Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu 5. a. kevadsemester

. Kahe ja kolme muutuja funktsiooni määramispiirkond, selle raja, kinnisus ja lahtisus. Olgu X ja Y hulgad. Kujutus e. funktsioon f : X Ñ Y ðñ eeskiri, mis hulga X igale elemendile sea vastavusse kindla elemendi f pq hulgast Y. X kujutuse f lähtehulk (e. määramispiirkond), Y kujutuse f sihthulk, f px q tf pq: P X u kujutuse f väärtuste hulk (e. muutumispiirkond). Olgu f : X Ñ Y ja g : U Ñ V. f g ðñ $ & % X U, Y W, @ P X U f pq gpq. Teatavasti R m tp,..., m q:,..., m P Ru. Sageli tähistame hulga R m elemente ka suurte tähtedega, näiteks X p,..., m q. Olgu X,Y PR m. }Y X} py q... py m m q (punktide X ja Y vaheline kaugus). Olgu δ ning A P R m. U δ paq tx P R m : }X A} δu (punkti A δ-ümrus). Olgu D R m. A on D sisepunkt A on D rajapunkt ðñ Dδ U δ paq D. ðñ @δ " Uδ paqxd H, U δ paqxpr m zdq H. D tx P R m : X on D sisepunktu (hulga D sisemus), BD tx P R m : X on D rajapunktu (hulga D raja). Lause. D D. Lause. Hulga R m iga punkt kuulu täpselt ühte kolmest hulgast: D, BD, pr m zdq. D on lahtine ðñ D D. D on kinnine ðñ BD D. 3

Olgu D R, f : D Ñ R. Gr f tp, y, f p, yqq: p, yq P Du (funktsiooni f graafik). Analoogiliselt ineeritakse funktsiooni graafik, kui D R m.. Leidke järgmiste funktsioonide määramispiirkonnad D ja joonistage need. Leidke hulgad BD. Määrake, millised hulkadest D on kinnised ja millised on lahtised.? a) f p, yq y; ) f p, yq 4 y ; c) f p, yq lnp4 y q; d) f p, yq lnp yq; e) f p, yq lnp yq ln ; f) f p, yq 3 p yq ; g) f p, yq a e arccos y; h) f p, yq y ; i) f p, yq p yq ; j) f p, yq lnp yq sin ; k) f p, yq a? ; y lnp q l) f p, yq lnp yq ; m) f p, yq lnp y 3 q y ; n) f p, yq lnp y 4 q y ; o) f p, yq a y sin ; p) f p, yq cosp y 3q; q) f p, yq lncosp y q; r) f p, yq sinp y q; s) f p, yq arcsin y ; t) f p, yq a sinπ sinπy 6 py 4q. 4 4. Millistes järgmistes paarides on samad funktsioonid ja millistes erinevad? a) f p, yq y, gp, yq y sgn sgn y; ) f p, yq ln ln y, gp, yq lnp yq; c) f p, yq y, gp, yq? y; d) f p, yq y, gp, yq y y ; e) f p, yq lnp y q, gp, yq ln y ; f) f p, yq lnp yq, gp, yq lnp? yq; g) f p, yq y, gp, yq e ln y. 3. Määrake määramispiirkonnad D nii, et järgmistes paarides oleksid samad funktsioonid. a) f p, yq ln ln y, gp, yq ln ln y; ) f p, yq?? y, gp, yq? y; c) f p, yq ye e y, gp, yq ye y. 4. Arvutage järgmiste funktsioonide väärtused antud punktides A, B ja C. a) f p, yq y arctanp yq, A p,q; ) f p, yq y arctanpy q, B p,q; π c) f p, yq lnpsin cos yq, C,. 5. Joonistage järgmiste funktsioonide graafikud. a) f p, yq y, kus y ; ) f p, yq y, kus f p, yq 4; c) f p, yq y, kus, y ; d) f p, yq y, kus f p, yq. 4

6. Leidke f py, q, f p, yq, f, ja y f p, yq, kui f p, yq y. y 7. Leidke f, ja f y y,, kui f p, yq y. 8. Leidke järgmiste kolme muutuja funktsioonide määramispiirkonnad E.??? a) f p, y, zq y z; ) f p, y, zq pz q a ye z ; c) f p, y, zq lnp yq ln z; d) f p, y, zq arcsin arccospy zq; e) f p, y, zq 4 y z ; f) f p, y, zq 3 cosπ cosπy cosπz. 9. Arvutage järgmiste funktsioonide väärtused antud punktides A, B ja C.? arctanp y zq 3 a) f p, y, zq arctanp y zq, A,,? 3 ; ) f p, yq u w w u v, up, yq y, vp, yq y, wp, yq y, B p,q; c) f p, y, zq sinpuvq cospv wq, upq arcsin, vpyq ln y, wpzq arccos z, C p,e, q.. Veenduge, et järgmised funktsioonid on elementaarfunktsioonid ja leidke nende graafikud.? a) w z y; c) w z? y ; ) w y lnpz q; y d) w z lnp y q.. Leidke funktsioon f p, y, zq, kui a) f p, y z, zq ln y z; ) f p y, y, zq y y z.. Leidke funktsioonid f ja g, kui?? a) gp, y, zq f p, yq z ja gp, y,q y; ) gp, y, zq f p?,e y? q y z ja gp, y,q y. 3*. Olgu antud hulgad D,D R m. Tõestage, et BpD X D q pbd qypbd q.. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus. Olgu D R m. A P R m on hulga D kuhjumispunkt ðñ @δ pu δ paqztauqxd H. Olgu f : D Ñ R. Olgu A hulga D kuhjumispunkt ning L P R. lim ðñ XÑA @ε Dδ : @ P D }X A} δ ñ f pxq L ε. Analoogiliselt ühe muutuja piirväärtusega ineeritakse ka lõpmatud piirväärtused ning piirväärtus protsessis }X} Ñ 8. Lisaks sellele ineeritakse veel mõningad lõpmatud piirväärtused, näiteks juhul D R lim f p, yq L ðñ Ña yñ 8 @ε Dδ,DM : p a δ ^ y Mq ñ f p, yq L ε. 5

Sellise võttega saa ineerida ka ühepoolseid piirväärtusi, nõudes, et mingi muutuja erinevus oma lõppväärtusest oleksmingi kindla märgiga. Kuna iga lahtise kera sees on lahtine risttahukas ja vastupidi, siis või nõude p a q... p m a m q δ asendada nõudega mint a,..., m a m u δ. Olgu D D. f alt tõkestatud hulgas D ðñ tf pxq: X P D u on alt tõkestatud, f ülalt tõkestatud hulgas D ðñ tf pxq: X P D u on ülalt tõkestatud, f tõkestatud hulgas D ðñ f on alt ja ülalt tõkestatud hulgas D. Lause. f tõkestatud hulgas D ðñ DK : @X P D f pxq K. Kõik ühe muutuja funktsiooni piirväärtuse omadused piirväärtuse monotoonsus, ühesus, aritmeetika, lause tõkestatud ja hääuva suuruse korrutisest ning keskmise muutuja omadus on põhimõtteliste muutusteta ümer kirjutatavad mitme muutuja juhule. Teoreem (Heine kriteerium). Olgu L P RYt 8u, olgu A hulga D R m kuhjumispunkt, olgu f : D Ñ R. lim q DztAu limx pnq A ñ lim f px pnq q L. XÑA n n Teoreem. Olgu L P RYt 8u, olgu A hulga D R m kuhjumispunkt, olgu f : D Ñ R. Tähistame " " punkti A läivad pidevaid jooni määravad vektorfunktsioonid järgmiselt: * γ: p,q Ñ R, kus γptq pptq, yptqq ja, y : p,q Ñ R on pidevad, L γ:. γpq A lim f pxq L ðñ @γ P L lim f pγptqq L. XÑA tñ Heine kriteerium ja piirväärtus pidevate joonte kaudu kehtivad ka lõpmatute protsesside jaoks. 4. Leidke järgmised piirväärtused. a) lim p,yqñp,q y; ) lim p 3yq; p,yqñp,4q sinπ c) lim ; p,yqñp,q y y sin d) lim ; p,yqñp,q sin y e) lim ; p,yqñp,q y y f) lim? ; p,yqñp,q y 4 a 6 y g) lim p,yqñp,q y ; y h) lim p,yqñp,q y ;? y ln ; i) lim Ñ yñ j) lim Ñ yñ lnp yq sin y ; y k) lim p,yqñp8,8q y ; l) y lim p,yqñp,q y ; m) y lim p,yqñp8,8q 4 y 4 ; n) lim p,yqñp,q p y qsin 3 y ; y o) lim p,yqñp,q tan y ; sin5 p) lim p,yqñp,q y ; y y q) lim p,yqñp8,8q y ; y y ; r) lim p,yqñp8,8q y s) lim ; Ñ3 y yñ8 t) lim p,yqñp,q p y q y ; u) lim p,yqñp,q p y q y. 6

