I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Tepor utntur, nos et utur n lls*. [Vreen se enu, se eno u n.] (OWEN ) P r e d v n z č e t v r t u s e d c u n s t v e (u kdesko 8/9. godn) G L A V A 3 PRIMJENE DIFERENCIJALNOG RAČUNA FUNKCIJA VIŠE REALNIH PROMJENLJIVIH 3.. Ekstrene vrednost relnh funkc dvu l vše relnh proenlvh 3... Lokln ekstre funkc vše proenlvh Po loklnog ekstre se z relne funkce vše relnh proenlvh defnr nlogno sluču relnh funkc edne relne proenlve. Defnc 3... Nek e funkc f reln funkc od n relnh proenlvh defnrn u neko okoln U (x ) tčke x R n. Ako e z svk x U (x ) spuneno f (x) f (x ) (odnosno f (x) < f (x ) z x x ), / t. Δ f (x ) (odnosno Δ f (x ) < z x x ) /, kžeo d funkc f u tčk x lokln ksu (odnosno strogo lokln ksu) ednk f (x ). Slčno se defnr (strog) lokln nu. (Stroge) loklne ksue nue edn eno zoveo (strog) lokln ekstre(u). Preto d su lokln ekstre, pre ovo defnc, uvek postgnut u unutršn tčk doen funkce. Tzv. rubne ekstree rztro n kru ovog prgrf. Ko kod funkc edne proenlve, z dferencblne funkce posto ednostvn potrebn uslov z postone loklnog ekstre. Stv 3... Nek e reln funkc f od n relnh proenlvh defnrn u neko okoln tčke A : (,..., n ) R n nek zvod po rguentu x ( n) u tčk A. Ako funkc f u tčk A lokln ekstre, ond e ( A). Posledc 3... Ako e funkc f (x,..., x n ) defnrn u neko okoln tčke A : (,..., n ) u koo ekstre ko prve prclne zvode po svko od svoh rguent u tčk A, ond e f '( A)... f '( A ). x x n Dokz: Nek e K(, δ ) kugl u koo e defnrn funkc f z kou vž f (X) f (A) (odnosno f (X) f (A)) z sve X : (x,..., x n ). Z prozvoln {,..., n} postro funkcu g : ( δ, + δ ) R, defnrnu forulo *T e sth nčnen pre sthu: On utntur, nos et utur n lls. [Sve se en, se u toe eno.], (Izvor: Johnns Owen Epgrtu Lber unus d Arbell Sturt, Epgrtu Lbr III, Wrtslw, 658.). 49
g(x ) f (,...,, x, +,..., n ), (A (,..., n )) z x ( δ, + δ ). T funkc lokln ekstre u tčk, p e g'( ) (A). Unutršne tčke doen funkce f u ko su sv nen prcln zvod prvog red ednk nul nzvu se stconrn tčk te funkce. Zprvo, po stconrne tčke uvodo ovde sledećo defnco. Defnc 3... Z tčku A kžeo d e stconrn tčk relne funkce f (x,..., x n ) od n relnh proenlvh ko e funkc f dferencbln u tčk A ko e f x '( A) f '( A)... f '( A) x x n, l ko e dferencl funkce f z tčku A dentčk ednk nul, t. ko e d f (X, A). (Zklučte s ekvvlentnost u dto defnc!) Sledećo teoreo dt su potrebn uslov poston loklnog ekstre dferencblne funkce. Teore 3... Ako e reln funkc f vše relnh proenlvh dferencbln u tčk A ko u tčk A lokln ekstre, ond e tčk A stconrn tčk funkce f. Dokz: Iz dferencblnost funkce f u tčk A sled d postoe nen končn prcln zvod po sv rguent u tčk A. Kko e tčk A tčk loklnog ekstre, to su pre prethodno posledc 3... zvod po sv rguent u tčk A ednk nul. Iz sveg npred kznog sled d e tčk A po defnc stconrn tčk. Ov e teore 3... dokzn. Npoeno d z nlžene tčk loklnog ekstre dferencblne funkce n zdno oblst treb nć stconrne tčke th funkc u to oblst, er e pre dokzno teore lokln ekstre dferencblne funkce oguć edno u t tčk. Ako u oblst defnrnost funkce f postoe tčke u ko f ne dferencbln, td u t tčk funkc ože t lokln ekstre u to sluču