [a, b] postiºe svoj globalni minimum i globalni maksimum te da su jedine mogu e to ke promjene predznaka funkcije njene nulto ke..9 Derivacija kao es Sad kona no moºemo dati preciznu deniciju derivacije funkcije f u to ki c: Denicija 0 (Derivacija) Ako postoji es 3 i f je denirana na nekom c intervalu koji sadrºi c, onda se taj es zove derivacijom funkcije f u to ki c i ozna ava s f (c) ili df (c). d c f() f(c) Posljedica ove denicije je da se derivacija ne denira u rubovima domene funkcije ako je ta domena segment [a, b] jer u njima ne moºemo traºiti obostrani, nego samo jednostrane ese. Sad je lako vidjeti kad derivacija ne postoji. Mogu i slu ajevi su: f() f(c). Limes c je beskona an - u Cartesiusovom koordinatnom sustavu to zna i c vertikalnu tangentu na graf od f u to ki s apscisom c. Primjer je derivacija funkcije f() = 3 f() f(c) u c = 0: c = 3 c 0 = 0 /3 = +.. Ako funkcija ima prekid u to ki c, onda c f() f(c) pa brojnik u c f() f(c) c nema es 0, dok nazivnik ima es nula te je es beskona an. Dakle, ako funkcija ima prekid u c, onda ne postoji f (c). f() f(c) 3. Limes c ne postoji jer se es slijeva i es zdesna ne podudaraju - geometrijski se radi o ²pici na grafu. Primjer je derivacija funkcije f() = u to ki c f() f(c) c = 0: 0 = c 0, ²to je slijeva jednako 0 =, a zdesna 0+ =. 3 Uo ite da se radi o esu koecijenta smjera sekante u Cartesiusovom koordinatnom sustavu. 6
Drugi od nabrojanih slu ajeva povla i da je neprekidnost nuºna za postojanje derivacije: Teorem 7 Ako funkcija ima derivaciju u nekoj to ki, onda je i neprekidna u toj to ki. Obrat ne mora vrijediti, tj. postoje neprekidne funkcije koje nemaju derivaciju u nekoj to ki. Najjednostavniji primjer opisan je tre im od nabrojanih slu ajeva nepostojanja derivacije. Vjeºbe radi, izvedimo svojstvo aditivnosti derivacija iz denicije derivacije. Primjer 9 Neka su f i g derivabilne u c te neka je h = f +g tj. za sve je h() = f()+g(). Tada imamo: h (c) = c h() h(c) c f() f(c) g() g(c) = + c c c c tj. pokazali smo da je (f + g) (c) = f (c) + g (c). = c f() + g() f(c) g(c) c = f (c) + g (c) Zadatak 4 Dokaºite svojstvo homogenosti tj. formulu (Af) (c) = A f (c) (A je konstanta, f je funkcija derivabilna u c, a Af je funkcija denirana s (Af)() = A f()). Jedan od najvaºnijih teorema o derivacijama je Teorem 8 (Teorem srednje vrijednosti) Ako je funkcija f derivabilna na a, b i neprekidna na [a, b], onda postoji c a, b takav da je f (c) = f(b) f(a) b a. Geometrijski gledano teorem kaºe da emo za derivabilnu funkciju i njenu proizvoljnu sekantu mo i na i to ku na grafu (izmežu to aka koje odrežuju sekantu) takvu da je tangenta u toj to ki paralelna toj sekanti. = 7