GeoGebra Pomoć Službeni priručnik 3.2 Markus Hohenwarter i Judith Hohenwarter www.geogebra.org
Pomoć za program GeoGebra 3.2 Posljednja promjena: 23.4.2009. Autori Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org Judith Hohenwarter, judith@geogebra.org Hrvatska verzija: Šime Šuljić, sime.suljic@pu.t-com.hr Ela Rac Marinić Kragić, ela.kragic-marinic@skole.hr Josip Kličinović, kjosip@net.amis.hr GeoGebra na internetu Web-stranica: http://ww.geogebra.org Pretražnik pomoći: http://www.geogebra.org/help/search.html 2
Sadržaj 1. ŠTO JE GEOGEBRA?... 6 1.1. Višestrukost prikaza matematičkih objekata... 6 1.1.1. Grafički prikaz... 6 1.1.2. Algebarski prikaz... 7 1.1.3. Tablični prikaz... 8 1.2. GeoGebra kao oruđe za učenje i poučavanje matematike... 8 1.2.1. Prilagodba korisničkog sučelja... 8 1.2.2. Izmjena svojstava objekta... 10 1.2.3. Korištenje skočnog izbornika... 10 1.3. GeoGebra kao prezentacijski alat... 11 1.3.1. Korištenje trake za korake konstrukcije... 11 1.3.2. Korištenje opisa konstrukcije... 11 1.3.3. Izmjena postavki programa GeoGebra... 12 1.4. GeoGebra kao autorski alat... 13 1.4.1. Postavke ispisa... 13 1.4.2. Izrada slika grafičkog prikaza... 13 1.4.3. Izrada interaktivne web stranice... 14 2. GEOMETRIJSKI UNOS... 16 2.1. Opće napomene... 16 2.2. Alati za konstruiranje... 16 2.2.1. Opći alati... 17 2.2.2. Točke... 18 2.2.3. Vektori... 19 2.2.4. Dužine... 19 2.2.5. Zrake... 20 2.2.6. Mnogokuti... 20 2.2.7. Pravci... 20 2.2.8. Konike... 21 2.2.9. Luk i isječak... 22 2.2.10. Broj i kut... 23 2.2.11. Logički... 25 2.2.12. Lokus... 25 2.2.13. Geometrijske transformacije... 25 2.2.14. Tekst... 26 2.2.15. Slike... 28 3. ALGEBARSKI UNOS... 30 3.1. Opće napomene... 30 3.2. Izravan unos... 32 3.2.1. Brojevi i kutovi... 32 3
3.2.2. Točke i vektori... 33 3.2.3. Pravci i osi... 33 3.2.4. Konike... 34 3.2.5. Funkcije po x... 34 3.2.6. Unaprijed definirane funkcije i aritmetičke operacije... 35 3.2.7. Logičke varijable i operacije... 36 3.2.8. Lista objekata i operacije s listama... 36 3.2.9. Matrice i operacije s matricama... 37 3.2.10. Kompleksni brojevi i operacije... 38 3.3. Naredbe... 39 3.3.1. Opće naredbe... 40 3.3.2. Logičke naredbe... 40 3.3.3. Brojevi... 40 3.3.4. Kutovi... 44 3.3.5. Točke... 44 3.3.6. Vektor... 46 3.3.7. Dužine... 47 3.3.8. Zrake... 47 3.3.9. Mnogokuti... 47 3.3.10. Pravci... 47 3.3.11. Konike... 49 3.3.12. Funkcije... 50 3.3.13. Parametarske krivulje... 51 3.3.14. Lukovi i isječci... 52 3.3.15. Tekst... 53 3.3.16. Lokus... 55 3.3.17. Liste i nizovi... 55 3.3.18. Geometrijske transformacije... 59 3.3.19. Statističke naredbe... 60 3.3.20. Tablične naredbe... 64 3.3.21. Matrične naredbe... 65 4. PODIZBORNICI... 66 4.1. Izbornik Datoteka... 66 4.2. Izbornik Uređivanje... 68 4.3. Izbornik Pogled... 70 4.4. Izbornik Postavke... 71 4.5. Izbornik Alati... 73 4.6. Izbornik Prozor... 74 4.7. Izbornik Pomoć... 74 5. POSEBNE MOGUĆNOSTI... 76 5.1. Animacija... 76 5.1.1. Automatska animacija... 76 5.1.2. Ručna animacija... 76 5.2. Uvjetni prikaz objekta... 77 4
5.3. Korisnički definirani alati... 78 5.4. Dinamične boje... 79 5.5. JavaScript sučelje... 79 5.6. Tipkovničke kratice... 80 5.7. Oznake i natpisi... 83 5.8. Razine... 84 5.9. Redefiniranje... 84 5.10. Trag i lokus... 85 INDEKS... 87 5
1. Što je GeoGebra? Program GeoGebra je matematički softver koji povezuje geometriju, algebru i analizu. Razvio ga je Markus Hohenwarter i međunarodni tim programera za poučavanje matematike u školama. 1.1. Višestrukost prikaza matematičkih objekata GeoGebra ima tri različita načina promatranja matematičkih objekata: grafički prikaz, algebarski prikaz i tablični prikaz. Oni omogućavaju predstavljanje matematičkih objekata na tri različita načina: grafički (npr. točka, graf funkcije), algebarski (npr. koordinate točke, jednadžba) ili u ćelijama tabličnog prikaza. Svi prikazi jednog objekta su dinamički povezani i automatski će se promijeniti ako promijenite bilo koji prikaz, bez obzira na koji je način objekt izvorno kreiran. Alatna traka Algebarski prikaz Tablični prikaz Grafički prikaz Traka za unos 1.1.1. Grafički prikaz Koristeći alate za konstrukciju koji su dostupni u alatnoj traci mišem možete izvoditi geometrijske konstrukcije u grafičkom prikazu. Odaberite bilo koji alat za konstrukciju iz alatne trake i pročitajte pomoć alatne trake (nalazi se pored alatne trake) kako biste saznali kako se koristi odabrani alat. Bilo koji objekt kreiran u grafičkom prikazu ima svoju reprezentaciju u algebarskom prikazu. Napomena: Možete pomicati objekt u grafičkom prikazu povlačeći ga mišem. Istodobno se njegov algebarski prikaz dinamički mijenja u algebarskom prikazu. 6
Svaka ikona u alatnoj traci predstavlja alatni okvir koji sadrži slične alate za konstrukciju. Kako biste otvorili alatni okvir, pritisnite malu strelicu u donjem desnom uglu ikone na alatnoj traci. Savjet: Alati za konstrukciju su organizirani prema prirodi rezultirajućeg objekta. Naći ćete alate za konstruiranje različitih vrsta točaka u alatnom okviru Točka (početna ikona ) i alate koji omogućavaju različite geometrijske transformacije u alatnom okviru Transformacije (početna ikona ). 1.1.2. Algebarski prikaz Koristeći traku za unos možete izravno unijeti algebarski izraz u GeoGebru. Kad pritisnete tipku Enter vaš se algebarski unos pojavljuje u algebarskom prikazu, dok se grafički prikaz automatski prikaže u grafičkom prikazu. Na primjer, unos f(x) = x^2 će napisati funkciju f u algebarskom prikazu i prikazati graf te funkcije u grafičkom prikazu. U algebarskom prikazu matematički su objekti organizirani kao nezavisni i zavisni objekti. Ukoliko kreirate neki novi objekt ne koristeći neki od postojećih objekata, on se klasificira kao nezavisni objekt. Ako je novi objekt kreiran koristeći već postojeći objekt, on se klasificira kao zavisni objekt. Savjet: Želite li sakriti algebarski prikaz objekta u algebarskom prikazu, možete objekt označiti kao pomoćni objekt: desni klik (MacOS: Ctrl+klik) na odgovarajući objekt u algebarskom prikazu te odaberite Svojstva iz skočnog izbornika. Na kartici Osnovno uključite Pomoćni objekt. Obično pomoćni objekti nisu prikazani u algebarskom prikazu, ali to se može promijeniti odabirući opciju Pomoćni objekti iz izbornika Pogled. Primijetite da je također moguće promijeniti objekt u algebarskom prikazu: pazite da je odabran alat Pomicanje prije nego što dvaput kliknete na nezavisni objekt u algebarskom prikazu. U okviru za unos koji se pojavio možete direktno promijeniti algebarski prikaz objekta. Kad pritisnete tipku Enter, grafički prikaz objekta će se automatski promijeniti. Ukoliko kliknete dvaput na zavisni objekt u algebarskom prikazu pojavit će se dijaloški okvir koji omogućava redefiniranje objekta. GeoGebra nudi široki popis naredbi koje se mogu unijeti u traku za unos. Možete otvoriti popis naredbi u desnom uglu trake za unos tako što kliknete na padajući izbornik Naredbe. Nakon što odaberete naredbu iz popisa (ili upišete naredbu izravno u traku za unos) možete pritisnuti F1 kako biste dobili informaciju o načinu uporabe naredbe (sintaksa i argumenti naredbe). 7
