IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom 3. Parnost i periodiqnost funkcije

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom 3. Parnost i periodiqnost funkcije 4. Graniqne vrednosti funkcije (limesi) na krajevima domena D f i asimptote funkcije

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom 3. Parnost i periodiqnost funkcije 4. Graniqne vrednosti funkcije (limesi) na krajevima domena D f i asimptote funkcije 5. Prvi izvod, monotonost i lokalni ekstremi funkcije

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom 3. Parnost i periodiqnost funkcije 4. Graniqne vrednosti funkcije (limesi) na krajevima domena D f i asimptote funkcije 5. Prvi izvod, monotonost i lokalni ekstremi funkcije 6. Drugi izvod, konveksnost i prevojne taqke funkcije

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom 3. Parnost i periodiqnost funkcije 4. Graniqne vrednosti funkcije (limesi) na krajevima domena D f i asimptote funkcije 5. Prvi izvod, monotonost i lokalni ekstremi funkcije 6. Drugi izvod, konveksnost i prevojne taqke funkcije SkiciraƬe grafika funkcije.

1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f f(x) = g(x) def g(x),h(x) def, h(x) 0; h(x)

1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f f(x) = g(x) def g(x),h(x) def, h(x) 0; h(x) f(x) = lng(x) def g(x) def, g(x) > 0 (isto i za bilo koji log: f(x) = log a g(x));

1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f f(x) = g(x) def g(x),h(x) def, h(x) 0; h(x) f(x) = lng(x) def g(x) def, g(x) > 0 (isto i za bilo koji log: f(x) = log a g(x)); f(x) = g(x) def g(x) def, g(x) 0 (isto i za 4, 6...; 3 g(x) def g(x) def!);

1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f f(x) = g(x) def g(x),h(x) def, h(x) 0; h(x) f(x) = lng(x) def g(x) def, g(x) > 0 (isto i za bilo koji log: f(x) = log a g(x)); f(x) = g(x) def g(x) def, g(x) 0 (isto i za 4, 6...; 3 g(x) def g(x) def!); arcsin g(x) f(x) = arccos g(x) def g(x)def, 1 g(x) 1;

1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f f(x) = g(x) def g(x),h(x) def, h(x) 0; h(x) f(x) = lng(x) def g(x) def, g(x) > 0 (isto i za bilo koji log: f(x) = log a g(x)); f(x) = g(x) def g(x) def, g(x) 0 (isto i za 4, 6...; 3 g(x) def g(x) def!); arcsin g(x) f(x) = arccos g(x) def g(x)def, 1 g(x) 1; ostale f-je (sem tg i ctg) su UVEK def!

2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom Nule i znak funkcije II sredƭe!

2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom Nule i znak funkcije II sredƭe! Presek sa y-osom je Y ( 0, f(0) ).

3. Parnost i periodiqnost funkcije f(x) je parna: ( x D f ) f( x) = f(x).

3. Parnost i periodiqnost funkcije f(x) je parna: ( x D f ) f( x) = f(x). f(x) je neparna: ( x D f ) f( x) = f(x).

3. Parnost i periodiqnost funkcije f(x) je parna: ( x D f ) f( x) = f(x). f(x) je neparna: ( x D f ) f( x) = f(x). Ako nije: f( a) f(a) nije parna. f( a) f(a) nije neparna.

3. Parnost i periodiqnost funkcije f(x) je parna: ( x D f ) f( x) = f(x). f(x) je neparna: ( x D f ) f( x) = f(x). Ako nije: f( a) f(a) nije parna. f( a) f(a) nije neparna. Ako nije: Kako funkcija f(x) nema simetriqan domen u odnosu na x = 0 ona nije ni parna ni neparna!

3. Parnost i periodiqnost funkcije f(x) je parna: ( x D f ) f( x) = f(x). f(x) je neparna: ( x D f ) f( x) = f(x). Ako nije: f( a) f(a) nije parna. f( a) f(a) nije neparna. Ako nije: Kako funkcija f(x) nema simetriqan domen u odnosu na x = 0 ona nije ni parna ni neparna! f(x) periodiqna: ( T > 0)( x D f ) f(x) = f(x + T).

