Βιομαθηματικά BIO-156 Παραγώγιση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 217 lika@biology.uoc.gr
Φυσική ερμηνεία της παραγώγου Μέσος ρυθμός μεταβολής της στο διάστημα [, +] με Δ= + - =, Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής Η παράγωγος ερμηνεύεται ως στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής μιας ποσότητας, με την προϋπόθεση ότι το όριο υπάρχει.
Παράγωγος μιας συνάρτησης Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο αν και μόνο αν το όριο υπάρχει. Αν το όριο υπάρχει θα το ονομάζουμε παράγωγο της στο και θα το d συμβολίζουμε με ή d Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο η παράγωγός της ορίζεται ως
Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου Η παράγωγος είναι η κλίση της εφαπτομένης του γραφήματος της στο σημείο,. ε Q:+,+ ε P:, + Έστω ένας μικρός αριθμός. Χαράσσουμε την τέμνουσα ευθεία ε που περνά από τα σημεία P, και Q+,+ στο σχήμα >. Καθώς το, το QP και η ευθεία ε τείνει σε μια οριακή θέση ευθεία ε. Παρόμοια, για <, η τέμνουσα θα τείνει προς την ίδια οριακή θέση ευθεία ε. Την ευθεία ε την ονομάζουμε εφαπτομένη του γραφήματος της στο σημείο,.
Η εξίσωση της εφαπτομένης Αν η παράγωγος μιας συνάρτησης υπάρχει στο =c, τότε η c είναι η κλίση της εφαπτόμενης ευθείας στο σημείο c,c. Η εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας είναι y c c c
Παραγώγιση και συνέχεια Μια συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής αλλά όχι παραγωγίσιμη σε κάποιο σημείο. Για παράδειγμα, η συνάρτηση,, είναι παντού συνεχής αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη στο. Πράγματι, 1, 1, 1 1 δεν υπάρχει
Θεώρημα: Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή υπάρχει τότε η είναι και συνεχής στο δηλαδή. Απόδειξη Γράφουμε ' ' ή ', Υπάρχει R
Εφαρμογή του ορισμού Να υπολογιστoύν οι παράγωγοι των συναρτήσεων b m 1 2 2 3 m m b m b m 1 1 1 1 1 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' 2 2 1 1 1 3 3 3 3 3 ' Για
Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων
Θεωρήματα Έστω και g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο και. Τότε 1. +g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει 2. α είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει 3..g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει 4. Αν, τότε και είναι παραγωγίσιμες στο και a R g g a a g g g g g g 1 2 2 1 g g g g g g g
Θεωρήματα Έστω και g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο και a R. Τότε 5. Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και η είναι παραγωγίσιμη στο g, τότε η σύνθεση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει g g g 6. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, τότε και η αντίστροφή της 1, αν υπάρχει, είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει ότι αν 1 τότε 1 1 1
Παράγωγοι ανώτερης τάξης Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε κάποιο διάστημα, τότε ορίζεται η πρώτη παράγωγος της, Αν η είναι παραγωγίσιμη, τότε μπορούμε να ορίσουμε την παράγωγό της που ονομάζεται δεύτερη παράγωγος της, και συμβολίζεται Εφόσον οι συναρτήσεις που προκύπτουν παραγωγίζοντας είναι παραγωγίσιμες μπορούμε να συνεχίσουμε τη διαδικασία της παραγώγισης. Γενικά, τη n-οστή παράγωγος της τη συμβολίζουμε: n ή Κάθε πολυώνυμο P έχει μια παράγωγο P η οποία είναι επίσης πολυώνυμο, και κάθε ρητή συνάρτηση Q έχει παράγωγο που είναι επίσης ρητή συνάρτηση. Τα πολυώνυμα και οι ρητές συναρτήσεις έχουν παραγώγους όλων των τάξεων. Για ένα πολυώνυμο n-οστού βαθμού, οι παράγωγοι ανώτερης της n-οστής τάξης είναι μηδέν. d n d n
