CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme cocrete. Proprietăţile geerale şi operaţiile cu fucţii depid î primul râd de structura algebrică a mulţimilor X şi Y. Î cazul X, Y R, f : X Y se umeşte fucţie reală de o variabilă reală şi această fucţie este destul de geerală; de aceea î liceu s-au studiat fucţiile reale cocrete de o variabilă reală, adică fucţii petru care legea de asociere a lui x X cu y Y este dată pritr-o expresie aalitică precizată şi graficul lui f, G f ={(x, y) R x X, y Y; y = f (x)} cu X Y R =R R. Clasa fucţiilor de la R la R cupride următoarele fucţii reale cocrete: fucţii poliomiale, fucţii trigoometrice directe, fucţii trigoometrice iverse, fucţia putere, fucţia expoeţială, fucţia logaritmică, fucţiile etajate ş.a. Vom ota cu trig ua ditre fucţiile trigoometrice: sius, cosius, tagetă, cotagetă şi cu arctrig ua ditre fucţiile trigoometrice iverse: arcsius, arccosius, arctagetă, arccotagetă. Cosiderăm următoarea clasa de fucţii reale de o variabilă reală: a { R a ; log a; trig; arctrig} (III.) E 0 = cost; ; exp ; () ude sut icluse: fucţiile costate, fucţia idetitate pe R şi pe X R, fucţia expoeţială de baza a (a > 0; a ); fucţia logaritmică de bază 58

a (a > 0; a ); fucţia putere de expoet a ( a R) fucţiile trigoometrice directe şi fucţiile trigoometrice iverse. Mulţimea R fiid u corp comutativ ordoat şi complet e permite să defiim operaţii algebrice cu fucţii reale de o variabilă reală şi alte proprietăţi. Defiiţia III.. ] O fucţie f : X Y cu X, Y R se umeşte fucţie elemetară dacă f poate fi obţită di E0 aplicâd de u umăr fiit de ori cele patru operaţii aritmetice: aduarea, scăderea, îmulţirea, împărţirea, cât şi operaţia de compuere a două fucţii. Notăm cu E mulţimea fucţiilor elemetare. ] Fucţiile f E 0 se umesc fucţii elemetare de bază. Observaţii: f : R R, f x = x cu N f E. Exemple: ( ) def ( ) ( L )( ) ( ) f x = x = x cu x = x, x 44443 R R R R R ori o : R Rcu ( ) P ( ) şi P R[ ] f f x = x X f E fucţia poliomială. 3 o ( ), 0 f x = x f E (fucţia radical de ordi ). 4 o def x x x x x x sh sh x e e e e x e e, ch, th x x + x = = = = E chx e + e x ( x ) ch sh x= fucţiile trigoometrice hiperbolice. Orice fucţie elemetară poate fi dată pritr-o formulă, adică pritr-u umăr fiit de simboluri matematice aplicate fucţiilor elemetare de bază di E 0. 3. O fucţie elemetară f : X Y cu X, Y R se otează şi pri: 59.

y = f(x) cu x X î loc de f : X Y 4. Dacă mulţimea de defiiţie a lui f u este precizată se subîţelege că ea este mulţimea D f ={x R f(x) R}, a puctelor x di R petru care are ses f(x) î R. Mulţimea D f se umeşte împropriu domeiu maxim de defiiţie al fucţiei f. 5. Dacă avem relaţia ρ X X R, atuci există o mulţime maximă A X a.î. relaţia ρ A R este o fucţie f care se umeşte fucţia aturală asociată relaţiei biare ρ. Câd se spue fie fucţia elemetară y = f ( x) este vorba de fucţia aturală asociată relaţiei biare ρ de la R la R. Defiiţia III.. Fie f, g E cu f : A R, g: B R, atuci defiim: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) f ± g: A B R cu f ± g x = f x ± g x ; B fg : A B R cu fg x = f x g x ; B f III. : A B0 R şi B0 = { t B g() t 0} Bcu g f f ( x) ( x) = ; B0 g g( x) umite: suma algebrică, produsul şi câtul fucţiilor f şi g. Vom preciza î cotiuare uele fucţii particulare remarcabile care se folosesc î studiul uor probleme teoretice şi î aplicaţii. (F ) Fie A R, f : A R cu proprietatea că există ( ) c R a.î. f x = c,, pri defiiţie f este fucţia costată şi o otăm f = c. Petru c = 0, fucţia f este fucţia idetic ulă pe A sau fucţia ulă pe A, otată f =0. 60

