JAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA

Uverztet u Beogradu Elektrotehčk akultet Master rad JAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA Metor: Dr. Brako Maleševć, doc. Studet: Boa Baac Br. deksa: 00/5 Beograd, septembar 0

Sadrža Uvod... Glava I :Greberove baze Buchbergerov algortam.... Ideal prstea... Prste poloma.....5. Moomal deal.7 4. Moomal poretc..8 5. Delee u prsteu vše promelvh redukca poloma. 6. Hlbertova teorema o baz 4 7. Greberova baza.4 8. Szdž za poloma S-polom..6 9. Buchbergerov algortam...7 0. Algortam redukce baze.0. Algortam za proalažee plaarh preseka poloma.. Lteratura..4

Uvod Ižeerska struka e od samog početka bla vezaa za matematku. Već u sredem veku e blo aso da bez temelog pozavaa matematke e moguće preczo zvest zaklučke z usvoeh sazaa. Sa dalm razvoem prrodh auka ovo e blo sve vdlve. Neda zako zke e mogao proć kao deca ako e bo aso desa kao matematčka ormula. Hemsk ogled su kostato korstl procet raču. Arhtekte su se oslaale a ormule koe su m prkazvale parametre obekta ko grade. U daaše vreme, kada se prmea ovh auka ogleda u žeerskm dscplama, emoguće e zamslt obrazovaog stručaka ko ema makar dobre osove u matematc. Ovo e dovelo do toga da svak akultet u svetu svoe žeerske kurseve započe a matematc. Ipak, od samh početaka pa do daas e došlo do velkog pomaka u metodama. Dok e pre sto goda matematka blo obašavaa putem prmera, audtvh predavaa, vežbaa algortama za rešavae zadataka uutar struče lterature, daas e dostupa daleko šr asortma pomagala. Studetma e dostupa šr zbor lterature putem tereta. Komukaca sa astavcma se odva daleko ekase zbog poave emala. Predavaa se vše e vrše samo kredom tablom, već posto velk bro pomagala koa koršćeem mogućost komputera vzuelo predstavlau pomove. Mog komputersk sstem studetma omogućavau proveru rezultata proračua. Aplkace koe su razvee u okvru ovog master rada su krerae kao pomoćo astavo sredstvo. Buchbegerov algortam, ko e koršće u ekolko h, daas e eda od stadardh ača rešavaa sstema edača, korst se u već sstema komputerske algebre. Zbog svoe važost ova algortam se predae a već akulteta sa všm kursevma matematke. Ipak, posto veoma mal bro aplkaca koe prkazuu ač ukcosaa ovog algortma, ače egove prmee. Namera autora e bla da se krera aplkaca koa će moć da prkaže ač ukcosaa ovog algortma gračk prkaže odreñee elemete ove oblast matematke, kako b studetma prblžo ovu oblast. U okvru prve glave ovog rada e dat prkaz teore a osovu koe su bazrae aplkace. Buchbergerov algortam prpada oblast smbolčke algebre, te su date osove teoreme dece koe spadau u ovu oblast. Takoñe e prkazaa eda od prmea Buchbergerovog algortma, odoso teora a koo se oa zasva, kako b u okvru prkaza aplkaca blo desao a čemu se bazra.

Glava I : Greberove baze Buchbergerov algortam U daašm matematčkm komputerskm sstemma možemo srest rešea za moge složee proračue. Kao eda od apraktčh metoda za alažee rešea sstema polomalh edača u već sstem možemo srest Greberove baze. Teoru Greberovh baza e oš 9. predstavo Wolgag Gröber u okvru svoe doktorske dsertace E Betrag zum Problem der Mmalbase. U toku svog daleg rada o se bavo račuskom algebrom, al e teora kou e predstavo dobla me Greberove baze tek 965. gode kada e studet Wolgaga Gröbera Bruo Buchberger u svoo doktorsko dsertac E Algorthmus zum Aude der Basselemete des Restklassergs ach eem ulldmesoale Polyomdeal po svom metoru meovao poam Greberovh baza. Buchberger e u tom radu takoñe desao algortam dale pozat kao Buchbergerov algortam, kom se može doć do Greberove baze. Ova algortam se u modkovao varat avla daas u već sstema komputerske algebre, predstavla veoma ekaso rešee za velk bro problema sa kom se programer pr krerau takvh sstema mogu srest.. Ideal prstea Deca. Neka e R= R, +, ) prste, tada podskup I R odreñue deal prstea ukolko e spueo: a) I) y I ) y I b) I) r R) r, r I Teorema. Neka e R= R, +, ) prste eka su I, J R deal prstea R. Tada sledeć skupov predstavlau deale u prsteu R: a) I+ J = { r r= + y I y J} b) I J = { r N) r= y ) I, y ) J} = c) I J = { r r I r J} d) I : J = { r r y J ) r y, y r I} = = Teorema. Neka e R= R, +, ) prste eka su I, J, M R u delu prstea. Tada važ: a) I J I I J b) I M ) + J M ) I + J ) M c) I : M ) + J : M ) I + J ) : M d) I : J + M ) = I : J ) I : M )

