7.1.3 Moment magnetnog dipola. Mehanički moment na strujnu konturu smještenu u stacionarno magnetno polje, okarakterisano magnetnom indukcijom B

Transcript

1 7.1.3 Moment magnetnog dipola. Mehanički moment na strujnu konturu smještenu u stacionarno magnetno polje, okarakterisano magnetnom indukcijom B Da bi se lakše uspostavila određena ekvivalencija između elektrostatskog polja i stacionarnog magnetnog polja, korisno bi bilo i u stacionarnom magnetnom polju imati veličinu, čija je uloga slična ulozi elementarnog električnog naboja q u elektrostatskom polju. Ideja o uvođenju magnetnih masa, ipak nije mogla udovoljiti takvim zahtjevima, jer bez obzira na nivo fizičke diobe permanentnog magneta i njegove trenutačne dimenzije, nakon takve diobe, uvijek se ponovo dobija permanentni magnet, ali samo manje zapremine. Kako se na ovaj način, očigledno nije uspjeo izolirati ni sjeverni magnetni pol, ni južni magnetni pol, nastavljeno je traganje za adekvatnim rješenjem prethodno postavljenog cilja. U tom smislu, prve dobre rezultate je pokazala ideja o uvođenju momenta magnetnog dipola m, vektorske veličine definisane relacijom: m = I S = I n o S (7.7) U relaciji (7.7) simbol I označava stalnu jednosmjernu struju, uspostavljenu u strujnoj konturi, koja ograničava površ S, za koju je jedinični vektor pozitivne normale, označen sa n o ( jedinični vektor pozitivne normale, u odnosu na zadatu površ S, je onaj vektor čiji pravac i smjer, sa smjerom orjentacije granice površi S, uvažava pravilo desnog zavrtnja ). Saglasno makroskopskom pristupu pri objašnjavanju magnetnih pojava, za elektron u atomu vodonika, sa aspekta njegovog idealiziranog kretanja po kružnoj orbiti poluprečnika r 0,53!0-10 m i njegovog naelektrisanja e = -1, C, a uz pretpostavku da se takvim kretanjem uspostavlja električna struja, I = e f, gdje je f = (ω / (2 π)), orbitalni magnetni moment iznosi: m = e f r 2 π = 1, Am 2. Kada se zatvorena strujna kontura sa stalnom jednosmjernom strujom I nalazi u homogenom magnetnom polju magnetne indukcije B, tada prema Laplasovom izrazu za elektromagnetnu silu, na svaki njen strujni element (I dl ) djeluje elementarna mehanička sila d F = (I dl ) x B. Uz uvažavanje dl = dr, prema slici broj (7.5) elementarni moment ove sile dm, u odnosu na proizvoljnu tačku O iznosi: d M = r x df (7.8) pri čemu je sa r označen vektor položaja napadne tačke sile df u odnosu na tačku O. Rezultantni moment M svih elementarnih sila, koje djeluju na analiziranu strujnu konturu, tada je: M = I r x (dr x B) = m x B (7.9) S obzirom da prema izrazu (7.9) izračunati moment elektromagnetskih sila ne zavisi eksplicitno od koordinata tačke O, dejstvo elektromagnetnih sila se svodi na čisti spreg sila, koji ima tendenciju da zaokrene konturu i to tako da se vektor magnetnog momenta strujne konture m, poklopi po pravcu i smjeru djelovanja sa vektorom magnetne indukcije B, stranog homogenog magnetnog polja 1

2 Slika broj 7.5 Zatvorena strujna kontura sa stalnom jednosmjernom strujom I Pri formiranju relacije (7.9), uz pomoć Teorije vektorskih polja, može se pokazati da je (1/2) r x dr = S, gdje je sa S označen vektor površi, koja se oslanja na zatvorenu strujnu konturu sa slike 7.5. Za jasnije razumjevanje djelovanja mehaničkog momenta na strujnu konturu, smještenu u stacionarno magnetno polje, okarakterisano magnetnom indukcijom B, povoljno je sagledati efekte opisane relacijom (7.9), na pravougaonu strujnu konturu, smještenu u homogeno magnetno polje, magnetne indukcije B, kao što je to prikazano na slici broj 7.6 Slika broj 7.6 Pravougaona strujna kontura u homogenom magnetnom polju magnetne indukcije B Neka je kroz krutu pravougaonu strujnu konturu PQRS, sa slike 7.6, usmjerena stalna jednosmjerna struja I, u smjeru PQRS i neka homogeno magnetno polje magnetne indukcije B ima takav pravac i smjer da linije vektora B dolaze pod pravim uglom u odnosu na stranice QR i SP dužine b. U skladu sa izrazom Laplacea za određivanje magnetne sile na provodnik sa stalnom jednosmjernom strujom I (7.5), lako se utvrđuje da sile koje djeluju na stranice PQ i RS, dužine a, imaju isti intenzitet i pravac, a suprotan smjer, i nastoje razvući pravougaonu konturu. Njihov intenzitet je određen relacijom: F a = I a B sin (l o, B o ), a na slici 7.6 2

