Doaci /REŠENJA ADATAKA. Na slici j prikazan grafik zavisnosti vrnsk pron napona izđu dv tačk u jdno kolu. a) Odrditi aplitudu, fktivnu vrdnost, počtnu fazu, kružnu učstanost i frkvnciju ovog napona. b) Napisati izraz po ko s nja trnutna vrdnost ovog napona. c) Kolika j trnutna vrdnost napon u trnutku t = 0 s? u [V] - 0 0 0 0 t [s] - Ršnj: a) Vrnski priodičn vličin su vličin čij s vrdnosti ponavljaju u jdnaki vrnski intrvalia. Taj vrnski intrval naziva s priod i oblžava s sa T. Prostopriodičn vličin s njaju po sinusno zakonu. Mi ćo proučavati linarn rž sa vrnski prostopriodični strujaa i naponia. Vrlo j bitno zapatiti da su u pojdinoj ovakvoj rži svi naponi i struj ist frkvncij (pod prtpostavko da su svi gnratori ist frkvncij, što ć biti slučaj u svi naši priria). Opšti oblik napona koji s nja po prostopriodično zakonu j: u t sin t. počtna faza [rad] kružna učstanost [ rad ili s s ] aplituda [V] Na slici V... oblžn su sv ponut vličin za analizu datog prostopriodičnog napona. Aplituda prostopriodičn vličin j aksialna apsolutna vrdnost koju ož iati ta prostopriodična vličina. Pošto s prostopriodičn vličin njaju po sinusno zakonu, čija s vrdnost nja izđu i -, aplituda j vrdnost sa kojo s noži sinusna funkcija, a u slučaju prostopriodičnog napona to j vličina. Dakl, u opšt slučaju aplitudu oblžavao vliki slovo koj označava prostopriodičnu vličinu sa ali slovo u indksu. Sa slik V... vidi s da j aplituda analiziranog napona: V. V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
u (t ) T sin 0 0 t t - Slika V... Efktivna vrdnost prostopriodičn vličin j puta anja od njn aplitud. Efktivnu vrdnost oblžavao vliki slovo koj označava prostopriodičnu vličinu, bz indksa. Dakl, u slučaju prostopriodičnog napona fktivna vrdnost j: Efktivna vrdnost analiziranog napona j:. V V, V, V. Na počtku so uvli priod prostopriodičn vličin. Kao što s ož uočiti na slici V... vrdnosti napona s ponavljaju na svkih 0 s pa j prioda: T 0 s. Frkvncija ili učstanost prdstavlja broj ponavljanja prioda u jdnoj skundi pa j vza izđu frkvncij i priod: T - f Hz s. Vidi s da j jdinica za frkvnciju s -, ali j ipak uvdna nova jdinica: hrc [Hz]. Frkvncija analiziranog napona j: f 0 Hz T 0 0 s. Sinusna funkcija n nja vrdnost ako s uglu, čiji s sinus odrđuj, doda konstanta j n co broj. Dakl, za n = važi: sin S obziro da za priodičnu vličinu ora da važi: sin t t. t sin t T sint T sin, n, gd porđnj prthodna dva izraza vidio da j priod prostopriodičn vličin odrđn rlacijo: T. V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
Na osnovu prthodnog izraza dfiniš s kružna učstanost: f. T Kružna učstanost analiziranog napona j: rad rad f 0 Hz 00. s s Trnutna faza prostopriodičn vličin j: a jdinica j radijan. t, Počtna faza prostopriodičn vličin pokazuj koliko j vrnski porna ta vličina u odnosu na vrnski počtak i jdnaka j trnutnoj fazi za počtni trnutak t = 0 s. Počtna faza s izražava u radijania i ož iati vrdnosti od do. Počtnu fazu napona oblžavao sa. Počtnu fazu struj oblžavao sa. počtno trnutku t = 0 s napon ia vrdnost: u t s sin. 0 naš zadatku na apscisi (x-osi) s nalazi vr - t. Pokazali so da vrnskoj proni od jdn priod odgovara prona faz od, pa s čšć na x-osu nanosi proizvod T u radijania. Na ovaj način j odah dostupna inforacija o počtnoj fazi, ada s na grafiku gubi inforacija o frkvnciji signala. Na slici V... prikazana su oba načina oblžavanja x-os. Sa slik iz zadatka vidio da analizirani napon prdnjači u odnosu na vrnski počtak za s. Kažo da ''prdnjači'' jr s najbliži počtak sinusoid počtno trnutku t = 0 s nalazi pr počtnog trnutka (nalazi s sa lv stran). Da biso dobili počtnu fazu, kao što s vidi sa slik V..., ovu vrdnost trba ponožiti sa kružno učstanošću. Dakl, počtna faza analiziranog napona j: rad t 00 0 s 0, rad rad,7 rad. s ( sldć zadatku sršćo sa sa strujo koja ia ngativnu počtnu fazu.) b) S obziro da so odrdili sv potrbn vličin ožo napisati izraz po ko s nja trnutna vrdnost ovog napona: u t sin t sin t V. c) Da biso dobili trnutnu vrdnost napona u trnutku t = 0 s, zanio ovu vrdnost u prthodno dobijno izrazu: u rad t 0 0 s sin 0 0 s,7 rad V sin,7 rad V - V što s ož provriti na grafiku zadato u zadatku. s V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
