6.3 Joule-ov zakon. A = R I 2 t (6.23)

6.3 Joule-ov zakon Na osnovu iskustvenih saznanja, poznato je da se električni provodnici zagrijavaju, tokom prolaska električne struje kroz njih. Tu pojavu, prvi je analitički uspješno opisao Joule (James Presccott Joule, 1818-1889). Da bi pronašao egzaktne uzročno-posljedične veze, između električnog rada, koji se obavlja prilikom toka stalne jednosmjerne električne struje I, kroz provodnik električne otpornosti R i količine toplote, koja se tokom tog procesa oslobađa, Joule je odabrani izolovani provodnik električne otpornosti R, postavio u kalorimetar, a potom pristupio i mjerenju količine toplote, koja se razvija u tom kalorimetru, tokom provođenja različitih varijanti pomenutog eksperimenta. Nakon što je uspostavio stalnu jednosmjernu električnu struju kroz provodnik električne otpornosti R, ustanovio je da se pri dva puta dužem vremenskom intervalu, toka električne struje I, oslobađa i dva puta veća količina toplote. Potom je ustanovio i da se pri tri puta dužem vremenskom intervalu toka električne struje I, oslobađa tri puta veća količina toplote, te da se i pri n puta dužem vremenskom intervalu toka električne struje I, oslobađa i n puta veća količina toplote. U skladu sa ovakvim rezultatima Joule je formirao sasvim ispravan zaključak, da je iznos električnog rada, koji se tokom određenog vremenskog intervala toka stalne jednosmjerne električne struje, kroz provodnik električne otpornosti R, pretvara u toplotu, direkno proporcionalan vremenu trajanja tog procesa t. Provodeći isti eksperiment, i u uslovima kada je sve bitne karakteristike analiziranog sistema zadržao nepromijenjenim, osim jačine stalne jednosmjerne električne struje, koju je odlučio mijenjati, primjetio je da pri dva puta većoj jačine stalne jednosmjerne električne struje, dolazi do čeverostruko veće količine oslobođene toplote, odnosno da pri n puta većoj jačine stalne jednosmjerne električne struje, dolazi i do n 2 puta veće količine oslobođene toplote. Analogne eksperimente, potom je obavio i sa nekoliko različitih vrsta električnih provodnih materijala, te došao do zaključka da je količina toplote A, oslobođene tokom takvih eksperimenata, direktno proporcionalna sa električnim otporom upotrijebljenih provodnih materijala, kroz koje je usmjeravana stalna jednosmjerna električna struja. Ova serija, prethodno opisanih eksperimenata, omogućila je Joule-u, da analitički poveže odnose između relevantnih veličina I, R i t, relacijom: A = R I 2 t (6.23) Upravo iskazani odnosi, spoznati putem eksperimentalno stećenih iskustava, danas se međutim mogu uobličiti i uz korištenje pretežno teoretskih podloga, zasnovanih na dosada predočenim pojmovima iz osnova elektrotehnike. U tom smislu na slici broj 6.7 (a) prikazan je beskonačno mali dio strujne tube, dužine dl i normalnog poprečnog presjeka ds. Pod pretpostavkom da pri prolasku stalne jednosmjerne struje di, kroz analizirani dio strujne tube, između njenih krajeva vlada potencijalna razlika, odnosno električni napon, du, tada za održavanje takvog energetskog stanja treba iz nekog energetskog izvora angažovati električnu snagu: dp = (di) (du) =(J ds) (E dl) (6.24) 1