5. Näidake, et järgmised piirväärtused ei eksisteeri. a) lim p,yqñp,q y ; ) y lim p,yqñp,q y y ; y c) lim p,yqñ8 y ; d) lim p,yqñp,q y. 6. Leidke korduvad piirväärtused lim lim f p, yq : A ja lim lim : B järgmistest funktsioonidest märgitud punktis P Ña yñ yñ Ña pa,q. a) f p, yq y y, P lnp yq p,q; ) f p, yq, P p,q; sin y c) f p, yq sin y, P p8,8q. 7. Näidake, et järgmistel funktsioonidel piirväärtus punktis (,) on olemas, kuid korduvaid piirväärtusi lim lim f p, yq ja lim lim f p, yq ei eksisteeri. Ñ yñ yñ Ñ a) f p, yq p yqsin sin y ; ) f p, yq p yqcos sin cos y y. 8. Näidake, et järgmised funktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas. y $ a) f p, yq sin e y ; & y c) f p, yq % y, kui y,, kui y ; # ) f p, y, zq y z y sin, kui, ; d) f p, yq ln z, kui. 9. Millised järgmistest funktsioonidest on punktis A p, q pidevad, pidevad muutuja või muutuja y järgi. $ $ & y & y a) f p, yq %, kui y, y c) f p, yq %, kui y, y, kui y ;, kui y ; ) f p, yq # y y, kui y,, kui y ; d) f p, yq y y ; #, kui y, e) f p, yq ln y, kui y. *. Tõestage, et funktsioon f p, yq on pidev lahtisel hulgal D, kui gpq f p, yq on pidev muutuja funktsioon iga y korral, hpyq f p, yq rahulda Lipschitzi tingimust, s.o. leidu konstant L, et hpyq hpy q L y y 7

suvaliste punktide p, yq P D ja p, y q P D korral. 3. Katkevuspunktid. Osatuletiste arvutamine. Olgu D R, A pa,q P D, f : D Ñ R. f paq f p,q f pa,q f pa h,q f pa,q lim lim (osatuletis muutuja järgi punktis A). Ña a hñ h Osatuletise seos ühe muutuja funktsiooni tuletisega on järgmine. Defineerime funktsiooni f pq f p,q, siis f määramispiirkond on t P R: p,q P Du. Nüüd f paq f paq. Levinud tähis f paq asemel on ka B f B paq. Osatuletisfunktsiooniks ehk osatuletiseks (muutuja järgi) nimetatakse funktsiooni, mis punktile A P D sea vastavusse arvu f paq. Tähis: f või B f B. Osatuletis muutuja y järgi ineeritakse analoogiliselt. Ka ruumis R m ineeritakse osatuletised analoogiliselt.. Leidke järgmiste funktsioonide katkevuspunktid. # a) f p, yq, kui y, d) f p, yq sin y y ; #, kui y ; y e) f p, y, zq, kui y, y z ; ) f p, yq y f) f p, yq, kui y ; c) f p, yq y ln y. 3 y 3 ;. Kõrvaldage järgmistel funktsioonidel katkevus märgitud hulgas D, s.t. lisage funktsioonile f katkevuspunktides sellised väärtused, et f oleks pidev kogu hulgas D. a) f p, yq sin y, D R ; sin cos y ) f p, yq, D tp, yq : y u; ln y e y c) f p, yq 3 cot p yq, D R ; d) f p, yq? y p yq, D tp, yq : 7 y u. 64 3. Leidke järgmiste funktsioonide osatuletised. a) f p, yq 3 y ; ) f p, yq y ; c) f p, yq e 3y ; d) f p, yq 3 y ; e) f p, y, zq 3 y z 7y; f) f p, y, zq lnpzq lnpy zq; g) f p, yq p yq 5 h) f p, yq 4; y i) f p, yq y 4 ; j) f p, yq cosp4 yq; k) f p, yq sin y; l) f p, yq tan y ; 8

m) f p, yq arctan y ; n) f p, yq y ; o) f p, yq p yq y ; p) f p, yq p yq y ; q) f p, yq sin y ; r) f p, y, zq y z. 4. Leidke järgmiste funktsioonide osatuletised. # sin y, kui, a) f p, yq, kui ; # arctan y, kui, ) f p, yq, kui ; " y lnp y q, kui y, c) f p, yq $, kui y ; & y d) f p, yq %, kui y, y, kui y. 5*. a) Näidake, et punkti p,q ümruses funktsioonil " p yq sinp y f p, yq q, kui y,, kui y on olemas osatuletised f ja f y, mis katkevad punktis p,q, kuid siiski funktsioon f on diferentseeruv selles punktis p,q. ) Näidake, et puntki p,q ümruses funktsiooni " p y qsinp y q, kui y, f p, yq, kui y osatuletised f ja f y eksisteerivad ja on tõkestamata (seega punkt p,q on nende katkevuspunkt), kuid siiski funktsioon f on dierentseeruv selles punktis p,q. 4. Osatuletiste arvutamine. Mitme muutuja funktsiooni diferentseeruvus. Täisdiferentsiaal. Kõrgemat järku osatuletised. D R, A pa,q P D, f : D Ñ R. f on diferentseeruv punktis A ðñ DM, N P R : lim ph,h qñ f pa h, h q f pa,q M h N h }ph,h q}. " Df paq, f Lause. f dif-v punktis A ùñ y paq P R, f dif-vuse initsioonis M f paq, N f y paq. Olgu f diferentseeruv punktis A. Avaldist d A f ph,h q f paq h f y paq h nimetatakse funktsiooni f täisdiferentsiaaliks punktis A argumendi muudu ph,h q korral. Sageli tähistatakse argumendi muutu ph,h q asemel pd,dyq. Kui kontekst on selge, jäetakse punkt A või muut ära, või kui muut on teada, asetatakse punkt A sulgudesse. Nii siis d A f ph,h q, df, df paq võivad sõltuvalt kontekstist tähistada üht ja sama avaldist. Kõik diferentseeruvusega seotud initsioonid ja tulemused on analoogiliselt kirja pandavad ka ruumis R m. Nii näiteks muuduks on sellisel juhul vektor ph,...,h m q, f-ni f täisdiferentsiaaliks punktis A selle muudu korral avaldis f paq h... f m paq h m jne. 9

Olgu A pa,,cq P R, r pu, v, w q,r pu, v, w q P R ztu, kusjuures vektorsüsteem r,r olgu lineaarselt sõltumatu (see tähenda, et vektorid r ja r ei ole kollineaarsed). Pinda π : ta t r t r : t, t P Ru nimetatakse tasandiks. Vektorsüsteemi r,r nimetatakse selle tasandi rihiks. v Tähistame n w, w u v w, w u u v. u v Vektorit n : pa, B,Cq nimetatakse tasandi π normaalvektoriks. Lause. ta t r t r : t, t P Ru tp, y, zq: A p aq B py q C pz cq u. Võrrandit A B y C z p Aa B Ccq nimetatakse selle tasandi üldvõrrandiks. (Sageli tähistatakse D Aa B Cc, siis omanda üldvõrrand kuju A B y C z D.) Üldvõrrandist on mugav välja lugeda tasandi normaalvektorit pa, B,Cq. Sirget, mis läi punkti A ja mille sihivektor on n, nimetatakse tasandi π normaaliks punktis A. Normaalvektorit või korrutada suvalise nullist erineva arvuga, tulemusena saadav vektor määra ikka sama sirge. Ruumi R m vektorite p pp,..., p m q ja q pq,..., q m q korral tähistame p,qy p q... p m q m (skalaarkorrutis) ning }p} p, py (vektori p pikkus). Teoreem (Cauchy võrratus). @p,q P R m p,qy }p} }q}. Olgu p,q. Tähistame =pp,qq arccos p,qy (vektorite vaheline nurk). Cauchy võrratuse tõttu }p} }q} on vektorite vaheline nurk korrektselt ineeritud. Paneme tähele, et =pp,qq P r,πs. Olgu l sirge sihivektoriga s ja π tasand normaalvektoriga n. =pl,πq π =ps,nq (sirge ja tasandi vaheline nurk). Tähistame punktide A ja B korral neid punkte läiva sirge tähisega AB. Niisiis AB A t ÝÑ AB: t P ( R. Olgu Ω R 3 ning olgu antud tasand π R 3. Olgu A P ΩXπ. π on Ω puutujatasand punktis A ðñ @ε Dδ : @X P Ω }X A} δ ñ=pax,πq ε. Tingimust, et π on Ω puutujatasand, või lühemalt kirjutada nii: lim =pax,πq. Analoogiliselt ineeritakse ka see, millal sirge l on Γ R puutujasirge: nõutakse, et A P l X Γ ning lim =pax,lq. XÑA XPΩ Sealjuures =pl,l q =ps,s q, kus s,s P R on vastavalt sirgete l ja l sihivektorid. Ruumi R 3 punktihulkade kirjapanekul märgitakse sageli üles ainult punktihulka määrav(ad) tingimus(ed). Nii näiteks kirjutatakse tp, y, f p, yqq: P Du asemel z f p, yq. Hiljem$ näeme, et ka parameetriliselt & pu, vq, antud pinna tppu, vq, ypu, vq, zpu, vqq: pu, vq P u asemel kirjutatakse y ypu, vq, % z zpu, vq. Lause. Olgu f pidev punktis A. punktihulgal z f p, yq leidu z-teljega mitteparalleelne f dif-v punktis A pa,q ðñ puutujatasand punktis pa,, f pa,qq. (z-teljega mitteparalleelsus tähenda, et puutujatasandi normaalvektor pa, B,Cq ei ole kollineaarne vektoriga p,,q ehk et pa,bq p,q.) Juhul, kui f on dif-v punktis A, siis puutujatasandi võrrand on z f pa,q f paq p aq f y paq py q. XÑA XPΩ