. Trnutna vrdnost struj u jdnoj grani kola nja s po zakonu: i t 0, sin0 t A. a) Nacrati grafik zavisnosti vrnsk pron ov struj. b) Na isto grafiku nacrtati pron struj t i c) Na isto grafiku nacrtati pron struj t i, koja prdnjači struji i t za., koja kasni za strujo i t za. Ršnj: a) Napišio opšti izraz po ko s nja trnutna vrdnost prostopriodičn struj: i t sint 0, sin0 t A. Odavd odrđujo paratr: - aplituda 0, A - kružna učstanost 0 s, - 0 s frkvncija f 9 Hz, - priod T 6,8 0 s 68 s, 0 s - počtna faza. očio da j počtna faza struj ngativna, što znači da struja kasni u odnosu na vrnski počtak, odnosno da s najbliži počtak sinusoid počtno trnutku t = 0 s nalazi posl počtnog trnutka (nalazi s sa dsn stran). ajući ovo u vidu i s obziro da so odrdili paratr, ožo nacrtati grafik zavisnosti trnutn vrdnosti analiziran struj: 0, i [A] 0 68 9 t t [s] -0, Slika V... V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
b) Struja koja prdnjači za u odnosu na posatranu struju ia najbliži počtak sinusoid počtku sinusoid i t koji prdnjači u vrnu, odnosno po t osi porn nalvo za, kao što j prikazano na slici V... Dakl, počtna faza struj. 6 i t j: Slika V... c) Struja koja kasni za u odnosu na postranu struju ia najbliži počtak sinusoid počtku sinusoid i t zakašnjn u vrnu, odnosno po t osi porn nadsno za, kao što j prikazano na slici V... Dakl, počtna faza struj i t j:. V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
. kalu induktivnosti = 0 H, zanarljiv lktričn otpornosti, uspostavljna j prostopriodična struja fktivn vrdnosti = A, kružn učstanosti počtn faz. a) Napisati izraz po ko s nja trnutna vrdnost struj kroz kal. b) Odrditi napon izđu krajva kala. c) Nacrtati na isto grafiku pron intnzitta napona i struj kroz kal. Ršnj: a) Opšti izraz po ko s nja trnutna vrdnost struj j: i t sin t. Na osnovu poznat fktivn vrdnosti odrđujo aplitudu struj: A 0 A. anjujući odrđn paratr u izrazu za struju dobijao: i t sin t 0 sin0 t A. 0 s i b) toriji j pokazano da j, pra usaglašni rfrntni srovia, kao što j prikazano na slici V..., napon na kalu: u t sint sint Pordći lvu i dsnu stranu jdnakosti vidio da j vza izđu aplitud napona i struj:, i + u Slika V... gd prdstavlja raktivnu otpornost kala. a analizirani kal raktivna otpornost iznosi: X 0 s 0 0 H 00, pa j aplituda napona: 00 0 0 A V. Razlika faza izđu napona i struj na kalu j:, pa j počtna faza napona:. 6 6 V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
Naravno, napon i struja su ist učstanosti. Sada ožo napisati izraz po ko s nja trnutna vrdnost napona na kalu: u t sin t sin0 t V. 6 c) Na slici V... prikazani su grafici pron trnutnih vrdnosti napona i struj na kalu. u (t ) i (t ) 6 0 t Slika V.... zđu lktroda kondnzatora kapacitivnosti = 00 nf napon j prostopriodičan fktivn vrdnosti =, V, kružn učstanosti 0 s i počtn faz. a) Napisati izraz po ko s nja trnutna vrdnost napona na kondnzatoru. b) Odrditi zakon po ko s nja struja u priključni provodnicia kondnzatora. c) Nacrtati na isto grafiku pron intnzitta napona na kondnzatoru i struj u priključni provodnicia kondnzatora. Ršnj: a) Opšti izraz po ko s nja trnutna vrdnost napona j: u t sint. Na osnovu poznat fktivn vrdnosti odrđujo aplitudu napona:, V,7 V. anjujući odrđn paratr u izrazu za napon dobijao: u t sin t,7 sin0 t V. i + u b) toriji j pokazano da j, pra usaglašni rfrntni srovia, kao što j prikazano na slici V..., struja u priključni provodnicia kondnzatora: V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA 7
