σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka je A topologija na skupu R. Najmanja σ-algebra koja sadrži sve članove topologije A zove se σ-algebra Borelovih skupova ili Borelova σ-algebra na skupu R (oznaka: B(R) ili B). Elemente Borelove σ-algebre nazivamo Borelovim skupovima. Napomena : Iz definicije slijedi da je svaki otvoreni interval a, b, a, b R, Borelov skup. Zbog poznatih svojstava σ-algebre u Borelove skupove ubrajamo: zatvorene intervale, poluotvorene (odnosno poluzatvorene) intervale, neograničene intervale, jednočlane skupove i prebrojive podskupove skupa R. Neprekidna slučajna varijabla i funkcija gustoće Definicija 3: Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor. Funkcija X : Ω R za koju vrijedi X (B) F, B B(R), je slučajna varijabla na (Ω, F, P ). Definicija 4: Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor. Funkciju X : Ω R za koju vrijedi ω Ω : X(ω) x} F za svaki x R, postoji nenegativna funkcija f : R R takva da vrijedi x P ω Ω : X(ω) x} = f(t) dt je apsolutno neprekidna slučajna varijabla na Ω ili neprekidna slučajna varijabla. Funkciju f zovemo funkcija gustoće vjerojatnosti slučajne varijable X ili funkcija gustoće slučajne varijable X. Funkcija gustoće i funkcija distribucije Napomena 2: Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva:. Nenegativnost: f(x) 0, x R, + 2. Normiranost: f(x)dx =. Definicija 5: s Funkcija distribucije neprekidne slučajne varijable X je funkcija F X : R [0, ] definirana x P (X x) = f(t) dt.
Matematičko očekivanje Definicija 6: Neka je X neprekidna slučajna varijabla sa svojstvom x f X (x) dx <. Matematičko očekivanje neprekidne slučajne varijable je realan broj E[X] = xf X (x) dx. Napomena 3: Bitna svojstva matematičkog očekivanja: Linearnost: E[αX + βy ] = αe[x] + βe[y ], ukoliko E[X] i E[Y ] postoje, Nenegativnost: X 0 E[X] 0, Monotonost: X Y E[X] E[Y ], X 0 i E[X] = 0 X = 0. Momenti Definicija 7: Za strogo pozitivan realan broj r definiramo r-ti moment µ r : E[X r ] = x r f X (x) dx, ukoliko E[X r ] postoji. r-ti centralni moment m r : E [(X E[X]) r ] = (x E[X]) r f X (x) dx, ukoliko E [(X E[X]) r ] postoji. r-ti apsolutni moment β r : E[ X r ] = x r f X (x) dx, ukoliko E[ X r ] postoji. Momenti Definicija 8: Varijanca (drugi centralni moment) neprekidne slučajne varijable definirana je s Var(X) = (x E[X]) 2 f X (x) dx. Napomena 4: Ako za realnu funkciju g vrijedi g(x) f X (x) dx <, kažemo da postoji očekivanje slučajne varijable g(x) i definiramo ga s E[g(X)] = g(x)f X (x) dx. 2
Transformacija neprekidne slučajne varijable Teorem : Neka je X neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće f X (x) te neka je Y = g(x) injektivna transformacija slučajne varijable X sa A = x : f X (x) > 0} u B = y : f Y (y) > 0} s inverznom transformacijom x = g (y). Ako je derivacija d dy g (y) neprekidna i različita od nule na B, tada je funkcija gustoće slučajne varijable Y dana izrazom ) f Y (y) = f X (g (y) d dy g (y), y B. Uniformna distribucija Primjer : Uniformna slučajna varijabla s parametrima a, b R (oznaka: X U(a, b)) funkcija gustoće definirana je formulom, x [a, b] b a 0, x [a, b], a funkcija distribucije formulom 0, x, a x a, x [a, b b a, x [b,. Uniformna distribucija 0.3 0. -2-2 3 4-4 -2 2 4 Graf funkcije gustoće i funkcije distribucije slučajne varijable X U(0, 2) Eksponencijalna distribucija Primjer 2: Eksponencijalna slučajna varijabla s parametrom λ > 0 (oznaka: X ε(λ)) funkcija gustoće definirana je formulom λe λx, x > 0 0, x 0, a funkcija distribucije formulom e λx, x > 0 0, x 0. 3