(F ) Fie f : R R, f ( x) x ; x 0 = x 0; x = 0 y y= fucţia sigum, otată sig x = f( x). y=- O x (F 3 ) Fie f: R R fucţie defiită astfel: f(x) este cel mai mare îtreg cu proprietatea x, adică ( ) = sup { Z } f x x umită fucţia partea îtreagă otată pri [ ] sau [ ] * sau E sau * şi umarul [x] = f (x), x R se umeşte partea îtreagă a lui x. Fucţia ( ) [ ] y 0 x -3 - - 3 g: R R, g x = x x se umeşte y fucţia partea zecimală şi umărul x [ x], x R se umeşte partea zecimală a lui x. 0 x (F 4 ) Fie f : R R cu f(x) distaţa de la x la cel mai apropiat îtreg, adică (-,0) (- { } f( x) = if d( x, ) = x Z; x R. y y= 0 (, 0) (, 0) x,0) (,0) ; x Q (F 5 ) Fucţia f : R {0, } dată pri f( x) = se umeşte 0; x R-Q fucţia lui Dirichlet. 6

x (F 6 ) Fucţia f : R (-, ) cu f( x) = se umeşte fucţia lui + x Hah. (F 7 ) Fucţia f : R R cu ; dacă * p x Q cu x= şi q q f( x) = ( p, q) = ; q * 0; dacă x R-Q se umeşte fucţia lui Riema. (F 8 ) Fie A R o mulţime evidă şi f :R {0, } defiită pri: ; x A f( x) = 0; x R-A y=0 - O y y= 3 A=[-, 3] y=0 ϕ A se umeşte fucţia caracteristică a mulţimii A otată pri ϕ A sau c A sau A. * Fucţia caracteristică a mulţimii A = R R + y se umeşte fucţia lui Heaviside y= otată cu H = ϕ *. R + y=0 O x (F 9 ) Fie I R iterval şi f : I R. Pri defiiţie, f este o fucţie etajată sau î scară dacă există o partiţie fiită ( I k ) k, a itervalului I şi = {λ, λ,..., λ } R astfel îcât f = λϕ k I ude ϕ k Ik este fucţia caracterisită a itervalului I k, cu k =,... k = 6

Di defiiţia fucţiei etajate şi a fucţiei caracteristice a uei submulţimi A R se deduc următoarele codiţii de caracterizare petru fucţii etajate: ( ) O ( ) ( ) ( ) (i) f : I R este fucţie etajată (î scară) ( I k ) k, o partiţie = fiită a lui I a.î. f este costată pe fiecare iterval I k cu k =,. (ii) f : I R este fucţie etajată (î scară) exista o diviziue a lui I a. î. f este costată pe iteriorul fiecărui iterval parţial al diviziuii. Coceptul de fucţie etajată (î scară) poate fi geeralizat astfel: Fie X o mulţime oarecare şi s: X [0, ) se umeşte fucţie simplă dacă s(x) [0, ) este o mulţime fiită, adică s are doar u umăr fiit de valori pozitive; otăm s(x) = {α,..., α } cu α k R + petru k =,. Î aceste codiţii, avem k A ude A k k = {x X s(x) = α k }şi ϕ Ak este k = s = αϕ fucţia caracteristică a lui Ak ( X= UAk ). k = (F 0 ) I] Fie f : A R cu A R. Fucţia f este izometrică sau f este o izometrie pe A, dacă: d f( x), f( y) = f( x) f( y) = d xy, = x y, xy, A (III.3) [ ] ( ) II] Dacă există λ > 0 a. î. 63