i t sint sin t Pordći lvu i dsnu stranu jdnakosti vidio da j vza izđu aplitud napona Slika i V... struj:, gd prdstavlja raktivnu otpornost kala. a analizirani kondnzator raktivna otpornost iznosi: X 00, 9 0 s 00 0 H pa j aplituda struj:,7 V 7 A. 00 Napona: Ovd so uvli raktansu saog kondnzatora kao pozitivnu vličinu. To n trba šati sa raktanso prijnika, koji ia prtžno kapacitivan karaktr, i koja j uvk ngativna. O karaktru prijnika i znaku njgov raktans bić rči kasnij. Razlika faza izđu napona i struj na kondnzatoru j: pa j počtna faza napona:,. Trnutna vrdnost struj u priključni provodnicia kondnzatora j: i t sint 7 sin0 t A. c) Na slici V... prikazani su grafici pron trnutnih vrdnosti napona na kondnzatoru i struj u priključni provodnicia kondnzatora. i (t ) u (t ) 0 t Slika V... 8 V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
. Otpornik otpornosti R = 0, kal induktivnosti = 0 H i kondnzator kapacitivnosti = F vzani su na rd. ovoj rdnoj vzi j uspostavljna prostopriodična struja fktivn vrdnosti = A, kružn učstanosti = 000 s - i počtn faz / 6 pra usvojno rfrntno sru. Odrditi napon izđu krajva ov rdn vz. Kakvog j karaktra ova vza lnata? i(t) R + u(t) Ršnj: Napišio najpr izraz za trnutnu vrdnost struj. Data j fktivna vrdnost struj pa j aplituda: Otuda j izraz za trnutnu vrdnost struj: A A. i t sin t sin000t A. 6 i(t) R + u R (t) + u (t) + u (t) + u(t) Slika V... Naponi na pojdini lntia, pra usaglašni rfrntni srovia (slika V...), su: u t R i t R sin t R, u t sint, u t sint. a trnutn vrdnosti napona i struja važ Kirhofovi zakoni pa j: R sin u t u t u t u t R t sint sint V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA 9
R gd so prinili činjnicu da j: Prino trigonotrijsk rlacij: sin( t ) cos( t ), sin cos i sin cos. A sin cos A sin( arctg ), A na izraz za napon na rdnoj R vzi, dobijao: sin( t ) R sin( t arctg ). R zjdnačavanj aplitud i faz lv i dsn stran jdnakosti dobijao odnos aplituda i razliku faza napona i struj rdn vz. nralno, odnos aplituda napona i struj na nkoj vzi lnata nazivao ipdansa. očavao da j odnos aplituda jdnak odnosu fktivnih vrdnosti: pdansa rdn vz j: R. Vidio da j ipdansa uvk pozitivna vličina s obziro da prdstavlja odnos aplituda koj su pozitivn vličin. Vličina R naziva s aktivna otpornost ili rzistansa. Vličina naziva s raktivna otpornost ili raktansa rdn vz, a prdstavlja razliku raktansi kala i kondnzatora. opšt slučaju raktansu oblžavao sa X, pa j u opšt slučaju ipdansa nk vz lnata: R X. Raktansa rdn vz j dakl: X X X. Razliku faza napona i struj oblžavao sa. Razlika faza napona i struj rdn vz j: X arctg arctg. R R Odavd j: X tg. R Odrdio sinus i kosinus razlik faza napona i struj. Prinio trigonotrijsk vz izđu sinusa, kosinusa i tangnsa ugla: 0 V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
R R cos, tg R X X R X tg R X X sin. tg R X X R sin oblast dfinisanosti za cos 0 S obziro da su vličin R i uvk pozitivn vličin, i kosinus ugla j uvk pozitivan. Pošto vličina X ož biti i pozitivna i ngativna, sinus ugla ož biti - 0 cos i pozitivan i ngativan. Na osnovu prthodnog s zaključuj da j oblast dfinisanosti razlik faza izđu napona i struj: -, što j prikazno na trigonotrijsko krugu na slici V... anio brojn vrdnosti u izraz. Raktansa posatran rdn vz j: X X X 000 s pdansa posatran rdn vz j: 0 0 H - 000 s. 0 6 0 00 0 F R R X 7 Aplituda napona j: 0 0 0 0 70,. 0 0 A 0, V. Razlika faza napona i struj posatran rdn vz j: X - 0 arctg arctg arctg arctg-. R R 0-0 - Tortski izraz arctg ia dva ršnja: i (uvk porna za ), kao što j prikazano na slici V... Mđuti, s obziro na oblast dfinisanosti ugla, jdino oguć ršnj j:. Počtna faza napona j: - V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