Teorema.4 Neka e R= R, +, ) prste eka e A R podskup. Tada skup koačh suma:. I m = = = = m m { r r= a y + k b ) =, y ) = R a ) =, b ) = A k ) Z} Odreñue eda deal prstea R. Posebo ako e R komutatv prste sa edcom, tada deal I se može predstavt sledećm skupom: = { = = =. I r r= a ) R a ) A} Deca.5 U prethodo teorem deal I azvamo deal geersa skupom A, što zapsuemo I = A.Pr tom deal I odreñe sa ) azvamo dvostram dealom, a deal I odreñe sa ) azvamo dvostram dealom. Teorema.6 Neka su u prsteu R= R, +, ) dat deal I J geersa skupovma A R B R respektvo. Tada važ: a) I + J = A B b) I J = { a b a A b B} Napomea.7 Ideal I J e aveć deal sadrža u dealma I J. Ua dva deala I J e mora bt deal, meñutm deal I + J e ama deal ko sadrž deale I J. Odatle skup deala ekog prstea u odosu a presek sumu deala predstavla mrežu. Napomea.8 Za ma ko rastuć laac deala I I... ua U J = J k odreñue = eda deal. Teorema.9 Neka e R= R, +, ) prste. Tada su sledeć skaz meñusobo ekvvalet. a) Svak deal I prstea R e geersa koačm skupom. b) Svak rastuć laac deala I I... prstea R postae stacoara, t. Važ I = =... m I m + počev od ekog m. Deca.0 Prste R= R, +, ) ko spuava blo ko uslov prethode teoreme azva se Noether prste. k 0 4

. Prste poloma Neka e K= K, +, ) pole. Ako e promeva ad K ako su a, a... a 0 K elemet pola takv da a 0 uobčaeo e da se zraz a +... + a + a0 azva polomom stepea po promevo. Drug ač desaa poloma e desae zom koeceata a, a,..., a,...) gde su a K = 0,,...) elemet pola takv da vaš 0 posto takvo da a = 0 za >. Neka e dat polom P zom koeceata, tada stepe poloma dgp) e aveć bro takav da a 0. Tada elemete a, a... a 0 K azvamo koecetma poloma, a koecet a azvamo vodeć koecet poloma. Dale, za polom P dat se beskoačm zom koeceata korstmo zaps koačm zom a, a,..., a ) 0 podrazumevauć da a = 0 za >. Jedca pola K može se postovett sa polomom ) ultog stepea uopšte svak elemet pola c K može se postovett sa polomom c) ultog stepea. Polom = 0,) azvamo promelvom. Uvedmo skup poloma ede promelve: K[ ] = { P= P ) p polom ad K} U skupu K [] uvedmo bare operace: a) 0 0 0 0 a 0, a,..., a,...) b0, b,..., b,...) = c0, c,..., c a, a,..., a,...) + b, b,..., b,...) = a + b, a + b,..., a + b,...) b),...) gde e c = = a a = 0,,,...) 0 b Dva poloma su edaka ako mau edake koecete. Prethoda deca edakost poloma se podudara sa edakošću dve ureñee -torke. Teorema. Neka e K= K, +, ) pole, tada e K[]= K [ ], +, ) komutatva prste sa edcom bez deltela ule. Napomea. Prethoda teorema važ ukolko e K komutatva prste sa edcom bez deltela ule, tada e e K[]= K [ ], +, ) takoñe komutatva prste sa edcom bez deltela ule. Teoreme. Ako su dva poloma ad polem K edaka tada su edake odgovarauće polomske ukce. Obrato tvrñee važ za beskoačo pole K. Teorema.4 Ako e dato koačo pole Galosa K=GFm) sa prost bro N ). Ako su data dva poloma P r m= p elemeata za p- Qs stepea r s respektvo, pr 5