1.1.3. Tablični prikaz U GeoGebri svaka ćelija tabličnog prikaza ima specifični naziv čime je omogućeno izravno adresiranje svake ćelije. Na primjer, ćelija u stupcu A i redu 1 se zove ćelija A1. Napomena: Naziv ćelije se može upotrijebiti u izrazima i naredbama kako bi se adresirao sadržaj pripadajuće ćelije. U ćelije možete unijeti ne samo brojeve, već sve tipove matematičkih objekata (na primjer, koordinate točaka, funkcije, naredbe). Ako je moguće, GeoGebra će odmah po unosu objekta prikazati grafički prikaz tog objekta. Takvim unosom naziv objekta će odgovarati nazivu ćelije u kojoj je objekt izvorno kreiran (na primjer A5, C1). Napomena: Prema početnim postavkama objekti u ćelijama klasificiraju se kao pomoćni objekti u algebarskom prikazu. Možete prikazati ili sakriti pomoćne objekte odabirući opciju Pomoćni objekti iz izbornika Pogled. 1.2. GeoGebra kao oruđe za učenje i poučavanje matematike 1.2.1. Prilagodba korisničkog sučelja Korisničko sučelje GeoGebre se može prilagoditi koristeći izbornik Pogled. Tako možete sakriti različite dijelove sučelja (npr algebarski prikaz, tablični prikaz ili traku za unos) birajući odgovarajuće stavke iz izbornika Pogled. Prikaz i skrivanje objekata Na različite načine možete pokazati ili skriti objekte u grafičkom prikazu. Korištenjem alata Pokaži / sakrij objekt. Otvaranjem skočnog izbornika i odabirom Pokaži objekt za promjenu statusa vidljivosti odabranog objekta. U algebarskom prikazu ikona s lijeve strane svakog objekta označava njegov trenutni status vidljivosti ( vidljiv ili skriven ). Klikom na malu kugličastu ikonu izravno možete mijenjati status vidljivosti objekta. Možete koristiti alat Kontrolni okvir za prikaz i skrivanje objekata kako biste upravljali statusom vidljivosti jednog ili više objekata. Prilagodba grafičkog prikaza Kako biste prilagodili vidljivi dio grafičkog prikaza, možete pomicati pozadinu grafičkog prikaza koristeći alat Pomicanje grafičkog prikaza iz alatne trake ili koristiti slijedeće načine povećavanja/smanjivanja prikazanog dijela: 8
Možete koristiti alat Povećanje i Smanjenje kako biste povećali ili smanjili trenutni pogled u grafičkom prikazu Napomena: Središte povećanja/smanjenja je određen klikom miša Možete koristiti kotačić na mišu kako biste povećali ili smanjili pogled u grafičkom prikazu Možete koristiti tipkovničke kratice kako bi povećali (Ctrl +) ili smanjili (Ctrl -) prikaz. Nakon klika desnom tipkom miša (MacOS: Ctrl + klik) na prazno mjesto u grafičkom prikazu, pojavljuje se skočni izbornik koji omogućava povećanje ili smanjenje prikaza Možete odrediti područje povećanja tako što kliknete desnom tipkom miša (MacOS: Cmd + klik) na prazno mjesto u grafičkom prikazu i povlačeći miš do suprotnog vrha željenog pravokutnika povećanja. Pustite gumb miša kako biste završili željeni pravokutnik povećanja, nakon čega se automatski sve unutar tog pravokutnika prikazuje preko cijelog grafičkog prikaza. U grafičkom prikazu možete prikazati ili sakriti koordinatne osi i koordinatnu mrežu u grafičkom prikazu koristeći izbornik Pogled. Napomena: Drugi način pokazivanja ili skrivanja osi i mreže je da kliknete desnom tipkom miša (MacOS: Ctrl + klik) na pozadinu grafičkog prikaza i odabirete odgovarajuće ikone Koordinatne osi ili Koordinatna mreža iz skočnog izbornika. Prilagodba koordinatnih osi i mreže Koordinatne osi i mrežu možete prilagoditi koristeći svojstva grafičkog prikaza. Kad kliknete desnim gumbom miša (MacOS: Ctrl + klik) na pozadinu grafičkog prikaza otvara se skočni izbornik unutar kojeg možete odabrati Svojstva. Na kartici Koordinatne osi možete, na primjer, promijeniti vrstu crte (obična ili podebljano), odabrati mjernu jedinicu osi (mm, cm ) i postaviti razmak između oznaka veličina. Primijetite da možete prilagoditi svaku os zasebno odabirući karticu xos ili yos. Nadalje, možete promijeniti omjer između osi i prikazati ili sakriti osi zasebno. Na kartici Koordinatna mreža možete, na primjer, promijeniti boju, vrstu crte mreže i postaviti udaljenost između linija mreže na proizvoljnu vrijednost. Dodatno, možete postaviti mrežu da bude Izometrična. Napomena: U svakom trenutku možete skalirati osi držeći tipku Shift (PC: može i Ctrl tipka) dok mišem povlačite osi. Napomena: Dijaloški okvir Svojstava grafičkog prikaza se razlikuje od dijaloškog okvira Svojstva objekata. Prilagodba alatne trake Alatna traka se može prilagoditi odabirući opciju Prilagodba alatne trake iz izbornika Alati. Odaberite alat koji želite ukloniti iz GeoGebrine alatne trake s liste na lijevoj strani dijaloškog okvira i kliknite na gumb Ukloni ->. 9
Napomena: Možete vratiti izvorno stanje alatne trake klikom na gumb Vrati izvornu alatnu traku u donjem lijevom uglu dijaloškog okvira. 1.2.2. Izmjena svojstava objekta Dijaloški okvir Svojstva omogućava mijenjanje svojstava objekata (npr. boju, stil crte, vidljivost). Možete ga otvoriti na nekoliko načina: Desnim klikom miša (MacOS: Cmd + klik) na objekt i izabrati Svojstva iz skočnog izbornika koji se pojavi. Izborom Svojstva u izborniku Uređivanje. Označavanjem alata Pomicanje i dvostrukim klikom na objekt u grafičkom prikazu. U prikazanom dijaloškom okviru Redefiniranje odaberite opciju Svojstva. U dijaloškom okviru Svojstva objekti su organizirani po tipovima (npr. točke, pravci, kružnice) što olakšava manipuliranje mnogobrojnim objektima. Svojstva izabranih objekata možete mijenjati pomoću kartica na desnoj strani. Zatvorite dijaloški okvir kada ste napravili željene izmjene svojstava objekta. Napomena: Klikom na pojedini naslov u popisu objekata (na primjer, točka) odabiru se svi objekti tog tipa, pa je time omogućeno brže mijenjanje svojstava za te objekte. Možete promijeniti svojstva odabranih objekata koristeći kartice na dijaloškom okviru (na primjer Osnovno, Boja, Stil, Dodatno). Napomena: U ovisnosti o tipu objekta, na raspolaganju su različite kartice. Zatvorite dijaloški okvir Svojstva kada ste završili sa mijenjanjem svojstava objekata. 