DUMITRU BUŞNEAG FLORENTINA CHIRTEŞ DANA PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ
Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ
Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Editur UNIVERSITARIA CRAIOVA 3
Refereţi ştiiţifici: Prof.uiv.dr.Costti Năstăsescu,Uiversitte Bucuresti Membru corespodet l Acdemiei Româe Prof.uiv.dr. Costti Niţă,Uiversitte Bucureşti Prof.uiv.dr. Alexdru Dică,Uiversitte Criov EUC CRAIOVA All rights reserved. No prt of this publictio my be reproduce, stored i retrievl system, or trsmitted, i y forms or by y mes, electroic, mechicl, photocopyig, recordig, or other wise, without the prior writte permissio of the publisher. Tehoredctre computeriztă : D Piciu, Floreti Chirteş Copertă: Cătăli Buşeg Descriere CIP Bibliotecii N iole Dumitru Buşeg (coordotor), Probleme de Algebră Bu de tipr:.. Tipogrfi Uiversităţii di Criov, Strd, Al. Cuz, r.3 Criov, Româi Published i Romi by: EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA 4
ISBN: 973 843 89 9 5
CUPRINS Prefţă i Idex de otţii şi brevieri ii Prte : Euţurile problemelor. Operţii lgebrice. Semigrupuri. Mooizi. Morfisme de mooizi. Grup. Subgrup. Subgrup geert de o mulţime. Clcule îtr-u 6 grup. Grupuri de permutări 3. Teorem lui Lgrge. Ordiul uui elemet. Idicele uui 7 subgrup. Subgrupuri ormle 4. Morfisme şi izomorfisme de grupuri. Grupuri fctor. Teoremele 4 de izomorfism petru grupuri 5. Produse directe de grupuri 36 6. Iel. Subiel. Exemple. Clcule îtr-u iel. Elemete iversbile. 39 Divizori i lui zero. Elemete idempotete. Elemete ilpotete. Produse directe de iele 7. Morfisme şi izomorfisme de iele 5 8. Idele. Ltice idelelor uui iel comuttiv. Aultorul şi rdiclul 54 uui iel. Fctorizre uui iel pritr-u idel bilterl. Idele prime. Idele mximle 9. Corp. Subcorp. Crcteristic uui corp. Morfisme şi 6 izomorfisme de corpuri. Iele de poliome 7 Prte : Soluţiile problemelor 79. Operţii lgebrice. Semigrupuri. Mooizi. Morfisme de mooizi 79. Grup. Subgrup. Subgrup geert de o mulţime. Clcule îtr-u 9 grup. Grupuri de permutări 3. Teorem lui Lgrge. Ordiul uui elemet. Idicele uui 9 subgrup. Subgrupuri ormle 6
4. Morfisme şi izomorfisme de grupuri. Grupuri fctor. Teoremele 3 de izomorfism petru grupuri 5. Produse directe de grupuri 63 6. Iel. Subiel. Exemple. Clcule îtr-u iel. Elemete iversbile. 75 Divizori i lui zero. Elemete idempotete. Elemete ilpotete. Produse directe de iele 7. Morfisme şi izomorfisme de iele 8 8. Idele. Ltice idelelor uui iel comuttiv. Aultorul şi rdiclul 5 uui iel. Fctorizre uui iel pritr-u idel bilterl. Idele prime. Idele mximle 9. Corp. Subcorp. Crcteristic uui corp. Morfisme şi 44 izomorfisme de corpuri. Iele de poliome 76 Bibliogrfie 3 7
Prefţă Lucrre de fţă este destită î pricipl semirizării cursurilor de lgebră legte de structurile lgebrice fudmetle (grup, iel, corp). E cupride probleme legte de grupuri, iele, corpuri şi iele de poliome. Acestă lucrre este utilă î primul râd studeţilor de l fcultăţile de mtemtică - iformtică dr şi celor de l fcultăţile tehice. E pote fi îsă utilă î eglă măsură tât profesorilor de mtemtică di îvăţămîtul preuiversitr (î procesul didctic şi de perfecţiore), c şi elevilor di ultim clsă de liceu prticipţi l trdiţiolele cocursuri de mtemtici de l oi. Petru umite specte teoretice recomdăm cititorilor lucrările [4,, 3, 8, 9,, ]. Atât tehoredctre cât şi corectur prţi utorilor. Criov,.. Autorii 8
Idex de otţii şi brevieri.î. : stfel îcât ( ) : implicţi (echivleţ) logică ( ) (( )) : cutifictorul uiversl (existeţil) x A : elemetul x prţie mulţimii A A B : mulţime A este iclusă î mulţime B A B : mulţime A este iclusă strict î mulţime B A B : itersecţi mulţimilor A şi B A B : reuiue mulţimilor A şi B A \ B : difereţ mulţimilor A şi B A B : difereţ simetrică mulţimilor A şi B P(M) : fmili submulţimilor mulţimii M C M A : complemetr î rport cu M mulţimii A A B : produsul crtezi l mulţimilor A şi B M (su crd M) : crdilul mulţimii M ( dcă M este fiită M reprezită umărul elemetelor lui M) A : fucţi idetică mulţimii A N(N*) : mulţime umerelor turle (eule) Z(Z*) : mulţime umerelor îtregi (eule) Q(Q*) : mulţime umerelor rţiole (eule) : mulţime umerelor rţiole strict pozitive Q * R(R*) R * : mulţime umerelor rele (eule) : mulţime umerelor rele strict pozitive C(C*) : mulţime umerelor complexe (eule) δ ij : simbolul lui Kroecker ( dică petru i j şi petru i j) z : modulul umărului complex z U : mulţime rădăciilor complexe de ordi le uităţii T : mulţime umerelor complexe de modul m : umărul îtreg m divide umărul îtreg [m,] : cel mi mic multiplu comu l umerelor turle m şi c.m.m.m.c. : cel mi mic multiplu comu (m,) : cel mi mre divizor comu l umerelor turle m şi 9
c.m.m.d.c. : cel mi mre divizor comu m ( mod p) : m este cogruet cu modulo p ( dică p m-) Z : mulţime clselor de resturi modulo umărul turl ( ) M (K) : mulţime mtricelor pătrtice de ordi cu elemete di mulţime K M m, (K) : mulţime mtricelor cu m liii şi coloe, cu elemete di mulţime K I (O ) : mtrice uitte ( ulă) de ordi ( ) Tr(M) : urm mtricei pătrtice M det(m) : determitul mtricei pătrtice M U(M,o ) : mulţime elemetelor iversbile di mooidul (M, o ) ϕ() ( N*) : umărul umerelor turle mi mici decât şi prime cu (ϕ portă umele de idictorul lui Euler) GL (K) : grupul liir de grd peste corpul K SL (K) : grupul specil de grd peste corpul K Σ(X) : grupul simetric l mulţimii X ( dică grupul fucţiilor bijective f : X X reltiv l compuere fucţiilor) S : grupul simetric l uei mulţimi cu elemete A : grupul lter de grd D : grupul diedrl de grd DI : grupul diciclic de grd Q : grupul quterioilor Q : grupul geerlizt l quterioilor o(g) : ordiul elemetului g di grupul G H G : H este subgrup l grupului G H G : H este subgrup orml l grupului G G:H : idicele subgrupului H î grupul G (G/H) d : mulţime clselor l drept le grupului G reltive l subgrupul H l grupului G (G/H) s : mulţime clselor l stâg le grupului G reltive l subgrupul H l grupului G G/H : grupul fctor l grupului G pri subgrupul său orml H L(G) : mulţime subgrupurilor grupului G L (G) : mulţime subgrupurilor ormle le grupului G <X> : subgrupul geert de mulţime X î grupul G (X G) H K : subgrupul geert de H K î grupul G ( H,K G) H K H K : mulţime elemetelor de form h k cu h H şi k K (H,K G) : grupurile H şi K sut izomorfe
H K Hom(G,G ) : grupurile H şi K u sut izomorfe : mulţime morfismelor de grup de l grupul G l grupul G Aut(G) : mulţime utomorfismelor grupului G I(G) : mulţime utomorfismelor iteriore le grupului G C M (x) : cetrliztorul î mooidul M l elemetului x ( dică mulţime elemetelor lui M ce comută cu x) Z(M) : cetrul mooidului M ( mulţime elemetelor lui M ce comută cu oricre elemet l lui M) N G (H) : ormliztorul lui H î G ( dică mulţime elemetelor x G petru cre xh Hx, H G) [x,y] : x - y - xy ( comuttorul elemetelor x şi y di grupul G) ch (e e - ) / : cosius hiperbolic sh (e - e - ) / : sius hiperbolic Cr(A) : crcteristic ielului A U(A) : grupul uităţilor ielului A Z(A) : cetrul ielului A N(A) : mulţime elemetelor ilpotete le ielului A Id(A) : mulţime idelelor ielului comuttiv A A / I : ielul fctor l lui A pri idelul I J(A) : rdiclul Jcobso l ielului comuttiv A r(i) : rdiclul idelului I A(I) : ultorul idelului I (M) : idelul geert de submulţime M di ielul A [x,y] : comuttorul elemetelor x şi y di ielul A (dică xy yx) A[[X]] :ielul seriilor formle peste ielul A A[X] :ielul poliomelor îtr-o edetermită cu coeficieţi î ielul comuttiv A A[X,,X ] : ielul poliomelor î edetermitele X,,X ( ) cu coeficieţi di ielul comuttiv A ~ f : fucţi poliomilă tştă poliomului f A[X]
