3. 3. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΑΤΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 3. Εισαγγή Στην μελέτη τν συστημάτν, μία από τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται είναι η απόκριση κατά συχνότητα ή η συχνοτική απόκριση. Η μέθοδος αυτή μελετά την συμπεριφορά του συστήματος σε όλο το εύρος συχνοτήτν. Καθώς σύμφνα με την ανάλυση κατά Fourierένα οποιοδήποτε σήμα αποτελείται από το άθροισμα μιας σειράς αρμονικών συχνοτήτν δηλαδή ημιτονικών και συνημιτονικών σημάτν, η απόκριση ενός συστήματος σε ένα ο- ποιοδήποτε σήμα, μεταφράζεται ς η απόκρισή του σε όλες τις αρμονικές αυτού του σήματος. Προφανώς, οι αρμονικές με το μεγαλύτερο πλάτος παίζουν μεγαλύτερο ρόλο στην α- πόκριση. Όσο περισσότερες αρμονικές συμμετέχουν, τόσο πιο πιστή γίνεται η ανασύσταση του σήματος. Οι απότομες αλλαγές στα σήματα, για να περιγραφούν, απαιτούν υψηλές αρμονικές. 3. Συνάρτηση Μεταφοράς Συστήματος Ένα φυσικό σύστημα μπορεί να περιγραφεί από μια διαφορική εξίσση της γενικής μορφής: A m m d e t A m dt m m d e t de t... A Ae t m dt dt d e t d e t B B... B dt dt de t Be t dt 3. Εάν θερήσουμε πς οι αρχικές συνθήκες για t= είναι μηδενικές, τότε η αντέρ διαφορική εξίσση, μπορεί να δοθεί σε μορφή μετασχηματισμού Laplace ς εξής: m m A A A A S B B B E B m m Η αντέρ σχέση μας οδηγεί με μια Συνάρτηση Μεταφοράς Σ.Μ. κατά Laplace, η οποία περιγράφει την σχέση που υπάρχει μεταξύ τν σημάτν εισόδου και εξόδου του συστήματος, δηλαδή με άλλα λόγια μας περιγράφει το πς μεταφέρεται το σήμα από την είσοδο στην έξοδο του συστήματος και τι «υφίσταται» κατά την μεταφορά αυτή. Η Σ.Μ. στην γενική της μορφή θα είναι: S F E Am B m A B m m A A B B όπου: F: Σ.Μ. του Συστήματος. E: Είσοδος στο Σύστημα, μετασχηματισμένη κατά LAPLACE. S: Έξοδος του Συστήματος, μετασχηματισμένη κατά LAPLACE. Για ένα φυσικό σύστημα, δηλαδή που μπορεί να έχει φυσική υπόσταση, ισχύει: η m. 3.
3. 3.3 Μετατροπή της Συνάρτησης Μεταφοράς σε γινόμενο παραγόντν Η συνάρτηση μεταφοράς μπορεί επίσης να εκφραστεί υπό μορφή ενός κλάσματος, όπου τα πολυώνυμα του αριθμητή και του παρανομαστή θα είναι γινόμενα παραγόντν: j i p z E S F 3.3 όπου: m B A θέτοντας δε: j i p z K 3.4 Η έκφραση Κ ονομάζεται ενίσχυση της Σ.Μ, μπορεί δε να έχει και κάποιες διαστάσεις. Έτσι η Σ.Μ. γίνεται: j i p z K E S F εάν j p 3.5 3.4 Παράδειγμα μετατροπής Έστ η Σ.Μ: F 7 3 7 4 6 3 3 όπου m B A 4 3 4 3 4 3 p z B A j j m όπου 333, 3 4 3 K p z j j άρα,5,333,5,333 F
