P = kt. p = αρτ + βτ 4. ; β = at4 c. α + β = 1. p = ατ(ρ τ 3 ) + τ 4.

ØÖÓÞÐÒ ÔÖÓØ ÂÙÖ ÇÖ ½º Ñ ¾¼¼ ½ ÆÚÓÐÓ ÌÐ Ú ÞÚÞ Ú ÓØ ÔÖ ÔÚÓÚ ÒÑÒ ØÐ ÔÐÒ Ò ÚÐÒ Øк ÎÞÑ Ú ÓØ ÒØÖÓÔ Ó ÔÖ ÔÚÓÚ Ò ÒÓØÓ Ñ ÔÓ Ú ÞÚÞ ÓÒ Øº Ô Ò ÞÚÞÒ ØÖÙØÙÖ Þ Ø ÞÚÞ Ò ÒÙÑÖÒÓ Ö ÅØÑØ º º º µº ÇÔ ÖØÚ Ò ÔÖÑÖ Ð ÒÑ ÔÓÐØÖÓÔѺ ¾ ÁÞÔÐÚ ÑÓÐ ÞØ ÞÔÐÑÓ Ú Ò ÓÑÓ ÔÓØÖÓÚÐ Ú Ò ØÚÐÒÙ ÑÓк êðð Ð Ú Ò Ú ÖÞÑÒÞ Óк ¾º½ ¾º½º½ Ò Ú ÖÞÑÒÞ ÓÐ Ò ØÒ ÃÓØ ÔÖÚÓ ÒÓ ÞÔÑÓ ÒÓ ØÒº Î ÒÚÓÐÙ ÞÔ ÒÓ ØÐ ÔÐÒ ØÚÐÒ ØÓ Þ ØÐ ÒÓÖÑÐÒ ÔÐÒ ÓØ ØÙ Þ ØÐ ÔÓÚÞÖÓÓ ÓØÓÒº ÐÓØÒ ØÐ ØÒ ÔÐÒ ØÚ Ó ØÐÓÚº Ò ØÒ ÔÓØÑ P = kt µm H + 1 3 at 4. ½µ ÌÙ P ØÓ Þ ØÐ T Þ ØÑÔÖØÙÖÓ Ô Þ Ó ØÓØÓ ÔÐÒº k ÓÐØÞÑÒÒÓÚ ÓÒ ØÒØ m H Ñ ÚÓ µ ÔÓÚÔÖÒ ÑÓÐÙÐ Ñ a Ô ÔÓÚÞÒ ËØÒÓÚÓ ÓÒ ØÒØÓº ÎÔÐÑÓ ÖÞÑÒÞ ÔÖÑÒÐÚ ÔÓÑÓÓ ÚÖÒÓ Ø Ú ÖÙ ØÒ ÞÚÞ P = P c p; = c; T = T c τ. ØÑ Ù ØÖÞÒÓ ÓÐÑÓ ÒÓ ØÒ ½µ ÓÑÓ ÒÓ ØÒ Ú ÖÞÑÒÞ ÓÐ ÈÖ ØÑ Ø ÔÖÑØÖ α Ò β p = ατ + βτ 4. α = cktc µm HP c ; β = at4 c 3P c. ÎÒÖ ØÓ Ò Ø ÒÓÚ Ò ÔÖÑØÖº ÌÓ ÓØ ÑÓ ÞÖÐ ÔÖÑÒÐÚ ÑÓÖ Ú ÞÚÞ ÚÐØ α + β = 1. Ç ÔÖÑØÖ Ø ØÙ ÔÓÞØÚÒ ÞØÓ ÒÙÒ ÚÖÒÓ Ø ÓÑÒ Ò ÞÔÖØÑ ÒØÖÚÐÙ Ó ¼ Ó ½º ÌÓ ÑÑÓ Þ ÒÓ ØÒ Ú ÖÞÑÒÞ ÓÐ Ö ÒÓ p = ατ( τ 3 ) + τ 4. ¾µ ½

¾º½º¾ ÀÖÓ ØØ Ò Ò ÔÓÖÞÐØÚ Ñ ÃÓØ Ò ÐÒ ÓÖ ÔÖ ÞÔÐÚ ÑÓÐ ÓÖÚÒÚÑÓ ÞÚÞÓ Ú ØÖÓ ØØÒÑ ÖÚÒÓÚ Ù Ò ÖÓÐÒÓ ÑØÖÒº ØÓ ÞÚÞÓ ÚÐ Ò ÖÓ ØØ ÖÚÒÓÚ dp dr = Gm. µ r2 ÌÙ Ò ØÓÔ ÔÖÑÒÐÚ r ÓØ Ö Ó Ö ÞÚÞ m Ô Ñ ÞØ Ú ØÑ ÖÙ rº ÔÓÖÞÐØÚ Ñ ÚÐ Ò dm dr = 4πr2. Ë Þ Ò µ ÞÖÞÑÓ Ñ Ó Ò Ó Ú ØÚÑÓ Ú ÒÓ º ÈÖ ØÑ ÙÔÓÖÑÓ ÔÖ ÚÔÐÒ ÖÞÑÒÞ ÓÐÒ Ò ØÓ ÓÑÓ Ö P c Ë ÙÚÑÓ ÖÞÑÒÞ Ö ξ ØÖ ÔÖÔÑÓ ÞÓÖÒÓ ÒÓ Ú ( 1 d r 2 r 2 dr r = r 0 ξ, P c r 0 = ) dp =. dr 1 ( ) d ξ 2 dp ξ 2 =. dξ dξ ÁÞÔÐÚ Ø Ò ÔÓÔÓÐÒÓÑ ÒÐÓÒ ÓØ ÔÖ ÔÓÐØÖÓÔÒÑ ÑÓÐÙº ¾º½º ÖÒÐ ÒÖ ÒÖ ÖÒÐ ÒÖ Ò ÒÓØÓ Ñ ÞÔÑÓ Ú Ò ÐÒ ÓÐ ( ) 1 dυ = Tdσ Pd. ÌÙ υ ØÓ Þ ÒÖÓ Ò ÒÓØÓ Ñ σ Ô Þ ÒØÖÓÔÓ Ò ÒÓØÓ Ñ º ÌÓ ÒÓ ÔØ ÔÖÚÑÓ Ú ÖÞÑÒÞ Ó ÓÐÓ ØÓ ÙÚÑÓ ÞÒÐÒÓ ÒÖÓ Ò ÞÒÐÒÓ ÒØÖÓÔÓ υ = υ 0 u; σ = σ 0 s. ÒÐÒÓ ÒÖÓ υ 0 Ò ØÚÑÓ Ò P c / c Ò ÞÒÐÒÓ ÒØÖÓÔÓ σ 0 Ò T c υ 0 ØÖ ØÓ ÓÑÓ Ò ÐÒÓ ÞÚÞÓ du = τds + p 2 d. ÆÓØÖÒÓ ÒÖÓ Ò ÒÓØÓ Ñ Ø ÔÐÒ ÞÔÑÓ ÓØ Ú ÓØÓ ÔÖ ÔÚÓÚ ÒÓØÖÒ ÒÖ Ò ÒÓØÓ Ñ ÒÚÒ ÔÐÒ Ò ÔÐÒ ÓØÓÒÓÚ Ò ÒÓØÓ Ñ υ = C V T + a T 4 ÌÙ C V ØÓ Þ ÔÒÓ ØÓÔÐÓØÓ Ò ÒÓØÓ Ñ ÔÖ ÓÒ ØÒØÒÑ ÚÓÐÙÑÒÙº ÌÓ Þ ØÑ Ö Ò ÚÒÑÓ ÒÓÚ Ñ Ö ÒÓ ÔÒ ØÓÔÐÓØ ÔÖ ÓÒ ØÒØÒ Ó ØÓغ ËÔÒÓ ØÓÔÐÓØÓ Ò ÒÓØÓ Ñ ÓÑÓ Þ ÔÒ ØÓÔÐÓغ Ì Þ ÑÓÒÓØÓÑÒ ÔÐÒ ÞÒ 3Nk/2 Ö Ô N ØÚÐÓ ÐÚº ËÔÒÓ ØÓÔÐÓØÓ Ò ÒÓØÓ Ñ Ô ÓÑÓ ØÓ ÐÑÓ Þ Ñ Ó ÐÓØÒ ÞÚÞ Nµm H º ¾

ÙÔÓØÚÒÑ ÔÖÒ ÚÔÐÚ ÐÓ ÒÓ ÔÖÐÑÓ Ú Ò ÐÒÓ ÓÐÓ u = C V ct c P c τ + 3(1 α) τ4. Ë ÔØ ÚÔÐÑÓ ÒÓÚÓ ÖÞÑÒÞ Ó ÓÐÒÓ C ØÓ ÔÖÚ ÐÒ Ö Ò αc τº Ë ØÑ ÓÑÓ ÒÓ Þ ÒÖÓ Ú ÖÞÑÒÞ ÓÐ u = αc τ + 3(1 α) τ4. ½¼µ ËÚ Ô Ö ÔÒ ØÓÔÐÓØ Ò ÒÓØÓ Ñ ÑÓÒÓØÓÑÒ ÔÐÒ Ö 3 k 2 µm H ÔÓØÑ C Ö Ò 3/2º Ì Ú Ò ÓÑÓ ÔÓØÖÓÚÐ Ú Ò ÐÒÑ ÔÓÔÓÐÚÙ Ö ÓÑÓ ÞÔÐÐ ÞÚÞÓ Ñ ØÑÔÖØÙÖÓ τ Ò Ó ØÓØÓ Þ ÞÚÞÓ ØÖ ÒØÖÓÔ ÓÒ ØÒØÒº ¾º¾ ÃÓÒ ØÒØÒ ÒØÖÓÔ Ò ÒÓØÓ Ñ Ó ÑÑÓ Ú Ò ÓÑÓ ÔÓØÖÓÚÐ Ú ÖÞÑÒÞ ÓÐ ÐÓ ÐÓØÑÓ Ò ÐÒ ÓÖº ÈÓÐÑÓ ÒÑ ÐÓ ÔÓÚ ÔÓØ Ó ÓÒ ØÒØ ÒØÖÓÔ Ò ÒÓØÓ Ñ º ÒØÖÓÔÓ ÚÑÓ ÓÚ Ò Ð Ó Ú ÔÖÑÒÐÚ Ó Ó ØÓØ Ò ØÑÔÖØÙÖº Ö Ø ÐÓ ÒÒ ÖÒÐ ÞÔÑÓ Ò Ò ÐÒ ÒÒ ds = ( s ) τ d + ( ) s dτ. τ Ë Ô ÐÓØÑÓ Ò Ø Ú ÔÖÐÒ ÓÚÓÓÚº ÁÞö ÖÙ ÓÚÓ ÞÐÓ ÔÖÔÖÓ Ø Ò ÐÓ ÒÑÓ ØÓº ÎÐ ÒÑÖ ( ) s = 1 ( ) u = αc + 12(1 α) τ2 τ τ τ τ. ÑÓ ÐÓ ÔÖÐ Ó Ø ÑÓ ÑÓÖÐ ÙÔÓÖØ Ò Ò ½¼µº ÈÖÚ ÓÚÓ ÑÐÓ Øö ÔÓ Ø ÑÓÖÑÓ Þ ØÓ ÒÔ Ø ÒÓ ÙÒÓ ÄÒÖÓÚ ØÖÒ ÓÖÑ ÒÓØÖÒ ÒÖº ÄØÓ ÓÑÓ ØÓ ÒÓØÖÒ ÒÖ Ò ÒÓØÓ Ñ ÓØÑÓ ÐÒ sτ Ò ÒØÓ ÞÔÑÓ ÖÒÐ Ø ÒÓÚ ÙÒ ÓÞÒÑÓ Þ dfº ÖÒÐ ÔÓ ØÑ Ò ÁÞ Ø Ô ö ÖÞÚÒÓ Ñ ÐÑÓº ( ) s df = sdτ + p 2 d = ( f τ τ ) = 2 f τ = 1 2 dτ + ( f ( ) p. τ Ì ÓÚÓ Ô ÞÐ ÔÓÑÓº ÇÚÑÓ ÒÓ ØÒ ¾µ Ò ÓÑÓ ( ) s = α 4(1 α)τ3 2. τ Ë ØÑ ÓÚÓ ÚÖÒÑÓ Ú ÒÓ ½½µ ØÖ ÙÔÓØÚÑÓ ÒØÖÓÔ Ò ÔÖÑÒº ÌÓ ÓÑÓ ÖÒÐÒÓ ÞÚÞÓ Ñ ØÑÔÖØÙÖÓ ØÖ Ó ØÓØÓ dτ = τ α + 4(1 α)τ 3 αc + 12(1 α)τ 3 d. Î ØÑ ØÑÐÒ ÖÞÐ Ñ ØÑ Ò ÔÓÐØÖÓÔÒÑ ÑÓÐÓѺ ÈÓÐØÖÓÔÒ ÑÓÐ ÒÑÖ ÔÖÚÞÑ ÞÚÞÓ Ñ ØÑÔÖØÙÖÓ Ò Ó ØÓØÓ ½ Ô ÖÙÒ Ó Ø ÖÒÐÒ ÞÚÞº ½ Î ÐØÖØÙÖ ÒÚ ÞÖ ÞÚÞ Ñ ØÐÓÑ Ò Ó ØÓØÓ P = K γµ ÚÒÖ Ô ÚÐ ØÙ Ò ØÒ Ö Ò Þ ÐÒ ÔÐÒº ÌÓ Ú ØÚÙ ØÓ ÞÖÓ ÞÖÑÓ ØÙ ÞÚÞÓ Ñ ØÑÔÖØÙÖÓ Ò Ó ØÓØÓº ) τ d. ½½µ ½¾µ

ÌÓ ÖÒÐÒÓ ÒÓ Ô ÖØ Þ Ò ØÚÓÑ τ = K 1 3 Ö K Ò ÓÒ ØÒغ Ë ØÑ Ò ØÚÓÑ Ù ÔÑÓ ÔÖØ Ó ÖØÚ [ )] τ = 1 C 4(1 α) exp (1 τ3. ½ µ α Ö Ø ÙÒ Þ ÖÞÐÒ ÚÖÒÓ Ø α ÔÖÞÒ Ò Ð ½º Τ 10 0.1 0.001 0.00001 1.10 8 1.10 6 0.0001 0.01 1 Ρ ËÐ ½ ÈÖÞ ÞÚÞ ½ µ Ñ Ó ØÓØÓ Ò ØÑÔÖØÙÖÓ ÔÖ ÓÒ ØÒØÒ ÒØÖÓÔº ÎÖÒÓ Ø ÔÖÑØÖ α Ö Ø Ó ¼º¼ Ó ¼º ÔÓ ÓÖÙ ¼º½ Ó ÖÚÙÐ Ú Ö ÖÚ ÔÖÓ ÓÖÒöÒ ÞÐÒ Ó ÑÓÖ Ó ÞÓÖ ÒÚÞÓеº Î ÔÓÐØÖÓÔÒÑ ÑÓÐÙ ÞÔÐÒ Òµ Ø Ö Ð ÓÔ ÔÖÑ Ó Ú ØÓ = 1 ØÖ τ = 1º ¾º ÈÓ Ù ÒÐØÒ ÖØÚ ÃÖ ÞÒÒ ÞÚÞ Ñ ØÑÔÖØÙÖÓ τ Ò Ó ØÓØÓ ÐÓ ÔÓ Ù ÑÓ ÔÖØ Ó ÒÐØÒ ÖØÚ ÔÖѹ ÒÒ ØÐ ÓÞ ÞÚÞÓº ÎÒÖ Ò ½ µ ÑÔÐØÒ Ò Ò ÑÓöÒÓ Ø ØÖÓ Ó ÔÖÑÒÐÚ ØÑÔÖØÙÖÓ τ Ð Ó ØÓØÓ µ ÔÐØÒÓ ÞÖÞк ÅÓÓ Ô ÞÖÞØ Ó ØÑÔÖØÙÖÓ Ò Ó ØÓØÓ Þ ÒÓ ÒÓÚÓ ÔÖÑÒÐÚÓ zº ÆÔÖ Ò ØÚÑÓ z = τ/ 1/3 Ò Þ Ø ÓÑÓ = τ = ( [ 4(1 α) z C exp ( z 3 exp (z 3 1) αc [ 4(1 α) (z 3 1) α ]) 3 3 C ]) 1 3 C ÌÓ ÑÓ ÞÓÖÒÓ ÒÓ ÞÔ Ð Ú ÔÖÑØÖÒ Óк Ë ÔÓÑÓÓ Ø Ú ÞÚÞ ÐÓ ÓÞ ÒÓ ØÒ ¾µ ÞÖÞÑÓ ØÙ ØÐ Ð ÓØ ÙÒÓ ÔÖÑÒ¹ ÐÚ zº Ö ÖÓ ØØ Ò Ò µ ÔÖ ØÒÑÓ ØÓ Ò ÒÐÒÖÒ ÒÚÒ ÖÒÐÒ Ò ÖÙ Ö Þ ÔÖÑÒÐÚÓ z ÔÓ ÖÙ ξ ÓÐ d 2 z dξ 2 + 1 ( N M d dz ) ( dz dξ ) 2 + 2 dz ξ dξ + 2 M = 0, ½µ