čemu e spueo: m > ma{ r, s}, tada su polom P r Q s sa edakm koecetma ako samo ako su m edake odgovarauće polomske ukce. Teorema.5 Neka su dat polom P, Q, K[ ] gde Q e ula polom, ad prsteom K []. Tada postoe edstveo odreñe polom G, R K[ ] takv da važ P = G Q+ R, takv da dg R) < dg Q) l R=0. Teorema.6 Neka e I deal u prsteu poloma K [], tada e deal I geersa edm elemetom, t. posto polom g K[] takav da važ I = {g} zaklučuemo da e algebarska struktura K[]= K [ ], +, ) Noether prste.. Na osovu ovoga Neka e K= K, +, ) pole. Polazeć od prstea poloma ede pomelve K [], saglaso sa apomeom., prste poloma vše promelvh dešemo duktvo: K[,..., ]= K [,..., ])[ ] Teorema.7 Neka e K= K, +, ) pole, tada za svako N algebarska struktura K[,..., ]= K [,..., ], +, ) e komutatva prste sa edcom bez deltela ule. Teorema.8 U prsteu poloma ede vše promelvh, usled komutatvost postoaa edce, sv deal su edostra Neka e dat polom P= P,..., ) K[,..., ], tada važ edakost: gde e A0 N 0,..., ) α =... α P cα α A0 α,..., α koača skup -tork α = ) prrodh broeva gde e α α c α K \{0}. Izraz Mα =... u prethodo sum azvau se moomma. Samm tm, polom P predstavla learu kombacu mooma ad polem K. Poedače α α sabrke cα... za α A0, ko učestvuu u polomu P azvamo oš termma poloma. Dale, -torku α = α,..., α ) azvamo multstepe mooma, a sumu ekspoeata k = α k odreñue stepe mooma, ko ozačavamo dg M ). Prmetmo da 0 0 se edca pola K može predstavt a edstve ač kao moom =..., dakle kao moom ultog multstepea 0= 0,...,0) 6

. Moomal deal α α Neka e Mα =... moom u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] gde e α α α α = α,..., α multstepe. Tada korstmo krać zaps =.... ) N 0 Za skup multstepeova α skup mooma { : α A} odreñue deal geersa tm A N0 skupom mooma I = α : α A. Takav deal se azva mooma deal o se može odredt kao skup koačh suma : α I = q : qα K[,..., ] { α α A0 A0 α A 0 Teorema. Neka su A} α α... moom u prsteu poloma vše promelvh α K[,..., ] sa meñusobo razlčtm stepema. Tada e skup mooma { α... } learo ezavsta skup. Teorema. Neka e za skup multstepeova A N0 u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] odreñe moomal deal I = α : α A. Tada za multstepeβ = β,..., β važ β I ako samo ako ) N 0 Teorema. Neka e skup multstepeova A N 0 α α β A ). u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] odreñe moomal deal I = α : α A. Tada za polom P m = bk k= βk K[,..., ] bk K \{0} bk N0 ) važ bk m k= βk I k) Teorema.4 U prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] dva moomala deala su edaka ako samo ako se sastoe od edakh skupova mooma. Deca.5 Neka su data dva mooma α βk I β z prstea poloma vše promelvh K[,..., ]. Naveć zaedčk dellac GCD) prethodh mooma e sledeć moom γ α β = GCD, ), takav da e k {,... }) γ = m{ α, β } k k k Deca.6 Nama zaedčk sadržalac prethodo posmatrah mooma e sledeć δ α β moom = LCM, ), takav da e k {,... }) δ = ma{ α, β } k k k 7

Teorema.7 Neka su I,..., = m mr J,..., s poloma vše promelvh K[,..., ]. Tada važ: a) I + J = m,..., mr,,..., s b) I J = r s = = GCD m, ) c) I J = m,..., m s, m,..., mrs d) I s I : J = m mr,..., LCM m, ) LCM m, ) = = dva moomala deala u prsteu r Teorema.8 Dksoova lema [] Maleševć,000) Svak moomal deal I = α : α A gde e A N 0 u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] e koačo geersa deal. 4. Moomal poretc Za epraza skup S 0 relaca duže e epraza podskup ρ S. Ukolko e relaca duže =, tu relacu azvamo bara relaca. Osobe relaca mogu bt: a) Releksvost: S) ρ b) Smetrčost:, y S) ρ y y ρ c) Atsmetrčost:, y S) ρ y yρ = y d) Traztvost:, y, z S) ρ y y ρ z ρ z Deca 4. Bara relaca koa releksva, smetrča traztva se azva relaca ekvvalece. Deca 4. Bara relaca koa e releksva, atsmetrča traztva azva se relaca poretka. Deca 4. Bara relaca e totala l leara ako važ, y S) ρ y y ρ Deca 4.4 Bara relaca koa e totala, atsmetrča traztva azva se relacom totalog poretka. Za relacu totalog poretka ρ ad skupom S uobčaeo e da korstmo ozaku, tada e za svaka dva elemeta, y S moguće zvršt poreñee elemeata y l y Deca 4.5 Elemet α A ) a α α = a) a A S e mmal elemet skupa A S ako važ 8