Prte : Euţurile problemelor. Operţii lgebrice.semigrupuri. Mooizi. Morfisme de mooizi... Fie M o mulţime cu elemete. (i) Câte operţii lgebrice se pot defii pe M? (ii) Câte ditre ceste sut comuttive? (iii) Câte ditre ceste dmit elemet eutru? (iv) Să se rte că umărul operţiilor lgebrice ce se pot defii pe M cre sut î celşi timp comuttive şi cu elemet eutru este... Pe R cosiderăm operţi lgebrică : xo y xy x by c (, b, c R). (i) Petru ce vlori le lui,b,c operţi o este socitivă? (ii) Să se demostreze că operţi o este socitivă re elemet eutru ; (iii) Î ipotez că operţi o este socitivă, să se puă î evideţă U(R, )..3. Pe Z cosiderăm operţi lgebrică : xo y xy b(x y) c (, b, c Z). Să se demostreze că: (i) Operţi o este socitivă b -b-c ; (ii) Dcă b -b-c, tuci operţi o re elemet eutru dcă şi umi dcă b c..4. Fie M o mulţime evidă ir o o operţie lgebrică socitivă pe M. Să se demostreze că : H { M: (x o ) o y x o ( o y), petru orice x,y M} este prte stbilă lui M î rport cu operţi dtă..5. Fie M o mulţime evidă. Pe M se defieşte o operţie lgebrică socitivă. Arătţi că dcă M este fiită şi există M.î. fucţi f: M M, f(x) x este ijectivă, tuci (M, ) este mooid.
.6. Fie S u semigrup fiit şi S. Să se rte că există m N *.î. m este idempotet..7. Fie A o mulţime evidă şi o operţie lgebrică socitivă pe A cu propriette că există N *.î. x y yx, petru orice x,y A. Arătţi că operţi dtă este comuttivă..8. Fie M şi o operţie lgebrică socitivă cu propriette că există N *.î. (xy) yx, petru orice x,y M. Atuci operţi lgebrică este comuttivă..9. Pe mulţime M se defieşte o operţie lgebrică cu proprietăţile: ) x x, petru orice x M; ) (xy)z (yz)x, petru orice x,y,z M. Să se rte că operţi este socitivă şi comuttivă... Pe mulţime S se defieşte o operţie lgebrică socitivă cu următorele proprietăţi: ) x 3 x, petru orice x S ) xy x y x y, petru orice x,y S. Să se rte că operţi este comuttivă... Fie Z[i]{xyi : x,y Z, i C, i -}. Să se demostreze că (Z[i], ) este mooid comuttiv. Să se determie U(Z[i], )... Fie d u umăr turl liber de pătrte (d ) ir Z[ d ] {xy d x,y Z}. Defiim N : Z[ d ] Z[ d ] pri N(xy d ) x - dy, petru orice x,y Z. Să se demostreze că (Z[ d ], ) este mooid comuttiv ir z U(Z[ d ], ) N(z) {±}..3. Să se demosteze că U(Z[ ], ) este o mulţime ifiită..4. Fie u umăr turl, şi M {x Z: (,x) }. Să se demostreze că M este prte stbilă lui (Z,) este o putere turlă uui umăr prim. 3
.5. Fie M C prte stbilă lui (C,).î. {z C: z } M. Să se demostreze că M C..6. Pe mulţime M Z Z defiim operţi lgebrică : (x, y ) o (x, y ) (x x, x y y ). Să se demostreze că (M, o ) este mooid ir poi să se determie U(M, o ). b.7. Fie M {,b,c,d Z şi b c d }. c d Să se demostreze că M împreuă cu îmulţire mtricelor este mooid ir poi să se puă î evideţă uităţile mooidului M..8. Fie A {f : N * C}. Pe A defiim operţi lgebrică stfel: (f g) f()g(/d). d Să se demosteze că (A, ) este mooid comuttiv şi f U(A, ) f(). Observţie. Fucţiile di A se umesc fucţii ritmetice ir operţi lgebrică portă umele de produs de covoluţie su produs Dirichlet..9. Fie (M, ) u mooid şi elemetrul său eutru. (i) Să se rte că dcă M este mulţime fiită, tuci u există,b M.î. b şi b ; (ii) Să se de u exemplu de două plicţii f,g : N N.î. fo g N şi go f N ; (iii) Fie şi b î M.î. b şi b. Să se rte că dcă b m b q p cu m,,p,q N *, tuci q şi m p... Să se demostreze că dcă M C este prte stbilă reltiv l operţiile de dure şi îmulţire umerelor complexe şi R M C, tuci M R su M C... Petru mooidul (M, ) defiim Z(M) {x M xy yx, petru orice y M}. Să se demostreze că Z(M) este submooid l lui M. Observţie. Z(M) portă umele de cetrul mooidului M... Fie N,. Să se demostreze că 4
Z (M (C), ) { I C}..3. Fie mtrice A M (C). (i) Să se determie X M (C).î. AX XA ; (ii) Să se rezolve î M (C) ecuţi X A ( N, ). b.4. Fie A M (R).î. d > şi det (A). c d Să se demostreze că A I, petru orice N,..5. Fie N, şi A,B M (C).î. A B AB. Să se demostreze că AB BA..6. Fie N, şi A,B M (C). Să se demostreze că I - AB U(M (C), ) I - BA U(M (C), )..7. Fie S u semigrup. Să se rte că există u mooid M şi u morfism ijectiv de semigrupuri f : S M..8. Fie M, M mooizi, f,g : M M două morfisme de mooizi, M f,g {x M : f(x) g(x)} ir i : M f,g M morfismul icluziue. Să se demostreze că : (i) M f,g este submooid l lui M ir f o i go i ; (ii) Dcă M este u lt mooid ir i : M M este u morfism de mooizi.î. fo i go i, tuci există u uic morfism de mooizi u : M M f,g.î. i o u i. Observţie. Dubletul (M f,g, i) îl otăm cu Ker(f,g) şi portă umele de ucleul perechii de morfisme de mooizi (f,g). Dcă g este morfismul ul (g(x), ( ) x M ), otăm Ker(f) M f, {x M : f(x) } şi îl umim ucleul lui f..9. Fie M,M mooizi, f : M M u morfism de mooizi. Cosiderăm următorele firmţii : (i) f este plicţie ijectivă ; (ii) Ker(f) {}. 5
Să se demostreze că (i) (ii) îsă î geerl (ii) (i)..3. Fie M,M mooizi, f : M M u morfism de mooizi. Cosiderăm următorele firmţii : (i) f este plicţie ijectivă ; (ii) Dcă M este u lt mooid ir g,h :M M sut morfisme de mooizi.î. fo g f o h, tuci g h ; (iii) Ker(f) {}. Să se demostreze că (i) (ii) şi (ii) (iii). Observţie. U morfism ce verifică (ii) se umeşte moomorfism de mooizi..3. Fie M,M mooizi, f : M M u morfism de mooizi. Cosiderăm următorele firmţii : (i) f este plicţie surjectivă ; (ii) Dcă M 3 este u lt mooid ir g,h :M M 3 sut morfisme de mooizi.î. go f ho f, tuci g h. Să se demostreze că (i) (ii) îsă î geerl (ii) (i). Observţie. U morfism ce verifică (ii) se umeşte epimorfism de mooizi.. Grup. Subgrup. Subgrup geert de o mulţime. Clcule îtr-u grup. Grupuri de permutări... Pe mulţime Z defiim operţi lgebrică: x o y xy (x y ). (i) Să se rte că dubletul (Z,o ) u este grup ; (ii) Să se determie ce mi mre submulţime G Z (fţă de icluziue).î. dubletul (G, o ) să fie grup comuttiv... Pe mulţime Q se defieşte operţi lgebrică : x o y x y kxy (k Q * fixt). Să se rte că există Q.î. (Q \ {},o ) să fie grup beli..3. Fie,b,c,d R * şi operţi lgebrică : xo y xyxbyc. Ce codiţie trebuie să îdepliescă,b şi c petru c ((d, ), o ) să fie grup beli? 6
7.4. Fie G >, : l R. Să se demostreze că G împreuă cu îmulţire mtricelor este grup comuttiv..5. Fie G } { : R x x x x x. Să se demostreze că G împreuă cu îmulţire mtricelor este grup comuttiv..6. Să se determie x R.î. mulţime : M,,,, : bc d R d c b d c x b să fie grup î rport cu operţi de îmulţire mtricelor..7. Să se determie umerele rele şi b.î.: G 4,, : y x R y x y x bx y bx y y x să formeze u grup î rport cu îmulţire mtricelor..8. Fie turl, dt. Să se rte că mulţime : G,,, : I A C y x y x A este u grup î rport cu îmulţire mtricelor. Câte elemete re grupul G?.9. Să se rte că mulţime : G,, : 4 4 y x R y x y x y y y x împreuă cu îmulţire mtricelor formeză grup comuttiv.