(III.4) f( x) f( y) λ x y, x, y A fucţia f satisface codiţia lui Lipschitz sau f este o fucţie λ - lipschitziaă. III] O f fucţie λ - lipschitziaă cu 0 < λ < se umeşte cotracţie sau λ - cotracţie. IV] O fucţie f : A R este o fucţie local lipschitziaă dacă există V V(x) astfel îcât f A V să fie o fucţie lipschitziaă. V] O fucţie f : A R petru care există p (0,) şi există M >0 astfel îcât: (III.5) f( x) f( y) M x y, x, y A p se spue că f satisface codiţia Hölder sau că f este fucţie p hölderiaă. Observaţii:. Orice fucţie izometrică este fucţie lipschitziaă (λ = ). Reciproca u este umaidecât adevărată. Exemplu: f(x) = six, x R este lipschitziaă, dar u este izometrică, avem: x y x y x y si x si y = si cos = x y ( si t t, t R; cost ). Orice fucţie lipschitziaă este local lipschitziaă. Reciproca u este î geeral adevărată. Defiiţia III.3. Fie f : A R cu A R. ] Fucţia f este mooto crescătoare pe A, dacă x, x A, cu x x, f( x) f( x) avem 0 x, x A, cu x x, avem: x x 64

(III.6) [ f x f x ]( x x ) ( ) ( ) 0. Fucţia f este mooto strict crescătoare pe A, dacă x, x A, cu x x, avem: f( x) f( x) (III.6') > 0. x x ] Fucţia f este mooto descrescătoare pe A, dacă x, x A, cu f( x) f( x) x x, avem 0 x, x A, cu x x, avem: x x (III.7) [ f x f x ]( x x ) ( ) ( ) 0. Fucţia f este mooto strict descrescătoare pe A, dacă x, x A, cu x x, avem: f( x) f( x) (III.7') < 0. x x 3] Fucţia f este mootoă pe A dacă f este, fie mooto crescătoare, fie mooto descrescătoare pe A. Fucţia f este strict mootoă pe A dacă f este, fie mooto strict crescătoare, fie mooto strict descrescătoare pe A. Exemple: ) f (x) = [x], x R este mooto crescătoare. ) si: R R, cos: R R u sut mootoe dar admit restricţii si A cu π π A =, şi cos A cu A = [ ] 0, π care sut strict mootoe. 3) Fucţia Dirichlet u este mootoă pe ici u iterval I R edegeerat. Defiiţia III.4. Fie I R şi f: I R. Fucţia f are proprietatea Darboux pe I (otat P.D.) dacă a, b I cu a < b şi oricare ar fi λ cupris ître f(a) şi f(b) există c (a, b) astfel îcât f(c) = λ. 65

Se va ota D a (I) mulţimea fucţiilor f: I R care au proprietatea Darboux pe I. Observaţii: ] Se pot da formulări echivalete ale acestei defiiţii: I. f: I R are proprietatea Darboux a, b I cu a < b, mulţimea valorilor fucţiei f pe [a, b] adică mulţimea f([a, b]), coţie toate umerele reale cuprise ître f(a) şi f(b). II. f: I R are proprietatea Darboux a, b I cu a < b şi oricare ar fi λ (0,) există c (a, b) astfel îcât f(c) = (- λ) f(a) + λ f(b). III. ] f: I R are proprietatea Darboux a, b I cu a < b şi oricare ar fi λ cupris ître f(a) şi f(b), paralela la axa Ox care trece pri puctul (0, λ) itersectează graficul lui f îtr-u puct (x, f(x)) cu x [a, b]. ] Fie I R iterval, f: I R o fucţie cu proprietatea: a, b I cu a < b şi oricare ar fi λ cupris ître f(a) şi f(b) există c I astfel îcât f(c) = λ, u rezultă că f are proprietatea Darboux ci doar faptul că f(i) este iterval. 3] Puctul c di defiiţia lui f cu proprietatea Darboux u este totdeaua uic determiat; pot exista o ifiitate de pucte c di (a, b) astfel îcât f(c) = λ. Exemple:. f(x) = sig x, x R u are proprietatea Darboux. x; x Q. f( x) = f u are proprietatea Darboux. x; x R-Q f ( x) = si x f( x) = cosx 3., au proprietatea Darboux. x R x R 66