. 6 6... Sada ožo napisati izraz za trnutnu vrdnost napona: u t sint 0, sin000t V. Na slici V... prikazani su grafici pron trnutnih vrdnosti napona i struj posatran rdn vz. u (t ) i (t ) 6 0 t Slika V... Sa slik vido da struja prdnjači naponu za pa j razlika faza izđu napona i struj ngativna, kao što so računski put dobili. Stio s da j razlika faza kod kondnzatora izđu napona i struj ngativna pa posatrana rdna vza ia kapacitivni karaktr. nralno, kada j raktansa vz lnata pozitivna, X 0, tada j i razlika faza izđu napona i struj pozitivna, 0, i tada vza ia prtžno induktivni karaktr. Obrnuto, kada j raktansa vz lnata ngativna, X 0, tada j i razlika faza izđu napona i struj ngativna, 0, i tada vza ia prtžno kapacitivni karaktr. V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
6. Otpornik provodnosti = S, kal induktivnosti = 00 H i kondnzator kapacitivnosti = 00 nf vzani su parallno, a izđu njihovih krajva j uspostavljn prostopriodičan napon fktivn vrdnosti = V, kružn učstanosti = 0 s - i počtn faz / pra usvojno rfrntno sru. Odrditi struju napojn gran ov paralln vz. Kakvog j karaktra ova vza lnata? i(t) u(t) Ršnj: Napišio najpr izraz za trnutnu vrdnost napona. Data j fktivna vrdnost napona pa j aplituda: Otuda j izraz za trnutnu vrdnost napona: V V. u t sin t sin0 t V. i(t) i (t) R i (t) i (t) u(t) Slika V... Analiza parallnog R kola vrši s na analogan način analizi radnog R kola. Struj kroz pojdin lnt, pra usaglašni rfrntni srovia (slika V...), su: i t u t sin t, i t sint, i t sint. a trnutn vrdnosti napona i struja važ Kirhofovi zakoni pa j pra prvo Kirhofovo zakonu: V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA t i t i t i t i R sin sin sin t t t ) cos( sin t t. ovd so prinili činjnicu da j: cos sin i cos sin. Prino trigonotrijsk rlacij: ) A arctg sin( A cos A sin, na izraz za napon na rdnoj R vzi, dobijao: ) arctg sin( ) sin( t t. zjdnačavanj aplitud i faz lv i dsn stran jdnakosti dobijao odnos aplituda i razliku faza struj i napona paralln vz. nralno, odnos aplituda struj i napona na nkoj vzi lnata nazivao aditansa Y. Aditansa paralln vz j: Y. Vidio da j aditansa uvk pozitivna vličina s obziro da prdstavlja odnos aplituda koj su pozitivn vličin. Vličina naziva s aktivna provodnost ili konduktansa. Vličina naziva s raktivna provodnost ili suscptansa paralln vz, a prdstavlja razliku suscptansi kondnzatora i kala. nralno, suscptansu oblžavao sa, pa j u opšt slučaju aditansa nk vz lnata: Y. Suscptansa paralln vz j dakl:. Razliku faza struj i napona oblžavao sa. Razlika faza struj i napona paralln vz j: arctg arctg. Odavd j: tg. Odrdio sinus i kosinus razlik faza napona i struj. Prinio trigonotrijsk vz izđu sinusa, kosinusa i tangnsa ugla:
- sin 0 oblast dfinisanosti za cos 0 cos cos sin tg tg tg,. - S obziro da su vličin i Y uvk pozitivn vličin, i kosinus ugla j uvk pozitivan. Pošto vličina ož biti i pozitivna i ngativna, sinus ugla ož biti i pozitivan i ngativan. Na osnovu prthodnog s zaključuj da j oblast dfinisanosti razlik faza izđu struj i napona:, što j prikazno na trigonotrijsko krugu na slici V... Y Y anio brojn vrdnosti u izraz. Suscptansa posatran paralln vz j: 0 s 00 0 Aditansa posatran paralln vz j: 9 F - 0 s 00 0 S S S. H Y S S S S. Aplituda struj kroz napojnu granu j: Y 0 S V 0 A A. Razlika faza struj i napona posatran paralln vz j: S arctg arctg arctg arctg. S Tortski, izraz arctg ia dva ršnja: i, kao što j prikazano na slici V... Mđuti, s obziro na oblast dfinisanosti ugla, jdino oguć ršnj j:. V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
Počtna faza struj j: - 0. Sada ožo napisati izraz za trnutnu vrdnost struj napojn gran: i t sint sin0 t A. - Slika V... Na slici V... prikazani su grafici pron trnutnih vrdnosti napona i struj posatran paralln vz. i (t ) u (t ) 0 t Slika V... Sa slik vido da struja prdnjači naponu za pa j razlika faza izđu struj i napona pozitivna, kao što so računski put dobili. Dakl, posatrana rdna vza ia kapacitivni karaktr jr struja prdnjači naponu. nralno, kada j suscptansa vz lnata pozitivna, 0, tada j i razlika faza izđu struj i napona pozitivna, 0, i tada vza ia prtžno kapacitivni karaktr. Obrnuto, kada j raktansa vz lnata ngativna, 0, tada j i razlika faza izđu struj i napona ngativna, 0, i tada vza ia prtžno induktivni karaktr. 6 V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