Niisiis täisdiferentsiaali avaldis d A f p a, y q märgi z koordinaadi muutu pinna z f p, yq puutujatasandil punktis pa,, f pa,qq, kui y-tasandil liigutakse punktist pa,q punkti p, yq. Lause. f, f y pidevad p-s A ùñ f on dif-v punktis A. Lause (Schwarz). f y, f y pidevad p-s A ùñ f y paq f y paq. Lause. f, f y dif-vad p-s A ùñ f y paq f y paq. Olgu n P N. f on n korda diferentseeruv p-s A ðñ f kõik n-järku osatuletised on diferentseeruvad p-s A. Nii näiteks f on kaks korda diferentseeruv p-s A ðñ f ja f y on dif-vad punktis A. Olgu f n korda dif-v p-s A. f n-ndat järku täisdiferentsiaaliks punktis A argumendi muudu ph,h q korral nimetatakse avaldist B n f B k k n By k paq h k hk. Tähis: dn A ph,h q. 6. Leidke järgmiste funktsioonide osatuletised. # arctan y a) f p, yq y arctan, kui ^ y, y, kui _ y ; # 3 y 3 sin, kui y, ) f p, yq y, kui y ; # y sin, kui y, c) f p, yq y, kui y. 7. Leidke järgmiste funktsioonide teist järku osatuletised. a) f p, yq y; ) f p, yq 3 y y 3 ; c) f p, yq y y ; d) f p, yq sinp yq; e) f p, yq y y ; f) f p, yq y ; g) f p, yq lnp y q; h) f p, yq arctan y y ; i) f p, y, zq y z lnp y zq; j) f p, y, zq sinp y zq. 8. Näidake, et funktsioonil f p, yq ", kui _ y,, kui ^ y punktis p, q osatuletised on olemas, kuid ta on katkev selles punktis. # y 9. Näidake, et funktsioonil f p, yq y, kui y, punktis p,q osatuletised f p,q, kui y ja f y p,q eksisteerivad, kuid ta on katkev selles punktis. $ & y y 3. Näidake, et funktsioonil f p, yq % y, kui y, punktis p, q segatuletised, kui y f y ja f y eksisteerivad, kuid f y p,q f y p,q. 3. Leidke järgmiste funktsioonide segaosatuletised f y.

a) f p, yq y sin ; ) f p, yq cos y ln ; c) f p, yq y cos y e y. 3. Leidke järgmiste funktsioonide märgitud osatuletised. a) f p, yq lnp yq, f y?; ) f p, yq e y e y z, f y z?; c) f p, yq y 3 sin y y 3 sin, f y y y?. 33. Leidke järgmiste funktsioonide täisdiferentsiaalid. a) f p, yq 3y; ) c) f p, yq 4 y; f p, yq y; d) f p, yq y ; e) f p, yq e y ; f) f p, yq cosp yq; g) f p, yq y ; h) f p, y, zq tanp y 3zq; i) f p, y, zq cosp y zq; j) f p, y, zq epp y z q. 34*. Olgu n positiivne täisarv. Öeldakse, et funktsioon f on n korda diferentseeruv punktis A, kui tema kõik n-järku osatuletised on diferentseeruvad punktis A. Tõestage, kasutades ainult alapeatükis 9. (Loone-Soomer) sõnastatud tulemusi, et kui f on kolm korda diferentseeruv punktis A, siis f on kaks korda diferentseeruv ja diferentseeruv punktis A. 5. Mitme muutuja funktsiooni diferentseeruvus. Kõrgemat järku osatuletised ja täisdiferentsiaalid. Liitfunktsiooni osatuletised. Olgu D R, Q R, f : Q Ñ R, ϕ,ψ: D Ñ R, kusjuures ϕpdq,ψpdq Q. Tähistame iga p, yq P D korral Fp, yq f pϕp, yq,ψp, yqq. Lause. Olgu A P D, B :* pϕpaq,ψpaqq. Dϕ paq,ψ paq P R, ùñ F f on dif-v punktis B paq f u pbq ϕ paq f v pbq ψ paq. Analoogiline lause kehti osatuletise jaoks muutuja y järgi. Analoogiline lause kehti ka juhul, kui Q R n ja D R m, kus n ja m on suvalised naturaalarvud. 35. Leidke järgmiste funktsioonide märgitud täisdiferentsiaalid. a) f p, yq 3 y, d f?; ) f p, yq y, d f?; c) f p, yq y, d f?; d) f p, yq sin y, d f?; e) f p, yq 3 y 3, d 3 f?; f) f p, yq 4 y, d 3 f?; g) f p, y, zq y y z, d f?; h) f p, y, zq y sin z, d f?; i) f p, y, zq y z, d 3 f?; j) f p, y, zq 3 y z, d 3 f?. 36. Näidake, et punktis p,q funktsioon f p, yq y

on pidev ja oma osatuletisi f p,q ja f y p,q, kuid ei ole diferentseeruv selles punktis p,q. 37. Näidake, et funktsioon $ & f p, yq % y y, kui y,, kui y on pidev ja ta osatuletised f ja f y on lõplikud, kuid punktis p,q funktsioon ei ole diferentseeruv. 38. Leidke järgmiste liitfunktsioonide tuletised. a) z e 3y, sin t, y cos t; 3 ) z lnp yq, t, y t 3 ; c) u y z, sin t, y cos t, z t; d) z t y, t, y? t; e) z tanpt yq, t, y t 5 ; f) z arctanp yq, y e ; g) u e py zq, y sin, z cos ; h) u up, y, zq, t, y ln t, z t ; i) z f p, yq ln y, t, y e sin t. 39. Leidke järgmiste liitfunktsioonide osatuletised. a) z u v, u cos y, v sin y; ) z u ln v, u y, v e y ; c) z ue v, u, v ln y; d) z arccot u, u sin y, v cos y; v e) w u v, u z, v y z; f) w ye uv, u, v lnp yq. y z 4*. Olgu funktsioonil f : R m Ñ R pidevad osatuletised, kusjuures leidugu K nii, et B f pxq B j K kõigi punktide X P R m ja indeksite j,...,m korral. Tõestage, et f on Lipschitzi funktisoon, st. leidu konstant L selliselt, et mistahes punktide X,Y P R m jaoks kehti võrratus f pxq f pyq L X Y. 6. Tuletis antud suunas, gradient. Olgu l pl,l q. Olgu D R, f : D Ñ R ning A P D. B f f pa t lq f paq paq lim (tuletis vektori l suunas). Bl tñ t}l} Eksisteerigu f paq, f y paq P R. grad f paq f paq pf paq, f y paqq (f-ni f gradient p-s A). Lause. f dif-v p-s A ùñ B B F f Bl paq f paq, }l} l. Paneme tähele, et vektori l pikkus on. Taolist vektori läijagamist oma pikkusega (et saada ühikvektor) nimetatakse vektori }l} normeerimiseks. 3

Lause. f dif-v p-s A ùñ B f Bl paq } f paq}. Sealjuures B f paq } f paq} ô lò f paq, Bl B f paq } f paq} ô lö f paq. Bl 4. Leidke järgmiste funktsioonide u gradient punktis P. a) u y, P p,q; ) u y, P p, q; c) u y, P p,q; d) u y, P p, q; e) u y, P p,q; f) u y, P p,q; g) u y z, P p,,q; h) u 4z arctan y, P p,,q; i) u y pz 8q y pz 8q, P p9,,8q. 4. Leidke gradu ja tema pikkus, kui u y z. 43. Millistes punktides gradu, kui u ln r, kus r p aq py q pz cq? 44. Näidake, et funktsioon u lnp y z q rahulda seost u ln u ln4. 45. Olgu u z ln. Leidke punktid, kus gradu, 6 y 9,. 46. Olgu u p y q 3? 5z. Leidke punktid, milles u gradiendi pikkus on 3. 47. Tõestage järgmised valemid, kus C const ning f, u ja v on diferentseeruvad funktsioonid. a) gradpu Cq gradu; ) gradcu C gradu; c) gradpu vq gradu grad v; d) graduv v gradu u grad v; e) grad u v v gradu u grad v v, kus v ; f) grad f puq f puqgradu. 48. Leidke järgmiste funktsioonide u tuletised antud ühikvektori m suunas punktis P. a) u y y z, m,,?, P p,,q;?3 ) u a y z, m,?,?, P p??? 3, 3, 3q. 3 3 49. Leidke järgmiste funktsioonide u tuletised antud vektori k suunas punktis P. a) u y, k p4, 3q, P p3,4q; ) u y y z, k p, 3, 4q, P p,, q. 4