Teorema III.. Fie I R iterval, f: I R o fucţie, atuci următoarele afirmaţii sut echivalete: (i) f are proprietatea lui Darboux; (ii) J I iterval f(j) este iterval; (iii) a, b I cu a < b f([a, b]) este iterval; (iv) A I mulţime covexă f(a) este covexă. Demostraţie: (i) (ii) Fie J I iterval; se cosideră f(j) şi y, y f(j) cu y < y, iar λ R cu y <λ< y există x, x J a. î. f(x )= =y, f(x )= y şi cum f are proprietatea Darboux există x 0 cupris ître x şi x, cu f(x 0 )= λ. Cum J este iterval x 0 J, deci λ = f(x 0 ) f(j), deoarece [y, y ] f(j) care este iterval. (ii) (iii) şi (iii) (iv) sut evidete; A I covexă A iterval (defiiţia şi caracterizarea itevalului î R) (iv) (i) Fie a, b I cu a < b şi λ cupris ître f(a) şi f(b), atuci f(a), f(b) f ([a, b]) şi după (iv) f ([a, b]) este iterval, deci λ f ([a, b]) şi atuci există x 0 [a, b] a. î. f(x 0 ) = λ f are proprietatea lui Darboux. Teorema III.. Fie I R şi f: I R o fucţie ijectivă cu proprietatea Darboux, atuci f este strict mootoă. Demostraţie: Fie x, x, x 3 I cu x < x < x 3 atuci J = f([x, x ]) şi J = f([x, x 3 ]) sut itervale. Cum f(x ) J J şi f este ijectivă, avem J J = {f (x )} de ude rezultă: f ( x) < f( x) < f( x3) sau f x3 f x f x ( ) < ( ) < ( ) f este strict mootoă pe I. Coseciţa III.. Fie I R iterval, f: I R o fucţie cu proprietatea Darboux, atuci f este strict mootoă f este ijectivă. Demostraţia rezultă direct di teorema precedetă. 67

Defiiţia III.5. ] O mulţime A R se umeşte mulţime simetrică î raport cu origiea sau mulţime simetrică dacă x A -x A echivalet cu A = - A. ] Fie A R o mulţime simetrică şi f: A R. Fucţia f este fucţie pară dacă: f (- x) = f(x),. Fucţia f este fucţie impară dacă: f (- x) = = - f(x),.. Exemple: Fucţiile trigoometrice cos şi ctg sut pare, iar si şi tg sut impare. Fucţia Dirichlet este pară. Fucţia Hah este impară. Teorema III.3. Fie A, B R cu A mulţime simetrică şi f :A B o fucţie impară bijectivă, atuci B este mulţime simetrică şi f :B A este fucţie impară. Demostraţie: Fie B = f (A) şi să arătăm că B este mulţime simetrică, adică B = - B şi f impară, adică f (-y) = - f (y), y B. Petru y B fixat, există a. î. f(x) = y şi deci: - y =- f(x)= f(-x) f(a) = = f(a) = B şi f (-y)= f [ f (-x)] = - x = - f (y). Exemplu. Fucţiile arcsi şi arctg sut impare deoarece si şi tg sut impare (coform teoremei III.3). Defiiţia III.6. Fie A R şi f :A R. Fucţia f este periodică pe A, dacă există T > 0 astfel îcât: x + T A şi f( x+ T) = f(x),. Numărul T se umeşte perioadă a fucţiei f; cel mai mic umar pozitiv care este perioadă petru f se umeşte perioadă miimă. Exemple: Fucţiile trigoomerice si şi cos au perioada π (miimă). Fucţie f(x) = [x] are perioadă miimă. 68

