TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE

TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 35 TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE Obiective: Deinire principlelor proprietăţi mtemtice le uncţiilor, le itelor de uncţii şi le uncţiilor continue Deinire principlelor proprietăţi mtemtice le derivtelor şi diernţilelor Deinire principlelor proprietăţi mtemtice le derivtelor şi diernţilelor de ordin superior Aplicţii le derivtelor Conținut: 5 Funcţii 36 5 Limite de uncţii 37 53 Funcţii continue 38 54 Derivte şi dierenţile 39 55 Derivte şi dierenţile de ordin superior 47 56 Aplicţii le derivtelor 49 57 Concepte cheie 5

36 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL 5 Funcții Un din noţiunile de bză în nliz mtemtică este noţiune de uncţie, le cărei proprietăţi de bză le vom discut în continure Deiniţi 5: Fie X şi Y două mulţimi Dcă printr-un procedeu orecre cem să corespundă iecărui element X un element y Y, şi numi unul, spunem că m deinit o uncţie pe X cu vlori în Y X se numeşte domeniul (mulţime de deiniţie uncţiei, ir Y se numeşte codomeniu su mulţime în cre uncţi i vlori Un element orecre l mulţimii de deiniţie se numeşte vribilă su rgument l uncţiei Dcă notăm uncţi cu, tunci scriem X Y su : X Y şi y (, unde X şi y Y reprezintă epresi nlitică uncţiei şi ne urnizeză relţi uncţionlă între vribil independentă şi vribil dependentă y Deiniţi 5: Se numeşte gricul uncţiei y ( mulţime perechilor din plnul elor de coordonte de orm (, y, dică mulţime: {( y y, X y Y} X Y G,, Deiniţi 53: Fie două uncţii : X Y şi g : Y Z Funcţi h : X Z, deinită prin h g[ ] se numeşte uncţi compusă uncţiilor g şi Scriem h g o g ( ( ( [ ( ] Deiniţi 54: O uncţie : X Y se numeşte bijectivă (su plicţie biunivocă dcă: ( ( ( ; ( ( ( ; (3 ( X Y Deiniţi 55: Se numeşte uncţie inversă uncţiei biunivoce : X Y uncţi : Y X prin cre iecărui element y Y îi corespunde un element unic X pentru cre y Avem: y [ ] ( y ( y Fie cum A şi B două submulţimi le numerelor rele R, A I B Φ şi ie şi g două uncţii rele deinite pe A şi respectiv B cu vlori în R Atunci operţiile elementre cu uncţii rele sunt următorele: Sum uncţiilor şi g este uncţi + g deinită pe AI B prin: ( g + g Dierenţ uncţiilor şi g este uncţi +, A I B ; (5 ( g g Produsul uncţiilor şi g este uncţi g deinită pe AI B prin:, A I B ; (5 ( g g g deinită pe AI B prin:, A I B ; (53

TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 37 Câtul uncţiilor şi g este uncţi / g deinită pe AI B C, unde { B, g( } C, prin: Deiniţi 56: O uncţie O uncţie Deiniţi 57: O uncţie O uncţie ( g / g /, A I B C (54 : X R este crescătore pe mulţime A X dcă: ( ( <,, A : X R este strict crescătore pe mulţime A X dcă: ( ( < <,, A : X R este descrescătore pe mulţime A X dcă: ( ( <,, A : X R este strict descrescătore pe mulţime A X dcă: ( ( < >,, A Deiniţi 58: Funcţiile crescătore su descrescătore se numesc uncţii monotone Funcţiile strict crescătore su strict descrescătore se numesc uncţii strict monotone 5 Limite de uncții Deiniţi 59: Se spune că uncţi re it l când tinde către, şi scriem l când su l, dcă pentru orice ε > rbitrr, eistă δ δ ( ε >, stel încât l < ε pentru < δ Acestă deiniţie itei unei uncţii, denumită şi deiniţi cu ε, se pote ormul dcă l < ε > N ε, unde într-o mnieră nlogă sub orm ( l ε > pentru ( Convenim în continure să scriem dcă < şi, similr, + dcă > În primul cz, spunem că tinde l prin vlori mi mici decât În l doile cz, spunem că tinde l prin vlori mi mri decât Deiniţi 5: Limitele ( şi ( + stâng şi, respectiv, it l drept uncţiei + se numesc it l în punctul, dcă ceste ite eistă Limit l stâng şi it l drept se numesc ite lterle le uncţiei Pentru eistenţ itei unei uncţii veriictă eglitte: Dcă itele itelor de uncţii: şi ( + tunci când este suicient să ie ( ( + eistă, tunci u loc următorele proprietăţi le [ ] + (55