3.3 3.5 Ανάπτυξη της Σ.Μ σε μορφή γινομένου παραγόντν τυπικών όρν Οι ρίζες z i τν πολυνύμν του αριθμητή και p j του παρανομαστή μηδενικά και πόλοι α- ντίστοιχα μπορεί να είναι μηδενικές, πραγματικές, ή συζυγείς μιγαδικές. Η κάθε μία δε, μπορεί να είναι κάποιου βαθμού πολλαπλότητας. Έτσι ο αριθμητής και ο παρανομαστής μετά την παραγοντοποίηση, θα αποτελούνται από όρους της μορφής: a για ρίζα α a a b a b για ρίζα β για ρίζα jb γ Η περίπτση γ μπορεί να γραφεί και υπό την γνστή μορφή: 3.6 όπου: a b και b 3.7 Εάν στις εκφράσεις α, β, γ, προστεθεί και η έκφραση: L e δ η οποία εκφράζει την παρουσία μιας καθαρής καθυστέρησης στο σύστημα, τότε οι Συναρτήσεις Μεταφοράς όλν τν γραμμικών συστημάτν μπορούν να είναι εκφράσεις τν: Κ, α, β, γ, δ. 3.6 Αρμονική ανάλυση Ορίζεται σαν αρμονική ανάλυση ή απόκριση κατά συχνότητα, ή στατική απόκριση του συστήματος σε μία ημιτονική είσοδο. Η απόκριση του συστήματος σ' αυτό το τυπικό ημιτονικό σήμα θα είναι επίσης ένα ημιτονικό σήμα πού μπορεί να διαφέρει, ς προς αυτό της εισόδου, στο πλάτος και στην φάση του. Έτσι με την βοήθεια μιας γεννήτριας συχνοτήτν και ενός καταγραφικού μπορούμε να έχουμε τις αποκρίσεις του συστήματος σ' ένα ευρύ φάσμα συχνοτήτν, που καλύπτουν ικανοποιητικά την περιοχή της ζώνης διέλευσής του. Ό- πς θα δούμε και στην συνέχεια τν μαθημάτν, από την αρμονική ανάλυση μπορούμε να ορίσουμε την Σ.Μ του συστήματος. Στην θερητική της υπόσταση η αρμονική ανάλυση, μπορεί να περιγραφεί από τον μετασχηματισμό κατά FOURIER της εξόδου του συστήματος, όταν αυτό διεγείρεται από ημιτονική είσοδο. Όπς ήδη γνρίζουμε ο μετασχηματισμός Fourier μιας συνάρτησης και ο αντίστροφός του δίδεται:
3.4 f t f t F j f t e F j jt F j e dt j t d Ο μετασχηματισμός αυτός υπάρχει εάν ισχύει η παρακάτ συνθήκη: 3.8 f t dt 3.9 Αντίστοιχα ο μετασχηματισμός LAPLACE και ο αντίστροφός του, δίδονται: f t f t f t e t F dt j F j j F e t d 3. Από τις εξισώσεις τν μετασχηματισμών Fourier και Laplace, παρατηρούμε ότι μπορούμε να περάσουμε από τον ένα στον άλλο, αντικαθιστώντας ανάλογα το με j, ή αντίστροφα. Έτσι με δεδομένο ότι στην αρμονική ανάλυση η μεταβλητή γίνεται =j, η έκφραση της Σ.Μ θα είναι μια μιγαδική έκφραση Τj με μεταβλητή, η οποία θα έχει για κάθε τιμή της, ένα μέτρο και ένα όρισμα. Θέτοντας στην διάφορες τιμές, θα μας προκύψουν τα πλάτη ενισχύσεις και οι φάσεις διαφορές φάσεν της Σ.