1.2.3. Korištenje skočnog izbornika Skočni izbornik pruža brži način promjene ponašanja ili dodatnih svojstva nekog objekta. Kliknite desnom tipkom miša (MacOS: Ctrl+klik) na objekt kako bi se otvorio skočni izbornik. Na primjer, možete promijeniti algebarsku notaciju objekta (polarne ili Kartezijeve koordinate, implicitni ili eksplicitni oblik pravca); možete izravno pristupiti nekim opcijama kao što su Preimenuj, Izbriši, Uključi trag, ili Kopiraj u traku za unos. Napomena: Ako otvorite skočni izbornik za točku u grafičkom prikazu, imate i opciju Bilježi u tablicu (samo ako je aktivan i tablični prikaz). Ova opcija omogućava bilježenje koordinata točke u ćelije tabličnog prikaza kada se točka pomiče. Odabirom Svojstva u skočnom izborniku otvara se dijaloški okvir Svojstva, u kojem možete promijeniti svojstva svih objekata koji su korišteni (na primjer boju, stil, debljinu crte, vrsta crte, ispuna). 10
1.3. GeoGebra kao prezentacijski alat 1.3.1. Korištenje trake za korake konstrukcije GeoGebra nudi Traku za korake konstrukcije koji vam dopuštaju da prolazite kroz korake konstrukcije gotove GeoGebrine datoteke. Odaberite Traka za korake konstrukcije iz izbornika Pogled kako biste otvorili Traku na dnu grafičkog prikaza. Traka za korake konstrukcije raspolaže gumbima za navigaciju i prikazuje broj koraka konstrukcije (npr. 2/7 znači da se trenutno prikazu drugi korak konstrukcije od ukupno 7 koraka). idi natrag na prvi korak idi natrag jedan korak idi naprijed jedan korak idi na zadnji korak Pokreni : automatski ide jedan po jedan korak Napomena: Možete promijeniti brzinu pokretanja koristeći okvir desno od Pokreni. Pauza : pauziraj pokrenutu konstrukciju Napomena: Ovaj gumb se pojavljuje tek nakon klika na gumb Pokreni Ovaj gumb otvara Opis konstrukcije. 1.3.2. Korištenje opisa konstrukcije Možete pristupiti interaktivnom opisu konstrukcije odabirom podizbornika Opis konstrukcije iz izbornika Pogled. Radi se o tablici koja prikazuje sve korake konstrukcije. Opis konstrukcije omogućava da ponovite gotovu konstrukciju korak po korak koristeći Traku za korake konstrukcije na dnu grafičkog prikaza. Upravljanje i mijenjanje opisa konstrukcije Možete koristiti tipkovnicu za prolaženje kroz opis konstrukcije: Upotrijebite strelica gore na vašoj tipkovnici kako biste se vratili na prethodan korak konstrukcije. Upotrijebite strelica dolje na vašoj tipkovnici kako biste išli na slijedeći korak konstrukcije. Upotrijebite tipku Home da biste se vratili na početak konstrukcije. Upotrijebite tipku End kako biste skočili na kraj konstrukcije. Upotrijebite tipku Delete kako biste izbrisali izabrani korak konstrukcije. Napomena: Ovo može utjecati na objekte koji ovise o odabranom objektu/koraku konstrukcije. Možete koristiti miš za pomicanje kroz opis konstrukcije: Dvostruki klik na redak odabire korak konstrukcije. Dvostruki klik na zaglavlje bilo kojeg stupca vraća na početak opisa konstrukcije. 11
Povucite mišem i pustite redak kako biste promijenili redoslijed koraka konstrukcije u opisu konstrukcije. Napomena: Ovo nije uvijek moguće zbog zavisnosti među objektima. Kliknite desnom tipkom miša na redak kako biste otvorili skočni izbornik pripadnog objekta. Napomena: Možete umetnuti korak konstrukcije bilo gdje: Odaberite redak opisa konstrukcije ispod kojeg želite umetnuti novi korak konstrukcije. Ostavite dijaloški okvir Opis konstrukcije otvoren dok kreirate novi objekt. Novi korak konstrukcije se odmah umeće na odabrano mjesto u opisu konstrukcije. Koristeći stupac Kontrolna točka u izborniku Pogled dijaloškog okvira Opis konstrukcije, možete definirati neke korake konstrukcije kao kontrolne točke. Ovo vam omogućava da grupirate nekoliko objekata zajedno. Kad se pomičete kroz konstrukciju koristeći traku za korake konstrukcije, ta grupa objekata se prikazuje istodobno. Napomena: Možete uključiti ili isključiti i druge stupce Opisa konstrukcije koristeći izbornik Pogled dijaloškog okvira Opis konstrukcije. Izvoz opisa konstrukcije kao web-stranice GeoGebra omogućava izvoz opisa konstrukcije u obliku web-stranice. Najprije morate otvoriti Opis konstrukcije koristeći izbornik Pogled. Zatim iz izbornika Datoteka dijaloškog okvira Opis konstrukcije izaberite Izvoz kao web-stranica. U dijaloškom okviru izvoza opisa konstrukcije možete unijeti naslov, autora i nadnevak konstrukcije i izabrati želite li umetnuti sliku grafičkog prikaza i algebarskog prikaza Također možete odabrati izvoz opisa konstrukcije u boji. To znači da će retci u opisu konstrukcije imati boju odgovarajućeg objekta u odgovarajućem koraku konstrukcije. Napomena: Stvorena HTML datoteka može se otvoriti bilo kojim web-preglednikom (npr. Firefox, Internet Explorer) i mijenjati pomoću raznih programa za uređivanje teksta (npr. OpenOffice Writer). 1.3.3. Izmjena postavki programa GeoGebra GeoGebra omogućava mijenjanje i spremanje vaših omiljenih postavki koristeći izbornik Postavke. Na primjer, možete promijeniti 'Kutnu mjeru' sa 'stupnjevi' u 'radijani', ili promijeniti 'Oblik točke', 'Veličina kontrolnog okvira' i 'Oznaka pravog kuta'. Također možete odabrati kako su koordinate ('Koordinate') prikazane na ekranu i koji su objekti označeni ('Označavanje'). Molimo pogledajte dio o Izbornik postavke za daljnje informacije. Možete spremiti vaše promijenjene postavke odabirući Spremi postavke iz izbornika Postavke. Kad to učinite, GeoGebra će zapamtiti vaše postavke i koristiti ih za svaku novu GeoGebra datoteku koju budete izradili. 12