8.. Fie G mulţime mtricelor de form M(,b) b b b b b b cu propriette că det M(,b). Să se rte că G este grup î rport cu îmulţire mtricelor... Cosiderăm mulţime M.,,, 3, ele tre i prime sut X g s i cx bx f ir R c b c b b c c b Să se rte că M este grup î rport cu îmulţire mtricelor... Fie E R R ir petru t R, fucţi f t :E E, f t (x,y) (x ty t /, y t), oricre r fi (x,y) E. Să se demostreze că mulţime G {f t : t R} formeză grup comuttiv î rport cu compuere fucţiilor..3. Se cosideră mulţime : G, ) ( ) ) ( ( 4 d b c d b c R M d c b b d c c b d d c b. (i) Să se rte că (G, ) este grup beli ; (ii) Petru N şi X G, să se rte că există, b, c, d R şi H {A,B,C,D}, H G,.î. (H, ) să fie grup beli şi X A b B c C d D petru orice umăr turl. (iii) Petru N* clculţi : 3 3 3 3..4. Fie A 4 4 8 4 şi M A { x I 3 y A (x,y) R* R}. Să se rte că :
(i) det X u depide de y, petru orice X M A ; (ii) (M A, ) este u grup beli ; (iii) (X*) (X*) - M A şi det ( (X*) (X*) - ) 8, petru orice N* şi orice X M A, ude X* este djuct lui X. b.5. Fie M, b Q,, b. b (i) Să se rte că (M, ) este grup ; (ii) Să se determie tote mtricele X M.î. X X t I ; (iii) Ecuţi Y t Y I re soluţii î M?.6. Să se demostreze că U {z C* : z } şi T {z C * : z } este subgrup l grupului (C *, ) ( N)..7. Fie K o mulţime cu ptru elemete K {,,b,c}. Pe K cosiderăm operţi de îmulţire cărei tbelă este: b c b c c b b b c c c b Să se demostreze că dubletul (K, ) este grup comuttiv. Observţie. Grupul K portă umele de grupul lui Klei..8. Determiţi,b,c R.î. să fie subgrup l grupului (R, ). G {x R cos x b si x c }.9. Determiţi mtricele A M (R), ( 3), petru cre mulţime G(A) {B M (R) det(ab) det(a)det(b)} este grup î rport cu dure mtricelor di M (R)... Să se demostreze că orice grup cu cel mult cici elemete este comuttiv... Să se demostreze că pe orice mulţime fiită se pote defii o structură de grup comuttiv. 9
.. Să se demostreze că u grup u se pote scrie c reuiue două subgrupuri proprii le sle..3. Să se demostreze că există grupuri ce se pot scrie c reuiue trei subgrupuri proprii le sle..4. Să se rte că u există ici u grup cre să fie reuiue trei subgrupuri proprii le sle, ditre cre două u câte trei elemete..5. Fie (G, ) u grup şi H {x x G}. Să se rte că dcă G este comuttiv, tuci H este subgrup l lui G. Reciproc este devărtă?.6. Fie (G, ) u dublet formt ditr-o mulţime şi o operţie lgebrică socitivă. Să se rte că dcă oricre r fi,b,c G există x G.î. xb c, tuci (G, ) este grup..7. Fie (G, ) u grup şi,b G.î. b c, cu c G şi N *. Să se rte că există d G.î. b d..8. Fie p 3 u umăr turl impr. Costruiţi u grup (G, ) cu p 3 elemete, ude p > este umăr impr, cu propriette că petru orice x G, x p..9. Fie G o mulţime fiită pe cre este defiită o operţie lgebrică socitivă, ottă multiplictiv. Dcă operţi re propriette că : xy xz y z, yx zx y z, petru orice x, y, z G, tuci (G, ) este u grup..3. Fie (G, ) u grup î cre re loc implicţi xy z x y z, ude N *. Să se rte că (G, ) este grup beli..3. Fie (G. ) u grup şi,b G.î. b bb. Să se rte că dcă şi umi dcă b..3. Fie (G,) u grup beli fiit cu r elemete şi să cosiderăm două elemete fixte şi b di cest grup. Petru m şi umere turle dte,
otăm cu M m, (G) mulţime mtricelor cu m liii şi coloe vâd elemetele di grupul G, ir cu M(,b) otăm submulţime lui M m, (G) formtă di cele mtrice cu propriette că sum elemetelor de pe fiecre liie este, ir sum elemetelor de pe fiecre coloă este b. Să se demostreze că : (i) (M m, (G), ) este grup beli vâd r m elemete; (ii) Dcă m b, tuci M(,b) este mulţime vidă ; (iii) Dcă m b, tuci M(,b) re r (m-)(-) elemete..33. Fie G u grup ir A,B,C G.î. A B, A C B C şi AC BC. Să se demostreze că A B ( ude AC {c A şi c C})..34. Fie G u grup, H,K G ir x,y G.î. H x K y. Să se demostreze că H K..35. Fie G u grup ir A,B G. Să se demostreze că AB A B A B..36. Fie G u grup fiit ir A,B G.î. A B > G. Să se demostreze că G AB..37. Fie (G, ) u grup cu proprietăţile: ) Dcă x, tuci x ; ) (xy) (yx), oricre r fi x,y G. Să se demostreze că grupul G este beli..38. Fie G u grup.î. x, petru orice x G. Să se demostreze că G este comuttiv ir dcă G este fiit, tuci G este o putere turlă lui..39. Fie G u grup fiit şi p u umăr prim cre divide ordiul lui G. Atuci umărul soluţiilor ecuţiei x p este u multiplu eul l lui p..4. Dcă G este u grup, să se demostreze că Z(G) G (vezi problem...)..4. Fie G u grup ir x,y G.î. xy Z(G). Să se demostreze că xy yx..4. Fie (G, ) u grup, x, y G şi m, N *.î. (m,). Să se rte că dcă x comută cu y m şi y, tuci x comută şi cu y.
.43. Fie G u grup ir H G u subgrup propriu l său. Să se demostreze că < G \ H > G..44. Fie (G, ) u grup cre re u subgrup H.î. G \ H re u umăr fiit de elemete. Să se rte că grupul G este fiit..45. Fie (G, ) u grup beli fiit. Spuem că subgrupul H l lui G re propriette (A) dcă G H şi produsul elemetelor lui H este egl cu produsul elemetelor di G \ H. Să se rte că dcă G re u subgrup cu propriette (A), tuci orice subgrup l lui G, diferit de G re propriette (A). sle..46. Petru u grup fiit G otăm cu s(g) umărul de subgrupuri le Să se rte că: (i) Petru orice umăr rel > există grupuri fiite G.î. (ii) Petru orice umăr rel > există grupuri fiite G.î. G < s( G) G >. s( G) ;.47. Fie o operţie lgebrică socitivă pe mulţime M. Să se demostreze că (M, ) este grup dcă şi umi dcă oricre r fi M, există N*.î. f : M M, f (x) x să fie surjectivă..48. Să se demostreze că grupul ditiv (Q,) u este fiit geert..49. Fie H u subgrup l grupului ditiv (Q, ). Să se rte că dcă Q H Z, tuci H Q..5. Fie (G, ) u grup (beli), G o mulţime petru cre există o bijecţie f : G G. Petru x,y G defiim xo y f(f - (x) f - (y)). Să se rte că î felul cest (G, o ) devie grup (beli)..5. Să se demostreze că pe orice itervl deschis şi mărgiit de umere rele se pote defii o operţie lgebrică ce determiă pe itervlul respectiv o structură de grup..5. Fie (G, ) u grup. Să se rte că următorele firmţii sut echivlete : (i) Orice prte stbilă lui G este subgrup l său ; (ii) Petru orice x G, există k N *.î. x k.