* 3 Fucţia Dirichlet are perioadă orice r, dar u are o perioadă miimă. Defiiţia III.7. ] O fucţie f :A R cu A R este fucţie mărgiită pe A dacă mulţimea f(a) R este mărgiită. O fucţie care u este mărgiită se umeşte fucţie emărgiită. ] Dacă f este mărgiită pe A, pri defiiţie margiea superioară a mulţimii f(a), sup f(a), se umeşte margiea superioară a fucţiei f pe A, otată pri sup f ( x) ; margiea iferioară a mulţimii f(a), if f(a), se umeşte Q + margiea iferioară a fucţiei f pe A, otată pri if f ( x). 3] Fucţia f este majorată pe A, dacă mulţimea f(a) este majorată; fucţia f miorată pe A dacă mulţimea f(a) este miorată. Defiiţia III.8. Fie A R şi f: A R. ] Fucţia f îşi atige maximul pe A, dacă multimea f(a) admite maxim, adică există x 0 A a. î. f(x 0 ) f(x),. Fucţia f îşi atige miimul pe A, dacă multimea f(a) admite u miim, adică există x 0 A a. î. f(x 0 ) f(x),. ] Elemetul f(x 0 ) se umeşte maximul global şi se otează max f ( x) sau max f(x), respectiv f(x 0 ) se umeşte miimul global şi se otează mi f ( x) sau mi f(x). 3] Puctul x 0 A se umeşte puct de maxim global, respectiv de miim global şi maximul, miimul lui f î x 0 se umesc extreme globale ale lui f pe A. Observaţii:. Fucţia f: A R este mărgiită f este mărgiită f este majorată ( f 0 pe A). 69

. Fie f: A R, f atige margiea superioară, respectiv f atige margiea iferioară, dacă sup f(a) f(a), respectiv if f(a) f(a). 3. Orice fucţie f: A R care are u umăr fiit de valori este o fucţie mărgiită. Defiiţia III.9. Fie A R şi f: A R. ] Puctul x 0 A este puct de maxim local petru f, dacă există V V(x 0 ) a. î. f(x 0 ) f(x), V { x 0 }. Puctul x 0 A este puct de miim local petru f, dacă există V V(x 0 ) a. î. f(x 0 ) f(x), x (V { x 0 }) A. ] Puctele de maxim local şi miim local se umesc pucte de extrem local ale lui f. 3] Avem: x 0 puct de maxim local î ses strict def V V(x 0 ) a. î. f(x 0 ) > f(x), V { x 0 } şi respectiv x 0 este puct de miim local î ses strict V V(x 0 ) a. î. f(x 0 ) < f(x), V {x 0 }. Î aceste cazuri x 0 este puct de extrem local î ses strict al lui f. Observaţie: U puct de maxim global, respectiv de miim global este şi puct de maxim local, respectiv puct de miim local. Reciproca, î geeral, u este adevărată. Exemple:. si : R R este mărgiită: si x, x R. π 3π Puctele + k π sut pucte de maxim absolut şi puctele + sut pucte de miim absolut. k π. Fucţia tg u este margiită şi u are pucte de extrem local; petru π π f(x) = tg x, avem if f ( x) = - şi sup f ( x) = + ude A =, R. 70

3. Fucţia lui Dirichlet este mărgiită, dar u admite pucte de extrem local, fiecare x 0 Q este este puct de maxim global şi fiecare x 0 R - Q este puct de miim local. x 4. Fucţia lui Hah, f( x) =, x R şi f(r) = (-, ) este mărgiită, u + x are extreme locale şi u-şi atige margiile pe R. 5. Orice fucţie mootoă f: A R este mărgiită dacă A este submulţime mărgiită a lui R care îşi coţie margiile. Teorema III.4. Fie A R şi f: A R o fucţie, următoarele afirmaţii sut echivalete: (i) f este mărgiită; (ii) există α, β R a. î. α f(x) β, ; (iii) M > 0 a. î. f(x) M, ; (iv) sup f ( x) < +. Demostraţia este directă folosid defiiţiile precedete care se aplică mulţimii f(a) R. Teorema III.5. Fie A R şi f, g: A R două fucţii mărgiite, atuci f ± g, fg sut fucţii mărgiite. Demostraţie: Fucţiile f şi g fiid mărgiite după (iii) di teorema precedetă există M, M > 0 a. î. f(x) M şi g(x) M. şi atuci f(x) ± g(x) M + M, f ± g mărgiită. La fel f(x) g(x) = f(x) g(x) M M, fg este mărgiită. Teorema III.6. Fie A R o mulţime mărgiită şi f: A R o fucţie lipschtziaă, atuci f este mărgiită. 7