Μονοτονία και καμπυλότητα Η εξίσωση von Bertalany περιγράφει την αύξηση οργανισμών που δεν σταματούν να αυξάνουν στη διάρκεια ζωής τους indeterminate growt π.χ. ψαριών Lt =L L L e - kt Lt : μήκος στην ηλικία t L : μήκος στην ηλικία L : ασυμπτωτικό μέγιστο μήκος L >L και k > Lt k 1 k 2 L t =kl L e -kt k 1 >k 2 L't L t> t Το ψάρι αυξάνει σε μήκος σ όλη τη ζωή του, αλλά ο ρυθμός αύξησης μειώνεται με την ηλικία t
Μονοτονία συνάρτησης Ορισμός. Μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ είναι γνησίως αύξουσα αν 1 < 2 για 1 < 2 στο Δ y y γνησίως φθίνουσα αν 1 > 2 για 1 < 2 στο Δ y y
Μονοτονία συνάρτησης Θεώρημα. Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο α,β. Αν Αν Αν a,, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] a,, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο [α,β] a,, τότε η είναι σταθερά στο [α,β] Το θεώρημα ισχύει και για διαστήματα της μορφής [α,β, α,β], α,β, a,
Καμπυλότητα μιας συνάρτησης κυρτή y y 1 2 1 2 < 1 < 2 1 < 2 < κοίλη y y 1 2 1 2 1 > 2 > > 1 > 2
Καμπυλότητα μιας συνάρτησης Ορισμός. Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο α,β. Το γράφημα της λέγεται κυρτό αν και μόνο αν η είναι γνησίως αύξουσα και κοίλο αν και μόνο αν η είναι γνησίως φθίνουσα. Θεώρημα. Έστω ότι η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β. Αν a,, τότε το γράφημα της είναι κυρτό. Αν a,, τότε το γράφημα της είναι κοίλο.
Συνάρτηση του Monod Περιγράφει το ρυθμό αύξησης ενός οργανισμού ως συνάρτηση της συγκέντρωσης ενός θρεπτικού Ν r N ma r N, N K N r ma και K θετικές σταθερές r r K K N 2r K K N ma ma N r N 2 3 Επειδή r ma και K θετικές σταθερές και N, r N > r αύξουσα συνάρτηση του N r N < κοίλη Η r αυξάνει με φθίνοντα ρυθμό επιβράδυνση
Λειτουργική απόκριση unctional response Μια συνάρτηση που συνδέει το ρυθμό κατανάλωσης της τροφής με τη συγκέντρωση της τροφής X. Ο οικολόγος Holling πρότεινε 3 τύπους: Holling s Type I, Type II, Type III. Type II λειτουργική απόκριση ax C X, X 1 abx C : ρυθμός κατανάλωσης a : ρυθμός που βρίσκει την τροφή a> b : μέσος χρόνος που ξοδεύει ο καταναλωτής για να επεξεργαστεί/χειριστεί ένα κομμάτι τροφής b> Δείξτε ότι CX αυξάνει για όλα τα Χ Δείξτε ότι C X > για όλα τα Χ > και ότι η κατανάλωση επιβραδύνεται για μεγάλες συγκέντρωσης τροφής Δείξτε ότι C X< για όλα τα Χ >
Τοπικά ακρότατα Ορισμός. Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ, λέμε ότι έχει στο c τοπικό μέγιστο αν και μόνο αν c c, c Για κάθε αρκετά κοντά στο c τοπικό ελάχιστο αν και μόνο αν c c, c Για κάθε αρκετά κοντά στο c Όταν μια συνάρτηση έχει στο c τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο τότε λέμε ότι η έχει στο σημείο c τοπικό ακρότατο.
Εύρεση τοπικών ακρότατων 1 Θεώρημα. Έστω : ΔR, και c ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος Δ. Αν η έχει τοπικό ακρότατο στο c, τότε είτε c= είτε c δεν υπάρχει. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Π.χ. 2 3, 3, αλλά αυτή η συνάρτηση δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. Όταν η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διαστήματα της μορφής [α,β], [a, +, -,β] τα άκρα του διαστήματος είναι τοπικά ακρότατα.
