1 9.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 03 0 ρωτήσεις κτνόησης 1. Στ πρκάτω σχήµτ ν υπολογιστούν οι τιµές των x κι ψ. () O x Ρ 3 Θ x 6 Κ Τ Ν Σ O 1 ψ Λ (β) Ζ O (γ) Στο σχήµ () Στο σχήµ (β) Στο σχήµ (γ) Ρ. Ρ Ρ. Ρ ΣΚ. ΣΛ Σ. ΣΝ ΤΘ Τ.ΤΖ ( + ) 3( 3+x). ψ. 1 36 (+x) + 8 9 + 3x 8 ψ 9 + x x 1 5 x. Ποι είνι η δύνµη σηµείου Ρ ως προς τον κύκλο (Ο, R) ότν Ρ Ο ΟΡ R R Ρ ( Ο,R ) 3. ν στο πρκάτω σχήµ είνι 3, ν υπολογίσετε την κτίν του κύκλου M ( Ο,R ) Ο Ο R 3 M ( Ο,R ) R R 3R 1 R
σκήσεις µπέδωσης 1. ίνετι κύκλος (Κ, 6) κι σηµείο, ώστε Κ 1. ν πό το σηµείο φέρουµε τέµνουσ που τέµνει τον κύκλο κτά χορδή 6, ν υπολογίσετε το. Κ Έστω x, τότε x + 6 AB. x (x + 6) Κ 1 6 x + 6x 196 36 R x + 6x 160 0 (1) 6 +.160 36 + 60 676 (1) x 6± 676 6± 6 6+ 6 6 6 0 3 { 10 16 άρ x 10. ν σε τρίγωνο ο κύκλος, που διέρχετι πό το κι τ µέσ, Ν των κι ντίστοιχ, εφάπτετι της στο, ν ποδείξετε ότι.. Φέρουµε το τµήµ Ν. Λ Ν Τότε Ν κι τέµνει το στο µέσο του Λ. Άρ Λ κι ΛΝ Λ, ΛΝ τέµνουσες του κύκλου Λ Λ Λ ΛΝ 1 1 1 1..
3 3. Θεωρούµε κύκλο (Ο, R) κι τις χορδές του, που τέµνοντι στο Ρ. ν ισχύει ότι Ρ Ρ Ρ, ν ποδείξετε ότι οι χορδές, είνι ίσες. Ρ Ρ Ρ, Ρ τέµνουσες Ρ Ρ Ρ Ρ πό υπόθεση έχουµε Ρ Ρ Ρ Ρ Πολλπλσιάζουµε κτά µέλη: Ρ Ρ Ρ Ρ ιιρούµε κτά µέλη: Ρ Ρ. Ν ποδείξετε ότι, η προέκτση της κοινής χορδής δύο τεµνόµενων κύκλων διχοτοµεί κάθε κοινό εξωτερικό εφπτόµενο τµήµ τους. Η κοινή χορδή τέµνει το κοινό εξωτερικό εφπτόµενο τµήµ σε σηµείο. ίνι κι M M Άρ M M
ποδεικτικές σκήσεις 1. Τετράγωνο πλευράς είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο, R). ν είνι το µέσο της κι η προεκτεινόµενη τέµνει τον κύκλο στο Ζ, ν ποδείξετε ότι: i) BE 5, ii) BE 5EZ i) Ζ Ο Πυθγόρειο στο τρ.: + + 5 BE 5 (1) + ii) EB. EZ EA. E 5 Ζ 5Ζ πό τις (1), () Ζ 5 BE 5EZ. 5 10 1 5 5 ()
5. πό σηµείο εκτός κύκλου (Ο, R) φέρουµε τέµνουσ κι εφπτόµενο τµήµ. ν η διχοτόµος της γωνίς ˆ τέµνει τις, στ κι Ζ ντίστοιχ, ν ποδείξετε ότι. Ζ. Ζ. (1) Ζ Θ. διχοτόµων στο τρ.: Θ. διχοτόµων στο τρ.: Ζ Ζ ηµιουργούµε το γινόµενο. Ζ πολλπλσιάζοντς κτά µέλη Ζ Ζ Ζ Ζ επειδή όµως τέµνουσ κι εφπτοµένη, θ έχουµε (1) Ζ Ζ 1 Ζ Ζ... 3. ν η διάµεσος τριγώνου τέµνει τον περιγεγρµµένο κύκλο στο, ν ποδείξετε ότι: i) AM ME ii) + AM AE. i), τέµνουσες MA ME MB M ii) 1 ο Θ. διµέσων: + + + (i) MA ME MA ME + ( + ).
6. ίνετι κύκλος (Ο, R) κι ευθεί ε που δεν τέµνει τον κύκλο. πό σηµείο της ε φέρουµε τ εφπτόµεν τµήµτ, κι Ο ε. ν η τέµνει την Ο στο Ν, ν ποδείξετε ότι ΟΝ Ο ε O Κ Ν R. Φέρουµε την Ο, η οποί είνι µεσοκάθετος της. K ˆ ˆ 1 ΚΝ εγγράψιµο ΟΝ Ο ΟΚ Ο (1) Τρ.Ο ορθογώνιο µε ύψος Κ R Ο ΟΚ Ο () (1), () ΟΝ Ο R. 5. ίνετι ορθογώνιο τρίγωνο ( Â 1 ) εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο, R) κι το ύψος του. ν µετβλητή ευθεί ε που διέρχετι πό το τέµνει το ύψος στο κι τον κύκλο στο Η, ν ποδείξετε ότι Η Φέρουµε την Η.. Η ˆΗ 1 φού βίνει σε ηµικύκλιο, λλά κι ˆ 1, οπότε Η εγγράψιµο Η (1) Ο Τρ. ορθογώνιο µε ύψος () (1), () Η.
7 Σύνθετ Θέµτ 1. ν η διχοτόµος τριγώνου τέµνει τον περιγεγρµµένο κύκλο στο κι είνι., ν ποδείξετε ότι 1 ρκεί ν δειχθεί ότι 1., τέµνουσες του κύκλου, λλά άρ τρ. όµοιο του τρ. ( ˆ 1 ˆ ˆ 1 κι ˆ κοινή), ή ότι που ισχύει.. ίνετι τρίγωνο µε β +γ. ν η διάµεσος τέµνει τον περιγεγρµµένο κύκλο στο, ν ποδείξετε ότι 1 ο Θ.διµέσων: + 3 6 β +γ + β +γ., λλά άρ + 3 3 (1), τέµνουσες του κύκλου.. 3 3 (1) 3 3 6
8 3. 3 Σε τρίγωνο είνι µ γ β. ν το βρύκεντρο του τριγώνου, ν ποδείξετε ότι ο περιγεγρµµένος κύκλος του τριγώνου εφάπτετι της στο. µ γ 3 β 3 µ γ β + β γ 3 β + β γ 3β β +γ (1) ρκεί ν ποδείξουµε ότι»» 1 µ µ 3»» 1 µ 3»» 3 µ Έχουµε µ β + γ ( β +γ ) (1) 3.. ίνετι τρίγωνο, η διχοτόµος του, η διάµεσός του κι ο περιγεγρµµένος κύκλος (Κ) του τριγώνου. ν, Ζ είνι τ σηµεί τοµής των κι µε τον κύκλο (Κ) ντίστοιχ, ν ποδείξετε ότι Ζ. M Ζ, τέµνουσες του κύκλου, Ζ τέµνουσες του κύκλου Ζ BE ιιρούµε κτά µέλη: Z λλά πό Θ. διχοτόµων είνι. Άρ BE Z 1 Ζ