Eksponencijalna distribucija 0.3 0. -40-20 20 40-00 -50 50 00 Graf funkcije gustoće i funkcije distribucije eksponencijalne slučajne varijable Normalna distribucija Primjer 3: Normalna slučajna varijabla s parametrima µ i σ 2, gdje je µ = E[X] i σ 2 = Var(X) (oznaka: X N (µ, σ 2 )) funkcija gustoće definirana je formulom a funkcija distribucije formulom (x µ)2 e 2σ 2, x R, 2πσ 2 x e (t µ)2 2σ 2 dt, x R. 2πσ 2 Normalna distribucija Μ 0, Σ 2 Μ 2, Σ 2 5 Μ 2, Σ 2 4 Μ 0, Σ 2 Μ 2, Σ 2 5 Μ 2, Σ 2 4-4 -2 2 4 6 8-4 -2 2 4 6 Pareto distribucija Zadatak : Graf funkcije gustoće i funkcije distribucije normalne slučajne varijable Slučajna varijabla s Pareto distribucijom zadana je funkcijom gustoće αc α x α, x [c,, 0, x, c gdje su α i c pozitivni realni parametri. Odredite funkciju distribucije, matematičko očekivanje i varijancu ove slučajne varijable. 3 2.5 2 Α, c Α 2, c Α 3, c.5 Α, c Α 2, c Α 3, c 2 3 4 5 2 3 4 5 Graf funkcije gustoće i funkcije distribucije Pareto slučajne varijable 4
Pareto distribucija Rješenje: (c/x) α E[X] = Var(X) = αc α, α >, x [c, 0, x, c αc 2 (α ) 2 (α 2), α > 2 Pareto distribucija Zadatak 2: Pretpostavimo da iznos godišnjeg osobnog prihoda poreznog obveznika možemo opisati slučajnom varijablom koja ima Pareto distribuciju s parametrima α > 0 i c > 0. Odredite iznos godišnjeg prihoda koji za slučajno odabranog poreznog obveznika može biti premašen s vjerojatnošću. Rješenje: n = c 2 /α. Gama distribucija Zadatak 3: Za modeliranje iznosa potraživanja klijenta od nekog osiguravajućeg društva možemo koristiti slučajnu varijablu s gama distribucijom koja je zadana funkcijom gustoće α β Γ(β) xβ e αx, x 0,, 0, x, 0] gdje su α i β pozitivni realni parametri, a Γ(x) gamma funkcija definirana na sljedeći način: Γ(x) = e t t x dt, x > 0. 0 Odredite funkciju distribucije, matematičko očekivanje i varijancu ove slučajne varijable. Gama distribucija Α, Β 0.3 Α, Β 2 Α.5, Β 3 Α, Β Α, Β 2 Α.5, Β 3 0. 2 3 4 5 2 3 4 Graf funkcije gustoće i funkcije distribucije gamma slučajne varijable Gama distribucija γ(β, αx), x [0, Γ(β) 0, x, 0 αx, γ(β, αx) = e t t β dt 0 E[X] = β α, α > 0, β > 0 Var(X) = β α 2, α > 0, β > 0 5
Recipročna gama distribucija Zadatak 4: Odredite funkciju gustoće, funkciju distribucije, matematičko očekivanje i varijancu recipročne gamma slučajne varijable Y definirane na sljedeći način: Y =, X Γ(α, β), α > 0, β > 0. X.5.25 Α, Β Α, Β 0.75 Α, Β 2 Α, Β 2 Α.5, Β 3 Α.5, Β 3 5 2 3 4 5 2 3 4 5 Graf funkcije gustoće i funkcije distribucije recipročne gamma slučajne varijable Recipročna gama distribucija Rješenje: α β f Y (y) = Γ(β) y β e α/y, y 0, 0, y, 0] Γ(β, α/y), y 0, F Y (y) = Γ(β) 0, y, 0 E[X] = Var(X) = α β, α > 0, β > α 2 (β ) 2 (β 2), α > 0, β > 2 +, Γ(β, α/y) = e t t β dt α/y Log-normalna distribucija Zadatak 5: Odredite funkciju gustoće, matematičko očekivanje i varijancu log-normalne slučajne varijable Y definirane s Y = e X, X N (µ, σ 2 ), µ R, σ > 0. Μ 0, Σ 2 0 Μ 0, Σ 2 Μ 0, Σ 2 5 Μ 0, Σ 2 0 Μ 0, Σ 2 Μ 0, Σ 2 5 2 3 4 5 6 7 2 4 6 8 Graf funkcije gustoće i funkcije distribucije log-normalne slučajne varijable Log-normalna distribucija 6
Rješenje: f Y (y) = (ln y µ) 2 y 2πσ 2 e 2σ 2, y 0, 0, y, 0] E[Y ] = e µ+σ2 /2 Var(Y ) = e 2µ+σ2 (e σ2 ) 7