Ö M = dp dz ; N = d2 p dz 2 ÌÓ ÔÖÑÓ Ó ÙÓØÓÚØÚ Ó ÒÐØÒ ÖØÚ ÔÖÑÒÒ ÔÖÑØÖ z Ú ÓÚ ÒÓ Ø Ó ÓÓÖ¹ ÒØ ξ Ò ÓÑÓ ÑÓÐ ÓÓÔغ ÈÖÓ ØÒ ÒÑ ÒÙÑÖÒ ÖØÚº ¾º ÆÙÑÖÒ ÖØÚ ÄÓ ÒÙÑÖÒÓ ÖÚÐ ÒÓ ½µ Ò ÔÖÐ Ó ÒÙÑÖÒ ÖØÚ Þ z(ξ)º ÁÞ Ø ÖØÚ ÔÓØÑ ÞÖÙÒÐ (z)º ÎÒÖ Þ ÒÙÑÖÒÓ ÖÚÒ Ò ½µ ÔÓØÖÒ ÔÖÚ ØÖÒ ÖÙÒÓÚº ØÓ ÙÖÑÓ ÖÙÒÓ ÔÓغ ÎÑÓ ØÓ ØÑÔÖØÙÖ τ ÓØ ØÙ Ó ØÓØ ÔÖÑÒØ ÔÓ ÞÚÞ ÑÓ Ú ÓÚ ÒÓ Ø Ó ÓÓÖÒØ ξº ØÓ ÐÓ ÞÔÑÓ ØÓØÐÒ ÖÒÐ Ø Ú ÓÐÒ ÓØ dτ = dτ dξ dξ d d = dξ dξ ÌÓ Ø ØÓØÐÒ ÖÒÐ Ú ØÚÑÓ Ú ÒÓ ½¾µ Ò ÓÑÓ dτ dξ = τ α + 4(1 α)τ 3 d αc + 12(1 α)τ 3 dξ. ½µ Ë Þ ÔÓÑÓÓ Ò ØÒ ¾µ ØÖ ÖÓ ØØ Ò ÞÔÐÑÓ ØÑ ÖÒÐÒ Ò Þ ÒÙÑÖÒÓ ÖÙÒÒ Ó ØÓØ ÔÓ ÞÚÞº ¾ºº½ ÁÞÔÐÚ ØÑ ÖÒÐÒ Ò ÞÔÐÚÓ ØÑ ÖÒÐÒ Ò ÚÞÑÑÓ ÒÔÖ ÒÓ Ò ÙÚÑÓ ÒÓÚÓ ÒÞÒÒÓ χ ØÓ ÒÓ ÔÖÔÑÓ Ú ØÑ ÓÚÓ ÔÓ ÖÙ ξ ÓÑÓ Ó ÒÔÖ ÓÞÒÚÐ µ χ = ξ 2 p = χ ξ 2 ÎÒÖ ÔÓØÖÙÑÓ ÓÚÓ ØÐ ÔÓ ÞÚÞº ÄØ ÓÑÓ ÔÓÑÓÓ Ò ØÒ ¾µº p = ατ + [α + 4(1 α)τ 3 ]τ. Ë ÙÔÓÖÑÓ ÞÚÞÓ ½µ Ñ ÓÚÓÓÑ ØÑÔÖØÙÖ Ò Ó ØÓØ ØÓ Ó Ú ÞÓÖÒ ÞÚÞ Ò Ò ØÖÒ Ò ØÓÔÐ ÑÓ ÓÚÓ Ó ØÓØ Î ØÚÑÓ ØÓ Ú ÞÓÖÒ ØÑ Ò ÓÑÓ p = α2 (1 + C ) 2 + 20α(1 α)τ 3 + 16(1 α) 2 τ 6 αc + 12(1 α)τ 3 = τ. αc + 12(1 α)τ 3 α 2 (1 + C ) 2 + 20α(1 α)τ 3 + 16(1 α) 2 τ 6 2 χ τξ 2. ÎÑÓ ÓÚÓ Ó ØÓØ ÓÚ Ò Ó ØÑÔÖØÙÖ ÞØÓ ÑÓÖÑÓ Ú ØÑ ÚÐÙØ ØÙ ÒÓ ½µº ËÚ ØÓ ØÓÖÑÓ ØÓ Ú ØÚÑÓ ÔÖÚÖ ÞÔÐÒ ÓÚÓ ÒÞ Ú ÒÓ ½µº Ô Ò ÐÓØÒ ØÑ Ð χ = ξ 2 = τ = αc + 12(1 α)τ 3 2 χ α 2 (1 + C ) 2 + 20α(1 α)τ 3 + 16(1 α) 2 τ 6 τξ 2 α + 4(1 α)τ 3 χ α 2 (1 + C ) 2 + 20α(1 α)τ 3 + 16(1 α) 2 τ 6 ξ 2 ½µ

