γ λυκειου ` κεφαλαιο κεφαλαιο κεφαλαιο κεφαλαιο κεφαλαιο κεφαλαιο διαφορικος λογισμος επιμελεια : τακης τσακαλακος T Ш τ 7
... η εννοια της συναρτησης... παραγωγισιμες συναρτησεις - παραγωγος συναρτηση... κανονες παραγωγισης... ρυθμος μεταβολης... θεωρημα μεσης τιμης διαφορικου λογισμου... συνεπειες θεωρηματος μεσης τιμης... τοπικα ακροτατα συναρτησης... κυρτοτητα - σημεια καμπης συναρτησης... ασυμπτωτες - κανονες de l' hospital... μελετη και χαραξη της γραφικης παραστασης μιας συναρτησης T Ш τ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Διαφορικός Λογισμός Θ Ε Ω Ρ Ι Α... ΟΡΙΣΜΟΣ Π α ρ ά γ ω γ ο ς σ ε σ η μ ε ί ο Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α και σημείο A. Η f λέγεται π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο, αν υπάρχει το όριο lim f()-f( ), και είναι πραγματικός αριθμός. - Το όριο αυτό λέγεται π α ρ ά γ ω γ ο ς της f στο και συμβολίζεται f ( ). Έτσι: f ( ) = lim f()-f( ) - Άλλος ορισμός: f ( ) = f( +h)-f( ) lim Ο h (θέσαμε = + h, οπότε h = - και h ). h Παράγωγος : ο παραγόμενος από το πρωτότυπο (ετυμολογικά) Η παράγωγος μίας συνάρτη- σης με πραγματική μεταβλη- τή είναι ένα μέτρο που εκ- φράζει τη μεταβολή της τι- μής της συνάρτησης (μία συνάρτηση ή εξαρτημέ- νη μεταβλητή - πρωτότυπο), που προσδιορίζεται από μία άλλη ποσότητα (ή ανεξάρτη- τη μεταβλητή). Η ποσότητα f()-f( ), στον ορισμ ό, παραπέμπει σε κλίση - της ευθείας που ορίζεται από τα σημεία Α(, f()) και Β(, f( )) To lim πριν απ το κλ άσμα f()-f( ) - παραπέμπει σε στιγμιαία μεταβολή (όσο το χ πλησι άζει το ), οπότε η παράγωγος Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 7 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Διαφορικός Λογισμός περιγράφει την καλύτερη γραμμική προσέγγιση της συνάρτησης κοντά στο. Η ύπαρξη του ορίου εξασφαλίζει ότι το πρότυπο (συνάρτηση) έχει την ικανότητα να παράγει, δηλαδή εξασφαλίζει την ύπαρξη της παραγ ώγου, ενώ η τιμή της στη θέση είναι πραγματικός αριθμός. Σε αντίθετη περίπτωση, αν δεν υπάρχει το όριο η αν είναι ίσο με + -, τότε η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη.. Στο παράδειγμα σχ. 8 ~ - - lim lim f()-f( ) f()- f( ) f()- f( ) - lim lim f()-f( ) - Άρα υπάρχει το όριο αριθμός αφού εφφ f()-f( ) lim και είναι πραγματικός - Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση f, στο σχ., έχει τύπο f()=+, και είναι συνεχής στο χ = f() f()-f() +- lim lim - f() f()-f() +- lim lim - f()-f() lim = f()-f() lim - Στο παράδειγμα σχ.3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 7 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Διαφορικός Λογισμός Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δ ο σ μ έ ν α Ο τύπος της συνάρτησης f ή σχέση της f() Α ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η Στη περίπτωση " εύρεση μονοτονίας συνάρτησης f... " Προσδιορίζουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f εξετάζουμε τη συνέχεια της συνάρτησης f στο πεδίο ορισμού της βρίσκουμε την f'() βρίσκουμε τα χ για τα οποία f'()=, f'()> και f'()< κατασκευάζουμε πίνακα προσήμου της f'() και στα διαστήματα που η f'()>, η f είναι γνησίως αύξουσα f'()<, η f είναι γνησίως φθίνουσα Στη περίπτωση "παρ άμετρος... πολλαπλός τύπος της f" εξετάζουμε τη συνέχεια της συνάρτησης f στο σημείο αλλαγής τύπου κάνουμε τα παραπάνω, για κάθε κλάδο ξεχωριστά κατασκευάζουμε συγκεντρωτικό πίνακα προσήμου f'() Στη περίπτωση " παράμετρος από τη μονοτον ία της f... " αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, απαιτούμε f'() αν η συνάρτηση f είιναι γνησίως φθίνουσα, απαιτούμε f'() βρίσκουμε την f'() Π α ρ α τ ή ρ η σ η Στο πίνακα προσήμου της f' τα διαστήματα δημιουρ - γούνται από τις ρίζες της f'()= και τα σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης f Αν δεν είναι εφικτή η εύρεση του προσήμου της f'(), βρίσκουμε το πρόσημο παραγώγου ανώτερης τάξης και από την μελέτη (μονοτονία κλπ) φτάνουμε σε προσδιορι - σμό του προσήμου της f'(). Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 7 67
ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Διαφορικός Λογισμός ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Να μελετηθεί, ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση με τύπο f()=ln( -6+8) Πεδίο ορισμού : Πρέπει -6+8> ` (-)(-4)> ` τότε < > 4 Α f=(-, ) (4, + ) Για κάθε χ f'()=(ln( Α f = ( -6+8)' -6+8-6 = -6+8-6+8))' Εύρεση προσήμου f' Oι ρίζες του τριωνύμου -6+8 είναι και 4 και του διωνύμου είναι το 3. Ο διπλανός πίνακας δείχνει το πρόσημο του πηλίκου τους. Το πρόσημο της f' και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα H f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-, ) H f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (4, + ) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 7 68
ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Διαφορικός Λογισμός Γ Ι Α Π Ρ Ο Π Ο Ν Η Σ Η.... Να μελετηθούν, ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις με f()=χ-ln(+) g()=-+ln. Να μελετηθούν, ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις με f()=6e χ + 3-3 -6, χ g()=εφχ(+συνχ)-χ, χ (, ) 3. Να προσδιοριστεί η παράμετρος α, ώστε οι συναρτήσεις f, g, με τύπο f()= 3 3 + 3α + (3α + 4) + 3 g ()= ( - +a) e χ να είναι γνησίως αύξουσες στο. 4. Να μελετηθούν, ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις με f()= 3-9 ++, + 6+, g()= 3 +3 +, ln, 5. Να μελετηθούν, ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις με f()= +4, ή 4 3-4, < < 4 g()= +3+, -+5, 6. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f()= e χ ++, χ α) Να μελετηθεί, ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 7 34
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Διαφορικός Λογισμός. ΕΠΙΛΟΓΗΣ α) Αν για την συνάρτηση f : ισχύει : f()- (-) για κάθε χ, να δείξετε ότι η f εί- ναι παραγωγίσιμη στο. β) Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : * ισχύουν : f'()= +, για κάθε * και f() = f(-) = 3 ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g()=f()- ln είναι σταθερή σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της ) Να βρείτε τον τύπο της f γ) Αν για την συνάρτηση h()= 4 + 3 +α, χ, ισχύει h() α + 3 για κάθε χ, να βρείτε τον αριθμό α και μετά να μελετήσετε την h ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. α) Για τη συνάρτηση f: ισχύει : f()- (-) () Από την (), για =, έ- χουμε : f()- f()- =` f()-= f()= Από την (), για, έ- χουμε : f( ) = f()- - - > f()-f()+- - f()-f()-( -) - f()-f()-( -) - - - f()-f() -(+) - - f()-f() - - -(+) - - Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 7 44
ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Διαφορικός Λογισμός (+) - - Όμως f()-f() - lim (+) - - = +-= lim (+) + - = +-= (+) + - και () Και λόγω της () (από κριτήριο παρεμβολής) θα είναι και f()-f() lim = - Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο = με f () = β) Η συνάρτηση g() = f() - -ln ορίζεται στο * και σαν άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο * με g () = f () - = (αφού f () = + από υπόθέση). Επομένως η συνάρτηση g ως συνεχής στο (-, ) με g () = για κάθε (-, ), η g είναι σταθερή στο (-, ). Όμοια και στο (-, ). Άρα η g είναι σταθερή σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της. β) Αφού η g είναι σταθερή στο (- αριθμός c (-, ), τέτοιος ώστε g() = c f()--ln = c (3) Για = - η (3) δίνει : f(- )+-ln= c c = 5 (f(- ) = 3). Επομένως η (3) γίνεται :, ), θα υπ άρχει σταθερός f()--ln =5 f()=+ln + 5 για κάθε (-, ). Ομοιa, αφού g είναι σταθερή στο (, + ) υπάρχει σταθερός αριθμός c (, + ), ώστε g() = c f()--ln = c. Όμοιa f() = 3 και για = : f()--ln= c c =, οπότε f()--ln = f()=+ln + +ln + 5, < Άρα ο τύπος της f είναι : f()= +ln +, > Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 7 45
ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Διαφορικός Λογισμός γ) Από τον τύπο της συνάρτησης h() = 4 + 3 + α, (-, ), έχουμε h() = 3 + α, οπότε η δοσμένη σχέση h() α + 3 γίνεται h() h() () για κάθε (-, ), που σημαίνει ότι η h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = και επειδή είναι παραγωγίσιμη στο = (πολυωνυμική) θα ισχύει (θεώρημα Fermat) h () =. 3 Όμως h ()=4 +6 +α οπότε h () = 4 + 6 + α = α = - Για α = - 4 3 h()= + - και h () = 4 3 + 6 - Horner = ( - )(4 + 4 + ) h () = = (αφού η διακρίνουσα του τριωνύμου 4 + 4 + είναι Δ = 6 6 < ). Αφού h () > για > και h () < για < και η h συνεχής στο, τότε το πρόσημοτης h' και η μονοτονία της h φαίνονται στο πίνακα η h είναι γνήσια αύξουσα στο [, + ) η h είναι γνήσια φθίνουσα στο (-, ] παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = με τιμή h() = - 7 (h () = ) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 7 46
` κεφαλαιο 7 τακης τσακαλακος T Ш τ κεφαλαιο κεφαλαιο κεφαλαιο κεφαλαιο κεφαλαιο