Napomena: Postavke možete vratiti na početno stanje odabirući 'Vrati zadane postavke' iz izbornika Postavke. Napomena: Ukoliko koristite GeoGebru kao alat za prezentaciju, možete povećati veličinu fonta (izbornik Postavke) kako bi vaši slušatelji lakše pročitali tekst i oznake objekata. 1.4. GeoGebra kao autorski alat 1.4.1. Postavke ispisa Ispis grafičkog prikaza GeoGebra nudi ispis grafičkog prikaza vaše konstrukcije. Odaberite Pretpregled ispisa iz izbornika Datoteka. U dijaloškom okviru koji se pojavio možete unijeti 'Naziv', 'Autor' i 'Nadnevak' konstrukcije. Dodatno, možete podesiti 'Mjerilo u centimetrima' i promijeniti orijentaciju papira (portret ili pejzaž). Napomena: Kako biste obnovili pretpregled ispisa nakon što ste unijeli promjene na ispisu, morate pritisnuti tipku Enter. Ispis opisa konstrukcije Ukoliko želite ispisati opis konstrukcije, prvo morate otvoriti Opis konstrukcije iz izbornika Pogled. Zatim možete otvoriti Pretpregled ispisa iz izbornika Datoteka dijaloškog okvira Opis konstrukcije. I ovdje možete unijeti 'Naziv', 'Autor' i 'Nadnevak' ili promijeniti orijentaciju papira prije nego ispišete svoj opis konstrukcije. Napomena: Možete uključiti ili isključiti razne stupce Naziv, Definicija, Naredba, Algebra, i Kontrolna točka opisa konstrukcije koristeći izbornik Pogled dijaloškog okvira Opis konstrukcije. 1.4.2. Izrada slika grafičkog prikaza Spremanje grafičkog prikaza kao slike Možete spremiti grafički prikaz vaše konstrukcije na svoje računalo kao sliku. Napomena: Čitav grafički prikaz će biti spremljen kao slika. Ako vaša konstrukcija ne koristi cijeli iskoristivi prostor grafičkog prikaza, možete... koristiti alate Pomicanje grafičkog prikaza, Povećanje, Smanjenje kako biste pomakli svoju konstrukciju u gornji lijevi ugao grafičkog prikaza. Zatim možete smanjiti veličinu GeoGebrinog prozora klikom i povlačenjem jednog ugla prozora mišem. 13
koristiti područje odabira kako biste odredili koji dio grafičkog prikaza će biti izvezen i spremljen kao slika. kreirati točke Export_1 i Export_2 koje definiraju suprotne vrhove pravokutnika izvoza. Napomena: Točke Export_1 i Export_2 moraju biti unutar vidljivog područja grafičkog prikaza. U izborniku Datoteka > Izvoz odaberite 'Grafički prikaz kao slika (png, eps)...'. U dijaloškom okviru koji se otvorio možete definirati 'Format', 'Mjerilo u cm' i 'Rezolucija u dpi' slike koja će nastati izvozom. Napomena: Prava veličina slike nastale izvozom je prikazana u dnu dijaloškog okvira (povrh gumba) i u centimetrima i u točkicama (pikselima). Više informacija o različitim formatima slike možete naći u poglavlju Izvoz grafičkog prikaza kao slike. Kopiranje grafičkog prikaza u međuspremnik Postoji nekoliko načina za kopiranje grafičkog prikaza u međuspremnik računala: U izborniku Uređivanje, možete odabrati Grafički prikaz u međuspremnik. U izborniku Datoteka, prvo odaberite Izvoz prije nego kliknete na Grafički prikaz u međuspremnik. U dijaloškom okviru Izvoz grafičkog prikaza kao slike (izbornik Datoteka > Izvoz > Grafički prikaz kao slika (png, eps) ) možete kliknuti mišem na gumb Međuspremnik Ova opcija kopira grafički prikaz u međuspremnik vašeg računala kao PNG (vidi PNG format) sliku. Na taj se način može zalijepiti u neki drugi dokument (npr. u program za obradu teksta). Napomena: Kako biste napravili izvoz vaše konstrukcije u određenom mjerilu (u centimetrima), koristite opciju Grafički prikaz kao slika u izborniku Datoteka, Izvoz (vidi Grafički prikaz kao slika). 1.4.3. Izrada interaktivne web-stranice S GeoGebrom možete izraditi web-stranice s interaktivnim apletom (aplet je zaseban Java program koji se izvršava u okviru web-preglednika). U izborniku Datoteka odaberite Izvoz, a potom kliknite na 'Web-stranica s apletom (html). Ovo otvara dijaloški okvir izvoza vaše konstrukcije kao apleta ugrađenog u web-stranicu: Na vrhu dijaloškog okvira možete unijeti Naziv, Autor i Nadnevak webstranice. Kartica Osnovno vam omogućava da unesete neki tekst iznad i ispod apleta (npr. opis konstrukcije i neke upute korisniku). Ovdje možete odrediti hoće li se aplet prikazati na web-stranici ili tek kad se klikne na gumb. 14
Kartica Dodatno omogućava promjenu funkcionalnosti apleta (npr. pokazuje ikonu za resetiranje konstrukcije, dvostruki klik na aplet otvara prozor programa) kao i promjenu korisničkog sučelja prikazanog u apletu (npr. pokazuje alatnu traku, promjenu širinu i visinu apleta). Napomena: Ukoliko je veličina vašeg apleta prevelika da stane na zaslon standardne rezolucije (1024 x 768), preporučamo da smanjite veličinu prije izvoza u web-stranicu. Napomena: Prilikom izvoza web-stranice s apletom, stvara se nekoliko datoteka: html datoteka (npr. kruznica.html) ova datoteka je sama web-stranica GGB datoteka (npr. kruznica.ggb) ova datoteka sadrži GeoGebrinu konstrukciju geogebra.jar (nekoliko datoteka) ove datoteke zapravo su program koji pokreće aplet. Sve datoteke (npr. kruznica.html, kruznica.ggb i geogebra.jar datoteke) moraju biti u jednoj mapi kako bi dinamični prikaz zbilja radio. HTML datoteka (npr. kruznica.html) koja je nastala izvozom se može pogledati bilo kojim internet preglednikom (npr. Mozilla, Internet Explorer, Safari). Kako bi dinamični uradak radio, na računalu mora biti instaliran program Java. Program možete besplatno preuzeti s adrese http://www.java.com. Ukoliko želite svoje webstranice koristiti na školskom računalu, zamolite administratora lokalne mreže da instalira program Java na računala. Napomena: Možete uređivati tekst web-stranice sa raznim programima za obradu teksta (npr. MS FrontPage, OpenOffice Writer) otvarajući HTML datoteku nastalu izvozom. 15
2. Geometrijski unos 2.1. Opće napomene U grafičkom prikazu (desni prozor) prikazane su grafičke reprezentacije matematičkih objekata (kao što su točke, vektori, dužine, mnogokuti, grafovi funkcija, krivulje, zrake, pravci i konike). Uvijek kada mišem prelazimo preko nekog objekta javlja se njegov opis u žutom pravokutniku (tooltip), a sam objekt je istaknut. Postoji nekoliko načina kojima program GeoGebra reagira na unose mišem u grafičkom prikazu (vidi Alati). Npr. klikom miša na grafički prikaz kreirat ćete točku (vidi alat Nova točka), sjecište objekata (vidi alat Sjecište dvaju objekata), ili kružnicu (vidi Kružnica, alati). 2.2. Alati za konstruiranje Klikom na ikone u alatnoj traci možete odabrati dolje opisane alate. Klikom na malu strelicu pored ikone otvara se padajući izbornik s ostalim srodnim alatima. Napomena: Većinom alata mogu se konstruirati nove točke jednostavnim klikom na crtaću plohu. Odabiranje objekta Odabrati objekt znači kliknuti na njega mišem nakon što ste aktivirali alat Pomicanje. Istovremeno možete odabrati i više objekata zadavanjem područja odabira: Odaberite alat Pomicanje te kliknite na položaj prvog vrha željenog područja odabira. Držeći lijevu tipku miša pritisnutu povlačite miš do dijagonalno suprotnog vrha željenog područja odabira. Nakon što pustite tipku miša, svi objekti unutar područja odabira biti će označeni. Napomena: Držite pritisnutu tipku Ctrl (MacOS: Cmd) dok klikate na odvojene objekte kako biste odabrali nekoliko objekata istovremeno. Brzo preimenovanje objekta Kako biste brzo preimenovali odabrani ili novi objekt samo treba početi tipkati pa će se otvoriti dijaloški okvir Preimenuj za taj objekt. Upišite novi naziv objekta i pritisnite gumb 'U redu'. 16