38 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL Fc ecepţie de l cestă propriette situţiile în cre un din ite este, ir celltă ită este + ( [ ] ( (56 Fc ecepţie de l cestă propriette situţiile în cre itele sunt ininite şi u celşi semn (mbele su mbele + (3 [ ] (57 Fc ecepţie de l cestă propriette situţiile în cre un din ite este, ir celltă ită este ± (4 (58 Fc ecepţie de l cestă propriette situţiile în cre sunt ininite (5 [ ( ] ( ( [ ] Fc ecepţie de l cestă propriette situţiile următore: (i şi (ii şi + ; (iii şi ; su mbele ite (59 Pentru determin it rportului două polinome P şi, vom împărţi cele două polinome prin două polinome Q tunci când n, unde n este mimul dintre grdele celor Dcă P ( şi Q ( sunt două polinome pentru cre P ( şi Q ( conorm proprietăţii (4 it se determină direct c iind rportul P ( Q( P ( Q(, tunci este necesr să simpliicăm prin de câte ori este nevoie, tunci Dcă însă 53 Funcții continue Deiniţi 5: Se spune că uncţi dcă sunt îndeplinite următorele condiţii: ( Funcţi este deinită în punctul eistă şi este inită; ( Limit ( este continuă pentru (su în punctul, dică eistă ( ; (3 Limit în este eglă cu vlore uncţiei în punctul, dică: Despre un punct continuitte în cre uncţi ( este continuă se spune că este un punct de

TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 39 Dcă o uncţie este continuă în iecre punct l unui domeniu (intervl deschis, intervl închis etc, tunci uncţi este continuă pe cest domeniu Deiniţi 5: Funcţi este continuă în punctul dcă sunt îndeplinite următorele condiţii: ( Limit l drept ( + în punctul eistă şi este inită; ( Limit l stâng ( în punctul eistă şi este inită; (3 Cele două ite sunt egle între ele şi egle cu vlore uncţiei în punctul, dică: ( ( + ( În generl, uncţiile elementre sunt continue pe domeniul lor de deiniţie Dcă în punctul condiţiile de continuitte din deiniţiile nteriore nu sunt re un punct de discontinuitte pentru (su în punctul îndeplinite, tunci uncţi, ir uncţi este discontinuă Deiniţi 53: Dcă uncţi re itele lterle inite, respectiv: (, ( + ir vlorile (, ( +, ( punct de discontinuitte de prim speţă + nu sunt egle între ele, tunci se spune că, este un Deiniţi 54: Orice punct de discontinuitte cre nu este de prim speţă se spune că este un punct de discontinuitte de dou speţă Din deiniţi de mi sus rezultă că într-un punct de discontinuitte de dou speţă cel puţin un din itele lterle este ininită su nu eistă Dierenţ ( + ( se numeşte sltul uncţiei în punctul Vom nliz în continure proprietăţile operţiilor cu uncţii continue Fie şi g două uncţii cu celşi domeniu de deiniţie X şi un punct de continuitte pentru uncţiile şi g Au loc următorele proprietăţi: ( Funcţi + g este continuă în punctul ; (5 ( Funcţi g este continuă în punctul ; (5 (3 Funcţi g este continuă în punctul ; (5 (4 Dcă g (, uncţi este continuă în punctul ; (53 g (5 Funcţi inversă unei uncţii continue este o uncţie continuă (54 54 Derivte şi dierențile Fie ( o uncţie deinită pe un intervl rel I R şi un punct din I