7. Prijnik s sastoji od rdn vz otpornika otpornosti R = 0, kala induktivnosti = 6, H i kondnzatora kapacitivnosti = F. Kružna učstanost j = 0 s -. a) Odrditi ipdansu i razliku faza izđu napona i struj ov vz. Kakvog j karaktra ovaj prijnik? b) Odrditi kvivalntn paratr paralln vz za posatrani prijnik. Ršnj: i(t) R + u(t) a) Raktansa prijnika j: X X X pdansa prijnika j: Slika V..6.. 0 s 6, 0 H - 6 0. 6 0 s 0 F R R X 0 a razlika faza izđu napona i struj: 0 0 00 X 0 arctg arctg arctg arctg,. R R 0 zraz arctg, ia dva ršnja: 0,9 radijana i -, radijana, a ora da važi. opsgu izđu i nalazi s 0,9 radijana (korisno j zapatiti,7 ): 0,9. Napona: Kalkulator daj sao jdnu vrdnost funkcij arkustangns (koja j najčšć oblžna kao tan - ) i ta vrdnost s nalazi izđu i, što j upravo ono što naa odgovara kada j u pitanju fazna razlika izđu napona i struj na prijniku. Druga vrdnost s dobija tako što s na dobijnu vrdnost doda ili s od nj oduz, tako da dobijna vrdnost bud izđu i (odnosno, ako j dobijna vrdnost pozitivna trba oduzti, a ako j ngativna trba dodati ). Ovo ć na biti potrbno za odrđivanj počtnih faza napona i struja kod računa sa koplksni računo. S obziro da j raktansa pozitivna (kao i ugao ) ovaj prijnik j prtžno induktivnog karaktra., V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA 7
b) toriji su izvdn vz izđu rdnih i parallnih paratara prijnika. Ekvivalntna konduktansa prijnika j: R 0 0 0,0 S S. R X 00 0 0 Ekvivalntna suscptansa prijnika j: X 0 0 0,06 S 6 S. R X 00 0 0 Napona: Pritio da j suscptansa ngativna kada j prijnik prtžno induktivnog karaktra. Dakl, raktansa i suscptansa jdnog istog prijnika su uvk različitog znaka! i(t) R, X i(t), + u(t) Slika V..6.. + u(t) Aditansa prijnika j: Y 0 0,0 S 0 S Razlika faza izđu struj i napona na ovo prijniku j: 0,9. 8. Prijnik s sastoji od paralln vz otpornika provodnosti = S, kala induktivnosti =, H i kondnzatora kapacitivnosti = 0 nf. Kružna učstanost j = 0 s -. a) Odrditi aditansu i razliku faza izđu struj i napona ov vz. Kakvog j karaktra ovaj prijnik? b) Odrditi kvivalntn paratr rdn vz za posatrani prijnik. Ršnj: i(t) u(t) Slika V..6.. a) Suscptansa prijnika j: 8 V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
0 s 0 0 9 F - 0 s, 0 S S S. H Aditansa prijnika j: Y S S 0 S, S, a razlika faza izđu struj i napona: S arctg arctg arctg arctg 0,. S zraz arctg 0, ia dva ršnja: 0,6 radijana i -,68 radijana, a ora da vazi opsgu izđu i nalazi s 0,6 radijana: 0,6.. S obziro da j suscptansa ngativna (kao i ugao ) ovaj prijnik j prtžno induktivnog karaktra. b) toriji su izvdn vz izđu rdnih i parallnih paratara prijnika. Ekvivalntna rzistansa prijnika j: S R 0, k 00. 0 S 0 0 S S S Ekvivalntna raktansa prijnika j: S X 0, k 00. 0 S 0 0 S S S i(t), + u(t) i(t) R, X + u(t) Slika V..6.. pdansa prijnika j: R X 0, k, - Y, S, 0 S Napona: Kada su paratri paralln vz dati u osnovni jdinicaa, sinsia (S), paratr rdn vz dobijao takođ u osnovni jdinicaa oia ( ). Kada su paratri paralln vz dati u jdinicaa ilisinsia (S) bz prlaska na osnovn jdinic dirktno dobijao paratr rdn vz u jdinicaa kilooia ( k ). Razlika faza izđu struj i napona na ovo prijniku j: 0,6. V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA 9