2.2.1. Opći alati Prenositelj oblikovanja Ovaj alat vam omogućava prenošenje vizualnih svojstava objekata (npr boja, veličina, oblik crte) s jednog objekta na nekoliko drugih. Kako biste to izveli prvo označite objekt čija svojstva želite kopirati. Nakon toga kliknite na sve objekte kojima ćete pridijeliti ta svojstva. Brisanje objekta Kliknite na objekt koji želite obrisati. Napomena: Možete upotrijebiti tipku 'Poništi' objekt. ako ste slučajno izbrisali pogrešan Pomicanje Koristeći ovaj alat možete povlačiti i ispuštati nezavisne objekte pomoću miša. Kada ste odabrali alat Pomicanje odaberite objekt klikom na njega, a zatim možete: brisati ga tipkom Delete sa tipkovnice pomicati ga pomoću strelica na tipkovnici (vidi Animaciju) Napomena: Pritiskom tipke Esc na tipkovnici također možete aktivirati Pomicanje. Pomicanje crtaće plohe Povlačite i ispuštajte crtaću plohu u grafičkom prikazu kako biste promijenili vidljivo područje crtaće plohe. Napomena: Možete pomicati crtaću plohu i istovremenim pritiskom tipke Shift (PC: također i Ctrl ) i povlačenjem miša kod bilo kojeg alata. Uz pomoć ovog alata možete i rastezati koordinatne osi povlačeći ih mišem. Napomena: Rastezanje osi moguće je i s bilo kojim drugim alatom ako držite pritisnutu tipku Shift (PC: također i Ctrl) dok povlačite osi mišem. Zabilježi u tablicu Ovaj alat omogućava pomicanje objekta i bilježenje niza njegovih vrijednosti u tabličnom prikazu. Može se koristiti za brojeve, točke i vektore. Napomena: GeoGebra će koristiti prva dva slobodna stupca tabličnog prikaza kako bi zabilježila vrijednosti odabranih objekata. 17
Veza Označite dva objekta kako biste dobili informaciju o njihovom međusobnom odnosu (također pogledajte naredbu Veza). Rotacija oko točke Najprije izaberite točku za središte vrtnje. Potom možete zakretati nezavisni objekt oko središta povlačeći ga mišem. Pokaži / sakrij oznaku Kliknite na objekt kako biste pokazali odnosno sakrili njegovu oznaku. Pokaži / sakrij objekt Kliknite na objekt kako biste ga pokazali odnosno sakrili nakon aktiviranja ovog alata. Promjena vidljivosti nastupa tek kada kliknete na neki drugi alat. Objekti mogu biti vidljivi (pokaži) ili nevidljivi (sakrij). Upotrebom alata Pokaži / sakrij objekt ili skočnog izbornika mijenja se stanje vidljivosti objekta. Ikona koja se nalazi lijevo od objekta u algebarskom prikazu govori nam o stanju vidljivosti objekta. ( nevidljiv ili vidljiv ). Napomena: Kada aktivirate ovaj alat svi objekti odabrani za skrivanje bit će naglašeni. Na taj način možete lako ponovo pokazati skrivene objekte kako biste ih odznačili prije nego što aktivirate drugi alat Napomena: Možete koristiti i alat Kontrolni okvir za prikaz i skrivanje objekata u svrhu pokazivanja ili skrivanja nekoliko objekata. Povećanje Kliknite bilo gdje na grafički prikaz kako biste ga povećali (vidi zumiranje) Smanjenje Kliknite bilo gdje na grafički prikaz kako biste ga smanjili (vidi zumiranje) 2.2.2. Točke Nova točka Klikom na grafički prikaz konstruirana je nova točka. Napomena: Točki su pridružene koordinate u algebarskom prikazu čim pustimo tipku miša. 18
Klikom na dužinu, zraku, pravac, koniku, graf funkcije ili krivulju konstruirana je točka koja pripada tom objektu (vidi naredbu Točka). Napomena: Klikom na sjecište dvaju objekata crta se presječna točka (vidi naredbu Sjecište dvaju objekata). Sjecište dvaju objekata Sjecište dvaju objekata možete izraditi na dva načina. Odaberete li dva objekta biti će konstruirana sva sjecišta (ako je moguće). Izravnim klikom na mjesto gdje se sijeku dva objekta dobivamo samo to određeno sjecište. Napomena: Za dužine, zrake ili lukove možete naglasiti želite li omogućiti sjecište u produžetku (vidi dijaloški okvir Svojstva). Tako možete dobiti sjecište koje leži na produžetku objekta. Na primjer, produžetak dužine ili zrake je pravac. Polovište ili središte Kliknite na... dvije točke kako biste dobili njihovo središte. dužinu kako biste dobili njezino polovište. koniku kako biste dobili njeno središte. 2.2.3. Vektori Vektor između dviju točaka Samo odaberite početak i kraj vektora. Vektor iz točke Odaberite točku A i vektor v kako biste dobili novu točku B = A + v kao i novi vektor od A do B. 2.2.4. Dužine Dužina između dviju točaka Odabirom dviju točaka A i B nacrta se dužina između točaka A i B. U algebarskom prikazu zapisana je duljina te dužine. 19
Dužina zadane duljine iz točke Kliknite na točku A koja će biti prva rubna točka dužine. Unesite željenu duljinu a dužine u dijaloško polje. Napomena: Rezultat će biti dužina duljine a s drugom rubnom točkom B. Rubna točka B može se vrtiti pomoću alata Pomicanje oko početne točke A. 2.2.5. Zrake Zraka kroz dvije točke Odabirom točke A i točke B crta se zraka s početkom u točki A koja prolazi točkom B. U algebarskom prikazu vidi se jednadžba pravca nositelja te zrake. 2.2.6. Mnogokuti Mnogokut Odaberite najmanje tri točke, jednu po jednu i ponovo kliknite na početnu. U algebarskom prikazu vidjet će se površina mnogokuta. Pravilni mnogokut Odabirom dviju točaka A i B i upisom broja n u dijaloško polje dobit ćemo pravilni mnogokut s n vrhova (uključujući točke A i B). 2.2.7. Pravci Pravac kroz dvije točke Odabirom dviju točaka A i B pomoću ovog alata konstruirat ćete pravac kroz točke A i B. Smjer pravca je vektor (B - A). Usporednica Odabirom pravca g i točke A konstruirat ćete pravac kroz A usporedan s g. Smjer je jednak smjeru pravca g. Okomica Odabirom pravca g i točke A konstruirat ćete pravac kroz A okomit na g. Smjer je jednak smjeru vektora okomitog na g (vidi također naredbu Okomiti vektor). 20