Μ του συστήματος. Η αποτύπση αυτής της συμπεριφοράς του συστήματος κατά πλάτος και κατά συχνότητα αρμονική ανάλυση γίνεται πάν σε διαγράμματα. Η παρουσίαση αυτή στα διαγράμματα μας δίνει την τιμή του μέτρου και της φάσης ενός συστήματος για όλο το εύρος τν συχνοτήτν. Το βασικό διάγραμμα είναι το διάγραμμα ΒΟDΕ. 3.7 Διαγράμματα ΒODΕ Εάν έχουμε ένα σύστημα, και εφαρμόσουμε στην είσοδό του ένα ημιτονικό σήμα V i it, η έξοδος του συστήματος θα είναι κι αυτή ένα ημιτονικό σήμα το οποίο θα διαφοροποιείται ενδεχομένς από το σήμα της εισόδου- ς προς το πλάτος και την φάση του. Σχήμα 3. Σύστημα με είσοδο και έξοδο
3.5 Η μορφή τν δύο σημάτν θα είναι όπς φαίνονται στο Σχήμα 3., όπου φαίνεται πς έ- χουν διαφορετικό πλάτος και διαφορά φάσης. Σχήμα 3. Σήματα εισόδου και εξόδου Η διαφορά που έχουν τα δύο σήματα στο πλάτος τους V i και V o μπορεί να εκφρασθεί ς ενίσχυση ή υποβάθμιση του σήματος και εκφράζεται ς ο λόγος τ δύο πλατών V i και V o. Ο λόγος αυτός είναι καθαρός αριθμός. Η ενίσχυση ή υποβάθμιση λέγεται και πλάτος της Σ.Μ. και μπορεί να εκφρασθεί και ς λογαριθμικός λόγος, σύμφνα με την σχέση: A db log T j 3. Η διαφορά φάσης φ τν δύο σημάτν λέγεται και φάση και δίδεται από την σχέση : o T 36 3. Ακολουθώντας αυτή την διαδικασία υπολογισμού για το πλάτος και την φάση σε όλη την περιοχή τν συχνοτήτν, οδηγούμαστε στην συμπλήρση ενός πίνακα της κάτθι μορφής: Συχνότητα rad/ec 3. k... Πλάτος db A A A 3. A k... A Φάση o φ φ φ 3. φ k... φ Πίνακας 3. Τιμές πλάτους και φάσης
3.6 Σχήμα 3.3 Διάγραμμα BODE Η παρουσίαση στο διάγραμμα ΒΟDΕ μιας Σ.Μ, συνίσταται στο να χαράζουμε ξεχριστά, συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας, τις καμπύλες πλάτους -σε db- και φάσης -σε ο -. Αυτό γίνεται βάζοντας στο διάγραμμα τα σημεία που προκύπτουν από τις τιμές του Πίνακας 3. και χαράσσοντας την καμπύλη που τα ενώνει. 3.8 Η συμπεριφορά τν όρν της Σ.Μ. στα διαγράμματα ΒODΕ Μια Σ.Μ., όπς είδαμε προηγουμένς, έχει την μορφή γινομένου τν εξής όρν: a K όπου α, β, γ: ακέραιοι, θετικοί, αρνητικοί ή μηδενικοί αριθμοί. L e 3.3 Καθώς η Σ.Μ. μπορεί να αποτελείται από συνδυασμό τν αντέρ όρν, για την χάραξη της καμπύλης πλάτους της Τj, χαράσσουμε πρώτα τις καμπύλες πλάτους συναρτήσει της συχνότητας του κάθε όρου της Τj χριστά, και στη συνέχεια με γραφική πρόσθεση τν επιμέρους καμπυλών, έχουμε την τελική καμπύλη του πλάτους σε db της [Τj]. Για την χάραξη της καμπύλης φάσης της Τj χαράσσουμε τις καμπύλες φάσης τν επιμέρους όρν της Τj και στη συνέχεια, αθροίζοντας γραφικά, έχουμε την τελική καμπύλη φάσης της Τj.