Deca 4.6 Bara relaca totalog poretka ad skupom S e relaca dobrog ureñea ukolko svak epraza podskup A S ma mmal elemet a= ma). Deca 4.7 Na skupu N 0 relaca azva se relacom moomalog poretka ako spuava sledeće uslova: a) e relaca totalog poretka a N 0 b) α, β, γ N ) αβ α + γβ + γ 0 c) e relaca dobrog ureñea a N 0 Lema 4.8 Dcksoova lema e ekvvaleta tvrñeu da u skupu mooma e posto beskoača opadauć z mooma u odosu a ksra moomal poredak Deca 4.8 [] Maleševć,000) Relaca lekskograskog poretka a skupu N 0 uvodmo le a ač ko sledue. Za α, β N 0 smatramo da e α le β ako e u vektoru razlke γ α prva eulta pozca sa leve strae poztva. Tada takoñe pšemo = β Z α β le, čme preosmo relacu le Teorema 4.9 Relaca lekskograskog poretka a skup mooma vše promelvh. Prmer 4.0 U lekskograskom poretku važ: a) y z er e,0,0) 0,,0) 0,0,) b) y le e relaca moomalog poretka le le le le 4 le y z er e α =,,0) le β = 0,,4) α β =,, 4)) > 0) 4 c) y z y z er e α =,,4) β =,,) α β = 0,0, )) le Deca 4. Relacu obrutog lekskograskog poretka le vle >0) a skupu N 0 uvodmo a ač ko sledue. Za α, β N 0 smatramo da e α vle β ako e u vektoru razlke γ = α β Z posleda eulta pozca sa dese strae poztva. Tada takoñe pšemo α β vle, čme preosmo relacu vle a skup mooma vše promelvh. Teorema 4. Relaca obrutog lekskograskog poretka vle e relaca moomalog poretka. Prmer 4. U obrutom lekskograskom poretku važ: a) z y er e 0,0,) 0,,0),0,0 ) b) c) y vle vle vle vle 4 z vle y er e α = 0,,4) vle β =,,0) α β =,, 4 )) >0) 5 y z y z = = β = vle er e α 5,,) vle β,,) α,,0)) >0 9

Deca 4.4 Relacu gradraog lekskograskog poretka uvodmoa ač ko sledue. Za α = α > β = β ) α = β α = = čme preosmo relacu α, β N 0 smatramo da e α grle β le β ). Tada takoñe pšemo grle a skup mooma vše promelvh. grle a skupu N 0 ako e tačo α β grle, Teorema 4.5 Relaca gradraog lekskograskog poretka moomalog poretka. grle e relaca Prmer 4.6 U gradraom lekskograskom poretku važ: a) y z er e,0,0) 0,,0) 0,0,) b) c) y z y grle grle grle grle 4 grle y er e α = 0,,4) grle β =,,0) α = 7> = β ) 4 z α =,4,) 4 grle y z er e grle β =,,4) α = 9= β α β = 0,, )) Deca 4.7 Dešmo relacu α rvle β ako samo ako β vle α sa uslovom da e u vektoru razlke: γ = α β Z posleda eulta koordata egatva). Relaca rvle e relaca moomalog poretka služ za desae gradraog obrutog lekskograskog poretka. Za α, β N 0 smatramo da važ α grevle β ukolko e tača dsukca α = α > β = β) α = β α rvleβ ). Tada takoñe u skupu mooma važ = α β grevle = > 0) Teorema 4.8 Relaca obrutog gradraog lekskograskog poretka moomalog poretka. grevle e relaca Prmer 4.9 U obruto gradraom lekskograskom poretku važ: a) z y er e 0,0,) 0,,0),0,0 ) b) c) y z y grevle grevle grevle grevle 4 grevle y er e α = 0,,4) grle β =,,0) α = 7> = β ) 4 z 4 grevle y z er e α =,4,) β =,,4) α = 9= β α β = 0,, )) grevle Neka e ksra eda moomal poredak eka e u prsteu poloma vše pormelvh K[,..., ] dat polom P= ck m k= 0 α k <0) za eke moome k α eke koecete c k K k= 0,,..., m). Smatramo da e polom P sreñe u datom moomalom poretku P= cπ +... + c α α π 0 π m 0 m ako za eku permutacu π skupa π 0