Simetrala dužine Simetrala dužine se može izraditi odabirom dužine s ili odabirom dviju točaka A i B. Smjer je jednak smjeru vektora okomitog na dužinu s ili AB (vidi naredbu Okomiti vektor). Simetrala kuta Simetrala kuta može se zadati na dva načina. Odabirom triju točaka A, B i C konstruirat ćete simetralu kuta kojeg čine ove tri točke, gdje je B vrh. Odabirom dvaju pravaca konstruirat ćete dvije simetrale kuta zadanog para pravaca. Napomena: Vektor smjera svih simetrala kuta ima duljinu 1. Tangente Tangente na konike možete izraditi na dva načina. Odabir točke A i konike c daje sve tangente na c koje prolaze kroz A. Odabir pravca g i konike c daje sve tangente na c koje su usporedne s g. Odabir točke A i funkcije f daje sve tangente od f u diralištu s apscisom x=x(a). Napomena: x(a) predstavlja x-koordinatu točke A. Ako A pripada grafu funkcije, tangenta prolazi točkom A. Polara ili konjugirani promjer Ovaj alat daje polaru, odnosno konjugirani promjer konike. Odabirom točke i konike dobit ćete polaru. Odabirom pravca ili vektora i konike dobit ćete pravac nositelj konjugiranog promjera. Pravac regresije Pravac regresije za zadani skup točaka možete konstruirati na sljedeće načine: kreiranjem područja odabira kojim obuhvatite sve točke. odabirom liste točaka. 2.2.8. Konike Kružnica određena središtem i jednom točkom Odabirom točke M i točke P definirate kružnicu sa središtem u M koja prolazi kroz P. Napomena: Polumjer ove kružnice je udaljenost MP. 21
Kružnica određena središtem i polumjerom Odabirom točke M određeno je središte, a u otvoreno dijaloško polje unesite duljinu polumjera. Šestar Odaberite dužinu ili dvije točke da biste zadali polumjer. Tada kliknite na točku koja bi trebala biti središte nove kružnice. Kružnica kroz tri točke Odabir triju točaka A, B, C određuje kružnicu kroz te tri točke. Napomena:Ako tri točke leže na jednom pravcu kružnica degenerira u taj pravac. Konika kroz pet točaka Odabirom pet točaka kreirate koniku kroz njih. Napomena: Ako bilo koje četiri od ovih pet točaka leže na pravcu, konika nije određena. Elipsa Odaberite dva žarišta elipse, a zatim treću točku koja pripada elipsi. Hiperbola Odaberite dva žarišta hiperbole, a zatim treću točku koja pripada hiperboli. Parabola Odaberite žarište i ravnalicu parabole. 2.2.9. Luk i isječak Napomena: Algebarska vrijednost luka je njegova duljina, a isječka površina. Polukružnica Odabir točaka A i B daje polukružnicu nad dužinom AB. 22
Kružni luk određen središtem i dvjema točkama Prvo odaberite za središte točku M, zatim početnu točku luka A a tek tada odaberite točku B kojom je određena duljina luka. Napomena: Dok točka A uvijek leži na kružnom luku, točka B ne mora ležati na njemu. Kružni isječak određen središtem i dvjema točkama Prvo odaberite za središte točku M, zatim početnu točku A na luku isječka, a tek tada odaberite točku B kojom je određena duljina luka. Napomena: Dok točka A uvijek leži na kružnom luku isječka, točka B ne mora ležati na njemu. Luk opisan trima točkama Odabirom triju točaka A, B, i C konstruirat ćete kružni luk kroz te točke. Pri tome je točka A početna, točka B leži na kružnom luku, a točka C je krajnja. Isječak luka opisanog trima točkama Odabirom triju točaka A, B, i C konstruirat ćete kružni isječak kroz te točke. Pri tome je točka A početna točka luka isječka, točka B leži na kružnom luku, a točka C je krajnja točka luka isječka. 2.2.10. Broj i kut Udaljenost ili duljina Ovim alatom dobit ćemo udaljenost između dviju točaka, dvaju pravaca ili točke i pravca i istovremeno dinamični tekst na grafičkom prikazu. On također daje duljinu dužine, opseg kružnice ili mnogokuta. Površina Ovaj alat daje površinu mnogokuta, kružnice ili elipse kao broj i dinamični tekst u grafičkom prikazu. Nagib Ovaj alat daje nagib pravca i crta trokut nagiba u grafičkom prikazu. 23
Klizač Napomena: U programu GeoGebra klizač nije ništa drugo nego grafička predodžba nezavisnog broja ili kuta. Uvijek možete lako izraditi klizač za svaki nezavisni broj odnosno kut izborom pokazivanja objekta (desni klik, skočni izbornik; vidi alat Pokaži / sakrij objekt). Kliknite na slobodnu površinu grafičkog prikaza kako biste izradili klizače za brojeve ili kutove. Dijaloški okvir tražit će određivanje intervala [min, max] i korak povećanja broja, odnosno kuta, kao i položaj i širinu klizača (u pikselima). Položaj klizača može biti apsolutan na zaslonu (to znači da na njegov položaj ne utječe zumiranje ali uvijek ostaje u vidljivom dijelu grafičkog prikaza) ili relativan u koordinatnom sustavu (vidi dijaloški okvir Svojstva za odgovarajuće brojeve ili kutove). Napomena: U dijaloškom okviru možete upotrijebiti simbol za stupanj ili broj pi π kod intervala i koraka povećanja koristeći slijedeće tipkovničke kratice: Alt-O (MacOS: Ctrl-O) za simbol stupnja Alt-P (MacOS: Ctrl-P) za simbol broja pi π Kut Ovim alatom kreiramo kut između tri točke kut između dvije dužine kut između dva pravca kut između dva vektora sve unutarnje kutove mnogokuta Napomena: Ako ste kreirali mnogokut pomoću njegovih vrhova u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ovim alatom dobit ćete unutarnje kutove mnogokuta Svi kutovi orijentirani su u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Redoslijed odabira objekata relevantan je za alat kut. Ako želite ograničiti veličinu kuta na 180, isključite oznaku Dozvoli izbočeni kut u dijaloškom okviru Svojstva, kartica Osnovno. Kut zadane veličine Nakon označavanja dviju točki A i B otvorit će se dijaloško polje koje će tražiti veličinu kuta. Dobivate točku C i kut α, gdje je α kut ABC. 24
2.2.11. Logički Kontrolni okvir za prikaz i skrivanje objekata Klikom na grafički prikaz kreira se kontrolni okvirić (vidi logičke varijable) za prikaz ili skrivanje jednog ili više objekata. U dijaloškom okviru koji se pojavi možete specificirati na koje objekte želite utjecati iz kontrolnog okvira. Napomena: Ove objekte možete odabrati s dane liste u dijaloškom okviru ili birajući ih mišem u bilo kojem prikazu. 2.2.12. Lokus Lokus Najprije odaberite točku Q koja opisuje lokus. Potom kliknite na točku P o kojoj je točka Q zavisna. Napomena: točka P je točka na nekom objektu (pravac, dužina, kružnica ) Primjer: Upišite f(x) = x^2 2 x 1 u traku za unos. Smjestite točku A na x-os (vidi alat Nova točka; vidi naredbu Točka). Konstruirajte točku B = (x(a), f (x(a))) koja ovisi o točki A. Izaberite alat Lokus i prvo kliknite na točku B pa na točku A. Povlačite točku A duž x-osi i promatrajte pomicanje točke B duž njenog lokusa - pravca. 2.2.13. Geometrijske transformacije Geometrijske transformacije odnose se na točke, pravce, konike, mnogokute i slike. Zrcaljenje objekta preko točke Odaberite objekt za zrcaljenje, a potom kliknite na točku preko koje će se zrcaliti (središte simetrije). Zrcaljenje objekta preko pravca Odaberite objekt za zrcaljenje, a potom kliknite na pravac (os simetrije) preko kojeg se zrcali. Inverzija Napomena: Ova se transformacija još naziva i zrcaljenje na kružnici. Ovaj alat omogućava inverziju točke u odnosu na kružnicu. Izaberite točku kojoj želite kreirati inverznu a potom kliknite na kružnicu inverzije. 25