3.7 Οι όροι αυτοί, όταν δέχονται στην είσοδό τους ημιτονικό σήμα δηλαδή το =j αντί για =σ+j είναι μιγαδικοί αριθμοί που έχουν μέτρο και όρισμα πλάτος και φάση δηλαδή, οι τιμές τν οποίν είναι συνάρτηση της συχνότητας που είναι η συχνότητα του ημιτονικού σήματος εισόδου. Στην συνέχεια θα παρουσιάσουμε στο διάγραμμα ΒΟDΕ, μία-μία τις βασικές συναρτήσεις. α Όρος της μορφής Κj α. Το πλάτος της συνάρτησης σε db θα είναι: a a Adb log K logk log K a log 3.4 Αυτό μας δείχνει ότι η καμπύλη του πλάτους Alog είναι μια ευθεία της γενικής μορφής: ax+b=c, μόνο που εδώ η μεταβλητή x παίρνει τιμές σε λογαριθμική κλίμακα. Την χαράσσουμε βαθμονομώντας τον άξονα τν Χ για την, με λογαριθμική βαθμονόμηση και στον άξονα τν Υ τις τιμές του AdB γραμμικά βαθμονομημένα Σχήμα 3.4. Το σημείο = δεν φιγουράρει στο διάγραμμα γιατί ο άξονας είναι βαθμονομημένος λογαριθμικά για την. Α db db Γραμμική κλίμακα Άξονας τν db Λογαριθμική κλίμακα Γραμμική κλίμακα Λογαριθμική κλίμακα Σχήμα 3.4 Για το διάστημα μιας οκτάβας δηλαδή από ές, η κλίση της ευθείας Α είναι: [ logk a log ] [logk a log] a [log log] a log a log a 6db/ octave όπου log 6db Η ευθεία τέμνει τον άξονα τν db στο σημείο τέτοιο ώστε: 3.5
3.8 log logk log logk K a a 3.6 για = είναι: A db = K db. Για α=, η Α, είναι μια οριζόντια ευθεία στην θέση K db. Στα Σχήματα 3.5-3.7, φαίνονται οι τρεις περιπτώσεις, για α=, α>, α<. Α db α= Κ db Σχήμα 3.5 Καμπύλη πλάτους για α= Α db a> Κ Κλίση 6 α db/octave db ο =/Κ /α Σχήμα 3.6 Καμπύλη πλάτους για α> Α db a< Κ Κλίση 6 α db/octave ο =/Κ /α Σχήμα 3.7 Καμπύλη πλάτους για α< db
3.9 Το διάγραμμα φάσης του όρου K α j είναι η καμπύλη Φ=arg [Κj], δηλαδή μια ευθεία οριζόντια με Φ = a 9. a 9 Σχήμα 3.8 Καμπύλη φάσης Εάν πάρουμε τώρα το διάστημα μιας δεκάδας δηλαδή από ές, η κλίση της ευθείας Α είναι: [ logk a log ] [logk a log] a [log log] a log a log a db/ decade 3.7 β όρος της μορφής +jτ β Το μέτρο του θα είναι: Για β= και τ> είναι : +jτ. Ο όρος έχει μια πραγματική αρνητική ρίζα: Εξίσση πλάτους j j j log db 3.8 για τότε j j db db για τότε j j db db Άρα έχουμε δύο ασύμπττους, * τις ευθείες Α= ή dβ και Α=τ ή μια ευθεία με κλίση 6 db /octave που τέμνει τον άξονα τν db για =/τ. Το διάγραμμα φάσης του όρου + jτ φαίνεται στο ίδιο σχήμα και ορίζεται: Εξίσση φάσης όταν Arg j ta : και όταν 9 3.9 * Οι ασύμπττες πλάτους και φάσης χαράσσονται πρώτα και μας βοηθούν στην σστή χάραξη τν καμπυλών, οι οποίες προγραμματίζονται στο κομπιούτερ από τις εξισώσεις πλάτους και φάσης.