9. Dva prijnika koja s sastoj od rdn vz lnata, R = 80, = H i = 0 nf, i R = 60, =, H i = 0 nf, vzana su rdno i priključna u kolo naizničn struj kružn učstanosti = 0 s -. Odrditi: a) ipdans i razlik faza napona i struj pojdinih prijnika, b) ipdansu, razliku faza napona i struj i karaktr rdn vz, c) fktivnu vrdnost napona na svako od prijnika, kao i fktivnu vrdnost napona rdn, vz d) kvivalntn paralln paratr i aditansu cl vz, ) aktivnu, raktivnu i prividnu snagu svakog prijnika i rdn vz, ako j fktivna vrdnost struj = A. Ršnj: a) Na slici V..9.. prikazana j rdna vza posatrana dva prijnika. i R R + + u u u + Slika V..9.. Raktansa prvog prijnika j: X 0 s 0 H - 0 s 0 0 9 F 00 0 60. pdansa prvog prijnika j: X 80 60 000 R 00, a razlika faza izđu napona i struj: X 60 arctg arctg arctg 0,7. R 80 zraz arctg 0,7 ia dva ršnja: 0,6 radijana i -, radijana, a zbog uslova fazna razlika izđu napona i struj j: 0,6. 0 V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
S obziro da j raktansa pozitivna (kao i ugao ) ovaj prijnik j prtžno induktivnog karaktra. Raktansa drugog prijnika j: X 0 s pdansa drugog prijnika j:, 0 H - 0 s 0 0 9 0 00 80. F 60 80 0000 00 R X, a razlika faza izđu napona i struj: X - 80 arctg arctg arctg -,. R 60 zraz arctg -, ia dva ršnja: - 0,9 radijana i, radijana, a izđu 0,9. i j: S obziro da j raktansa ngativna (kao i ugao ) ovaj prijnik j prtžno kapacitivnog karaktra. b) kupnu rzistansu rdn vz dobijao kada sabro rzistans svakog od prijnika (prijnika ož biti proizvoljno nogo, a u ovo slučaju ih j dva): R R R 80 60 0. kupnu raktansu rdn vz dobijao kada sabro raktans svakog od prijnika: 80 X X X 60 0. Kako j raktansa ngativna, ova rdna vza j prtžno kapacitivnog karaktra. pdansa rdn vz j: 0 0 0000, R X, Sada ožo provriti da u opšt slučaju ipdansa rdn vz nij jdnaka zbiru ipdansi svakog od prijnika: Evo i dokaza: 00 00 00. R X R R X X R X R X, dakl:. Razlika faza izđu napona i struj rdn vz j: X - 0 arctg arctg arctg - 0,. R 0 Ršnja ovog izraza su: - 0,07 radijana i radijana, a izđu 0,. i j: V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
Takođ, u opšt slučaju razlika faza napona i struj rdn vz nij jdnaka zbiru razlika faza napona i struj svakog od prijnika: 0,6 0, 9 0,9 c) Pošto znao fktivnu vrdnost struj kroz prijnik i njihov ipdans, ožo odrditi fktivn vrdnosti napona na svako prijniku, kao i fktivnu vrdnost napona na cloj parallnoj vzi: 00 A 00 V, 00 A 00 V,, A, V. Kirhofovi zakoni važ za trnutn vrdnosti napona i struja. Ali Kirhofovi zakoni n važ za fktivn vrdnosti napona i struja. S obziro da j: 00 V 00 V 00 V, lako provravao da j:, jr j i. d) Ekvivalntna konduktansa analiziran vz prijnika j: R 0 0 0,007 S 7 S. R X 0000 0 0 Ekvivalntna suscptansa analiziran vz prijnika j: X 0 0 0,00 S S. R X 0000 Aditansa analiziran vz prijnika j: Y 0 0, 0,007 S 7, S d) Aktivna snaga prijnika j korisna snaga, snaga koja s prtvori u toplotu na prijniku (Džulovi gubici), a izračunava s na sldći način: P cos S cos. Raktivna snaga prijnika j snaga koja s raznjuj izđu prijnika i kola, a izračunava s na sldći način: Q sin S sin. Prividna snaga prijnika j: S P Q cos sin cos sin (Dakl, aktivna snaga prdstavlja upravo Džulov gubitk sa kojia so s srli kod vrnski npronljivih (jdnosrnih) struja. Poja raktivn snag ož s razuti V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
kroz trnutnu snagu na jdno od dva raktivna lnta, na prir na kondnzatoru. Ako posatrao grafik pron trnutnih vrdnosti napona i struj na kondnzatoru, uočavao da su ov dv sinusoid, koj prdstavljaju pron struj i napona, porn za i da su u odrđni vrnski intrvalia i napon i struja istog znaka, a u ostali vrnski intrvalia su različitog znaka, kao što j prikazano na slici V..9... S obziro da j trnutna snaga jdnaka proizvodu trnutnog napona i struj, vidio da j u odrđni vrnski intrvalia pozitivna (kad su napon i struja istog znaka) i tada s kondnzator ponaša kao potrošač, a u ostali vrnski intrvalia ngativna (kad su napon i struja različitog znaka) i tada kondnzator varaća nrgiju kolu. sto s dšava i kod kala. Na otporniku su napon i struja u fazi pa su uvk istog znaka i snaga j pozitivna, odnosno na otporniku s uvk javljaju gubici. Pošto s ralan prijnik sastoji od aktivnog (otpornog) i raktivnog