deksa I m = { 0,,..., m} spueo απ 0 απ... απ m t. ako su termov poloma P zapsa u opadaućem poretku multstepea. Svak polom se može sredt u datom poretku. Tada dešemo polom P pomove ko su veza za sreñvae poloma u datom moomalom poretk: a) multstepe: MD P) =α 0 π b) vodeć koecet: LC P) = c 0 c) vodeć moom: d) vodeć term: π LM P) = α π 0 α π 0 0 LT P ) = c π 5. Delee u prsteu vše promelvh redukca poloma Teorema 5. Ideal u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] za u opštem slučau su geersa edm elemetom. Algortam delea Iput:,..., k, Output: a,..., a k, r a := 0,..., a k := 0, r := 0 p := WHILE p 0 DO := dvsooccured := alse WHILE k ad dvsooccured = alse DO IF LT ) dvdes LTp) THEN a := a + LTp)/LT ) p := p LTp)/LT ) dvsooccured := true ELSE := + IF dvsooccured = alse THEN r := r + LTp) p := p LTp) STOP) Teorema 5. Neka e data k-torka poloma F =... ) gde su polom k K[,..., ] svak za sebe sreñe u stom moomalom poretku =,.., k). Tada prmeom gore avedeog algortma delea svak polom K[,..., ] se može, r K[,..., ] = zapsat a sledeć ač = a +... + ak k + r za a,.., k) pr čemu l e r = 0 l e r eka K- leara kombaca mooma od koh eda e delv sa ma kom od vodećh mooma LT ),..., LT ) pr datom moomalom k poretku. Pr avedem pretpostavkama važ {,..., s }) LT ) LT a )

Počete prpreme: Prmer rada algortma lekskogrask poredak) Ulaz: =- z +z + y z yz = z = -z, =y z a =0 a =0 a =0 r= 0 p== - y +z yz Korak : ltp) lt ) p=p-- z)=z yz a = a +-)=- r=0 Korak : ltp) lt ) p=p--z z )=y z -yz +z a = a +z)=z r=0 Korak : ltp) lt ) p=p-y z yz )=z a = a +yz)=yz r=0 Korak 4: ltp) {} r=r +ltp)=z p=p -ltp)=0 Korak 5: p=0 Algortam završava sa zvršavaem a =- a =z a =yz r= z Deca 5. Polom r=rem,f) azvamo ostatkom pr deleu poloma sa k- torkom sreñeh poloma F. Napomea 5.4 Ostatak pr deleu poloma sa k-torkom sreñeh poloma F zavs od redosleda poloma uutar F, e edstve.

Lema 5.5 Za polom k-torku F =... ) sreñeh u stom moomalom poretku važ r=rem,f)=0,..., } { k k Deca 5.6 Za eula polome, g polom ˆ z K[,..., ], sreñee u stom moomalom poretku, smatramo da se polom redukue a polom ˆ po modulu poloma g, u ozac ˆ l ˆ mod g ako posto term h poloma takav da važ: lt g) h ˆ = g h g lt g) Deca 5.7 Neka e polom eka e G = { g,..., g k } skup poloma u K[,..., ] sreñeh u stom moomalom poretku. Polom se redukue a polom ˆ po modulu skupa poloma G, u ozac G ˆ, ako posto polom g G takav da ˆ pr tom e ˆ e sreñe u stom moomalom poretku ). Smatramo da se g polom u potpuost redukovao a polom ˆ po modulu skupa poloma G ako e ˆ ˆ. Navedeo ozačavamo G ˆ. G G Deca 5.8 Polom ˆ e ormala orma poloma po modulu skupa poloma G takav da G ˆ. Normalu ormu poloma ozačavamo ˆ = ormal, G). * Teorema 5.9 Neka e dat skup poloma G= g,..., g } u prsteu poloma vše * { k promelvh K[,..., ]. Tada za svak polom K[,..., ] ormala orma h= ormal, G) odreñue se u koačom brou koraka. Pr tom se polaz polom može zapsat a sledeć ač = a g+... + ak gk + h za eke polome a K[,..., ],..., k), pr čemu l e h=0 l e h eka K-leara kombaca = mooma od koh eda e delv sa ma kom od vodećh mooma lt g ),..., lt g ). Pr tome važ {,..., s }) l ) lt a ). k Teorema 5.0 Neka e dat skup poloma G= g,..., g } u prsteu poloma vše { k promelvh K[,..., ]. Polom K[,..., ] se u potpuost redukue a ulu po modulu skupa poloma G ako samo ako se polom može zapsat a sledeć ač: = a g+... + a k g k za eke polome a K[,..., ] =,..., k). Pr avedem pretpostavkama važ {,..., s }) l ) lt a )