ÐÓ ÖÑÓ Ø ØÑ Ò ÑÓÖÑÓ Ú ÔÓÞÒØ ØÙ ÞØÒ ÔÓÓº Ì Ó Ð ÔÖÔÖÓ Øº Ö ÞÖÒ ÖÞÑÒÞ ÔÖÑÒÐÚ ÑÓÖ ÚÐØ (0) = τ(0) = p(0) = 1º Ö ÖÓ Øع ÖÚÒÓÚ Ú ÖÙ ÞÚÞ Ô ÑÓÖ ÚÐØ ØÙ (0) = τ (0) = p (0) = 0º ÁÞ Ø ÐÓ ÞÔÐÑÓ ÞØÒ ÔÓÓ Þ ØÑ χ(0) = 0; (0) = 1; τ(0) = 1 ½µ Æ ØöÚ ÑÑÓ Þ ÒÙÑÖÒÑ ÞÖÙÒÓÑ ÓÚÓÓÚ Ú ÖÙ ÞÚÞ Ô ÒÐØÒÓ ÔÖ¹ ÔÖÓ ØÓ ÞÖÙÒØ χ (0) = 0; (0) = 0; τ (0) = 0 ½µ ÆÚÑÓ Ò ÞÒÑÚ ÖÞÙÐØØÓÚº ÃÓ ÒÙÑÖÒÓ ÖÑÓ Ø ØÑ Ò ÐÓ ÞÖÙÒÑÓ ØÙ Ö ξ 0 ÔÖ ØÖÑ Ó ØÓØ Ô Ò ¼º Ë ØÓ ÚÖÒÓ ØÓ ÐÓ ÞÖÙÒÑÓ Ö ÞÚÞ P c R = ξ 1, Ñ Ó ÞÚÞ ØÖ ÔÓÚÔÖÒÓ Ó ØÓØÓ ÞÚÞ Pc M = 3 4πG 3 4c χ(ξ 1 ) = c χ(ξ 1 ) ξ1 3. ÁÞÔÐÚ ÔÓÐØÖÓÔÒ ÑÓÐ ÈÓÓÒÓ ÓØ ÞÓÖÒ ÑÓÐ ÞÔÐÑÓ ØÙ ÔÓÐØÖÓÔÒ ÑÓк Ò ØÒ Ú ÖÞÑÒÞ ÓÐ ØÙ ÔÖÔÖÓ ØÓ Ö p = τ. ½µ ÈÖ ØÑ ÑÓÐÙ ÔÖÔÓ ØÚÑÓ ØÓ ÞÚÞÓ Ñ ØÑÔÖØÙÖÓ Ò Ó ØÓØÓ ÚÐ p = γ. ¾¼µ Ì ÞÚÞ ÖÞ ÓÒ ØÒØÒ ØÓÖ ÞÖ ÒÓ Ø Ú ÖÙ ÞÚÞº ÈÖ ØÑ γ ÓÚ Ò ØÓ Ó α ÓØ ØÙ Ó C ÚÞÑÑÓ ÔÐÓÒÓ ÒÓ ØÒ Ò ÔÓ ½ ØÖº ¾½ Ò γ = B + (4 3B)2 (γ 1) B + 12(1 B)(γ 1). ÌÙ γ ÖÞÑÖ ÔÒ ØÓÔÐÓØ γ = (C + 1)/C B Ô B = ατ p. Î ÔÓÐØÖÓÔÒÑ ÑÓÐÙ ÔÖÔÓ ØÚ γ ÓÒ ØÒØÒ ÔÓ ÐÓØÒ ÞÚÞ ØÑ Ó ÔÖÔÓ ØÚ Ò ØÒµº ÌÓ ÚÞÑÑÓ Þ ÚÖÒÓ Ø p Ò τ Ö ÚÖÒÓ Ø Ú ÖÙ ÞÚÞ Ò ÞØÓ B Ö Ò αº Î ÚÒÓ ÚÐÚÒÓ ÒÓ Ú ØÚÑÓ ¾¼µº â ÔÖ Ô ÞØÓ Ó Ò ÐÔ ÙÚÑÓ ÒÓÚÓ ÔÖÑÒÐÚÓ = θ n, Ö n = 1/(γ 1)º ÌÓ ÓÑÓ (n + 1)P c ( 1 d r 2 r 2 dθ ) = θ n. dr dr Ë ÙÚÑÓ ÖÞÑÒÞ Ö ξ = r/r 0 Ö (n + 1)P c r 0 =

Ò ÑÓ ÓÒÒÓ Ò ÖÞÑÒÞ Ò Ö ØÙ ÄÒÑÒÓÚ Ò 1 ( d ξ 2 ξ 2 dθ ) = θ n : dξ dξ ÌÓ ÒÓ ÔÓØÑ ÔÖÚÑÓ Ò ØÑ Þ ÒÙÑÖÒÓ ÖÚÒ ØÓ ÙÚÑÓ ÒÓÚÓ ÔÖÑÒÐÚÓº ÔÑÓ ÐÓ Ö ÐÓØÒ ØÑ θ = u u = 2u ξ θn ¾½µ ¾¾µ ØÒ ÔÓÓ Þ Ø ÑÓÐ Ó θ(0) = 1 u(0) = 0 ÞØÒÑ ÓÚÓ ÑÑÓ ØÙ ØÙ Ò ØöÚ ÞØÓ ÞÖÙÒÑÓ ÒÐØÒÓº ÇÚÓ θ (0) Ö Ò u(0) ØÓÖ ¼º ÖÙ ÞÖÙÒÑÓ ÔÓÑÓÓ ÖÙ Ò Ú ØÑÙ ¾½µ ØÖ Ä³ÀÓ ÔØÐÓÚ ÔÖÚÐ ÞÖÙÒÚÒ ÐÑØ u u lim ξ 0 u = 2 lim 1 = 2 lim ξ 0 ξ ξ 