sptueo prršt funkce. Tko, n prer, funkc f ( y, z) x + y + z ne dferencbln u tčk (,, ), očto nu u to tčk. Tčk x u koo e d f (x ), t. stconrn (krtčn) tčk ne or bt tčk ekstre (t. uslov d f (x ) ne dovoln z egzstencu ekstre), već, npr., tzv. sedlst tčk u sluču funkce f ( dvu relnh proenlvh y (nlogon prevono tčk funkce edne proenlve). Tkođe, ekstre ože d posto u tčk x ko prcln zvod (br edn od nh) ne posto u to tčk, t. ko ne posto d f (x ). Stconrne tčke se ogu dobt z sste ednčn f (x,..., x n ),..., x f (x,..., x n ). U stconrno tčk (x, y ) funkce f ( tngentn rvn n površ z f ( e prleln s rvn ( ednčnu z f (x, y )). Nvedo teoree o dovoln uslov poston loklnog ekstre. Nek funkc f : D K (D R n, K R) (3..) neprekdne prclne zvode prvog drugog red u neko okoln stconrne tčke x (x, x, '' ''..., x n ) D. Oznčo s k vrednost zvod f u tčk x ) k f (x ),, k,..., n. Td e, x x k xn x x k 5
zbog neprekdnost drugh prclnh zvod, k k. Forro suu n k, k y y k, (3..) gde su y,..., y n relne proenlve. Ne teško zklučt d e zrz u (3..) hoogen funkc stepen hoogenost, nzv se kvdrtno foro proenlvh y,..., y n. No, z forulsne dovolnh uslov z postone loklnog ekstre, odnosno z sptvne znk dferencl d n f ( x) f (x ) ΔxΔx *), korsn su n nek poov rezultt (z lnerne lgebre) o kvdrtn for., Reln funkc proenlvh Φ (h,..., h ) : h h h, zove se kvdrtn for proenlvh h,..., h. Mtrc A (Φ ) [ ], zove se trc kvdrtne fore Φ. Z tu trcu uvek ožeo pretpostvt d e setrčn, t. d e z sve,. Z foru Φ se kže d e poztvno (negtvno) poludefntn ko z sve h : (h,..., h ) R vž Φ (h,..., h ) (odnosno Φ (h,..., h ) ). On e poztvno (negtvno) defntn ko z sve h vž Φ (h,..., h ) > (odnosno Φ (h,..., h ) < ). Nzd, for Φ e proenlvog znk ko postoe h (h,..., h ), k (k,..., k ) R, tkv d e Φ (h,..., h ) >, Φ (k,..., k ) <. Prer 3... Kvdrtn for Φ (h, h, h 3 ) h + 5 h + h 3 h h + h h 3 + h h 3 (h + h + h 3 ) + (h h ) + h 3 e poztvno defntn, er e Φ (h, h, h 3 ) > z (h, h, h 3 ) (,, ). For Φ (h, h, h 3 ) h + h + h 3 + h h h h 3 h h 3 (h + h h 3 ) e poztvno poludefntn, l ne defntn, er ože bt Φ (h, h, h 3 ) kd nsu sv h, h, h 3 ednk nul. Z sptvne defntnost kvdrtne fore u lnerno lgebr se dokzue sledeć Sylvesterov **) krteru. Stv 3... Nek e A (Φ ) *) D b dferencl d n f ( x f (x ) ΔxΔx (gde e ) ) predstvlo poztvno određenu kvdrtnu foru, potrebno e dovolno d nor n glvno dgonl trce [ ] n, budu poztvn. D b dferencl d f (x ) predstvlo negtvno defntnu kvdrtnu foru, potrebno e dovolno d nor n glvno dgonl trce [ ] n nzenčno enu znk, s t d e, <. U nek slučev znk od d f (x ) e očgledn. **) J. J. Sylvester (84 897) englesk tetčr. h 5
setrčn trc kvdrtne fore Φ : R R nek su A, A,..., A det A (Φ ) (3..3) nen glvn nor. D b for Φ bl poztvno defntn potrebnoe dovolno d su t glvn nor poztvn: A >, A >,..., A >. D b for Φ bl negtvno defntn, potrebnono e dovolno d t nor nzenčno enu znk, s t d e A < : A <, A >, A 3 <.... Prer 3... For Φ z prer 3... trcu glvne nore ednke redo, 9, 9. For Φ s deternnto ednko nul. 5 trcu Z zvođene dokz teoree o dovoln uslov loklnog ekstre korsn e sledeć pooćn tvrdn. Le 3... Nek e A R otvoren skup : A R neprekdn funkc z,,..., tkve d e (x) (x) z sve x