Graniqne vrednosti funkcija Teorijski uvod

Definicija 1. Neka je funkcija f(x) definisana u nekoj okolini taqke a (sem moжda u taqki a). Funkcija f(x) ima graniqnu vrednost A kad x teжi ka a ako ( ε > 0)( δ) 0 < x a < δ f(x) A < ε. To emo oznaqavati sa lim x a f(x) = A.

Neprekidnost funkcija Teorijski uvod

Definicija 1. Funkcija f(x) je neprekidna u taqki x = a ako je lim x a f(x) = f(a), tj. lim f(x) = f(a) = lim f(x). x a x a + Funkcija je neprekidna u nekom intervalu ako je neprekidna u svakoj taqki tog intervala.

Taqka x = a naziva se taqkom prekida funkcije f(x) ako je funkcija definisana u nekoj okolini taqke x = a, a u samoj taqki nisu ispuƭeni uslovi neprekidnosti. Imamo 3 vrste prekida: OtkloƬiv prekid Prekid I vrste Prekid II vrste

Izvod i diferencijal Teorijski uvod

Definicija. Izvod funkcije f(x) je f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h. Koristi se i oznaka df za izvod funkcije dx f po x. Izvod funkcije f(x) u taqki x = a je f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h.

Levi izvod je f (a) f(a + h) f(a) = lim h 0 h desni izvod je f +(a) f(a + h) f(a) = lim. h 0 + h Izvod u x = a, f (a), postoji ako je: 1 f neprekidna u taqki x = a, tj., 2 f (a) = f +(a). lim f(x) = f(a) = lim f(x); x a x a + f(x) diferencijabilna u x = a. f(x) je dif. na intervalu ako je dif. u svakoj taqki tog intervala.

Osnovna pravila. c konstanta, a f(x) i g(x) funkcije po x. 1. (c) = 0, 2. (x) = 1, 3. (c f) = c f, 4. (f ± g) = f ± g, 5. (f g) = f g + f g, ( ) f 6. = f g f g g g 2.

Tablica izvoda. 1. (x n ) = nx n 1, 2. ( x) = 1 2 x, 3. (e x ) = e x, 4. (a x ) = a x lna, 5. (lnx) = 1 x, 6. (log a x) = log a e = 1 x x lna, 7. (sinx) = cosx, 8. (cos x) = sinx, 9. (tg x) = 1 cos 2 x, 10. (ctg x) = 1 sin 2 x, 11. (arcsinx) = 1, 12. (arccos 1 x 2 x) = 1 1 x 2, 13. (arctg x) = 1 1+x 2, 14. (arcctg x) = 1 1+x 2.

Drugi izvod funkcije je izvod prvog izvoda: f (x) = (f (x)) n ti izvod je f (n) (x) = ( f (n 1) (x)). Diferencijal funkcije f(x) je jednak df = f x dx.

Izvod sloжene funkcije. Ako je y = f(u) i u = ϕ(x), tj. y = f(ϕ(x)), tada je y x = f u(u) u x. Izvod inverzne funkcije. Ako je y = f(x) funkcija koja ima inverznu funkciju f 1 = g, tj. x = f 1 (y) = g(y), onda vaжi: f x = 1 g y.

Izvod parametarski zadate funkcije x = f(t) y = g(t) je dat sa y x = ẏ ẋ = g t f t = dy dt dx dt.

Lopitalovo pravilo Teorijski uvod

Lopitalovo pravilo(moжe se primeniti samo na limese oblika 0 0 ili oblika!): lim x a g(x) h(x) = lim x a g (x) h (x).

Lopitalovo pravilo(moжe se primeniti samo na limese oblika 0 0 ili oblika!): lim x a g(x) h(x) = lim x a g (x) h (x). Limese g h oblika 0 svodimo na g 1 h = g h 1 0 0 ili h 1 g = h g 1. Kod limesa oblika 1 i 0 0 umesto da traжimo dati limes L, traжi emo lnl.