3 formalno su označene simbolima F 3 i F 4 ( l o i B o su jedinični vektori strujnog elementa Idl i vektora magnetne indukcije B respektivno ). Sličnim rasuđivanjem, dolazi se i do zaključka, da na stranice QR i SP djeluju sile F 1 i F 2, koje takođe imaju isti intenzitet, iznosa ( I b B ) (na ovom dijelu strujne konture, jedinični vektori l o i B o, međusobno su ortogonalni), ali im je pravac i smjer djelovanja takav da obrazuju spreg sila, čiji je moment takav, da nastoji zarotirati konturu PQRS oko z ose (napadne tačke sila F 1 i F 2 međusobno su očigledno pomjerene ). Ukoliko se simbolom θ označi ugao, koji zaklapaju jedinični vektor pozitivne normale na strujnu konturu PQRS n o i jedinični vektor magnetne indukcije B o, tada se intenzitet zakretnog momenta, kojem se izlaže analizirana strujna kontura u opisanim uslovima, određuje prema relaciji: d M = r x df = a sin θ I b B (7.10) pri čemu je djelovanje zakretnog momenta takvo, da nastoji da dovede do podudaranja po pravcu i smjeru, djelovanje vektora n o i B o. Uz uvažavanje činjenice da je površina pravougaone konture PQRS S = a b, kao i ranije uvedene definicije ugla θ, proizilazi da je relacija (7.10) ništa drugo, do primjena izraza (7.8) i (7.9) na analizirani problem Hallov efekat Edwin Herbert Hall ( ), 1879 godine, je tokom provođenja eksperimenata sa studentima Univerziteta u Baltimoru, uočio jednu do tada neregistriranu pojavu, koja proizilazi iz sadejstva stacionarne električne struje, usmjeravane kroz tanku metalnu traku i stranog stacionarnog magnetnog polja, unutar kojeg se takva traka nalazi. U znak priznanja za pomenuto otkriće, u tehničkoj literaturi se danas uočena pojava, po pravilu naziva Hallov efekat. Da bi se što jednostavnije ilustrovao smisao Hallovog eksperimenta, na slici broj 7.7 je prikazana odgovarajuća laboratorijska struktura, koja se sastoji od: idealnog naponskog izvora sa naponom između stezaljki V o, stranog magnetnog polja, okarakterisanog vektorom magnetne indukcije B o, metalna pločica od odgovarajućeg materijala (monovalentni materijali, poput zlata, srebra, bakra, platine, natrijuma...), u obliku kvadra, sa dimenzijama L, d, w, te vrlo preciznog instrumenta za mjerenje električnog napona, idealnog voltmetra V H. Nakon zatvaranja strujnog kruga na slici 7.7, u razmatranom električnom krugu se uspostavlja stalna jednosmjerna struja intenziteta I o = J x w d = σ E o w d (7.11) U skladu sa klasičnom elektronskom teorijom, na slobodne elektrone supstance, koji se pomjeraju brzinom v, u skladu sa Lorentzovim izrazom za silu (7.1), djeluje elektromagnetna sila (-e v x B ), potiskujući ih ka donjoj stranici metalnog kvadra, površine (w L). 3