A. Z x A nek e Φ x kvdrtn for s trco [ ] ( x),. Ako e z nek A kvdrtn for Φ poztvno defntn, ond posto r >, tko d e z svk x z kugle K(, r) for Φ x poztvno defntn. Dokz: Relne funkce A,..., A, defnrne pooću forul ( x) ( x) A (x) (x), A (x),..., A (x) det [ (x)], ( x) ( x) neprekdne su z x A. Pre Sylvesterovo krteru, z poztvne defntnost fore Φ sled d su broev A (), A (),..., A () poztvn. Zbog neprekdnost funkc A, posto poztvn bro r, tkv d su broev A (x), A (x),..., A (x) tkođe poztvn z x K(, r). To znč d e for Φ x poztvno defntn. Te e dokz lee 3... zvršen. Forulšo sd nvlenu teoreu ko de dovolne uslove z postone (strogog) loklnog ekstre funkce vše proenlvh. Teore 3... Nek e A ( R ) otvoren skup, x A f C (A), pr čeu e x ( (x,..., x )) stconrn tčk funkce f, t. d f (x ) ; nek e Φ kvdrtn for č e trc f ( x ),. (3..4) Td: ko e kvdrtn for Φ poztvno defntn, t. ko su sv glvn nor A, A,..., A n poztvn, ond funkc f strog lokln nu u tčk x ; ko e kvdrtn for Φ negtvno defntn, t. ko glvn nor A, A,..., A n nzenčno enu znk, s t d e A <, ond funkc f strog lokln ksu u tčk x ; 5
3 ko e kvdrtn for Φ proenlvog znk, funkc f u tčk x ne lokln ekstre. Dokz: Ako su spunene dte pretpostvke, pre prethodno le, posto bro r >, tkv d e z sve x K(x, r) f ( x) poztvno defntn kvdrtn for č e trc. Z prozvoln tkv x o d e n denzonln, segent [x, x] sdržn u kugl K(x, r), p se n rzlku f (x) f (x ) ože prent Tylorov forul s Lgrngeov osttko z n. Zbog stconrnost tčke x on oblk: f f (x) f (x ) ( ) ( ) f ( x ( x x)) ( x x )( x x ) ( x ( x x)), x x + + x x + x x + θ θ, gde e < θ <. Drug reč, t rzlk e kvdrtn for proenlvh x x,..., x x, s (setrčno) trco f ( x + θ ( x x ). Kko vektor (x + θ (x x )) prpd tkođe kugl K(x, r), to e t kvdrtn for poztvno defntn, što znč d e f (x) f (x ) > z sve x K(x, r) \ {x }. Dkle, u tčk x e strog lokln nu funkce f. Dovolno e prent dokznu tvrdnu pod n funkcu f. 3 Ako e kvdrtn for Φ s trco (3..4) proenlvog znk, ond postoe vektor h (h,..., h ), k (k,..., k ) R, tkv d e Φ (h,..., h ) >, Φ (k,..., k ) <. (3..5) h k Z prozvoln ρ > odredo tčke x x + ρ y x + ρ, z koe e očgledno x x y x ρ. h k Npšo sd Tylorovu forulu z funkcu f u tčk x s Penov osttko, z vrednost rguent odnosno y, f ( x) f ( x ), ( x ρ h ρ f ( f ( x) k x )( x x f ) [ Φ( h,..., h ) + o() ] ( ρ ), [ Φ( k,..., k ) + o() ], ( ρ )., ( x ) + o ( x x, ρ ) h, f ( x ) h h + o () Kko velčne Φ (h,..., h ) Φ (k,..., k ) ne zvse od ρ, to e, n osnovu (3..4), z dovolno l ρ, f (x) f (x ) >, f ( f (x ) <, što znč d u svko okoln tčke x funkc f vrednost, kko ne, tko veće od f (x ). Te e dokzno d t funkc u tčk x ne lokln ekstre. Ako predznc broev (glvnh) nor A, A,..., A n u zdno tčk (x,..., x n ) popru blo kou drukču kobncu u odnosu n prethodne dve u teoree 3.., ond (x,..., x n ) ne tčk loklnog ekstre funkce f (x,..., x n ). Prer 3..3. ) Svk od funkc f ( x 3 + y 3 f ( x 4 + y 4, ednstvenu stconrnu tčku (, ) u to tčk krkterstčnu kvdrtnu foru dentčk ednku nul dkle poztvno negtvno poludefntnu, l ne defntnu. Prv od th funkc ne lokln ekstre u (, ), er u prozvolno okoln te tčke postoe vektor (x, y ) (x, y ), tkv d e f (x, y ) < < f (x, y ). Funkc f, eđut, u tčk (, ) lokln ( psolutn) nu ednk. Odredo tčke loklnh esktre funkce gde e λ reln pretr. f (x, x, x 3 ) λ x + x + x 3 + x + x 3, 53