5. Leidke funktsiooni u y tuletised punktis P p3,4q koordinaattasandi esimese veerandi nurgapoolitaja suunas ja punkti P raadiusvektori suunas. 5. Leidke funktsiooni u y z tuletis punktis P p,,q selle punkti raadiusvektori suunas. 5. Leidke punktid, milles funktsiooni u e p y 3 3yq tuletis igas suunas on null. 53. Millises suunas funktsioon u sin z y cos z punktis p,, q muutu kõige kiiremini? 54. Millises suunas pea liikuma punkt P p, y, zq, läides punkti P p,, q, et funktsioon u y z kasvaks maksimaalse kiirusega? y z 55*. Tuntud on järgmine tulemus: tähistame FpXq f pϕ pxq,ϕ pxqq, siis D Bϕ B paq, Bϕ, paq P R,. B - ñ D BF B paq B f Bu pbq Bϕ B paq f dif-v punktis B : pϕ paq,ϕ paqq B f Bv pbq Bϕ B paq. Tooge näide, et f diferentseeruvuse eeldust ei saa nõrgendada, see tähenda, tooge näide funktisoonidest ϕ, ϕ ja f ning punktist A, mis vääraks implikatsiooni D Bϕ B paq, Bϕ, paq P R, /. B D B f Bu pbq, B f Bv pbq P R /- ñ D BF B paq B f Bu pbq Bϕ B paq B f Bv pbq Bϕ B paq. 7. Võrranditega F p, yq ning F p, y, zq määratud ilmutamata funktsioonide diferentseerimine. Joone F p, yq puutuja ja normaal, pinna F p, y, zq puutujatasand ja normaal (erijuhuna pinna z f p, yq puutujatasand ja normaal). Tähistame R δ,δ pa,q U δ paq U δ pq (lahtine ristkülik). Analoogiliselt ineerime ka lahtise risttahuka. Teoreem (Ilmutamata funktsioonide põhiteoreem). Olgu D R, F : D Ñ R, A pa,q P D. Dθ : F ja F y pidevad U θ paq-s, FpAq, F y paq,. - ùñ Dδ,σ, Df : U δpaq Ñ U σ pq : : @p, yq P R δ,σ pa,q Fp, yq ô y f pq. Teoreem (Ilmutamata funktsioonide põhiteoreem). Olgu D R, F : D Ñ R, A pa,q P D., Dδ,σ Dθ : F, F ja F y pidevad U θ paq-s,. $, Df : U δ paq Ñ U σ pq : FpAq, - ùñ & @p, yq P R δ,σ pa,q Fp, yq ô y f pq, : F y paq % @ P U δ paq f pq F p, f pqq F y p, f pqq. Teoreem (Ilmutamata funktsioonide, põhiteoreem). Olgu D R 3, F : D Ñ R, A pa,,cq P D. Dθ : F ja F z pidevad U θ paq-s,. FpAq, - ùñ Dδ,δ,σ, Df : R δ,δ pa,q Ñ U σ pcq : : @p, y, zq P R F z paq δ,δ,σpa,,cq Fp, y, zq ô z f p, yq. 5

Teoreem (Ilmutamata funktsioonide põhiteoreem). Olgu D R 3, F : D Ñ R, A pa,,cq P D., Dδ,δ$,σ, Df : R δ,δ pa,q Ñ U σ pcq : Dθ : F, F, F y ja F z @p, y, zq P R /. δ,δ,σpa,,cq Fp, y, zq ô z f p, yq, pidevad U θ paq-s, '& ùñ f FpAq p, yq F p, y, f p, yqq, : F /- @p, yq P R F z paq δ,δ pa,q z p, y, f p, yqq, '% f y p, yq F yp, y, f p, yqq F z p, y, f p, yqq. Olgu D R 3, F : D Ñ R, A pa,,cq P D. Olgu Ω tx P R 3 : FpXq u. Lause., A P Ω,. F, F, F y, F z pidevad p-s A, - ùñ F paq p aq F y paq py q F z paq pz cq on Ω puutujatasand punktis A. FpAq Olgu D R, F : D Ñ R, A pa,q P D. Olgu Γ tx P R : FpXq u. Lause., A P Γ,. F, F, F y pidevad p-s A, - ùñ F paq p aq F y paq py q on Γ puutujasirge punktis A. FpAq Funktsiooni f : R Ñ R tasemejooneks (tasemel k) nimetatakse punktihulka tp, yq: f p, yq ku. Funktsiooni f : R 3 Ñ R tasemepinnaks (tasemel k) nimetatakse punktihulka tp, y, zq: f p, y, zq ku. 56. Skitseerige järgmiste funktsioonide tasemejooned/tasemepinnad. a) f p, yq y; ) f p, yq y ; c) f p, yq y ; d) f p, yq? y; e) f p, yq y ; f) f p, yq y ; g) f p, y, zq y z; h) f p, y, zq y z ; i) f p, y, zq y z. 57. Kas järgmised võrrandid määravad antud punkti P ümruses pideva ühese fuktsiooni y ypq? Kas sel funktsioonil y on olemas pidev tuletis selle punkti P ümruses? Tuletise olemasolu korral leidke see tuletis. a) 3 y 3 3 3 y, P, 3 ; c) 4 y y, P p,q; ) e y lnp y q, P p,q; 58. Leidke järgmiste ilmutamata funktsioonide y ypq tuletised y. d) y 3 sin y, P p,q. a) y sin y e ; ) y e y ; c) y y ; d) lnp y q arctan y. 59. Kas järgmised võrrandid määravad antud punkti P ümruses pideva ühese fuktsiooni z zp, yq? Kas sel funktsioonil on olemas pidevad osatuletised z ja z y selle punkti P ümruses? Osatuletiste olemasolu korral leidke need osatuletised. a) y z z, P p,, q ; ) z y sin z, P p,,q; c) z p y q 3 arctan z, P p,,q. 6. Leidke järgmiste ilmutamata funktsioonide z zp, yq osatuletised z ja z y. 6

a) y z sin z ; ) y z e y z ; c) cos cos y cos z ; d) z p zq y. 6. Leidke järgmiste kõverate puutujad ja normaalid antud punktides. a) y 64, M p6,6.4q; ) y ln y, M p,q. 6. Leidke kõvera 3 y 6 puutuja ja normaali võrrandid punktis, mille ordinaat y 3. 63. Leidke puutuja võrrand kõverale 5 y 5 y punktis p,q. 64. Leidke puutuja ja normaali võrrandid kõverale y 4 4 4 6 y punktis p,q. 65. Leidke puutujatasand ja normaal järgmistele pindadele märgitud punktis Q. a) f p, yq y, Q p,,q; ) f p, yq y, Q p,,5q; c) f p, yq y, Q p,,q; d) f p, yq arctan y, Q e) f p, yq y, Q p,,q;,, π ; 4 f) f p, yq y, Q p,,q. 66. Leidke järgmiste pindade puutujatasandid ja normaalid antud punktis P. y z a) 3 7, P p,,3q; ) y z 3, P p,,q; c) y z e z 3, P p,,q; d) 3 y 3 z 3 y z 6, P p,,q. 67*. On antud funktsioon Fp, yq 5 4 y 3y 34 y 45. Kas võrrand Fp, yq määra punkti A p, q ümruses pideva ilmutamata funktsiooni y f pq? 68*. Tõestage, et astroidi 3 y 3 a 3 pa q puutujalõik (puutuja osa, mis jää koordinaattelgede vahele) on alati konstantse pikkusega. 69*. Tõestage, et kaks hüperoolide peret y a ja y moodustavad ortogonaalse võrestiku, st. nende perede mistahes kaks esindajat lõikuvad täisnurkade all. 7*. Tõestage, et paraoolide pered y 4apa q ja y 4p q pa, q moodustavad ortogonaalse võrestiku. 7*. Tõestage, et hüperooli y a puutepunkt poolita puutujalõigu. 8. Mitme muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Olgu D R m, f : D Ñ R ja A P D. F-nil f on punktis A range lokaalne maksimum ðñ Dδ : @X P U δ paqztau f pxq f paq. F-nil f on punktis A range lokaalne miinimum ðñ Dδ : @X P U δ paqztau f pxq f paq. Mitterangete variantide korral jäetakse sõna rangelt ära ning nõutakse mitterangeid võrratusi. Üldnimetus lokaalse maksimumi ja miinimumi jaoks: lokaalne ekstreemum. A on f statsionaarne punkt ðñ f paq... f m paq. Lause. * Df paq,..., f m paq P R, ùñ A on f-ni f statsionaarne punkt. f-nil f on punktis A lokaalne ekstreemum 7