Demostraţie: Mulţime A R mărgiită M >0 a. î. x M, şi f fucţie lipschitziaă, deci există λ >0 a. î. f(x) - g(x) λ x- y, x, y A. Fixăm x 0 A şi avem: f(x) f(x) - f(x 0 ) + f(x 0 ) λ x- x 0 + f(x 0 ) λ x + λ x 0 + f(x 0 ) λm + f(x 0 ), mărgiită pe A. loc afirmaţiile: sup f ( x) λm + f(x 0 ) < + f este Teorema III.7. Fie A R şi f, g: A R două fucţii atuci au o sup f ( x) sup g( x) (i) dacă f g pe A o if f () x if g() x o 3 if f ( x) + sup g( x) sup [ f( x) + g( x) ] sup f( x) + sup g( x) o 4 if f ( x) + sup g( x) if [ f( x) + g( x) ] if f( x) + if g( x) o (ii)( III.8) 5 sup f( xgx ) ( ) sup f( x) sup gx ( ) dacă f 0, g 0 o 6sup = dacă if f( x) > 0 şi f( x) 0, f ( x) if f( x) o 7 if = dacă sup f( x) > 0 şi f( x) 0, f( x) sup f( x) Demostraţiile relaţiilor - 7 sut directe aplicâd defiiţiile şi teoremele deja demostrate. Numărul Defiiţia III.0. Fie A R mulţime arbitrară şi fucţia f: A R. sup f ( x) f otată pri: R {+ } se umeşte orma uiformă a fucţiei 7

(III.9.) sup f ( x) ot = f ot = f. u Teorema III.8. Fie A R mulţime oarecare şi f, g: A R fucţii, atuci au loc următoarele proprietăţi ale ormei uiforme: I. f = 0 f( x) = 0,, adică f = 0 (fucţia ulă); II. f M f( x) M, x A; III. f <+ f mărgiită pe A; IV. λ R, λ f = λ f dacă f < + ; V. f + g f + g. Demostraţiile petru afirmaţiile I, II şi IV sut evidete; III rezultă di II. Petru a dovedi V, cosiderăm: ( )( ) ( ) ( ), f + g x f x + g x f + g x A, deci: ( )( ) f + g = sup f + g x f + g. Defiiţia III.. O fucţie f: R R se umeşte: - aditivă dacă f( x+ y) = f( x) + f( y); x, y R ; - subaditivă dacă f( x+ y) f( x) + f ( y); x, y R ; - omogeă dacă f( λ x) =λ f( x), λ R şi x R; - liiară dacă f este aditivă şi omogeă; - multiplicativă dacă f( x y) = f( x) f( y); x, y R ; - submultiplicativă dacă f( x y) f( x) f( y); x, y R ; - afiă dacă există I R iterval şi f: I R petru care există a, b R a. î. f( x) = ax+ b, x I. - covexă (cocavă), şi f: I R dacă x, x I şi λ (0, ): 73

( λ) + λ ( λ) ( ) + λ ( ) f x x f x f x respectiv ( λ) + λ ( λ) ( ) + λ ( ) f x x f x f x * Exemple: f: R R cu f( x) ax ( a R ) x f: R R cu f( x) = este subaditivă. + x = este fucţie liiară. 3 f: R R cu f( x) = ax+ b afiă este aditivă b = 0 şi este omogeă b = 0 f este fucţie liiară petru b = 0. 4 Fucţiile modul, sigum, idetitate pe R sut fucţii multiplicative. 5 Fucţia modul şi fucţiile etajate sut afie pe porţiui pe R. ( ) 3, 6 f x = x x R este strict covexă pe R+ şi strict cocavă pe R -. Teorema III.9. O fucţie f: R R este fucţie liiară, dacă şi umai dacă există c R a. î. f(x) = cx, x R. Demostraţie: Avem f(x) = f(x ) = x f(), x R şi c = f(), deci f(x) = cx, x R. fucţie liiară. Teorema III.0. Orice fucţie aditivă f: R R este Q omogeă. Demostraţia se face pri iducţie ([4] pag. 6; [30]). Coseciţa III.. O fucţie f: R R aditivă şi mootoă este Demostraţia î bibliografie ([4] pag. 6; [30]). Teorema III.. Fie I R şi f: I R o fucţie, atuci următoarele afirmaţii sut echivalete: (i) f este fucţie afiă; (ii) f f(0) este restricţia la I a uei fucţii liiare; (iii) f[(- λ)x + y] = (- λ) f(x) + λ f(x) ; x, y I şi λ [0, ]. 74