dla, aktivna snaga dfiniš gubitk na otporno dlu, dok raktivna snaga dfiniš raznu nrgij. ako sv ov snag fizički iaju istu jdinicu vat, zbog različitih priroda ovih snaga uvdn su posbn jdinic za svaku od njih: za aktivnu snagu j ostavljna jdinica vat [W], za raktivnu snagu j uvdna jdinica volt-apr raktivni ili var [VAr], a za prividnu snagu jdinica volt-apr [VA].) u (t ) i (t ) 0 t p <0 p >0 p <0 p >0 p <0 p >0 p <0 Slika V..9.. Paratar cos naziva s faktor snag. a čisto otporni prijnik faktor snag j jdnak, dok j za čisto raktivan prijnik (prijnik koji s sastoji sao od kalova i kondnzatora) faktor snag jdnak 0. Prinio u izrazia za aktivnu, raktivnu i prividnu snagu i izraz koj so do sada izvli, koji dfinišu odnos izđu paratara. Prinio u jdno slučaju paratr rdn vz, a u drugo slučaju paratr paralln vz. P cos cos R P cos cos R R V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
Q sin sin X Q sin sin X X S S Y Y Vidio da s aktivna i raktivna snaga ogu izračunati bilo prko paratara rdn, bilo prko paratara paralln vz. posldnj izrazu za raktivnu snagu pojavljuj s ngativan prdznak kao posldica vz izđu raktans i suscptans: X X. Kao što su aktivna otpornost i aktivna provodnost prijnika uvk R X pozitivn, iz izraza za aktivnu snagu s vidi da j aktivna snaga prijnika uvk pozitivna. nak raktivn snag zavisi od karaktra prijnika: ako j prijnik prtžno induktivan, raktivna snaga j pozitivna, ako j prijnik čisto otporan, raktivna snaga j jdnaka nuli, i ako j prijnik prtžno kapacitivan, raktivna snaga j ngativna. Na osnovu prthodno izvdnih izraza ožo napisati izraz za aktivnu, raktivnu i prividnu snagu svakog od prijnika: A 80 80 W P, R A 60 60 VAr Q, X 80 W 60 W 00 VA P Q S ili S 00 V A 00 VA, A 60 60 W P, R A 80 80 VAr Q. X 60 W 80 W 00 VA P Q S ili S 00 V A 00 VA zračunajo sada ču su jdnak aktvna i raktivna snaga rdn vz dva prijnika: R R R R P P 80 W 60 W 0 W P R, X X X X Q Q 60 VAr 80 VAr 0 VAr Q X. Vidio da j ukupna aktivna snaga rdn vz prijnika jdnaka zbiru aktivnih snaga pojdinih prijnika (isto važi i za parallnu vzu, što ćo pokazati u zadatku V..9.). Takođ, ukupna raktivna snaga rdn vz prijnika jdnaka j zbiru raktivnih snaga pojdinih prijnika (isto važi i za parallnu vzu). 0 W 0 VAr, VA S P Q ili S, V A, VA Pošto j: S P Q P Q P Q S S P Q P Q, i na osnovu brojnih podataka vidio da ukupna prividna snaga nij jdnaka zbiru prividnih snaga pojdinih prijnika, odnosno da j: V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
S S S. 0. a kolo prikazano na slici todo konturnih struja odrditi koplksn izraz za struj u svi granaa kola. Odrditi koplksnu snagu strujnog gnratora g. Poznato j: g 0 j A, 00 j A, g E + E V, E j V, 00 j 00, 00 00, j 00 j 00, 00 j 00, 00 00. j g E + g Ršnj: Posatrano kolo ia n č = čvora, n g = 6 grana i sadrži n g = idalna strujna gnratora, pa j broj konturnih struja jdnak: n g (n č ) = 6 ( ) =, a broj jdnačina koj ršavao j uanjn za broj idalnih strujnih gnratora, jr po pravilu kroz svaki strujni gnrator prolazi tačno jdna konturna struja i njn intnzitt j odrđn strujo tog strujnog gnratora. Dakl, broj jdnačina koj ršavao j: n g (n č ) n g =. E + 6 g g E + Slika V... Na slici V... prikazana j jdna ogućnost za izbor konturnih struja i oblžn su npoznat struj grana. Opšti sist jdnačina konturnih struja j trćg rda(iao tri konturn struj). Pošto kroz svaki idalan strujni gnrator prolazi tačno jdna konturna struja i njn intnzitt j odrđn strujo tog strujnog gnratora, za konturnu struju koja prolazi kroz idalni strujni gnrator (u ovo slučaju su to struj i ) n postavlja s jdnačina u opšt obliku. Dakl, sist jdnačina konturnih struja za ovo kolo glasi: V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