Slika broj 6.7 Fizikalna osnova za izvođenje Joule-ova zakona u diferencijalnom obliku Sa slike 6.7 je vidljivo da su vektori J i ds, odnosno ds i dl kolinearni, što daje mogućnost da se uspostave relacije: (J ds) = J ds ; (E dl) = ((E J )/J) dl ; dv= (dl)(ds), nakon čega je moguće relaciju (6.24) zapisati i u obliku predočenom sa (6.25): E J dp= J ds dl = E J dv (6.25) J odakle se lako dolazi do relacije za zapreminsku gustinu električne snage, p = (dp)/(dv), koja se angažuje iz raspoloživog energetskog izvora i u skladu sa zakonom Joule-a, pretvara u toplotu, unutar strukture provodnog materijala, kroz koji se usmjerava upravo stalna jednosmjerna struja gustine J. dp p = = E J = ρ R J 2 = σ P E 2 (6.26) dv Relacija (6.26) je u literaturi poznata kao Joule-ov zakon u diferencijalnom obliku. S obzirom da je jedinica mjere za aktivnu električnu snagu, odnosno električnu snagu angažovanu aktivnim električnim otporom R, vat, (W), to je jedinica mjere za zapreminsku gustinu električne snage p, definisana sa ( W m -3 ). Iskoriste li se gornji rezultati za određivanje električne snage koju će neki provodnik konačne zapremine, poput provodnika sa slike 6.7 (b), preuzeti iz vanjskih energetskih izvora i pretvoriti, u skladu sa zakonom Joule-a, u toplotu, formira se relacija (6.27): P = I 2 R = V E J dv (6.27) U opisanim uslovima između, tačaka poprečnog presjeka A1 i poprečnog presjeka A 2, vlada potencijalna razlika, odnosno električni napon, U A1-A2 = R I, pri čemu električni potencijal poprečnog presjeka A 1, zadovoljava relaciju : V A1 > V A2, a stalna 2

jednosmjerna električna struja I, prvo ulazi u poprečni presjek A 1, a tek potom u provodnik, pridružene mu električne otpornosti R. Pri ispunjenju prethodno navedenih uslova, uobičajno je reći da su električna struja I i električni napon, U A1-A2, usaglašeni po znaku i smjeru. 6.4 Jednačina kontinuiteta električne struje i prvi Kirchhoff-ov zakon Pri definisanju zapreminski raspoređenog električnog naboja, unutar neke zapremine V, ograničene zatvorenom površi s, konstatovano je da, ukoliko se zapreminska gustina tako lokalizovanog naboja označi sa ρ, tada se ukupna količina električnog naboja q unutar te zapremine, određuje prema relaciji: q = ρ dv (6.28) V Nije teško zaključiti, da do promjene iznosa obuhvaćenog električnog naboja q, može doći ukoliko u analiziranu zapreminu uđu novi električni naboji istog znaka kao i električni naboj q, ili pak istu oblast napusti dio električnih naboja istog znaka kao i q. Bilo koja od spomenutih varijanti, očigledno dovodi i do obrazovanja kondukcionih, ili konvekcionih električnih struja. Prethodna rasuđivanja formalizovano se mogu iskazati u obliku relacije (6.29), koja je u elektrotehnici poznata kao jednačina kontinuiteta električne struje. S dq J ds = - ( ρ dv ) = - (6.29) t V dt Znak (-) ispred izraza za brzinu promjene električnog naboja q, posljedica je činjenice da pozitivnom izlaznom fluksu vektora gustine električne struje J, odgovara negativan prirast q, iznosa ukupnog električnog naboja q. Jednačinom kontinuiteta se može tumačiti i tvrdnja da je algebarski zbir električnih naboja u prirodi nepromjenljiv. U skladu sa prethodno uvedenom definicijom stacionarnog strujnog polja, odnosno definicijom stalne jednosmjerne struje u takvom polju je sigurno ispunjen uslov: (dq/dt)=0, odakle proizilazi logičan zaključak da se za stacionarna strujna polja, jednačina kontinuiteta transformiše u relaciju: S J ds = 0 (6.30) 3