.î. :.53. Fie (G, ) u grup, N, 3 şi H, H,,H subgrupuri le lui G ) U H i G i ) H i U H i. i i j Să se rte că petru orice x G, există k N*, k (-)!.î. x k I H. i i.54. Petru orice N * cosiderăm H { k! k Z}. Să se demostreze că: (i) H este subgrup l grupului (Q, ) şi că Q U H ; N * (ii) Dcă G,G,,G m sut subgrupuri le grupului (Q,) şi G i Q, petru orice i m tuci m U G Q. i i.55. Fie N * ir U {z C* : z }. Să se demostreze că U (C *, ), U ir U este grup ciclic (vezi problem.6.)..56. Fie (G, ) u grup comuttiv cu elemetul uitte şi m, N*. Să se rte că : H m H H [m,], ude m ott H {x G x }, H m H {xy x H m, y H }, ir [m,] c.m.m.m.c (m,)..57. Fie (G, ) u grup ir L(G) mulţime subgrupurilor lui G. Să se rte că (L(G), ) este ltice completă..58. Să se rte că î ltice L(Z) petru H mz şi K Z, cu m, N, H K [m,]z ir H K (m,)z. Să se deducă de ici fptul că (L(Z), ) este ltice distributivă..59. Fie G u grup cu propriette că (xy) x y, petru orice x,y G. Să se demostreze că G este comuttiv. 3
.6. Fie G u grup cu propriette că există N *.î. (xy) k x k y k, petru k,,, oricre r fi x,y G. Să se demostreze că G este comuttiv..6. Fie G u grup cu propriette că există N *.î. (xy) k x k y k, petru k,, 4, oricre r fi x,y G. Să se demostreze că G este comuttiv..6. Fie G u grup cu propriette că există m, N *, (m,).î. oricre r fi x,y G, (xy) (yx) şi (xy) m (yx) m. Să se demostreze că G este comuttiv..63. Fie G u grup cu propriette că x 3 şi x y y x, oricre r fi x,y G. Să se demostreze că G este comuttiv..64. Fie G u grup ir x,y G. Notăm [x,y] x - y - xy. Să se demostreze că dcă x,y,z G, tuci: (i) xy yx [x,y] ; (ii) [xy,z] y - [x,z] y [y,z] ; (iii) [x,yz] [x,z] z - [x,y] z ; (iv) y - [[x,y - ],z] y z - [[y,z - ],x] z x - [[z,x - ],y] x. Observţie. [x,y] portă umele de comuttorul lui x şi y..65. Fie X o mulţime evidă ir F(X) {f : X X}. Să se demostreze că reltiv l compuere fucţiilor, F(X) este u mooid ir U(F(X), o ) {f F(X) : f este o bijecţie}. Observţie. Vom ot U(F(X), o ) Σ(X); grupul (Σ(X),o ) portă umele de grupul de permutări supr mulţimii X. Dcă X este o mulţime fiită cu elemete, vom ot Σ(X) pri S..66. Î grupul permutărilor Σ(R) cosiderăm elemetele σ,τ defiite stfel: σ(x) x şi τ(x) x, petru orice x R ir G < σ,τ > Σ(R). Petru N *, fie σ τ - σ τ G şi H < σ > G. Să se demostreze că petru orice, H H ir H U este subgrup fiit geert l lui G. 4 H u.67. Să se determie f : R R cre dmit primitive pe R, cu propriette că mulţime primitivelor lui f este subgrup l grupului bijecţiilor lui R ( î rport cu compuere fucţiilor).
.68. Fie (X,d) u spţiu metric ir Izom(X) {f Σ(X) : d(f(x), f(y)) d(x,y), petru orice x,y X}. Să se demostreze că Izom(X) Σ(X). Observţie. Elemetele lui Izom(X) se umesc izometrii le lui X..69. Fie X E plul euclidi îzestrt cu fucţi distţă uzulă. Vom ot pri Tr(E ) mulţime trslţiilor lui E ir petru u puct fixt O E, Rot(O,E ) mulţime rotţiilor lui E î jurul lui O. Să se demostreze că : (i) Tr(E ) Izom(E ), Rot(O,E ) Izom(E ) ; (ii) Petru orice f Izom(E ), există ρ Rot(O,E ), τ Tr(E ).î. f ρo τ, cu O E..7. Fie (X,d) u spţiu metric, Y X ir S X (Y) {f Izom (X) f(y) Y}. Să se demostreze că S X (Y) Izom(X). Observţie. S X (Y) portă umele de grupul de simetrie l lui Y î rport cu X..7. Petru u umăr turl şi P u poligo regult cu lturi, defiim D S E ( P) ( P fiid coturul lui P ). Fie O cetru lui P, ρ rotţi î jurul lui O de ughi π/ ir ε simetri fţă de u di xele de simetrie le lui P. Să se demostreze că D {, ρ, ρ, ρ 3,, ρ -, ε, ρε,, ρ - ε}. Observţie. Grupul D de ordi portă umele de grupul diedrl de grd..7. Să se demostreze că grupul simetric S este geert de trspoziţiile τ i (i,i), i,,,-..73. Să se demostreze că grupul simetric S este geert de trspoziţiile τ i (,i), i,,,..74. Să se demostreze că petru orice k, grupul simetric S este geert de trspoziţiile (,k), (,k),,(k-,k), (k,k),, (,k)..75. Să se demostreze că grupul simetric S este geert de trspoziţi τ (,) şi ciclul σ (,,,)..76. Să se demostreze că grupul lter A este geert de ciclii de lugime 3. 5
.77. Să se demostreze că grupul lter A este geert de ciclii (,,3), (,,4),,(,,)..78. Să se demostreze că î S vem : (,,,r) (,3,,r,) (r,,,,r-) (r )..79. Să se demostreze că dcă α este u r-ciclu î S, tuci α r e (r ) şi r este cel mi mic umăr turl cu cestă propriette..8. Fie α şi β doi r-ciclii î S (r ). Să se demostreze că dcă există i S.î. α(i) i şi β(i) i ir α k (i) β k (i) petru orice k turl, tuci α β..8. Două permutări α,β S se zic disjucte dcă tuci câd u di ele schimbă u elemet, celltă îl fixeză. Să se demostreze că dcă α (i,i,,i r ), β (j,j,, j s ), r, s, tuci α şi β sut disjucte {i,i,,i r } {j,j,, j s }..8. Să se demostreze că dcă permutările α,β S sut disjucte, tuci αβ βα. A..83. Să se demostreze că S pote fi privit c subgrup l lui.84. Să se demostreze că petru 4, Z(A ) {e}..85. Să se demostreze că petru 3, Z(S ) {e}..86. Să se demostreze că î S două permutări sut cojugte dcă şi umi dcă u ceeşi structură ciclică..87. Să se rezolve î S ecuţi x (,,,)..88. Fie p u umăr prim ir σ S u ciclu de lugime m (m ). Să se demostreze că : (i) Dcă p m, tuci σ p este u ciclu de lugime m, vâd ceeşi orbită c şi σ ; (ii) Dcă p m, tuci σ p este u produs de p cicli disjucţi de lugime m/p..89. Fie p u umăr prim. Să se demostreze că : 6