6. Hlbertova teorema o baz Deca 6. Neka e I eula deal u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ]. Tada skupom vodećh termova deala lt I) = { lt ) I} geeršemo deal vodećh termova lt I ) = { lt ) I} Teorema 6. Neka e I eula deal u K[,..., ], tada važ: a) lt I ) este moomal deal u K[,..., ] b) g,..., g I ) lt I) = { lt g ),..., lt g )} s s Teorema 6. Hlbertova teorema o baz Svak deal I u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] este koačo geersa deal Napomea 6.4 Na osovu Hlbertove teoreme o baz zaklučuemo da e algebarska struktura K[,..., ] = K [,..., ], +, ) Noether prste. 7. Greberova baza U razmatrau u ovom delu aredm delovma ko se odose a Greberove baze smatraćemo da e dat ksra moomal poredak. Teorema 7. Neka e K[,..., ] tada važ { lt ),..., lt s )} lt I) I =,..., deal u prsteu poloma vše promelvh s Deca 7. Koača skup G= g,..., g } u dealu I prstea poloma vše { k promelvh K[,..., ] azva se stadarda Greberova baza deala I ako važ lt I ) = { lt g ),..., lt g )} s Prmer 7. Za polome = y = y postoe polom g = = y + + + g = y = y + y y= y, takv da I = { g, g } da { lt ), lt ) { lt g), lt g ) Napomea 7.4 Neka e G= g,..., g } baza deala I prstea vše promelvh { k K[,..., ]. Uslov da e ormala orma po modulu skupa G edstveo odreñea e ekvvaleta sa uslovom da e G Greberova baza deala I. Navede uslov e korsto B. Buchberger pr dec stadarde Greberove baze. 4

Teorema 7.5 Svak deal I u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] ma bar edu stadardu Greberovu bazu G koa este eda baza za deal I. Teorema 7.6 Koača skup G= g,..., g } u dealu I prstea vše promelvh { k K[,..., ] este stadarda Greberova baza deala ako samo ako za svako I važ g G) lt g ) lt ) Teorema 7.7 Neka e G = g,..., g } Greberova baza deala I K,..., ]. Tada za { k [ svako K[,..., ] posto edstveo odreñe r K[,..., ] sa sledećm pretpostavkama: a) Ako e r 0, tada eda moom ko se avla u r kao sabrak e delva sa ekm od mooma lt g ),..., lt g s ) b) Posto g I tako da = g+ r Deca 7.8 Neka e G = g,..., g } Greberova baza deala I K,..., ]. Tada za { s [ svako K[,..., ] edstveo odreñe polom r z prethode teoreme azvamo ostatakom poloma u odosu a Grebereovu bazu G. Teorema 7.9 Neka e G = g,..., g } baza deala I prstea vše promelvh { s K[,..., ]. Uslov da za svako K[,..., ] važ ekvvaleca I rem, g,..., g s )) = 0 e ekvvaleta sa uslovom da e G Greberova baza deala I. Teoreme 7.0 Svaka Greberova baza G = g,..., g }, u prsteu vše promelvh K[,..., ] este eda baza za deal I. { s Teorema 7. Neka su G= g,..., g } G = g,..., g } dve Greberove baze deala { s { k I K,..., ] u odosu a st moomal poredak. Tada za svako [ K,..., ] važ rem, g,..., g )) = rem, g,..., g )) [ s k Teorema 7. Sledeć uslov su meñusobo ekvvalet: a) Skup G e greberova baza za deal I K,..., ] b) Svako I možemo zapsat u oblku [ = a g +... + a s g a,..., as K[,..., ] pr čemu {,..., s }) lt ) lt a g ) c) Svako I se u potpuost redukue a 0 po modulu skupa G s za eke Teorema 7. Neka e G = g,..., g } Greberova baza deala I prstea vše { s promelvh K[,..., ]. Smatramo da e G redukovaa Greberova baza ako su spue sledeć uslov: 5

a) Skup lt g ),..., lt g )} odreñue mmal geeratorsk skup za lt I ) { s g b) Vodeć termov lt ) su moomč moom, t. lc ) =, za svako {,..., s} c) Neda moom lm g ) e delv ma kom moomom ko se avla kao sabrak u geeratoru g g ) + c m = lm +... ++ c k m G za, {,..., s}) k Teorema 7.4 Svak eula deal I prstea vše promelvh K[,..., ] ma edstveo odreñeu redukovau Greberovu bazu. 8. Szdž za poloma S-polom Deca 8. Neka e data k-torka poloma F =,..., ) ad prsteom poloma vše k a,..., a k promelvh K[,..., ], tada k-torka poloma S = ) poloma ad prsteom poloma vše promelvh K[,..., ] azva se Szdž k-torke poloma F ako važ a +... + a k 0 k = Teorema 8. Neka e m,...,mk z mooma u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ]. Ako e S = syz m,..., mk ), tada e S leara kombaca szudža oblka zs m, m ) r zs m, m ) r s = e e za < k m m Deca 8. [.] Co,Lttle,O Shea,997) Neka su g K[,..., ] dva poloma, S-polom, zs lm ), lm g)) zs lm ), lm g)) za polome g odreñe e sa S, g) = g lt ) lt g) Prmer račuaa S-poloma = + yz z) g = z + y yz zs, g) = zslm),lmg)) zs lm ), lm g)) S, g) = lt ) = zs, z ) = z zs lm ), lm g)) g lt g) z z S, g) = + yz z) z + y z S, g) = z + yz z) z + y yz) 4 y yz S, g) = z + yz z z + y yz 4 S, g) = + + yz z yz) g 6