Rotacija objekta oko točke za kut Odaberite objekt koji ćete rotirati, a potom kliknite na točku koja će biti središte rotacije. U otvoreno dijaloško polje upišite kut rotacije. Translacija objekta za vektor Odaberite objekt i kliknite na vektor. Rastezanje objekta iz točke za faktor Odaberite objekt, a zatim kliknite na točku koja će biti središte rastezanja (homotetije). Otvara se dijaloško polje u koje se upisuje faktor rastezanja. 2.2.14. Tekst Umetanje teksta Pomoću ovog alata možete izraditi statični i dinamični tekst ili LaTeX formule u grafičkom prikazu. Najprije morate odrediti položaj teksta na jedan od slijedećih načina: klikom na grafički prikaz izradit ćete novi tekst na tom mjestu. klikom na točku izradit ćete tekst čiji je položaj vezan uz tu točku. Nakon toga, otvara se dijaloško polje u koje možete unositi tekst. Napomena: Na kartici 'Osnovno' dijaloškog okvira Svojstva teksta, položaj teksta možete postaviti kao apsolutan na zaslonu ili relativan u koordinatnom sustavu. Statičan tekst nije ovisan o niti jednom matematičkom objektu i promjene u konstrukciji neće se odražavati na taj tekst. Dinamičan tekst sadrži vrijednosti objekta koje se automatski pridjeljuju promjenama vezanim uz promjene objekta. Mješovit tekst je kombinacija statičnog i dinamičnog teksta. Kako biste izradili dinamični tekst možete statični dio teksta upisati preko tipkovnice (npr., Točka A =) a zatim kliknite na objekt čiju vrijednost treba prikazati tekstom. Napomena: GeoGebra automatski dodaje sintaksu ("Point A = " + A ) potrebnu za izradu vašeg mješovitog teksta: navodnike koji ograđuju statičan dio teksta i znak plus (+) za spajanje različitih dijelova teksta. Unos Ovo je statičan tekst Statičan tekst Opis 26
A Dinamičan tekst (ako postoji točka A) Dvodijelni mješovit tekst koji koristi Točka A = + A vrijednost točke A Trodijelni mješovit tekst koji koristi a = + a + cm vrijednost broja a Napomena: Ako objekt naziva xx već postoji i vi pokušate izraditi statičan tekst koristeći njegov naziv, morate ga staviti unutar navodnika ("xx"), inače će GeoGebra automatski izraditi dinamičan tekst koji će prikazivati vrijednost objekta xx umjesto njegovog naziva. Međutim, tekst koji ne odgovara nazivu niti jednog postojećeg objekta možete utipkati i bez navodnika. Napomena: Unutar mješovitog teksta statičan dio treba biti unutar para navodnika. Različiti dijelovi teksta (npr., statični i dinamični dijelovi) trebaju biti povezani sa znakom plus (+). LaTeX formule U programu GeoGebra možete pisati i matematičke formule. Kako biste to napravili trebate označiti okvirić ispred LaTeX formula dijaloškog okvira alata Umetanje teksta i upisati formulu u sintaksi programa LaTeX. Napomena: Kako biste izradili tekst koji sadrži LaTeX formulu kao statičan dio teksta dodajte formulu ograđenu znakovima dolara ($). Primjer: Duljina dijagonale je $\sqrt{ 2 }$. Možete odabrati sintaksu nekih najčešćih matematičkih simbola iz padajućeg izbornika odmah uz LaTeX okvirić. Klikom na neki redak u padajućem izborniku ubacujete LaTeX kod u polje za tekst, a kursor se postavi unutar vitičastih zagrada. Ukoliko želite umetnuti dinamičan tekst unutar formule, dovoljno je da kliknete na neki objekt i Geogebra će umetnuti njegovo ime sa svom sintaksom za mješoviti tekst. Ovdje su navedene neke važne naredbe programa LaTeX. Pogledajte bilo koju LaTeX dokumentaciju za potpuniju informaciju. LaTeX unos a \cdot b \frac{a}{b} \sqrt{x} Rezultat a b a b x \sqrt[n]{x} n x \vec{v} v r \overline{ab} AB x^{2} 2 x a_{1} a 1 \sin\alpha + \cos\beta sin α + cos β 27
LaTeX unos Rezultat \int_{a}^{b} x dx b xdx a \sum_{i=1}^{n} i^2 i = i 1 n 2 2.2.15. Slike Umetanje slike Ovaj alat omogućava umetanje slika u konstrukciju. Klikom na grafički prikaz odredili ste položaj lijevog donjeg ugla slike. Klikom na točku odredili ste točku za koju se vezuje lijevi donji ugao slike. Nakon toga pokaže se dijaloški okvir za otvaranje datoteka u kojem odabirete željenu sliku. Svojstva slike Položaj Položaj slike može biti apsolutan na zaslonu ili relativan u koordinatnom sustavu što odredite u kartici 'Položaj' dijaloškog okvira Svojstva. Možete odabrati tri točke na uglovima slike u kartici Položaj dijaloškog okvira Svojstva. To vam daje i mogućnost smanjenja ili povećanje, zakretanja i ukošenja slike. 1. ugao: položaj lijevog donjeg ugla slike. 2. ugao (desni donji) Napomena: njega se može podesiti jedino ako je prethodno određen 1. ugao. 2. ugao kontrolira širinu slike. 4. ugao (gornji lijevi) Napomena: njega se može podesiti jedino ako je prethodno određen 1. ugao. Kontrolira visinu slike. Napomena: Vidi naredbu Ugao Primjeri: Nacrtajte tri točke A, B i C i istražite učinak pridruživanja tih točaka uglovima slike. Postavite točku A za prvi i B za drugi ugao vaše slike. Povlačenjem točaka A i B alatom Pomicanje otkrit ćete vrlo lako učinak. Podesite sada točku A kao prvu i C kao četvrtu. I na kraju postavite sve tri točke za uglove slike, pa uočite kako povlačenje točaka utječe na sliku. Vidjeli ste kako utjecati na položaj i veličinu slike. Ako želite priključiti sliku točki A i odrediti njezinu širinu na 3 i visinu na 4 jedinične dužine, napravite sljedeće: 1. Ugao: A 2. Ugao: A + (3, 0) 4. Ugao: A + (0, 4) Napomena: Kada budete povlačili točku A alatom Pomicanje, slika neće 28
mijenjati veličinu. Pozadinska slika Na kartici 'Osnovno' dijaloškog okvira Svojstva možete postaviti sliku da bude pozadinska. Tada slika leži iza koordinatnih osi i ne može se odabrati pomoću miša. Napomena: Za promjenu svojstava pozadinske slike potrebno je izabrati Svojstva u izborniku Uređivanje. Prozirnost Slika se može učiniti transparentnom tako da se vide koordinatne osi ili slika koja leži iza nje. Transparentnost slike možete podesiti određujući vrijednost ispune između 0% i 100% u kartici 'Stil' dijaloškog okvira Svojstva. 29