(i) Dcă σ S este u ciclu de lugime m, ude p m, tuci există τ S u ciclu de lugime m.î. τ p σ ; (ii) Dcă σ,σ,,σ p S sut ciclii disjucţi de ceeşi lugime k, tuci există τ S u ciclu de lugime mkp.î. τ p σ σ σ p..9. Fie u umăr prim, σ S, σ e. Să presupuem că î descompuere î ciclii disjucţi lui σ pr α ciclii de lugime m, α ciclii de lugime m,, α t ciclii de lugime m t (m, m,, m t fiid disticte două câte două) ir m, m,,m k (k t) sut divizibile cu p. Să se demostreze că ecuţi x p σ re soluţie î S α,α,, α k sut divizibile pri p. Aplicţie. Să se studieze comptibilitte ecuţiilor: x 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 î S 9 ; 5 6 7 8 3 9 3 6 4 5 7 9 8 4 x 3 3 4 5 6 7 8 9 î S. 3 6 5 9 7 8 4.9. Dcă p este u umăr prim, p, să se demostreze că ecuţi x p σ re soluţie petru orice σ S, σ e..9. Fie p u umăr prim. Să se demostreze că x S este soluţie ecuţiei x p e x este u produs de ciclii disjucţi de lugime p di S..93. Fie G u grup comuttiv cu elemete. Să se demostreze că orice subgrup l lui G pote fi geert de cel mult elemete..94. Să se demostreze că grupul (Q,) u dmite u sistem de geertori miiml..95. Să se demostreze că orice subgrup fiit geert l lui (Q,) este ciclic (u stfel de grup se umeşte locl ciclic). 7
3. Teorem lui Lgrge. Ordiul uui elemet. Idicele uui subgrup. Subgrupuri ormle. 3.. Fie G u grup fiit.î. Z(G) > G. Să se demostreze că grupul G este comuttiv. 3.. Fie G u grup fiit comuttiv.î. x petru mi mult de jumătte di elemetele lui G. Să se demostreze că x, oricre r fi x G. 3.3. Să se demostreze că îtr-u grup G cu elemete, ude este umăr impr, există cel mult elemete de ordi. că : 3.4. Fie G u grup ir x G u elemet de ordi fiit. Să se demostreze o(x ) o(x), oricre r fi N. 3.5. Să se rte că îtr-u grup beli G există u elemet l cărui ordi este egl cu c.m.m.d.c l ordielor tuturor elemetelor x le lui G. 3.6. Fie G u grup, x,y G.î. xy yx ir x m y (m, N). Să se demostreze că (xy) k, ude k [m,]. Putem ve o(xy) < k? 3.7. Fie G u grup ir x,y G. Să se demostreze că o(xy) o(yx) şi o(x) o(x - ). 3.8. Fie G u grup ir x G u elemet de ordi fiit. Să se demostreze că petru orice m N *, o(x m ) /(m,). 3.9. Fie G u grup şi x,y G cu o(x), o(y) fiite, (, ) ir xy yx. Să se demostreze că o(xy) o(x) o(y). Dcă codiţi (, ) se îlocuieşte cu <x> <y> {}, să se rte că o(xy) [, ]. 3.. Fie G u grup, x G.î. o(x) cu, N *, (, ). Să se demostreze că există şi sut uic determite elemetele y,z G.î. x yz zy şi o(y), o(z). 8
3.. Fie G u grup ir x,y G.î. o(x) m, o(y), (m, N*). Să se demostreze că dcă x şi y comută cu [x, y], tuci [x,y] d, ude d (m,). 3.. Fie (G, ) u grup comuttiv de ordi fiit. Sut echivlete : (i) G este de ordi impr ; (ii) Petru orice G ecuţi x re soluţie uică î G. 3.3. Fie (G, ) u grup fiit. Dcă m şi sut divizori i ordiului grupului, tuci ecuţiile x m şi x u o sigură soluţie comuă dcă şi umi dcă (m,). 3.4. Fie G u grup cu elemete î cre există,b G \ {} disticte.î b. Să se rte că G u este beli. 3.5. Î mooidul multiplictiv M (Z) cosiderăm mtricele: A şi B. Să se demostreze că o(a) 4, o(b) 3 ir o(ab). 3.6. Fie G u grup, H G şi x G.î. o(x) ( N * ). Să se demostreze că dcă x m H petru orice m N *.î. (m, ), tuci x H. 3.7. Fie G u grup comuttiv de ordi. Arătţi că produsul celor elemete le lui G este egl cu produsul tuturor elemetelor de ordi cel mult. Aplicâd cest rezultt grupului multiplictiv (Z p, ) cu p prim, să se demostreze că p (p-)!. Observţie. Coseciţ de l problem 3.7. este dtortă lui Wilso. 3.8. Fie p u umăr prim ir u umăr turl. Să se demostreze că: (i) Dcă p şi >, tuci î grupul U(Z, ) umi elemetele ˆ,ˆ, -, - u ordiul cel mult ; 9
(ii) Dcă p >, tuci î grupul U(Z p, ) umi elemetele ˆ şi -ˆ u ordiul cel mult ; (iii) Să se deducă de ici următorele vrite de geerlizre petru teorem lui Wilso: ) Dcă p este u umăr prim, p > şi u umăr turl, tuci : p ( ) < p (, p) b) Dcă p şi >, tuci : ( < (,) c) Dcă p şi, tuci : ( < (,) ). ). U p. 3.9. Fie p u umăr prim, N* şi U p Să se demostreze că: (i) U p U p U p U (ii) Dcă otăm U p U p C * ; U p {z C * p : z, tuci U p (C *, ); }. (iii) Dcă H (U p, ) este propriu, tuci există N.î. H 3.. Fie A u iel uitr, N,. Notăm GL (A) {M M (A): det(m) U(A, )} şi SL (A) {M M (A): det(m)}. Să se demostreze că GL (A) este u grup reltiv l îmulţire mtricelor ir SL (A) GL (A). Observţie. Grupurile GL (A) şi SL (A) portă umele de grupul liir geerl (respectiv specil) de grd peste ielul A. 3.. Dcă K este u corp fiit cu q elemete, să se demostreze că: GL (K) (q - )(q - q) (q - q - ). 3.. Fie U,V M (Z), U, V. Să se demostreze că U,V SL (Z) ir < {U,V} > SL (Z). 3.3. Fie U,V,W M (Z), U, V, W. 3
Să se demostreze că U,V,W GL (Z) ir < {U,V,W} > GL (Z). 3.4. Fie (G, ) u grup ir L (G) mulţime subgrupurilor ormle le lui G. Să se rte că L (G) este subltice modulră lui L(G). 3.5. Dcă M este u A-modul, tuci ltice (L A (M), ) submodulelor lui M este modulră. 3.6. Fie G u grup, H G.î. H Z(G). Să se demostreze că H < G. 3.7. Fie G u grup ir H < G. Să se demostreze că Z(H) < G. Z(G). 3.8. Fie G u grup şi H<G cu H. Să se demostreze că H 3.9. Fie G u grup, H G.î. G:H.Să se demostreze că H < G. 3.3. Fie G u grup fiit şi N *.î. (, G ). Să se demostreze că oricre r fi x G există şi este uic y G.î. y x. Să se deducă de ici că dcă y,z G şi y z, tuci y z. 3.3. Fie G u grup.î. G:Z(G) ( N * ). Să se demostreze că oricre r fi x,y G vem: [x,y] [x,y ] [y - xy, y] -. 3.3. Dcă orice subgrup propriu l uui grup G este comuttiv, rezultă că grupul G este comuttiv? 3.33. Fie G u grup fiit cu elemete. Să se demostreze că x, petru orice x G. Să se deducă de ici că dcă, N *.î. (,), tuci ϕ() -. Observţie. Coseciţ cestui rezultt este dtort lui Euler 3.34. Fie G {,,, } u subgrup l grupului (C*, ) şi k N*. Să se rte că : (i) G U ; (ii) Există relţi : 3