Demostraţie: (i) (ii) f este afiă deci a, b R a. î. f(x) = ax+b; x I f(x) + f(0) = ax, x I adică f - f(0) este restricţia la I a uei fucţii liiare: x ax cu x R. (ii) (iii) este evidetă. (iii) (i) Fie a, b I fixaţi cu a < b şi să demostrăm că are loc f( b) f( a) f ( x) f( a) x a, x I. b a egalitatea: (III.0) = + ( ) I. Dacă x [a, b], avem x = ( - λ)a + λb cu λ = x a şi di (ii) b a rezultă: f(x) = f(a) (- λ) + f(b)λ = f(a) + [f(b) - f(a)] λ (III.0), x [a, b]. II. Dacă x I - [a, b] şi presupuem x > b, avem b [a, x], deci aplicâd (III.0) petru b = x şi x = b rezultă: f( x) f( a) x a f ( b) = f( a) + ( b a) (III.0) şi deci f este fucţie afiă. Coseciţa III.3. Au loc următoarele afirmaţii petru f: R R: (α) f este fucţie afiă f f(0) este fucţie liiară; (β) dacă f este aditivă şi multiplicativă f = 0 sau f = R ; (γ) f este izomorfism de la R la R f = R. Defiiţia III.. Fie A R o mulţime arbitrară. Fucţia f: A A are x 0 A puct fix dacă f(x 0 ) = x 0. Observaţii:. O fucţie f poate să u aibă pucte fixe, poate avea u sigur puct fix, poate avea u umăr fiit de pucte fixe, poate avea o ifiitate de pumcte fixe.. Fie A R şi f: A A; f are cel puţi u puct fix, dacă şi umai dacă graficul lui f itersectează prima bisectoare. 75

3.Exemple: Fucţiile si şi cos au fiecare u sigur puct fix.. Fucţiile tg şi ctg au fiecare câte o ifiitate de pucte fixe. 3 f ( x) ax bx c = + + cu x R, a 0 şi a, b R are cel puţi u puct fix, ( ) dacă şi umai dacă, b 4ac. Teorema III.. (Teorema lui Kaster) Fie A R o mulţime cu proprietatea că orice submulţime a lui A are margii care aparţi lui A şi f: A A o fucţie mootoă, atuci există x 0 A a. î. f(x 0 ) = x 0. Demostraţie: Presupuem f mooto crescătoare şi fie a = mia, b = maxa şi B = { f(x) x}. Cum f(a) A, avem f(a) a, deci a B şi B. Fie c = sup B, deoarece c x, x B şi f mooto crescătoare, rezultă f(c) f(x), x B, deci f(c) x x B şi atuci f(c) sup B = c. Î aceste codiţii di f(x) c f[f(c)] f(c) şi f(c) B, deci f(c) c. Î coseciţă, avem f(c) = c şi x 0 = c = sup B. Cosecita III.4. Fie f : [a, b] [a, b] o fucţie mootoă, atuci există x 0 [a, b] a. î. f(x 0 ) = x 0. Defiiţia III.3. Fie P R[X] u poliom de grad, P = k. k = 0 k = ax ( a 0) k ] Fucţia p: R R cu p(x) = ax se umeşte fucţie poliomială k = 0 k asociată poliomului P R[X]. ] U elemet x 0 R se umeşte rădăciă sau soluţie a lui P dacă P(x 0 )=0 şi rădăcia de ordi p dacă există P R[X] a. î. P(x) = (x - x 0 ) p P (x), x R şi P (x 0 ) 0. 76

