Úvod do modelovania a simulácie, metóda Monte Carlo Prednáška 4 využitie MS Excel 13.10.2015 Ing. Marek Kvet, PhD.
Modelovanie a simulácia Venuje sa štúdiu skúmaných objektov hmotného sveta - existujúcich (stanica, lietadlo, podnik, atómový reaktor, auto,...) - takých, ktoré by mohli existovať (stanica po rekonštrukcii, atómový reaktor po výbuchu, projektovaná elektráreň,...) Systém - abstrakcia, ktorá zanedbáva určité vlastnosti skúmaných objektov, ktoré nie sú z pohľadu konkrétneho typu skúmania dôležité Statické a dynamické systémy - pri statických systémoch abstrahujeme od významu času (=> modelovanie) - pri dynamických systémoch hrá čas dôležitú úlohu (=> simulácia) Prvky systému: - permanentné & temporálne, obsluhované & obsluhujúce,...
Experimenty s reálnym systémom: áno/nie? Pri istých úlohách je to možné - Nastavenie priorít pre procesy v PC - Organizácia práce pokladní na diaľnici Výhodné, ale ťažko použiteľné v praxi - určite viem, že skúmam správnu vec, no je málo situácií, kedy sa dá experimentovať s reálnym systémom Prečo nie s reálnym systémom? - nedostupnosť (systém ešte nemusí existovať, predpovede počasia) - cena (príliš vysoké náklady) - bezpečnosť (jadrová elektráreň, vodné dielo) Ak nie s reálnym systémom, tak ako?
Čo je modelovanie? 1. Vytvorme si validný model skúmaného systému. 2. Experimentujme s týmto modelom. 3. Výsledky experimentov s modelom môžeme aplikovať späť na skúmaný systém. Modelovanie - je výskumná technika/metóda, podstatou ktorej je náhrada skúmaného systému (originálu) jeho modelujúcim systémom (modelom), za účelom získať pomocou pokusov (experimentov) s modelom informácie o origináli. Modelujúce systémy (Modely) - Fyzické modely (trenažér v autoškole, model vodného diela,...) - Logické (matematické) modely (využitie metód operačnej analýzy, počítačový simulačný model )
Výhody a nevýhody simulácie Výhody simulácie - Skúmanie komplexných systémov - Kompresia a expanzia času - Vykonávanie kontrolovaných experimentov - Neovplyvňuje činnosť reálneho systému - Efektívny tréningový nástroj Nevýhody simulácie - Vytvorenie modelu vyžaduje odborné znalosti - Nezaručuje získanie optimálnych hodnôt skúmaných parametrov systému - Stochastickosť vstupov vyžaduje dôsledné štatistické spracovanie výsledkov - Vytvorenie komplexného modelu môže byť časovo náročné Deterministické a stochastické modely
Abstrahuje od času - Čas nemá dôležitú úlohu Statické modelovanie Praktické využitie - Odhad niečoho, čo sa ťažko vypočíta exaktne, pomocou náhodných pokusov - Odhad nie je presný > odchýlka, mali by sme vedieť, aká je - Viac pokusov => väčšia presnosť - Redukcia rozptylu (odchýlky) úpravou experimentu Metóda Monte Carlo - Myšlienka transformácie nepravdepodobnostných problémov na pravdepodobnostné, ktoré sa dajú riešiť štatistickými metódami s využitím počítačov (náhodné pokusy) (Solitaire, prechod neutrónov štiepnou látkou) - Metóda riešenia problémov, pri ktorých čas nemá dôležitú úlohu, pomocou špeciálne organizovaných štatistických pokusov:
Metóda Monte Carlo Metóda Monte Carlo - Myšlienka transformácie nepravdepodobnostných problémov na pravdepodobnostné, ktoré sa dajú riešiť štatistickými metódami s využitím počítačov (náhodné pokusy) (Solitaire, prechod neutrónov štiepnou látkou) - Metóda riešenia problémov, pri ktorých čas nemá dôležitú úlohu, pomocou špeciálne organizovaných štatistických pokusov: 1. Formulácia novej úlohy (ak je to potrebné), ktorej riešenie je zhodné s riešením pôvodnej úlohy. 2. Riešenie novej úlohy pomocou štatistických experimentov (s využitím výpočtovej techniky). Príklady: rôzne oblasti (jadrová fyzika, bezpečnosť, chémia, medicína, ekonómia,...) - odhad čísla π - výpočet určitého integrálu - pravdepodobnosť výhry v LOTO analyticky alebo metódou Monte Carlo (ako?)
Metóda Monte Carlo trochu podrobnejšie Samotná metóda Monte Carlo bola formulovaná a prakticky použitá J. von Neumannom a S. Ulamom pri vývoji atómovej bomby v priebehu 2. svetovej vojny. Pri výskume správania sa neutrónov bolo treba vyriešiť problém, aké percento neutrónov v určitej dávke prenikne nejakú prekážku, napríklad nádrž vody určitých rozmerov. Pri riešení tohto problému predpovede života neutrónu bola použitá technika rulety, odkiaľ pochádza i názov metódy Monte Carlo. Metoda Monte Carlo je numerickou metódou založenou na vzťahu medzi pravdepodobnostnými charakteristikami rôznych náhodných procesov a veličinami, ktoré sú riešením študovaných úloh. Existujú dva možné prístupy na riešenie úloh metódou Monte Carlo: 1. Geometrická metóda založená na geometrickej pravdepodobnosti 2. Výpočet založený na odhade strednej hodnoty náhodnej premennej
Metóda Monte Carlo príklady Teraz si na 2 jednoduchých príkladoch ukážeme praktické aplikácie metódy Monte Carlo: 1. Akým spôsobom je možné experimentálne určiť hodnotu čísla π 2. Ako riešiť jednoduchý určitý integrál Poznámka: Zameriame sa na aplikácie metódy Monte Carlo v prostredí MS Excel. Podrobnejšie si tieto príklady spravíme na cvičení. A pridáme aj ďalšie
Odhad hodnoty čísla π Poznámka: Prejsť na rozbor ukážkového príkladu v MS Excel!
Odhad hodnoty čísla π Počet náhodných Odhad hodnoty P(A ) pokusov (n ) čísla π 10 0,800 3,20000000 100 0,790 3,16000000 1 000 0,784 3,13600000 10 000 0,785 3,14040000 100 000 0,787 3,14608000 1 000 000 0,785 3,14025200 10 000 000 0,785 3,14165360 100 000 000 0,785 3,14150100 1 000 000 000 0,785 3,14160801 Pre porovnanie: π = 3,14159265 Jav A - náhodne vygenerivaný bod bude patriť do kruhového výseku
Výpočet určitého integrálu
ĎAKUJEM ZA POZORNOSŤ! priestor pre Vaše otázky viac na cvičení marek.kvet@fbi.uniza.sk