4 Slika broj 7.7 Struktura za objašnjavanje Hallovog efekta (eksperimenta) U opisanim uslovima, na donjoj osnovici kvadra se nagomilava negativan električni naboj q e, dok na gornjoj stranici površine L w nastaje povećana koncentracija pozitivnog električnog naboja q p. Između ta dva sloja naelektrisanja, međusobno razmaknuta za rastojanje d, tada djeluje elektrostatička sila : F y = q p E y, odnosno (q e E y ) pri čemu je vektor elektrostatskog polja E y usmjeren od gornje stranice, površine (w L), ka donjoj stranici površine (w L). Razdvajanje električnih naboja prestaje onog momenta, kada se uspostavi relacija: -e ( v x B ) e E y = 0 (7.12) koja omogućava da se, uz uvažavanje činjenice da su vektori v i B međusobno ortogonalni, formiraju relacije: J x E y = v B E y d = v B d V H = B d (7.13) e N* Simbolom V H (V H = E y d), predstavljen je električni napon između gornje i donje stranice površine (L w), J x označava intenzitet vektora gustine stacionarne električne struje ( J x w d = I o ) uspostavljene u analiziranom primjeru, dok simboli N * i e definišu zapreminsku gustinu električnih naboja, odnosno naelektrisanje jednog električnog naboja (prema klasičnoj elektronskoj teoriji, električnu struju obrazuju slobodni elektroni, odnosno elektroni provodnosti). Relacija (7.13) se može napisati i u alternativnom obliku (7.14) V H = k H d J x B (7.14) u kojem je sa k H = 1/ (e N*) označena Hallova konstanta, odnosno Hallov koeficijent. Kod metala Hallov koeficijent k H, ima malu vrijednost, jer je zapreminska gustina električnih naboja u metalu velika. Za monovalentne provodnika, elektroni su oslobođeni značajnijeg uticaja pozitivne jonske rešetke, pa je slaganje eksperimentalnih rezultata sa odgovarajućim analitičkim izrazima (7.14) tada posve zadovoljavajuće. 4

5 Međutim kod bivalentnih provodnika poput cinka, kadmijuma, berilijuma, postoji znatno odstupanje između rezultata dobijenih kroz eksperiment i odgovarajućih pokazatelja proisteklih iz analitičkih proračuna. Ovo neslaganje ne može da objasni klasična elektronska teorija, ali može zonska teorija elektrona, za čvrste materijale. U tehničkoj praksi, Hallov efekat je osnova za niz vrlo korisnih aplikacija. Jedno od takvih aplikacija je teslametar - uređaj za mjerenje intenziteta magnetne indukcije B ( određivanje intenziteta vektora magnetne indukcije B, vrši se na osnovu vrijednosti izmjerenog Hallovog napona V H, između bočnih strana kvadra sa slike 7.7 ), a vrlo često se uz pomoć Hallovog efekta određuju i pojedine relevantne karakteristike poluprovodnika Kretanje električnog naboja u magnetnom polju, magnetne indukcija B Uz upotrebu Lorentzovog izraza za silu ( 7.1), moguće je provesti i detaljniju analizu kretanja električnog naboja q, koji se tokom kretanja brzinom v, nađe u istom trenutku i u magnetnom polju, okarakterisanom magnetnom indukcijom B i u elektrostatskom polju, okarakterisanom vektorom jačine elektrostatskog polja E. Takva analiza bez sumnje je vrlo korisna, jer je u tehničkoj praksi i aktuelnim istraživačkim poduhvatima, upravljanje kretanjem električnih naboja, pomoću električnog i magnetnog polja, široko rasprostranjeno. S obzirom da u početnom kretanju električnog naboja q, kada je njegova brzina kretanja mala, dominantan uticaj ima komponenta elektromagnetne sile, koja je proporcionalna vektoru jačine elektrostatskog polja E, te da pri porastu intenziteta vektora brzine v, sve veći uticaj na tok kretanja električnog naboja, ima komponenta elektromagnetne sile koja je proporcionalna vektoru ( v x B ), zahtjevana analiza uspostavljanja trajektorije kretanja električnog naboja u opisanim uslovima, često se sagledava tako da se u prvoj fazi odvojeno sagledava efekat djelovanje vektora E, od efekta djelovanja vektora B. Tek nakon tako dobijenih rezultata, pristupa se integralnoj obradi problema jednovremenog djelovanja i elektrostatskog polja i magnetnog polja. U tom smislu, neka homogeno strano magnetno polje, okarakterisano vektorom magnetne indukcije B, djeluje u pravcu i smjeru koji je kolinearan sa pravcem i smjerom vektora početne brzine kretanja električnog naboja v. U takvim uslovima, komponenta elektromagnetne sile proporcionalna vektoru ( v x B ), jednaka je nuli, pa se električni naboj kreće pravolinijski, po trajektoriji koju određuju samo karakteristike električnog naboja (m q, q, v q ) i postojeće elektrostatsko polje E ( mada je i tada prisutno i strano magnetno polje). Nije ništa manje opravdano sagledati i drugi granični slučaj, dakle slučaj kada strano homogeno magnetno polje, okarakterisano vektorom magnetne indukcije B, djeluje u pravcu i smjeru, koji je upravo ortogonalan na pravac i smjer vektora početne brzine kretanja električnog naboja v. Pri takvim uslovima, komponenta Lorentzove sile, proporcionalna vektoru ( v x B ), ima maksimalan intenzitet, a djeluje tako da nastoji otkloniti trajektoriju kretanja električnog naboja q, od pravolinijske trajektorije iz prethodnog slučaja i nema uticaja na izmjenu njegove brzine. Obilježi li se sa r poluprečnik krivine trajektorije električnog naboja, u opisanim uslovima je brzina v q praktično tangencijalna brzina, pri kružnom kretanju, koje se uspostavlja uravnoteženjem 5