3] Elemetul x 0 R se umeşte umăr algebric, dacă x 0 este rădăcia uui poliom cu coeficieţi îtregi de grad eul şi umăr trascedet dacă u este algebric. Teorema III.3. Fie P, Q R[X] cu Q 0 (poliomul ul), atuci au loc următoarele afirmaţii ([7], [30], [4]): (i) Există C, R R[X] a. î. P = C Q + R şi grad R < grad Q; (ii) Fie a R, atuci există C R[X] uic şi există r R uic a. î. P = (X - a) C + r. (iii) Elemetul a R este rădăciă a lui P, dacă şi umai dacă, P se divide exact la X - a. (iv) Fie P R[X], elemetul a + ib C este o rădăciă a lui P, dacă şi umai dacă, a - ib este rădăciă a lui P. (ivv) Fie P R[X] cu grad P = ( N*) şi a R, atuci are loc formula lui Taylor petru polioame: ( x a) ( ) x a P( x) = P( a) + P ( x) +... + P ( x), x R.!! Defiiţia III.4. Se umeşte fucţie raţioală cu coeficieţi î R, câtul a două polioame cu coficeţi î R, adică există P, Q R[X] a. î. R = P Q. Dacă P şi Q u au rădăcii comue, avem P( x) R( x) =, Q( x) x R-Z Q ude Z Q este mulţimea rădăciilor (zerourilor) lui Q. Dacă P şi Q au o rădăciă comuă x = a, atuci R = P Q se idetifică cu P Q ude, P, Q R[X] şi P = (X - a) P, Q = (X - a)q. 77

Teorema III.4. ([4] pag. 30-3) Fie R = P Q cu P, Q R[X] o fucţie raţioală cu R: D R R R, atuci au loc afirmaţiile: ] R este fucţie pară, dacă şi umai dacă, există o fucţie raţioală R a. î. R(x) = R (x ), x D R. R este fucţie impară, dacă şi umai dacă, există o fucţie raţioală R a. î. R(x) = xr (x ), x D R. ] Fie x 0 R fixat, R este o fucţie pară î raport cu x 0, dacă şi umai dacă, există R fucţie raţiolă a. î. R(x) = R [(x - x 0 ) ], x D R. R este fucţie impară î raport cu x 0, dacă şi umai dacă, există R fucţie raţioală a. î. R(x) = (x - x 0 )R [(x - x 0 ) ], x D R. 3] Fie R = P Q fucţie raţioală cu grad P < grad Q. I] Dacă Q are umai rădăcii reale disticte, adică: Q = c( x x)( x x )...( x x )( R xj, j, ) = atuci R admite o descompuere uică î fracţii simple de forma: P( x) A A A (III.) = + +... + ( A j R, j =, ) Q( x) x x x x x x II] Dacă Q are rădăcii reale disticte şi multiple, adică: α α αk Q = c( x x) ( x x )...( x xk) ( xi R, i N, i, k) α = atuci R admite o descompuere uică î fracţii simple de forma: P( x) A A A α = + +... + +... + α α Q( x) ( x x) ( x x) x x (III.). L L L α + k... αk + αk + + ( x xk) ( x xk) x xk III] Dacă Q are rădăcii complexe simple şi multiple, adică: 78.

( α ) ( αk ) (... k k k i, i, i R, i N, i 4 i i 0) Q= a x + bx+ c a x + b x+ c a b c α b ac < atuci R admite o descompuere uică î fracţii simple de forma: P( x) Ax + B A α x + B α = +... + + α Q( x) ( ax bx c) ax + bx + c + + (III.3) L x + M L x + M + + + ( ax k + bx k + ck) + + ( i = α ) αk αk...... A,B,...,L,M ;, αk i i i i k ax k bx k ck IV] Dacă Q are rădăcii reale şi rădăcii complexe simple şi multiple, atuci R admite o descompuere î fracţii simple uică de forma (III.) plus de forma (III.3). P( x) 4] Fie R o fucţie raţioală oarecare cu R( x) =, P, Q R[X]. Q( x) Fucţia R admite descompuere uică îtr-u umăr fiit de fracţii simple de forma: A Lx + M α b ac< α α (III.4)A x ; ; ude a, b, c, A, L,M R, N, 4 0 ( x x0 ) ( ax + bx + c) A Lx+ M Exemple: Rx ( ) = = + A L ; M 3 = = = + x x+ x x+ 3 3 x = + + x x+ x x+. 3 3 3 Lx+ M Lx+ M Rx ( ) = = + L= L = ; M = M = 4 + x x x x x o + + + x x+ Rx ( ) = + + + + x x x x 79