3. για 45 Στο Σχήμα 3.9 φαίνονται για διάφορες τιμές της, οι διαφορές μεταξύ πραγματικών καμπυλών και ασύμπττν, για το πλάτος και την φάση. T db db 3 db db 6 db/oct ή db/dec db /τ /τ /τ +9 o +45 o 6,5 ο ο 4 4 ο 6,5ο o /4τ /τ /τ /τ 4/τ Παράδειγμα Έστ η Σ.Μ: Σχήμα 3.9 Διαγράμματα πλάτους και φάσης της +jτ T j,5 Τ 4 3 - - db 9 45 o,, rad Σχήμα 3. Διαγράμματα πλάτους και φάσης της T j,5
3. γ Όρος της μορφής -jτ β για β= και τ> Το πλάτος του όρου αυτού καθ' ότι είναι συζυγής με τον προηγούμενο, θα είναι ακριβώς το ίδιο με του προηγούμενου. Η φάση του όμς θα διαφέρει και θα είναι: ta 3. δηλαδή αντιθέτου προσήμου απ' αυτήν του προηγούμενου όρου και άρα το διάγραμμα φάσης του, θα είναι συμμετρικό ς προς τον άξονα τν ο Σχήμα 3.. T db 6 db/oct ή db/dec db o -45 o /τ -9 o Σχήμα 3. Διαγράμματα πλάτους και φάσης της -jτ Παράδειγμα Έστ η Σ.Μ. T j j Το διάγραμμά της απεικονίζεται στο Σχήμα 3.. Τ db 3 - o -45 o -9 o,, r/ Σχήμα 3. Διαγράμματα πλάτους και φάσης της -τ
3. δ Όροι της μορφής +jτ - και -jτ - Οι όροι αυτοί έχουν τα μέτρα τους ίδια σε dβ, οι δε φάσεις τους είναι ίδιες σε απόλυτες τιμές, αλλά αντίθετου προσήμου, όπς φαίνεται στο Σχήμα 3.3 και στο Σχήμα 3.5 καθώς και στα παραδείγματα που ακολουθούν. T db db 3 db db -6 db/oct ή - db/dec /4τ /τ /τ /τ 4/τ o -45 o 4 ο 6,5 ο 6,5 ο 4 ο -9 o Σχήμα 3.3 Διαγράμματα πλάτους και φάσης της +jτ - Παράδειγμα Έστ η Σ.Μ. T j, j Τ 3 - - -3 db o -45 o -9 o,,.5 5 5 r/ Σχήμα 3. 4 Διαγράμματα πλάτους και φάσης της +,j -
3.3 T db -6 db/oct ή - db/dec +9 o 45 o o /τ Παράδειγμα Έστ η Σ.Μ. Σχήμα 3.5 Διαγράμματα πλάτους και φάσης της -jτ - T j, j Τ db - - -3 o -45 o -9 o,,.5 5 5 r/ Σχήμα 3.6 Διαγράμματα πλάτους και φάσης της -,j -
3.4 Παρατήρηση: K Εάν έχουμε έναν όρο της μορφής: T j j Χαράσσουμε πρώτα τον όρο: T j j μετά τον Κ και στην συνέχεια κάνουμε την σύνθεσή τους, όπς φαίνεται και στα σχήματα που ακολουθούν. A db -6 db/oct db /τ Σχήμα 3.7 Διάγραμμα πλάτους του όρου /+jτ A db Κ db Σχήμα 3.8 Διάγραμμα πλάτους του Κ. A db Κdb -6 db/oct db /τ Σχήμα 3.9 Σύνθεση τν δύο όρν. Στην ουσία η σύνθεση είναι μία μετατόπιση του όρου /+jτ κατά Κ db.
3.5 Παράδειγμα χάραξης διαγράμματος της μορφής: D όπου ή D όπου a a a Η D είναι η Σ.Μ. ενός διορθτή καθυστέρησης φάσης. Επειδή /ατ</τ, πάν στον άξονα τν, θα εμφανισθεί πρώτα ο όρος του παρανομαστή και μετά ο όρος του αριθμητή. A db -6 db/oct db o -45 o /aτ -9 o Σχήμα 3. Όρος παρανομαστή T db 6 db/oct ή db/dec db +9 o /τ +45 o o Σχήμα 3. Όρος αριθμητή. Στην συνέχεια κάνουμε την σύνθεση τν δύο όρν και έχουμε τις καμπύλες της όλης συνάρτησης μεταφοράς που φαίνεται στο Σχήμα 3..