Posljednja relacija se može, uz pomoć jedne od osnovnih teorema matematičke discipline, Teorija vektorskih polja- teoreme Gauss-Ostrogradskog prevesti i u ekvivalentan diferencijalni oblik, iskazan sa (6.31) div J = 0 (6.31) Diferencijalnim oblikom jednačine kontinuiteta, za stacionarna strujna polja, posebno se naglašava da je stacionarno strujno polje bezizvorno polje, odnosno da su linije stacionarnog strujnog polja zatvorene same u sebe (električni naboji se kreću unutar strujnih tuba, poput nestišljive tečnosti). Odnosi iskazani relacijam (6.30) i (6.31) predstavljaju prvi Kirchhoff-ov zakon u integralnom, odnosno diferencijalnom obliku respektivno. Tokom rješavanja praktičnih primjera iz proračuna električnih krugova, češće je u upotrebi integralni oblik prvog Kirchhoff-ovog zakona. Kada se prvi Kirchhoff-ov zakon primjenjuje na električne krugove, u kojim je kretanje električnih naboja kanalisano kroz linijske-žičane provodnike, relacija (6.30) se može pojednostaviti u oblik predočen sa (6.32): n I k = 0 (6.32) k= 1 Relacija (6.32) tvrdi da je algebarska suma svih električnih struja, koje dolaze ili odlaze u čvorište električnog kruga jednaka nuli (čvorište električnog kruga je mjesto u njegovoj električnoj šemi, na kojem se sastaje tri ili više grana razmatranog električnog kruga). Termin algebarska suma struja, koristi se u cilju naglašavanja da razmatrane struje mogu imati ili pozitivan, ili negativan predznak. Formalno je ispravno, električnim strujama koje napuštaju čvorište, pridružiti predznak (+), pošto je njihov smjer usaglašen sa smjerom vektora gustine električne struje, koji sa vektorom jedinične normale na površ s (usmjerenim od površi s ka okolnom prostoru) zaklapa oštar ugao. Slično tome, strujama koje dolaze u čvorište treba pridružiti predznak (-), jer je njihov smjer usaglašen sa smjerom vektora gustine električne struje, koji sa vektorom jedinične normale na površ s (usmjerenim od površi s ka okolnom prostoru) zaklapa tupi ugao. Treba naglasiti da se u analitičkoj notaciji, koju koriste Osnove elektrotehnike, Električni krugovi i Teorija elektromagnetnih polja, simbolom I naglašava da je riječ o stalnim jednosmjernim strujama. Slika broj 6.8 Primjena prvog Kirchhoff-ovog zakona na čvorište u koje se vezuje pet grana nekog električnog kruga 4

6.5 Elektromotorna sila u osnovnom električnom krugu. Termin osnovni električni krug, podrazumjeva električni krug koji se sastoji od jednog izvora električne energije i jednog potrošača električne energije (izvor električne energije pri tome može biti bilo naponski, ili pak strujni izvor električne energije; u tehničkoj literaturi se ravnopravno sa navedenim terminom izvor električne energije, koristi i termin generator električne energije). U električnim krugovima stalnih jednosmjernih struja i napona, potrošač je po pravilu predstavljen sa aktivnim električnim otporom R, kako je to predočeno i na slici 6.9. Slika broj 6.9 (a) Električna polja u naponskom izvoru i van njega, (b) Struktura osnovnog električnog kruga Da bi se u električnim krugovima stalnih jednosmjernih napona i struja, mogla održavati stacionarna raspodjela električnih naboja, odnosno konstantnost električnih potencijala unutar određenih područja, pored kulonskih - elektrostatičkih sila, moraju postojati i druge - neelektrostatičke sile. Ove sile (one se u teoretskoj elektrotehnici obično označavaju terminom strane sile) ponašaju se kao svojevrsni posrednici, putem kojih se drugi vidovi energije transformišu u električnu energiju, kako bi se stvorile pretpostavke za obavljanje električnog rada u razmatranom električnom krugu. Označi li se ta strana sila simbolom F *, tada električno polje E *, uzrokovano tom silom, ima smjer unutar generatora kao na slici 6.9 (a). Na račun energetskih resursa - akumuliranih unutar prikazanog generatorskog elementa (najčešće su ti resursi nelektričnog porijekla i obično formirani u sklopu određenih hemijskih reakcija) na krajevima tog elementa se ostvaruje povećana koncentracija pozitivnog električnog naboja q i negativnog električnog naboja ( q). Tako koncentrisani električni naboji dovode međutim i do pojave sila elektrostatskog polja između tih naboja, koja se jasno najjednostavnije reprezentuje preko vektora jačine elektrostatskog polja Eel, sa smjerom i u generatorskom elementu i van njega, kao na slici 6.9. 5

Na osnovu naprijed izloženog proizilazi da unutar generatora očigledno djeluje rezultantno električno polje E = E * + Eel, pod čijim uticajem se, pri specifičnoj provodnosti izvora σ Pi, pojavljuje električna struja čija je gustina određena relacijom: E = σ Pi J. To rezultantno polje, u unutrašnjosti generatora ima isti smjer, kao i strujne linije vektora gustine struje J, dakle od stezaljke generatora koja se nalazi na negativnom električnom potencijalu, ka stezaljci generatora, koja se nalazi na pozitivnom električnom potencijalu. Unutar generatora važi relacija: E d l = E * d l + E el d l (6.33) u kojoj je unutrašnja elektromotorna sila izvora označena sa : E * d l = Ei Unutrašnja elektromotorna sila izvora Ei, nastoji u izvoru pokrenuti električne naboje u smjeru koji je suprotan smjeru djelovanja sila elektrostatičkog polja E el. Elektrostatsko polje, kao što je već ranije konstatovano, pripada klasi konzervativnih vektorskih polja, zbog čega je linijski integral vektora jačine elektrostatskog polja E el, po bilo kojoj zatvorenoj putanji jednak nuli. Saglasno tome opravdano je pisati da je: mb E el d l = E el dl + E el dl = 0 E el dl = E el dl nakon čega se relacija (6.33) može pisati i kao: Ei = E d l + E el dl (6.34) S obzirom da je na spoljašnjem dijelu zatvorene putanje mb, to jeste dijelu te putanje koji leži van izvora električne energije-dakle putanji, E = E el E * d l = Ei = E d l posljednja relacija se može pisati i u obliku: E el d l = E d l + E el dl Ei = E d l + E dl (6.35) Prvi integral u relaciji (6.35) nije ništa drugo do pad električnog napona, odnosno gubitak električnog napona, koji se dešava unutar generatora električne energije zbog protivljenja generatora da se uspostavi električna struja I, čiji je vektor gustine već ranije 6

označavan sa J. Ovo protivljenje se fizikalno izražava preko unutrašnjeg aktivnog električnog otpora generatora r. Drugi integral u relaciji (6.35) predstavlja pad električnog napona, ili gubitak električnog napona, pri savladavanju protivljenja priključenog potrošača aktivne otpornosti R, uspostavljanju stalne jednosmjerne električne struje I, u prostom električnom krugu sa slike 6.9. Prema tome relaciji (6.35) je praktično ekvivalentna sa relacijom (6.36) Ei = E d l + E dl = r I + R I (6.36) Napon U AB, koji se registruje između krajeva potrošača aktivne električne otpornosti R, očigledno je usaglašen i po znaku i po smjeru sa električnom strujom I, koja je prolazeći upravo kroz taj aktivni električni otpor R i dovela do uspostavljanja tog električnog napona. Slika 6.10 (a) prikazuje slučaj usaglašenosti smjera električne struje I i njome izazvanog pada napona na otporniku R, električnog napona U AB, dok slika 6.10 (b) prikazuje slučaj neusaglašenosti smjera električne struje I i njome izazvanog pada napona na otporniku R, električnog napona U AB. Slično tome, slika 6.10 (c) prikazuje slučaj usaglašenosti smjera električne struje I i elektromotorne sile izvora električne energije E, dok slika 6.10 (d) prikazuje slučaj neusaglašenosti smjera električne struje I i elektromotorne sile izvora električne energije E. U oba ova slučaja, ukoliko je proizvod: E I > 0, tada izvor električne energije radi u generatorskom režimu rada (pražnjenje akumulatora). Relacija E I < 0, uz oznake kao na slikama 6.10 (c) i 6.10(d), signalizira da tada izvor radi u potrošačkom režimu rada (punjenje akumulatora). Slika 6.10 Primjeri usaglašenosti smjera električne struje I i električnog napona UAB odnosno usaglašenosti električne struje I i elektromotorne sile E 6.6 Drugi Kirchhoff-ov zakon za električne krugove U okviru provedene analize odnosa, između karakterističnih električnih veličina, u prostom električnom krugu sa slike 6.9, pomoću relacije (6.36) je definisana i jednačina naponske ravnoteže za to kolo. 7