6 magnetne komponente u ukupnoj sili ( q v q B) i centripetalne sile: ( m q (v q ) 2 r -1 ). Na osnovu relacije (7.15) ( q v q B) = ( m q (v q ) 2 r -1 ) (7.15) moguće je odrediti i poluprečnik r, tako uspostavljene kružne trajektorije kretanja električnog naboja q: r = (m q v q )(q B) -1. S obzirom da je brzina pomjeranja električnog naboja v q konstantna, za vrijeme T će električni naboj q obići cijelu kružnu putanju, 2 π r 2 π m q T = = (7.16) v q q B Recipročna vrijednost vremena obilaska kružne putanje T označava se sa f i naziva frekvencija kruženja ili učestanost kruženja. Ona je očigledno direktno proporcionalna intenzitetu vektora magnetne indukcije, ali ne zavisi od brzine sa kojom električni naboj ulazi u prisutno magnetno polje. Slika broj 7.8 (a) Vektori v i B su ortogonalni; (b) Vektori v i B zaklapaju ugao Ө, 0 < Ө < π/2 Slučaj kada električni naboj q, ulazi u područje magnetnog polja indukcije B, sa brzinom v q čiji vektor v q, sa vektorom magnetne indukcije B zaklapa ugao Ө, 0 < Ө < π/2, može se proanalizirati i na slijedeći način. Vektor brzine kretanja električnog naboja q, dakle v q, razloži se na dvije međusobno ortogonalne komponente: v p kolinearnu sa vektorom B i v n ortogonalnu u odnosu na vektor B. S obzirom da vektori v q i B zaklapaju međusobno ugao Ө, tada vrijede i relacije : v p = v q cos Ө, v n = v q sinө Sila koja djeluje na električni naboj u slučaju prikazanom na slici 7.8 (b), određena je relacijom: F = q ( v q x B ) = q ( v p + v n )x B = q ( v n ) x B, pa je poluprečnik kružne trajektorije kretanja električnog naboja u ovom slučaju: 6

7 r = ( m v q sinө)(q B ) -1. (7.17) S obzirom da sada postoji i komponenta brzine kretanja električnog naboja q u smjeru vektora magnetne indukcije B, to je korak cilindrične spirale p, koju opiše električni naboj q, tokom vremenskog intervala T, jednak: p = ( 2 π m q v q cos Ө ) (q B ) -1 (7.18) Promjenom intenziteta vektora magnetne indukcije B moguće je mjenjati i poluprečnik kružne putanje r i korak cilindrične spirale p. Na slici broj 7.9, prikazani su slučajevi konvergiranja električnog naboja ka pravolinijskoj putanji (naboj se kreće u smjeru porasta intenziteta vektora magnetne indukcije B) i divergiranja električnog naboja od pravolinijske putanje ( naboj se kreće nasuprot smjeru porasta intenziteta vektora magnetne indukcije B). Slika broj 7.9 Trajektorije kretanja električnog naboja u prostoru djelovanja vektora magnetne indukcije B, čiji se intenzitet mijenja U skladu sa Lorentzovim izrazom za silu (7.1), moguće je formirati i jednačine dinamičkog kretanja električnog naboja q, iz kojih se analitički može rekonstruisati trajektorija njegovog kretanja. Te jednačine su izražene relacijama (7.19) i (7.20): d v m q = q e ( v x B ) + q e E (7.19) d t Pri tome u vektorskoj diferencijalnoj jednačini I reda (7.19), promjenljiva veličina je vektor brzine kretanja električnog naboja v, dok je u vektorskoj diferencijalnoj jednačini II reda (7.20), promjenljiva veličina vektor položaja r, električnog naboja q d 2 r dr m q = q e ( x B ) + q e E (7.20) d t 2 dt 7