0 1 1 Þ Ö Ô Ð ÌÓÖ Ø ÓÚÓ lim ξ 0 = 1 3. θ (0) = 0 u (0) = 1 3 ÒÐÒ Ö r 0 Ú ØÑ ÑÓÐÙ ÖÞÐÙ Ó ÞÓÖÒ ÑÓÐ Þ ØÓÖ n + 1º â ÚÒÓ Ô Ò ÑÓÐ ÓÚ Ò ÑÓ Ó Ú ÔÖÑØÖÓÚ α Ò C µ ÓÞÖÓÑ Ó Ò ÞÚÞÑÑÓ C º ÈÖÑÖÚ ÑÓÐÓÚ öðñó ÔÖÑÖØ ÑÓÐ Ñ ÐÒÓ ÚÔÖØ Ó Ø ÑÓÐ ÒÓÐ Òº Ë ÔÖÚ Ó ÑÓÖÑÓ ÞÖØ ÔÖÑØÖ α Ó Ø ÑÓÐ ÒÓÐ ÙÑÐ ¾ º ÌÓ ÐÓ ÔÓÑÓ ØÓ ÞÔÑÓ ÖÒÐ ÒØÖÓÔ Þ ÔÓÐØÖÓÔÒ ÑÓк ÖÒÐ ÒØÖÓÔ ÑÓ ÞÔÐÚÐ Ú ÒÑ Ó ÔÖÒ ÔÓÐÚ Ð ds = 1 ( ) u dτ 1 ( ) p τ τ 2 d. ¾ µ τ Æ ÑÓ ÔÓ Ð ÞÚÞ Ñ ØÑÔÖØÙÖÓ Ò Ó ØÓØÓ Ú ÔÓÐØÖÓÔÒÑ ÑÓÐÙ ÚÒÖ ØÓ ÞÐÓ ÔÖÔÖÓ ØÓº ÎÞÑÑÓ Ò ¾¼µ Ò ÒÓ ØÒ ½µ Ò ÓÑÓ τ = γ 1. Î ÓÑÒØÖÙ Ð ½ ö ÓÑÒÒÓ Ø ÞÚÞ Ð ÔÖÞÒ ÓØ ÓÔ ÔÖÑ ÔÖ Ñ Ú = 1 ØÖ τ = 1º ÌÓ ÑÓ ÔÓ Ò ÔÓÑÒ ÙÑÒ ÔÓÐØÖÓÔÒ ÑÓÐ Þ ÑÓÐÓÑ ÓÒ ØÒØÒ ÒØÖÓÔ Þ ÚÖÒÓ Ø ÔÖÑØÖ α Ò Ð Òº ÌÑ ÒÑÖ Ú ÑÓÐÙ ÓÒ ØÒØ ÒØÖÓÔ ÞÚÞ Ñ ØÑÔÖØÙÖÓ Ò Ó ØÓØÓ ÖÚÒÓ ØÓ ÔÓØÒÒ Ò ÚÑÓ Ô Ð ÔÓØÒ Ò ÓØ Ú ÔÓÐØÖÓÔÒÑ ÑÓÐÙµº Ì ÞÚÞ ØÙ Ò Ò ØÖ ÑÓÖ Ø ÞÓÒÓ Þ ÙÑÒ ÑÓÐÓÚº ÍÑØ ÑÓÖØ ¾ ÈÖÑØÖ C Ò Ñ ÐÒÓ ÔÖÐØ ÑÑÓ Ú ÞÚÞ ÚÒÓ ÐÒ ÔÐÒº

ØÙ Ñ Ò ØÒ Ò ¾µ Ò ½µµº ÌÓ ÐÓ ö ÙÔÖÚÒÓ ÔÖÙÑÓ Ó Ø ÑÓÐ ÙÑÐ Ú ÔÖ α = 1º ÁÞÖÙÒÑÓ ÖÒÐ ØÑÔÖØÙÖ dτ = (γ 1) γ 2 d. Î ÔÓÐØÖÓÔÒÑ ÑÓÐÙ ÑÑÓ ÐÒ ÔÐÒ u = C τµ ÞØÓ ÐÓØÒ ÖÒÐ ÒØÖÓÔ Ð Ú ØÚÑÓ Ù ØÖÞÒ ÓÚÓ Ú ¾ µµ ds = [(γ 1)C 1] d. ¾µ ÌÓ ÒÓ ÒØÖÖÑÓ Ò ÓÑÓ s = [(γ 1)C 1] ln 2 1 = [C n] ln θ 2 θ 1. ËÐ ¾ ÔÖÞÙ ÐÒ ÔÖ ÐÓÖØÑÓÑ Ú ÓÚ ÒÓ Ø Ó ÔÖÑØÖ αº ÇØÒÓ Þ Ð ÑÓÖÐ Ø ÖÞÐ Ñ ÑÓÐÓÑ ÒÑÒ Ó α = 1º ÌÓ Ò ÔÖ ÒØÐÚÓ Ø Ò ØÒ Ò ÞÚÞ Ñ ØÑÔÖØÙÖÓ Ò Ó ØÓØÓ Ú ØÑ ÔÖÑÖÙ ÒØÒº 11Γ C Ρ 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Α -0.2-0.4 ËÐ ¾ ÈÖÞ ØÓÖ (γ 1)C 1 Ú ÓÚ ÒÓ Ø Ó αº ÁÞ Ø Ð ÔÖÙÑÓ Ó Ø ÑÓÐ ÒÓÐ ÙÑÐ ÔÖ ÚÖÒÓ Ø α = 1º â Ú Ó ÑÑÓ ÑÓ ÒÚÒ ÒÓÚÒ ÔÐÒ ÑÓÖØ ÑÓÐ ÔÓÔÓÐÒÓÑ ÔÓÖغ ÁÑÑÓ ÐÒ ÔÐÒ ØÓ C = 3/2º ÈÖÓÖÑ ÈÖÒ ÔÖ ØÚÑÓ ÖÞÙÐØØ ÑÓÐ ÔÓØÖÒ Ò Ó Ñ ÖÙÒÐÒ ÑÔÐÑÒغ ÀØÖÓ ÔÓ ØÒ ÒÓ ØÑ ÖÒÐÒ Ò ½µ Ò ÑÓÖÑÓ ÒÙÑÖÒÓ ÒØÖÖØ Ö Ò ÚÑÓ ÓÒÒ Ñ ÒØÖº Ì Ñ Ú ÓØ ö ÓÑÒÒÓ ØÑ Ö Ó ØÓØ Ó ö ÚÖÒÓ Ø ¼º â ÚÒÓ Ô Ò ÚÑÓ Ö ÔÖ ØÖÑ ØÓ ÞÓº Î Ø ÒÑÒ ÙÔÓÖÑÓ ØÖÐ Ó ÑØÓÓ ÒØÖº ÔÖÑÖÒÓ ÙÔÓÖÓ Ø ÑØÓ Ô ÔÓØÖÒÓ ØÑ ½µ ÑÐÒÓ Ø ÔÖÓÐÓÚغ ËÔØ ÙÚÑÓ ÒÓÚÓ ÒÞÒÒÓ x = ξ/ξ 0 Ò ÔÖÓÐÙÑÓ Ú ÓÚÓ Ú ØÑÙº ÇÚÓ ÔÓ ÔÖÑÒÐÚ x ÓÞÒÑÓ Ò ÓÑÓ ÒÓ ÖÒÐÒÓ ÒÓ χ = ξ 3 0 x2 = τ = ξ 0 = 0 αc + 12(1 α)τ 3 α 2 (1 + C ) 2 + 20α(1 α)τ 3 + 16(1 α) 2 τ 6 χ 2 ξ 0 x 2 τ α + 4(1 α)τ 3 α 2 (1 + C ) 2 + 20α(1 α)τ 3 + 16(1 α) 2 τ 6 χ ξ 0 x 2

ÁÒØÖ Ø ÔÓ ÔÖÑÒÐÚ x Ó ¼ Ó ½º ØÒ ÔÓÓ Þ χ Ò τ ØÖ Þ ÒÓÚ ÓÚÓ Ó ØÒÓ Ò ÔÖÑÒÒ ÓØ Ô ÐÓ ÔÓØÖÒÓ Ò ØÓ Þ ξ 0 º ÌÙ Ú ÖÓ Ú ØÓÔ ØÖÐ ÑØÓº Ì ÔÓÓ ÙÑÓ Ò ÓÒÙ ÒØÖ Ô ÔÖÑÖÑÓ ÖÞÙÐØØ χ ØÖ τ ÔÖÔ ÒÑ ÚÖÒÓ ØÑ Ò ÖÓÙ ÞÚÞº ÓÚÓÐ ÔÖÑÖÑÓ Ó ØÓØÓ Ò ÓÐÓ Ð Ø ÓÐÒ Ó ÚÖÒÓ Ø ¼º ÌÓ Ò Ö ÞÚÞ ÔÖÚÒÓ Ò Ò ÒÐ Ò ÓÑÔÐÖÒ ÒÓÔÖÑØÖÒ ÙÒ Þ ÔÖÑØÖ ÔÖÑ ξ 0 Ò ÞÖÙÒ Ó ØÓØÓ Ó ÚÖÒÓ Ø x = 1º ÒÐÓÒÓ ÙÔÓÖÑÓ ØÖÐ Ó ÑØÓÓ ØÙ Ú ÔÖÑÖÙ ÔÓÐØÖÓÔÒ ÑÓк ËÚ Ô ÔÓØÖÒÓ ÞÖÙÒÒ Ö ÞÚÞ ξ 1 Ú ÔÓÐØÖÓÔÒÑ ÑÓÐÙ Ù ØÖÞÒÓ ÔÓÑÒÓöØ ØÓÖÑ n + 1 ÞÖ ÑÐÒÓ Ø ÖÙÒ ÒÓÚ ÔÖÑÒÐÚ Ö ξº Î ÔÓÐØÓÖÔÒÑ ÑÓÐÙ ÞÖ ÒÙÑÖÒ ÖÙÒÒ Ò ØÖÐ ÑØÓ ÑÐÒÓ Ø ÔÖÐÓ ØÙ ÖÙÓ ÒÓ Ú ØÑÙ ¾½µ u = 2u ξ θ n. Ì ÓÐÙØÒ ÚÖÒÓ Ø Ó ÞØÓ ÐÓ Þ ÞØÒ ÔÖÐö Ö ξ 1 ÚÞÑÑÓ ØÙ Ö Ú Ó ÔÖÚº Î ÖÙÒÑ ÔÖÑÖÙ ÒØÖ ÓÒ ØÓ Ó θ Ó Ð ÒØÚÒÓ ÚÖÒÓ Ø Þ ÔÓÐÙÒ n Ö Ô ÔÖ ÖÙ ÞÚÞº ÈÖÓÖÑ Ñ Ô Ò Ú ÔÖÓÖÑ Ñ ÞÙ ÔÓÑÓÓ ÒöÒ ÆÙÑÖÐ ÊÔ Ò ÚÖÞ ¾º½¼ Þ ÍÒÜ ÓÔÖ ØѺ ÊÞÙÐØØ Î ØÑ ÔÓÐÚÙ Ó ÔÖ ØÚÐÒ ÖÞÙÐØØ ÖÒÐÒ Ò Ò ØÖÐ ÑØÓº ÍÑÒ ÑÓÐÓÚ Ö ÔÓÔÓÐÒÓ ÔÖ ÚÖÒÓ Ø ÔÖÑØÖ α = 1º ÌÓ ÓØ ö ÓÑÒÒÓ Ò ÔÖ ÒØÐÚÓ Ø Ò ØÒ Ú ØÑ ÔÖÑÖÙ ÒØÒº ÈÖ ÒØÐÚÓ Ô