4 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL Deiniţi 55: Se spune că uncţi : I R este derivbilă în punctul I dcă ( rportul re în punctul ită inită Acestă ită se numeşte derivt uncţiei în punctul şi se noteză ( : ( Notţi ( se citeşte: derivt uncţiei în rport cu în punctul Pentru d ( derivtă se mi olosesc notţiile:, D (, ( d Dcă it eistă dr este ininită, tunci spunem că derivt uncţiei în punctul ( este ininită În cest cz, uncţi nu mi este derivbilă în punctul Din deiniţi derivtei rezultă, de semene, că uncţi trebuie să ie deinită în punctul Dcă o uncţie ( nu este deinită într-un punct, nu se pune problem derivbilităţii sle în cel punct O propriette importntă uncţiilor derivbile este cee că dcă uncţi este derivbilă în punctul : I R I, tunci este continuă în Reciproc cestei proprietăţi nu este devărtă Să nlizăm cum o modlitte similră de deinire derivtei c iind relţi dintre creştere vribilei independente şi creştere uncţiei, bordre întâlnită recvent în izică (de eemplu, în cinemtică, dr şi în modelre enomenelor economice Dcă şi sunt două vlori le vribilei, prţinând domeniului de deiniţie l y, tunci Δ se numeşte creştere uncţiei pe intervlul deschis uncţiei ( (,, ir Δy y y ( ( + Δ celşi intervl ( se numeşte creştere uncţiei y pe, dy Derivt y uncţiei y în rport cu vribil, este prin deiniţie, it d Δy rportului când Δ tinde l (su tinde l, dică: Δ ( + Δ Δy y Δ Δ Δ Δ Să nlizăm cum interpretre geometrică derivtei uncţiei : I R Pe intervlul M (, şi M (, două puncte cre G {, I}, iind punctul în cre uncţi este derivbilă, ir un punct orecre din I, ş cum sunt reprezentte în Figur 5 În triunghiul dreptunghic M MN vem: I gricul lui este un rc de curbă plnă Fie ( prţin gricului ( tg ( α, unde tg α este coeicientul unghiulr (pnt secntei M M Dcă M M, tunci secnt M M se propie de drept M P, cre este tngent l gricul uncţiei în punctul M şi ormeză cu O unghiul ϕ

TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 4 y M (, ( P M (, ( α N ϕ O Avem: Figur 5: Interpretre geometrică derivtei ( tgα tgϕ M M Rezultă că derivt uncţiei în punctul este tngent unghiului pe cre îl ce drept tngentă l gric în punctul ( ( cu O Dcă derivt este ininită, tunci tngent M P este prlelă cu O, Fiind it rportului dintre creştere uncţiei şi creştere vribilei independente, când tinde l, derivt reprezintă vitez (instntnee de vriţie uncţiei în punctul Deiniţi 56: Se spune că uncţi : I R este derivbilă pe intervlul I dcă este derivbilă în iecre punct I Funcţi : I R se numeşte uncţi derivtă uncţiei d su derivt lui şi se noteză, su D d Să investigăm cum derivtele lterle (derivt l drept şi derivt l stâng le unei uncţii, utilizând deiniţi generlă derivtei şi proprietăţile itelor lterle discutte nterior Deiniţi 57: Fie uncţi : I R şi I Se spune că uncţi este derivbilă l drept în punctul dcă rportul: (, >, I, re it l drept inită în punctul Acestă ită se numeşte derivt l drept d : uncţiei în punctul şi se noteză ( d ( + (

4 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL Deiniţi 58: Fie uncţi : I R şi I l stâng în punctul dcă rportul: ( Se spune că uncţi, <, I, este derivbilă re it l stâng inită în punctul Acestă ită se numeşte derivt l stâng s : uncţiei în punctul şi se noteză ( s ( ( Din deiniţiile derivtelor lterle rezultă că o uncţie este derivbilă într-un punct dcă este derivbilă l drept şi l stâng în şi dcă cele două derivte lterle sunt egle: ( ( d Dcă derivt l stâng (su l drept este ininită într-un punct s (, tunci uncţi nu este derivbilă l stâng (su l drept în punctul Din punct de vedere geometric, dcă derivtele lterle sunt ininite, tunci în punctul M (, ( gricul curbei dmite semitngente prlele cu Oy, situte desupr (su dedesubtul lui M, după cum derivt lterlă este eglă cu + (su Dcă uncţi re în punctul derivte lterle dierite şi cel puţin un dintre ele se numeşte punct unghiulr l gricului uncţiei este inită, tunci punctul Dcă uncţi re în punctul derivte lterle ininite şi egle, tunci cele două semitngente sunt în prelungire, ir punctul se numeşte punct de inleiune l gricului uncţiei Dcă uncţi re în punctul derivte lterle ininite şi dierite, tunci cele două semitngente se suprpun, ir punctul se numeşte punct de întorcere l gricului uncţiei Cele trei tipuri de puncte discutte nterior sunt denumite puncte critice le gricului uncţiei şi sunt reprezentte în Figur 5 (, (b, (c Să remrcăm ptul că mi eistă şi lte tipuri de puncte critice le unei uncţii ( Punct unghiulr (b Punct de inleiune (c Punct de întorcere Figur 5: Punctele critice le unei uncţii Să discutăm în continure operţiile cu uncţii derivbile Vom utiliz pentru cest deiniţiile derivtei într-un punct şi pe un intervl