8 Prethodni opis kretanja električnih naboja, koji se kreću brzinom v unutar prostora u kojem djeluje i elektrostatsko polje (okarakterisano vektorom jačine elektrostatskog polja E ) i magnetno polje (okarakterisano vektorom magnetne indukcije B ) dobra je osnova za kompletnije razumjevanje kako tehnologije upravljanja trajektorijom kretanja električnih naboja, tako i procesa ubrzavanja kretanja elementarnih električnih naboja u posebnim napravama kao što su ciklotroni i betatroni (u ciklotronu elementarne čestice dobijaju početno ubrzanje posredstvom električnog polja, a nakon toga se pomoću magnetnog polja koriguje njena putanja - daje joj se kružni oblik, potom se pomoću električnog polja čestica dodatno ubrzava, a onda opet podvrgava djelovanju magnetnog polja i tako sve dok se ne ostvari željena brzina čestice. Za ciklotron je karakteristično da se njegov rad zasniva na superpoziciji djelovanja električnog i magnetnog polja. Međutim u betatronima se i ubrzavanje električnog naboja i iskrivljavanje njegove putanje odvija kroz djelovanje jedinstvenog elektromagnetnog polja ) 8 Magnetno polje proizvedeno strujom U ovom poglavlju će se obraditi analitičke metode koje omogućavaju da se provedu proračuni karakterističnih veličina magnetnog polja (vektora magnetne indukcije B, vektora jačine magnetnog polja H, vektora magnetizacije M, magnetnog fluksa Ф), te dati objašnjenje za uzroke različitog ponašanja pojedinih materijala, kada se izlože djelovanju stranog magnetnog polja. Mada Biot Savart - Laplace-ov zakon, zatim Ampère-ov zakon u osnovnom i uopštenom obliku, te njima slične matematičke relacije, otvaraju prostor samo za neophodne proračune magnetnih karakteristika određenih geometrijskih oblika provodnika, sa stacionarnim strujama, njihovim pravilnim razumjevanjem i tumačenjem mogu se ipak rješavati i drugi komplikovaniji problemi, jasno ukoliko se koriste i aktuelni računarski algoritmi i pridružena im infrastruktura. 8.1 Biot- Savart- Laplace-ov zakon Rješavanje problema određivanja magnetnih karakteristika magnetnog polja, nastalog zbog proticanja stacionarne električne struje kroz provodnike smještene u tom području, u prvoj fazi se zasnivalo na korištenju rezultata eksperimentalnih istraživanja, provedenih uglavnom u vazduhu. Prve značajnije rezultate na tom polju, koji se respektuju u tehničkoj literaturi i danas, ostvarili su Biot ( Jean Baptiste Biot, ( ) francuski fizičar ) i Savart ( Félix Savart ( ) francuski fizičar). Oni su zaključili da je, u slučaju veoma dugih žičanih provodnika, postavljenih u vazduhu, intenzitet uspostavljenog magnetnog polja obrnuto proporcionalan, spram udaljenosti, računate od tačaka u kojim se polje mjeri, do provodnika sa stacionarnom strujom, koji upravo generiše to magnetno polje. Istovremeno su zaključili i da je u fiksiranoj tački prostora, intenzitet magnetnog polja direktno proporcionalan intenzitetu stacionarne električne struje, pod uslovom da provodnik sa tom strujom prostorno miruje. Njihov sunarodnjak Pouillet ( Claude-Servais-Mathias Pouillet ( ) francuski fizičar) je utvrdio da u slučaju žičane, kružne, strujne konture, poluprečnika r, u centru te konture, postoji direktna proporcionalnost magnetne indukcije B, stvorene stacionarnom strujom I i same te struje,odnosno dužine konture l, kao i da je ta ista magnetna indukcija B, obrnuto 8