Rešvuć sste ednčn λ x, x +, x +, dobeo d e edn 3 3 stconrn tčk ove funkce x (,, ) (se u sluču λ, kd su stconrne sve tčke f f f f oblk (x,, ), x R). Zbog λ,, z, u to tčk 3 krkterstčn kvdrtn for oblk Φ (h, h, h 3 ) λ h + h + h 3. Z λ > t for e očgledno poztvno defntn funkc f u tčk (,, ) lokln nu. Z λ < t for e proenlvog znk (n prer, td e Φ (,, ) >, Φ (,, ) < ), p funkc f u to tčk ne lokln ekstre. Ako e λ, u svko od tčk (x,, ) for Φ e poludefntn, no funkc f tu pk (ne so lokln) nu ednk, er e f (x, x, x 3 ) (x + ) + (x 3 + ) z sve (x, x, x 3 ) R 3 f (x,, ). U prer se nčešće povluu funkce dvu proenlvh, p ćeo nvest forulcu teoree 3... z t sluč. Posledc 3... Nek e A otvoren skup u R, (, A, f ( dv put neprekdno f f dferencbln funkc n A (, (,. Oznčo (, r, (, s, y y f y (, t. Td : ko e r >, rt s >, funkc f u tčk (, strog lokln nu ; ko e r <, rt s >, funkc f u tčk (, strog lokln ksu ; 3 ko e rt s <, funkc f u tčk (, ne lokln ekstre. Dokz: Tvrđen neposredno slede z teoree 3... Dokžo tvrđene 3, t. dokžo d e u sluču rt s < kvdrtn for Φ (h, k) r h + s h k + t k proenlvog znk. Postro npre sluč r. Td e Φ (h, k) [( rh + sk) + ( rt s ) k ], r p su, zbog rt s <, broev Φ (, ) r Φ (s, r) r (rt s ) rzlčtog znk. Ako e r, td z uslov rt s < sled d e s. Nek e h k dovolno lo tko d zrz s h + t k st znk ko zrz s h. Td vrednost kvdrtne fore Φ (h, k) k (s h + t k) u rzlčte znke z k >, odnosno k <, te e u ovo sluču t kvdrtn for proenlvog znk. Te e zvršen dokz posledce 3... n ( x,..., xn ) Ako edn od broev A, A,..., A n (glvnh nor trce kvdrtne fore Φ, (ko predstvl dferencl d f (x,..., x n ))) popr vrednost nul, ond ne oguće prent krter z teoree 3.., nego u ovkvo sluču se korst predznk drugog dferencl, ko što sled: Teore 3..3. Nek e funkc f (x,..., x n ) defnrn neprekdne prclne zvode drugog red u neko okoln tčke x : (x,..., x n ). Nek e, dle, tčk x stconrn tčk funkce f (t. d f (x ) ). Td: ) ko e d n f (x ) > z dx >, (dx x x ), ond e f (x ) f n ; n ko e d f (x ) < z dx >, ond e f (x ) f c) ko d f (x ) en predzk, ond f (x ) ne ekstre funkce f ; 54
d) ko e d f (x ) l ko nedn od uslov ),, c) ne spunen, td se ne ože nšt reć o prrod stconrne tčke x, već e potrebno dodtno sptvne (n osnovu defnce ekstre l pooću dferencl trećeg l všeg red proksce funkce Tylorov polnoo všeg red). Tko, npr., z funkcu u : e x y (x y z) ne ožeo prent teoreu 3... već teoreu 3..3. z stconrnu tčku (,, ), er e A, A A 3 8, l e d u (,, ) (dx) 4 dy dz, t. d u (,, ) en predznk, p tčk (,, ) ne tčk loklnog ekstre zdne funkce u. Ponovo n kru d se sve zloženo odnos so n tzv. unutršne loklne ekstree funkc vše proenlvh. Prlko određvn psolutnh ekstre tkvh funkc neophodno e zedno s unutršn stconrn tčk sptvt tčke grnce (ru doen. Z tkvo sptvne e često korsn tehnk određvn tzv. uslovnog ekstre, o koo zlžeo u posebno prgrfu. S druge strne, eđut, ko se trže so psolutn ekstre neke funcke n ogrnčeno ztvoreno skupu, preno Weerstrssove teoree ože se potpuno zbeć sptvne krkter stconrnh tčk. U to sslu rzotro sledeć