Εύρεση τοπικών ακροτάτων 2 Για μια συνεχή συνάρτηση τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ για τα οποία ισχύει =, ονομάζονται στάσιμα σημεία της. Τα στάσιμα σημεία καθώς και τα σημεία στα οποία η δεν είναι παραγωγίσιμη ονομάζονται κρίσιμα σημεία. Οι θέσεις των πιθανών τοπικών ακρότατων μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού ένα κλειστό διάστημα [α,β] είναι τα κρίσιμα σημεία και τα άκρα του διαστήματος
Κριτήριο της πρώτης παραγώγου Υποθέτουμε ότι c είναι ένα κρίσιμο σημείο της συνάρτησης και ότι η είναι συνεχής στο c. Αν υπάρχει ένα διάστημα c-δ,c+δ τέτοιο ώστε Αν και τότε το c είναι ένα τοπικό μέγιστο. Αν και τότε το c είναι ένα τοπικό ελάχιστο., c c, c c, c c, c c c c c c
Κριτήριο της δεύτερης παραγώγου Έστω ότι η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο σημείο c και c=. Αν c> τότε c είναι τοπικό ελάχιστο. c Αν c< τότε c είναι τοπικό μέγιστο. κοίλη c
Ολικό μέγιστο και ελάχιστο Έστω d ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Η d είναι ολικό μέγιστο αν και μόνο αν d στο πεδίο ορισμού της. Η d είναι ολικό ελάχιστο αν και μόνο αν d στο πεδίο ορισμού της. Αν είναι συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], τότε η έχει ένα ολικό μέγιστο και ένα ολικό ελάχιστο στο [α,β]. Από το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμή
Άσκηση Βρείτε όλα τα τοπικά και ολικά ακρότατα της συνάρτησης 3 2 4 2 3 6 2 2 Απ. Τοπικό μέγιστο στο = Τοπικά ελάχιστα στο =2 και =-1 Ολικό ελάχιστο στο =2
Σημεία καμπής μιας συνάρτησης Ορισμός. Ένα σημείο c, c ονομάζεται σημείο καμπής της αν και μόνο αν υπάρχει δ > τέτοιο ώστε το γράφημα της έχει αντίθετη καμπυλότητα στο διάστημα c-δ,c από την καμπυλότητα στο διάστημα c,c+δ. κοίλη Σημείο καμπής κυρτή Πρόταση. Αν c, c είναι σημείο καμπής, τότε είτε c= είτε c δεν υπάρχει. Τα σημεία καμπής αναζητούνται μεταξύ των ριζών της εξίσωσης = και τα σημεία του πεδίου ορισμού της στα οποία η δεν υπάρχει.
Ασύμπτωτες Η ευθεία y=β είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της, όταν η Η ευθεία =α είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της, όταν ένα τουλάχιστον από τα όρια, είναι Η ευθεία y=α+β είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της, όταν και μόνο όταν a R και a R
Μελέτη μιας συνάρτησης Προσδιορίζουμε το πεδίο ορισμού της. Αναζητούμε συμμετρίες άρτια, περιττή, περιοδική. Εξετάζουμε τη συνέχειά της στο πεδίο ορισμού. Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία. Προσδιορίζουμε τη μονοτονία. Βρίσκουμε τα τοπικά ακρότατα. Προσδιορίζουμε την καμπυλότητα και τα σημεία καμπής αν υπάρχουν της γραφικής παράστασης της. Βρίσκουμε τις ασύμπτωτες αν υπάρχουν. Εντοπίζουμε, αν υπάρχουν, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες.
y Παράδειγμα 5 =3 5-5 3 +1 4 3 2 1 τ.μ. σ.κ σ.κ -1-2 -3 σ.κ. τ.ε. -4-5 -2-1.5-1 -.5.5 1 1.5 = 15 4-15 2 =15 2 2-1 = 6 3-3 =32 2-1 -1 -.5.5 1 + - - - - + - - + - + + = - = - -1 = 3 1 = -1 = 1
Μέθοδος της διχοτόμησης Ο πιο απλός αλγόριθμος να βρίσκεις ρίζες. Χρησιμοποιεί το θεώρημα του Bolzano. Ξεκινάμε με ένα διάστημα [α,β] όπου η συνάρτηση στα άκρα παίρνει αντίθετες τιμές αb<. Μειώνουμε διαδοχικά το μήκος παίρνοντας μια τιμή στο μέσο του διαστήματος. Συνεχίζουμε μέχρι να απομονωθεί η λύση με όση ακρίβεια είναι επιθυμητή. Για τη συνάρτηση = 3 5-5 3 +1-1=3, -2=-55-1 -2< Υπάρχει ρίζα στο -2,-1-3/2< -3/2-1< Υπάρχει ρίζα στο -3/2,-1-5/4> -3/2-5/4< Υπάρχει ρίζα στο -3/2,-5/4 1/2> και 1< 1/2 1< Υπάρχει ρίζα στο 1/2,1 3/4< 1/2 3/4< Υπάρχει ρίζα στο 1/2,3/4 1< και 2> 1 2< Υπάρχει ρίζα στο 1,2 3/2> 1 3/2< Υπάρχει ρίζα στο 1,3/2
Παράδειγμα 1 Ένας πληθυσμός βακτηρίων περιγράφεται από τη συνάρτηση 1 N t, t 2t 1 3e Νt : αριθμός βακτηρίων τη χρονική στιγμή t. Ποιος είναι ο ρυθμός αύξησης; Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός αύξησης και σε ποια χρονική στιγμή συμβαίνει; Να γίνει η γραφική παράσταση.