Olgu nüüd A P Mat m prq, kusjuures A T A (sümmeetriline maatriks). Ruutfunktsiooni Φ: R m Ñ R, m mis on antud seosega Φph,...,h m q a i j h i h j nimetatakse maatriksile A vastavaks ruutvormiks. Olgu Φ ruutvorm. Φ on positiivselt määratud i,j ðñ @h P R m ztu Φphq. Φ on negatiivselt määratud ðñ @h P R m ztu Φphq. Φ on määramata ðñ Dh,h P R m : Φphq, Φph q. Teoreem (Sylvester). Olgu Φ ruutvorm, mis vasta sümmeetrilisele maatriksile A. Φ on posit. määratud ðñ a, a a,..., det A. a a Φ on negat. määratud ðñ a, a a,..., p q n det A. a a NB! Sylvesteri teoreem ei kehti samal kujul poolmääratuse juhtude korral (st. @h Φphq ja jaoks). Leidugu funktsioonil f kõik teist järku osatuletised. f, paq f, paq... f, m paq H f paq f, paq f, paq... f, m paq........ (f-ni f hessiaan p-s A) f m, paq f m, paq... f m, m paq Teoreem., f on kaks korda dif-v punktis A, /. A on f-ni f statsionaarne punkt, ùñ f hessiaanile H f paq vastav ruutvorm /- on positiivselt määratud f on kaks korda dif-v punktis A, A on f-ni f statsionaarne punkt, f hessiaanile H f paq vastav ruutvorm on negatiivselt määratud f on kaks korda dif-v punktis A, A on f-ni f statsionaarne punkt, f hessiaanile H f paq vastav ruutvorm on määramata, /. /-, /. /- ùñ ùñ f-nil f on punktis A range lokaalne miinimum, f-nil f on punktis A range lokaalne maksimum, f-nil f punktis A ranget lokaalset ekstreemumit ei ole. NB! Kui asendada määratus positiivselt/negatiivselt poolmääratusega (@h h T H f paqh ), siis teoreemi väide ei tarvitse kehtida. Lause. Olgu A P Mat prq. Maatriksile A vastav ruutvorm on määramata ðñ det A. 7. Leidke järgmiste funktsioonide lokaalsed ekstreemumid. a) f p, yq p q y ; ) f p, yq 3 y 3; c) f p, yq py q ; d) f p, yq y ; e) f p, yq y y y; f) f p, yq 3 y 3 a 3 y; g) f p, yq y ; h) f p, yq y lnp yq. 8

73. Leidke järgmiste funktsioonide lokaalsed ekstreemumid. a) f p, yq sin sin y sinp yq, p, yq P tp, yq :, y πu; ) f p, yq 4 y 4 y y ; c) f p, y, zq y z 4y 6z; d) f p, y, zq y z 3 p7 y 3zq; e) y z y 4z. 74*. Funktsioon f : R Ñ R on ineeritud võrdusega f p, yq ye y. Leidke funktsiooni f kõik lokaalsed ekstreemumid. Leidke (koos põhjendusega!) funktsiooni f suurim ja vähim väärtus. 9. Mitme muutuja funktsiooni suurimad ning vähimad väärtused antud piirkonnas. Olgu D R m, f : D Ñ R, A P D. F-nil f on punktis A gloaalne maksimum ðñ @X P D f pxq f paq. F-nil f on punktis A gloaalne miinimum ðñ @X P D f pxq f paq. Rangete variantide korral nõutakse, et X P DztAu ning nõutakse rangeid võrratusi. D on tõkestatud ðñ DK : @X P D }X} K. Teoreem (Weierstrass)., Olgu f : D Ñ R. D kinnine,. " f-nil f on punktis A gloaalne maksimum, D tõkestatud, - ùñ DA,B P D : f-nil f on punktis A gloaalne miinimum. f pidev D on kumer ðñ @X,Y P D @λ P p,q λx p λqy P D. Lause. Olgu D R m kumer hulk, f : D Ñ, R ning A P D. f on kaks korda dif-v D-s, @X P D hessiaan H f pxq /. on ñ f -l on punktis A range gloaalne miinimum, positiivselt määratud, /- A on f stats. punkt f on kaks korda dif-v D-s, @X P D hessiaan H f pxq on negatiivselt määratud, A on f stats. punkt, /. ñ /- f -l on punktis A range gloaalne maksimum. 75. Leidke järgmiste funktsioonide gloaalsed ekstreemumid ma f ja min f. a) f p, yq y y, p, yq P tp, yq : y u; ) f p, yq y, p, yq P tp, yq : y u; c) f p, yq y, p, yq P tp, yq :, y, y u; d) f p, yq y y, p, yq P tp, yq : y u; e) f p, yq p 3 3y qepp y q, p, yq P tp, yq : y 4u. 76. Näidake, et funktsioonil f p, yq 3 4 y y, p, yq P tp, yq : 5 5, y u on üksainus lokaalne ekstreemum, mis ei ole gloaalseks ekstreemumiks. 77. Näidake, et funktsioonil f p, yq p e y qcos ye y on lõpmata palju lokaalseid maksimume 9

ja mitte ühtegi lokaalset miinimumi. 78. Jaotage arv 3 kolmeks positiivseks liidetavaks nii, et nende korrutis oleks maksimaalne. 79. Esitage arv 8 nelja positiivse arvu korrutisena nii, et nende summa oleks minimaalne. 8. Kõikidest risttahukatest, millel on ühesugune ruumala, leidke see, mille täispindala on minimaalne. 8. Missuguste mõõtmete korral on antud ruumalaga V risttahuka kujulisel vannil vähim pindala? 8. Antud kerasse raadiusega R joonestage suurima ruumalaga risttahukas. 83. Kõikidest ühe ja sama alusega ning tipunurgaga kolmnurkadest leidke see, mille pindala on suurim. 84. Kõikidest antud perimeetriga kolmnurkadest leidke see, millel on maksimaalne pindala. 85. Leidke antud perimeetriga p ristkülik, mis pöörlemisel ümer oma ühe külje moodusta maksimaalse ruumalaga keha. 86. Leidke antud perimeetriga p kolmnurk, mis pöörlemisel ümer oma ühe külje moodusta maksimaalse ruumalaga keha. 87. Joonestage ellipsoidi y z a sisse maksimaalse ruumalaga risttahukas. c 88. Missugune pea olema kolmnurga kuju, et kolmnurga sisenurkade siinuste korrutis oleks maksimaalne? 89. Missugune pea olema kolmnurga kuju, et kolmnurga sisenurkade siinuste summa oleks maksimaalne? 9. Näidake, et mittenegatiivsete arvude,..., n geomeetriline keskmine ei ületa aritmeetilist keskmist. 9*. Olgu antud kaks korda diferentseeruv funktsioon f : R Ñ R. Tähistame iga punkti X P R korral Φ X pl,l q f pxq l f ypxq l l f y y pxq l. Olgu iga X korral Φ X positiivselt määratud, see tähenda, iga X ja iga pl,l q korral Φ X pl,l q, ehk iga X korral f pxq ja f pxq f y pxq f y pxq f y y pxq. Tõestage, et funktsioonil f on ülimalt üks statsionaarne punkt (see tähenda, punkt X, kus f pxq f y pxq ).. Kahekordse integraali arvutamine. Olgu R ra,s rc,ds. Vaatleme lõikude ra,s ja rc,ds alajaotusi p,..., n q ja py,..., y r q. Tähistame iga k P t,...,nu ja l P t,...,r u korral R kl r k, k s ry l, y l s ja S Rkl p k k q py l, y l q. Tähistame T T rr kl s pr,...,r nr q ristküliku R alajaotuse. Tähistame λpt q ma k,...,n l,...,r p k k q py l y l q. Tähistagu Ξ px,...,x nr q suvalist vektorit, kus X kl P r k, k s ry l, y l s iga k P t,...,nu ja l P t,...,r u korral. Olgu T tt : T on ristküliku R alajaotusu. Olgu f : R Ñ R. ðñ f on integreeruv ristkülikus R ðñ DI P R : @ε Dδ : @T P T, @Ξ λpt q δ ñ ņ ŗ k l f px k lqs Rkl I ε.