ÑÓÖ ØÓ ÒÙÑÒ ÑÓÐÓÚ Ò ÒÚ ÔÖ α = 0 ÓØ ÖÞÚÒÓ Þ Ð ÑÔ ÔÖ α 0.7º ÖÙÒÒ ÚÞØ ÐÒ ÔÐÒ ÞØÓ C = 3/2º Î Ö Ó ÖÞÑÒÞ Þ ÞÒÐÒÑ ÖÑ P c r 0 == 1 α = 0.0 α = 0.3 α = 0.6 α = 1.0 1 0.1 α = 0.0 α = 0.3 α = 0.6 α = 1.0 0.8 0.01 0.001 0.6 Gostota 0.4 Gostota 1e-04 1e-05 1e-06 0.2 1e-07 1e-08 0 0 2 4 6 8 10 12 14 1e-09 0 2 4 6 8 10 12 14 ξ ξ ËÐ ÈÖÞ Ó ØÓØ Ú ÑÓÐÙ ÔÖ ÖÞÐÒ ÚÖÒÓ Ø ÔÖÑØÖ α Ú ÒÚÒ Ò ÑÐÓÖØÑ Ðº ÊÞÐ ØÚÒ Ð Ò ÖÓÙ ÞÚÞº

0.002 0.0015 α = 0.0 α = 0.3 α = 0.6 α = 1.0 1 0.01 α = 0.0 α = 0.3 α = 0.6 α = 1.0 1e-04 Razlika gostot Politropni - Model 0.001 0.0005 0 Absolutna razlika gostot Politropni - Model 1e-06 1e-08 1e-10-0.0005 1e-12 1e-14-0.001 0 2 4 6 8 10 12 14 ξ 0 2 4 6 8 10 12 14 ξ ËÐ ÈÖÞ ÖÞÐ Ó ØÓØ Ú Ó ÑÓк ÅÓÐ Ú ÔÖÑÖÙ α = 0 Ò α = 1 Ò ÔÖÔÐØغ Ð Ò ÓÒÒ Ô ÚÑÓ Ú ÑÐÓÖØÑ Ð Ô ÐÓ ÐÔÐ ÖÞÐ Ú Ø Ú ÔÖÑÖ Ú ÓÚÖÙ ÒÙÑÖÒ ÒÔº Æ ÔÐÓ Ô ÖÞÐ Ñ ÑÓÐÓÑ ÞÐÓ ÑÒº 14 13 Model Politropni 0.7 0.6 12 11 0.5 Radij ξ 10 9 Razlika radijev 0.4 0.3 8 0.2 7 6 0.1 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 α α ËÐ ÈÖÞ ÒÔÓÚÒ ÖÚ ÞÚÞ ØÖ ÖÞÐ Ñ ÒÔÓÚѺ Ê Ø ÞÖÙÒÒ ÔÓÑÓÓ ØÖÐ ÑØÓº Î Ó ÚÔ ØÚÓ ÞÚÞ ÓÒ ØÒØÒÓ ÒØÖÓÔÓ ÚÒÓ ÑÒ Ð Ò ÞÚÞ Ú ÔÓÐØÖÓÔÒÑ ÑÓÐÙ ÒÓÐ Úº ÌÙ ÖÞÚÒÓ ÖÞÐ Ñ ÑÓÐÓÑ Ú ÔÖÑÖÙ α = 1 Ò Ð ÒÙÑÖÒ ÔÓÑÒº ½¼

ÄØÖØÙÖ ½ ÊÖ Äº ÓÛÖ Ò ÌÖÖÝ ÑÒº ØÖÓÔÝ ÚÓÐÙÑ Á ËØÖ º ÂÓÒ Ò ÖØÐØØ ÈÙÐ Ö ËÙÙÖÝ Å Ù ØØ ½º ¾ ÊÙÓÐ ÃÔÔÒÒ Ò ÐÖ ÏÖغ ËØÐÐÖ ËØÖÙØÙÖ Ò ÚÓÐÙØÓÒº ØÖÓÒÓÑÝ Ò ØÖÓ¹ ÔÝ ÄÖÖݺ ËÔÖÒÖ¹ÎÖÐ ÖÐÒ ½¼º ÏÐÐÑ Àº ÈÖ ËÙÐ º ÌÙÓÐ Ý ÏÐÐÑ Ìº ÎØØÖÐÒ Ò ÖÒ Èº ÐÒÒÖݺ ÆÙÑÖÐ ÊÔ Ò Ì ÖØ Ó ËÒØ ÓÑÔÙØÒº ÑÖ ÍÒÚÖ ØÝ ÈÖ Ì ÈØØ ÙÐÒ ÌÖÙÑÔÒØÓÒ ËØÖØ ÑÖ ¾ ½ÊÈ ÓÒ ØÓÒ ¾¼¼¾º ½½