g deinite pe intervlul I R, cu I, sunt derivbile într- + g este derivbilă în punctul şi: un punct Dcă uncţiile şi I, tunci uncţi ( TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 43 + (55 [ g ] ( + g ( Pentru demonstr cestă propriette plicăm deiniţi derivtei şi obţinem, ţinând g sunt derivbile în punctul I cont că ( şi ( : + g ( g( ( g g( + ( + g ( Propriette nterioră rămâne devărtă pentru sum unui număr init de uncţii g sunt ininite, derivbile De semene, propriette re loc şi dcă derivtele ( şi ( cu condiţi c sum ( + g ( să ibă sens C o consecinţă, dcă şi g derivbile pe intervlul I R + g este derivbilă pe I şi: [ g ] + g g deinite pe intervlul I R, cu I, sunt derivbile într- I, tunci uncţi g este derivbilă în punctul şi: un punct Dcă uncţiile şi, tunci sum + (56 Dcă şi derivbilă pe I şi: g deinite pe intervlul I R, cu I, sunt derivbile într- I, tunci uncţi g este derivbilă în punctul şi: un punct Dcă uncţiile şi (57 [ g ] ( g ( g derivbile pe intervlul I R, tunci dierenţ g este [ g ] g (58 (59 [ g ] ( g + g ( Dcă şi g derivbile pe intervlul R derivbil pe I şi: g deinite pe intervlul I R, cu I, sunt derivbile într-, tunci uncţi este derivbilă în punctul şi: g un punct Dcă uncţiile şi I, cu g ( [ g ] g + g g I, tunci produsul g este ( (5 ( ( g g ( (5 g

44 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL Dcă şi este derivbil pe I şi: g derivbile pe intervlul R g I, cu g g g g pe I, tunci câtul g (5 Fie cum uncţi u (, I, cu domeniul vlorilor J şi uncţi (u, u J şi să g u( Dcă uncţi u (, I, este derivbilă în punctul I şi uncţi (u este u u g u(, considerăm uncţi compusă ( derivbilă în punctul corespunzător ( J, tunci uncţi compusă ( I, este derivbilă în punctul şi vem: ( ( u( u ( u este derivbilă pe I şi ( u ( ( [ ( u ] ( u u Să considerăm cum, I, cre se pote invers pe I Dcă şi (, tunci uncţi s inversă ( y, y J ( J Dcă ( u este derivbilă pe I şi vem: în punctul y şi: g (53 [ ( y ] este derivbilă pe J, tunci uncţi compusă ( (54 este derivbilă, este derivbilă în punctul (55 Să nlizăm derivt uncţiei logritmice şi derivt uncţiei eponenţile, cre ne intereseză în modelre numerose enomene economice Fie uncţi logritmică log, >,, cre este derivbilă pe tot domeniul său de deiniţie (, + Scriind rportul din ormul derivtei vem: log log log log + Trecând l ită şi ţinând cont că rezultă succesiv: log log log + Din relţi log e ln rezultă derivt logritmului: ( log log e (56 ln

TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 45 Pentru tot domeniul de deiniţie obţinem: ( log (57 ln Funcţi eponenţilă, >,, este derivbilă pe tot domeniul său de deiniţie R Funcţi este invers uncţiei logritmice log, deci vem y şi log y Atunci ( y şi ( y y log Din ultim relţie rezultă, de unde y y ln ln y y ln ln şi deci: Am obţinut ( ( ln Dcă u deinită pe I este derivbilă pe I, tunci: u u ( u ln (58, I (59 Sintetizând cum principlele reguli de clcul le derivtelor pentru constnt c R şi uncţiile u u şi v v, obţinem, pe bz proprietăţilor nlizte relţiile de clcul următore: ( ( c (derivt unei constnte este ; ( ( (derivt uncţiei identice este ; (3 ( u ± v u ± v ; (4 ( c u c u ; (5 ( u v u v + u v ; (6 u u v u v, ( v ; v v (7 c c v, ( v v v Derivtele principlelor uncţii elementre sunt dte de relţiile următore: n (i n ( n ; (ii (, > ; (iii ( ln ; (iv ( e e ; (v ( ln ; (vi log e ( log ln ( >, > Cu jutorul derivtei vom deini în continure noţiune de dierenţilă