Lema 8.4 Za polome g K[,..., ] važ lt g) = lt ) lt g), Lema 8.5 Za polome, g, g K[,..., ] eka važe uslov, lm g), lm g)) zs lm ), lm = md zs lm g), lm g lt g) + lt g) = 0 zs )). Neka e γ = md lt g )) = md lt )) δ ))). Tada važo lt g γ ) g+ lt ) g = c S g, g γ = γ δ N 0. ) za ek koecet c K \{0} multstepe Lema 8.6 Za svaka dva poloma, g K[,..., ] važ zs lm ), lm g)) lt S, g)) Teorema 8.7 Neka e da skup G = g,..., g } ko geerše deal I K,..., ]. Ako { s [ za svako g, g G S-polom S g, g ) spuavau uslove S g, g ) = a g+... + as g s k {,..., s}) lt S g g )) lt ak g k ) za eke polome a,..., as K[,..., ] tada skup G odreñue Greberovu bazu. Teorema 8.8 Skup G= g,..., g } odreñue edu Greberovu bazu deala { s I = { g,..., g s } u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] ako samo ako važ g, g G) S g, g ) I 9. Buchbergerov algortam Buchbergerov algortam Iput: Skup polom F =,..., ) ko geerše deal I k Output: Skup G= g,..., g s ) Greberova baza deala I G : = F M = {, ), G = } : whle M 0) do p,q):=a ek ureñe par z M M : = M \ { p. q)} S : = S p, q) h : = ormal S, G) h 0) the M : = M { g, h) g G} G : = G { h} edwhle 7

Teorema 9. [.] Co,Lttle,O Shea,997) Neka e dat skup poloma F =,..., ) gde su k polom K[,..., ] svak za sebe sreñe u stom moomalom poretku =,..., k). Tada prmeom Buchbergerovog algortma od svako skupa poloma F =,..., ) dobamo G= g,..., g ) ko odreñue edu Greberovu bazu deala I. k s Prmer ukcosaa Buchbergerovog algortma Ulaz polom: =-4-9y +z =4 - +9y -y M:={, )} Korak : p= q= M=M/{, )} s=s, ) s= 4 9y + z 4 + 9y y 4 4 s= / +y/4 -z /4 h=ormals,g) / +y/4 -z/4: -4-9y +z, 4 - +9y -y)=0,0) rem = / +y/4 -z /4 h=/ +y/4 -z/4 h 0 =h G= G { } M = M {, ),, )} Korak : p= q= M=M/{, )} s=s, ) s= y/ - z/ -9y /4 +z/4 h=ormals,g) h= -9y / +yz/ z /4 +z/4 h 0 4 =h G= G { 4 } M = M {, 4 ),, 4 ),, 4 )} 8

Korak : p= q= M=M/{, )} s=s, ) s= y/ -z/ +/ -9y /4 +y/4 h=ormals,g) h= 0 Korak 4: p= q= 4 M=M/{, 4 )} s=s, 4 ) s= - yz/ + z /8 - z/8-9y 4 /4 + y z/4 h=ormals,g) h= 0 Korak 5: p= q= 4 M=M/{, 4 )} s=s, 4 ) s= - ^yz/ + z /8 - z/8 + y / -9 y 4 /4 + y /4 h=ormals,g) h= 0 Korak 6: p= q= 4 M=M/{, 4 )} s=s, 4 ) s= -yz/ + z /8 -z/8 -y / + y z/ h=ormals,g) h= 0 Greberova baza: =-4-9y +z =4 - +9y -y =/ +y/4 -z/4 4 =-9y / +yz/ z /4 +z/4 9

0. Algortam redukce baze Teorema 0. Neka e G eda Greberova baza deala I K,..., ]. Ako posto elemet Greberova baza. [ p G takav da lt p) lt G \{ p}) tada e G \{ p} geeratorsk skup Deca 0. Greberova baza deala I K[,..., ] este mmala Greberova baza deala I ako važ: a) p G) lc p) = b) p G) lt p) lt G \{ p}) Teorema 0. Greberova baza G deala I K[,..., ] este mmala Greberova baza ako samo ako važ: a) p G) lc p) = b) lt G) este mmala baza moomalog deala lt I ) Deca 0.4 [.] Co,Lttle,O Shea,997) Greberova baza G deala I K[,..., ] este redukovaa Greberova baza ako važ: a) p G) lc p) = b) Za svako p G e posto moom α poloma p tako da α lt G \{ p}) Algortam redukce Greberove baze Iput: G = { g,..., g s }- Greberova baza Output: G= ˆ { gˆ,..., gˆ } - Redukovaa Greberova baza k G ˆ : = G or all g Gˆ do µ G ˆ µ g) lt µ ) lt g) the G ˆ : = Gˆ \{ g} else g : = rem g, Gˆ \{ g}) or all g Gˆ do g g : = lc g) Teorema 0.5 Neka e data Greberova baza deala I K[,..., ] u odosu a ksra moomal poredak. Prmeom algortma redukce baze od svake Greberove baze dobamo redukovau Greberovu bazu. 0

