ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. είναι συνεχής στο αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη στο Α. α. Ψ β.. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9. Α. α. Λάθος β. Σωστό γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β Β. Για το πεδίο ορισμού της που σημαίνει Λύνοντας g πρέπει D g και g D. Άρα R. Επίσης g D ή. Κάνουμε τον πίνακα προσήμων: - + + + + - - + - Δηλαδή,,. Κάνοντας την συναλήθευση έχουμε τελικά D Ο τύπος της συνάρτησης είναι g g ln, g D g με.,. με,. Β. Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Άρα h, με h h γνησίως αύξουσα,, δηλαδή επομένως που σημαίνει ότι είναι και - δηλαδή αντιστρέφεται. Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της. Θέτοντας y βρίσκουμε lim και lim, άρα και lim ln limln y και lim ln lim ln y. Τελικά, y y
h αύξουσα h, lim h, lim h,. Επομένως θέτουμε h συνεχής h y D R. h και λύνουμε ως προς y y y y y ln y, y y h y, y R y Β. Η συνάρτηση ή,. h R συναρτήσεων στο R, άρα Στη συνέχεια : άρα είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων για R, που σημαίνει ότι η είναι γνησίως αύξουσα και δεν έχει ακρότατα. Επίσης, η συνάρτηση παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο R, άρα. Αφού Η είναι κυρτή στο το και, για συνεπώς, + - κυρτή κοίλη,,, δηλαδή,. Β. και κοίλη στο lim lim lim lim, Άρα η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της είναι R., άρα έχουμε σημείο καμπής C στο. αφού lim. lim lim, αφού lim. Άρα η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C στο.
ΘΕΜΑ Γ Γ. Έστω Μ, ( ) σημείο της C που φέρουμε την εφαπτομένη τότε ε: y ( ) ( ) y y Διέρχεται από το σημείο, οπότε Προφανείς ρίζες το και το π Θεωρούμε τη συνάρτηση h( ), Έστω ότι η h έχει τρεις ρίζες,ρ,π με Η h συνεχής στο Η h παρ/σιμη στο h() h( ) h( ) Οπότε από το θ. Roll, και,, και, με h Υπάρχει τέτοιο ώστε h, αφού άρα Και Υπάρχει τέτοιο ώστε h, αφού άρα Δηλαδή άτοπο αφού και, Τα ζητούμενα σημεία επαφής είναι τα Άρα οι ζητούμενες εφαπτομένες είναι,, και,
: y () () : y : y ( ) ( ) : y Γ. στο, Άρα η είναι κυρτή στο,, και η C βρίσκεται πάνω από τις εφαπτομένες Κοινά σημεία, : Λύνω το σύστημα y y οπότε y Α(,
Εμβαδόν τριγώνου (ΟΑΒ)= d d αφού, για κάθε, ( ) 8 Γ. lim lim Η είναι κυρτή άρα είναι πάνω από την εφαπτομένη επαφής Β άρα ισχύει μόνο για =π άρα,, με εξαίρεση το σημείο με την ισότητα να ισχύει lim Οπότε lim lim Γ. Για κάθε, ισχύει σύμφωνα με το Γ Οπότε για κάθε,, Έστω και η ισότητα ισχύει μόνο για ισχύει η ισότητα ισχύει μόνο για h,, 5
H h είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών και για κάθε h λόγω της () Και η ισότητα ισχύει μόνο για Άρα ισχύει, ισχύει h( ) d d d d d d d ln ln ln d 6
ΘΕΜΑ Δ, Δ. Για η συνάρτηση είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Για η συνάρτηση είναι, συνεχής ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. Θα ελέγξουμε για και lim lim και lim lim,.. Αφού, lim lim, η συνάρτηση είναι συνεχής στο και τελικά η συνάρτηση είναι συνεχής στο εσωτερικά σημεία του η, μηδενίζεται. Η,. στα οποία η Τα κρίσιμα σημεία της είναι τα δεν παραγωγίζεται και στα οποία είναι παραγωγίσιμη στο, και άρα. Η είναι παραγωγίσιμη στο με και άρα., Για, έχουμε lim lim lim, αφού lim. lim lim lim lim, παραγωγίσιμη στο. Για, απορρίπτεται αφού,. με άρα η δεν είναι, Για. Για δεν είναι λύση της εξίσωσης άρα για το στο,. Συνεπώς η εξίσωση γίνεται k,. Όμως,, 5 άρα,, άρα οπότε. Άρα τα κρίσιμα σημεία είναι και.,, Δ. Έχουμε.,, η, αφού k Για, άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο είναι συνεχής στο. Για,. Για είναι, άρα στο και η γνησίως 7
φθίνουσα στο Η, άρα. - π/ π - + -,. Η στο συνεχής,. - + - είναι γνησίως φθίνουσα στο A, αφού είναι συνεχής στο είναι γνησίως αύξουσα στο A, αφού είναι συνεχής Η είναι γνησίως φθίνουσα στο A, αφού είναι στο,. A,, άρα,,. Επειδή Επίσης, A και,,, A,,, πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις κατά μέλη έχουμε η και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο - το, η ελάχιστο στο το, η, η και. Άρα παρουσιάζει ολικό παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο π το. 5 Δ. Έστω h g, το και, διότι για.. Άρα, 5 5 5 E g d g d d, 5 5 5 όπου I d d d d d. Άρα, 5 5 E τ.μ. 5 5 5 το I I. Τελικά, 8
Δ. 6 8 Για, D διαιρούμε με 6 οπότε η εξίσωση γίνεται 6 Όμως,, στο Άρα,,,, αφού από Δ η παρουσιάζει ολικό μέγιστο Για να ισχύει η ισότητα από και πρέπει αφού - Οπότε η μοναδική ρίζα της εξίσωσης είναι η 9