Arvu I nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks ristkülikus R ja tähistatakse f p, yqddy. R Olgu D R tõkestatud hulk. Olgu f : D Ñ R. Olgu R " R selline ristkülik, et R D. f pxq, kui X P D, Defineerime funktsiooni F : R Ñ R võrdusega F pxq, kui X P RzD. f on integreeruv hulgas D ðñ F on integreeruv ristkülikus R, f p, yqddy F p, yqddy. D R S D ddy. D NB! Saa kontrollida, et eelnevad initsioonid ei sõltu ristküliku R D valikust. Olgu D X R, f, g : X Ñ R. * Lause. f ja g int-vad hulgas D, @X P D f pxq gpxq f p, yqddy g p, yqddy. D ùñ D Lause. * f int-v hulkades D ja D, ùñ f p, yqddy f p, yqddy f p, yqddy. D X D H D YD D D Lause. * f int-v hulgas D, ùñ λf p, yqddy λ f p, yqddy. λ P R D D Lause. f, g int-vad hulgas D ùñ pf p, yq gp, yqqddy f p, yqddy g p, yqddy. D D D Lause. BD on tükiti sile joon ùñ DS D. Teoreem (Leesgue i kriteerium). Olgu E tx P D : f on katkev punktis Xu. Olgu f tõkestatud hulgas D. Leidugu pindala S D. S E ðñ f on integreeruv hulgas D. Leesgue i kriteeriumil on laialdased rakendused. Näiteks: kui hulgal D on pindala ning f on tõkestatud ja pidev hulgas D, siis f on integreeruv hulgas D; kui hulgal D on pindala ning f on tõkestatud hulgas D ja tal on hulgas D lõplik arv katkevuspunkte, siis f on integreeruv hulgas D. Olgu ψ,ϕ: ra,s Ñ R sellised funktsioonid, et @ P ra,s ψpq ϕpq. Olgu D tp, yq: P ra,s, y P rψpq,ϕpqsu (kõvertrapets). Lause. ψ, ϕ pidevad lõigus ra,s ùñ DS D. Lause., DS D, f integreeruv kõvertrapetsis D, /. ϕpq ϕpq ùñ f p, yqddy f p, yqdy d. D @ P ra,s D f p, yqdy /- a ψpq ψpq 9. Joonistage järgmised integreerimispiirkonnad D ning asetage integreerimisrajad integraalis f p, yqd dy valemite d βpq d f p, yqdy ja dy δpyq D a αpq c γpyq a) D on kolmnurk tippudega p,q, p,q, p,q; ) D on kolmnurk tippudega p,q, p,q, p,q; f p, yqd järgi.

c) D on ristkülik tippudega p,q, p,q, p,q, p,q; d) D on ring y ; e) D on on piiratud joontega y, y ; f) D on on piiratud joontega y, y 3. 93. Muutke integreerimisjärjekord järgmistes integraalides. a) ) c) d) e) e d f p, yqdy; ln d f p, yqdy; dy? y f p, yqd; y d f p, yqdy; d f p, yqdy; f) g) h) dy? y f p, yqd? y? y dy f p, yqd;? y π π d π d cos sin f p, yqdy; f p, yqdy. 94. Leidke järgmised integraalid. a) d dy, kus D on kolmnurk tippudega p,q, p,q ja p,q; D ) y d dy, kus D on piiratud joontega y, ja y ; D c) D d) sinp yqd dy, kus D on piiratud joontega y, y ja π; cosp yqd dy, kus D on piiratud joontega y, y ja π; D e) e y d dy, kus D r,ln4s r,lns; f) D ln y g) D D d dy, kus D on piiratud joontega y, y ja e; d dy, kus D on piiratud joontega y, y ln ja e. 95*. Leidke integraal D y d dy,

kus D on piiratud -teljega ja tsükloidi apt sin tq, y ap cos tq kaarega, kui t π ja a.. Kahekordse integraali arvutamine. Üleminek polaarkoordinaatidele. Olgu T : R Ñ R, kus T pu, $ vq pξpu, vq,ηpu, vqq. T on injektiivne, '& ξ T on regulaarne ðñ u, ξ v, η u, η v on pidevad R -s, '% @pu, vq P R Jpu, vq : ξ u pu, vq η u pu, vq ξ v pu, vq. η v pu, vq Teoreem. Olgu Λ R lihtne, kinnine tükiti sile joon. Olgu B Λ. Olgu D T p q. T on regulaarne,. f on integreeruv D-s, ξ vu ja η vu pidevad R - D ùñ f p, yqddy f pξpu, vq, ηpu, vqq Jpu, vq dudv. -s Olgu E tx P D : punktis X on rikutud T mõni regulaarsuse tingimusu. Muutujate vahetuse teoreem kehti ka olukorras, kus S E ja S T peq. Levinud peaaegu regulaarsed muutujavahetused: T pu, vq pu cos v,u sin vq (polaarkoordinaadid), T pu, vq pau cos v, u sin vq (elliptilised polaarkoordinaadid), T pu, vq? pu v,u vq (pööre nurga π 4 võrra). Olgu D R selline, et DS D. Olgu f, g : D Ñ R sellised, et @X P D f pq gpq. Olgu K tp, y, zq: p, yq P D z P rf p, yq, gp, yqsu. V K pgp, yq f p, yqqddy. D Olgu nüüd K ra,s R. Iga P ra,s korral tähistame D tpy, zq: p, y, zq P K u. Nõuame, et keha K rahuldaks järgmisi tingimusi: ) @ P ra,s DS D dydz; D ) @, P ra,s pd D q_pd D q; 3) tähistame S : ra,s Ñ R, kus Spq S D, olgu S pidev. Siis V K Spqd. a 96. Leidke järgmised integraalid. a) arctan arccot y p qp y d dy, kus D r,s r,s; q D ) p yqd dy, kus D on piiratud joontega y ja y. D 97. Leidke järgmised integraalid, minnes üle polaarkoorinaatidele. a) y d dy, kus D tp, yq: y 4,, y u; D ) p y q d dy, kus D tp, yq: y, y u; D 3

c) y d dy, kus D tp, yq: y u; D d) sinp y qd dy, kus D tp, yq: π y 4π u; D e) arctan y d dy, kus D tp, yq: y,, y u. D 98*. Tähistagu U kolmnurka tippudega p,q, p,q ja p,q. Tõestage, et U y e y d dy sh, kus sh t et e t (hüperoolne siinus).. Kahekordse integraali arvutamine. Üleminek polaarkoordinaatidele. Kahekordse integraali rakendusi (tasandilise kujundi pindala, keha ruumala, ruumilise pinnatüki pindala). 99. Leidke järgmised integraalid, minnes üle polaarkoorinaatidele. a) y d dy, kus D tp, yq: p q y u; D ) d dy, kus D tp, yq: py q, u; D c) y d dy, kus D tp, yq: py q u; D d) p y qd dy, kus D tp, yq: py q 4u; D e) y d dy, kus D tp, yq: 4 D y 8, y u.. Leidke y-tasandil asetsevate kujundite pindalad, kui need kujundid on piiratud järgmiste joontega. Arvud a ja on positiivsed. a) y 3, y, ; ) y e, y e, y e; c) y, y, y 4; d) y 4, y 5; e) 3 5y, 5y 9; f) y a ; g) r a cosϕ, r cosϕ, p aq; h) r ap cosϕq (kardioid); i) r a cos4ϕ (neljaleheline roos); j) p y q a y; k) p y q a p y q (Bernoulli lemniskaat); l) p y q a 3.. Leidke järgmiste pindadega piiratud kehade E ruumalad V E, kasutades valemit V E f p, yqd dy. D 4

a) Tasandid, y, z ja y z. ) Tasandid, y, z, 4 ja y 4 ning pöördparaoloid z y. c) Tasandid, y, z ja y ning elliptiline paraoloid z d) Tasandid z ja z 6 ning silindrid y? ja y?. y. e) Tasand z, pöördparaoloid z y ja silinder y. *. Leidke kahekordne integraal p 3 3 y qd dy, R kus R tp, yq: p q y 9, p q y u. Koostage arvuti ail joonis, millel kujutatakse integrandi graafikut tp, y, 3 3 y q: p, yq P Ru. NB! Muid punkte peale nende, mis vastavad argumendile p, yq hulgast R, mitte graafikule kanda! (Nõutav graafik näe välja nagu auguga kartulikrõps.) 3. Kahekordse integraali rakendusi (tasandilise kujundi pindala, keha ruumala, ruumilise pinnatüki pindala). 3. Leidke järgmiste pindadega piiratud kehade E ruumalad V E, kasutades valemit V E f p, yqd dy. D a) Koordinaattasandid, silinder y ja pind z 4 y, kus y, ja y. ) Tasandid, y ja z ning hüperoolne paraoloid z y. c) Tasandid, y, z ja 3y ning silinder y z. d) Tasandid z ja z 3 4y ning elliptiline silinder 4y 4. e) Sfäär y z 3 ja pöörparaoloid z y. f) Silindrid y ja z. g) Pöördparaoloidid z 4 y ja z y. h) Silinder y 3 ja kahekatteline hüperoloid z y 3. i) z cos cos y, z, y π ja y π. 4. Leidke järgmiste ruumiliste pindade märgitud osade pindalad. a) Tasandi 6 3y z osa, kus, y ja z. ) Pinna z y osa, mis asu silindri y sees. c) Sfääri y z a osa, mis on silindri y p aq sees. d) Koonuse z y osa, mille eralda temast silidriline pind z y. e) Silindri z 4 osa, mille eraldavad temast silinder y 4 ja tasand. f) Sfääri y z a osa, mille lõika temast välja silinder y a. g) Koonuse y z osa, mis asu silindri y sees. 4. Kolmekordse integraali arvutamine. Kolmekordse integraali mõiste ineeritakse ja omadused sõnastatakse ning tõestatakse põhimõtteliselt samasugusel viisil nagu kahekordse integraali mõiste ja vastavad omadused. Kõigepealt ineeritakse see integraal risttahukate ra, s rc, ds ru, vs jaoks, kasutades risttahuksummasid. Seejärel suvalise tõkestatud hulga K korral valitakse risttahukas R K (jätkates hulgas K määratud funktsiooni 5