k k... k,, ( dc k u este multiplu de ( dc k este multiplu de. 3.35. Fie G u grup.î. există A G fiită şi evidă cu propriette că G \ A este u subgrup l lui G. (i) Să se rte că G este fiit şi G A ; (ii) Dcă A este prim, tuci G A su G A. 3.36. Să se demostreze că cel mi mic subgrup orml l lui G ce coţie pe H este subgrupul lui G geert de elemetele de form g - hg cu g G şi h H. Observţie. Cel mi mic subgrup orml l lui G ce coţie pe H se oteză pri N G (H) şi portă umele de îchidere ormlă lui H î G ( su ormliztorul lui H î G). 3.37. Fie A,B,C subgrupuri le grupului G. Să se demostreze că : (i) Dcă A B, tuci B : A (C B) : (C A) ; (ii) G : (A B) G : A G : B ; (iii) (A B) : B A : (A B). 3.38. Fie A,B subgrupuri le uui grup G.î. G : A şi G : B sut fiite şi prime ître ele. Să se demostreze că : (i) G : (A B) G : A G : B ; (ii) Dcă î plus G este fiit, tuci G AB. 3.39. Fie G u grup fiit ir A,B subgrupuri le lui G. Să se demostreze că dcă A : (A B) > G : B, tuci A B G. 3.4. Fie G u grup fiit geert. Să se demostreze că orice subgrup de idice fiit î G este fiit geert. 3.4. Să se demostreze că îtr-u grup G itersecţi uui umăr fiit de subgrupuri de idice fiit este u subgrup de idice fiit. 3.4. Fie G u grup, x G ir C G (x) { y G : xy yx}. Să se demostreze că C G (x) G ir mulţime cojugţilor lui x (dică elemetelor de form x - cu G) re crdilul egl cu G : C G (x). 3
Observţie. C G (x) portă umele de cetrliztorul lui x î G; î geerl, dcă M este o submulţime lui G, defiim C G (M) c fiid itersecţi cetrliztorelor tuturor elemetelor lui M. 3.43. Fie G u grup ir K G. Să se demostreze că C G (K) {} Z(H) {}, oricre r fi H.î. K H G. 3.44. Fie u umăr turl,, K u corp, K Z ir D mulţime mtricelor digole di GL (K). (i) Arătţi că C G (D) D. Deduceţi de ici că Z(GL (K)) {I : K}; (ii) Presupuâd î plus că 3 su K Z 3 să se demostreze că C GL (K) (D SL (K)) D şi deduceţi de ici că Z(SL (K)) SL (K) Z(GL (K)). 3.45. Să se demostreze că petru 3, D re u sigur subgrup de ordi. 3.46. Fie 3. Să se demostreze că dcă este impr, tuci Z(D ) ir dcă este pr, tuci Z(D ). 3.47. Să se demostreze că grupul lter A 4 (cre re ordiul ) u re subgrupuri de ordi 6. Observţie. Acest exerciţiu e rtă că reciproc teoremei lui Lgrge u este devărtă. 4. Morfisme şi izomorfisme de grupuri. Grup fctor. Teorem lui Cuchy. Teoremele de izomorfism petru grupuri. 4.. Fie G, G două grupuri, f,g : G G morfisme de grupuri, G {x G : f(x) g(x)} ir i : G G icluziue coică. Să se demostreze că G G şi că dubletul (G,i) verifică următore propriette de uiverslitte: (i) f o i g o i; (ii) Dcă G este u lt grup, i : G G u morfism de grupuri.î. f o i g o i, tuci există u uic morfism de grupuri u : G G.î. i o u i. Observţie. Dubletul (G,i) se oteză pri Ker(f,g) şi portă umele de ucleul perechii de morfisme (f,g). 33
Dcă g este morfismul ul (dică g(x), petru orice x G ), coveim să otăm Ker(f) Ker(f,) {x G : f(x) } ( fără mi specific morfismul icluziue). 4.. Fie G, G două grupuri, f : G G u morfism de grupuri. Să se demostreze că următorele firmţii sut echivlete: (i) f este plicţie ijectivă; (ii) Ker(f) {}. 4.3. Fie G, G două grupuri, f : G G u morfism de grupuri. Să se demostreze că următorele firmţii sut echivlete: (i) f este plicţie ijectivă; (ii) Dcă G este u lt grup şi g,h : G G sut morfisme de grupuri.î. f o g f o h, tuci g h. Observţie. Acest exerciţiu e rtă că î ctegori grupurilor, moomorfismele sut exct morfismele ijective. 4.4. Fie G, G două grupuri, f : G G u morfism de grupuri. Să se demostreze că următorele firmţii sut echivlete: (i) f este plicţie surjectivă; (ii) Dcă G 3 este u lt grup şi g,h : G G 3 sut morfisme de grupuri.î. g o f h o f, tuci g h. Observţie. Acest exerciţiu e rtă că î ctegori grupurilor, epimorfismele sut exct morfismele surjective. 4.5. Fie M u mooid comuttiv cu propriette că dcă x,y M şi xy xz tuci y z. Să se demostreze că există u grup G M şi u morfism ijectiv de mooizi i M : M G M.î. petru orice grup beli G şi orice morfism de mooizi u : M G există u uic morfism de grupuri u : G M G.î. u o i M u. Observţie. Acest rezultt este dtort lui Mlţev. 4.6. Fie M (, ) şi o operţie lgebrică pe M, o : M M M, defiită stfel: x o y xy x by c (,b,c R). Să se determie,b,c ştiid că ( M, o ) este grup şi să se rte că (M, o ) este izomorf cu (R,). 4.7. Fie G u subgrup eul l lui grupului (R,) cu propriette că G (-,) este mulţime fiită, oricre r fi R, >. Să se rte că grupul (G,) este izomorf cu grupul (Z,). 34
4.8. Îtr-u grup (G, ) se cosideră submulţimile: H {x G x }, N *. Să se rte că: (i) H este subgrup l lui G xy yx petru orice x,y H ; (ii) Dcă p este u umăr prim cu propriette că H p re cel mult p elemete, tuci H p {} su H p este subgrup l lui G izomorf cu grupul (Z p,). 4.9. Fie G (, ) \{} şi G, α R *. Defiim pe G operţi lgebrică: α log y xo y x şi otăm cu G,α (G, o ). Să se rte că : (i) G,α este grup beli; (ii) Dcă b G, β R * tuci grupurile G,α şi G b,β sut izomorfe. 4.. Arătţi că mulţime M mtricelor de form ch sh A, R, formeză u grup multiplictiv izomorf cu (R, ). sh ch 4.. Fie mulţimile: b 3b M A M ( Q), b,, b Q şi b b G { x Q( ) x b, b,,b Q}. Să se rte că : (i) (M, ) şi (G, ) sut grupuri î rport cu operţiile de îmulţire obişuite ; (ii) Avem izomorfismul de grupuri (M, ) (G, ). x y 4.. Fie T mulţime mtricelor de form ude x şi y y x prcurg mulţime Z 3 clselor de resturi modulo 3. (i) Determiţi umărul elemetelor mulţimii T; (ii) Să se determie mulţime G mtricelor x y y x di T.î. x y ˆ ; (iii) Arătţi că mulţime G formeză u grup fţă de operţi de îmulţire mtricelor ; 35
36 (iv) Arătţi că grupul G este izomorf cu grupul ditiv (Z 4,) l clselor de resturi modulo 4. 4.3. (i) Fie M,,, i b R b ib ib. Arătţi că M este u grup î rport cu îmulţire mtricelor, izomorf cu grupul (C*, ) ; (ii) Dcă A i i, clculţi A (folosid evetul izomorfismul ditre grupurile (C*, ) şi (M, )). 4.4. Să se rte că : (i) Mulţime M Z k k D k, formeză grup î rport cu operţi de îmulţire mtricelor, grup izomorf cu grupul (Z,) ; (ii) Mulţime M Z k k M k, este grup beli î rport cu îmulţire mtricelor, izomorf cu (Z,) ; (iii) Mulţime M R A, este subgrup l grupului mtricelor iversbile di M (R), izomorf cu (R,). 4.5. Fie M R M, ) ( ) (. (i) Să se rte că (M, ) este grup izomorf cu (R *, ); (ii) Să se clculeze [M()], R*. 4.6. Să se demostreze că mulţime: G R z y x z y x,, este grup î rport cu îmulţire mtricelor, ir grupul utomorfismelor lui G este ifiit.