3.6 A db db -6 db/oct /aτ α/τ /τ o -45 o -9 o Σχήμα 3. Συνολική χάραξη ε Όρος της μορφής: για ξ> και γ= θα είναι: j j για A db log Adb db για A db log 3. Η καμπύλη αυτή του πλάτους θα έχει δύο ασύμπττες, στην αρχή και στο τέλος τν συχνοτήτν. Στην αρχή η ασύμπττος θα είναι ο άξονας τν db και η άλλη ασύμπττος θα είναι μία ευθεία με κλίση db/oct ή 4dB/dec που τέμνει τον άξονα db για =. Η μορφή της καμπύλης εξαρτάται από την παράμετρο ξ. Η καμπύλη του μέτρου έχει ένα ελάχιστο για την συχνότητα R τέτοιο ώστε: A για R για δηλαδή, 7 Διαφορετικά το ελάχιστο βρίσκεται για = και είναι db. Για ξ<,7 λοιπόν η ελαχίστη τιμή του πλάτους Α είναι: 3. A mi 3.3
3.7 Εάν το ξ είναι πολύ μικρό τότε έχουμε: και A 3.4 R Για ξ>,7 το μέτρο του πλάτους Α είναι πάντα μεγαλύτερο της μονάδας. mi Το όρισμα δίνεται από: για για 8 : Φ=9 ta 3.5 Η αύξηση του ορίσματος Φ στην περιοχή του εξαρτάται από την τιμή του ξ Σχήμα 3.3 κατά τρόπον ώστε για μικρό ξ, η αύξηση του ορίσματος είναι απότομη. A db db/oct ξ>,7 ξ Φ ο 8 o R ξ<,7 db 9 o o ξ μεγάλο ξ μικρό Σχήμα 3.3 Διάγραμμα BODE συστήματος ου βαθμού Με δεδομένη την αντέρ μορφή της απόκρισης του τύπου: μπορούμε να δώσουμε την μορφή του τύπου: όπου 3.6
3.8 Η εξέταση του όρου μας οδηγεί στο Σχήμα 3.4 και στο Σχήμα 3.5, για τις καμπύλες πλάτους και φάσης. Επειδή ο όρος είναι ίδιος με τον προηγούμενο αλλά βρίσκεται στον παρανομαστή, τα διαγράμματα θα είναι αντίστροφα αυτών του προηγούμενου όρου. ξ=.5...3.5.4.6.7.. Σχήμα 3.4 Καμπύλες πλάτους για διάφορες τιμές του ξ ξ=.5.7.6..3.4..5.. Σχήμα 3.5 Καμπύλες φάσης για διάφορες τιμές του ξ
3.9 Στον όρο αυτόν, αντίστροφα απ ότι στον προηγούμενο, για ξ<ο,7, θα έχουμε ένα μέγιστο πλάτους : A max 3.7 για την τιμή της συχνότητας που προκύπτει όπς προηγουμένς από την ανάλυση του α- κρότατου για το πλάτος. A για R 3.8 για δηλαδή, 7 Παρατήρηση Αν η τιμή του γ είναι γ> τότε προσθέτουμε γραφικά γ φορές τον όρο. ζ Όρος της μορφής e -jl. Ο όρος αυτός λέγεται όρος καθαρής καθυστέρησης L και η παρουσία του στην Σ.Μ σημαίνει ότι το σήμα εξόδου καθυστερεί του σήματος εισόδου κατά χρόνο L, ενώ το πλάτος του παραμένει αμετάβλητο, καθώς το μέτρο του όρου είναι πάντα ίσο με την μονάδα. Σχήμα 3.6 Επίδραση του όρου καθαρής καθυστέρησης Το όρισμα Φ είναι: Για L rad L 57,3 3.9 3.9 Σχέση μεταξύ διαγραμμάτν πλάτους και φάσης. Επειδή τα διαγράμματα πλάτους και φάσης εξάγονται από την ίδια συνάρτηση μεταφοράς, είναι φανερό ότι δεν είναι το ένα ανεξάρτητο από το άλλο, αλλά υπάρχει μια σχέση μεταξύ Α και Φ.