Teorema 0.6 Redukovaa Greberova baza e edstvea predstavla specala sluča mmale Greberove baze eula deala I. Prmer ukcosaa algortma redukce Greberove baze Greberova baza: =-4-9y +z =4 - +9y -y =/ +y/4 -z/4 4 =-9y / +yz/ z /4 +z/4 Korak : p= =-4-9y +z ltp)= -4 { 4, / } ltp) G ˆ : = G \ { } Korak : p= =4 - +9y -y ltp)= 4 { / } ltp) G ˆ : = G \ { } Korak : p= = / +y/4 -z/4 ltp)= / { } ltp) p=remp,g) p=/ +y/4 -z/4 Korak 4: p= 4 = -9y / +yz/ z /4 +z/4 ltp)= / { } ltp) p=remp,g) p=-9 y / +yz/ z /4 +z/4 Redukovaa Greberova baza: = / +y/4 -z/4 = -9 y / +yz/ z /4 +z/4

. Algortam za proalažee plaarh preseka poloma Deca. [5.] Maleševć,Obradovć,009) Ukolko e dat sstem dve eleare polomale edače, y, z) = 0, y, z) = 0, sstem ma plaaro rešee ako posto leara polom g = g, y, z) = A+ By+ Cz+ D takvo da svako rešee sstema e takoñe rešee leare edače g, y, z) = 0 za eke reale promelve A,B,C D. Teorema. Ukolko Greberova baza sadrž leara polom, oda e rešee sstema plaaro. Teorema. Sstem ma plaar presek A + By+ Cz+ D= 0 za eke A, B, C, D R A 0. Ukolko za deal I =, e stto y lt I) z lt I ) oda lear polom g ˆ = gˆ, y, z) = + B / A) y+ C / A) z+ D / A) e elemet redukovae Greberove Baze Teorema.4 [5.] Maleševć,Jovovoć,Čampara,00) Ako za deal I =, posto geerator h u Buchbergerovom algortmu ko e leara, l prmeom algortma redukce proañemo redukova algortam h p ko e leara, oda sstem ma plaara presek Napomeat.5 Pomeuta tvrñea su dokazaa samo a lekskograskom moomalom poretku, a su oš dokazaa a sstemma sa vše od tr promelve u drugm moomalm poretcma Prmer utvrñvaa plaarog preseka 4 Ulaz polom : = + yz+ y z 4 Korak : = y z GB= buchberger, ) 4 GB = { + yz+ y z 4, y z } Neda polom u GB e leara. Vrš se redukca GB Korak : Vrš se redukca ad polomom p = + yz+ y z 4 4 Parcala redukca p = + yz+ y z 4 4 lt =y Korak : t= lt e del t = y z

Korak : t=yz lt t t / lt = z p=p - z* p= + yz + y z 4-4) yz z 4 - z) = + y + z 4 p e plaara polom p = + y + z 4 Otkrve plaar presek p. Izvršavae algortma se zaustavla

Lteratura [.] Proesor Brako Maleševć, Materal za astavu z predmeta Smbolčka aglebra, Elektrotehčk akultet u Beogradu [.] A. Heck: Brd's-eye vew o Gröber Bases, Nuclear Ist. ad Methods Physcs Research A 89 997), 6- [.] K. Forsma: Htchhker gude to Gröber bases, Research Isttute or Symbolc Computato, Lz, Techcal Report 07499). [4.] B. Maleševć, M. Obradovć: A Applcato o Groeber Basest to Plaarty o Itersecto o Suraces, Flomat : 009), pp. 4-55. Thompso SCIE lst 009.) [5.] B. Maleševć, I. Jovovć, M. Čampara: Groeber bases JAVA wth applcatos computer graphcs, Proceedgs o -d Iteratoal Coerece or Geometry ad Egeerg Graphcs mongeometra 00, Paper No. 9, pp. -0, Jue 00, Belgade. [6.] B. Maleševć, I. Jovovć, M. Makragć, B. Baac, V. Katć, A. Jovaovć, A. Peovć: Buchberger-ov algortam vzuelzaca moomalh deala, koereca Matematka promee, Prrodo matematčk akultet, ma 0, Beograd [7.] D. Co, J. Lttle, D. O Shea : Ideals,Varetes ad Algorthms, Sprger, New York, 997 [8.] Ral Frooberg: A Itroducto to Groober bases, Joh Wley & Sos Ltd., 997 4