46 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL o uncţie deinită pe un intervl I, derivbilă într-un punct I Pentru Fie se pote scrie: de unde, împărţind prin obţinem: ( ( ( + ( α, ( ( + α Funcţi iind derivbilă în cu derivt ( de unde rezultă α, vem: (, vem: ( + ( α, Din cest motiv, pentru vlori l lui suicient de propite de ( ( ( (53 Dcă notăm h, rezultă + h, ir relţi (53 se pote scrie: ( h ( h ( + (53 Deiniţi 59: Funcţi h (, h R dierenţil uncţiei în punctul şi se noteză ( d ( h (, cre depinde linir de h, se numeşte d : (53 Din deiniţi de mi sus rezultă că dierenţil uncţiei în punctul este produsul ϕ şi derivt uncţiei în punctul Aşdr dierenţil unei uncţii într-un punct pote i deinită dcă şi numi dcă dintre dierenţil uncţiei ( uncţi este derivbilă în punctul Dierenţil d ( este o uncţie liniră pe h, pentru orice h rel Pentru h suicient de mic, vem ( h ( h (, dierenţil +, deci când se propie de + h proimeză creştere uncţiei ( ( Ţinând cont că h este dierenţil uncţiei ( ϕ, R, deci h d, pentru dierenţil d ( se utilizeză notţi d ( ( d, unde d R şi este independent de Cu cestă notţie, derivt uncţiei într-un punct se scrie: d d, (533 cee ce însemnă că derivt într-un punct este eglă cu rportul dintre dierenţil uncţiei şi dierenţil uncţiei ϕ (

TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 47 Dcă u şi v sunt două uncţii derivbile pe un intervl I, tunci vem următorele reguli de clcul pentru dierenţile: + ; (534 ( d ( u v ( u + v d du + dv ; (535 ( d( u v ( u v d du dv ; (536 (3 d ( u v ( u v + uv d vdu + udv u ( u v uv vdu udv (4 d v v d (5 ( u ( u u d ( udu v ; (537 d (538 55 Derivte şi dierențile de ordin superior Derivtele discutte până cum u ost derivte de ordinul Să nlizăm în continure derivtele de ordin superior Fie uncţi : I R şi I, cu propriette că este derivbilă în Deiniţi 5: Dcă derivt este derivbilă în punctul, se spune că este de două ori derivbilă în punctul Derivt lui în punctul se numeşte derivt dou (su derivt de ordinul doi uncţiei în punctul D (, iind eglă cu: Dcă uncţi (, şi se noteză ( ( d d (, su (539, I, este derivbilă de două ori pe intervlul I, tunci uncţi se numeşte derivt dou pe intervlul I Fie cum o uncţie : I R derivbilă de două ori în punctul Deiniţi 5: Dcă este derivbilă în punctul, se spune că este de trei ori derivbilă în punctul Derivt lui în punctul se numeşte derivt trei (su derivt de ordinul trei uncţiei în punctul iind eglă cu: (, şi se noteză ( ( Să deinim cum prin recurenţă derivt de ordinul n, derivbilă de n ori în punctul d d ( 3, ( D, (54 n N Fie o uncţie : I R