risttahukal R määratud funktsiooniks F nullfunktsiooni ail) ning ineeritakse, et f p, y, zqddydz Fp, y, zqddydz. K R Olgu K R 3 tõkestatud hulk. V K ddydz (keha K ruumala). K Leesgue i kriteerium väida analoogiliselt kahe muutuja juhuga: olgu f : K Ñ R tõkestatud funktsioon, olgu E tx P K : f on katkev punktis Xu ja leidugu ruumala V K, siis V E ðñ f on integreeruv hulgas K. Nii näiteks, kui hulgal K leidu ruumala V K ja f on pidev hulgas K, siis f on integreeruv hulgas K. Olgu D R selline, et DS D. Olgu ψ,ϕ: D Ñ R sellised funktsioonid, et @p, yq P D ψp, yq ϕp, yq. Olgu K tp, y, zq: p, yq P D, z P rψp, yq,ϕp, yqsu (kõversilinder). Lause. ψ, ϕ pidevad hulgas D ùñ DV K. Lause., DV K, f integreeruv kõversilindris K, /. ϕp,yq ϕp,yq ùñ f p, y, zqddydz f p, y, zqdz ddy. K D @p, yq P D D f p, y, zqdz /- ψp,yq ψp,yq Olgu nüüd K ra,s R. Iga P ra,s korral tähistame D tpy, zq: p, y, zq P K u. Nõuame, et keha K rahuldaks järgmisi tingimusi: ) @ P ra,s DS D dydz; D ) @, P ra,s pd D q_pd D q; 3) tähistame S : ra,s Ñ R, kus Spq S D olgu S pidev., DV K, /. f integreeruv kehas K, Lause. @ P ra,sd f p, y, zqdydz /- K ùñ f p, y, zqddydz f p, y, zqdydz d. a D D Regulaarse kujutuse T : R 3 Ñ R 3 initsioon on samuti analoogiline, kusjuures T pu, v, wq pξpu, v, wq, ηpu, v, wq, ζpu, v, wqq korral jakoiaan on kujul ξ u puq ξ v puq ξ w puq JpUq η u puq η v puq η w puq ζ u puq ζ v puq ζ w puq. Levinud peaaegu regulaarsed muutujavahetused: T pu, v, wq pu cos v,u sin v, wq (silindrilised koordinaadid), T pu, v, wq pu cos v sin w,u sin v sin w,u cos wq (sfäärilised koordinaadid). Olgu D R m, olgu D sidus. iga pideva lihtsa kinnise joone γpiq korral D on ühelisidus ðñ γpiq poolt piiratud hulk E sisaldu hulgas D. Olgu R selline ühelisidus hulk, et leidu S. Olgu, y, z : Ñ R. Olgu Ω: Ñ R 3, kus Ωptq ppu, vq, ypu, vq, zpu, vqq iga pu, vq P korral. Vektorfunktsiooni Ω väärtuste hulka Ωp q tωpu, vq: pu, vq P u nimetatakse pinnaks ruumis R 3. Kui on antud funktsioonid, y ja z, öeldakse mõnikord, et pind on antud parameetriliselt. 6

Olgu U pu, vq P. Tähistame y npuq papuq, BpUq,CpUqq u puq z u puq y v puq z v puq, z u puq u puq z v puq v puq, u puq y u puq v puq y v puq p u puq, y u puq, z u puqq p v puq, y v puq, z v puqq. " u, Ωp q on sile ðñ v, y u, y v, z u, z v pidevad hulgas, @U P papuq,bpuq,cpuqq. Lause. Olgu Ωp q sile pind. Olgu U P. Tähistame π tx: npu q,x ΩpU qy u. Kehti koondumine lim dpωpuq,πq UÑU }U U }. Lause näita, et siledal pinnal on igas tema punktis ΩpUq puutujatasand π U, mille normaalvektor on npuq. Olgu kinnine ühelisidus hulk, kusjuures leidugu $ S. Olgu Ωp q sile pind. & Y...Y n, T p,..., n q on hulga alajaotus ðñ @k,...,n % k on kinnine ja DS k, @k,l,...,n k l ñ k X l H. Tähistame λpt q ma diamp kq. k,...,n Iga tasandi π tp, y, zq: A B y C z D u korral tähistame tähisega p π puq punkti ΩpUq projektsiooni tasandile π. Arvutuslikult: p π puq ΩpUq πpωpuqq n π, kus n π pa,b,cq ja πp, y, zq }n π } A B y C z D. Hulga iga alajaotuse T korral valime iga k,...,n jaoks U k P k ning tähistame Ω k p πuk p k q. Saa näidata, et hulkadel Ω k leidu pindala. ņ S Ωp q lim S Ωk (pinnatüki Ωp q pindala). λpt qñ k Lause. S Ωp q }npu, vq} dudv. βp,yq 5. Asetage integraalis d a Dpq E f p, y, zqd dy dz rajad valemite f p, y, zqdy dz järgi, kui E on piiratud järgmiste pindadega. D d dy a) Silinder y p q ning tasandid z, z 3 ja. ) Silinder y ning tasandid z ja z 4. c) Tasandid, y, z ja y z. d) Pind z y ja tasand z. e) Ellipsoid y z a c. αp,yq 6. Leidke järgmised integraalid. a) y z d dy dz, kus E tp, y, zq: 3, y, z u; E f p, y, zqdz ja 7

) y d dy dz, kus E tp, y, zq: 3, y, z yu; E c) pz 4qd dy dz, kus E tp, y, zq:, y, z u; E d dy dz d), kus E tp, y, zq:, y 5, z 4u. y E 7. Leidke järgmised integraalid. a) p q y d dy dz, kus E r,s r,s r,s; E ) y z 3 d dy dz, kus E on piiratud hüperoolse paraoloidiga z y ja tasanditega, E y ja z ; c) p 3y zqd dy dz, kus E on piiratud tasanditega, y, z, z 3 ja y. E 8. Olgu B tp, y, zq: e z, y z, y z 4u. Koostage hulga B kohta arvuti aiga kolmemõõtmeline kontuurjoonis. Tõestage, et B d dy dz 8 4?. 3 9*. Tõestage, et iga lõigus r, as integreeruva funktsiooni f korral kehti valem a y d dy f pzqdz a pa zq f pzqdz. *. Kahekordset integraali kasutades leidke piirväärtus pm,n P Nq m ņ lim m,nñ8 mn l kl sin n mn. k l *. Tõestage, et iga lõigus r,s integreeruva funktsiooni f korral kehti valem d dy y f pzqdz p z qf pzqdz p zq f pzqdz. 5. Kolmekordse integraali arvutamine. Silindrilised koordinaadid, sfäärilised koordinaadid. Keha ruumala leidmine kolmekordse integraali ail.. Üleminekuga silinderkoordinaatidele leidke järgmised integraalid. 8

a) z d dy dz, kus E on piiratud silindriga y p, y q ja tasanditega, E y, z ja z ; d dy dz ) pz q, kus E tp, y, zq: y, z u; E c) z d dy dz, kus E on piiratud silindriga y a p, y q ja tasanditega z, E z, y ja y? 3; d) y d dy dz, kus E on piiratud silindriga y, tasandiga z ja paraoloidiga E z y ; e) z y d dy dz, kus E on piiratud silindriga y py q ja tasanditega z, E z c ja y ; f) p y qd dy dz, kus E tp, y, zq: a y z, z u. E 3. Üleminekuga sfäärkoordinaatidele leidke järgmised integraalid. a) z d dy dz, kus E on piiratud sfääri osaga y z py, z q ja tasanditega y E ja z ; ) y z d dy dz, kus E tp, y, zq: y z, y u; E c) y z d dy dz, kus E on kera y z z; E d dy dz d) a y pz q, kus E on kera y z ; E e) p y qd dy dz, kus E tp, y, zq: y z a, z u; E f) p y qd dy dz, kus E tp, y, zq: a y z u. E 4. Leidke kehade ruumalad, kui nad on piiratud järgmiste pindadega. Arv a on positiivne. a) Silindrid z 9 y ja z y ning tasandid ja 5. ) Paraoloidid z y ja z y ning silinder y. c) Paraoloidid z y ja z y ning tasandid, y ja y. d) Silindrid y ja 3y 4 ning tasandid z ja z 9. e) Hüperoolne paraoloid z y ning tasandid, y, y ja y z. f) Paraoloidid z y ja z y, silinder y ning tasand y. g) Pind p y z q a 3 z. 9