Παράδειγμα 2 Holling Type III Λειτουργική απόκριση Ορίζεται παρόμοια με τη Type II, αλλά υποθέτει ότι για μικρές συγκεντρώσεις τροφής ο ρυθμός κατανάλωσης επιταχύνεται. C 2 ax X 1 abx 2, X C : ρυθμός κατανάλωσης a : ρυθμός που βρίσκει την τροφή a> b : μέσος χρόνος που ξοδεύει ο καταναλωτής για να επεξεργαστεί/χειριστεί ένα κομμάτι τροφής b> Δείξτε ότι CX αυξάνει για όλα τα Χ Δείξτε ότι C X > για όλα τα Χ > και ότι η κατανάλωση επιταχύνεται για χαμηλές συγκεντρώσεις τροφής και επιβραδύνεται για μεγάλες συγκέντρωσης τροφής Δείξτε ότι υπάρχει μια τιμή X=c> τέτοια ώστε C c=, C X> για <Χ <c και C X< για Χ >c
Παράδειγμα 3 Μια εξίσωση που χρησιμοποιείται για τον πυκνοεξαρτόμενο ρυθμό αύξησης ενός πληθυσμού είναι η λογιστική αύξηση G N r> : ενδογενής ρυθμός αύξησης intrinsic growt rate K> : φέρουσα ικανότητα carrying capacity K N rn K Ν : πληθυσμιακό μέγεθος Na βρεθεί το πληθυσμιακό μέγεθος που οδηγεί σε μέγιστο ρυθμό αύξησης Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός αύξησης; Για ποιοα πληθυσμιακό μέγεθος ο ρυθμός αύξησης μηδενίζεται; Να γίνει η γραφική παράσταση.
Παράδειγμα 4 Θεωρείστε ένα σφαιρικό κύτταρο που απορροφά θρεπτικά με ρυθμό ανάλογο της επιφάνειας και τα καταναλώνει με ρυθμό ανάλογο του όγκου. Να βρεθεί το μέγεθος του κυττάρου για το οποίο ο ρυθμός μεταβολής των θρεπτικών στο κύτταρο είναι μέγιστος.
Οι κανόνες του L' Hoˆ pital Έστω και g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις και Πρόταση 1 Αν και a, R {, } g a a, τότε a g g a g a Πρόταση 2 Αν a, a g και g a τότε g a g a
Θεώρημα του Rolle Αν η είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο α,β, συνεχής στο [α,β], και α=β, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός ξ μεταξύ α και β τέτοιος ώστε ξ=. Θεώρημα Μέσης Τιμής Αν η είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο α,β, συνεχής στο [α,β], τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός ξ μεταξύ α και β τέτοιος ώστε a a
Συνέπειες του θεωρήματος μέσης τιμής 1. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο είναι =, τότε η είναι σταθερή στο Δ. 2. Αν οι συναρτήσεις και g είναι συνεχείς στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο ισχύει = g, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε = g +c
Προτεινόμενη Βιβλιογραφία C. Neuauser Calculus or biology and medicine Pearson/Prentice Hall, 24 Capter 4: Dierentiation Capter 5: Applications o dierentiation όχι 5.6, 5.7, και 5.8 F. R. Adler. Modeling te dynamics o lie: calculus and probability or lie scientists. Brooks/Cole, 1998. Capter 2: Limits and derivatives Capter 3: Applications o derivatives and Dynamical systems 3.3, 3.5 και 3.6 M. R. Cullen Matematics or te biosciences. Tecbooks, 1983 Sections: 8-14,16