g () g () E () prdstavlja zbir svih ipdansi kroz koj protič konturna struja i uvk ia pozitivan prdznak: 00 j 00 00 j 00 00 j 00 00 00 j 00 00 00 00 00 00 00 00 800 j j 00. prdstavlja ipdansu gran kroz koju protiču konturn struj i i ngativnog j prdznaka jr su struj i suprotnog sra u toj grani: 00 00. j prdstavlja ipdansu gran kroz koju protiču konturn struj i i pozitivnog j prdznaka jr su struj i istog sra u toj grani: 00 00. j E j algbarski zbir svih lktrootornih sila kroz koj protič konturna struja : E E E V - j V. vrstio ov izraz u opšti oblik jdnačina za konturn struj: g () g () E E () ano poznat konturn struj i u jdnačinu () dobijao izraz za npoznatu konturnu struju : V - j V V - j 0 00 800 Struj u granaa kola su: E g g E E E g 00 j 0, j A 00 j 0, j 800 j 00 V j V 0 V 0 V j 0 V 800 j 00 800 j 00 800 j 00 800 j 00 j j j 0,0 j 0,0 A 0 j0 A 00 00 0, j A 0, A j j A 0,0 j 0,0 A 0, 0, A 0, j. g A. 6 V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
0,0 j 0,0 A 0,0 0,0 A. j j A 0,0 j 0,0 A 0, 0,6 A 6 0, j. Snaga strujnog gnratora jdnaka j proizvodu napona na strujno gnratoru i konjugovano koplksn vrdnosti struj strujnog gnratora, pra usaglašni rfrntni srovia. Koplksna snaga strujnog gnratora g j: Odrdićo napon : g * g S. j 0, j 0, A 00 j 0, j A 0 V g 00 j, pa j koplksna snaga: S g * g j 0 V 0, j A 8,7 j 8,7 VA Vidio da j aktivna snaga strujnog izvora pozitivna: pa s on ponaša kao gnrator. P E 8,7 W. Tri prijnika su uključna u kolo prostopriodičn struj kao na slici, Aktivn i raktivn otpornosti prijnika su: R =, X = 8, R = 00, X = -00, R = 0 i X = 0. Odrditi aktivnu otpornost, raktivnu otpornost i ipdansu, ov grup prijnika. Ršnj: Koplksn ipdans pojdinih prijnika su: j8 00 j00 0 j0 Koplksna aditansa paralln vz drugog i trćg prijnika j: Y Y Y V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA 7
pa j koplksna ipdansa paralln vz drugog i trćg prijnika: (7 j) Koplksna ipdansa cl grup prijnika j: (80 j60) Aktivna i raktivna otpornost cl grup su: R = 80 Ω X = 60 Ω A ipdansa: = 00Ω. a kolo prostopriodičn struj prikazano na slici, poznato j: E = j V, E = j V, g = 0,( + j) A, = j, =0, = ( - j7) i = ( + j). Odrditi koplsn izraz za struj svih grana kola. Ršnj: Kolo ia nc čvora, ng grana i n g strujni gnrator. Po prvo Kirhofovo zakonu za dato kolo piš s nc jdnačin, po drugo Kirhofovo zakonu ng ( nc ) n g jdnačin jr trba odrditi koplksn izraz za npoznat struj. Pra rfrntni srovia prikazani na slici važi: čvor : g 0 čvor : g 0 S : E 0 S : E 0 z prthodnih jdnačina s dobija: 0, ( j) A 0,( j) A ( 0, j0, ) A (0, j0,) A 8 V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA
. kolu prostopriodičn struj prikazano na slici, poznato j: E= ( + j9) V, g = j0, A, = (00 + j00), = (70 + j0), = (0 - j0), = -j0 i = 0. Odrditi: a) Koplksn izraz za struj svih grana. b) Koplksni izraz za napon izđu krajva strujnog gnratora. Ršnj: a) a rfrntn srov prikazan na slici su: čvor : 0 čvor : g 0 čvor : g 0 S : E 0 S : E 0 z prthodnih jdnačina s, za koplksn izraz struja grana, dobija: (0 j70) A (0 j0) A ( 0 j60) A (70 j0) A (70 j90) A b) Koplksni izraz za napon izđu krajva strujnog gnratora j: j V ( ). Koplksni izrazi za lktrootorn sil i ipdans u kolu prostopriodičn struj prikazano na slici su: E = (-0 + j0) V, E = 80 V, E = j0 V, = (00 - j00), = j00, = 00, = -j00, = (00-j00), 6 = (00 + j00). Odrditi koplsn izraz za struj svih grana. V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA 9
Ršnj: Tri nzavisn kontur, za dato kolo, su prikazan na slici. Jdnačin konturnih struja su: ( ) E E ( ) E ( ) E 6 ano zadatih brojnih vrdnosti ov jdnačin postaju: 00 j00 00 j0 j00 00 j00 j0 j00 00 80 Koplksni izrazi za konturn struj, iz prthodnih jdnačina, su: ( 60 j0) A (0 j80) A (60 j0) A Koplksni izrazi za struj grana datog kola su: ( 60 j0) A ( 0 j0) A ( 780 j0) A (60 j00) A (0 j80) A (60 j0) A. a kolo prostopriodičn struj, prikazano na slici, prino Tvnnov tor odrditi struju. Poznato j: g = 0,(+j) A, E = j V, E = j V = j Ω, = 0 Ω, = ( - j7) Ω, = ( + j) Ω. 0 V. Prostopriodičn struj (ralan rži) - ADA