48 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL Deiniţi 5: Dcă derivbilă în punctul Derivt lui ( n este derivbilă în punctul, se spune că este de n ori derivt de ordinul n uncţiei în punctul şi se noteză iind eglă cu: ( n ( ( n în punctul se numeşte derivt n- (su ( n ( n ( ( n (, d n (, ( d n D n, (54 Dcă : I R este derivbilă de n ori pe I şi derivt de ordinul n este deinită în ( iecre punct I, tunci uncţi n se numeşte derivt de ordinul n lui pe I şi se noteză: ( n, n d d, n D n Dcă o uncţie re derivte de orice ordin, tunci se spune că este indeinit derivbilă Polinomele, uncţiile logritmice şi uncţiile eponenţile sunt indeinit derivbile Vom deini în continure dierenţilele de ordin superior Deiniţi 53: Fie : I R şi I Se spune că uncţi este dierenţibilă de două ori în punctul dcă este derivbilă în şi dcă este dierenţibilă în punctul Dierenţil de ordinul doi în se noteză d ( şi se deineşte prin eglitte ( ( d d, de unde împărţind prin ( d obţinem: d (, (54 d cre reprezintă notţi dierenţilă derivtei dou Prin d se înţelege d d Deiniţi 54: Se spune că uncţi I dcă este derivbilă de n ori în punctul şi dcă punctul Dierenţil de ordinul n în punctul ( n ( n ( d n d, de unde împărţind prin ordinul n: n d d : I R este dierenţibilă de n ori în punctul se noteză d n ( ( n este dierenţibilă în şi se deineşte prin eglitte n d obţinem notţi dierenţilă derivtei de ( ( n ( n (543

TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 49 56 Aplicții le derivtelor Un din cele mi importnte plicţii le uncţiilor derivbile este reprezenttă de posibilitte de determin punctele de etrem (mim su minim reltiv su locl le unei uncţii Deiniţi 55: Fie : I R şi I ( Se spune că este un punct de mim (locl l uncţiei dcă eistă o vecinătte V lui, stel încât să vem ( pentru orice V I I (b Se spune că este un punct de minim (locl l uncţiei dcă eistă o vecinătte V lui, stel încât să vem ( pentru orice V I I Punctele de mim su minim locl se numesc şi puncte de mim su minim reltiv su puncte de etrem reltiv (su locl, deorece un punct de etrem locl nu este în mod necesr şi un punct de etrem bsolut Pentru determinre punctului de etrem l unei uncţii se utilizeză rezulttul următor Teorem 5 (Fermt: Dcă o uncţie : I R re derivtă într-un punct din interiorul unui intervl I şi dcă este un punct de mim su de minim locl pentru uncţi, tunci derivt s este nulă în punctul, dică ( Într-un punct de etrem tngent l gricul uncţiei este prlelă cu O, în cest punct derivt iind (cu ecepţi punctelor cre sunt cpetele gricului Dcă este unul din cpetele intervlului I, tunci pote i un punct de etrem ără c derivt în cel punct să ie De semene, o uncţie pote ve etrem într-un punct, ără ve derivtă în Să mi notăm şi ptul că reciproc teoremei lui Fermt nu este în generl devărtă O uncţie derivbilă într-un punct, cre re derivt nulă în, nu re în mod necesr în un punct de etrem Fie : I R o uncţie derivbilă pe I Au loc următorele proprietăţi: ( Dcă este crescătore pe I, tunci derivt s este pozitivă pe I; (b Dcă este descrescătore pe I, tunci derivt s este negtivă pe I Au loc, de semene, şi următorele proprietăţi: (i Dcă uncţi este continuă pe intervlul închis [, b] I şi dcă > pentru < < b, tunci este crescătore pe intervlul [, b] (ii Dcă uncţi este continuă pe intervlul închis [, b] I şi dcă < pentru < b, b <, tunci ( este descrescătore pe intervlul [ ] În generl, domeniul de deiniţie l unei uncţii pote i descompus într-un număr init de intervle de creştere su descreştere (numite intervle de monotonie Aceste intervle u drept cpete punctele critice le uncţiei, în cre su în cre nu eistă derivt

5 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL Sintetizând proprietăţile discutte nterior, obţinem următorele situţii: ( Într-un punct de mim (reltiv vem (reprezentt în Figur 53 (: >,, <, < >, ( crescătore (punct critic (544 ( descrescătore Să remrcăm ptul că în punctul critic pote să nu ie deinită, punctul iind însă unul de mim reltiv (ş cum se observă în Figur 53 (b derivt ( ( ( ( > ( < ( > nedeinită ( < ( Mim (reltiv (b Mim (reltiv Figur 53: Mimul (reltiv l unei uncţii ( Într-un punct de minim (reltiv vem (reprezentt în Figur 54 (: <,, >, < >, ( crescătore (punct critic (545 ( descrescătore Să remrcăm ptul că în punctul critic pote să nu ie deinită, punctul iind însă unul de minim reltiv (ş cum se observă în Figur 54 (b derivt ( ( Minim (reltiv > ( < ( ( ( < ( nedeinită ( > (b Minim (reltiv Figur 54: Minimul (reltiv l unei uncţii Să studiem în continure, cu jutorul derivtelor de ordin superior, conveitte şi concvitte unei uncţii

TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 5 Fie : I R o uncţie derivbilă pe un intervl I şi, b I, cu < b, două puncte din >, [, b], tunci este strict crescătore pe [, b], <, b, b I Am văzut nterior că dcă ( ir dcă (, [ ], tunci ( este strict descrescătore pe [ ] Dcă pe intervlul [, b] tngent în orice punct l gricul uncţiei rămâne sub gricul uncţiei, tunci spunem că pe intervlul [, b] uncţi este conveă (su ţine pă, ş cum este reprezenttă în Figur 55 ( Dcă pe intervlul [, b] tngent în orice punct l gricul uncţiei rămâne desupr gricului uncţiei, tunci spunem că pe intervlul [, b] uncţi este concvă (su nu ţine pă, ş cum este reprezenttă în Figur 55 (b Dcă l stâng punctului [, b] uncţi este conveă, ir l drept lui uncţi este concvă (su invers, tunci se numeşte punct de inleiune, punct în cre tngent tie gricul uncţiei, ş cum este reprezenttă în Figur 55 (c ( Conveitte (b Concvitte (c Punct de inleiune Figur 55: Conveitte, concvitte şi inleiune unei uncţii Conveitte, concvitte şi inleiune unei uncţii se pot determin cu jutorul derivtelor de ordin superior, ş cum rezultă din teorem următore Teorem 5: Fie : I R o uncţie de două ori derivbilă pe intervlul I ( Dcă derivt dou ( > ( Dcă derivt dou ( < (3 Dcă pentru I, tunci este conveă pe I;, tunci este concvă pe I;, ( şi ( Dcă punctul (, tunci este punct de inleiune, se deplseză în mod continuu de- lungul gricului uncţiei, stel încât cel puţin un din coordontele cestui punct tinde către ±, ir distnţ de l cest punct l o numită dreptă tinde către, tunci drept respectivă se numeşte simptotă Eistă trei tipuri de simptote: verticle, orizontle şi oblice Deiniţi 56: Drept este simptotă verticlă gricului uncţiei, dcă cel puţin un din itele lterle le uncţiei în punctul eistă şi este ininită, dică: ± su ± + Pentru c drept (prlelă cu Oy să ie simptotă verticlă trebuie c să su uncţi să nu ie deinită în punctul ie punct de discontinuitte l uncţiei Deiniţi 57: Drept y y este simptotă orizontlă gricului uncţiei, dcă: y su y +

5 MODULUL 3: MODELE DE CALCUL DIFERENȚIAL Deiniţi 58: Se spune că drept este simptotă oblică l rmur y m + n, unde şi n [ m] m, + gricului uncţiei y dcă: [ m n] Deiniţi 59: Se spune că drept m este simptotă oblică l rmur y m + n, unde şi n [ m], gricului uncţiei y dcă: [ m n ] Să remrcăm ptul că o uncţie dmite simptote oblice su orizontle dcă mulţime de deiniţie este nemărginită (inerior şi/su superior Cu noţiunile discutte până cum reltive l derivte şi l proprietăţile cestor, suntem în măsură să trecem l reprezentre grică uncţiilor, cre ne jută să înţelegem mi bine comportre uncţiilor respective Trsre gricului unei uncţii implică prcurgere următorelor etpe: ( Stbilire domeniului de deiniţie şi intersecţi cu ele de coordonte; ( Clculul derivtei întâi, intervlele de monotonie şi punctele de etrem; (3 Clculul derivtei dou, intervlele de conveitte, concvitte şi punctele de inleiune; (4 Determinre simptotelor; (5 Tbelul de vriţie l uncţiei; (6 Trsre gricului uncţiei 57 Concepte cheie Funcţie Funcţie continuă Funcţie inversă Funcţie monotonă Limit unei uncţii Limită lterlă Funcţie continuă Funcţie derivbilă Derivtă Dierenţilă Derivtă de ordin superior Dierenţilă de ordin superior Punct de etrem (mim su minim Funcţie conveă Funcţie concvă