9 proporcionalna kvadratu poluprečnika te konture r, jasno kada je stacionarna struja fiksiranog iznosa. Vrijednosti koeficijenata proporcionalnosti k 1 i k 2, koje su upotrebljavali Biote i Savart, odnosno Pouillet, u odgovarajućim izrazima, tokom opisivanja rezultata vlastitih eksperimenata: I I l B = k 1 ; odnosno B = k 2 a r 2 određeni su kasnije, uz korištenje rezultata istraživanja Ampèra. Tada je i utvrđeno da ti koeficijenti iznose: k 1 = µ /(2π) i k 2 = µ /(4π). Nastojeći poopštiti rješenje problema određivanja magnetne indukcije, za slučajeve provodnika ma kakvog geometrijskog oblika, opterećenih stacionarnom električnom strujom, Laplace je došao do sljedećih zaključaka: 1) Kada više permanentnih magneta, i/ili pak provodnika sa stacionarnim električnim strujama, stvara vlastita magnetna polja u okolnom prostoru, tada se rezultantno magnetno polje određuje sabiranjem njihovih pojedinačnih magnetnih polja, po pravilima vektorskog računa. Pri tomu se svako pojedinačno magnetno polje računa potpuno nazavisno, kao da nema djelovanja ostalih magnetnih polja. 2) Tokom određivanja magnetnog polja izolovanog provodnika, kroz koji se usmjerava stacionarna električna struja, dozvoljeno je smatrati da magnetno polje svakog strujnog elementa (I dl ) nastaje nezavisno od djelovanja ostalih strujnih elemenata razmatranog sistema. Ukupna magnetna indukcija, koju generiše cjelokupan provodnik, tokom usmjeravanja stacionarne električne struje, jednaka je zbiru elementarnih magnetnih indukcija, nastalih djelovanjem pojedinih strujnih elemenata, pri čemu se zbir formira po pravilima vetorskog računa, jer je magnetna indukcija vektorska veličina. 3) Elementarna magnetna indukcija db, koju u tački P, smještenoj u vazduhu, stvara strujni element (I dl ), određena je relacijom (8.1) I dl x R o db P = µ o (8.1) 4 π R 2 u kojoj je sa R označeno najkrače rastojanje od sredine strujnog elementa pa do tačke P, a sa R o jedinični vektor pridružen tom rastojanju i usmjeren od strujnog elementa ka okolnom prostoru. Kako i strujni element ( I dl ) ima vektorsku prirodu, njegov smjer je određen smjerom struje, koja se uspostavlja kroz provodnik, čiji je on dio. Na slici broj 8.1 je dat jedan pristup pri grafičkoj interpretaciji odnosa iskazanih relacijom (8.1). 9

10 Slika broj 8.1 Grafičke interpretacije odnosa definisanih relacijom (8.1) U skladu sa pravilima vektorskog računa, vektor db P je normalan na ravninu u kojoj se nalaze vektori dl i R o, pri čemu vektori ( dl, R o, db P ) formiraju, u matematskom smislu, desni trijedar. Ukoliko se stacionarna električna struja izražava preko pripadnog joj vektora gustine struje J, pridruženog strujnoj tubi poprečnog presjeka ds i dužine dl, izraz (8.1) se tada modificira u oblik, predočen sa relacijom (8.2) µ o J( r ) ds dl x R o db P = (8.2) 4 π R 2 Pri određivanju vrijednosti vektora magnetne indukcije u tački P, B P, treba objediniti sva djelovanja iskazana relacijom (8.2), odnosno koristiti relaciju (8.3) µ o J( r ) x R o dv B P = (8.3) V 4 π R 2 u kojoj je sa dv označena elementarna zapremina analizirane strujne tube, dv = ds dl. Mada se kreacija relacije iskazane sa (8.1), odnosno sa (8.2), pripisuje Laplace-u, u literaturi se ista vrlo često naziva, ili Biot-Savart-ov zakon, ili Biot-Savart-Laplace-ov zakon. 10