3. 3.9. Συστήματα με Ελάχιστη Διαφορά Φάσης Ε.Δ.Φ και Συστήματα χρίς Ε.Δ.Φ. Ο ερευνητής BODE απέδειξε ότι είναι δυνατό να εξαγάγουμε την μορφή της καμπύλης φάσης ενός γραμμικού συστήματος, από την απόκρισή του κατά πλάτος, με την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση μεταφοράς του είναι Ε.Δ.Φ, δηλαδή δεν έχει ούτε πόλους ούτε μηδενικά με θετικό πραγματικό μέρος, ούτε καθαρή καθυστέρηση. Εάν αντίθετα κάτι τέτοιο συμβαίνει, η Σ.Μ δεν είναι Ε.Δ.Φ και δεν είναι δυνατόν να υπάρξει μια σχέση μεταξύ Α και Φ. Για την κατανόηση τν αντέρ θα εξετάσουμε ένα παράδειγμα μιας Σ.Μ που δεν είναι Ε.Δ.Φ. Έστ η Σ.Μ που ακολουθεί: T Με μηδενικό Διάγραμμα πλάτους: A T j ή db και πόλο Διάγραμμα φάσης: ta t ta t ta t Τα διαγράμματα πλάτους και φάσης του εν λόγ συστήματος φαίνονται στο. Καθώς φαίνεται από τα διαγράμματα, η καμπύλη της φάσης συνάρτηση του είναι ανεξάρτητη του πλάτους, καθ' ότι το πλάτος παραμένει db για όλες τις συχνότητες. Τα συστήματα αυτά όπου δεν μπορεί να εξαχθεί καμία σχέση μεταξύ διαγραμμάτν πλάτους και φάσης, καλούνται συστήματα χρίς Ελάχιστη Διαφορά Φάσης, καθ' ότι περιέχουν: ή όρους στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο, ή καθαρή καθυστέρηση ή και τα δύο. Αντίθετα τα άλλα λέγονται συστήματα Ελάχιστης Διαφοράς Φάσης Ε.Δ.Φ και μπορούμε να εξάγουμε γι αυτά σχέσεις ανάμεσα στις καμπύλες ασύμπττες πλάτους και της φάσης τους. A db o /τ T db τ τ -9 o -8 ο Σχήμα 3.7 Καμπύλες πλάτους και φάσης Σ.Μ χρίς Ε.Δ.Φ.
3. 3.9. Καθορισμός του διαγράμματος φάσης ενός συστήματος Ε.Δ.Φ. συναρτήσει του διαγράμματος πλάτους του. Εάν το σύστημα είναι Ε.Δ.Φ, υπάρχει μια μαθηματική σχέση νόμος του ΒΟDΕ που μας δίνει την διαφορά φάσης Φ α στην συχνότητα α, συναρτήσει του πλάτους του, γι' αυτήν την συχνότητα. Η σχέση αυτή είναι: l A l A a d 3.3 Η σχέση αυτή είναι δύσκολη στη χρήση της. Πρακτικά ο νόμος του ΒΟDΕ μας οδηγεί σε μια απλή σχέση μεταξύ τν ασύμπττν τν καμπυλών πλάτους και φάσης: Όταν η ασύμπττος του διαγράμματος πλάτους Α είναι μια ευθεία κλίσης α όπου α ακέραιος μέσα σε ένα διάστημα,, τότε η ασύμπττος του διαγράμματος φάσης Φ μέσα στο ίδιο διάστημα, είναι μια ευθεία οριζόντια στο σημείο α.9 ο. Παράδειγμα Έστ η Σ.Μ. K T με οι ασύμπττες πλάτους και φάσης της Σ.Μ φαίνονται στο παρακάτ σχήμα. A db -6 db/oct T K τ - db/oct o /τ -9 o -8 ο Σχήμα 3.8 Σύστημα Ε.Δ.Φ