Odnosi uspostavljeni u toj relaciji, mogu se međutim uspješno primjeniti i na bilo koju drugu složeniju zatvorenu putanju, ukoliko je ona formirana od grana koje ulaze u strukturu šeme nekog linearnog električnog kruga. Pri tome, unutar svake od tih grana mogu postojati i međusobno različiti, kako izvori električne energije, tako i potrošači električne energije. Uopštena metodologija, za opisivanje odnosa unutar takvih dijelova električnih krugova, formulisana je drugim Kirchhoff-ovim zakonom, koji glasi: U proizvoljnoj zatvorenoj konturi složenog linearnog električnog kruga, algebarska suma padova napona, uzrokovanih prolaskom struja I jk, kroz aktivne električne otpore R jk, uravnotežena je algebarskom sumom elektromotornih sila Ejk, koje djeluju unutar te razmatrane konture. Ovakva tvrdnja se formalno analitički izražava relacijom: Σ I jk R jk = Σ Ejk (6.37) Simboli j, k najčešće uzimaju vrijednosti prirodnih brojeva, a unutar posljednje relacije, oni naglašavaju da se unutar razmatrane zatvorene konture, analizira i grana koja povezuje čvorište j i čvorište k. Podcrtavanje termina, algebarska suma padova napona, odnosno algebarska suma elektromotornih sila, u drugom Kirchhoff-ovom zakonu ima za cilj da upozori svoje korisnike da predznak ispred pojedinih sabiraka u relaciji (6.37) može biti kako pozitivan, tako i negativan. Da bi se znalo tačno, koji predznak treba pridružiti pojedinim sabircima, odabranu zatvorenu konturu treba prvo orijentisati, i to bilo u smjeru kretanja kazaljke na satu, bilo u smjeru suprotnom od smjera kretanja kazaljke na satu. Potom treba i u svim granama, koje sačinjavaju razmatranu zatvorenu konturu, ukoliko to unaprijed nije propisano, predpostvaiti smjerove struja, što se kanališu tim granama. Nakon ovih predradnji, preostaje samo da se uvažava pravilo po kojem: ukoliko je smjer struje I jk u grani (j-k), podudaran sa smjerom orijentacije razmatrane zatvorene konture, tada je pad električnog napona I jk R jk, koji se dešava na otporniku R jk, zbog prolaska te struje, pozitivnog predznaka. Slično tome, ukoliko se struja koja bi krenula sa one stezaljke izvora elektromotorne sile Ejk koja ima veći električni potencijal, podudara sa smerom orijentacije razmatrane konture, tada djelovanje te elektromotorne sile u toj konturi, treba uzeti sa pozitivnim znakom. Primjer 6.1 U linearnom električnom krugu kao na slici, poznate su slijedeće vrijednosti: E1 = 18 V, E2 = 12 V, R 1 = 12 Ω, R 2 = 2 Ω, R 3 = 6 Ω, R 4 = 4 Ω. Odrediti vrijednosti stalnih jednosmjernih struja u svim granama električne šeme sa slike koristeći I i II Kirchhoff-ov zakon, za električne krugove. 8

Rješenje Orijentiše li se jedna kontura u smjeru ABCD, a druga u smjeru BEFC tada je moguće pisati da je: E1 = R 1 I 1 + R 3 (I 1 I 2 ) E2 = (R 2 + R 4 ) I 2 R 3 (I 1 I 2 ) Poslije uvrštavanja posebnih vrijednosti važi da je: 18 = 18 I 1 6 I 2 12 = 6 I 1 +12 I 2 I 1 = 0,8 A; I 2 = 0,6 A P gen = - I 1 E1 + I 2 E2 = 21,6 W ; P R = 12 0,64+2 0,36+6 1,96 + 4 0,36 = 21,6 W 9