prer. Prer 3..4. Nđo nveću nnu vrednost funkce f : [, ] R, zdne forulo f ( x 3 + x y + y y. Rešene : Sste ednčn 3x + 4, x + 4y unutr kvdrt (, ) y dv rešen:, 3, 8. Dle e f (, y +, f (, y, f ( ) x 3 + x, f ( ) x 3 x + 4, p se ko potenclne tčke ekstre zdne funkce f dobu stconrne tčke funkc f (, f ( ) edne proenlve (koe su n rubu dtog kvdrt) : (, ), (, ), (, ) (, ), ko teen kvdrt (, ), (, ), (, ) (, ). Zdn funkc f e neprekdn, kvdrt [, ] e ztvoren ogrnčen skup, p f n neu dostže svou nnu nveću vrednost. No, one ogu bt so eđu vrednost funkce f u nđenh deset tčk. Među sv e nn f (, ), nveć f (, ) 4, p su to tržen ekstre funkce f n [, ]. Zdtk 3... Odredt ekstree funkce f zdne forulo f ( :, z ( (,),, z ( (,). x + y Rešene: Zdn funkc f e defnrn n R očto neprekdn n R \ {(, )}, er e nen restrkc g : f, g ( (v. sl. 3..) očto eleentrn funkc p e neprekdn R \{(,)} x + y gde e defnrn. No, u tčk (, ) funkc f e prekdn er z kx k l f ( l x x x k x + (*) + k y kx sled d les (*) zvs od k, p dvon les l f ( ne posto. Ndle e y( y x ) f x '( x y x( x y ) f y z ( (, ),, '( f ( ) f (,) f '(,) l l x x x x x, '(,) y f (ko e f prekdn u tčk (, )). Otud sled d zdn funkc končne određene prclne zvode f x ' f y ' u okoln prozvolne tčke (x, y ) R \ {(, )} t zvod su neprekdne funkce u (x, y ), p e f dferencbln u (x, y ) R \ {(, )} (n osnovu teoree o dovoln uslov dferencblnost). No, u tčk (, ), ko končne zvode f x ' (, ) f y '(, ), zdn funkc f ne 55
dferencbln, er ko b f bl dferencbln u (, ), ond b vredlo f ( f ( f (, ) f x ' (, ) (x ) + f y '(, ) (y ) + ω ( ( x ) + ( y ), (*)' gde e lω( ω(,). Međut, z (*)' sled x y ov les ne posto (er e x + y lω ( l l, x x x 3 y y x + y y k lω ( l x x ). Dkle, (, ) ne stconrn tčk 3 x y kx ( + k ) funkce f, te f stconrne tčke ( ± x), ( x R\{}). Buduć d vred (3y x ) f ''( xx 3, (3x y ) f yy ''(, 3 f ''( f yx (3y ''( x )( x 3 + y ) ( y yx ) 4 ( x + y ) y 6x y ( x 4 4 x y 3 + y ) z sve ( (, ), t. d e f xx ''( ± x) f yy ''( ± x), f ''( ± x) f yx ''( ± x) z x x x R \ {}, odnosno d e r t s u tčk ( ± x), to ptne ekstre treb rešt pooću defnce (neposredno) l pooću dferencl trećeg l všeg red. No, očgledno vred (x ± x + y ± x y ( y R), p e x + y z ( R \ {(, )}. Kko e oš f (, ), f ( x) (x ) f ( x), (x ), to zklučueo d zdn funkc f nestrog psolutn (totln) nu f n f ( x) (x ) nestrog psolutn ksu f x f ( x) z x. U tčk (, ) zdn funkc ne ekstre, er, npr., n prbol, č e ednčn y x, vred f ( x ) f (, ) x, x, + x <, x <, Sl. 3... t. ne posto okoln U(, ) tčke (, ) u koo prršt f ( f (, ) ne en znk. Zdtk 3... Odredte ekstrene vrednost funkce f z R u R zdne forulo: ) f ( sn x + sn y + sn (x +, f ( sn x sn y sn (x + ; ( y [, π]). Uput. Vdet zd. 9..n) (str. 3; rešene n str.6) zd. 3. (str. 48; rez. n str.6) u knz [FATKIĆ, H. DRAGIČEVIĆ, V., Dferencln rčun funkc dvu vše proenlvh, I.P. Svetlost, Srevo, 6]). Zdtk 3..3. Odredte ekstrene vrednost funkce f zdne forulo: ) f ( y, z) log x z z + xz x y ; n x x3 x + n f (x,..., x n ) x + + + + +, (x > ;,..., n). x x xn xn Rezultt. ) f x f (,, ). f n f (,,..., n ) (n + ), (v. zd. 9.3. d) g) (str. 8; rešene n str. 9 ) u knz ctrno u prethodno zdtku)., 56