4.7. Petru fixt, se oteză cu M mulţime mtricelor A M (R) de form : x... x x... x x... x A(x) cu x................ x... x x... x Să se rte că : (i) M este grup beli fţă de îmulţire mtricelor ; (ii) Grupurile (M, ) şi (R *, ) sut izomorfe. 4.8. Fie α R fixt şi A siα (i) Să se clculculeze A 3 ; cosα siα cosα. (ii) Petru x R defiim A x I 3 xa x A. Să se rte că G { A x x R} este grup beli î rport cu îmulţire mtricelor; (iii) (G, ) (R,). db 4.9. Fie M d, b R, db, ude d R este u umăr b rel fixt. Să se determie vlorile lui d petru cre (M d, ) este grup izomorf cu grupul (C*, ). 4.. Fie G mulţime mtricelor pătrtice de ordi vâd pe fiecre liie câte u elemet egl cu şi celellte elemete egle cu şi celşi lucru vlbil şi pe coloe. Să se demostreze că G este grup reltiv l operţi de îmulţire mtricelor ir G S. 4..Se cosideră (G, o ) şi (R, ) ude G (3, ) şi xo y xy 3x 3y, oricre r fi x,y G. Să se rte că : (i) (G, o ) este u grup beli ; 37
(ii) Să se determie,b R.î. f : R (3, ), f(x) x b să fie u izomorfism de grupuri ; (iii) Să se clculeze x, ude x G şi N*. 4.. G (5, ) şi lege o defiită pri xo y xy 5x 5y 3, oricre r fi x,y G. Să se rte că : (i) (G, o ) este u grup beli; (ii) (G, o ) (R, ); (iii) (G, o ) (R,) ; (iv) Să se clculeze x, ude x G şi N*. 4.3. Fie S { A M (R) A I este iversbilă}. Pe S defiim o stfel: Ao B A B AB. Să se rte că (S, o ) este grup izomorf cu grupul mtricelor de ordi cu elemete rele, iversbile. 4.4. Spuem că grupul (G, ) re propriette g() dcă coţie cel puţi elemete şi oricre r fi x, x,,x G \ {} există x G.î. x x x x. Să se rte că: (i) Dcă (G, ) re propriette g(), tuci, petru orice x G, există y G.î. x y ; (ii) Grupul (R *, ) re propriette g(); (iii) (R *, ) (R*, ). 4.5. Fie G u grup petru cre f : G G, f(x) x 3 este u morfism de grupuri. Să se rte că : (i) Dcă f este u morfism ijectiv, tuci (G, ) este beli ; (ii) Dcă f este u morfism surjectiv, tuci (G, ) este beli. 4.6. Fie (G, ) u grup şi H u subgrup propriu l său. Să se rte că x, x H fucţi f : G G, f(x) re propriette că duce subgrupuri î, x G \ H subgrupuri, dr u este morfism de grupuri. 4.7. Fie G,G grupuri, f:g G morfism de grupuri şi x G. Să se demostreze că : (i) Dcă o(x) N * o(f(x)) ; 38
(ii) Dcă f este izomorfism de grupuri, tuci o(f(x))o(x). 4.8. Fie G,G două grupuri, (G comuttiv) ir Hom(G,G ) { f: G G f morfism de grupuri}. Petru f,g Hom(G,G ) defiim fg:g G pri (fg)(x)f(x) g(x). Să se demostreze că : (i) Dubletul (Hom(G,G ), ) este grup comuttiv ; (ii) Dcă G (Z,), tuci Hom(Z,G ) G ; (iii) Dcă G (Z m,), G (Z,), tuci Hom(Z m,z ) Z d, ude d (m,), (m, N * ). 4.9. Fie mulţime G { f : (, ) (, ), f (x) (x-), Z}. Să se rte că (G, o ) este grup beli izomorf cu grupul beli (Z,). 4.3. Fie grupul (Z,). Să se rte că : (i) Fucţiile f m : Z Z defiite pri f m (x) mx sut morfisme de grup ; (ii) Orice morfism de l (Z,) l (Z,) este de cest tip ; (iii) Să se determie utomorfismele grupului (Z,). 4.3. Fie k>. Pe mulţime G (-k,k) se defieşte operţi lgebrică k ( b) o b. Să se rte că: k b (i) (G, ) este grup beli; (ii) Fucţi f : G R, f(t) de l (G, o ) l (R,). t k x 4.3. Pe R cosiderăm operţi lgebrică x y dx este u izomorfism de grupuri y y. x x Să se rte că (R, ) este grup comuttiv, izomorf cu (R,). 4.33. Fie R* fixt, M { -rctg kπ k Z}, grupurile G (R,) şi H (R*, ) ir f : G H o fucţie defiită pri: tgx, x M f(x) si x cos x, x G \ M 39.
(i) Arătţi că există u subgrup G l lui G petru cre restricţi f G lui f l G este morfism de grupuri ; (ii) Determiţi reuiue subgrupurilor G cu propriette de l (i). 4.34. Să se demostreze că grupul Hom(Q, Z) este ul. ul. 4.35. Să se demostreze că dcă, tuci grupul Hom(Z,Z) este 4.36. Fie G u grup fiit ir f:g G u morfism de grupuri ce u re pucte fixe etrivile (dică f(x) x x ) şi fo f G. Să se demostreze că G este comuttiv. 4.37. Fie G u grup comuttiv.î. sigurul utomorfism l său este cel idetic. Să se rte că x, oricre r fi x G. 4.38. Fie G u grup cu propriette că plicţiile f(x) x 4 şi g(x) x 8 sut utomorfisme le lui G. Să se rte că G este beli. 4.39. Fie (G, ) u grup şi f Ed (G). (i) Dcă plicţiile x xf(x) şi x x f(x) sut edomorfisme le lui G, tuci G este beli; (ii) Dcă plicţiile x x f(x) şi x x 4 f(x) sut edomorfisme le lui G, tuci G este beli. 4.4. Fie (G, ) u grup fiit şi f Aut(G). Să se demostreze că f re u sigur puct fix dcă şi umi dcă fucţi F : G G, F(x) x - f(x) este bijectivă. 4.4. Fie (G, ) u grup, f,g : G G edomorfisme şi H G u subgrup propriu. Dcă f g pe G \ H, tuci f g pe G. 4.4. Fie G u grup şi presupuem că există N,.î. f : G G, f(x) x, petru orice x G este u utomorfism l lui G. Să se demostreze că petru orice x G x - Z(G). 4.43. Fie (G, ) u grup. Dcă există N * stfel îcât fucţiile f, g : G G, f(x) x, g(x) x să fie morfisme surjective de grup, tuci grupul G este beli. 4
4.44. Să se demostreze că sigurul morfism de grupuri de l grupul (Q,) l grupul simetric (S, o ) este cel ul ( N * ). 4.45. Fie p u umăr prim, p. Să se demostreze că sigurul morfism de grupuri de grupul (Z p,) l grupul (Z p, ) este cel ul. 4.46.. Defiiţi pe (,) R o operţie cre să cofere cestei mulţimi structură de grup izomorf cu grupul multiplictiv l umerelor rele strict pozitive ((, ), ). grupul (Q *, ). 4.47. Să se determie tote morfismele de grupuri de l grupul (Q,) l 4.48. Să se rte că grupul (Q, ) u este izomorf cu ici u subgrup propriu l său. 4.49. Fie G u grup şi petru G, ϕ : G G, ϕ (x) x -. (i) Să se demostreze că petru orice G, ϕ Aut(G) ; (ii) Aplicţi ϕ:g Aut(G), ϕ() ϕ, este morfism de grupuri ir Ker(ϕ) Z(G); (iii) Dcă otăm Im(ϕ) I(G), să se rte că I(G) G este comuttiv. Observţie. ϕ portă umele de utomorfism iterior l lui G. 4.5. Fie G u grup. Să se demostreze că dcă Z(G) {}, tuci şi Z(Aut(G)) {}. 4.5. Să se determie tote grupurile cre dmit u sigur utomorfism. 4.5. Să se determie tote grupurile comuttive şi fiite cre u u umăr impr de utomorfisme. 4.53. Să se demostreze că u grup ciclic este izomorf cu (Z,) su cu (Z,), după cum grupul respectiv este ifiit su re elemete. 4.54. Să se demostreze că dcă u grup re u umăr fiit de subgrupuri, tuci şi el este fiit. 4.55. Arătţi că orice grup ifiit re o ifiitte de subgrupuri disticte. 4