11 8.2 Ampère-ov zakon u osnovnom obliku Pri analizi provodnika sa stacionarnom električnom strujom, u mnogim slučajevima koji su interesantni za tehničku praksu, vrijednost vektora magnetne indukcije B, može se jednostavnije odrediti primjenom Ampère-ovog zakon u osnovnom obliku za određivanje vektora magnetne indukcije B, nego kada se isti zadatak rješava korištenjem prethodno opisanog Biot-Savart-Laplace-ovog zakona. S obzirom da je tokom analize magnetnih pojava, vrlo često u upotrebi i Ampère-ov zakon za izračunavanje sile između dvije strujne konture, onda je korisno naglašavati da je ovdje riječ o Ampère-ovom zakonu za određivanje vrijednost vektora magnetne indukcije B. Ampère-ov zakon za određivanje vrijednosti vektora magnetne indukcije B glasi: Cirkulacija vektora magnetne indukcije B, po zatvorenoj konturi C, smještenoj u vazduhu, jednaka je algebarskom zbiru svih struja, koje prolaze provodnicima što su obuhvaćeni konturom C, pomnoženom sa µ o. Analitički se ovi odnosi iskazuju relacijom (8.4): C B dl = µ o Σ I = µ o S J ds (8.4) Kontura C se treba orijentisati u smjeru njenog obilaska, tokom procesa integriranja. Struje čiji smerovi sa orijentacijom konture C formiraju «desni zavrtanj», pri tome se računaju sa predznakom plus, dok se strujama koje imaju drugačiji smjer, pridružuje znak minus. Amperov zakon se može iskazati i u alternativnom obliku, ako na relaciju (8.4) primjenimo teoremu Stokes-a. Prema teoremi Stokes-a ( Sir George Gabriel Stokes, irski matematičar i fizičar ( )), cirkulaciju vektora magnetne indukcije po zatvorenoj konturi C, moguće je izjednačiti sa fluksom rotora tog istog vektora, koji prodire kroz površ S, koja se oslanja na konturu C, dakle važi : C B dl = S ( x B ) ds (8.5) Na osnovu relacija (8.4) i (8.5), jednostavno se zaključuje da je: rot B = ( x B ) = µ o J (8.6) što se u teoretskoj elektrotehnici označava kao diferencijalni oblik Ampère-ova zakona za određivanje vrijednosti vektora magnetne indukcije B. Primjer 8.1 Dat je veoma dugačak cilndrični provodnik poluprečnika a, kroz koji se usmjerava stalna jednosmjerna električna struja I, sa smjerom kao na slici broj 8.2. Odrediti analitičke izraze za promjenu intenziteta vektora magnetne indukcije B, u funkciji odstojanja razmatranih tačaka od aksijalne ose tog provodnika i to za slučajeve: 11

12 a) Intenzitet vektora gustine električne struje J je isti u svim tačkama poprečnog presjeka provodnika b) Intenzitet vektora gustine električne struje J se mijenja u tačkama poprečnog presjeka provodnika prema zakonitosti J = K r Rješenje: a) Na osnovu relacije C 0 < r 1 a B dl = µ o S J ds, slijedi da je za: 2π 0 2π µ o 0 ( B φ φ o ) (φ o r 1 dφ ) = µ o S I r1 0 k k r dr dφ = µ o I 1 π a 2 J ds = Sa I 1 je označen onaj dio struje I, koji se usmjerava kroz poprečni presjek A 1 = r 1 2 π, koji obuhvata kontura C 1 I 2 B φ r 1 2π = µ o π r 1, 0 < r 1 a π a 2 B φ r 2 2π = µ o I, a < r 2 Zbirno se može pisati da je vektor magnetne indukcije određen relacijama: I ( µ o r ) φ o, 0 < r a 2 π a 2 B = I ( µ o ) φ o a < r 2 π r Na slici broj 8.2 grafički je prikazana promjena magnetne indukcije B, u funkciji odstojanja analiziranih tačaka od aksijalne ose tog provodnika. Pri riješavanju zadatka pod tačkom (b) treba uzeti u obzir da je u području: 0 < r a C B dl = µ o S 2π J ds = µ o 0 a 0 K r k k r dr dφ = µ o I, 12

13 odakle slijedi da je: K = 3 I ( 2 π a 3 ) -1, Uz uvažavanje utvrđene vrijednosti za parametar K, intenzitet magnetne indukcije B φ je: B φ r 1 2 π = µ o 3 I ( 2 π a 3 ) -1 ( 2 π r 1 3 )/3, 0 < r 1 a I B = ( µ o r 2 ) φ o, 2 π a 3 I B = ( µ o ) φ o 2 π r 0 < r a a < r Slika broj 8.2 Određivanje vektora magnetne indukcije B, kod veoma dugog cilindričnog provodnika, poluprečnika a 13