5*. Olgu a. Tõestage, et ellipsi täisvõnke kaarepikkusega, kui c a a. " a cos t, y sin t pikkus on võrdne sinusoidi y c sin ühe 6*. Leidke näide sirgestuvast joonest L R ning funktsioonidest f, g, h : L Ñ R nii, et f p, yq gp, yq hp, yq iga p, yq P L korral, aga L f p, yqd L gp, yqd ja gp, yqd L hp, yqd. L Märkus. Ülesanne näita, et teist liiki joonintegraal üldiselt ei ole monotoonne. 6. Esimest liiki joonintegraali arvutamine üle tasandilise joone. Esimest liiki joonintegraali arvutamine üle ruumilise joone (parameetriliselt antud joonte korral). Olgu ϕ,ϕ : ra,s Ñ R. Olgu γptq pϕ ptq,ϕ ptqq. Olgu L γpra,sq lihtne pidev sirgestuv kaar. Tähistame T tt : T on lõigu ra, s alajaotusu. Olgu T rt,..., t n s lõigu ra,s mingi alajaotus. Tähistame s k l γprtk,t k sq iga k,...,n korral (osakaarte γprt k, t k sq pikkused). Tähistame λpt q ma pt k t k q. Tähistagu ξ pξ,...,ξ n q suvalist vektorit, kus Q k γpξ k q P γprt k, t k sq iga k,...,n korral. Tähistame iga k,...,n korral k,...,n k ϕ pt k q ϕ pt k q ja y k ϕ pt k q ϕ pt k q. Olgu f : L Ñ R ja I P R. ðñ Tähis: f p, yqds. L ðñ Funktsiooni f esimest liiki joonintegraal üle joone L on I DI P R : @ε Dδ : @T P T, @ξ λpt q δ ñ ņ k f pq k qs k I Funktsiooni f teist liiki joonintegraal koordinaadi järgi üle joone L on I ðñ ņ ðñ DI P R : @ε Dδ : @T P T, @ξ λpt q δ ñ f pq k q k I k Tähis: f p, yqd. L Funktsiooni f teist liiki joonintegraal koordinaadi y järgi üle joone L on I ðñ ðñ Tähis: f p, yqdy. L DI P R : @ε Dδ : @T P T, @ξ λpt q δ ñ 3 ņ k f pq k q y k I ε. ε. ε.

Lause. $ '& f p, yqds f pγptqq ϕ ptq ϕ ptq dt, * L a L sile, ùñ f p, yqd f pγptqqϕ f pidev ptqdt, L a '% f p, yqdy f pγptqqϕ ptqdt L a NB! Nii esimest kui teist liiki joonintegraalidel on kõik harilikud määratud (ja kahekordse) integraali aritmeetikaomadused: aditiivsus, homogeensus ja aditiivsus piirkonna järgi. NB! Esimest liiki joonintegraalil on ka järjestusega seotud integraali omadused: monotoonsus ja keskmise muutuja omadus. Teist liiki joonintegraalil üldiselt ei ole järjestusega seotud omadusi. (Nende olemasolu sõltu joont määravate koordinaatfunktsioonide ϕ ja ϕ monotoonsusest.) NB! Teist liiki joonintegraal vaheta märki, kui vahetada joone läimise suunda. NB! Ülaltoodud mõisted saa ineerida ja tulemused kehtivad ka juhul, kui mõiste lihtne asendada mõistega lihtne kinnine. Teist liiki joonintegraali korral märgi tähis L või lihtsalt L kinnise joone läimist nii, et joone L poolt piiratud hulk jää vasakule, ja L vastupidises suunas. 7. Leidke järgmised tasandilised joonintegraalid mööda antud joont AB või L. ds a) y, AB : y, A p, q, B p4,q; AB y ) ds, AB : y, A p, q, B p, 3q; y AB ds c), AB : y 3, A p3,5q, B p5,q; AB d) y ds, AB : cos t, y sin t, t P, π, A p,q, B p,q; AB? e) y ds, L : apt sin tq, y ap cos tq, t P r,πs; f) L y ds, L g) y ds, h) p yqds, AB L : apt sin tq, y ap cos tq, t P r,πs; AB : r cosϕ, ϕ P, π ; AB : r cosϕ, ϕ P π, π ; AB i) p y qds, L : r a sinϕ, ϕ P r,πs; L j) arctan y ds, kui L on Archimedese spiraali r ϕ osa, kus r π; L k) y ds, AB : y a, p q, A pa,q, B p, aq; AB 3

l) p yqds, L : y ; m) n) o) p) L ds, L : y ay; L p yqds, kui L on kolmnurga ABC kontuur, kus A p,q, B p,q ja C p,q; L y ds, kui L on ristküliku ABC D kontuur, kus A p,q, B p4,q, C p4,q ja D p,q; L y ds, kui L on lemniskaat p y q a p y q pa q. L 8. Leidke järgmised joonintegraalid mööda antud ruumilist joont L. 3z ds a), kus L on kruvijoone a cos t, y a sin t, z at esimene keerd p t πq; y L ) p 3zqds, kui L on joone 3t, y 3t?, z t 3 osa, kus t ; c) L z ds, kui L on koonilise kruvijoone t cos t, y t sin t, z t osa, kus t?. L 7. Joone kaare pikkus. Silinderpinna pindala. 9. Leidke järgmiste y-tasandil asetsevate joonte pikkused. a) y?, P r,7s; ) y ch, P r,s; c) lnpt q, y lnpt d) r e ϕ, ϕ P r,πs; e) r sin 3 ϕ ; 3 f) y lncos, P a t q, π. 4 a t, t P r,e s;. Leidke järgmiste ruumiliste joonte märgitud kaarte pikkused. a) 3t, y 3t, z t 3, A p,,q, B p3,3,q; ) e t cos t, y e t sin t, z e t, t P r,8q.. Leidke vertikaalsete silinderpindade pindalad, kui pindade alumised servad on y-tasandil ja ülemised servad on määratud järgmiste joontega. a) y, z y, p, y q; c) y, z p 4q. ) y 4, z 4; 3

. Leidke silinderpinna y pindala, mis asu silindri z 4 sees. 3. Leidke silinderpinna y selle osa pindala, mis asu kera y z 4 sees. 4. Leidke y-tasandil oleva kõvera cos t, y sin t, t π mass, kui tema joontihedus on pp, yq y. 8. Teist liiki joonintegraali arvutamine üle tasandilise joone. Teist liiki joonintegraali arvutamine üle ruumilise joone (parameetriliselt antud joonte korral). Üldise teist liiki joonintegraali leidmine. 5. Leidke järgmised joonintegraalid mööda y-tasandil asetsevat joont AB. a) y d, AB : y sin, A p,q, B pπ,q; ) c) d) e) f) g) h) y d, AB : y, A p4,q, B p,q; p y qdy, AB :? y, A p,q, B p,4q; AB AB AB AB AB AB AB dy, y d, dy, cos y dy, e y d, AB : 3 y 6, A p,q, B p,3q; AB : cos t, y sin t, t P, π ; AB : cos t, y sin t, t P r,πs; AB : -telg, A p,q, B p4,q; AB : sirglõik, mis ühenda punkte A p,q ja B p,6q; AB i) dy, kui L on kolmnurga ABC kontuur, kus A p,q, B p3,q ja C p,q; j) L p y qd, kui L on kontuur, mille moodustavad sirged, 5, y ja y 3. L 6. Leidke järgmised üldised teist liiki joonintegraalid. a) cos y d sin dy, AB : y, A p,q, B pπ,πq; AB ) y d dy, c) L : a cos t, y a sin t, t P, π ; L p yqd dy, AB : t sin t, y cos t, A p,q, B pπ,q. AB 33

7. Leidke y-tasandil olevate tasandiliste kujundite pindalad, kui nad on piiratud järgmiste joontega. a) Ellips a cos t, y sin t, t P r,πs; ) astroid a cos 3 t, y sin 3 t, t P r,πs; c) kardioid apcos t costq, y apsin t sintq; d) y, y ; e) joone p yq 3 y silmus; f) Bernoulli lemniskaat p y q a p y q. 9. Greeni valemi ail pindala leidmine. Integreerimisteest sõltumatud tasandilised joonintegraalid. Teoreem (Greeni valem)., Olgu G R lahtine ja ühelisidus. Olgu F,G : G Ñ R. Olgu D G. D on kinnine, /. BD on tükiti sile, ùñ G F ja G on pidevad, p, yq F y p, yq ddy F p, yqd Gp, yqdy. D /- BD F y ja G on pidevad Lause. * D on kinnine, ùñ S BD on tükiti sile D dy BD BDp yqd Olgu G R lahtine ja sidus. Olgu A,B P G. Olgu F,G : G Ñ R pidevad. $ '& Tähistame L Joonintegraal γ: '% $ '& '% p y d dyq. BD γ: r,s Ñ R, kus γptq pptq, yptqq ja, y : r,s Ñ R, γpr,sq on tükiti sile joon, γpq A, γpq B F d G dy on sõltumatu AB punkte A ja B ühendavast integreerimisteest hulgas G G dy. Lause. Olgu G lahtine ja ühelisidus, F,G : G Ñ R pidevad, G,F y pidevad. @X P G G pxq F y pxq ðñ ðñ iga tükiti sileda kinnise joone L G korral, /.. /- ðñ@γ,γ P L F d G dy γ pr,sq γ pr,sq F d Fp, yqd Gp, yqdy L F p, yqd Gp, yqdy ðñ iga kahe punkti A, B P G korral AB on sõltumatu integreerimisteest hulgas G ðñ DU : G Ñ R nii, et U on dif-v ja U F, U y G. 8. Leidke Greeni valemi ail järgmised joonintegraalid. a) p qy d p y qdy, L : y a ; ) L p y yqd p y yqdy, L L : a y ; 34 ðñ ðñ