4.56. Să se demostreze că u grup cu 4 elemete este izomorf cu Z 4 su cu grupul lui Klei, ir Z 4 K. 4.57. Fie G u grup cu propriette că G se scrie c reuiue de trei subgrupuri diferite de G, ditre cre două u câte două elemete. Să se rte că G este izomorf cu grupul lui Klei. 4.58. Să se demostreze că u grup cu 6 elemete este izomorf cu Z 6 su cu S 3, ir Z 6 S 3 (vezi problem 4.75.). 4.59. Să se demostreze că grupurile ditive (Z,), (Q,) şi (R,) u sut izomorfe două câte două. 4.6. Să se demostreze că grupurile ditive (R,) şi (C,) sut izomorfe. 4.6. Să se demostreze că grupurile multiplictive (Q *, ), (R *, ) şi (C *, ) u sut izomorfe două câte două. 4.6. Fie Q {x Q : x >} şi R {x R : x >}. Să se demostreze că: (i) Q (Q*. ) şi R (R*, ) ; (ii) (R, ) (R,), (Q, ) (Q,). 4.63. Să se demostreze că grupurile (Z,) şi (Q *, ) u sut izomorfe. 4.64. Să se rte că (Q,) u este izomorf cu grupul (Q[i],) (Q[i] { bi C,b Q}). 4.65. Să se demostreze că grupurile (Z,) şi (Z[X],) u sut izomorfe. 4.66. Să se demostreze că grupurile ditive (Q,) şi (Q[X],) u sut izomorfe. 4
4.67. Să se demostreze că grupurile ditive (Z[X],) şi (Q[X],) u sut izomorfe. 4.68. Determiţi edomorfismele grupului (R,) itegrbile pe [-b,b], ude b > este u umăr rel fixt. 4.69. Să se rte că orice grup de mtrice di M (C) î rport cu îmulţire mtricelor, l cărui elemet eutru este diferit de I, este izomorf cu u subgrup l grupului (C *, ) 4.7. Fie (K,, ) u corp etrivil ( ). Să se demostreze că grupurile (K,) şi (K *, ) u sut izomorfe. 4.7. Fie G u grup.î. G/Z(G) este ciclic. Să se rte că G este grup beli. 4.7. Fie G u grup, H< G şi presupuem că H m N *. Cosiderăm de semee x G şi N *.î. (m,). Să se demostreze că: (i) Dcă o(x), tuci o(xh) (xh privit c elemet î G/H); (ii) Dcă o(xh) (î G/H), tuci există y G.î. o(y) şi xh yh. fiit. ifiit. 4.73. Fie G u grup comuttiv ir H subgrupul elemetelor de ordi Să se demostreze că î G/H orice elemet diferit de re ordiul 4.74. Fie G u grup fiit, p u umăr prim, p.î. p G. Să se demostreze că există x G.î. o(x) p (echivlet cu există H G.î. H p). Observţie. Acest rezultt este dtort lui Cuchy. 4.75. Fie p u umăr prim, p. Să se demostreze că orice grup ecomuttiv cu p elemete este izomorf cu grupul diedrl D p. 4.76. Fie G u grup fiit ir p u umăr prim, p. Să se demostreze că următorele firmţii sut echivlete: (i) Ordiul oricărui elemet l lui G este o putere turlă lui p; (ii) G este o putere turlă lui p. 43
Observţie. U grup î cre ordiul oricărui elemet este o putere turlă lui p se zice p-grup. 4.77. Fie p u umăr prim, p. Să se demostreze că dcă G este u p-grup fiit, tuci Z(G) p. 4.78. Fie p u umăr prim, p. Să se demostreze că orice grup fiit cu p elemete este comuttiv. 4.79. Să se determie tote grupurile G cu propriette că orice utomorfism, diferit de cel idetic, dmite u puct fix. 4.8. Cosiderăm Z (Q,). (i) Să se descrie grupul cât Q/Z şi să se demostreze că orice elemet di cest grup re ordi fiit ; (ii) Să se rte că petru orice umăr turl, Q/Z re u sigur subgrup de ordi ir cest este ciclic. 4.8. Fie G u p grup fiit cu G p m (m N). Să se demostreze că există subgrupurile ormle G,G,, G m le lui G.î. G < G < < G m G şi G i p i petru orice i m. 4.8. Crcterizţi grupurile fiite cu propriette că tote subgrupurile sle proprii u celşi umăr de elemete. 4.83. Cosiderăm Z (R,) şi T {z C* : z }. Să se demostreze că: (i) T (C *, ) şi R/Z T ; (ii) C * /T (R, ) ; (iii) R (C*, ) şi C * /R T ; (iv) R (R,) şi C/R (R,). 4.84. Fie N* şi A {,,, }. Costruiţi u izomorfism ître grupurile (P(A), ) şi (M (Z ), ). 4.85. Fie N, 3 ir Q u grup de ordi geert de două elemete şi b ce verifică relţiile: b (b). 44
Să se demostreze că dcă G este u grup de ordi geert de două elemete şi b ce verifică relţiile, bb - - şi b, tuci G Q. Observţie. Q 3 (cre se mi oteză şi pri Q su C 8 ) portă umele de grupul quterioilor ir Q ( 4) de grupul geerlizt l quterioilor. 4.86. Î mooidul multiplictiv M (C) cosiderăm mtricele: i j, k i ir G <j,k>, J <j>, K <k>. Să se demostreze că G 8, J K 4, J,K< G ir G Q 3. 4.87. Î mooidul multiplictiv M (C) cosiderăm mtricele: i A, B i ir G <A,B>. Să se demostreze că G Q 3. 4.88. Cosiderăm mulţime G {±, ±i, ±j, ±k} cu următore regulă de multiplicre: i j k -, ij k, jk i, ki j, ji -k, kj -i, ik -j, - şi fiid supuse multiplicării obişuite. Să se demostreze că G Q 3. 4.89. Să se crcterizeze Z(Q 3 ). 4.9. Să se demostreze că Q 3 /Z(Q 3 ) este comuttiv. 4.9. Să se demostreze că Q 3 D 4. 4.9. Să se demostreze că u grup ecomuttiv cu 8 elemete este izomorf cu Q 3 su cu D 4. 4.93. Să se demostreze că dcă G este u grup, tuci G/Z(G) I(G). 4.94. Fie N* şi K u corp. Să se rte că plicţi α : GL (K) GL (K), α(a) (A t ) -, oricre r fi A GL (K) este corect defiită şi că α Aut(GL (K)). Demostrţi de semee că dcă K u este Z su Z 3, tuci α u este utomorfism iterior l lui GL (K). 45
4.95. Să se demostreze că umărul structurilor de grup ce se pot defii pe o multime cu elemete, izomorfe cu o structură de grup fixt (G, ) este egl cu!/ Aut(G, ). 4.96. Să se demostreze că umărul structurilor de grup ciclic ce se pot defii pe o mulţime cu elemete este egl cu! / ϕ(), ude ϕ este idictorul lui Euler. Să se deducă de ici că umărul structurilor de grup ciclic ce se pote defii pe o mulţime cu elemete ( prim) este egl cu (-)!. 4.97. Să se demostreze că (Q,) este divizibil. 4.98. Să se demostreze că dcă p este u umăr prim, tuci grupul U, ) este divizibil (vezi problem 3.9.). ( p 4.99. Să se demostreze că orice grup comuttiv divizibil coţie u subgrup izomorf cu (Q, ) su cu u grup de form ( U, ) cu p prim (vezi problem 3.9.). 4.. Să se demostreze că orice grup fctor l uui grup divizibil este divizibil. 4.. Să se demostreze că î ctegori grupurilor beliee obiectele ijective sut exct grupurile divizibile 5. Produse directe de grupuri 5.. Dcă H,K sut grupuri, să se demostreze că H {} < H K şi {} K < H K. 5.. Să se demostreze că dcă {G i } i I este o fmile fiită de grupuri, tuci Z( G i ) Z(G i ). i I i I Să se deducă de ici că u produs direct de grupuri este comuttiv dcă şi umi dcă fiecre di fctorii produsului este comuttiv. 5.3. Fie G u grup ir Ĝ G {(x,x) : x G}. Să se demostreze că : (i) Ĝ G G, Ĝ G; (ii) Ĝ < G G G este comuttiv; 46 p
(iii) N G G ( Ĝ ) Ĝ Z(G). 5.4. Fie G u grup ir H,K < G.î. G H K. Să se demostreze că G/(H K) G/H G/K. 5.5. Fie H,K două grupuri, J< H, L< K. Să se demostreze că (J L) < H K şi (H K) / (J L) H/J K/L. 5.6. Să se demostreze că (C *, ) (R *, ) (T, ). 5.7. Să se demostreze că (Q *, ) (Q *, ) ({-,}, ). 5.8. Să se demostreze că (R *, ) (R *, ) ({-,}, ). 5.9. Să se demostreze că (C *, ) (R,) (R/Z,). 5.. Să se demostreze că (C,) (R,) (R,). 5.. Să se demostreze că : (i) (R,) (R,) (R,) ; (ii) (Q,) (Q,) (Q,). 5.. Să se demostreze că (Q *, ) (Z,) (Z[X],). 5.3. Să se demostreze că grupul (Z,) (Z,) u este ciclic. 5.4. Să se descrie subgrupurile grupului (Z,) (Z,). 5.5. Să se demostreze că dcă este u umăr turl,, tuci grupul (Z,) (Z,) u este ciclic. b 5.6. Fie K u corp ir H c :, b, c K. Să se demostreze că : H GL 3 (K), Z(H) (K,) şi H/Z(H) (K,) (K,). 47