3. Algebarski unos 3.1. Opće napomene Algebarska reprezentacija matematičkih objekata (kao npr. njihove vrijednosti, koordinate, jednadžbe) vidi se u algebarskom prikazu na lijevoj strani. Objekte možete izraditi i mijenjati koristeći traku za unos podataka koja se nalazi na dnu GeoGebrinog prozora (vidi poglavlja Izravan unos i Naredbe). Napomena: Uvijek pritisnite tipku Enter nakon upisivanja jednadžbi i naredbi u traku za unos. Napomena: Pritiskom tipke Enter prebacuje se fokus s trake za unos na grafički prikaz i obratno. To omogućava unos izraza i naredbi u traku za unos a da prethodno ne morate kliknuti mišem na nju. Nazivi objekata Napomena: Ako sami ne pridružite nazive objektima, GeoGebra će ih pridijeliti abecednim redom. Pojedinom objektu možete pridijeliti naziv dok ga konstruirate koristeći traku za unos. Točke: U GeoGebri točke se označavaju velikim slovima. Samo utipkajte naziv (npr., A, P) i znak jednakosti ispred koordinata u traci za unos. Primjeri: C = (2, 4), P = (1; 180 ), Kompleksni = 2 + i Vektori: Kako bi se napravila razlika između točaka i vektora, vektorima se u Geogebri pridjeljuju nazivi s malim slovima. Ponovo, utipkajte naziv (npr., v, u) i znak jednakosti ispred koordinata vektora. Primjer: v = (1, 3), u = (3; 90 ), kompleksni = 1 2i Pravci, kružnice, konike: Ovim se objektima mogu pridijeliti nazivi tako da se utipka naziv pa dvotočka ispred njihove jednadžbe. Primjeri: g: y = x + 3, c: (x-1)^2 + (y 2)^2 = 4, hip: x^2 y^2 = 2 Funkcije: Funkciju možete imenovati tako da utipkate na primjer, f(x) = ili g(x)= ispred funkcijske jednadžbe. Primjeri: h(x) = 2 x + 4, q (x) = x^2, trig(x) = sin(x) Napomena: Ukoliko vi ne dodijelite naziv nekom objektu, Geogebra će mu sama dodijeliti ime po abecednom redu. Napomena: U nazivima objekata možete koristiti indekse pomoću crte, na primjer A 1 se upisuje kao A_1 i s AB se upisuje kao s_{ab}. Izmjena vrijednosti Vrijednosti nezavisnih objekata možemo mijenjati na dva načina: 30
Izmijenite postojeću vrijednost novom tako da unesete naziv i novu vrijednost objekta u traku za unos (vidi Izravan unos). Primjer: Želite li promijeniti vrijednost postojećeg broja a = 3, utipkajte a = 5 u traku za unos i pritisnite tipku Enter. Uredite algebarski prikaz: Aktivirajte alat Pomicanje i kliknite dvaput na objekt u algebarskom prikazu. Time ćete otvoriti tekstualno polje u kojem možete urediti vrijednost objekta. Pritisnite tipku Enter za prihvat vaših izmjena. Napomena: Dok vrijednost nezavisnih objekata možete mijenjati izravno, na izmjenu vrijednosti zavisnih objekata možete utjecati indirektno mijenjajući vrijednosti njihovih roditeljskih objekata ili redefinirajući zavisni objekt. Pregled povijesti trake za unos Kada smjestite kursor u traku za unos možete koristiti strelice gore i dolje na tipkovnici kako biste korak po korak prolazili kroz prethodne unose. Napomena: Klikom na mali znak upitnika sa pregledom pomoći trake za unos. lijevo od trake za unos otvara se prozor Umetanje naziva, vrijednosti ili definicije nekog objekta u traku za unos Umetanje naziva nekog objekta: Uzmite alat Pomicanje i odaberite objekt čiji naziv želite umetnuti u traku za unos, a zatim pritisnite tipku F5 na tipkovnici. Napomena: Naziv objekta bit će dodan izrazu koji utipkavate u traku za unos dočim pritisnete tipku F5. Umetanje vrijednosti nekog objekta: Dva su načina za umetanje vrijednosti nekog objekta (npr. (1, 3) ili 3x 5y = 12) u traku za unos. Desni klik (MacOS: Ctrl-klik) na objekt pa iz skočnog izbornika odaberite podizbornik Kopiraj u traku za unos. Uzmite alat Pomicanje i odaberite objekt čiju vrijednost želite umetnuti u traku za unos, a zatim pritisnite tipku F4 na tipkovnici. Napomena: Vrijednost objekta bit će dodana izrazu koji utipkavate u traku za unos dočim pritisnete tipku F4. Umetanje definicije nekog objekta: Dva su načina na koji možete umetnuti definiciju objekta (npr., A = (4, 2), c = Kružnica[A, B]) u traku za unos. Alt + klik na objekt umetnut će definiciju objekta uz prethodno brisanje svega što se u traci za unos nalazilo. Uzmite alat Pomicanje i odaberite objekt čiju definiciju želite umetnuti u traku za unos, a zatim pritisnite tipku F3 na tipkovnici. Note: Definicija objekta zamijenit će svaki izraz koji se prethodno nalazio u traci za unos dočim pritisnete tipku F3. 31
3.2. Izravan unos U programu GeoGebra možemo rukovati brojevima, kutovima, točkama, vektorima, dužinama, pravcima, konikama i parametarskim krivuljama. Ove objekte upisujemo pomoću koordinata ili jednadžbi u traku za unos nakon čega treba pritisnuti tipku Enter. 3.2.1. Brojevi i kutovi Brojevi Koristeći traku za unos možete izraditi brojeve. Ako samo utipkate broj (npr. 3), GeoGebra će pridijeliti malo slovo nazivu broja. Ako broju želite pridijeliti naziv, utipkajte ga u traku za unos i nakon toga znak jednakosti pa broj (na primjer možemo dobiti broj r unosom r = 5.32.). Napomena: Brojevi i kutovi koriste znak '.' kao decimalnu točku. Možete koristiti i konstantu π i Eulerovu konstantu e u izrazima i izračunima tako da ih odaberete iz padajućeg izbornika odmah iza trake za unos ili koristeći tipkovničke kratice. Napomena: Ako varijabla e nije još iskorištena kao naziv postojećeg objekta, GeoGebra će ju prepoznati kao Eulerovu konstantu kod korištenja u novim izrazima. Kutovi Kutovi se zadaju u stupnjevima ( ) ili radijanima (rad). Konstanta π je korisna kod radijana i možemo je upisati i kao pi. Napomena: Možete upisati simbol za stupanj ili pi simbol za π koristeći slijedeće tipkovničke kratice: Alt-O (MacOS: Ctrl-O) za simbol stupnja Alt-P (MacOS: Ctrl-P) za pi simbol π Primjer: Kut α možemo unijeti u stupnjevima (α=60 ) ili u radijanima (α=pi/3). Napomena: Program GeoGebra sve interne proračune izvodi u radijanima. Znak nije ništa drugo nego konstanta za π/180 koja se koristi za pretvaranje stupnjeva u radijane. Primjer: Ako je a = 30 broj, tada α = a pretvara broj a u kut α = 30, bez izmjene njegove vrijednosti. Ako utipkate b = α /, kut α se pretvara natrag u broj b = 30, bez izmjene njegove vrijednosti. Klizači i strelice Nezavisne brojeve i kutove možemo prikazati kao klizače u grafičkom prikazu (vidi Klizač). Pomoću strelica možemo mijenjati brojeve i kutove u algebarskom prikazu (vidi Ručna animacija). 32